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Já que estamos numa altura de isolamento, aconselhamos alguns filmes relacionados com a matemática:

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Já que estamos numa altura de isolamento, aconselhamos alguns filmes relacionados com a matemática:

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-O Jogo da Imitação (The Imitation Game)
-Uma Mente Brilhante (A Beautiful Mind)
-O Homem que Viu o Infinito (The Man Who Knew Infinity)
-Estrelas Além do Tempo (Hidden Figures)
-Génio Indomável (Good Will Hunting)
-21
-O Homem que Mudou o Jogo (Moneyball)
-A Prova (Proof)
-Rain Man
-PI

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Gerbert, geômetra famoso, foi arcebispo de Ravena e subiu à Cátedra de São Pedro no ano 999. Considerado um dos mais sábios do seu tempo, chamou-se Papa Silvestre II. Foi o primeiro a vulgarizar no Ocidente latino o emprego dos algarismos arábicos.

Além da matemática, dedicou-se ao estudo da astronomia, física, bem como outras ciências, sob o domínio Muçulmano na Espanha. Faleceu em 1003.

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Correção da Questão-aula  06/03/2020 parte 1

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Correção da Questão-aula  06/03/2020 parte 1

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Correção da Questão-aula  06/03/2020 parte 2

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Correção da Questão-aula  06/03/2020 parte 2

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Tom London: Magician Mystifies Crowd With Tech Magic - America's Got Talent 2017

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Trata-se de uma medalha concedida para pessoas que fizeram contribuições relevantes para as ciências matemáticas. Também conhecida como "Medalha Internacional de Descobrimentos Proeminentes em Matemática", a Medalha Fields é concedida a cada quatro anos, no Congresso Internacional da União Internacional de Matemática (IMU), a dois, três ou quatro matemáticos, normalmente com até 40 anos de idade. Para muitos, é a maior honra que um matemático pode receber, sendo comparada com um "Prémio Nobel".

A primeira medalha foi entregue em 1936, para o matemático finlandês Lars Ahlfors e o matemático norte-americano Jesse Douglas. A ideia é reconhecer e apoiar jovens pesquisadores matemáticos, que contribuíram de forma significativa para este campo da ciência.

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Pedro Correia/Global Imagens

Pedro Correia/Global Imagens

Porque é que esta pandemia se tornou exponencial? O que é que os números de Itália, Espanha ou França dizem sobre o que nos pode acontecer? O matemático Jorge Buescu explica como se fazem as contas.

O Coronavírus está na mente de todos nós de forma obsessiva. É uma ameaça não comparável a qualquer outra que, em tempo de nossas vidas, enfrentámos; um inimigo invisível que ataca de forma insidiosa, que se propaga exponencialmente, e que mata. Neste artigo irei tentar mostrar por que é que o Coronavírus é tão perigoso, e por que temos em Portugal um horizonte extremamente curto para tentar reagir e colocar em vigor medidas de excepção, que devem ir do estado de sítio a um reforço de emergência dos meios nos serviços de saúde. Temos essencialmente uma semana para tomar medidas drásticas e radicais. Cada dia que passa sem as tomarmos irá medir-se, em muito pouco tempo, num aumento enorme no número de mortos.

A epidemiologia estuda a forma de propagação de doenças contagiosas. Tratando-se de números, a Matemática tem de intervir. Ora, tal como acontece em Meteorologia ou em Climatologia, a situação é a de estarmos de posse dos dados numéricos actuais e de pretendermos conhecer a evolução futura: no caso da Meteorologia, se vai chover ou fazer sol na próxima semana; no caso da epidemiologia, o que devemos esperar da evolução de uma doença, como é o caso deste vírus. Em resumo: de posse dos dados presentes, queremos prever o futuro.

A situação em Portugal vai piorar muito antes de começar a melhorar. Mas para melhorar temos de agir. Cada dia que passa sem nada fazermos é um dia, dentro de duas semanas, com mais mortos desnecessários.

Isso é feito através de modelos matemáticos. Em ambos os casos existem leis matemáticas que regem os fenómenos e que se traduzem em equações diferenciais. Resolver essas equações diferenciais, que em geral tem de ser feito por métodos computacionais, permite-nos conhecer a evolução futura dos fenómenos em avanço. É assim que é realizada a previsão numérica do tempo, em Meteorologia, que nos dá todos aqueles mapas de tempo maravilhosos a que acedemos no telemóvel; as leis relevantes são as leis de Newton aplicadas à dinâmica da atmosfera. E é assim que acontece também em Epidemiologia, em que as leis matemáticas são genericamente designadas por "modelos de compartimentos", dos quais o primeiro e mais comum é o modelo SIR, formulado em 1927 por Kermack e McKendrick.

