# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Eine riemannsche Fläche ist im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie (engl. complex analysis) eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Riemannsche Flächen sind die einfachsten geometrischen Objekte, die lokal die Struktur der komplexen Zahlen besitzen. Benannt sind sie nach dem Mathematiker Bernhard Riemann. Die Untersuchung von riemannschen Flächen fällt in das mathematische Gebiet der Funktionentheorie und hängt wesentlich von Methoden der algebraischen Topologie und algebraischen Geometrie ab.

Die riemannsche Fläche ist - historisch gesehen - die Antwort darauf, dass holomorphe Funktionen nicht immer eindeutige Fortsetzungen haben. So erhält zum Beispiel der Hauptzweig des komplexen Logarithmus (der ja in einer Umgebung von definiert ist) bei Fortsetzung entlang eines positiv orientierten Kreises um 0 das zusätzliche Argument .

Die Theorie der riemannschen Flächen entstand aus der Tatsache, dass bei der analytischen Fortsetzung holomorpher Funktionen entlang unterschiedlicher Wege unterschiedliche Funktionswerte entstehen können, so wie es beispielsweise beim komplexen Logarithmus der Fall ist. Um wieder eindeutige Fortsetzungen zu erhalten, ersetzte man den Definitionsbereich durch eine mehrblättrige Fläche, die so viele Blätter hatte, wie es Möglichkeiten zur Fortsetzung der Funktion gab. Auf einer solchen Überlagerungsfläche ist die analytische Fortsetzung wieder eindeutig. Bernhard Riemann erklärte die nach ihm benannten Flächen zunächst wie folgt: Mehrere (eventuell unendlich viele) komplexe Zahlenebenen werden übereinandergelegt, mit bestimmten (zum Beispiel geradlinigen) Schnitten versehen und dann längs dieser Schnitte zusammengeklebt. Diese anschauliche Vorstellung war zunächst sehr fruchtbar, obwohl sie als unexakt kritisiert wurde. Die heutige Definition stammt von Hermann Weyl. In seinem Buch Die Idee der Riemannschen Fläche (1913) definierte er den heute grundlegenden Begriff der (reellen bzw. komplexen) Mannigfaltigkeit. Ging es Riemann also um die analytische Fortsetzung einer konkret vorgegebenen Funktion, so stellt sich bei der abstrakten Definition einer riemannschen Fläche durch Weyl die Frage, ob auf einer solchen Mannigfaltigkeit überhaupt komplexe Funktionen existieren. Der riemannsche Abbildungssatz sowie der Satz von Riemann-Roch geben darauf eine Antwort.

Eine riemannsche Fläche ist eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension eins.

Das bedeutet, dass ein Hausdorffraum ist, der mit einer komplexen Struktur ausgestattet ist. (Das in der Definition komplexer Mannigfaltigkeiten sonst verlangte zweite Abzählbarkeitsaxiom braucht in der Definition riemannscher Flächen nicht vorausgesetzt zu werden, weil es dort nach dem Satz von Radó bereits aus den anderen Eigenschaften folgt.)

Viele Autoren verlangen zusätzlich, dass riemannsche Flächen zusammenhängend sein sollen.

Jede kompakte Riemannsche Fläche ist biholomorph zu einer glatten komplexen projektiven Varietät der Dimension eins. In der algebraischen Geometrie bezeichnet man deshalb auch eine Riemannsche Fläche als glatte komplexe Kurve.

Jedes Gebiet ist ebenfalls eine riemannsche Fläche. Hier ist ebenfalls wieder die identische Abbildung eine Karte für das ganze Gebiet. Allgemeiner ist sogar jede offene Teilmenge einer riemannschen Fläche wieder eine riemannsche Fläche.

