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Gli origami..l'arte di piegare la carta.

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Gli origami..l'arte di piegare la carta.

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MATEMATICA E... ORIGAMI

di Federico Peiretti
1. Origami, matematica come arte 2. Prime esperienze matematiche 3. La Pajarita, il più celebre fra gli origami 4. Un'arte sempre attuale 5. Hanji, la carta per gli origami 6. Mille gru per la pace 7. Gli esaflexagoni 8. Pyramid puzzle 9. E l'origami vola in alto 10. In libreria e in rete 1. Origami, matematica come arte
Origami, è l'arte di piegare la carta, senza l'uso di colla, forbici o altro materiale. Il termine "ORIGAMI" deriva dal giapponese "ORU" che significa "piegare" e "KAMI" che significa "carta". Giocare con gli origami vuol dire esplorare forme e strutture, ed è la migliore introduzione alla geometria dello spazio. Inoltre stimola intuizione e creatività e quindi è sicuramente matematica.
Proviamo, ad esempio, ad aprire un qualsiasi origami, anche il più semplice, e avremo davanti una complessa struttura geometrica: linee, triangoli e poligoni da analizzare. Quali angoli osserviamo? come si ottengo tali angoli e forme? Siamo stati noi stessi a tracciarli costruendo l'origami? Piegare e dispiegare un origami rivela infiniti problemi matematici.
Si veda, ad esempio, l'origami proposto nei problemi di giugno 2006, il n. 7, tratto dal NRICH, National Royal Institution Cambridge Homerton. Si leggano inoltre le riflessioni di Konrad Polthier, il suo articolo Imaging maths - Unfolding polyhedra su PLUS Magazine, Novembre 2003.
I grandi origamisti sono artisti che creano forme stupende, partendo da forme base che trasformano con una velocità sorprendente in animali, alberi e mille altri oggetti.
Per quanto riguarda la matematica, chi farà una certa pratica con gli origami, acquisterà non soltanto una maggior famigliarità, ma avrà, più in generale, acquisito una nuova abilità nell'analisi di una qualsiasi struttura.

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2. Prime esperienze matematiche
Possiamo iniziare con la costruzione di quadrati, esagoni, cubi o piramidi, ma siamo ancora ai margini dell'origami classico.

Poligoni e poliedri, in genere, si costruiscono con colla e forbici, ma è stato dimostrato che si possono ottenere tutti con gli origami, dai cinque solidi platonici ai poliedri stellati.

Poliedri come origami (da http://www.math.lsu.edu/~verrill/origami/tetraunit/)

Dodecaedro stellato - Immagine dalla mostra Simmetria, giochi di specchi del Dipartimento di Matematica "F. Enriques" dell'Università degli Studi di Milano.
http://specchi.mat.unimi.it/users/specchi/animazioni/gradodecaest.html

Costruzione del pentagono

Le tangenti di una parabola

E vediamo il rapporto più diretto fra i matematici e gli origami. Perché lo studio di John Horton Conway, uno di più celebri e senz'altro il più originale fra i matematici dell'Università di Princeton, è pieno di modelli di carta, di ogni tipo? Ci sono origami appesi al soffitto e in ogni angolo della sua stanza. Che cosa attrae lui e tanti altri matematici verso l'antica arte giapponese di piegare la carta? Il matematico è affascinato dagli origami perché vede materializzarsi, tra le sue mani, molte delle idee astratte delle sue ricerche, semplicemente piegando un foglio di carta. Gli origami sono un modo divertente e curioso per stimolare il pensiero matematico, inoltre consentono di trovare nuovi teoremi su percorsi diversi da quelli classici dell'algebra o della geometria euclidea.
Il rapporto fra origami e matematica è molto profondo. E' sufficiente dispiegare un qualsiasi origami, anche il più semplice, per scoprire una complessa struttura geometrica: le piegature producono simmetrie assiali con angoli, linee, e poligoni dalle proprietà particolari.
Ne è nata una nuova geometria, la "geometria origami", con nuovi assiomi che possono sostituire gli assiomi tradizionali di Euclide. Se nella geometria euclidea classica è consentito l'uso soltanto della riga e del compasso, nella geometria origami è consentito soltanto l'uso del foglio di carta, che matematicamente penseremo illimitato e che chiameremo piano, sul quale potremo intervenire con una serie di piegature.
Benedetto Scimemi, noto matematico dell'Università di Padova e appassionato origamista, ha stabilito, insieme al giapponese Humiaki Huzita, i sei assiomi della geometria origami (in realtà il matematico Koshiro Hatori ha scoperto in seguito un settimo assioma).

Se per Euclide "fra due punti passa una sola retta", per la nuova geometria il primo assioma afferma che "dati due punti p1 e p2 è possibile piegare una linea che li colleghi".

Completamente diversi da quelli euclidei sono invece gli altri assiomi.

Il secondo assioma, ad esempio, afferma che "dati due punti p1 e p2 è possibile piegare p1 su p2".

Come esempio di costruzione geometrica origami vediamo ancora la determinazione delle bisettrici degli angoli formati da due pieghe incidenti, l1 e l2. Le bisettrici ottenute sono tra loro perpendicolari.

Nella geometria origami troviamo, come abbiamo detto, nuovi teoremi, ad esempio, il teorema di Kawasaki: dato il foglio di carta dispiegato di un origami qualsiasi, gli angoli a1, ... a2n aventi lo stesso vertice, uno qualsiasi dei punti interni, intersezione delle linee dell'origami, abbiamo la seguente relazione,

a1 + a3 + ... + a2n - 1 = a2 + a4 + ... + a2n = 180°

Un origami e lo stesso con il foglio di carta dispiegato. Le pieghe di costruzione formano un intreccio di linee. In questo caso risulta evidente che per gli angoli aventi come vertice il punto A, vale la proprietà: a1 + a3 + a5= a2 + a4 + a6 = 180°

Ad esempio, consideriamo il vertice A dell'origami di figura. Su tale vertice, con angoli evidenti di 90° e di 45° gradi, è facile verificare la validità della relazione annunciata.