Os modelos de compartimentos formulam lei matemáticas que modelam o comportamento dinâmico de uma doença dentro de uma população. O nome SIR descreve esta mesma ideia: numa população, S é o número de pessoas Susceptíveis de ser infectadas, I o de pessoas infectadas, R o de Recuperadas. Cada um destes grupos é um compartimento, mas eles não são estanques: os números dependem do tempo. A doença infecta os susceptíveis, tornando-os infectados; e os infectados eventualmente acabarão por recuperar (ou não; já lá iremos). A dinâmica da propagação é então dada pelo esquema de compartimentos:

Este esquema traduz-se num sistema de três equações diferenciais, cujas soluções descrevem a doença ao longo do tempo e nos permitem saber o que vai acontecer. Uma solução típica do modelo SIR mostra-se abaixo (retirado da Wikipedia).

Note-se que aqui os susceptíveis estão representados a azul, os infectados a verde e os recuperados a vermelho. No caso representado, inicialmente toda a população é susceptível: não existe imunidade. A introdução de um infectado e dos contactos sociais faz com que a doença se propague (verde). Passado algum tempo, começam a surgir recuperados (vermelho). A doença acabará por ter um pico, acabando por regredir à medida que a população construir imunidades de grupo.

Para imunidade zero (como é o caso do Coronavírus), a fase inicial da propagação é necessariamente exponencial. Este facto não é discutível; é uma propriedade matemática das soluções do modelo SIR e pode ser considerado uma lei epidemiológica. Foi assim particularmente penoso assistir ao discurso errático dos nossos responsáveis de saúde a este respeito.

É fundamental notar que estas curvas dependem crucialmente de parâmetros que variam radicalmente de doença para doença: taxa de propagação, tempo de incubação e de recuperação, etc.

Note-se também que, para imunidade zero (como é o caso do Coronavírus), a fase inicial da propagação é necessariamente exponencial. Este facto não é discutível; é uma propriedade matemática das soluções do modelo SIR e pode ser considerado uma lei epidemiológica. Foi assim particularmente penoso, porque com consequências potencialmente dramáticas, assistir esta semana ao discurso errático dos nossos responsáveis de saúde a este respeito, que só pode ser considerado um verdadeiro estado de negação.

A fase inicial da propagação é assim de crescimento exponencial, até que surge um momento de abrandamento - em termos matemáticos chamado ponto de inflexão - em que o crescimento abranda, sinalizando a existência de um pico no horizonte. Neste gráfico ele estará perto do ponto x=13.

No caso do coronavírus, que era até há dois meses desconhecido, estamos a dar os primeiros passos na estimação dos parâmetros. Neste momento ninguém sabe, nesta fase europeia, onde se situa o pico: não há dados para o afirmar. Não há ponto de inflexão à vista: estamos ainda na fase exponencial da curva verde, e ninguém sabe exactamente em que ponto nem até quando esta durará.

O modelo SIR pode ser refinado em função da doença: com novos compartimentos (por exemplo E (expostos) ou D (mortos), ou com outras dinâmicas (outras setas no diagrama: por exemplo se houver reinfecções). Mas em qualquer dos casos, para imunidade zero a dinâmica inicial é sempre dada pela fase inicial da curva verde: uma exponencial.

É exactamente esta a situação em que estamos na Europa com o coronavírus.

Quando o vírus surgiu na Europa o surto na China já tinha ocorrido. Sabemos já algumas coisas importantes sobre o vírus. Infelizmente, elas indicam que ele terá muito mais gravidade na Europa do que na China.

Eis algumas das conclusões que a missão da OMS em Wuhan descobriu em Fevereiro. O coronavírus tem uma taxa de contágio diferenciada em função da idade, propagando-se mais facilmente em faixas etárias mais avançadas. Para piorar as coisas, a taxa de mortalidade é crescente com a faixa etária, sendo residual na faixa 0-9 anos e crescendo até 15% dos infectados na faixa de 80 ou mais. Eis os dados da OMS.

Estes resultados devem ser lidos da seguinte forma: a segunda coluna dá a percentagem dos infectados que pertence à faixa etária em questão (por exemplo, entre todos os infectados, 8,4% tinham entre 20 e 29 anos). A terceira coluna diz qual é a percentagem que, nos infectados dessa faixa etária, morreu. A mortalidade do surto de Wuhan, calculada em 20 de Fevereiro pela OMS, foi de 3,8%.

