# data[].attributes.body
Térfogat:T*m:3
Felszín:T+P

# data[].attributes.body
https://zanza.tv/matematika/geometria/amit-gularol-tudni-erdemes

# data[].attributes.attachment_link.description
Ebből a tanegységből megtanulod, hogyan kell kiszámolni a gúla térfogatát és felszínét, valamint azt is, hogyan értelmezzük egy egyenes és egy sík, illetve két sík hajlásszögét.

# data[].attributes.body
Térfogat:a3
Felszín:6*a²

# data[].attributes.body
Térfogat:a*b*c
Felszín:2*(ab+ac+bc)

# data[].attributes.body
Térfogat:2r ² π + 2rπm
Felszín:2T + P

# data[].attributes.body
Térfogat:t*m:3
Felszín: r ² π + rπa

# data[].attributes.body
Térfogat: T*m
Felszín:2*T + K*m

# data[].attributes.body
Térfogat:4*r3*π:3

Felszín:4*r2*π

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
A henger a természetben és a használati tárgyaink között is gyakori test. Térgeometriai feladatokban szintén sokszor találkozhatsz ezzel a mértani testtel. Ebben az anyagban a henger alakú testek felszínét és térfogatát számoljuk ki. A henger lehet egyenes és ferde, de ha nem hangsúlyozzuk ki, hogy a test ferde, akkor egyenes hengerre gondolj! Az egyenes körhenger, forgáshenger, henger kifejezéseket egymás szinonimáiként használjuk.
Egy henger kiterített palástja 20 cm oldalú négyzet. Mekkora a felszíne és a térfogata?
A palást egyik oldala a henger magassága, másik oldala az alaplap kerülete. Mindkettő 20 cm-es. Először az alapkör sugarát számoljuk ki. A $\pi $ irracionális szám, 3,14-ra kerekítjük. A henger térfogatát és felszínét ugyanúgy kell kiszámolni, mint a hasábét, hiszen mindkettő hengerszerű test. A henger alaplapja kör, emiatt a képleteket átalakíthatjuk. A sugár kiszámítása után minden szükséges adatot ismerünk, csak a behelyettesítéseket kell elvégezni.
Egy henger alakú lábas alapkörének átmérője 20 cm, magassága 15 cm. Belefér-e 4 liter húsleves? Az egyenes körhenger térfogatát kell meghatároznunk. A kör átmérőjének a fele a képletekben szereplő sugár. Az adatok cm-ben vannak megadva. Ha ezekkel számolunk, a térfogat mértékegysége ${cm^3}$ lesz. Tudod, hogy 1 l hány ${cm^3}$? Talán emlékszel még általános iskolából: az 1 dm élű kocka űrtartalma 1l. Ez azt jelenti, hogy 1 l éppen 1 ${dm^3}$, ami 1000 ${cm^3}$. Az edény 4,7 literes, tehát belefér a 4 l húsleves.
Kör alakú, 3,5 m átmérőjű, 1 m mély medencénket szeretnénk 80 cm magasságig megtölteni vízzel. Mennyi ideig fog ez tartani, ha a csapból 1 perc alatt 40 l víz folyik ki?
Ismét egy henger alakú használati tárgy! Ismerjük az átmérőjét és a magasságát. Nekünk a 80 cm magas vízmennyiség térfogatára van szükségünk, ezért az ábrán a henger magassága 80 cm. A cm-t átváltjuk méterbe. Alkalmazzuk a henger térfogatképletét! Az eredményt ${m^3}$-ben kaptuk meg, átváltjuk literbe. Minél hosszabb ideig van nyitva a csap, annál több víz folyik a medencébe. Az idő és a csapból kifolyó víz mennyisége egyenesen arányosak. Azt kaptuk, hogy a medence több mint 3 óra alatt telik meg.
Mekkora a tömege annak az 5 m-es rézcsőnek, aminek a külső átmérője 16 mm és a falvastagsága 1 mm? A réz sűrűsége $8960{\rm{ }}\frac{{kg}}{{{m^3}}}$. A tömeg a sűrűség és a térfogat szorzata, így tanultad fizikaórán. A cső térfogata két henger térfogatának a különbsége. A nagyobb alapkörének a sugara a külső átmérő fele, a kisebbé 1 mm-rel kevesebb. A mértékegységek nem maradhatnak így. Célszerű minden távolságot cm-be váltani! A sűrűséget pedig számoljuk át $\frac{{kg}}{{c{m^3}}}$-be! $1{\rm{ }}{m^3}$1000∙1000, vagyis $1 000 000{\rm{ }}{cm^3}$, ezért osztani kell 1 000 000-val. A térfogatot gyorsabban kiszámolhatjuk, ha a különbségben kiemeljük a közös tényezőket. A mértékegységek most már rendben vannak, kg-ban kapjuk meg az eredményt. Az 5 m-es rézcső kicsit több mint 2 kg.
Egy fekvő henger alakú víztartály a függőleges átmérőjének a$\frac{3}{4}$ részéig van vízzel. Mennyi víz van benne, ha a henger alapkörének sugara 50 cm, a tartály hossza, azaz a henger magassága 120 cm?
A hengernek az a része, amiben víz van, egyenes hengerszerű test. A térfogatát úgy számoljuk ki, hogy az alapterületét megszorozzuk a magasságával. Vizsgáljuk meg az alaplapot! Ez egy körszelet, ami egy háromszögből és egy körcikkből áll.
A terület kiszámításához szükségünk van az $\alpha $-val jelölt szögre. Ezt szögfüggvénnyel tudjuk meghatározni. Ismerjük a szög melletti befogót és az átfogót. A kettő hányadosa a szög koszinusza.
A háromszög területét a trigonometrikus területképlettel számoljuk ki. A körcikk területe egyenesen arányos a középponti szögével. De mekkora a középponti szög, ami nekünk kell? A 120 fokos szöget kiegészíti 360 fokra, vagyis 240 fokos. A hengerszerű test alaplapjának területét ezzel meghatároztuk. Megszorozzuk a test magasságával, és már készen is vagyunk. Körülbelül 758 liter víz van a tartályban.
Az egyenes körhenger térfogatát és felszínét érdemes kívülről megtanulni. Akár még a hétköznapokban is hasznát veheted ezeknek a képleteknek! A hengerszerű testekre vonatkozó összefüggéseket is tartsd fejben!

