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Baroni : Verde
Kauê :  Amarelo
Mister Léo : Roxo

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Junpiter O Grande planeta de Thomas em Seu Mannykombio  do cálculo

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Junpiter O Grande planeta de Thomas em Seu Mannykombio  do cálculo

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Exercício.
(x+3)² = (x+3) . (x+3) = x²+6x+9
(2x+1)²= (2x+1) . (2x+1)= 4x²+ 4x+1

Produtos notáveis que resultaram em cada trinômio perfeito a seguir.
x² + 6x + 9 = (x +3)²
a² - 2a + 1 = (a-1)²

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Fatoração 03: Trinômio quadrado perfeito

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Trinômio Quadrado Perfeito (mapa mental)

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Trinômio Quadrado Perfeito (mapa mental)

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Bhaskara Akari foi um grande matemático que viveu de 1114 a 1185 na índia, além de matemático o mesmo era astrólogo, astrônomo e professor. Sua grande fama se deve ao fato de ter criado a fórmula aplicada da equação de 2º grau, mesmo que, ainda hoje muitos contestam esse fato.

A termologia da fórmula é uma homenagem ao seu criador, o professor e astrólogo indiano Bhaskara Akaria. Ele é tido como um dos principais matemáticos do século XII.

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x² + 4x + 4 = 0
x² + 4x + 4 =0
(x  + 2)² = 0
(x + 2) . (x + 2) = 0
x + 2 = 0 x = -2
S = {-2}.
Obs: Sublinhado em verde é o trinômio quadrado do perfeito.

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O ∆ tanto em matemática quanto física significa a variação de algo. Por exemplo a variação de tempo (∆t) é o tempo final (tf) subtraído do tempo inicial (t0). A variação de deslocamento é a posição final menos a posição inicial.

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Equação do 2° grau + fórmula de Bhaskara (mapa mental)

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Equação do 2° grau + fórmula de Bhaskara (mapa mental)

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Equação de 2°grau  Formola de Bhaskara - Δ

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Equação de 2°grau  Formola de Bhaskara - Δ

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O Δ é o discriminante da equção
exemplo 1:
Δ= b²
O Δ também é usado na formula de Bhaskara para encontra um valor de uma incógnita
exemplo 2:
x= -b + - √Δ /2.a

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Exercícios de fórmula de Bhaskara (com passo a passo de como fazer a Bhaskara)

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Exercícios de fórmula de Bhaskara (com passo a passo de como fazer a Bhaskara)

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Blog do Beduka | Matérias resumidas, Dicas e Exercícios Enem

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A Fórmula de Bháskara é um método usado para resolver equações do segundo grau. Com ela, encontra-se as raízes reais por meio dos coeficientes (ax² + bx + c = 0). Seu nome é uma homenagem ao indiano que a inventou, o matemático Bhaskara Akaria (1114 - 1185). Veja nossa lista de exercícios sobre a fórmula de Bhaskara.

Quando você terminar as questões sobre Fórmula de Bhaskara, faça nosso Simulado Enem. Coloque em prática todo o seu estudo, escolhendo as matérias que deseja treinar.

Criada para resolver problemas envolvendo equações do 2° grau, a Fórmula de Bháskara é um dos conteúdos mais importantes para o ENEM e outros vestibulares.

Neste post, escrevemos para você um resumo com tudo o que você precisa saber e ao final, listamos exercícios sobre a Fórmula de Bháskara.

A Fórmula de Bháskara

A Fórmula de Bhaskara é descrita com a seguinte expressão:

O objetivo da Fórmula de Bhaskara é encontrar as raízes da equação de segundo grau.

Uma equação de segundo grau é descrita, genericamente, como:
ax² + bx + c = 0
Raízes são os valores numéricos que o X pode assumir, a partir do sinal que usamos antes da raiz de delta. Sendo as possibilidades, sinal negativo ou positivo.

Como resolver uma equação do 2º grau? Veja o passo a passo de como usar a fórmula de Bhaskara

Daqui para frente, iremos explicar passo a passo como resolver uma equação de segundo grau para que você chegue preparado nos exercícios.

1° Passo: identifique os coeficientes da equação

Na equação, identifique quais números estão no lugar das letras a, b e c. Cada letra dessas é um coeficiente.

Dica do Beduka: Normalmente, uma equação não virá com a, b e c, mas com números que ocuparão essa posição. Na hora da prova, você é que deverá saber identificar os números que representam essas letras, para substituí-los nas equações. Seja descobrindo o valor de delta, seja descobrindo as raízes da equação.

2° Passo: calcular a discriminante, ou seja, o delta

Discriminante é a equação representada pela letra delta (sim, aquela que parece um triângulo exibida lá no início do post). Resolva essa equação e descubra o valor de delta, assim, você poderá pegar esse valor e inseri-lo na Fórmula de Bhaskara.

