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In questo modulo viene proposta una prima esperienza di modellizzazione.

A partire da una attività sperimentale, si osserveranno le relazioni tra le grandezze fisiche coinvolte con occhi da scienziato e taccuino da matematico.

La riflessione meta-didattica sarà particolarmente importante per focalizzare  le caratteristiche di un modello e della sua costruzione.
Gli obiettivi di apprendimento di questo modulo sono:

Analizzare la proposta di attività sul pendolo

Sperimentare la proposta fatta, se possibile

Condividere con la community le proprie riflessioni, le proprie esperienze al riguardo

Svolgere il compito di modulo

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Video per i MOOC di matematica del Master per formatori UNITO

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Attività introduttiva modulo Modelli fisici

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Attività introduttiva modulo Modelli fisici

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Viene proposta la lettura dell'articolo del prof. F. Arzarello "Variare le sensate esperienze per costruire le necessarie dimostrazioni"
Dall'abstract leggiamo: "Il metodo della ricerca variata può facilitare l’apprendimento dei concetti matematici e coinvolge gli studenti in una ricerca scientifica trasformandoli in studenti-ricercatori. In questo articolo sono presentate per sommi capi le idee fondamentali del metodo, illustrandoli con alcuni esempi".

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Apprendistato all’interpretazione dei grafici di funzione

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Apprendistato all’interpretazione dei grafici di funzione

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nell’interpretazione dei grafici in vari campi di
esperienza in cui si esperiscano significativi fenomeni di
cambiamento e li si collega a rappresentazioni che rendono
palpabile la covariazione tra grandezze. Questa nozione è la chiave
di volta concettuale ed epistemica per il concetto di funzione
(Thompson e Carlson, 2017)

Il correlativo cognitivo del cambiamento è l’attenzione a ciò che
cambia, a come cambia e a ciò che rimane invariante in una
situazione.
Il correlativo matematico del cambiamento è l’attenzione sia ai valori
quantitativi (per es., quali valori assume nel tempo una grandezza),
sia alle loro differenze, nonché al modo di rappresentarle e
manipolarle per approfondire il ragionamento rispetto alle loro
mutue relazioni (covariazione).

Per esempio se il prezzo di un bene che il mese scorso
costava 2 € ora è 2,10 €, l’incremento è di 0,10 €, cioè l’incremento
relativo è del 5%; mentre se si ha lo stesso incremento di un bene che
costava 10 €, l’incremento relativo è dell’1%.
Lo strumento matematico per rappresentare gli incrementi relativi,
oltre al meccanismo delle percentuali, tipicamente affrontate nella
secondaria di primo grado, è quello delle differenze finite.

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La modellizzazione nei documenti ufficiali

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La modellizzazione nei documenti ufficiali

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La modellizzazione nei documenti ufficiali

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Vi proponiamo una lettura trasversale tra le Indicazioni Nazionali cogliendo i riferimenti espliciti e non alla modellizzazione. Al fine di contestualizzare la lettura ne sono stati tratti alcuni stra

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Revisione a cura della docente Ketty Savioli a cui vanno i ringraziamenti per gli utili suggerimenti di integrazione.

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Pendolo e covarianza - Scuola secondaria di 1° grado

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Pendolo e covarianza - Scuola secondaria di 1° grado

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Il percorso proposto nell'attività parte da un approccio prettamente fisico, l'osservazione dell'oscillazione del pendolo, e si sviluppa fino ad arrivare a determinare le relazioni tra le grandezze os

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Pendolo e covarianza - Scuola secondaria di 1° grado

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Pendolo e covarianza - Scuola secondaria di 1° grado

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Obiettivi

Osservare la variazione di grandezze

Rappresentare la variazione di grandezze

individuare variabili dipendenti e indipendenti

Modalità di lavoro

lavoro a gruppi (3-4 studenti) a cui l’insegnante dà indicazioni di partenza e
porrà domande guida

Materiale

Cordino (prevedere la ripetibilità considerando lunghezze differenti)

oggetti da far oscillare (pesetti da laboratorio, gomme, temperini di metallo,
…; non troppo estesi, di massa tale da tener in tensione il cordino)

nastro adesivo

bilancia

cronometro (da laboratorio, da cellulare,…)

metro/righello

Indicazioni

L'insegnante introduce l'attività facendo costruire il pendolo semplice  con una
massa appesa al cordino

Fa fissare il cordino a un supporto che permetta l’oscillazione (o utilizzando un
supporto apposito da laboratorio oppure fissando il cordino con nastro adesivo
al bordo del banco)

Chiede agli/alle studenti di osservare l'oscillazione del pendolo (piccole
oscillazioni)

Prima di procedere alla raccolta dei dati pone alcune domande introduttive

Quali sono le grandezze misurabili? (Sì: massa, lunghezza
del filo, intervallo di tempo – No: forma, colore)

Quali strumenti possiamo utilizzare per misurare?

Quali le unità di misura?

Una delle grandezze che si può misurare è il tempo, ma
quale tempo?

Si può introdurre il concetto di periodo, cioè l'intervallo di
tempo di una oscillazione completa andata-ritorno.

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Pendolo e covarianza - primo biennio scuola secondaria di 2° grado

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Pendolo e covarianza - primo biennio scuola secondaria di 2° grado

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Il percorso proposto nell'attività parte da un approccio prettamente fisico, l'osservazione dell'oscillazione del pendolo, e si sviluppa fino ad arrivare a determinare le relazioni tra le grandezze os

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Metodo della Ricerca Variata WEBINER SLIDE

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Metodo della Ricerca Variata WEBINER SLIDE

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Di seguito trovi una selezione di quesiti INVALSI che propongono situazioni fisiche da modellizzare.

Ti chiediamo di sceglierne uno o due e di proporli nella tua classe. Al termine della somministrazione, raccogli le risposte e discuti insieme alla classe la soluzione degli stessi. Fai una breve sintesi del tutto e inviala come compito.

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Compito modulo 1 Vincenzo Messana IC Bra 2

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In questo modulo troviamo diverse proposte relative ad esperienze di modellizzazione in ambiente matematico con uso della tecnologia declinate e declinabili nei differenti ordini scolari.

Le attività sono state realizzate utilizzando nuovi modelli di interazione didattica offerti dall'uso della tecnologia vista come insieme di strumenti attivatori di competenze abilitanti. Le soluzioni digitali adottate hanno facilitato la realizzazione di ambienti propedeutici agli apprendimenti attivi, laboratoriali e di progetto.

In questo contesto le riflessioni di natura metacognitiva e metadidattica sono irrinunciabili poiché necessaria è l'azione di osservazione e conduzione dei processi di apprendimento dei nostri allievi:  su cosa e come stanno imparando e su quali sono le motivazioni che li spingono a imparare.

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Matematica 2001: Abilità e conoscenze matematiche per la scuola secondaria di 1° grado

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Matematica 2001: Abilità e conoscenze matematiche per la scuola secondaria di 1° grado

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Informazioni

Nucleo a cui si riferisce il percorso
Matematica e Lingua

Autori
Ferdinando Arzarello, Patrizia Casella, Franca Pretelli, Ketty Savioli

Grado scolastico
Scuola primaria - Classe I (secondo quadrimestre), Classe II

Tempo medio per svolgere le attività in classe
10/12 ore

Tematica affrontata
Analisi di situazioni problematiche a partire da brevi testi narrativi.

Obiettivi delle attività

Leggere e comprendere il significato del linguaggio naturale e matematico.

Ricavare informazioni matematiche e non in testi narrativi.

Ricercare strategie per risolvere situazioni problematiche.

Rappresentare la soluzione di un problema attraverso disegni, parole e simboli.

Manipolare testi: dal testo narrativo al testo problema, alla rappresentazione iconica, grafica, simbolica e viceversa.

Sviluppare la creatività utilizzando tecniche espressive diverse per rappresentare testi narrativi.

Drammatizzare storie

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Informazioni Nucleo a cui si riferisce il percorso Matematica e Lingua Autori Ferdinando Arzarello, Patrizia Casella, Franca Pretelli, Ketty Savioli Grado scolastico Scuola primaria - Classe I (secondo quadrimestre), Classe II Tempo medio per svolgere le attività in classe 10/12 ore Tematica affrontata Analisi di situazioni problematiche a partire da brevi testi narrativi.

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La proposta è costituita da una situazione problema, che si colloca in un contesto narrativo (racconto liberamente tratto da " I sette messaggeri" di Dino Buzzati), dove il rapporto spazio/tempo gioca un ruolo primario.

Il racconto narra di principi e cavalieri, di castelli e reami, di viaggi e comunicazioni, richiamando nella mente degli alunni un mondo leggendario. Il contesto narrativo favorisce il loro coinvolgimento nella risoluzione della situazione problema, attivando ragionamenti in cui si tengono sotto controllo due storie parallele ed interagenti.

Il figlio del re cammina sempre nella stessa direzione, mentre il suo messaggero fa avanti e indietro verso il castello del re padre. Il messaggero deve andare più veloce del principe per poterlo raggiungere ogni volta (infatti procede a velocità doppia), ma come scoprire ogni quanti giorni si rincontrano?

Dal punto di vista strettamente disciplinare, nella proposta didattica sono presenti:

scoperta di regolarità, in particolari sequenze numeriche (progressioni geometriche);

velocità diverse in un unico contesto;

tabelle e grafici cartesiani per rappresentare la corrispondenza fra tempo e spazio percorso;

rappresentazioni di altro genere per descrivere e per risolvere la situazione problema;

calcolo mentale.

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La proposta è costituita da una situazione problema, che si colloca in un contesto narrativo (racconto liberamente tratto da " I sette messaggeri" di Dino Buzzati), dove il rapporto spazio/tempo gioca un ruolo primario. Il racconto narra di principi e cavalieri, di castelli e reami, di viaggi e comunicazioni, richiamando nella mente degli alunni un mondo leggendario.

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Il figlio del Re e il Messaggero (Scuola Primaria)

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Il figlio del Re e il Messaggero (Scuola Primaria)

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IL figlio del Re e il Messaggero Attività per la Scuola Primaria

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Le autrici: Arianna Coviello, Luigia Genoni

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Il coding per Il Figlio del Re e il Messaggero (SENZA PC)

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Il coding per Il Figlio del Re e il Messaggero (SENZA PC)

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Il figlio del Re e il Messaggero Il coding senza pc per la Scuola Primaria

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Le autrici: Arianna Coviello, Luigia Genoni

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Il coding per Il Figlio del Re e il Messaggero (CON PC)

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Il coding per Il Figlio del Re e il Messaggero (CON PC)

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IL Figlio del Re e il Messaggero Il coding con pc per la Scuola Primaria

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Le autrici: Arianna Coviello, Luigia Genoni

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Un laboratorio per la creazione reale e virtuale di forme

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Un laboratorio per la creazione reale e virtuale di forme

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Un laboratorio per la creazione reale e virtuale di forme

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Un laboratorio per la creazione reale e virtuale di forme

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BELTRAMI: Un laboratorio per la creazione reale e virtuale di forme

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ATTIVITÀ PER IL TRIENNIO DELLA SCUOLA SECONDARIA DI 2° GRADO

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Beltrami studia le proprietà delle superfici a curvatura costante negativa e contemporaneamente continua ad indagare sulle proprietà della pseudosfera "fisica", costruisce un "modello materiale" che r

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Daina Taimina è una matematica lettone, attualmente docente della Cornell University, nello stato di New York. Durante un workshop di geometria, viene a conoscenza di modelli di carta di piani iperbol

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24. Curvatura di una superficie

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Come ricorderete, per le curve nel piano la nozione di curvatura in un punto P ci consentiva di valutare lo scostamento della curva dalla tangente nelle immediate vicinanze del punto considerato cio lo scostamento dall'andamento rettilineo; in modo analogo la curvatura di una superficie in suo punto P dovr misurare lo scostamento della superficie dal piano tangente in P nelle immediate vicinanze del punto considerato. Nella figura seguente vedete ad esempio due superfici sferiche: la sfera a destra ha raggio decisamente maggiore di quella a sinistra. Ora si capisce che una grande sfera ha curvatura minore di una piccola sfera. Osservando la figura si capisce infatti che la superficie a destra si scosta meno dal piano tangente, in un intorno del punto P, di quanto non accada per la superficie a sinistra.

Cerchiamo di precisare queste osservazioni di carattere intuitivo. Consideriamo allora una qualsiasi superficie Σ, un punto P di Σ e la retta n normale a Σ in P cio perpendicolare al piano tangente a Σ in P. Ora ogni piano che contiene la normale n taglia la superficie secondo una curva che prende il nome di sezione normale per P. Le sezioni normali avranno naturalmente una curvatura in P (come curve piane) che varia al variare del piano; si dimostra per che la curvatura delle sezioni normali per P ammette un minimo e un massimo, indichiamoli con k₁ e k₂, in corrispondenza di due piani tra loro ortogonali. Bene, chiameremo curvatura di Σ in P il numero

k = k₁k₂

Fate attenzione: k₁ e k₂ sono curvature in P di oggetti monodimensionali (curve piane) mentre k , per definizione, la curvatura in P di un oggetto bidimensionale (superficie).

Nella figura a fianco vedete ad esempio un ellissoide; P un punto della superficie e la retta verde la normale in P. Tale retta perpendicolare al piano tangente in P. Intuitivamente il piano tangente alla superficie il piano che contiene le tangenti ad ogni curva che giaccia sulla superficie e passi per P.

Piano tangente e versore normale in un punto della superficie di un ellissoide

Nota L'equazione dell'ellissoide realizzato con Geogebra del tipo x ²+y ²+kz ²=a (precisamente: x ²+y ²+0.5z ²=10). Posto f(x,y,z)=x ²+y ²+kz ², un vettore n normale alla superficie in un punto P dell'ellissoide dato dal gradiente ∇f= calcolato in P. Quindi n=<2x, 2y, 2kz>.

Nella figura a fianco vedete alcuni dei piani passanti per la normale (potete pensare dinamicamente ad un piano che ruota attorno alla normale). Ogni piano determina sulla superficie una sezione normale.

Sezioni normali ellissoide

Sezioni normali ellissoide (animazione)

Le due curve evidenziate in arancione nella figura a fianco sono le due sezioni normali di curvatura in P rispettivamente minima e massima. La curva γ₁ ha raggio di curvatura massimo in P, indichiamolo con r₁, quindi ha curvatura minima k₁=1/r₁; la curva γ₂ ha raggio di curvatura minimo in P, indichiamolo con r₂, quindi curvatura massima k₂=1/r₂. Come vedete, le due curve si trovano su piani ortogonali. Si intuisce che le curve sezione, in figura ne vedete altre due in viola, hanno il raggio di curvatura che varia con continuit tra r₂ e r₁ (tra il minimo e il massimo). Osservate inoltre che le due curve sezione evidenziate volgono la concavit entrambe verso il basso rispetto alla normale orientata come in figura; ne consegue che i raggi di curvatura r₁ e r₂ hanno entrambi segno negativo (perch il centro di curvatura si trova sulla semiretta negativa della normale orientata come in figura e con origine in P) e quindi la curvatura k=1/(r₁r₂) in P positiva. Orientando la normale nell'altro modo possibile avremmo naturalmente ancora un valore positivo per k. Per qualsiasi punto P dell'ellissoide la curvatura, pur variando, rimane sempre positiva; potete rendervi conto, applicando la definizione, che se il punto P si sposta sulla sommit dell'ellissoide allora la curvatura della superficie aumenta perch diminuiscono i raggi di curvatura r₁ e r₂.

Nel caso di una superficie sferica di raggio r si ha invece che tutte le sezioni normali, per qualsiasi punto P, sono uguali; sono infatti circonferenze massime di curvatura 1/r (tenete presente che il piano tangente perpendicolare al raggio della sfera per P, quindi la normale n passa per il centro della sfera); ne segue che la curvatura della superficie ovunque uguale a 1/r² ed sempre positiva. La superficie sferica ha curvatura costante positiva.

Consideriamo ora la superficie a sella della figura seguente; si tratta della superficie di equazione z=xy, l'abbiamo tracciata con Derive. Sono evidenziate in rosso le due curve, sono due parabole, che ci consentono di valutare la curvatura della superficie in P. Ora attenzione: la prima la sezione normale che ha curvatura massima, in valore assoluto, tra quelle che volgono la concavit verso il basso rispetto all'orientamento di n (il raggio di curvatura, chiamiamolo r₁, negativo perch il centro di curvatura si trova sulla normale al di sotto di P); la seconda la sezione normale che ha curvatura massima tra quelle che volgono la concavit verso l'alto (il raggio di curvatura, chiamiamolo r₂, positivo perch il centro di curvatura si trova sulla normale al di sopra di P). Poich k=1/(r₁r₂) segue che la curvatura k negativa in P.

Alla luce di quanto detto, facile capire se una superficie ha curvatura positiva o negativa in un punto P: nel primo caso tutte le sezioni normali per P volgono la concavit dalla stessa parte rispetto alla normale, comunque orientata, mentre nel secondo le sezioni normali volgono la concavit sia da una parte che dall'altra.

Piano tangente e versore normale in un punto di una superficie a sella (paraboloide iperbolico)

Sezioni normali di una superficie a sella (paraboloide iperbolico)

Animazione sezioni normali di una superficie a sella (paraboloide iperbolico)

Esaminiamo il caso di superfici che abbiano in un punto curvatura nulla. Un piano, chiaro, ha curvatura nulla in tutti i suoi punti. Le sezioni normali sono infatti delle rette e hanno curvatura nulla in ogni punto. Pi interessante il caso di un cilindro (senza basi): anche la sua superficie ha curvatura nulla in ogni punto. Nella figura a fianco vedete una superficie cilindrica e, evidenziate in arancione, le due sezioni normali ortogonali per il punto P che ci interessano; la sezione orizzontale una circonferenza ed ha curvatura massima k₁, quella verticale una retta ed ha curvatura minima k₂=0. Ne segue che la curvatura della superficie in P k=k₁k₂=0. Probabilmente vi sembrer strano che la superficie cilindrica, che siamo abituati a considerare una superficie curva, sia in realt una superficie che "tecnicamente" ha curvatura nulla in tutti i suoi punti. Ma le cose stanno proprio cos: il fatto che un cilindro non altro che un piano arrotolato. Riflettete sul fatto seguente: possiamo avvolgere un cilindro con un foglio di carta operando una flessione del foglio senza lacerazioni; non possiamo fare la stessa cosa con la superficie di una sfera, di un ellissoide o di un toro.

Sezioni normali cilindro

Domanda Immaginate di avere un sottile foglio di gomma e di premere leggermente con un dito, dal di sotto, in modo da creare una specie bolla, come vedete nella figura a destra. Il foglio, prima della deformazione, ha curvatura nulla in tutti i suoi punti. Cosa si pu dire dopo la deformazione? Pensate che siano stati creati sia punti a curvatura positiva che punti a curvatura negativa? Sapete indicare punti a curvatura positiva e punti a curvatura negativa? Domanda Immaginate di praticare un foro in una superficie sferica immersa nella spazio tridimensionale e di penetrarvi all'interno (vedi figura). Pensate che la curvatura della sfera "vista dall'interno" sia curvatura negativa? Da un punto di vista intrinseco ha senso parlare di interno e esterno di una superficie sferica? O, se volete, un essere bidimensionale sarebbe in grado di percepire la differenza tra interno e esterno?

[Soluzione. La curvatura naturalmente la stessa ed positiva. Da un punto di vista intrinseco non c' differenza tra interno e esterno. La figura stata generata con Derive, impostando coordinate sferiche e tracciando il grafico relativo alle equazioni parametriche (vettoriali)[1, s, t], facendo variare s tra π/10 e 2π - π/10 e

Domanda Sapete indicare i punti della superficie di un toro in cui la curvatura nulla? Fatevi guidare dall'intuizione.

[Soluzione. Consideriamo il toro della figura a fianco: visto dall'alto. Tagliamo la superfice lungo la circonferenza evidenziata in rosso e lungo la circonferenza simmetrica e sottostante (non visibile in figura). Il toro iniziale, che non ha bordi, si spezza in due superfici che hanno per bordi proprio le due circonferenze.

Vedete le due superfici nella figura a fianco; la prima rappresenta la regione del toro i cui punti hanno curvatura negativa (escludendo i bordi), la seconda la regione del toro i cui punti hanno curvatura positiva (di nuovo escludendo i bordi). Possiamo ora affidarci all'intuizione e ragionare cos: poich la curvatura varia con continuit sulla superficie passando da valori negativi a valori positivi, devono esistere dei punti di confine in cui la curvatura si annulla. Tali punti di confine sono proprio i due bordi; quindi i punti che hanno curvatura nulla sono i punti delle due circonferenze evidenziate in rosso. Le figure sono state generate con Derive, utilizzando le equazioni parametriche di un toro (comando torus).] t tra π/10 e π - π/10.]

[Soluzione. Vengono creati punti sia a curvatura positiva (ad esempio quelli alla sommit della bolla) sia a curvatura negativa come ad esempio il punto della figura a fianco (sono visualizzate due sezioni normali, la prima volge la concavit verso l'alto rispetto all'orientamento della normale, la seconda verso il basso). Le figure sono state generate con Derive, l'equazione della superficie z=e^(-x^2-y^2).]

Osservate infine il toro della figura a fianco: facile rendersi conto che ci sono sia punti in cui la curvatura positiva sia punti in cui la curvatura negativa (e, si potrebbe dimostrare, esistono punti anche a curvatura nulla). L'esistenza di regioni sia a curvatura positiva che a curvatura negativa ha delle implicazioni fondamentali per la geometria sulla superfice: nelle regioni a curvatura positiva la geometria sar di tipo ellittico (somma degli angoli di un triangolo maggiore di π), nelle regioni a curvatura negativa sar di tipo iperbolico (somma degli angoli di un triangolo minore di π).

Piano tangente e versore normale in un punto di una superficie torica

Sezioni normali di una superficie torica

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24. