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Decimos que una partícula o sistema tiene movimiento armónico simple (m.a.s) cuando vibra bajo la acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto a la posición de equilibrio. Decimos, entonces, que dicho cuerpo es un oscilador armónico. En este apartado estudiaremos:

Adicionalmente, es posible que tengas interés en profundizar en el comportamiento del m.a.s. Te aconsejamos que visites:

Vamos allá.

Oscilaciones y Vibraciones

¿Sabrías decir qué tienen en común un péndulo, el latido de tu corazón, la membrana de los altavoces de tu equipo de música o el mecanismo de un reloj? Se podría decir, en un sentido figurado, que todos ellos generan oscilaciones o vibraciones que nos marcan el ritmo. En este apartado vamos a explicar las características que tienen en común todos estos movimientos y para ello vamos a presentar el movimiento armónico simple (m.a.s.) también conocido como movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.).

Para entender el movimiento armónico simple es importante entender el concepto de oscilación o vibración. Los cuerpos oscilan o vibran cuando se apartan de su posición de equilibrio estable.

Decimos que un cuerpo oscila o vibra cuando se mueve de forma periódica en torno a una posición de equilibrio debido al efecto de fuerzas restauradoras. Las mágnitudes características de un movimiento oscilatorio o vibratorio son:

1. Periodo (T): El tiempo que tarda de cumplirse una oscilación completa. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo (s)

2. Frecuencia (f): Se trata del número de veces que se repite una oscilación en un segundo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el hertzio (Hz)

En el caso de la bola del ejemplo anterior, el periodo es el tiempo que tarda esta en volver a pasar por el mismo punto en igual sentido. La frecuencia es el número de veces en un segundo en que la bola pasa por el mismo punto en igual sentido.

El periodo y la frecuencia son magnitudes inversas:

Aunque el concepto de vibración es el mismo que el de oscilación, en ocasiones se emplea el término vibración para designar una oscilación muy rápida o de alta frecuencia.

Tipos de vibraciones

Existen dos tipos de vibraciones u oscilaciones atendiendo a las fuerzas que actúan:

1. Oscilaciones libres: Cuando sobre el cuerpo no actúan fuerzas disipativas. El cuerpo no se detiene, oscila indefinidamente, al no haber una fuerza que contrarreste el efecto de la fuerza restauradora

2. Oscilaciones amortiguadas: Cuando actúan fuerzas disipativas (como por ejemplo la fuerza de rozamiento o de fricción) que acaban por hacer que las oscilaciones desaparezcan. El cuerpo acabará retornando a la posición de equilibrio

El Movimiento Armónico Simple: Características

Cuando las fuerzas restauradoras que actúan sobre la partícula son proporcionales a la distancia al punto de equilibrio, decimos que se produce un movimiento armónico simple (m.a.s), también conocido como movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.). En general, dichas fuerzas restauradoras siguen la ley de Hooke:

Una partícula o sistema tiene movimiento armónico simple (m.a.s.) cuando vibra bajo la acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto a la posición de equilibrio.

La bola del experimenta y aprende anterior es un movimiento armónico simple pues, como puede observarse, la fuerza restauradora, en rojo, es proporcional a la distancia al punto de equilibrio.

Características del movimiento armónico simple:

1. Vibratorio: El cuerpo oscila en torno a una posición de equilibrio siempre en el mismo plano

2. Periódico: El movimiento se repite cada cierto tiempo denominado periodo (T). Es decir, el cuerpo vuelve a tener las mismas magnitudes cinemáticas y dinámicas cada T segundos

3. Se describe mediante una función sinusoidal (seno o coseno indistintamente)

A la partícula o sistema que se mueve según un movimiento armónico simple se les denomina oscilador armónico.

Magnitudes del movimiento armónico simple

1. Elongación, x: Representa la de la partícula que oscila en función del tiempo y es la separación del cuerpo de la posición de equilibrio. Su unidad de medidas en el Sistema Internacional es el metro (m)

2. : Elongación máxima. Su unidad de medidas en el Sistema Internacional es el metro (m).

3. Frecuencia. f: El número de oscilaciones o vibraciones que se producen en un segundo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Hertzio (Hz). 1 Hz = 1 oscilación / segundo = 1.

4. : El tiempo que tarda en cumplirse una oscilación completa. Es la inversa de la frecuencia T = 1/f . Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo (s).

5. Fase inicial, φ 0 : Se trata del ángulo que representa el estado inicial de vibración, es decir, la elongación x del cuerpo en el instante t = 0. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el radián (rad)

6. Frecuencia angular, velocidad angular o pulsación, : Representa la velocidad de cambio de la fase del movimiento. Se trata del número de periodos comprendidos en 2·π segundos. Su unidad de medida en el sistema internacional es el radián por segundo ( rad/s ). Su relación con el período y la frecuencia es

Gráfica de posición en el movimiento armónico simple (m.a.s.)

No es casualidad que el movimiento armónico simple se denomine, precisamente, armónico. También las funciones seno y coseno suelen denominarse funciones armónicas.