57% da população europeia está concentrada na faixa acima de 40 anos, em que tanto a susceptibilidade à infecção como a sua mortalidade disparam. Devemos portanto esperar para fase europeia da epidemia tanto uma maior taxa de contágio como uma muito maior mortalidade. Ou seja, que o surto seja muito mais grave do que o de Wuhan.

A demografia europeia tem, infelizmente para nós, uma estrutura completamente diferente da de Wuhan. Esta região tem uma percentagem dominante de jovens; 60% da população está abaixo dos 39 anos. A Europa é, como sabemos, um continente muito mais envelhecido. No caso português, a população na faixa dos 0 aos 39 anos é 43% (dados do INE). Significa pois que 57% da população está concentrada na faixa acima de 40 anos, em que tanto a susceptibilidade à infecção como a sua mortalidade disparam. Devemos portanto esperar para fase europeia da epidemia tanto uma maior taxa de contágio como uma muito maior mortalidade. Ou seja, é de esperar que o surto na Europa seja muito mais grave do que o de Wuhan.

Infelizmente, é exactamente isto que estamos a observar. Reproduzo aqui gráficos com a evolução do número infectados em quatro países europeus em fase avançada do surto: Itália, França, Alemanha e Espanha ao dia de ontem (14 de Março). Os dados foram retirados daqui, onde podem ser seguidos em tempo real.

Só olhando para as curvas podemos verificar que, em todos os casos, a evolução é exponencial. Como físico de formação e matemático de profissão, devo dizer que nunca na minha carreira de mais de 30 anos um ajuste mais exacto entre pontos experimentais e uma curva prevista teoricamente, neste caso a exponencial prevista pelo modelo SIR. Com um ajuste comparável só talvez as curvas de decaimento radioactivo dos núcleos atómicos.

Uma primeira conclusão é que, independentemente das retóricas dos dirigentes políticos de cada um destes países, está a acontecer exactamente a mesma coisa em todos eles. O coronavírus é indomável e está a crescer exponencialmente em todos os países afectados. A única diferença entre estes é que ele surgiu, e explodiu, primeiro em Itália, que portanto está numa fase mais avançada. Analisando os dados, concluímos que a Espanha está neste momento com 7-8 dias de atraso em relação a Itália, a Alemanha e a França com 8-9 dias.

O facto de os números diários serem públicos é uma informação preciosa, e não permite que a realidade seja ocultada por políticos negacionistas (como Trump ou Boris Johnson fizeram até há pouco) ou por comissários políticos. Qualquer pessoa que saiba fazer as contas as pode fazer. A disponibilidade dos dados permite-nos calcular os parâmetros de cada uma das curvas, o que permite prever a evolução diária. Assim, é possível calcular as taxas de crescimento de casos de infecção para cada um dos países. Apresentam-se os seus valores, a 14 de Março, para cada um dos países.

Este números são absolutamente assustadores. Note-se que são taxas de crescimento diárias. Para compreendermos bem o que significam estas taxas de crescimento exponencial, nos casos de Itália e da Alemanha correspondem a mais do que duplicar o número de infectados a cada quatro dias; no caso de França a mais do que duplicar a cada três dias; e no caso espanhol quase duplicar em dois dias. Note bem: duplicar em dois dias, todos os dois dias!

O caso espanhol é particularmente grave (e, portanto, particularmente preocupante para Portugal, pois é o único país com quem temos fronteira). Há uma semana Espanha tinha um atraso em relação a Itália semelhante ao de França e da Alemanha, entre 9 e 10 dias. Infelizmente não quis ver os sinais, esteve em negação e não tomou medidas a tempo. A exponencial não perdoa: com uma taxa de 39% já avançou em direcção ao abismo. Neste momento já está apenas a 7-8 dias de Itália, enquanto Alemanha e França estão, como foi referido, a 8-9 dias.

No momento em que escrevo estas linhas, Itália é, para sua desgraça, o verdadeiro tubo de ensaio da Europa. O que acontecer em Itália em função das medidas drásticas tomadas indicará o que vai acontecer nos outros países europeus. Ora as notícias que vêm de Itália não permitem, neste momento, grande optimismo. O ponto de inflexão referido na primeira secção deste artigo não está ainda à vista. Pelo contrário, parece uma miragem no deserto: de cada vez que, num dia, temos esperança de o vislumbrar, no dia seguinte ele esfuma-se e a exponencial esmaga-nos de novo, para nosso desespero. Aconteceu de 8 para 9 de Março e de 13 para 14 de Março.