Theorie der riemannschen Flächen

Aufgrund der komplexen Struktur auf der riemannschen Fläche ist es möglich, holomorphe und meromorphe Abbildungen auf und zwischen riemannschen Flächen zu definieren. Viele der Sätze aus der Funktionentheorie auf der komplexen Ebene über holomorphe und meromorphe Funktionen lassen sich für riemannsche Flächen verallgemeinern. So lassen sich der riemannsche Hebbarkeitssatz, der Identitätssatz und das Maximumsprinzip auf riemannsche Flächen übertragen. Jedoch muss man feststellen, dass insbesondere auf kompakten riemannschen Flächen die holomorphen Funktionen nicht sonderlich reichhaltig sind. Präzise bedeutet dies, dass eine holomorphe Funktion auf einer zusammenhängenden, kompakten Fläche immer konstant sein muss. Eine zusammenhängende, kompakte riemannsche Fläche ist also nicht holomorph separabel, auf ihr existieren nur die konstanten holomorphen Funktionen. (Für unzusammenhängende, kompakte riemannsche Flächen gelten diese Aussagen, wenn man konstant durch lokal konstant ersetzt.) Der cauchysche Integralsatz und die cauchysche Integralformel, zwei zentrale Sätze der Funktionentheorie der komplexen Ebene, lassen sich nicht analog auf riemannschen Flächen beweisen. Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen beziehungsweise auf riemannschen Flächen im Besonderen muss die Integration mit Hilfe von Differentialformen erklärt werden, damit sie unabhängig von der Wahl der Karte ist. Jedoch existiert der für die Integrationstheorie zentrale Satz von Stokes. Mit dessen Hilfe kann man den Residuensatz, der in der komplexen Ebene aus der cauchyschen Integralformel folgt, auch für riemannsche Flächen beweisen.

Neben Fortsetzungssätzen sind in der Theorie der riemannschen Flächen Aussagen über Null- und Polstellen von besonderem Interesse. So konnte ja schon in der Funktionentheorie der komplexen Ebene mit Hilfe des Satzes von Liouville ein einfacher Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra gefunden werden. In der Theorie der riemannschen Flächen erhält man zum Beispiel folgenden verhältnismäßig einfachen Satz. Seien und riemannsche Flächen und eine eigentliche, nicht-konstante holomorphe Abbildung. Dann existiert eine natürliche Zahl , so dass jeden Wert mit Vielfachheit gerechnet -mal annimmt. Da meromorphe Funktionen als holomorphe Abbildungen aufgefasst werden können, wobei die riemannsche Zahlenkugel bezeichnet, ergibt sich, dass auf einer kompakten riemannschen Fläche jede nicht-konstante meromorphe Funktion ebenso viele Nullstellen wie Pole hat.

Otto Forster: Riemannsche Flächen. (= Heidelberger Taschenbücher 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1.
englisch: Lectures on Riemann Surfaces. (= Graduate Texts in Mathematics 81). Corrected 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1991, ISBN 3-540-90617-7.

Athanase Papadopoulos (Hrsg.): Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, European Mathematical Society (EMS), Zürich 2007, ISBN 978-3-03719-029-6, doi:. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 11)

Athanase Papadopoulos (Hrsg.): Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, European Mathematical Society (EMS), Zürich 2009, ISBN 978-3-03719-055-5, doi:. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 13)

Athanase Papadopoulos (Hrsg.): Handbook of Teichmüller theory. Vol. III, European Mathematical Society (EMS), Zürich 2012, ISBN 978-3-03719-103-3, doi:.(IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 19)

# data[].attributes.attachment_link.description
Eine riemannsche Fläche ist im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie (engl. complex analysis) eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Riemannsche Flächen sind die einfachsten geometrischen Objekte, die lokal die Struktur der komplexen Zahlen besitzen. Benannt sind sie nach dem Mathematiker Bernhard Riemann.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
In der Mathematik ist die riemannsche Zahlenkugel die riemannsche Fläche, die sich aus der Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit zu der komplexen Ebene ergibt. Sie geht zurück auf Bernhard Riemann.

