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www.cmat.uminho.pt

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Durante muitos séculos, a geometria dos gregos [dos pontos, linhas, triângulos, ...) foi considerada o paradigma do pensamento e da realidade matemáticos.

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Em 1623, Galileo apresentava a geometria dos gregos como a linguagem da natureza:

“. . . Signor Sarsi, la cosa non istà così. La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.”

Il Saggiatore, 1623.

[... Sr. Sarsi, este não é o caso. A filosofia está escrita neste grande livro que está continuamente aberto aos nossos olhos (isto é, o universo), mas não se pode compreender antes de entender a língua e conhecer os caracteres com os quais está escrito.  Ele é escrito em linguagem matemática e os caracteres são triângulos, círculos e outras figuras geométricas, sem os quais é impossível humanamente compreender uma palavra; sem eles, é inútil vagar por um labirinto escuro.]

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Também Newton sentiu a necessidade de fundamentar a sua análise e a linguagem da sua física com raciocínios geométricos.

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A análise de Newton e Leibniz deu origem a um grande edifício, que parecia explicar toda a Natureza conhecida, dos pêndulos na Terra até aos movimentos celestes.

Foi só no início do século XIX que alguns matemáticos sentiram a necessidade de fundamentar a construção com sólidas bases lógicas.

Esta construção dos fundamentos começou com Cauchy, no início do séc. XIX.

As noções de limite e de derivada, bem como a noção do contínuo, fazem, por fim, sentido também para os matemáticos.

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Mas a sistematização da teoria dos contínuos, logo dos conjuntos e dos infinitos, conduzem Cantor a observar a inevitabilidade de conjuntos paradoxais [para o nosso sentido comum].

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O arquétipo é o conjunto de Cantor [ternário], obtido retirando do intervalo unitário o terço central, depois os terços centrais dos dois intervalos que sobram, depois os terços centrais dos quatro intervalos que sobram, ...

O conjunto de Cantor tem tantos pontos como o intervalo unitário [os matemáticos dizem cardinalidade].

No entanto, se do intervalo unitário, suposto como pesando 1 [os matemáticos dizem medindo], retiramos todos os pontos do conjunto de Cantor, o peso continua a ser 1.

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O conjunto de Cantor permite construir a famosa função de Cantor, cujo gráfico é a escada do Diabo, uma escada que cresce de forma contínua de 0 até 1 ao longo do intervalo unitário, mas que tem declive nulo na totalidade dos pontos onde é possível calcular o declive, que são precisamente os pontos fora do conjunto de Cantor (que tem peso nulo), ou seja, cresce sem crescer!

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Neste vídeo (em inglês), pode encontrar informação mais aprofundada sobre o conjunto de Cantor e a escada do Diabo!

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Os matemáticos encontraram logo muitas variações do conjunto de Cantor, em dimensão dois ou três,

como o tapete de Sierpinski ou a esponja de Menger.

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Usando o Wolfram Player, pode visualizar as primeiras iterações do tapete de Sierpinski...

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Sierpinski Carpet - Wolfram Demonstrations Project

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This Demonstration steps through a few iterations of the Sierpinski carpet, a fractal created in 1916.

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... e da esponja de Menger

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Start with a cube, divide it like a Rubik's cube into 27 smaller cubes and remove each central cube to leave 20. Recursively apply this procedure to each of the remaining cubes and you will have successive levels of Menger's sponge, a recursive 3D shape generalizing the Sierpinski carpet-in fact each face of the Menger sponge is a Sierpinski carpet. This Demonstration provides four variations on this idea, starting with the Sierpinski carpet.

Details

Snapshots

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The Menger Sponge - Wolfram Demonstrations Project

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Start with a cube divide it like a Rubiks cube into 27 smaller cubes and remove each central cube to leave 20 Recursively apply this procedure to each of the remaining cubes and you will have successive levels of Mengers sponge a recursive 3D shape generalizing the Sierpinski carpetmdashin fact each face of the Menger sponge is a Sierpinski carpet This Demonstration provides four variations on thi

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Além dos conceitos de cardinalidade e medida, estes objetos desafiam a nossa ideia do que é a dimensão.

Um exemplo paradigmático é o floco de neve de von Koch
que tem área finita, mas cuja fronteira tem comprimento infinito!

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o floco de neve de Koch

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Fun with Koch Snowflakes - Wolfram Demonstrations Project

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This Demonstration shows several recursively generated shapes including the Koch snowflake.;;

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Ainda mais surpreendente, para os matemáticos do seu tempo, foi o exemplo, de Peano, de uma curva que preenche um quadrado.

A dimensão não é invariante por deformações contínuas!

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Foi com o chegar do século XX que ficou claro que estes objetos estão longe de ser uma exceção.

O primeiro a compreender isto foi Poincaré, ao estudar grupos de transformações conformes do plano complexo naturalmente associados às soluções de certas equações diferenciais, por ele chamados grupos Fuchsianos.

A dinâmica destes grupos define de forma natural certos conjuntos do plano, os conjuntos limite, que são tipicamente conjuntos de Cantor ou curvas muito irregulares.

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Existe um caminho ainda mais direto entre a dinâmica e os fractais.

Desde os tempos dos babilónios, as raízes quadradas de números (inteiros) eram aproximadas usando um método iterativo, mais conhecido como método de Heron.

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Esta ideia foi generalizada por Newton, que produz um método iterativo para aproximar os zeros de um polinómio f(x).

Fazendo uma primeira conjetura x₀, e depois seguindo a trajetória de xn → xn+1 = xn +f(xn)/f'(xn), a trajetória de quase todo ponto x₀ converge para um dos zeros do polinómio, ou seja, os pontos xn estão próximos de um zero se o tempo n é suficientemente grande, mas as fronteiras entre as bacias de atração das diferentes raízes desenham figuras muito complexas!

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Julia e Fatou revelaram fenómenos parecidos ao estudar iterações de funções muito simples definidas no plano complexo, polinómios ou funções racionais.

A ideia é iterar certas transformações simples do plano complexo, como por exemplo um polinómio quadrático z → z² + c

Para cada escolha da constante c no plano complexo, os pontos z do (outro) plano complexo cujas trajetórias são limitadas formam conjuntos muito interessantes, chamados conjuntos de Julia.

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Mais recentemente, Mandelbrot (o inventor da palavra fractal, para denotar este género de figuras patológicas) observou que também o conjunto dos parâmetros c que produzem conjuntos de Julia “conexos” é interessante [o conjunto vermelho nesta imagem, chamado conjunto de Mandelbrot].

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No final do século passado, atratores estranhos [conjuntos patológicos onde as trajetórias se concentram assintoticamente]

foram descobertos ao simular em computadores as trajetórias de equações diferenciais, modelos simples de fenómenos físicos complexos como os movimentos de um fluido ou a turbulência.

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O mais famoso é o atrator de Lorenz, cujas órbitas desenham, assintoticamente, esta espécie de borboleta, e, no entanto, se afastam umas das outras muito rapidamente, mesmo começando próximas.

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Este fenómeno explica, dizem os matemáticos, a impossibilidade de fazer previsões do tempo válidas durante muitos dias, pois um pequena incerteza no hoje pode produzir uma grande incerteza na previsão para amanhã...