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3. La Pajarita, il più celebre fra gli origami
L'origami è nato con la carta ricavata dalla corteccia degli alberi, nella Cina del primo secolo avanti Cristo. Solo nel 610 d.C. un monaco buddista esportò in Giappone la tecnica per la realizzazione della carta, che i giapponesi riuscirono a rendere più morbida e resistente usando il riso. In Europa il primo contatto con l'origami avvenne nel sedicesimo secolo e uno dei primi origami è spagnolo: la pajarita, un passerotto che batte le ali quando gli si tira la coda. ¡Oh pajarita de papel! / Águila de los niños. / Con las plumas de letras, /sin palomo / y sin nido: così inizia una celebre poesia di Garcia Lorca, Pajarita de papel.

Vediamo come si costruisce la Pajarita
Da Martin Gardner, Enigmi e giochi matematici, Sansoni, 1973

Questo oggetto è sia un pezzo artistico che un capolavoro di meccanica. Il lettore è esortato a prendere un foglio quadrato di carta (della carta a disegni per pacchetti va benissimo) e rendersi padrone delle intricate piegature.
Un quadrato di otto pollici per lato è una dimensione conveniente da usare. (Alcuni esperti si divertono a fare un uccellino in miniatura con un biglietto da un dollaro piegato prima a quadrato). Segnare con delle piegature prima il foglio lungo le due diagonali, indi capovolgerlo (1 nella figura) in modo che il " fondo valle" delle piegature diventi la "cresta" delle piegature (nella figura tutti i fondo valle delle pieghe sono indicati con linee a tratto; tutte le creste con linee intere).
Piegare il foglio a metà, aprirlo poi piegarlo a metà nell'altro senso e aprirlo. Si aggiungono cosi altre due pieghe concave come mostrato in 2.
Piegare due lati adiacenti sino a farli combaciare (3 nella figura). Aprirli e fare la stessa cosa per i lati incidenti negli altri tre angoli. Il foglio risulta ora segnato da pieghe (in 4; notare che le pieghe delineano al centro del quadrato un ottagono).
Il passaggio successivo è estremamente difficile da descrivere, sebbene sia facile da attuare una volta capito. Notare i quattro brevi segni di piegatura indicati dalle frecce in 4. Prendete come se pizzicaste la carta lungo questi segmenti in modo da farli diventare delle creste di pieghe. I centri di ciascun lato (indicati in 4 da A, B, C, D) vengono spinti in dentro. Il risultato è mostrato in 5. Questo movimento fa alzare gli angoli del quadrato (indicati con J, K L ed M) sicché visto di fianco il modello appare ora come in 6.
Se tutte le pieghe sono a posto (assicurarsi che il centro del quadrato sia spinto in basso al massimo) dovrebbe ora esser facile unire insieme in alto i quattro angoli come illustrato in 7. Appiattire il modello congiungendo i lati come mostrato in 8.
L'aletta A (in 8) viene piegata in basso lungo la linea B. Rigirare il modello e fare lo stesso con l'altro lato. La carta ha ora la forma mostrata in 9.
L'aletta A (in 9) viene ripiegata a sinistra lungo la linea verticale B. Rigirare il modello e fare lo stesso dall'altro lato. Il risultato è disegnato in 10.
L'aletta A viene piegata in alto lungo la linea B. Girare il modello e ripetere dall'altro lato. Tenere il triangolo isoscele che ne risulta con la punta in alto (11). Nei passaggi rimanenti sarà più conveniente tenere il modello in mano piuttosto che appoggiarlo su un tavolo.
Tirare M sino a formare un angolo come mostrato in 12 e comprimere la carta alla base. Fare lo stesso con N. Ora spingere in basso l'angolo di M, invertendo la piega per formare la testa dell'uccello (13).
Dare forma alle ali (non piegarle) in modo che dalla base alla punta facciano una leggera curvatura in fuori e in avanti. Tenere l'uccello come indicato in 14. Tirando leggermente la coda, le ali battono graziosamente.

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4 Un'arte sempre attuale

Akira Yoshizawa e il suo Monkey

Demon astride a nightmare, opera di Joseph Wu, origamista di fama internazionale

Fra i personaggi proposti per spettacoli e party privati dalla
http://www.interactiveparty.com/,
fra cantanti, attori, maghi e clown ci sono anche due giovani origamisti.

Dragon. Disegnato da Jun Maekawa.
Creato da Jun Maekawa, Seiji Nisikawa, Makoto Yamaguchi, Hideko Matsuura. Materiali: Washi paper, 5 metri quadrati. Sono state necessarie 4 ore di lavoro per realizzare il modello presentato alla Origami Exhibition in Aomori, Japan

5 Hanji, la carta per gli origami
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6 Mille gru per la pace

E' di Sadako Sasaki l' haiku che apre questo paragrafo, di una ragazza giapponese, morta per leucemia dopo essere stata esposta alle radiazioni della bomba atomica di Hiroshima. Sadako aveva solo un anno quando venne lanciata la bomba su Hiroshima, il 6 agosto 1945. Si trovava a due chilometri di distanza dal punto dell'esplosione della bomba. La sua famiglia venne risparmiata e anche lei sembrava che non avesse riportato alcuna conseguenza e continuò a crescere senza problemi di salute. Poi, improvvisamente, a dodici anni, la malattia.
Secondo un'antica leggenda giapponese, che Sadako conosceva bene, chiunque pieghi mille gru, vede esaudito un suo desiderio. Decise così di piegare le mille gru, in modo che si avverasse il suo desiderio di poter continuare a vivere. Ne aveva realizzate 644, quando morì. I ragazzi giapponesi, venuti a conoscenza della sua storia, fecero una colletta per erigerle una statua, nel Parco della Pace di Hiroshima: Sadako su un piedestallo di granito, che regge una grande gru fra le bracci aperte. Alla base del monumento posero una targa con la scritta: "Questo è il nostro grido, questa è la nostra preghiera, pace nel mondo". E ogni anno, il 6 agosto, il giorno della pace, migliaia di ragazzi di tutto il mondo inviano le loro gru, perché vengano deposte ai piedi della statua di Sadako.
LA GRU DI SADAKO: da uno dei tanti siti dedicati a Sadako segnaliamo le istruzioni per la realizzazione della gru. Sono in inglese, ma le immagini sono talmente chiare da non presentare alcuna difficoltà di lettura.

