# data[].attributes.headline
Napisz w kilku krokach algorytm jaki należy zastosować do rozwiązywania nierówności kwadratowych na tablicy jamboard

# data[].attributes.subject
Napisz w kilku krokach algorytm jaki należy zastosować do rozwiązywania nierówności kwadratowych na tablicy jamboard

# data[].attributes.body
Witam Was kochani na kolejnej lekcji matematyki :) Będziemy dziś w dalszym ciągu realizować nowe pojęcia z funkcji kwadratowej :) Ale zanim do tego przystąpimy.

# data[].attributes.headline
Sprawdzenie obecności będzie polegało na uzupełnieniu formularza - proszę kliknąć w link i potwierdzić swoją obecność

# data[].attributes.subject
Sprawdzenie obecności będzie polegało na uzupełnieniu formularza - proszę kliknąć w link i potwierdzić swoją obecność

# data[].attributes.body
Chwilka dla Was

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
funkcja kwadratowa matematyka egzamin maturalny

# data[].attributes.attachment_link.title
Własności funkcji kwadratowej - GWO - Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe

# data[].attributes.attachment_link.description
Funkcja kwadratowa - zadania, ćwiczenia i sprawdziany z matematyki dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f x = ustalimy zbiór rozwiązań nierówności oraz nierówności .

Animacja prezentuje postać iloczynową funkcji kwadratowej f(x) = (x -1) razy (x +3). Odczytujemy informacje potrzebne do naszkicowania wykresu funkcji, współczynnik a =1 oraz jej miejsca zerowe -3 i 1. Rysujemy w układzie współrzędnych wykres funkcji, której ramiona skierowane są do góry. Następnie należy ustalić zbiór rozwiązań nierówności (x -1) razy (x +3) >0. Poruszając się po wykresie funkcji odczytujemy zbiór rozwiązań, czyli sumę przedziałów obustronnie otwartych od minus nieskończoności do -3 oraz od 1 do plus nieskończoności. W dalszej kolejności odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności (x -1) razy (x +3) zbiór rozwiązań tej nierówności, czyli przedział obustronnie otwarty od -3 do 1.

Z postaci iloczynowej wzoru funkcji f

bezpośrednio odczytujemy:

współczynnik a: a=1. Jest on dodatni, więc parabola będąca wykresem funkcji f ma ramiona skierowane do góry,

miejsca zerowe funkcji f:1 oraz -3. Oznacza to, że wykres funkcji f przecina oś Ox w dwóch punktach o współrzędnych 1,0 oraz -3,0 .

Korzystając z powyższych spostrzeżeń, szkicujemy wykres funkcji f.

Ustalimy zbiór rozwiązań nierówności .
Z otrzymanego wykresu odczytujemy, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie.

Zatem wtedy i tylko wtedy, gdy x∈-∞,-3 ∪1,+∞ .
Ustalimy zbiór rozwiązań nierówności .
Z wykresu funkcji f odczytujemy, dla jakich argumentów ta funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Wobec tego wtedy i tylko wtedy, gdy x∈-3,1 .

Wypiszemy wszystkie liczby całkowite, które spełniają nierówność .
Rozpatrzmy w tym celu funkcję kwadratową określoną wzorem f x =.
Po zapisaniu wzoru tej funkcji w postaci iloczynowej f x =-2 x+5 2 stwierdzamy, że
funkcja ta ma dwa miejsca zerowe - oraz 4,
a=-2<0, zatem wykresem tej funkcji jest parabola skierowana ramionami do dołu.
Szkicujemy wykres funkcji f x = i zaznaczamy na nim argumenty, dla których .

Zbiorem rozwiązań nierówności jest więc przedział -2 1 2 ,4 .
Zaznaczamy wszystkie liczby całkowite, które znajdują się w tym przedziale.

Ostatecznie stwierdzamy, że liczbami całkowitymi, które spełniają nierówność , są: -2,-1,0,1,2,3.

Rozwiążemy nierówność

1. Wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem f x =-9 jest parabola skierowana ramionami do góry, co stwierdzamy, odczytując ze wzoru tej funkcji wartość współczynnika a (a=1>0).
Wzór tej funkcji przekształcamy do postaci f x =. Funkcja ma zatem dwa miejsca zerowe -3 oraz 3.
Szkicujemy wykres tej funkcji i odczytujemy wszystkie argumenty, dla których przyjmuje ona wartości dodatnie.