# data[].attributes.attachment_link.description
A henger a természetben és a használati tárgyaink között is gyakori test. Térgeometriai feladatokban szintén sokszor találkozhatsz ezzel a mértani testtel. Ebben az anyagban a henger alakú testek felszínét és térfogatát számoljuk ki. A henger lehet egyenes és ferde, de ha nem hangsúlyozzuk ki, hogy a test ferde, akkor egyenes hengerre gondolj!

# data[].attributes.attachment_link.description
Ebből a tanegységből megtanulod, hogyan kell kiszámolni a kúp térfogatát, az egyenes kúp felszínét és nyílásszögét.

# data[].attributes.attachment_link.title
Kúp: térfogat és felszín - online számítás, képletek

# data[].attributes.attachment_link.description
Nem szereti a reklámokat? Mi sem, viszont a hirdetési bevételek lehetővé teszik a weboldalaink működését és az ingyenes szolgáltatás nyújtást látogatóinknak. Kérjük, gondolja át, hogy esetleg ezen a weben engedélyezné a letiltott hirdetéseket. Köszönjük.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Előzetes tudás

Tanulási célok

Narráció szövege

A hasábok olyan testek, amelyeknek az alaplapja és a fedőlapja 2 egybevágó sokszög. Oldallapjai téglalapok, ekkor a hasáb egyenes; vagy paralelogrammák, ekkor a hasáb ferde. Vizsgáljuk meg, hogyan lehet kiszámítani a hasábok felszínét és térfogatát!
Egy test felszíne a határoló felületek területének az összege. A térfogat definíciója kicsit összetettebb. Minden testhez egyértelműen hozzárendelhető a térfogata, ami nemnegatív szám. A térfogat 3 tulajdonsággal rendelkezik, ezek a következők: Az egységnyi oldalélű kocka térfogata egy. Ha két test egybevágó, akkor a térfogatuk is egyenlő. Végül: ha egy testet részekre bontunk, akkor a részek térfogatának összege egyenlő az eredeti test térfogatával.
Első feladatunk egy kockára vonatkozik. Ismerjük a lapátlóját. Számoljuk ki a felszínét, a térfogatát és a testátlóját!
Első lépésként a kocka élét kell kiszámolni. Ha egy derékszögű háromszögben keresed valamelyik oldalt, mindig jusson az eszedbe Pitagorasz tétele.
A kocka felszínére és térfogatára vonatkozó összefüggéseket már általános iskolában is tanultad. Behelyettesítünk az ismert képletekbe. Az eredményt általában elég századra kerekítve megadni.
A kocka testátlóját is Pitagorasz tételével tudjuk kiszámolni, mert a testátló, a lapátló és egy oldalél derékszögű háromszöget alkot. Számoljuk ki azt is, hogy a testátló és a lapátló mekkora szöget zárnak be egymással! Az ABC derékszögű háromszög C csúcsnál levő szögét keressük. Ismerjük az oldalait. A keresett szöget számoljuk ki például a szinusz szögfüggvénnyel! A szögfüggvény értékét 4 jegy pontossággal írjuk le. A kockák mind hasonlók egymáshoz, ezért a testátló és a lapátló hajlásszöge minden kocka esetén közelítőleg 35 fok.
Egy szabályos hatszög alapú egyenes hasáb alapéle 10 cm, térfogata $3000{\rm{ }}c{m^3}$. Mekkora a test felszíne?