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7. Gli esaflexagoni
Arthur Stone era un giovane studente inglese che nel 1939 aveva vinto una borsa di studio in matematica alla prestigiosa università americana di Princeton. Stone aveva portato con sé dei quaderni ad anelli, ma la misura dei fogli americani superava di circa tre centimetri la misura dei suoi raccoglitori. Le striscioline di carta, tagliate dai fogli troppo grandi, lo portarono a scoprire un curioso giocattolo. Stone, per gioco, incominciò a piegare in vari modi quelle striscioline, larghe tre centimetri, formando curiose figure. Una in particolare attirò la sua attenzione, ottenuta con alcune pieghe diagonali a sessanta gradi che formavano una serie di triangoli equilateri. La striscia di carta diventò, con queste pieghe, un esagono perfetto. La sequenza dei passaggi per la costruzione di questo esagono è riportata in figura.
La striscia di carta viene piegata in modo da essere suddivisa in l0 triangoli equilateri e successivamente ripiegata lungo 3 punti in modo da formare l'esagono, con l'ultimo triangolo incollato sulla faccia posteriore del primo.
Stone scoprì di aver creato un divertente gioco matematico che battezzò esaflexagono. Bastava pizzicare l'esagono in modo da portare due triangoli adiacenti a combaciare e contemporaneamente spingere lo spigolo opposto verso il centro, per ottenere un nuovo esagono che presentava una nuova serie di triangoli. Se si colorano differentemente la faccia superiore e inferiore dell'esagono, con questo movimento scompare una delle facce colorate e la nuova faccia risulta bianca. Se si ripete l'operazione la figura mostra una terza serie di facce e ripetendola ancora si ritorna alla configurazione di partenza. L'oggetto era per Stone una sfida matematica ed egli lo complicò ulteriormente costruendo un "esa-esaflexagono" che parte da una striscia di carta suddivisa in 19 triangoli equilateri, come in figura, e che può essere flessa in sei modi diversi, con facce sempre differenti.

I suoi esaflexagoni incominciarono a circolare alla mensa dei matematici e venne creato il comitato degli "esaflexagonatori" di cui facevano parte, oltre a Stone, un gruppo di studenti e alcuni illustri matematici dell'Università. Perfezionando il loro gioco, con carta e nastro adesivo, essi costruirono degli esaflexagoni con dodici possibili configurazioni nascoste tra le pieghe, poi con ventiquattro, poi con quarantotto. La teoria degli esaflexagoni fiorì, acquisendo il sapore di una nuova teoria matematica e venne lanciata da Martin Gardner nella sua celebre rubrica su Scientific American.

La seconda guerra mondiale impedì a Stone e ai suoi amici di proseguire lo studio degli esaflexagoni che, per tuo divertimento, puoi ora riprendere tu stesso. Prova a costruirti qualche flexagono con ogni faccia di colore o disegno diverso, come ad esempio quelli indicati in figura, e "flexagonando" scoprirai la bellezza di questo oggetto, una sfida vincente all'arte orientale dell'origami.

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8. Pyramid puzzle

Siamo ai margini, molto ai margini degli origami, ma lo proponiamo perché è un classico dei puzzle. Ebbe un grande successo in tutto il mondo, alcuni anni fa, e venne venduto in milioni di esemplari.
Si devono ritagliare su carta due sagome identiche a quelle della figura e piegarle lungo le linee tratteggiate. Si otterranno in tal modo due solidi uguali che, uniti fra loro in modo opportuno, possono formare una piramide e precisamente un tetraedro.

L'origami ha inoltre diverse applicazioni pratiche. Pensiamo alla piegatura di superfici piane per renderne minimo l'ingombro, come gli airbags o le carte geografiche, piegate in modo così ingegnoso, per facilitarne la lettura, che a volte non riusciamo più a ripiegarle correttamente. Più originali sono certamente le piegature dei tovaglioli sulle tavole imbandite o di altri articoli di carta o di stoffa esposti nelle vetrine.
Per problemi più complicati si ricorre al computer che può suggerire le soluzioni migliori. Ad esempio, è stato costruito un telescopio che richiede la messa in orbita di una grande superficie riflettente ed è il computer che ha suggerito il modo più conveniente per ridurne le dimensioni, alloggiarla in un vettore di dimensioni ridotte e essere sicuri che, una volta in orbita, si riapra senza incidenti. Matematici e scienziati hanno iniziato a catalogare le leggi che regolano le piegature dei fogli di carta, convertendo parole e algoritmi tradizionali in regole algebriche: questo è l'origami computazionale, noto come "origami sekkei".

David Huffman, Doppia spirale

David Huffman, di cui riportiamo un'opera, è stato un grande appassionato di origami e ha realizzato diverse opere molto belle. E ci sono molti artisti che sfruttano le risorse dell'origami sekkei per andare oltre i limiti dell'origami manuale, facendoci scoprire oggetti incredibili, di grande bellezza.
Sarà poi facile per il lettore accertare, attraverso i libri e i collegamenti alle pagine web che segnaliamo, i profondi legami che esistono tra origami e scienza, un campo affascinante tutto da scoprire, ricco di nuove prospettive, grazie in primo luogo ai nuovi spazi scoperti con il computer.

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9. E l'origami vola in alto
Gli aeroplanini di carta, sono origami? La loro origine è sempre l'Antica Cina, forse in un primo tempo più aquiloni che aerei di carta. Si racconta inoltre che il filosofo greco Archita di Taranto, nel IV secolo A. C, abbia realizzato una "colomba" "animata da un soffio d'aria imprigionato dentro", di carta, ma probabilmente con alcune parti in legno. E' stato probabilmente il capitano Fear God Bascomb a portare in Occidente, negli Stati Uniti, il primo modello di aeroplanino di carta, di ritorno da un suo viaggio in Cina, nel 1743. Nel 1853, altra data storica importante, Sir George Cayley, dopo diversi esperimenti condotti con modellini di carta, riuscì a costruire il primo aliante effettivamente in grado di volare. Probabilmente considerare origami gli aeroplanini di carta non è corretto, almeno per gli origamisti più rigorosi. Anche perché nella costruzione degli aerei i carta molte volte è concesso l'uso di colla e forbici, assolutamente proibite invece per gli origami.
http://www.guardian.co.uk/flash/0,5860,1648976,00.html
Il 23 novembre 2005 si è svolta un'importante competizione per paper plane a Londra, organizzata dalla Leeds University, con un nuovo record stabilito da Steve Bond, uno studente universitario. Ha realizzato il volo più lungo del Regno Unito con un modello chiamato Spruce Moose, "Alce elegante", un volo lungo 7 secondi. Riportiamo dal Guardian la guida per la costruzione dell'aereo da record.

