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Für jede beliebige eingegebene Zahl, z.B. Euren Geburtstag. wird angezeigt, an welcher Stelle von Pi sie steht.

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Let the Wolfram Language generate your own personal piece of Pi. Enter your birthday or any other date to see how many digits it takes to get there.

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Hinweis: Auf den Seiten 487 bis 501 im Buch stehen sehr viele Anleitungen für GTR-Funktionen - immer erstmal dort nachlesen! 

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Hinweis: Auf den Seiten 487 bis 501 im Buch stehen sehr viele Anleitungen für GTR-Funktionen - immer erstmal dort nachlesen! 

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Auf S. 496/497 geht es speziell um die Binomialverteilung

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Liefert nicht nur die Ableitung, sondern erklärt auch Schrittt für Schritt, wie sie gebildet wird, auch bei komplizierten zusammengesetzten Funktionen.

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Gib die abzuleitende Funktion oben ein. Ableitungsvariable und mehr kannst du in " Optionen" ändern. Klicke " Los!", um die Berechnung der Ableitung zu starten. Das Ergebnis wird weiter unten angezeigt.

Wie der Ableitungsrechner funktioniert

Für den technisch interessierten Benutzer folgt eine kurze Erklärung, wie der Ableitungsrechner funktioniert.

Die eingegebene mathematische Funktion wird zunächst durch einen Parser analysiert. Der Parser verwandelt die mathematische Funktion in eine für den Computer besser verarbeitbare Struktur, nämlich einen Baum (siehe Bild unten). Der Ableitungsrechner muss hierbei die Rangfolge verschiedener Operatoren berücksichtigen (z. B. die "Punkt vor Strich"-Regel). Eine Besonderheit bei mathematischen Ausdrücken gilt es ebenfalls zu beachten: Das Multiplikationszeichen wird oft weggelassen, z. B. schreiben wir "5x" statt "5*x". Der Ableitungsrechner muss diese Fälle erkennen und das Multiplikationszeichen ergänzen.

Der Parser ist in JavaScript programmiert (basierend auf dem Shunting-yard-Algorithmus) und kann somit direkt im Browser des Benutzers ausgeführt werden. Das ermöglicht eine sofortige Rückmeldung noch während der Eingabe der mathematischen Funktion. Dazu wird aus dem vom Parser generierten Baum eine LaTeX-Darstellung der Funktion generiert. Für die Darstellung im Browser sorgt MathJax.

Wird der "Los!"-Button angeklickt, so sendet der Ableitungsrechner die mathematische Funktion in Originalform mitsamt der Einstellungen (Ableitungsvariable und Anzahl der Ableitungen) an den Server. Dort wird die Funktion erneut analysiert. Diesmal wird die Funktion jedoch in eine andere Form umgewandelt, so dass sie vom Computeralgebrasystem Maxima verstanden wird.

Maxima übernimmt die Berechnung der Ableitungen. Wie jedes Computeralgebrasystem wendet es dazu eine Reihe von Regeln an, um die Funktion zu vereinfachen und nach den allgemein bekannten Ableitungsregeln abzuleiten - so wie man es im Mathematikunterricht lernt. Die Ausgabe von Maxima wird anschließend wieder in LaTeX-Form überführt und dem Benutzer präsentiert.

Das Anzeigen des Rechenwegs ist etwas komplizierter. Hierbei kann der Rechner sich nicht vollständig auf Maxima verlassen, sondern muss die Ableitungen selbst Schritt für Schritt durchführen. Hierzu wurden sämtliche Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, ...) in JavaScript-Code umgesetzt. Für die trigonometrischen Funktionen, die Wurzel-, Logarithmus- und Exponentialfunktion sind die entsprechenden Ableitungen in einer Tabelle gespeichert. In jedem Rechenschritt wird eine Ableitung durchgeführt oder umgeschrieben, z. B. werden konstante Faktoren vor die Ableitung geschrieben und Summen in Ableitungen auseinandergezogen (Summenregel). Letzteres sowie generelle Vereinfachungen der Funktionen werden von Maxima übernommen. Bei jeder durchgeführten Ableitung werden die LaTeX-Codes der dabei entstehenden Ausdrücke im HTML-Code speziell ausgezeichnet, so dass später die farbliche Hervorhebung möglich ist.