A hasábok térfogata az alaplap területének és a test magasságának a szorzata. A felszín pedig ebben az esetben két szabályos hatszög és hat téglalap területének az összege. A téglalapok területéhez ismernünk kell a hasáb magasságát. Ezt a térfogatból tudjuk kiszámolni. Először meghatározzuk az alapterületet. A szabályos hatszög 6 darab szabályos háromszögből áll. Egy ilyen háromszög területe kiszámolható az $\frac{{\left( {a{}^2 \cdot \sin \alpha } \right)}}{2}$ összefüggés alapján. A térfogat és az alapterület ismeretében meg tudjuk határozni a test magasságát. A palást egy olyan téglalapnak tekinthető, aminek az egyik oldala az alaplap kerülete, a másik oldala a test magassága. A megoldás közben használt térfogat- és felszínképlet minden hasábra érvényes.
Egy folyó mellett új gátat építenek. A gát magassága 5 m. A koronája, vagyis a teteje 5 m széles, az alapja pedig 35 m széles. Hány ${m^3}$ föld kell a gát 1 km hosszú szakaszának elkészítéséhez?
A gát tulajdonképpen egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb, csak az oldalélek nem függőlegesek, hanem vízszintesek. A geometriai feladatok megoldásának egyik kulcsa a jó ábra. Először csak a trapézt rajzoljuk meg, felvesszük az adatokat. Az alaplap területe a trapéz területképletével határozható meg.
Figyelj! A test magasságát, vagyis a gát hosszát nem jelölhetjük m-mel, mert az már foglalt. Legyen M! A mértékegységekre is figyelni kell! A hasáb térfogata egyenlő az alapterület és a magasság szorzatával. Azt kaptuk, hogy $100000{\rm{ }}{m^3}$ földre van szükség a gát 1 km-es szakaszának megépítéséhez.
A lakás festését sok családban házilag végzik. Most egy négyszer öt méteres szobát kell kifesteni. A helyiség magassága 2,3 m. Mennyi festékre van szükség a munka elvégzéséhez, ha 1 l festék $8{\rm{ }}{m^2}$ felületre elég? Az ajtó és ablak területe együtt $3{\rm{ }}{m^2}$, a mennyezetet is befestjük. Az eredmény egész szám legyen!
A szoba téglatest alakú, ismerjük az éleit. Készítsünk ábrát és jegyezzük le az adatokat!
Befestjük a téglatest határoló lapjait, azaz a felületét. Lényegében tehát a felszínt kell kiszámolni, egy kis módosítással. A padlót ugyanis nem festjük be, ezt a lapot nem kell beleszámítani. Négy oldalfal van és a plafon. El ne felejtsük az összegből kivonni az ablak és az ajtó területét! Az eredményt elosztjuk 8-cal, mert 1 l festék $8{\rm{ }}{m^2}$ falra elég. 7,3 l festék elég lenne, de 8 litert kell venni.

Kapcsolódó fogalmak

Ajánlott irodalom

# data[].attributes.attachment_link.description
Előzetes tudás Tanulási célok Narráció szövege A hasábok olyan testek, amelyeknek az alaplapja és a fedőlapja 2 egybevágó sokszög. Oldallapjai téglalapok, ekkor a hasáb egyenes; vagy paralelogrammák, ekkor a hasáb ferde. Vizsgáljuk meg, hogyan lehet kiszámítani a hasábok felszínét és térfogatát! Egy test felszíne a határoló felületek területének az összege.