Apenas os valores de delta já te dão unssobre o resultado da equação:

Delta menor do que zero: equação não possui raízes reais;

Delta igual a zero: a equação possui duas raízes iguais;

Delta maior do que zero: a equação possui duas raízes distintas reais.

3° Passo: substitua o valor de delta e dos coeficientes (a e b)

No lugar das letras e do símbolo de delta, coloque os valores numéricos, os números mesmo! Simplesmente você fará uma substituição.

4° Passo: descubra as raízes da equação

Observando a Fórmula de Bhaskara, você perceberá que antes da raiz de delta, existem dois sinais. Um sinal de adição (+) e outro de subtração (-). Bem, você terá que realizar dois cálculos. Um usando a fórmula com o sinal positivo e o outro com o negativo. Ficando assim:

X' e X" são as raízes da equação.

Dica do Beduka: lembre-se de olhar os casos onde você já tem os "spoilers", ou seja, já tem informações do resultado a partir do valor do delta. Isso pode lhe garantir um bom tempo de vantagem na hora da prova.

Viu como é possível aprender de forma bastante simples com o Beduka? Que tal agora praticar para ter certeza que aprendeu, assim você pode atestar que está totalmente preparado.

Exercícios sobre a Fórmula de Bhaskara

Chegou o momento de colocar na prática todo o seu conhecimento fazendo exercícios sobre a Fórmula de Bhaskara.

Parabéns por ter lido até aqui!!!

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1- (ENEM 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante do desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão (t em minutos):

Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge temperatura de 39 °C. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

a) 19,0

b) 19,8

c) 20,0

d) 38,0

e) 39,0

2- (UFMT - COPEL) Dada a equação do segundo grau x² - 3x - 4 = 0, assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, os valores de Δ e da soma das raízes dessa equação.

a) 25 e 3

b) 25 e 5

c) 36 e 2

d) 36 e 4

3- (IFSC/2017) Pedro é pecuarista e, com o aumento da criação, ele terá que fazer um novo cercado para acomodar seus animais. Sabendo-se que ele terá que utilizar 5 voltas de arame farpado e que o cercado tem forma retangular cujas dimensões são as raízes da equação x² - 45x + 500 = 0, qual a quantidade mínima de arame que Pedro terá que comprar para fazer esse cercado?

Assinale a alternativa CORRETA.

a) 545m

b) 500m

c) 225m

d) 450m

e) 200m

4- (IFBA/2017) Durante as competições Olímpicas, um jogador de basquete lançou a bola para o alto em direção à cesta. A trajetória descrita pela bola pode ser representada por uma curva chamada parábola, que pode ser representada pela expressão:

h = -2×2 + 8x

(onde "h" é a altura da bola e "x" é a distância percorrida pela bola, ambas em metros)

A partir dessas informações, encontre o valor da altura máxima alcançada pela bola:

a) 4m

b) 6m

c) 12m

d) 10m

e) 8m

5- (IFSC/2017) Dada a equação quadrática 3×2 + 9x - 120 = 0, determine suas raízes.

Assinale a alternativa que contém a resposta CORRETA:

a) -9 e 15

b) -10 e 16

c) -8 e 5

d) -5 e 8

e) -16 e 10

Respostas dos exercícios sobre a Fórmula de Bhaskara
Exercício resolvido da questão 1 -
Exercício resolvido da questão 2 -
Exercício resolvido da questão 3 -
Exercício resolvido da questão 4 -
Exercício resolvido da questão 5 -

Alternativa correta: d) 38,0

Alternativa correta: a) 25 e 3

Alternativa correta: d) 450m

Alternativa correta: e) 8m

Alternativa correta: c) -8 e 5

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Exercícios sobre a Fórmula de Bhaskara com Gabarito

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A Fórmula de Bháskara é um método usado para resolver equações do segundo grau. Com ela, encontra-se as raízes reais por meio dos coeficientes (ax² + bx + c = 0). Seu nome é uma homenagem ao indiano que a inventou, o matemático Bhaskara Akaria (1114 - 1185).

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Equação de sgundo grau do tipo Ax²=0 (Vídeo)

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Equação de sgundo grau do tipo Ax²=0 (Vídeo)

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resolução de equação incompleta - tipo ax² = 0

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Quadrado da soma de dois termos:
(a + b )² = a² + 2ab + b ².
Exemplo.
(x + 2 ) ² =  (x)² + 2 . x . 2 + (2)² = x² + 4x + 4
Quadrado da diferença de dois termos:
(a - b)² = a² - 2ab + b².
Exemplo.
(x - 2)² = (x) - 2 . x . x + (2)² = x² - 4x + 4.

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Questão 1) Quais são as raízes reais da equação x² – x = 6?

a) 25 e – 2

b) 25 e 3

c) Apenas 3

d) 3 e – 2

e) Apenas – 2

Questão 2) Um terreno quadrado possui área de 144 metros quadrados e apenas a sua frente ainda não está murada. Quantos metros de muro terão que ser feitos para isolar completamente esse terreno?

a) 24 m

b) 576 m

c) 144 m

d) 18 m

e) 12 m

Questão 3) (ENEM 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante do desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão (t em minutos):

T(t) = – t² + 400
4

Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge temperatura de 39 °C. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

a) 20,0

b) 19,8

c) 19,0

d) 38,0

e) 39,0

Questão 4) Qual é a medida de um ângulo interno de um polígono convexo que possui 230 diagonais?

a) 1849°

b) 23°

c) 164,35°

d) 3780°

e) 20°

Gabarito:
1) D
2) E
3) D
4) C

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EQUAÇÃO DO 2º GRAU COMPLETAS - Método da Fatoração - Professora Angela Matemática

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Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência:

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Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência:

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1. Substituir a incógnita por esse número.

2. Determinar o valor de cada membro da equação.

3. Verificar a igualdade. Sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

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Equações incompletas do 2º grau (mapa mental)

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Equações incompletas do 2º grau (mapa mental)

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A equação do 2º grau é representada por: ax²+bx+c=0. ... A equação de 2º grau pode ser representada por ax²+bx+c=0, em que os coeficientes a, b e c são números reais, com a ≠ 0.

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As equações completas são as equações as equações que possui todos os coeficientes diferente de zero, e as equações incompletas são as equações que não possui  uma ou mais coeficientes.
Exemplos pg 131:
-equação completa
3x²+12x-7=0
-equação incompleta
3x²-7=0

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Exercícios (3 exercícios, 2 normais e 1 de universidade)

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Exercícios (3 exercícios, 2 normais e 1 de universidade)

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Os coeficientes da equação são: a = 4, b = 8, c = 6. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

Como Δ < 0, a equação não possui raiz real.

voltar a questão
Resposta Questão 2
Os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = - 4, c = - 5. Agora basta aplicar esses valores na fórmula de Bhaskara:

Nesse caso, a equação tem duas raízes reais: - 1 e 5.

voltar a questão
Resposta Questão 3
Ao identificar os coeficientes da equação, encontramos: A = 1, B = ae C = b. Agora basta aplicar esses valores na fórmula de Bhaskara. Para não nos confundirmos, neste exercício utilizaremos letras maiúsculas na fórmula de Bhaskara. Ao substituir os coeficientes, utilizaremos letras minúsculas como de costume:

Δ= a 2 - 4.1.b
Δ= a 2 - 4.b

Essa equação terá duas raízes, o que as diferenciará será o sinal ± que antecede a raiz quadrada. Então, iremos considerar como v o resultado com a raiz quadrada positiva e como w o resultado com a raiz quadrada negativa. A soma dos quadrados de v e w é dada por:
v² + w2

Como possuem sinais opostos, os dois termos com raiz serão cancelados, restando apenas:

Portanto, a alternativa correta é a letra a.

voltar a questão
Resposta Questão 4
Chamaremos por x o número que estamos procurando, seu inverso multiplicativo é 1/x. Se a soma de x com o dobro de seu inverso multiplicativo é 33/4, teremos:

Para resolver essa equação do 2° grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Encontramos duas raízes para a equação, mas observe que o exercício refere-se apenas à raiz que é um número racional não inteiro, portanto, o primeiro resultado não é interessante, pois 8 é um número inteiro. Sendo assim, utilizaremos o valor de x'', uma vez que ¼ = 0,25.

A alternativa correta é a letra e, pois ¼ é maior que zero e é menor que 3/10, que equivale a 0,3.

voltar a questão

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Exercícios sobre Equação do 2° Grau - Mundo Educação

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Os coeficientes da equação são: a = 4, b = 8, c = 6. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos: Como Δ < 0, a equação não possui raiz real. voltar a questão Resposta Questão 2 Os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = - 4, c = - 5.

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É p valor que, ao ser atribuído à incógnita, torna a igualdade verdadeira. As equações do 2° grau podem  ter até duas raízes reais distintas. Observe a equação do 2° grau 2x² - 8x + 6 =0.

Explicação.
Se x = 1
2 . (1)² - 8 . (1) + 6 = 0
2 - 8 + 6 = 0
-6 + 6 = 0

Se x = 3
2 . (3)² - 8 . (3) + 6 = 0
18 - 24 + 6 = 0
- 6 + 6 = 0

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equação  do 2º grau incompleta: ax² + c = 0

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EQUAÇÃO DO 2º GRAU INCOMPLETA - Resolução - Professora Angela Matemática

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O Professor Rodrigo fez a seguinte pergunta:  Qual número elevado ao quadrado resulta em 169 ?
Logo a classe respondeu 13, o professor comentou que as respostas estavam parcialmente corretas, já que existe outro número que elevado ao quadrado daria o resultado de 169 que é -13.