R13bgXnl6Lfz7 1

Odpowiedź: x∈-∞,-3 ∪3,+∞ .

2. -+4 x<0

sposób I
Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f x =-+4 x. Odczytujemy wartość współczynnika a: a=-1<0. Wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są w dół.
Wzór tej funkcji sprowadzamy do postaci iloczynowej f x =-x i stwierdzamy, że funkcja ta ma dwa miejsca zerowe 0 oraz 4.
Sporządzamy szkic wykresu funkcji f x =-+4 x i na jego podstawie wyznaczamy zbiór rozwiązań nierówności -+4 x<0.

R1ZFVPrYiXutu 1

Odpowiedź: x∈-∞,0 4, ∞ .

sposób II
Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez -1 otrzymujemy równoważnie
-4 x>0 Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f x =-4 x. Odczytujemy: a=1>0, zatem wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
Po zapisaniu wzoru tej funkcji w postaci iloczynowej f x =x stwierdzamy, że funkcja ta ma dwa miejsca zerowe: 0 oraz 4.
Sporządzamy szkic wykresu funkcji f x =-4 x i na jego podstawie wyznaczamy zbiór tych liczb rzeczywistych x, dla których -4 x>0.

R196TmsV64GuQ 1

Odpowiedź: x∈0,4 .

Rozwiążemy nierówność .
Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem . Przekształcamy ten wzór do postaci f x =. Ponieważ: oraz funkcja ma jedno miejsce zerowe: -1, więc wykresem tej funkcji jest parabola skierowana ramionami do górę.
Szkicujemy wykres funkcji i zaznaczamy argumenty, dla których .

Odpowiedź: x∈-∞,-1 ∪-1,+∞ .

1. Ponieważ ≥0 dla każdej liczby rzeczywistej x, więc dla każdego rzeczywistego x. Zatem żadna liczba rzeczywista nie spełnia nierówności .
Odpowiedź: Nierówność jest sprzeczna.

2. --1<0
Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez -1 otrzymujemy równoważnie . Ponieważ suma liczby nieujemnej oraz liczby dodatniej 1 jest liczbą dodatnią, więc każda liczba rzeczywista x spełnia nierówność .
Odpowiedź: Nierówność --1<0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

Rozwiążemy nierówność .
Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem . Odczytujemy: , zatem wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
Obliczamy wyróżnik funkcji :
Δ=-4⋅1⋅11=100>0Wobec tego funkcja ma dwa miejsca zerowe
oraz .
Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie ustalamy zbiór rozwiązań nierówności .

Odpowiedź: x∈1,11 .

Rozwiążemy nierówność .
Ze wzoru funkcji odczytujemy wartość współczynnika a: . Wobec tego wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
Obliczamy wyróżnik: , zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe
=-7-81 2⋅2=-4 oraz =-7+81 2⋅2=.
Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie ustalamy zbiór rozwiązań nierówności .

Odpowiedź: x∈-∞,-4 ∪1 2 ,+∞ .

Rozwiążemy nierówność -+3 x+10≥0.
Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez -1 otrzymujemy równoważnie

Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem . Ponieważ , więc wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
Obliczamy wyróżnik: . Zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe oraz .
Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie wyznaczamy argumenty, dla których .

Odpowiedź: x∈-2,5 .

Rozwiążemy nierówność -3+2 x+21≤0.
Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez -1 otrzymujemy równoważnie

Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem . Ponieważ , więc wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.
Obliczamy wyróżnik: . Zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe:
oraz .
Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie wyznaczamy argumenty, dla których .

Odpowiedź: x∈-∞, -2 1 3 ∪3 ,.

Uzasadnimy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest poniższa nierówność.

+9≥6 x

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci . Wystarczy zatem pokazać, że funkcja kwadratowa y=-6 x+9 przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne.
Obliczamy wyróżnik trójmianu y=-6 x+9:

Wynika stąd, że funkcja y=-6 x+9 ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Ponieważ jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych do góry (), więc dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność . To kończy dowód.

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność ≥0. To spostrzeżenie kończy dowód.

x 2 7 +7 4 ≥x

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci -x+≥0. Wystarczy pokazać, że funkcja kwadratowa y=-x+ przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne.
Obliczamy wyróżnik trójmianu y=-x+

Zatem funkcja ta ma dokładnie jedno miejsce zerowe, a ponieważ jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych do góry (a=>0), więc dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność -x+≥0. To kończy dowód.

