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Mathe mit Merle - Kumulierte Wahrscheinlichkeit ohne GTR

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Mathe mit Merle - Kumulierte Wahrscheinlichkeit  (mit GTR)

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Mathe mit Merle - S. 220 Nr. 8 vorrechnen

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Mathe mit Merle - S. 220 Nr. 6 vorrechnen

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Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung, Grundlagen mit Beispiel | Mathe by Daniel Jung

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Mathe mit Merle - Was ist was? Die Begriffe

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Faires Spiel, Zufallsgröße, Erwartungswert | Stochastik | Mathe by Daniel Jung

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Auf dieser Seite bekommst du alle Erklärungen, Videos, Aufgaben zum Thema Baumdiagramme. Wir behandeln im Folgenden diese Themen:

Das Baumdiagramm kann durch eine kleine Erweiterung sehr geschickt zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mehrstufiger Zufallsexperimente benutzt werden.

Dazu werden an den Zweigen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten eingetragen, mit denen das zum Zweig gehörige Ereignis des Zufallsexperimentes eintritt. Diese Wahrscheinlichkeiten nennt man kurz Zweigwahrscheinlichkeiten.

Ein Baumdiagramm, das Zweigwahrscheinlichkeiten enthält, nennt man auch kurz Wahrscheinlichkeitsbaum. Üblicherweise gibt man alle Zweigwahrscheinlichkeiten entweder komplett als Brüche oder Dezimalzahlen an.

Mit oder ohne Zurücklegen?

Grundlegend ist aus der Aufgabenstellung zu entnehmen, ob es sich bei dem Zufallsexperiment um ein Experiment mit oder ohne Zurücklegen handelt. Machen wir uns anhand eines Beispiels deutlich, wo der Unterschied zwischen beiden Experimenten liegt.

Zufallsexperiment „Mit Zurücklegen"

In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln und 40 blaue Kugeln und wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen.

Wie wir bereits wissen können wir hier die Laplace Wahrscheinlichkeit anwenden und erhalten die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

\begin{align*}
P(R) = \frac{60}{100} = 0,6 \\
P(B) = \frac{40}{100} = 0,4
\end{align*}
Erste Ziehung:
Wie man sehen kann hat man im ersten Zug jeweils die Chance eine rote oder eine blaue Kugel zu ziehen. Addiert man die Wahrscheinlichkeiten für beide Ereignisse, so erhält man als Summe eins: \(P(\Omega)=1\).
Zweite Ziehung:
Beim zweiten Zug hat man wieder die gleiche Chance eine rote oder eine blaue Kugel zu ziehen, da man die Kugeln wieder zurücklegt. Dementsprechend ist festzuhalten, dass beim Ziehen mit Zurücklegen bei jedem Zug die gleichen Eintrittswahrscheinlichkeiten vorliegen (Laplace-Wahrscheinlichkeit). Auch hier müssen die einzelnen Ereignisse an jedem Knoten die Summe 1 betragen.
Schau dir dazu das Lernvideo zum Thema Baumdiagramm und Urnenmodell an.
Zufallsexperiment „Ohne Zurücklegen"

In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln und 40 blaue Kugeln und wir ziehen zwei Kugeln ohne Zurücklegen.

Wie wir bereits wissen können wir hier die Laplace-Wahrscheinlichkeit anwenden und erhalten die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

\begin{align*}
P(R) = \frac{60}{100} \\
P(B) = \frac{40}{100}
\end{align*}
Erste Ziehung:
Im Baumdiagramm sehen wir die Wahrscheinlichkeiten im ersten Zug eine rote oder eine blaue Kugel zu ziehen. Addiert man die Wahrscheinlichkeiten für beide Ereignisse, so erhält man als Summe eins: \(P(\Omega)=1\).
Zweite Ziehung:
Im Gegensatz zum Ziehen mit Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen im zweiten Zug. Zieht man beispielsweise im ersten Zug eine rote Kugel, so hat man im zweiten Zug eine geringere Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen. Warum? Weil sich die Anzahl der günstigen und der möglichen Ereignisse (eine Rote Kugel weniger) um 1 verringert. Es befinden sich also nur noch 59 rote und insgesamt 99 Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit im zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen, ändert sich von 60/100 auf 59/99.
Merke: Bei Zufallsexperimenten ohne Zurücklegen ist es sinnvoller Brüche statt Dezimalzahlen für die Wahrscheinlichkeiten zu verwenden.
Daniel erklärt dir nochmal das Urnenmodell mit dem Fall „Ziehen ohne zurücklegen".
Wahrscheinlichkeit mit Pfadregel