Neste momento não há forma de prever quando irá parar a fase exponencial nem quando será o pico da doença. Ninguém sabe. Na Alemanha, Angela Merkel afirmou que a doença irá afectar 70% dos alemães. Não foi uma afirmação feita com ligeireza: de acordo com os modelos epidemiológicos não é apenas possível, como sem indicação em contrário - que neste momento não existe - é, a cada dia que passa, cada vez mais provável.

Não é exagero dizer que a Europa está a ser engolida por um tsunami.

O leitor está naturalmente ansioso por saber o que se passa em Portugal. Por tudo o que ficou para trás, não será surpresa se lhe disser que a nossa evolução é exponencial - aliás, e contrariamente ao que disseram os nossos responsáveis até ontem, sempre foi exponencial, como era inevitável pelas leis da epidemiologia. O leitor pode ver abaixo o gráfico, retirado daqui.

No dia de hoje (domingo) foi comunicado que o número de casos detectado em Portugal a 14 de Março foi de 245. Podemos portanto estimar os parâmetros da curva da evolução em Portugal. Com os dados disponíveis obtém-se uma taxa de progressão diária de 40,8%, superior portanto a de todos os outros países nesta comparação, e só comparável à de Espanha. Em números redondos, com esta taxa o número de novos casos vai duplicar a cada dois dias.

Não tenha o leitor a menor dúvida: está a aproximar-se de Portugal um gigantesco tsunami com um potencial de destruição humana inimaginável. Muitas pessoas ainda vivem como se estivéssemos numa calma expectativa de que talvez ele passe ao largo. Não tenha ilusões: ele está aí a rebentar, já esta semana.

Há 10 dias que faço projecções para Portugal tendo em conta os dados mais recentes. Infelizmente, as minhas estimativas têm-se revelado conservadoras e errado por defeito. Outra forma de dizer o mesmo é que a propagação tem todos os dias acelerado, talvez por as autoridades sanitárias estarem a perder o controlo da situação. Ontem mesmo saiu no Expresso um conjunto de três cenários, que já estavam ultrapassados na altura da publicação. Hoje publico apenas dois, pois o cenário "à italiana" lá publicado está fora de questão: deveríamos ter tomado as medidas italianas há uma semana.

A estimativa superior baseia-se na actual situação; a estimativa inferior baseia-se nos resultados que as medidas de mitigação parcial, adoptadas pelo Governo na sexta-feira, obteve nos países europeus analisados, particularmente Alemanha e França. Note-se, contudo, que se trata de um cenário muito conservador, talvez mesmo optimista, pois estas medidas demoram pelo menos uma semana a ter efeitos sensíveis. Assim, é provável que a evolução real esteja mais próxima do limite superior do que do inferior.

Não tenha o leitor a menor dúvida: está a aproximar-se de Portugal um gigantesco tsunami com um potencial de destruição humana inimaginável. Um tsunami invisível, e talvez por isso ainda mais perigoso: muitas pessoas ainda vivem como se estivéssemos numa calma expectativa de que talvez ele passe ao largo. Não tenha ilusões: ele está aí a rebentar, já esta semana.

Para piorar todo este cenário o tsunami do coronavírus encontra-nos muito mais impreparados do que aos nossos parceiros europeus e, portanto, em situação de muito maior fragilidade. No artigo The variability of critical care beds in Europe, os autores mostram que, em 2012, Portugal era o país da Europa com o menor números de camas de cuidados intensivos per capita da Europa, três vezes inferior ao de Itália e sete vezes inferior ao da Alemanha.

Portugal tinha, a esta data, 451 camas de cuidados intensivos; desde então, a situação pode ter melhorado ligeiramente mas não estruturalmente. Serão talvez 500 a 600 camas de UCI equipadas com ventilador, a maior parte das quais, naturalmente, já ocupadas com outros doentes.

Confronte-se então este número com o que nos espera nesta crise. A taxa de infectados por coronavírus que precisam de cuidados intensivos é de 5%. As minhas projecções indicam que, no dia 23/3, teremos um número de infectados da ordem de 3000. Teremos portanto 150 doentes a precisar de camas de cuidados intensivos. Com grande probabilidade não existe esse número de camas disponíveis em todo o País. E portanto, os serviços entrarão em colapso por falta de meios e os médicos terão de tomar, como já acontece em Itália há mais de uma semana, decisões de vida ou de morte, decidindo quem fica com o ventilador.

Escrevo estas linhas no dia 15 de Março. Dentro de muito poucos dias vão começar a aparecer os primeiros mortos. E o dia 23 está apenas a oito dias de distância.

Não, de forma nenhuma.