Weiter wird auf der riemannschen Zahlenkugel wie folgt eine Topologie definiert: Offene Mengen sind einerseits die offenen Mengen in und andererseits die bezüglich gebildeten Komplemente von kompakten Teilmengen von . Der so definierte topologische Raum stellt eine Kompaktifizierung der komplexen Ebene dar. Topologisch ist sie äquivalent zur Einheitssphäre . Mit der chordalen Metrik wird die Zahlenkugel zu einem metrischen Raum. Diese Metrik induziert die gleiche Topologie, die durch die Einpunktkompaktifizierung auf die Zahlenkugel induziert wird.

Die komplexe Struktur der riemannschen Zahlenkugel wird durch zwei Karten gegeben. Die erste ist auf definiert und ist die Identität. Die zweite ist auf der Umgebung des unendlich fernen Punkts definiert durch

Anschaulich handelt es sich um eine Kugel vom Radius 1, deren Nordpol auf (0,0,1) liegt (man darf die Kugel beliebig wählen, solange ihr Nordpol (0,0,1) ist). Dem unendlich fernen Punkt wird dieser Nordpol der Kugel zugeordnet und jedem Punkt der komplexen Zahlenebene der von verschiedene Schnittpunkt der Kugeloberfläche mit der Geraden durch ( stereografische Projektion).

Die Automorphismen, also die biholomorphen Abbildungen der riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst, bilden die Gruppe der Möbiustransformationen.

# data[].attributes.attachment_link.description
In der Mathematik ist die riemannsche Zahlenkugel die riemannsche Fläche, die sich aus der Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit zu der komplexen Ebene ergibt. Sie geht zurück auf Bernhard Riemann. Weiter wird auf der riemannschen Zahlenkugel wie folgt eine Topologie definiert: Offene Mengen sind einerseits die offenen Mengen in und andererseits die bezüglich gebildeten Komplemente von kompakten Teilmengen von .

# data[].attributes.headline
Das dem riemannschen Integral zu Grunde liegende Konzept besteht darin, den gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe des leicht zu berechnenden Flächeninhalts von Rechtecken anzunähern. Man geht dabei so vor, dass man in jedem Schritt zwei Familien von Rechtecken so wählt, dass der Graph der Funktion „zwischen“ ihnen liegt. Indem man sukzessive die Anzahl der Rechtecke erhöht, erhält man mit der Zeit eine immer genauere Annäherung des Funktionsgraphen durch die zu den Rechtecken gehörenden Treppenfunktionen.  *Das Konzept besteht in Annäherung des gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe des Flächeninhalts von Rechtecken. 

# data[].attributes.subject
Das dem riemannschen Integral zu Grunde liegende Konzept besteht darin, den gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe des leicht zu berechnenden Flächeninhalts von Rechtecken anzunähern. Man geht dabei so vor, dass man in jedem Schritt zwei Familien von Rechtecken so wählt, dass der Graph der Funktion „zwischen“ ihnen liegt. Indem man sukzessive die Anzahl der Rechtecke erhöht, erhält man mit der Zeit eine immer genauere Annäherung des Funktionsgraphen durch die zu den Rechtecken gehörenden Treppenfunktionen.  *Das Konzept besteht in Annäherung des gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe des Flächeninhalts von Rechtecken. 

# data[].attributes.body
https://ru.wikipedia.org/wiki/Интеграл_Римана#/media/Файл:Riemann.gif

# data[].attributes.headline
Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (CRDG) ist das System von zwei Differentialgleichungen zweier reellwertiger Funktionen.

# data[].attributes.subject
Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (CRDG) ist das System von zwei Differentialgleichungen zweier reellwertiger Funktionen.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen (auch: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen oder Cauchy-Riemann-Gleichungen) im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind ein System von zwei partiellen Differentialgleichungen zweier reell-wertiger Funktionen. Sie schlagen eine Brücke von den reell-differenzierbaren Funktionen zu den komplex-differenzierbaren der (komplexen) Funktionentheorie .

Zum ersten Mal tauchen sie 1752 bei d'Alembert auf. Euler verband dieses System 1777 mit den analytischen Funktionen. In einem rein funktionentheoretischen Kontext erscheinen sie 1814 bei Cauchy und 1851 in Riemanns Dissertation.