La gráfica de la elongación del movimiento armónico simple es la de una función sinusoidal cuya variable independiente es el tiempo.

Algunos casos de movimiento armónico simple

Es frecuente estudiar algunos elementos que se comportan como osciladores armónicos para entender las propiedades y características del m.a.s. con mayor profundidad. En este tema vamos a estudiar:

Recuerdo de trigonometría...

Existen algunas relaciones trigonométricas que es importante que recuerdes y que te serán útiles cuando resuelvas ejercicios de este tema:

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Decimos que una partícula o sistema tiene movimiento armónico simple (m.a.s) cuando vibra bajo la acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto a la posición de equilibrio. Decimos, entonces, que dicho cuerpo es un oscilador armónico. En este apartado estudiaremos: Adicionalmente, es posible que tengas interés en profundizar en el comportamiento del m.a.s.

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https://www.youtube.com/watch?v=rKf92Vgx2ag

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Relación entre Movimiento Circular Uniforme y el Movimiento Armónico Simple

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Cuando la fuente de ondas y el observador están en movimiento relativo con respecto al medio material en el que se propaga la onda, la frecuencia de las ondas observadas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente.

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Hasta ahora hemos supuesto que las ondas se propagaban sin encontrar ningún obstáculo en su camino, en medios sin límites. Es lo que llamábamos ondas viajeras. Sin embargo, hay casos en los que la propagación se produce en medios cerrados, produciéndose reflexiones en los extremos del mismo que se superponen unas a otras. Estas superposiciones, que no son más que un caso particular de interferencias de ondas, pueden dar lugar a ondas estacionarias y tienen un perfil y unas características muy particulares que vamos a estudiar en este apartado a través de:

¿Empezamos?

Concepto de onda estacionaria

Para entender las ondas estacionarias, nos centraremos en el caso de la suma de una onda armónica transversal con su reflejada. Esto implica que ambas contarán con igual amplitud, frecuencia y longitud de onda, pero sentido contrario.

Llamamos onda estacionaria a un caso particular de interferencia que se produce cuando se superponen dos ondas de la misma dirección, amplitud y frecuencia, pero sentido contrario. En una onda estacionaria los distintos puntos que la conforman oscilan en torno a su posición de equilibrio a medida que transcurre el tiempo pero el patrón de la onda no se mueve, de ahí su nombre.

Medios abiertos y cerrados

No todos los medios de propagación son capaces de producir, de manera natural, ondas estacionarias.

Decimos que un medio es abierto cuando la propagación no encuentra ningún obstáculo que refleje las ondas hacia el foco emisor. En ellos, la energía avanza en un único sentido. Ya habíamos dicho, cuando estudiábamos los tipos de ondas, que las ondas viajeras se daban en medios abiertos. ¿Eres capaz de adivinar qué medios producirán ondas estacionarias?

Efectivamente, se trata de los medios cerrados. Observa la siguiente imagen que te aclarará estos conceptos.

Medios abiertos y cerrados

Existen otros muchos medios capaces de producir ondas estacionarias, como, por ejemplo, una cuerda fija por ambos extremos o los tubos de cualquier instrumento de viento.

Ecuación de la onda estacionaria

Como dijimos, nos centraremos en el caso de que las ondas incidente y reflejada cuentan con igual amplitud, frecuencia y longitud de onda, pero sentido contrario.

La amplitud de cada punto de la onda estacionaria es función de la posición del mismo. Su frecuencia es la misma que tienen las ondas que interfieren. La ecuación de la onda estacionaria queda:

Donde:

y: Elongación del punto considerado de la onda, es decir, la separación respecto a su posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)

x: Coordenada x de la posición del punto considerado. Su unidad de medida en el S.I. es el metro (m)

t: Tiempo. Su unidad de medida en el S.I. es el segundo

A: Amplitud de las onda original (elongación máxima). Su unidad de medida en el S.I. es el metro

k: Número de onda. Coincide con el de la onda original y recuerda que se relaciona con la longitud de onda según la expresión . Su unidad de medida en el S.I. es el radián por metro (rad/m) o metro a la menos uno (m⁻¹)

ω: Frecuencia angular. Coincide con la de la onda original y recuerda que se relaciona con la frecuencia según la expresión . Su unidad de medida en el S.I. es el radián por segundo (rad/s)

Comprobación
Sean las ondas:

Que es justamente lo que queríamos comprobar.
Formas alternativas
La expresión anterior es sólo una de las múltiples que podemos utilizar para describir una onda estacionaria. Podríamos, por ejemplo, tener las ondas originales en forma de coseno, en lugar de seno o podría existir inversión de fase en la reflexión ( una inversión en el sentido de vibración que se traduce en un cambio de fase de π radianes en la onda reflejada). El resultado al que llegaríamos tendría una forma distinta, aunque el significado físico sea similar.