Por um lado, devido ao elevado período de incubação, só ao fim de uma semana se podem começar a sentir efeitos sensíveis. A Itália só agora está a começar a sentir os primeiros efeitos do estado de sítio que assumiu a 8 de Março. No entanto, os efeitos estão a ser mínimos: a taxa diminuiu residualmente, de 22% para os actuais 20%; o crescimento continua exponencial - como disse acima, duplicando o número de infectados a cada 4 dias. Em Alemanha e em França, com medidas menos radicais e semelhantes às que Portugal decidiu tomar na sexta-feira, não se registaram por enquanto alterações significativas.

Portanto, não devemos nem podemos supor que as medidas de mitigação adoptadas pelo Governo, mesmo quando estiverem a ter efeito, nos conduzam a um cenário mais favorável do que o actual franco-alemão. Por outro lado, como a nossa taxa é superior à desses países, a cada dia que passa nos aproximamos mais deles, como acontece com Espanha. Desde que comecei a publicar as minhas projecções, aproximámo-nos um dia de Itália, França e Alemanha. A nossa distância actual é de 18-19 dias para Itália e 9-10 dias para França e Alemanha.

▲ Desinfacção de carruagens do Metro de Lisboa

FILIPE AMORIM/OBSERVADOR

Por outro lado, é necessário tomar em conta que, como descrevi acima, os meios médicos e clínicos de que o nosso país dispõe são muito mais limitados do que os da Alemanha ou de Itália. De resto, creio que é em boa parte por dispor de muitos meios que a infecção na Alemanha tem uma taxa de mortalidade particularmente baixa. Mas a Alemanha tem consciência do tsunami, e já anunciou que apesar de ser o país mais bem equipado deixou de vender ventiladores a outros países.

Temos de agir, e temos uma semana para agir. Se tivemos a sorte de o coronavírus ter chegado a Portugal com um atraso grande em relação a outros países, temos de tirar partido dessa vantagem - e agir já. Esta é uma verdadeira emergência nacional.

O que devemos fazer? Tudo o que pudermos. Diz o Governo que o que acontecer depende de cada um de nós. É verdade, mas não é toda a verdade. Não estamos entregues a nós próprios: estamos num cenário de guerra e temos um Governo que não pode ter medo de agir e de tomar medidas muito difíceis. Tempos de excepção exigem medidas de excepção.

A Coreia do Sul estabeleceu um sistema de rastreio muito rigoroso, testando pessoas em casa e em meia centena de drive-ins onde se pode fazer o teste sem contacto humano. É o segundo país do Mundo com mais testes per capita. E é o único, excluindo a China, que conseguiu controlar o surto. Já passou o ponto de inflexão e tem um número final estimado em 12.000 a 15.000 casos.

Em primeiro lugar, fechar as fronteiras de imediato. Ontem mesmo entraram em Portugal dois camionistas italianos infectados, que só foram parados na Guarda. Cada caso destes significa, daqui a 15 dias, centenas de casos novos.

Em segundo lugar, decretar o lockdown imediato do País, à italiana. Fechar o comércio, bares, restaurantes, cafés, tudo. Isolamento social completo e limitações drásticas à circulação de pessoas. Todos os eventos sociais cancelados. Decretar o recolher obrigatório, chamemos-lhe estado de sítio ou de emergência. Ficariam abertos apenas farmácias e mercados para bens essenciais, sendo atendida uma pessoa de cada vez.

Em terceiro lugar, impor de imediato um regime de testes de rastreio obrigatórios para as pessoas que estiveram em contacto prévio com os infectados. A Coreia do Sul estabeleceu um sistema de rastreio muito rigoroso, testando pessoas em casa e incluindo meia centena de drive-ins onde se pode fazer o teste sem contacto humano. É o segundo país do Mundo onde se fazem mais testes per capita. E é o único, excluindo a China, que conseguiu controlar o surto. Já passou o ponto de inflexão e tem um número final estimado em 12.000 a 15.000 casos.

Em terceiro lugar, os serviços de saúde, particularmente os de cuidados intensivos, precisam de ser urgentemente reforçados. Não daqui a um mês: amanhã. Constitua-se hoje um gabinete de crise para identificar que meios fazem mais falta nesta emergência, e compre-se de imediato - sem visto das Finanças, sem concursos, sem cativações, sem esperas. Mandem-se vir ventiladores e equipamentos de emergência da China pagando o que for preciso, e peça-se formalmente ajuda à China, como fez Itália esta semana. Amanhã. Se há uns anos o Ministro das Finanças dizia que não havia dinheiro, agora nós dizemos: não há tempo!