Die "Lösung überprüfen"-Funktion hat die schwierige Aufgabe, für zwei mathematische Ausdrücke zu bestimmen, ob diese äquivalent sind. Dazu wird ihre Differenz gebildet und mit Hilfe von Maxima möglichst stark vereinfacht. Hierbei werden z. B. trigonometrische/hyperbolische Funktionen in ihre Exponentialform überführt. Wenn so gezeigt werden kann, dass die Differenz Null ist, dann ist das Problem gelöst. Anderenfalls wird ein probabilistischer Algorithmus angewendet, der die Funktionen an zufällig ausgewählten Stellen auswertet und vergleicht.

Die interaktiven Funktionsgraphen werden im Browser berechnet und in einem Canvas-Element (HTML5) dargestellt. Der Rechner erzeugt hierzu aus der eingegebenen Funktion und den berechneten Ableitungen jeweils eine JavaScript-Funktion, die schließlich in kleinen Schritten ausgewertet wird, um den Graph zu zeichnen. Beim Zeichnen des Funktionsgraphen werden auch Definitionslücken wie z. B. Polstellen aufgespürt und speziell behandelt. Die Gestensteuerung ist mit Hammer.js umgesetzt.

Hast du noch Fragen oder Verbesserungsvorschläge zum Ableitungsrechner? Hat er dir beim Lernen oder bei der Prüfungsvorbereitung geholfen? Gerne kannst du mir eine E-Mail schreiben. Ich freue mich über jedes Feedback!

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Gib die abzuleitende Funktion oben ein. Ableitungsvariable und mehr kannst du in " Optionen" ändern. Klicke " Los!", um die Berechnung der Ableitung zu starten. Das Ergebnis wird weiter unten angezeigt. Für den technisch interessierten Benutzer folgt eine kurze Erklärung, wie der Ableitungsrechner funktioniert. Die eingegebene mathematische Funktion wird zunächst durch einen Parser analysiert.

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Ich benutze immer diesen und finde ihn ganz praktisch. Wer bessere kennt - gerne posten!

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Funktionsplotter | Funktionsgraphen online berechnen mit dem Funktionenplotter!

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Ein einfacher Online-Funktionsplotter mit vielen Einstellungsmöglichkeiten zum Darstellen von Funktionsgraphen und Wertetabellen. Ideal für Schüler!

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How Pi was nearly changed to 3.2 - Numberphile

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Wer rät, aus welchem Buch die Seite stammt?'

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Ordne die Funktionen den entsprechenden ersten Ableitungen zu.

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Ordne die Funktionen den entsprechenden ersten Ableitungen zu.

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Trigonometrie - Sinus, Kosinus, Tangens - Matheaufgaben

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Mathe-Aufgaben online lösen - Trigonometrie - Sinus, Kosinus, Tangens / Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens; Textaufgaben

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Zeigt alle möglichen Sachen wie lösung, graphen, ableitung etc. von funktionen/gleichungsystemen an. Ist zwar auf Englisch, kann aber auch mit Einheiten für Physik rechnen

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Uh oh! Wolfram|Alpha doesn't run without JavaScript.

Please enable JavaScript. If you don't know how, you can find instructions . Once you've done that, refresh this page to start using Wolfram|Alpha.

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Uh oh! Wolfram|Alpha doesn't run without JavaScript. Please enable JavaScript. If you don't know how, you can find instructions . Once you've done that, refresh this page to start using Wolfram|Alpha.

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Ein kompletter Rechner mit graphischem modus.

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Free online apps bundle from GeoGebra: get graphing, geometry, algebra, 3D, statistics, probability, all in one tool!

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Falls ihr in der Quarantäne noch Zeit übrig habt :)

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Calculating π by hand the Isaac Newton way: Pi Day 2020

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Video 1

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TI-nspire Binomialverteilung grafisch und mit Tabelle darstellen

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Video 2

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Mathe - Binomialverteilung und Normalverteilung auf dem TI-nspire

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S. 293 Nr. 11 mit dem GTR    (p gesucht) 

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S. 293 Nr. 11 mit dem GTR    (p gesucht) 

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Gelöst werden soll die Gleichung (1-p)^100+100*p*(1-p)^99=0,9

1.) polyroots (menu 3 - 3 - 1) scheidet aus, das geht nur bis zum Grad n=30 und nur, wenn die Gleichung in der Form wie auf S. 487 beschrieben vorliegt.