Ken Blackburn, detentore del record, categoria durata di volo: 27,9 secondi.

E gli aeroplanini di carta hanno sempre un grande successo, specialmente nelle scuole e non è raro veder volare aeroplanini di carta lanciati dai piani alti degli edifici scolastici. Alla prima competizione internazionale che si tenne nel 1967 sponsorizzata dalla prestigiosa rivista Scientific American, gli organizzatori si aspettavano di ricevere qualche centinaia di iscrizioni, si presentarono invece in 12 mila, di 28 paesi diversi. E il successo continua fino al recente Red Bull Paper Wings, il Campionato mondiale degli aerei di carta, che si è svolto a Salisburgo, il 5 e 6 maggio 2006. I partecipanti sono stati giovani di 48 paesi diversi, selezionati da gare che si sono tenute in 236 università di tutto il mondo. Una sfida in tre diverse categorie: distanza, durata di volo e volo acrobatico. Mentre per le due prime gare si usano soltanto fogli formato A4 da 80 grammi, la classica carta per fotocopie, senza forbici e colla, queste ultime sono invece permesse per la gara acrobatica.

I vincitori sono stati il croato Jovica Kozlica per la categoria "distanza", con un volo di 39,43 metri. Non è riuscito a battere il record mondiale, stabilito nel 1985 dall'americano Tony Fletch con 58,82 metri. Per la "durata di volo" il vincitore è stato il brasiliano Diniz Nogueira Nunes, con 11,5 secondi. Il record mondiale per questa categoria, stabilito ad Atlanta nel 1998, è di un ingegnere aeronautico americano, Ken Blackburn con 27,9 secondi di volo. I risultati che si ottengono dipendono naturalmente dalle condizioni atmosferiche del luogo in cui si eseguono le prove. Ad esempio, un vento favorevole può sicuramente favorire un volo molto più lungo. Questo spiega i risultati più bassi del Red Bull. In questa occasione infatti le gare si sono svolte al chiuso, all'interno di un Hangar. Per la categoria "volo acrobatico" infine, il vincitore è stato l'israeliano Sagi Volniansky.
Della giuria facevano parte, oltre a Ken Blackburn, Andy Chipling, fondatore della PAA, Werner Gruber, ricercatore in Fisica sperimentale dell'Università di Vienna, Orlando Duque, campione di tuffo dalle grandi altezze. "A molti può sembrare solo un gioco, ma non è così: l'aeroplanino va progettato con cura - ha detto Diniz Nunes - Per vincere ho dovuto mettere a punto un velivolo che volasse più in alto possibile, ma anche molto lentamente e che mantenesse il piano del volo per un tempo abbastanza lungo. Pensavo di tornarmene a casa, invece questo è il giorno più bello della mia vita". È d'accordo Sagi Volniansky: "Ci è voluta più di un'ora e mezza per costruire il mio aeroplanino. Ma il giudizio della giuria mi ha premiato: è stato fantastico".

Immagine da http://www.derudas.com/origami/

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Un aggiornamento
dal Corriere della Sera, 24 gennaio 2008

Nella prossima missione spaziale internazionale L'aereo di carta vola in orbita
Un progetto giapponese porterà un aeroplanino di carta in orbita, a novembre

TOKYO (GIAPPONE) - E dopo gli scarafaggi nello spazio è la volta degli aeroplani di carta, quelli che si fanno da bambini e che si continuano a fare da adulti. La partenza per il velivolo cartaceo, opportunamente trattato chimicamente per evitare che vada in fiamme, è prevista per novembre e il lancio avverrà dall'ISS (Stazione spaziale internazionale) in seguito all'iniziativa di Takuo Toda, leader del Japan Origami Plane Association.

MESSAGGINO - "Per favore, riportatemi a casa, ovvero alla Japan Origami Plane Association: questo il testo del messaggino scritto nell'aeroplanino di carta che entrerà nell'orbita spaziale. "Con questo esperimento analizzeremo un nuovo modello di aereo spaziale", ha dichiarato il professor Shinji Suzuki dell'Università di Tokyo.

I MOTIVI - E in effetti le motivazioni principali di questo decollo singolare vanno cercate nel tentativo di studiare gli aerei veri, quelli spaziali. La velocità dell'aeroplanino sarà di circa 24 km orari. Tutto nacque nel 1999, quando per la prima volta Takuo Toda propose al professor Suzuki l'insolita missione spaziale, a cui ora stanno lavorando gli ingegneri aeronautici dell'Università di Tokyo. Suzuki evidentemente lo prese sul serio, dichiarando: "Stimoleremo i sogni di tutti i bambini".

Emanuela Di Pasqua

10. In libreria e in rete
A dimostrazione della popolarità degli origami, il numero di pagine web che Google, oggi 5 maggio 2006, associa alla parola "Origami": 22.200.000. Le segnalazioni che seguono aprono mille strade per approfondire la conoscenza dell'arte dell'Origami. Inoltre, a cascata, infinite altre si potranno aprire attraverso i link segnalati da ogni sito.

Dietro suggerimento di Benedetto Scimemi siamo arrivati al primo libro da leggere per passare dagli origami alla Matematica del Paper Folding, E' gratuito, in rete:
Sundara Rao, T. (Tandalam), b. 1853.
Geometric exercises in paper folding By T. Sundara Row.
Publication : Printed by Addison & co. [1893.]
Description : 3 p. L., vi, 114 p. col. diagrs. 20 cm.
Notes : Accompanied by package of colored papers, 12 cm sq.
Univ. Michigan Lib. : Notice | Volume numérisé

Kasahara Kunihico, Origami facile, Il Castello, 1973

Irmgard Kneissler, Introduzione all'origami, Il Castello, 1999

Luisa Canovi, Corso pratico di origami, Fabbri, 1999

Akira Yoshizawa, Antologia di origami - Animali, Il Castello, 2001

James Minoru Sakoda, Origami moderno, Il Castello, 2001

Nick Robinson, Origami, Mondadori, 2002

Benedetto Scimemi, Algebra e geometria piegando la carta, in
Matematica: gioco ed apprendimento, Apeiron

Christel Claudius, Origami creativi, Hobby & Work, 2003

Emanuele Azzità - Walter-Alexandre Schultz, Il superlibro degli origami, De Vecchi, 2005