Comece a fazer-se já um orçamento de emergência para a saúde. Se há certeza que podemos ter é de que os próximos meses serão muito complicados e trarão muitas emergências imprevisíveis. Se há almofada orçamental, tanto melhor - é para uma crise destas que ela estava guardada. Se não houver, que haja défice.

A situação em Portugal vai piorar muito antes de começar a melhorar. Mas para melhorar temos de agir. Cada dia que passa sem nada fazermos é um dia, dentro de duas semanas, com mais mortos desnecessários.

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A matemática que explica o tsunami europeu. E português

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Porque é que esta pandemia se tornou exponencial? O que é que os números de Itália, Espanha ou França dizem sobre o que nos pode acontecer? O matemático Jorge Buescu explica como se fazem as contas. O Coronavírus está na mente de todos nós de forma obsessiva.

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Quantidade de exercícios que a professora manda fazer

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Quantidade de exercícios que a professora manda fazer

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Por que os números primos têm esse nome?

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Por que os números primos têm esse nome?

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Atualmente, definimos números primos como aqueles que possuem apenas 4 divisores: + ou - ele mesmo, +1 e -1.

Porém, quando foram pensados pela primeira vez, muito provavelmente por Pitágoras, cerca de 530 ac, a palavra primo não tinha relação de parentesco, mas sim de primário.

A ideia de números primários, introduzida por Pitágoras, continua até hoje. Para Pitágoras, existiam os números primários e os números secundários. De maneira simplificada, os números primários ou primos são aqueles que não podem ser obtidos por multiplicação de outros números, e os secundários são aqueles que podem ser gerados pela multiplicação de outros números.

Ao longo do tempo, os números primos também foram denominados de retilíneos, lineares e eutimétricos.

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Existem 80.658.175.170.943.878.571.660.636.856 403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000 formas de se ordenar um baralho de cartas.

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O professor:
- Os exercícios do teste serão parecidos com os das aulas. Apenas os números serão diferentes, bem não todos... por exemplo, o pi continuará a ser 3,141592...

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A matemática vai passar a ter um Dia Internacional, que se celebrará a 14 de Março a partir de 2020, foi aprovado esta terça-feira em sede da UNESCO, anunciou a Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM).

A proclamação de 14 de Março como Dia Internacional da Matemática foi oficializada esta terça-feira na 40.ª sessão da Conferência Geral da Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e Cultura (UNESCO), que termina na quarta-feira em Paris, França.

A efeméride já tinha sido aprovada em Outubro pelo Conselho Executivo da UNESCO, mas tinha de ser ratificada na Conferência Geral.

Até agora, 14 de Março é conhecido mundialmente como o Dia do Pi. A data é escrita como 3/14 em alguns países e a constante matemática Pi é aproximadamente 3,14.

O Dia Internacional da Matemática foi uma iniciativa da União Internacional de Matemática, organização dedicada à cooperação internacional no domínio da matemática, e teve o apoio de várias sociedades científicas, incluindo a SPM, cujo vice-presidente, Fabio Chalub, integra a comissão internacional de gestão das actividades propostas para assinalar a data.

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A matemática vai passar a ter um Dia Internacional, que se celebrará a 14 de Março a partir de 2020, foi aprovado esta terça-feira em sede da UNESCO, anunciou a Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM).

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Existe alguma coisa pior que ser atingido por um raio?
Sim! Ser atingido por um diâmetro, que é 2 vezes o raio.

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15 Year Old YAASHWIN SARAWANAN Is A HUMAN CALCULATOR! | Asia's Got Talent 2019 on AXN Asia

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A felicidade ao acertar um exercício de matemática

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A felicidade ao acertar um exercício de matemática

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Aos 12 anos, o jovem Henrique Navas começava o seu percurso de participações nas Olimpíadas Portuguesas de Matemática. Com 19 anos, já somava 16 medalhas em provas de raciocínio matemático, mais do que o total de anos que se tinham passado desde então. Os números não o atormentam, são até uma paixão que o fez seguir a Matemática até ao ensino superior. Mas, para grande parte dos alunos portugueses, esta área é a mais temida. É também aquela que regista mais insucesso escolar, segundo o governo, que volta a propor um novo olhar sobre o tema no seu programa da atual legislatura. Mas, afinal, porque é que a Matemática é tão difícil?