2.) nsolve (menu 3 - 1 ) hat den Nachteil, dass nur eine Lösung angezeigt wird, auch, wenn es viele gibt. Aber mit dem Hack von S. 488, bei dem man noch einen Startwert angibt, in welcher Nähe der GTR suchen soll, klappt es.

3.) Im Grafikfenster, so wie es auf S. 292 in Fig. 2 vorgeschlagen und auf S. 488 genau beschrieben wird, geht es auch. Aber das ist in diesem Fall ungenau: Selbst wenn man ranzoomt (mit den Fenstereinstellungen), ist 0,005 das Genaueste, was man für den x-Wert des Schnittpunkts bekommt, zumindest mit meinem (älteren) GTR.

- Die Lösung mit Hilfe einer Tabelle, wie sie auch in Beispiel 3 auf S. 292 als erstes empfohlen wird, ist okay. Anleitung auf S. 496f., ich habe 0,0001er-Schritte für p gewählt.

Wie habt Ihr es gemacht? Und für die Zukunft: Welche Methode findet Ihr am besten für sowas? Schreibt es in die Kommentare!

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Wie komme ich in den Press-to-Test-Modus? 

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Wie komme ich in den Press-to-Test-Modus? 

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Heraus kommt man nur, wenn Matthias in der Nähe ist.

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Besonders bemerkenswert: Statistische Themen werden ohne Grafiken erläutert, nur über das Medium der Sprache.

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Das RWI – Leibniz-Institut für Wirtschaftsforschung e. V. ist eine außeruniversitäre Einrichtung für wirtschaftswissenschaftliche Forschung mit Sitz in Essen.

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Im Dezember geht es um Statisken zum Impfen

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Im Dezember geht es um Statisken zum Impfen

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Lesen und gerne kommentieren!

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Der Impfstoff ist „zu 90 Prozent wirksam"

Unstatistik vom 02.12.2020

Die Unstatistik des Monats November befasst sich mit Aussagen zur Wirksamkeit von Corona-Impfstoffen. Die gute Nachricht des Monats dazu kam von BioNTech und Pfizer mit dem vorläufigen Ergebnis, dass ihr Impfstoff gegen Covid-19 „zu 90 Prozent wirksam" sei. Inzwischen haben BioNTech und andere Hersteller berichtet, dass Impfstoffe gar zu 95 Prozent wirksam seien. Das sind alles erfreuliche Ergebnisse. Aber was bedeutet „zu 90 Prozent wirksam"?

In verschiedenen Medien, darunter Bayerischer Rundfunk und „Berliner Zeitung", wurde erklärt „Das heißt, 9 von 10 Menschen können durch die Impfung vor einer Infektion geschützt werden." Demnach wäre der Impfstoff bei 90 Prozent aller Menschen, die sich impfen lassen, wirksam. Das würde bedeuten, wenn man alle 83 Millionen Deutschen impft, dann sind davon 90 Prozent geschützt; nur die restlichen 8,3 Millionen können sich anstecken. Das wären aber immer noch weit mehr Infizierte als es bisher der Fall ist. Also kann das nicht gemeint sein.

Die 90 Prozent beziehen sich nicht auf die Gruppe der Geimpften, sondern auf jene der Infizierten. BioNTech berichtete, dass insgesamt etwa 43.000 Menschen an der Studie teilnahmen, etwa die Hälfte davon wurde geimpft und die andere erhielt ein Placebo. Sieben Tage nach der zweiten Dosis gab es insgesamt 94 bestätigte Covid-19 Fälle. Im Studienprotokoll von Pfizer findet man die Definition der Wirksamkeit: Hierzu wird der Anteil der Covid-19-Fälle in der Impfgruppe dividiert durch den Anteil der Covid-19-Fälle in der Kontrollgruppe. Dieser Wert wird von 1 abgezogen und mit hundert multipliziert, so dass man es bequem in Prozenten ausdrücken kann. Daraus folgt, es muss in der Impfgruppe 8 Fälle und in der Placebogruppe etwa 86 Fälle gegeben haben, was einer Reduktion von rund 90 Prozent entspricht (bei den 95 Prozent waren es dann 8 versus 162 Fälle).
Angabe bezieht sich auf Anteil an Infizierten, nicht auf Anteil an Geimpften
Die „zu 90 Prozent wirksam" bezieht sich also nicht auf 9 von 10 Menschen, die zur Impfung gehen, und auch nicht auf alle Teilnehmer der Studie oder alle Menschen, die sich in Deutschland impfen lassen. Sie ist eine relative Risikoreduktion, die sich auf die Zahl der Infizierten bezieht, aber keine absolute Reduktion, die sich auf alle Geimpften bezieht.