Origami, una miniera di informazioni, Vallardi, 2006

Canovi Luisa, Origami, Fabbri, Bompiani, Etas, Sonzogno, 2006

T. Sundara Row, Geometric Exercises in paper-folding, Dover Publications, 1966

Eric Kenneway, Complete Origami : An A-Z facts and folds, with step-by-step instructions for over 100 projects, St. Martin's Griffin, 1986

Tomoko Fuse, Unit Origami: Multidimensional Transformations, Japan Publications (USA), 1990

Tomoko Fuse, Simple Traditional Origami, Kodansha Amer Inc, 1998

Jeremy Safer, Origami to Astonish and Amuse, St. Martin's Griffin, 2001

Michael G. LaFosse, Advanced Origami: An Artist's Guide To Performances in Paper, Tuttle Publishing, 2005

La matematica degli Origami
http://www.origami-cdo.it/articoli/artgeo.htm
http://www.origami-cdo.it/articoli/oriscuola.htm
http://www.merrimack.edu/~thull/OrigamiMath.html
http://www.math.lsu.edu/~verrill/origami/
http://nyjm.albany.edu:8000/j/2000/6-8.pdf

La storia degli Origami
http://www.origami-cdo.it/articoli/storigam.htm
http://www.britishorigami.info/academic/lister/basichistory.htm

Diagrammi per origami
http://dev.origami.com/diagram.cfm
http://www.bestpaperairplanes.com/

Le Associazioni degli origami
http://www.origami-cdo.it http://www.origami-noa.com/index_e.htm
http://www.origami-cdo.it/index.htm
http://www.britishorigami.info/
http://www.origami-usa.org/

I grandi origamisti
Akira Yoshizawa: http://www.giladorigami.com/BO_Yoshizawa_Exn.html
http://www.timesonline.co.uk/article/0,,60-1546162,00.html
http://www.guardian.co.uk/japan/story/0,7369,1454660,00.html
Yoshihide Momotani: http://www.jpf.go.jp/e/others/news/0304/04_05.html
Joseph Wu: http://www.origami.as/home.html
Robert J. Lang: http://www.langorigami.com/index.php4

Mailing list degli Origami. E' sufficiente scrivere semplicemente
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listserv@mit.edu

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Progetto Polymath - Matematica e... Origami

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MATEMATICA E... ORIGAMI di Federico Peiretti 1. Origami, matematica come arte 2. Prime esperienze matematiche 3. La Pajarita, il più celebre fra gli origami 4. Un'arte sempre attuale 5. Hanji, la carta per gli origami 6. Mille gru per la pace 7. Gli esaflexagoni 8. Pyramid puzzle 9.

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Mondrian e le rette nel piano (parellele e perpendicolari)

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Mondrian e le rette nel piano (parellele e perpendicolari)

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Hai mai sentito parlare della sezione aurea? Vuoi sapere perché è qualcosa che ogni designer dovrebbe conoscere ed utilizzare?

Questo articolo vuole essere una guida completa e definitiva a uno dei più potenti strumenti di ogni buon designer. Ti spiegherò che cos'è la sezione aurea, da dove cavolo spunta fuori e, soprattutto, come usarla per la grafica e il design attraverso esempi, esperienze, consigli e risorse.

Ok, sei pronto? Allora, procediamo!

Come avrai capito, questo articolo parla di quel particolare rapporto matematico che prende il nome di Sezione aurea ma anche di Rapporto aureo (in inglese Golden ratio, il nome più comune), Numero aureo, Costante di Fidia e addirittura Proporzione divina.
Si, ok, Lorenzo, mi fa piacere questo sfoggio di sinonimi però arriviamo al dunque, che diavolo è sta sezione aurea??
Il mio alter ego ha pienamente ragione, non perdiamo tempo e diamo un po' di informazioni importanti. Partendo da quella principale: che cos'è la sezione aurea? Più avanti vedremo invece come puoi utilizzarla per i tuoi progetti e quali sono le migliori risorse da sfruttare, ma procediamo con ordine!

Che cos'è la sezione aurea?

Si può definire in molti modi ma, sostanzialmente, la sezione aurea è un rapporto tra due numeri. In particolare, è un rapporto tra due numeri che dà come risultato il numero irrazionale 1,618033 (e tanti tanti altri decimali dopo). Questo numero, essendo veramente unico e particolare, un po' come il pi greco, prende il nome di Phi.

Un altro modo per definirla è prendere un numero a e un numero b e dire che a+b sta ad a come a sta a b.

I famosissimi numeri della successione di Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...), il cui ultimo numero viene calcolato sommando i due precedenti, su wikipedia è spiegato meglio, sono strettamente legati alla sezione aurea. Infatti i rapporti tra due numeri qualsiasi, tra quelli affiancati, della successione danno come risultato la costante Phi della sezione aurea (1,61blablabla).

In pratica si può anche dire che la sezione aurea è la relazione tra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci.

Ma cosa rende così speciale la sezione aurea? Cioè, perché cavolo io, Lorenzo Miglietta, graphic designer, dovrei mettermi a parlare di questo rapporto aureo??

Perché il rapporto aureo è alla base di molte delle forme più armoniose della natura. Lo stesso nome, "aureo", indica il senso di armonia e di perfezione generato dalle forme che si basano su questo numero nel nostro cervello.

In natura

La sezione aurea in natura assume spesso la forma della spirale costruita su rettangoli che seguono il rapporto 1,618:1. La spirale aurea è infatti una spirale di tipo logaritmico che cresce seguendo un cosiddetto fattore di accrescimento pari a Phi.

Alcuni esempi della spirale aurea in natura possono essere alcune forme di conchiglie, la disposizione degli stami dei fiori, la forma delle galassie e dei cicloni e tantissime altre.

Invece di postare carrellate di immagini viste e riviste da tutte le parti ho deciso di postare questo meraviglioso video che mostra le correlazioni tra i numeri, in particolare il numerino che ci piace tanto, e la natura.

Guarda queste immagini, la sezione aurea è ovunque!

Nell'architettura e nell'arte

L'uomo, si sa, ha sempre copiato dalla natura per fare le sue opere d'arte, che siano pittoriche o architettoniche. Proprio il nome sezione aurea deriva dall'utilizzo greco di questa formula, che veniva utilizzata per calcolare le proporzioni armoniose tra le varie parti degli edifici o delle statue rappresentanti le figure umane.

Eh si, perché pure nell'uomo è largamente presente la golden ratio. Lo sapevano bene Vitruvio prima e Leonardo Da Vinci con il suo famoso "Uomo Vitruviano". In particolare, nell'essere umano, il rapporto tra l'altezza totale e l'altezza dall'ombelico a terra indovinate che numero dà? 1,618, esatto!

Facendo una ricerca su Google immagini, ad esempio con la chiave in inglese " vitruvian man golden ratio " troverete decine e decine di possibili applicazioni a quel famoso disegno della sezione aurea e delle forme generate da questo rapporto.

Che comunque pure i greci la usavano piuttosto bene eh:

Ok, la prima parte della guida per designer alla sezione aurea è conclusa.

Prima di andare alle cose pratiche vedendo come la sezione aurea può essere utilizzata nel design, nella grafica, nel web-design e perfino nella fotografia ti chiedo di comprendere quante ore ho impiegato per scrivere questa guida nel modo più completo possibile.

Come puoi usare la sezione aurea per il design

Ok, una volta spiegato il suo significato matematico e compositivo della natura, applicare la "sezione dorata" può apparire molto più difficile di quello che è in realtà. Ci sono infatti alcuni trucchetti che puoi usare per migliorare i tuoi progetti senza passare ore a fare calcoli astrusi.

Il primo trucco è molto famoso ed è chiamato la regola dei terzi. Essa consiste sostanzialmente nel suddividere la pagina, la foto o il layout su cui si sta lavorando in tre parti verticali e in tre parti orizzontali. I 4 punti in cui queste linee si incontreranno saranno quelli su cui andrà focalizzata l'attenzione.

Perché? Beh, perché così ragiona il cervello umano, siamo abituati a suddividere quello che vediamo in aree di interesse in base a come sono strutturate e a concentrarci sui punti focali posizionati nell'area centrale di quello che vediamo.

Un altro metodo per implementare la sezione aurea nei tuoi progetti è utilizzare le forme e le griglie della stessa. Ad esempio costruire delle grafiche basandosi sulla spirale aurea vista prima o sulla divisione dell'area di lavoro in base ai rettangoli e alle proporzioni del rapporto aureo.

Ma vediamo alcune applicazioni del numero aureo nelle varie categorie del design.

La sezione aurea nel logo design

Una delle applicazioni più comuni e più utilizzate è all'interno del graphic design, e in particolare nella costruzione dei loghi. Creare un logo non è una cosa semplice, esistono delle regole, ed esistono pure delle possibili applicazioni di formule geometriche come appunto quella del rapporto aureo.

Anche te puoi applicare le forme e le griglie quando disegni su carta o quando lavori con Photoshop o Illustrator (se stai lavorando su un logo, però, ovviamente su Illustrator, e qua spiego perché). Tra poco vedremo anche alcune utili risorse e tool per costruire forme auree su questi programmi.

Di esempi di loghi costruiti seguendo i principi e le forme del rapporto aureo ce ne sono moltissimi. Ti faccio vedere quelli che, secondo me, sono gli esempi più esplicativi.

Innanzitutto c'è il logo della National Geographic, le cui proporzioni sono un palese omaggio alle armonie auree. Il rapporto tra i due lati del rettangolo infatti non devo nemmeno dirvi quanto è, vero?

Altro calzante esempio è il logo della Apple, composto interamente da cerchi i cui raggi danno i numeri della successione di Fibonacci.

E infine il nuovo logo della Pepsi (ne hanno cambiati molti, seguendo le regole per fare un buon rebranding), composto anch'esso da alcune armoniose e "aureose" forme geometriche.

La sezione aurea nella fotografia

Anche nella fotografia si possono applicare le stesse regole che si applicano alla grafica e al design. In particolare è molto utile la regola dei terzi. Ad esempio una regola non scritta per quando si fotografa frontalmente un viso è quella di far stare gli occhi all'altezza dei due punti di incrocio superiori.

Le forme, in particolar modo la spirale aurea, possono anche essere utilizzate per creare fotografie dalle proporzioni fortemente armoniche. Come in questo caso, occhi nel punto focale della spirale e foto che sembra svilupparsi lungo questa linea:

La sezione aurea nel web design

Le proporzioni della sezione aurea sono largamente utilizzate anche nella costruzione dei layout dei siti web. Ad esempio si segue molto spesso il rapporto 1,618:1 tra la colonna dei contenuti e la sidebar (la barra laterale di un sito).

Qui un esempio di come può essere trovata una giusta proporzione all'interno di un sito web:

In qualsiasi momento, se avete una larghezza totale di un layout potete utilizzare la formula scritta nell'immagine qui sopra per ricavare le proporzioni auree.

La sezione aurea nella formattazione dei testi

Già, persino nella formattazione dei testi il rapporto aureo viene utile. Ad esempio se si vuole ricavare la grandezza più armoniosa per il titolo di un paragrafo il cui testo ha un corpo di 14 punti, si può moltiplicare il corpo per 1,618.

14 x 1,618 = 22,652

Quindi un titolo di 22 o 23 punti sarà sicuramente perfetto per un paragrafo di corpo 14.

Alcuni strumenti utili

Come promesso, a conclusione di questa guida, ecco un elenco di strumenti, tool e risorse utili per calcolare e utilizzare la sezione aurea nel design.

La prima risorsa è un "must have" per ogni graphic designer: un pacchetto .rar che ho preparato per te e che contiene:

Il template della spirale aurea per Illustrator

I file con le griglie auree a 12, 16 e 24 colonne per Photoshop, Illustrator, Indesign e Flash.

Insomma, c'è tutto quello che ti serve per poter progettare con la sezione aurea! Ed è GRATIS! Basta iscriversi alla Newsletter di Grafigata per scaricarlo! :)

[emaillocker] Grafigata - Risorse sezione aurea[/emaillocker]

(Se invece sei già tra i tanti iscritti, basta semplicemente scrivere il tuo indirizzo e-mail e potrai scaricarlo immediatamente!)

Queste sono invece altre utili risorse per la progettazione:

goldenRATIO - app a pagamento per dispositivi Apple utile a progettare siti web, interfacce e layout con il rapporto aureo;

PhiCalculator - applicazione gratuita sia per Mac che per PC;

Golden Ratio Calculator Typography - sito web che permette di calcolare le proporzioni più armoniose tra dimensione di testi e larghezza del sito web

CalcoloAureo - sito italiano per calcolare in modo rapido e interattivo le dimensioni di un rettangolo in sectio aurea;

Atrise Golden Section - applicazione a pagamento (con versione trial di 30 giorni) che mette a disposizione griglie, layout e forme da applicare a fotografie e progetti vari.