De acordo com um documento da Direção-Geral da Educação sobre o ensino da Matemática, entre o conjunto de disciplinas do ensino secundário, este é considerado o mais difícil de todos. Relativamente ao ano letivo 2017/2018, quando os alunos foram questionados sobre aquelas em que tiveram mais dificuldades, a Matemática foi referida por 41,8% dos alunos dos cursos científico-humanísticos e por 31,4% daqueles que estavam em curso profissionais. "A Matemática é, sim, uma das disciplinas mais difíceis da escola. E por uma razão simples: há um lado cumulativo na Matemática que não existe nas outras. Mas tem de ser mesmo assim", começa por explicar Filipe Oliveira, presidente da Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM).

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A Matemática constrói-se em cima de Matemática e as equações não existem sem a multiplicação. Em disciplinas como História, por exemplo, "pode ser-se o maior especialista da Segunda Guerra Mundial, mas não saber muito sobre a civilização egípcia". "Há sempre ligações, mas não é taxativo", acrescenta Filipe Oliveira. Já no que toca à Matemática, "para se fazer o que se pede no 9.º ano ou no 12.º, tudo o que está para trás tem de estar muito bem sabido". "Os conteúdos que são ensinados durante o ensino obrigatório acumulam conhecimento que a humanidade aprendeu a absorver por ela própria desde 500 anos a.C. São 2500 anos de conhecimentos em 12 anos", lembra.

Pedir que ser bom a Matemática não fosse uma tarefa cumulativa, "seria como pedir aos alunos para atravessarem o canal da Mancha a nado sem nunca os termos ensinado a nadar", compara. O presidente da SPM entende que "aprender a nadar é chato, porque é uma técnica, é repetitivo, é preciso treinar todos os dias", mas "se não se conseguir fazer isto, nunca se vai atingir as competências necessárias, como nadar rápido ou salvar uma pessoa que se esteja a afogar à sua frente na praia".

O que mudou na Matemática?

Mais teoria ou mais prática? Como se combate o insucesso a esta disciplina? O tema é controverso: desde o início do século que a Matemática tem sido alvo de diferentes alterações de currículo. No atual programa governamental, volta a estar prevista "uma estratégia integrada de ação sobre a aprendizagem da Matemática, uma vez que se trata da disciplina com mais insucesso". Ainda neste ano, o Grupo de Trabalho de Matemática [nomeado em 2018 pelo Ministério da Educação] apresentou 24 recomendações para alterar o currículo atual. O objetivo? Acabar com o que existe e criar do zero um novo plano para a disciplina nas escolas.

Uma medida "necessária", na perspetiva da dirigente da Associação de Professores de Matemática (APM). "Só assim se garante três pontos fundamentais: articulação do 1.º ano ao 12.º ano; adequação aos níveis de ensino, necessidades de alunos e diferentes ofertas de percursos escolares; e coerência nos programas", diz Lurdes Figueiral.

Mas "já toda a gente percebeu que, para ter um melhor sistema de ensino, é preciso não estar constantemente a mudar tudo", contraria o presidente da Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM), que faz um raio X aos últimos anos da Matemática nas escolas. O problema, diz, passa por Portugal ter tentado seguir a mesma filosofia do que a Finlândia.

Políticas portuguesas "partem das políticas aplicadas na Finlândia", mas "o que estamos a ver é que isto não foi bom para este país".

Até 2011, altura em que tomou posse o governo do antigo ministro da Educação Nuno Crato, "os currículos eram muito imprecisos relativamente aos objetivos que os alunos deveriam alcançar". Incluíam até "falhas pedagógicas e científicas", na medida em que, por vezes, "eram pedidos desempenhos sem se dar aos alunos os instrumentos necessários para compreenderem o que estavam a fazer". Com o anterior governo, "tudo mudou": não só os estudantes "passaram a trabalhar com currículos mais rigorosos e estruturados" como "passou a ser dada uma grande atenção à avaliação" - tão adorada quanto odiada -, com a substituição das provas de aferição por exames no 4.º e 6.º ano de escolaridade.

"Esta política permitiu que os alunos pudessem ser comparados da mesma forma [através de exames externos], mas também veio chamar a atenção das famílias - que ficam mais atentas se os filhos vão fazer uma prova de âmbito nacional." O que Filipe Oliveira atribui como uma das causas da diminuição das taxas de retenção. Entre 2012 e 2018, a taxa de conclusão do ensino básico subiu 4,6%, de 90,3% para 94,9%. Já no ensino secundário, o aumento foi ainda mais drástico, de 79,9% para 86,1%, ou seja, cresceu 6,2%. De facto, "ainda há muitas retenções", e há regiões que continuam acima da média nacional, mas "estão a cair", lembra. Aliás, "nunca em Portugal foram tão baixas". Porque "houve vários governos, de esquerda e de direita, mas houve sempre uma continuidade até 2015". A partir daqui, "a história é outra".