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu erhalten, multipliziert man die Wahrscheinlichkeit entlang des Pfades, der dieses Ergebnis beschreibt. Wichtig: Die Pfadregel gilt bei jedem mehrstufigen Zufallsexperiment, gleichgültig, ob z.B. mit oder ohne Zurücklegen.

Zur Ermittlung einer Wahrscheinlichkeit

zeichnet man ein Baumdiagramm und

wendet die Pfadregel an!

Ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gesucht,

genügt es, nur die Pfade zu zeichnen, die zu diesem Ereignis gehören,

die Pfadregel anzuwenden und

die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade zu addieren (Summenregel).

Unterscheide folgende Regeln:

1. Pfadregel (Produktregel):Die Wahrscheinlichkeiten eines einzelnen Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt.

2. Pfadregel (Summenregel):Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis gehören.

Machen wir uns die Pfadregeln anhand des bekannten Beispiels klar:

In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln und 40 blaue Kugeln. Wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen.

Es liegt somit ein Laplace-Experiment vor, bei dem die Wahrscheinlichkeiten für ein Ereigniss immer gleich sind. Die Wahrscheinlichkeiten sowie das Baumdiagramm lauten:

\begin{align*}
P(R) = \frac{60}{100} \\
P(B) = \frac{40}{100}
\end{align*}

1. Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten mit der Pfadregel entlang des Pfades multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit zwei rote Kugeln hintereinander zu ziehen beträgt:

\begin{align*}
P(R,R) = P(R) \cdot P(R) = 0,6 \cdot 0,6 = 0,36
\end{align*}

2. Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit für eine blaue und eine rote Kugel.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für eine rote und blaue sowie für eine blaue und rote Kugel mit der Pfadregel bestimmen. Warum? Weil die Reihenfolge der Ziehung egal ist. Es geht darum insgesamt eine blaue und eine rote Kugel zu ziehen.

Die gesamte Wahrscheinlichkeit, eine rote und blaue Kugel zu ziehen, wird dann mit der Summenregel bestimmt. Die Wahrscheinlichkeit eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen beträgt:

\begin{align*}
P(R,B) + P(B,R) &= 0,6 \cdot 0,4 + 0,4 \cdot 0,6 \\ & = 0,24+0,24 = 0,48 = 48\%
\end{align*}
Vertiefe dein Wissen und schau das Lernvideo zur 1. und 2. Pfadregel

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Baumdiagramm - inkl. Beispiele und Lernvideos - StudyHelp

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Urnenmodelle & Baumdiagramm - Stochastik

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Rechnen mit Binomialverteilung anhand vom Schaubild, Stochastik, Wahrscheinlichkeit

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etwas runterscrollen

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Geben Sie hier Ihren Lehrwerks-Code oder Online-Link ein und springen Sie direkt zu Ihren Materialien. Die Mediencodes enthalten zusätzliche Unterrichtsmaterialien, die der Verlag in eigener Verantwortung zur Verfügung stellt.

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10.1 Wiederholung: Binomialverteilung - Flip the Classroom - Flipped Classroom

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Rechnen mit Binomialverteilung anhand vom Schaubild, Stochastik, Wahrscheinlichkeit

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Mathe mit Merle - S. 211 Nr. 6 vorgerechnet

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Mathe mit Merle - S. 231 Nr. 1 vorgerechnet

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Bedingte Wahrscheinlichkeit mit Vierfeldertafel und Baumdiagramm, Mathe by Daniel Jung

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Übungsaufgabe Nr. 17 (bedingte Wahrscheinlichkeit + Binomialverteilung)