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (CRDG) sind das System von zwei Differentialgleichungen zweier reellwertiger Funktionen in zwei reellen Variablen :

Vergleiche hierzu auch den Abschnitt Erläuterungen im Artikel über holomorphe Funktionen.

ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis . Dies gibt Anlass zu einer natürlichen Identifikation . Ein Punkt hat die reellen kartesischen Koordinaten , oder kurz . Eine komplexwertige Funktion auf einer offenen Teilmenge von kann man daher durch Zerlegung in ihren Real- und Imaginärteil als eine -wertige Funktion von zwei reellen Variablen auffassen.

Ein wichtiges elementares Resultat der Funktionentheorie ist die Beziehung zwischen den Lösungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung und den holomorphen (also den auf einer offenen Menge komplex differenzierbaren) Funktionen.

Eine Funktion ist auf nämlich genau dann komplex differenzierbar, wenn ihre Entsprechung auf (reell) differenzierbar ist und die Funktionen und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen. In diesem Fall gilt .

Insbesondere klärt diese Aussage den Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit von Abbildungen der Ebene in die Ebene. Weiter kann sogar gezeigt werden, dass die Begriffe holomorph und analytisch äquivalent sind. Für weitere äquivalente Charakterisierungen siehe Holomorphe Funktion#Holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher.

Die Funktion , ist holomorph, denn ihr Realteil und ihr Imaginärteil sind reell differenzierbar und es gilt

,

.

Man kann die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen auch in anderen Koordinaten als den kartesischen darstellen. Im Folgenden wird die Darstellung in Polarkoordinaten erläutert. Eine Darstellung einer komplexen Zahl in Polarform ist . Dies führt dazu, dass man die partiellen Ableitungen von nach beziehungsweise zu betrachten hat. Für diese gilt

Daraus folgt mit :

Da beide Klammern verschwinden müssen, gilt:

und

Dies sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in Polarkoordinaten.

Die komplexe Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist

Diese Form der Gleichung entspricht der Forderung, dass in der Matrixdarstellung der komplexen Zahlen die Jacobi-Matrix die folgende Struktur hat

mit

Die zu diesen Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern und nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum , dabei ist und , wobei der Skalierungsfaktor und der Drehwinkel ist. Diese Abbildung ist somit winkel- und orientierung streu; das heißt, der (orientierte) Winkel zwischen zwei Kurven in der Ebene bleibt erhalten. Funktionen, die die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen und deren Ableitung in keinem Punkt verschwindet, sind also konform.

Eine komplexe Zahl und ihre komplex konjugierte hängen mit Realteil und Imaginärteil mittels der Gleichungen

zusammen.

Aufgrund dieses Zusammenhangs erscheint es sinnvoll die Differentialoperatoren

zu definieren. Der Operator heißt Cauchy-Riemann-Operator, und der Kalkül dieser Operatoren wird Wirtinger-Kalkül genannt. Mit der komplexen Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen aus dem vorigen Abschnitt erhält man die Gleichung

Hier konnte die partielle Ableitung nach der komplex konjugierten Variable identifiziert werden. Die Gleichung

bzw.

ist eine alternative Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und bedeutet, dass wenn holomorph ist, es unabhängig von sein muss. Somit können analytische Funktionen als wirkliche Funktionen einer komplexen Variable anstatt einer komplexen Funktion von zwei reellen Variablen angesehen werden.

Seien und Funktionen wie im Abschnitt „Isomorphie zwischen der reellen Ebene und den komplexen Zahlen". Dann sind und harmonische Funktionen, falls holomorph ist. Dann sind nämlich und zweimal stetig differenzierbar (sie sind sogar glatt) und erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Beispielsweise für folgt dann mit dem Satz von Schwarz

also mit dem Laplace-Operator . Eine analoge Rechnung gilt für und ergibt .

Aus dem Lemma von Weyl folgt, dass jede Distribution , die die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen im distributionellen Sinn löst, regulär sein muss. Daher sind also auch distributionelle Lösungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen holomorphe Funktionen.[5]

Diese Interpretation verwendet nicht direkt komplexe Variablen. Es sei eine Funktion gegeben mit . Die skalaren Felder und sollen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen (beachte andere Vorzeichenkonvention):

Betrachte nun das Vektorfeld als reeller dreikomponentiger Vektor:

Dann beschreibt die erste Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung die Quellen freiheit:

und die zweite Gleichung beschreibt die Rotations freiheit:

Somit ist quellenfrei und besitzt ein Potential. In der Strömungslehre beschreibt solch ein Feld eine zweidimensionale Potentialströmung.

Inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung in einer Veränderlichen

Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung hat die Darstellung

dabei ist der Cauchy-Riemann-Operator, ist eine gegebene Funktion und ist die gesuchte Lösung. Dass den oben definierten homogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen entspricht, wird weiter oben im Artikel schon angesprochen. Die Theorie der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung ist für Lösungen in verschieden von Lösungen in mit und wird hier in zwei unterschiedlichen Abschnitten angerissen.

Fundamentallösung

Für Dimension ist die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators durch gegeben. Das heißt, die durch die Funktion erzeugte Distribution löst die Gleichung , wobei die Delta-Distribution ist. Sei eine glatte Testfunktion mit kompaktem Träger, dann sieht man die Gültigkeit der Aussage aufgrund

Inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung in mehreren Veränderlichen

Im Folgenden sei die Dimension des zugrundeliegenden Raum beziehungsweise die Anzahl der Komponenten einer Funktion.

Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung hat in mehreren Veränderlichen ebenfalls die Darstellung

dabei ist der Dolbeault-Quer-Operator, ist eine gegebene - komplexe Differentialform mit kompaktem Träger und ist die gesuchte Lösung. Explizit bedeutet dies, dass das System

von partiellen Differentialgleichungen für gelöst werden muss. Der Differentialoperator ist der Cauchy-Riemann-Operator.

Für ist die Voraussetzung notwendig. Man sieht dies, wenn man auf beiden Seiten der Gleichung den Dolbeault-Quer-Operator anwendet. So erhält man nämlich , da für den Dolbeault-Operator auf Differentialformen gilt, muss gelten. Da eine (0,1)-Form ist, bedeutet nicht, dass eine holomorphe Differentialform ist, denn nur (p,0)-Formen, die diese Gleichung erfüllen, heißen holomorph.

Sei eine (0,1)-Form mit und . Dann existiert eine Funktion , so dass die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung erfüllt ist.

Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie. 1. Band. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67641-4 (Springer-Lehrbuch).

Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. 2. revised edition. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-7204-2450-X (North-Holland mathematical Library, 7).

1. L. Euler: Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. In: Nova Acta Acad. Sci. Petrop.. 10, 1797, S. 3-19.

2. A.L. Cauchy: Mémoire sur les intégrales définies. In: Oeuvres complètes Ser. 1. 1, 1814, S. 319-506.

3. B. Riemann: Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In: pdf. August.

4. Otto Forster: Riemannsche Flächen (= Heidelberger Taschenbücher 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1, S. 174.

# data[].attributes.attachment_link.description
Die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen (auch: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen oder Cauchy-Riemann-Gleichungen) im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind ein System von zwei partiellen Differentialgleichungen zweier reell-wertiger Funktionen. Sie schlagen eine Brücke von den reell-differenzierbaren Funktionen zu den komplex-differenzierbaren der (komplexen) Funktionentheorie . Zum ersten Mal tauchen sie 1752 bei d'Alembert auf.

# data[].attributes.headline
Die riemannsche Geometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie. In dieser Theorie werden die geometrischen Eigenschaften einer riemannschen Mannigfaltigkeit untersucht. Dies sind glatte Mannigfaltigkeiten mit einer Art Skalarprodukt. Mit Hilfe dieser Funktion kann man Winkel, Längen, Abstände und Volumen messen.

# data[].attributes.subject
Die riemannsche Geometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie. In dieser Theorie werden die geometrischen Eigenschaften einer riemannschen Mannigfaltigkeit untersucht. Dies sind glatte Mannigfaltigkeiten mit einer Art Skalarprodukt. Mit Hilfe dieser Funktion kann man Winkel, Längen, Abstände und Volumen messen.

# data[].attributes.body
Die Grafik illustriert einen Kartenwechsel der Karten (U, phi) und (V, psi ). Der große Kreis symbolisiert den topologischen Raum und die zwei unteren kleineren Kreise symbolisieren Teilmengen des R^n.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Die riemannsche Geometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie und wurde nach Bernhard Riemann benannt. In dieser Theorie werden die geometrischen Eigenschaften einer riemannschen Mannigfaltigkeit untersucht. Dies sind glatte Mannigfaltigkeiten mit einer Art Skalarprodukt. Mit Hilfe dieser Funktion kann man Winkel, Längen, Abstände und Volumen messen.

Die ersten Arbeiten der Differentialgeometrie gehen auf Carl Friedrich Gauß zurück. Er begründete die Theorie der gekrümmten Flächen, die im dreidimensionalen Raum eingebettet sind. Die riemannsche Geometrie erhielt ihren entscheidenden Anstoß 1854 in Riemanns Habilitationsvortrag mit dem Titel „Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen". In dieser Arbeit führte er die riemannschen Metriken ein, die später nach ihm benannt wurden. Im Gegensatz zu Gauß betrachtete er nicht nur Flächen, sondern höherdimensionale, gekrümmte Räume. Diese Räume waren jedoch immer noch in einen euklidischen Raum eingebettet. Die abstrakte topologische Definition von differenzierbaren und damit insbesondere von riemannschen Mannigfaltigkeiten wurde erst in den 1930er Jahren von Hassler Whitney entwickelt. Besonders bekannt ist die Aussage, dass jede differenzierbare Mannigfaltigkeit eingebettet werden kann. Dieses Resultat ist heute unter dem Namen Einbettungssatz von Whitney bekannt.

Riemanns Ideen wurden in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts durch Elwin Bruno Christoffel ( kovariante Ableitung, Christoffelsymbole) und im Rahmen des Tensorkalküls von Gregorio Ricci-Curbastro und Tullio Levi-Civita weiterentwickelt.

Auftrieb erhielt die Theorie durch die allgemeine Relativitätstheorie von Albert Einstein (1916), deren Grundlage die pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten sind. In diesem Zusammenhang wurde die Theorie insbesondere von Hermann Weyl und Élie Cartan weiterentwickelt, die die Rolle affiner Zusammenhänge und des Paralleltransports herausstellten.

Das zentrale Objekt der riemannschen Geometrie ist die riemannsche Mannigfaltigkeit. Dies ist eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer Abbildung , die in jedem Punkt ein Skalarprodukt des Tangentialraums definiert, das heißt eine positiv definite, symmetrische Bilinearform

Mit Hilfe dieser riemannschen Metrik erhält man wie in üblichen Vektorräumen mit Skalarprodukt die Begriffe der Bogenlänge, des Abstands und des Winkels.

Eine Abbildung zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten, die die riemannsche Metrik erhält (und damit auch die Längen und Winkel von Tangentialvektoren und die Länge von Kurven), heißt riemannsche Isometrie. So eine Abbildung braucht jedoch nicht den Abstand zwischen Punkten zu erhalten und ist deshalb im Allgemeinen keine Isometrie im Sinn der metrischen Räume.

Ein weiteres durch die riemannsche Metrik induziertes Objekt ist die riemannsche Volumenform. Diese ermöglicht es, Volumen auf Mannigfaltigkeiten zu messen, und ist deshalb zentraler Bestandteil der Integrationstheorie auf orientierten riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Da auf ( zusammenhängenden) riemannschen Mannigfaltigkeiten ein Abstand definiert ist, kann man auch das Konzept der Vollständigkeit übertragen. Der Satz von Hopf-Rinow ist dabei zentral. Er besagt unter anderem, dass die verallgemeinerte (geodätische) Vollständigkeit auf der Mannigfaltigkeit äquivalent zur Vollständigkeit als metrischer Raum ist. Eine andere wichtige Aussage ist der Einbettungssatz von Nash. Analog zum Einbettungssatz von Whitney sagt er, dass man jede riemannsche Mannigfaltigkeit in einen genügend großer Dimension einbetten kann. Jedoch im Vergleich zum Einbettungssatz von Whitney macht er eine stärkere Aussage, denn er besagt weiter, dass die Einbettung Längen und Winkel erhält. Einbettung heißt hier, dass die Mannigfaltigkeit als Teilmenge des verstanden werden kann.