Existen muchas formas distintas de expresar una onda estacionaria, pero todas se caracterizan porque:

Hay un factor que depende exclusivamente de la posición x, ya sea en seno o en coseno, y que marca la amplitud de cada punto de la onda, es decir, su elongación máxima

Hay un factor que depende exclusivamente del tiempo t, ya sea en seno o en coseno, y que marca la vibración de cada punto en torno a la posición de equilibrio entre su elongación máxima y su elongación mínima

En este caso, la onda estacionaria resultante presenta un máximo en x=0 dado que el coseno vale 1. En el anterior, la onda presentaba un mínimo. En general, la onda presentará un máximo o un mínimo en el medio en el que se refleja según las condiciones de contorno que imponga el mismo.

El medio en el que se refleja la onda impone ciertas restricciones llamadas condiciones de contorno o condiciones de frontera, que debe cumplir la onda estacionaria y que determinan la ubicación específica de sus máximos y sus mínimos. A partir de estas condiciones de contorno y de la onda original es posible determinar si la onda reflejada está en inversión de fase o no.

La conclusión que debes extraer de todo esto es que, a la hora de resolver un ejercicio concreto, debes aprender y aplicar el desarrollo realizado antes que intentar utilizar unas fórmulas que podría llevarte a error.

Nodos y vientres

Como hemos apuntado, la elongación y de la ecuación de la onda estacionaria depende, entre otras, de la variable x, la posición, y esta se encuentra en el interior de un seno (o de un coseno). Esto implica que:

Siendo n= 0, 1, 2, 3..., en cualquiera de los casos anteriores.

Nodos y Vientres
Formas alternativas
Una vez más, si en lugar de considerar la ecuación de onda estacionaria cuya amplitud depende del seno, consideramos la del coseno , obtenemos:

Recuerda, no obstante, que la mejor manera de proceder para determinar la posición de nodos y vientres es hacer el desarrollo completo como has visto anteriormente y no emplear directamente fórmulas que podrían inducirte a errores.

Distancias entre nodos y vientres

Podemos calcular la distancia entre dos nodos restando las posiciones de dos consecutivos:

A su vez, podemos calcular la distancia entre dos vientres restando las posiciones de dos consecutivos:

Observa que, los resultados finales son los mismos que si hubiésemos considerado la onda original con una amplitud resultante en función del coseno.

La distancia entre dos nodos consecutivos de una onda estacionaria o entre dos vientres consecutivos de la misma es de media longitud de onda ( λ/2 ), lo que implica que la distancia entre un nodo y su vientre más cercano es de un cuarto de longitud de onda ( λ/4 ).

Consideraciones energéticas

Observa que la existencia de nodos implica que en una onda estacionaria, a diferencia de lo que ocurría en las viajeras, no se propaga energía a lo largo de la misma, pues esta no puede atravesar los nodos, en reposo permanente. De hecho, en sentido estricto, una onda estacionaria no es un movimiento ondulatorio (recordemos, aquel caracterizado por la propagación de energía sin propagación de materia) y la única razón por la que la consideramos una onda es que es la superposición de dos ondas viajando en sentido contrario.

En una onda estacionaria la energía queda confinada entre los nodos. A los vientres le corresponden máximos de energía mientras que esta se anula en los nodos. La energía total será la suma de las energías de las ondas que dan lugar a ella.

Cuerda fija por ambos extremos

Un caso especialmente interesante de ondas estacionarias se da cuando excitamos a una determinada frecuencia una cuerdas fija por ambos extremos. No todas las frecuencias de excitación van a producir ondas estacionarias. Veámoslo.

Empezamos considerando una cuerda de longitud L. Al estar fijos ambos extremos, los puntos x=0 y x=L han de ser nodos de la onda estacionaria (tener elongación 0 en todo momento). Dicho de otro modo, las condiciones de contorno serán:

Instrumentos de cuerda

Sabemos que los nodos se encuentran separados media longitud de onda y, por tanto, en la onda estacionaria que se genere debe haber un número entero de semilongitudes de onda que se ajuste a la longitud L de la cuerda según: Si renombramos λ como ,y la despejamos de la expresión anterior, podemos escribir:

Las ondas estacionarias que se generan en una cuerda fija por ambos extremos no pueden tener cualquier valor de longitud de onda sino sólo aquellos que satisfagan que:

Donde:

n: Es un número natural mayor o igual que uno

Es la longitud de la onda estacionaria asociada a n. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro

L: Es la longitud de la cuerda, fija por ambos extremos

Las ondas estacionarias que se generan en una cuerda fija por ambos extremos no pueden tener cualquier frecuencia sino sólo aquellos que satisfagan que:

A estas frecuencias se las conoce como frecuencias naturales o armónicos y a la primera de las frecuencias naturales la llamamos frecuencia fundamental de la cuerda.

Armónicos en cuerda fija por ambos extremos

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Hasta ahora hemos supuesto que las ondas se propagaban sin encontrar ningún obstáculo en su camino, en medios sin límites. Es lo que llamábamos ondas viajeras. Sin embargo, hay casos en los que la propagación se produce en medios cerrados, produciéndose reflexiones en los extremos del mismo que se superponen unas a otras.

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Simulación con tipos y parámetros de una onda
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