Inoltre, se volete approfondire l'aspetto teorico e storico del numero Phi vi consiglio questi due ottimi libri:

Conclusioni

Siamo giunti a conclusione di questa guida per designer alla sezione aurea. Sei convinto adesso di quanto possa essere potente come strumento per creare cose belle? Cose armoniose ed equilibrate?

Personalmente la sezione aurea è una cosa che mi affascina incredibilmente e ogni qual volta ne ho la possibilità la cerco sempre di utilizzare.

Fammi sapere, nel box dei commenti qui sotto, che ne pensi di questo articolo. Come utilizzi il rapporto aureo? Hai altri esempi o risorse da consigliare?

Alla prossima,

Lorenzo.

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Guida per designer alla sezione aurea - Grafigata!

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Hai mai sentito parlare della sezione aurea? Vuoi sapere perché è qualcosa che ogni designer dovrebbe conoscere ed utilizzare? Questo articolo vuole essere una guida completa e definitiva a uno dei più potenti strumenti di ogni buon designer.

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Sono rimasto affascinato dal progetto del giovanissimo fotografo, studente, e matematico americano (New York) Nikki Graziano. Egli riesce a vedere, con straordinaria eleganza, curve complesse la dove altri vedrebbero il verde, una nuvola, alberi.

La naturale - ed al contempo inattesta - relazione tra natura e matematica, tra bellezza e formula, tra sentimento estetico e rigidità numerica, mi ha riportato alla mente la meravigliosa visione di un genio della matematica. non sempre adeguatamente conosciuto dai più: Fibonacci. Mi riprometto di parlare della sua opera molto presto.

Le medesime opere sulla sua pagina personale:

nikkigraziano.com

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Sono rimasto affascinato dal progetto del giovanissimo fotografo, studente, e matematico americano (New York) Nikki Graziano. Egli riesce a vedere, con straordinaria eleganza, curve complesse la dove altri vedrebbero il verde, una nuvola, alberi.

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Benvenuti nel mondo matematico di Escher

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I frattali di Pollock

di Federico Peiretti

William Blake, Ancient of Days, 1824

Quando Richard Taylor si trovò di fronte a Blue Poles, Number 11, di Jackson Pollock, alla National Gallery di Camberra, gli venne spontaneo pensare ai frattali. Era un dipinto del 1952, acquistato dal governo australiano nel 1973 per 2 milioni di dollari e valutato oggi 40 milioni di dollari, circa 70 miliardi di lire.

"La mia pittura non viene dal cavalletto. Non tendo quasi mai la tela prima di dipingere. Preferisco inchiodarla, non tesa, sul muro o sul pavimento. Ho bisogno della resistenza di una superficie dura. Sul pavimento sono più a mio agio. Mi sento più vicino, più "parte del dipinto", perché in questo modo posso camminargli attorno, lavorare da tutti e quattro i lati ed essere veramente in esso. E' un metodo simile a quello dei pittori su sabbia dell'India orientale. Mi allontano sempre più dai soliti strumenti del pittore - scriveva Jackson Pollock - come il cavalletto, la tavolozza, i pennelli ecc. Preferisco i bastoncini, la cazzuola, i coltelli, la vernice fluida gocciolata o un pesante impasto di sabbia, vetro sminuzzato e altri materiali insoliti".

L'intreccio di linee, tracciate da Pollock sulla tela, rifletteva la caratteristica fondamentale del frattale, osservò Richard Taylor, la "autosomiglianza": in un oggetto frattale, ogni più piccola parte è simile, ma non necessariamente identica, alle forme più grandi della stessa struttura. Questa autosomiglianza, a livelli diversi, è una delle caratteristiche fondamentali dei frattali.

Se tentiamo di misurare un tratto di costa vediamo che la sua lunghezza aumenta man mano che scendiamo a misurarne i particolari: la distanza tra San Remo e Imperia che è, secondo la guida Michelin, di 23 chilometri, aumenta se noi, invece di percorrere la Via Aurelia, camminiamo lungo il bordo del mare ed aumenterà ancora di più se ne percorriamo ogni più piccola insenatura o misuriamo il contorno di ogni sasso che incontriamo sul percorso. Al limite proseguendo con questo processo di raffinamento della misura, se teniamo conto delle curve tra ogni molecola possiamo immaginare che la distanza fra San Remo e Imperia, diventi infinita.

E questo è proprio il fascino di queste forme. "Quando entrai in questo gioco - ricorda Mandelbrot, il matematico che è stato tra i primi a studiare i frattali - c'era una totale assenza di intuizione. Si doveva creare un'intuizione dal nulla. L'intuizione qual era addestrata dagli strumenti soliti - la mano, la matita e il righello - trovò queste forme mostruose e patologiche. La vecchia intuizione era sviante. Le prime immagini furono per me del tutto sorprendenti; poi riconobbi alcune immagini da immagini precedenti e così via. L'intuizione non è qualcosa di dato. Io ho addestrato la mia intuizione ad accettare come ovvie delle forme che in principio venivano rifiutate come assurde, e trovai che chiunque altro può fare lo stesso".

Forse, pensava Taylor, fisico dell'Università di Sydney e appassionato d'arte, l'artista con la sua intuizione era arrivato prima del matematico alla nuova geometria. Per provarlo si poteva inserire una riproduzione della tela nel computer e tentarne un'analisi matematica, seguendo un procedimento simile a quello utilizzato per i frattali.