Der Unterschied zwischen relativer und absoluter Risikoreduktion ist für viele Menschen schwer zu verstehen. Er wird vielleicht am Beispiel der Grippeschutzimpfung für Menschen zwischen 16 und 65 Jahren nochmals klarer. In einer Saison mit geringer Verbreitung des Grippevirus liegt die Wirksamkeit der Grippeschutzimpfung etwa bei 50 Prozent. Diese Zahl bedeutet aber nicht, dass 5 von 10 Geimpften vor der Grippe geschützt sind. Sie bedeutet, dass von je 100 Personen ohne Impfung zwei eine bestätigte Influenzainfektion bekamen, und von je 100 Personen mit Impfung nur eine (s. dazu auch die Informationen des Harding-Zentrum für Risikokompetenz).

Es ist auch wichtig zu verstehen, dass sich die von BioNTech und Pfizer berichteten „zu 90 Prozent wirksam" auf die Reduktion von Infektionen, nicht von schweren Erkrankungen oder gar Todesfällen bezieht. Wir können nur hoffen, dass diese Reduktion in gleichem Maße auf schwere Erkrankungen durchschlägt, aber das wird in den derzeitigen Studien nicht untersucht.

(030) 82406-430 Ansprechpartner/in:
Prof. Dr. Gerd Gigerenzer, Tel.
Sabine Weiler (Kommunikation RWI), Tel.: (0201) 8149-213,--------------------------------

Mit der „Unstatistik des Monats" hinterfragen der Berliner Psychologe Gerd Gigerenzer, der Dortmunder Statistiker Walter Krämer, die STAT-UP-Gründerin Katharina Schüller und RWI-Vizepräsident Thomas K. Bauer jeden Monat sowohl jüngst publizierte Zahlen als auch deren Interpretationen. Alle „Unstatistiken" finden Sie im Internet unter www.unstatistik.de und unter dem Twitter-Account @unstatistik.

Pressemitteilung im pdf-Format

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der impfstoff ist „zu 90 prozent wirksam“

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Der Impfstoff ist „zu 90 Prozent wirksam"

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Die Unstatistik des Monats November befasst sich mit Aussagen zur Wirksamkeit von Corona-Impfstoffen. Die gute Nachricht des Monats dazu kam von BioNTech und Pfizer mit dem vorläufigen Ergebnis, dass ihr Impfstoff gegen Covid-19 „zu 90 Prozent wirksam" sei. Inzwischen haben BioNTech und andere Hersteller berichtet, dass Impfstoffe gar zu 95 Prozent wirksam seien.

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von Bashar

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Binomial distributions | Probabilities of probabilities, part 1

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Weiterführendes Video, das uns zum nächsten und letzten Thema "stetige Zufallsgrößen" hinleitet

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Weiterführendes Video, das uns zum nächsten und letzten Thema "stetige Zufallsgrößen" hinleitet

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von Bashar

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Why “probability of 0” does not mean “impossible” | Probabilities of probabilities, part 2

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Durch dieses Applet kann die Wahrscheinlichkeit von P(k_1<x<k_2) visualisiert und berechnet werden

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Für alle, die das Thema nochmal von vorne angehen wollen, weil es in der Sek1 und EF vielleicht zu kurz kam.

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Binomialverteilungstabelle für n=100 mit variablem p - jetzt endlich auch in CALC

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Binomialverteilungstabelle für n=100 mit variablem p - jetzt endlich auch in CALC

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Gerne verändern, erweitern und neue Versionen hochladen! Weiter unten ist...

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... eine Anleitung, wie man Bildlaufleisten in CALC erstellt