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność . To spostrzeżenie kończy dowód.

3 x 2 +3 >10 x

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci . Wystarczy pokazać, że funkcja kwadratowa y=3-10 x+9 przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.
Ponieważ współczynnik przy trójmianu y=3-10 x+9 jest dodatni, więc wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry.
Obliczamy wyróżnik trójmianu y=3-10 x+9

Zatem funkcja ta nie ma miejsc zerowych.
Wobec tego dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność . To kończy dowód.

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność , więc suma jest liczbą dodatnią. To spostrzeżenie kończy dowód.

Uzasadnimy, że jeśli liczby x i y są rzeczywiste, to

4+25≥20 xy

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

Jeżeli liczby x i y są rzeczywiste, to prawdziwa jest nierówność 2 x-5 y 2 ≥0. To spostrzeżenie kończy dowód.

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci 4-20 xy+25≥0.
Możemy tę nierówność potraktować jako nierówność kwadratową z niewiadomą x i dowolnie ustaloną liczbę y.
Rozpatrzmy trójmian kwadratowy

Trójmian ten ma dodatni współczynnik przy (a=4).
Obliczamy wyróżnik tego trójmianu
Δ=-20 y 2 -4⋅4⋅25=0. Zatem trójmian f ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Oznacza to, że dla każdego x i dla każdego y wartość tego trójmianu jest nieujemna. To spostrzeżenie kończy dowód.

5++4 xy≥2 x-1

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest każda z nierówności 2 x+y 2 ≥0 oraz ≥0, a zatem również prawdziwa jest nierówność 2 x+y 2 +≥0. To spostrzeżenie kończy dowód.

Zapiszmy nierówność w postaci równoważnej.

Rozpatrzmy trójmian kwadratowy.

Trójmian ten ma dodatni współczynnik przy (a=5).
Obliczamy wyróżnik tego trójmianu

Dla każdego y wyróżnik jest więc niedodatni, co oznacza, że funkcja może mieć co najwyżej jedno miejsce zerowe.
Zatem dla każdego x i dla każdego y wartość tego trójmianu jest nieujemna. To spostrzeżenie kończy dowód.

Wykażemy, że jeśli a≥0 i b≥0, to a+b 2 ≥ab .
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

Dla każdych liczb nieujemnych a i b nierówność a -b 2 ≥0 jest prawdziwa. To spostrzeżenie kończy dowód.

Wykażemy, że jeśli a>0 i b>0, to ab ≥2 ab a+b.
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

Nierówność ≥ab jest prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich a i b (co udowodniliśmy w poprzednim podpunkcie), co kończy dowód.
Uwaga. Dla liczb nieujemnych a i b liczbę nazywamy ich średnią arytmetyczną.
Dla liczb nieujemnych a i b liczbę ab nazywamy ich średnią geometryczną.
Dla liczb dodatnich a i b liczbę 2 ab (zapisywaną również w postaci 2 1 a +1 b ) nazywamy ich średnią harmoniczną.

# data[].attributes.attachment_link.description
Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f x = ustalimy zbiór rozwiązań nierówności oraz nierówności . Z postaci iloczynowej wzoru funkcji f bezpośrednio odczytujemy: współczynnik a : a = 1 . Jest on dodatni, więc parabola będąca wykresem funkcji f ma ramiona skierowane do góry, miejsca zerowe funkcji f : 1 oraz - 3 .

# data[].attributes.headline
To jest co roku na maturze :P A więc zobacz, czy byś zdał :) Rozwiąż zadanie 27 z arkusza maturalnego z matematyki z 2019 roku :) Rozwiązanie prześlij na adres mailowy nauczyciela.

# data[].attributes.subject
To jest co roku na maturze :P A więc zobacz, czy byś zdał :) Rozwiąż zadanie 27 z arkusza maturalnego z matematyki z 2019 roku :) Rozwiązanie prześlij na adres mailowy nauczyciela.

# data[].attributes.headline
Rozwiąż nierówność kwadratową w zeszycie i prześlij na adres do nauczyciela: 

# data[].attributes.subject
Rozwiąż nierówność kwadratową w zeszycie i prześlij na adres do nauczyciela: 

# data[].attributes.body
−6x²+x−1<0
x²+9x+18>0

# data[].attributes.body
Utrwal wiadomości zdobyte na dzisiejszej lekcji np wyszukując filimk na youtube.com