Con i suoi colleghi, Taylor ha così analizzato la produzione artistica di Pollock tra gli anni 1943 e 1952. E' il periodo in cui prevale la tecnica del dripping, ossia delle tele "gocciolate": tele enormi, stese sul pavimento e sulle quali il colore veniva fatto gocciolare con pennelli o bastoncini in modo da creare complessi grovigli di linee. E il computer ha confermato l'idea di Taylor: le tele gocciolate di Pollock sono frattali di cui è anche possibile calcolare la dimensione. Il concetto di dimensione frattale è piuttosto complicato. Diciamo soltanto che mentre una linea ha dimensione uno, un quadrato due e un cubo tre, il frattale ha una dimensione frazionaria, rispetto alle dimensioni classiche della geometria euclidea. E la dimensione dei lavori di Pollock, calcolata al computer, è andata crescendo nel corso degli anni. Ad esempio, il suo dipinto Alchimia, del 1947, ha dimensione 1,5 e arriva a 1,72 nelle ultime opere. "L'analisi frattale - afferma Taylor - può essere utile per autenticare e datare le opere di Pollock. Le variazioni della dimensione frattale riflettono l'evoluzione delle sue opere". La sua pittura si è fatta sempre più complessa con il passare degli anni. Nei primi lavori del 1943 soltanto il 20% della tela era coperto dalle sue linee, mentre nel 1953 ne ricoprivano fino al 90%. I critici hanno parlato di "esplosioni disorganizzate di energia casuale".

Il fascino di queste grandi tele gocciolate arriva anche dalla matematica, dal mondo dei frattali, da queste forme stupende che riflettono la realtà: "Le nubi non sono sfere - scrive Mandelbrot - le montagne non

"Univers", création d'Yvan Rebyj, artiste du mouvement fractaliste.

sono coni, le linee di costa non sono cerchi e la corteccia non è liscia, né il fulmine viaggia in linea retta". I frattali sono forme che sono diventate efficaci modelli per indagini di ogni tipo, fondamentali per lo studio della teoria del caos, strumenti indispensabili per il fisico, l'economista, il medico o il sociologo.

E ai frattali è arrivato anche l'artista, non con l'analisi del matematico, ma con l'intuizione, dimostrando ancora una volta quale profondo legame esista tra matematica e arte.

Grazie al computer che consente di creare senza difficoltà oggetti frattali di straordinaria bellezza, si sono poi moltiplicati in questi ultimi anni le esperienze di arte frattale. Sono sempre più numerosi i frattalisti, basta navigare fra le migliaia di pagine su Internet per rendersene conto.

A Parigi, un gruppo di artisti d'avanguardia ha fondato il movimento dei Frattalisti. Il loro manifesto, un po' marinettiano, è del 1997: "Tutto brulica, vibra, s'attorciglia, brilla, sprizza, esulta, sobbalza, danza, volteggia, palpita, sfarfalla, turbina - scrive il teorico del gruppo, il critico d'arte Henri-Francois Debailleux - Veniamo precipitati dentro vortici, ritmi e turbinii come se la testa fosse dentro il cestello della lavatrice: tutto si muove, tutto gira e in tutte le direzioni".

Kerry Mitchell, senza titolo

Edward Berko, senza titolo

Un altro punto di riferimento è il Gruppo Internazionale di Arte Frattale che ha sede in Brasile. Ne fa parte, fra gli altri, anche Paolo Portoghesi che si presenta come "architetto frattalista". "Senza copiare la natura l'artista frattale - scrive Dalva de Abrantes, nella presentazione del gruppo - riproduce quanto di più selvaggio, irrazionale e irregolare esiste nella natura stessa, vista nel suo divenire, nella sua essenza, piuttosto che nella sua apparenza".

C'è un libro molto bello dedicato ai frattali, La bellezza dei frattali di Heinz-Otto Peitgen e Peter Richter, edito da Bollati Boringhieri. I due autori, matematici di professione, mettono in evidenza anche l'aspetto estetico dei frattali, e scrivono: "Scienza e arte: due modi complementari di porsi in relazione con la realtà naturale, analitico il primo intuitivo il secondo. Considerate agli antipodi l'una dall'altra, talvolta inconciliabili, sono intimamente legate; nel suo sforzo di risolvere tutta la complessità dei fenomeni in poche leggi fondamentali, l'uomo di pensiero è lui stesso un visionario, e non meno di chi ama il Bello, si immerge nella ricchezza delle forme sentendosi parte dell'eterno divenire". A volte sembra che il matematico voglia nascondere la bellezza della matematica. Philip J. Davis e Reuben Hersh in un celebre libro di divulgazione matematica, The mathematical Experience, pubblicato da Penguin Books: "L'elemento estetico della matematica è spesso ignorato e ciò contribuisce a farla sentire arida come la polvere, eccitante come l'elenco del telefono. Viceversa è proprio questo aspetto a vivificare la materia, a renderla coinvolgente forse come nessun'altra creazione della mente".

In libreria e in rete:

Ian Stewart, Che forma ha un fiocco di neve?, Bollati Boringhieri, 2003

Benoit B. Mandelbrot, Nel mondo dei frattali, Di Renzo, 2001

Benoit B. Mandelbrot, Gli oggetti frattali, Einaudi, 2000

Benoit B. Mandelbrot, La geometria della natura, Theoria, 1989

H. - O. Peitgen e P. H. Richter, La bellezza dei frattali, Bollati Boringhieri, 1987

Jakson Pollock sul web

http://www.artchive.com/ftp_site.htm

Per conoscere i frattali:
http://math.bu.edu/DYSYS/arcadia/index.html http://mathforum.org/alejandre/workshops/fractal/fractal3.html
Un altro punto di partenza è la pagina di Alex Bogomolny:
http://www.cut-the-knot.com/do_you_know/dimension.html
E quello della Cambridge University:
http://www.nrich.maths.org.uk/MOTIVATE/
Fractint, è un programma che consente di generare frattali di ogni tipo. Si può scaricare gratuitamente al seguente indirizzo:
http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html
Il sito dei Frattalisti:
http://www.iua.upf.es/~giribet/master/fractalistes/frame0001.html
Seattle Fractals Digital art
http://fractalarts.com/SFDA/index.html
Frattali tridimensionali
http://www.3dfractals.com/
Introduzione alle dimensioni frattali
http://ltcmail.ethz.ch/cavin/fractals.html http://math.rice.edu/~lanius/fractals/dim.html
La Fractal Foundation. Il suo scopo è "educare la gente alla matematica, all'arte, alla scienza, alla teoria del caos e alla natura
http://www.fractalfoundation.org
Progetto Frattali, creato dall'INRIA, Institut National de Recherche en Informatique
http://complex.inria.fr/

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Progetto Polymath - Articoli - I frattali di Pollock

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I frattali di Pollock di Federico Peiretti William Blake, Ancient of Days, 1824 Quando Richard Taylor si trovò di fronte a Blue Poles, Number 11, di Jackson Pollock, alla National Gallery di Camberra, gli venne spontaneo pensare ai frattali.