Neben den metrischen Eigenschaften interessiert man sich in der riemannschen Geometrie für Krümmungsgrößen. In der Theorie der Flächen wurde schon vor Riemanns Arbeiten die Gaußkrümmung untersucht. Bei höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten ist die Untersuchung der Krümmung komplexer. Zu diesem Zweck wurde der riemannsche Krümmungstensor eingeführt. Mit Hilfe dieses Tensors definiert man die Schnittkrümmung, diese kann als Verallgemeinerung der Gaußkrümmung verstanden werden und ist der wichtigste Krümmungsbegriff der riemannschen Geometrie, der insbesondere in der Vergleichstheorie Anwendung findet. Lineare Zusammenhänge auf Vektorbündeln spielen ebenfalls eine wichtige Rolle in der Krümmungstheorie, insbesondere schon für die Definition des riemannschen Krümmungstensors. Auf riemannschen Mannigfaltigkeiten gibt es einen eindeutigen linearen Zusammenhang, der torsionsfrei und mit der riemannschen Metrik verträglich ist. Diese Aussage wird oftmals als Hauptsatz der riemannschen Geometrie bezeichnet. Der entsprechende Zusammenhang heißt Levi-Civita-Zusammenhang.

In der riemannschen Geometrie gibt es einige Aussagen, die man traditionell als Vergleichssätze bezeichnet. Bei diesen Aussagen untersucht man zum Beispiel riemannsche Mannigfaltigkeiten, deren Schnittkrümmung oder Ricci-Krümmung nach oben oder nach unten beschränkt ist. So macht zum Beispiel der Satz von Bonnet eine Aussage über Mannigfaltigkeiten, deren Schnittkrümmung durch eine positive Zahl nach unten beschränkt ist. Eine stärkere Aussage ist der Satz von Myers, der die gleiche Aussage aus der schwächeren Bedingung der durch eine positive Zahl nach unten beschränkten Ricci-Krümmung ableitet. Der Satz von Cartan-Hadamard hingegen zeigt einen Zusammenhang zwischen Mannigfaltigkeiten mit nicht negativer Schnittkrümmung und deren universellem Überlagerungsraum auf. Einer der wichtigsten Vergleichssätze in der riemannschen Geometrie ist der Sphärensatz. Dieser besagt, dass kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeiten, für deren Schnittkrümmung die Ungleichung gilt, homöomorph zur Sphäre sind.

P. Petersen: Riemannian geometry, Second Edition, Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-29403-1

Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8

Marcel Berger: A panoramic view of Riemannian geometry. Springer-Verlag, Berlin, 2003, ISBN 3-540-65317-1

Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: Riemannian Geometry (Second Edition), Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52401-0

Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, vieweg Lehrbuch, 1995, ISBN 3-528-06565-6

Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2006, ISBN 3-8274-1356-7

Siegfried Kästner: Vektoren, Tensoren, Spinoren, Akademie Verlag, Berlin 1964

# data[].attributes.attachment_link.description
Die riemannsche Geometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie und wurde nach Bernhard Riemann benannt. In dieser Theorie werden die geometrischen Eigenschaften einer riemannschen Mannigfaltigkeit untersucht. Dies sind glatte Mannigfaltigkeiten mit einer Art Skalarprodukt. Mit Hilfe dieser Funktion kann man Winkel, Längen, Abstände und Volumen messen.

# data[].attributes.body
Riemannsche Flächen sind die einfachsten geometrischen Objekte, die lokal die Struktur der komplexen Zahlen besitzen.