Quando o atual ministro da Educação, Tiago Brandão Rodrigues, tomou posse, "assistiu-se a uma revolução que nunca tinha sido vista nas escolas, que trouxe um tal desprezo do currículo, com esta ideia da flexibilidade curricular, que diz que cada escola pode desprezar 25% (ou mais, com o novo diploma) do currículo nacional".

Já a presidente da APM acredita que uma das principais formas de combate ao insucesso escolar na Matemática poderá mesmo passar pela autonomia das escolas. Segundo dizia Lurdes Figueiral ao DN, "todos os alunos têm capacidade para aprender Matemática", mas "a forma de chegar lá é que não é única".

Portugal copiou a Finlândia e estagnou, diz a SPM

Filipe Oliveira considera ainda que o governo deixou de dar a atenção devida ao sistema avaliativo, com o fim dos exames do 4.º e do 6.º, novamente substituídos pelas provas de aferição. "O modelo anterior, dos exames, não estava só errado, era acima de tudo nocivo: treinar para os exames é pernicioso e nocivo", justificava o ministro, renegando uma "cultura da nota" que, no seu entender, fazia da escola não uma "escola inclusiva e integradora, mas uma escola seletiva".

Mas "está latente um discurso sobre uma escola que não é um local de trabalho, mas sim um local onde os alunos se sintam bem e confortáveis", responde o presidente da SPM. O que imita o modelo experimentado durante anos pelo sistema de ensino finlandês, considerado um dos melhores do mundo, mas que tem vindo a descer drasticamente nos exames internacionais. Nomeadamente no PISA (Programa Internacional de Avaliação de Alunos): desde 2003 que este país abandonou o segundo lugar do ranking internacional para cair para o 16.º (em Matemática) lugar em 2018, numa tabela agora liderada pelos países do Sudeste Asiático.

Muitas das políticas que vemos agora serem implementadas em Portugal "partem das políticas aplicadas neste país, onde não há exames e em que os alunos às 15.00 vão para casa". "Mas o que estamos a ver, de PISA para PISA, é que esta mudança não foi boa para a Finlândia. O caso deste país já aconteceu há tanto tempo que agora podemos, de forma segura, correlacionar a queda sistemática no ranking com este tipo de reformas muito parecidas com as que o nosso governo está a fazer agora", alerta Filipe Oliveira.

Já Portugal tem vindo a aumentar no mesmo ranking, tendo pela primeira vez alcançado uma posição acima da média da OCDE em 2015. De acordo com os testes internacionais, Portugal é o país que mais progrediu nos últimos 20 anos a Matemática. "Quando fizemos estes testes internacionais nos anos 1990, ficámos em último, a milhas da média internacional. Foi uma vergonha tão grande, que o governo até nos tirou dos testes, para não se ver a miséria que era. Mas entretanto houve uma progressão muito grande, até 2015", conta Filipe Oliveira.

Contudo, ao nível da Matemática, Portugal estagnou. "Faz-nos perguntar se não será já um efeito desta abordagem", adianta o professor. "Até porque, pela primeira vez na história da participação de Portugal em testes internacionais, os alunos faltaram à avaliação PISA numa percentagem maior do que era aceitável" - o mínimo de participação estipulado é de 80%, mas em Portugal foi de 76%. "Isto acontece, penso, porque há três anos que os alunos e as famílias ouvem que a avaliação não é importante. É normal que haja aqui alguma desmobilização por parte dos alunos", mas "claro que só vamos tirar isto a limpo em 2021, porque aí vamos ter não três, mas seis anos de resultados desta nova filosofia".

Para o presidente da SPM, o governo deve voltar a focar-se na avaliação "que, quando bem utilizada, pode ser um grande aliado da própria aprendizagem". "Dou o exemplo do exame de código: se não fosse preciso os alunos estudarem para uma avaliação, tenho a certeza de que metade dos recém-encartados andaria na estrada sem saber os sinais de trânsito. Somos seres humanos e é assim que funcionamos."

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Para os alunos, a Matemática é a mais difícil das disciplinas. Porquê?

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O governo diz que é o maior motivo de insucesso escolar e os alunos confessam mesmo que a Matemática é o desafio mais difícil. "É chato, porque é uma técnica, é repetitivo", mas "tem de ser mesmo assim", explica o presidente da Sociedade Portuguesa de Matemática.

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Existem 43.252.003.274.489.856.000 formas de se embaralhar um cubo mágico.

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Resumidamente a trigonometria é...