Exemplos.

x² - 16 = 0
x² = 16
x = + - √ 16
x = + - 4

4x² - 400 = 0
x² = 400/4
x² = 100
x = + - √100
x = + - 10.

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A equação do 2° incompleta ax²+bx=0 (em que a ≠ 0 e b ≠ 0) pode ser resolvida por meio de um caso de fatoração.

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Regras para a equação de 2° grau do tipo ax²+bx=0

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Regras para a equação de 2° grau do tipo ax²+bx=0

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As regras para essa definição são apenas que o a seja sempre diferente de zero e que os números representados pelas letras a, b e c – chamados coeficientes – pertençam ao conjunto dos números reais.

Assim, o único coeficiente que necessariamente não pode ser zero é o coeficiente a. Quando um dos outros dois coeficientes é igual a zero (ou ambos), dizemos que a equação do segundo grau é incompleta.

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Vídeo Aula sobre Equação do Segundo Grau

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Vídeo Aula sobre Equação do Segundo Grau

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EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU - Com prof. Marcos Aba

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Vídeo Aula sobre equação de 2° grau do tipo ax²+bx=0 (incompleta)

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Vídeo Aula sobre equação de 2° grau do tipo ax²+bx=0 (incompleta)

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equação  do 2º grau incompleta: ax² + bx = 0

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O que determina o grau de uma equação é o maior dos expoentes de uma incógnita.

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A e equação Ax²=0 depois de resolve-la a solução obrigatoriamente tem que ser 0.
Exemplo
9x²=0

Pós resolver a equação será igual a 0.
Resolução
9x²=0

x²=0/9
x²=0
x=0

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Não me envolva eu nisso.
Manda ele pro mannykômbio.
Junpíter.
Ai a Anna né.
Porque 11x11 não é 11?
2x1 é 1.

Aqui vemos: Baroni o da direita, Kauê o do meio e Leonardo da esquerda.
Obs: Somo gatos.

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Questão 1) Analisando a equação do segundo grau x² – 2x +1 = 0, podemos afirmar que ela possui:

A) duas soluções reais.

B) uma única solução real.

C) nenhuma solução real.

D) infinitas soluções reais.

E) três soluções reais.

Questão 2) Uma equação foi descrita da seguinte maneira:

(k² – 4) x³ + ( k – 2 )x² + 7x - 8 = 0

Analisando os coeficientes, o valor de k que faz com que essa equação seja uma equação do 2º grau é:

A) k = - 2

B) k = + 2

C) k = ± 2

D) k = 4

E) k = 0

Questão 3) Das equações quadráticas abaixo e sabendo que a = 1, qual é a equação que possui as soluções x₁ = 2 e x2 = - 3?

A) x² – 5x +6 = 0

B) x² – x – 6 = 0

C) x² + x – 1 = 0

D)  x² + x – 6 = 0

E) x² +5x + 6 = 0

Questão 4) Utilizando seus conhecimentos sobre equação do segundo grau, julgue as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas.

I – Toda equação do segundo grau possui pelo menos uma solução real.

II – Uma equação do segundo grau é conhecida como incompleta quando o coeficiente b ou c é igual a zero.

III – Quando o valor do discriminante é um número positivo que não possui raiz quadrada exata, dizemos que a equação não possui solução.

Analisando as afirmativas, podemos afirmar que:

A) somente a afirmativa II está correta..

B) somente a afirmativa I está correta.

C)  todas estão incorretas.

D) somente a afirmativa III está correta.

E) todas estão corretas.

Questão 5) Dada a equação -x² -4x +5 = 0, podemos afirmar que o conjunto de soluções dessa equação é:

A) x’ = -5 e x” = 1

B) x’ = -10 e x” = -1

C) x’ = 2 e x” = - 1

D) x’ =5 e x” = 1

E) x’ =6 e x” = - 6

Gabarito:
1) B
2) A
3) D
4) B
5) A

# data[].attributes.body
São aquelas que possuem o maior expoente de suas incógnitas igual a 2.
Exemplo
2x²-4x+3=0

Podem sempre ser escritas na forma reduzida:
ax²+bx+c= 0
(sendo a, b e c coeficinetes da equação, com a≠0 e a,b e c reais).

Equação completa:
Apresenta os três coeficientes diferentes de zero.
Exemplo:
-4x²-8x+3=0

Equação incompleta:
Apresenta o coeficiente b, c ou ambos iguais a zero.
Exemplo:
-4x² -8 x = 0
ou
-4x² + 3 = 0
ou
-4x² = 0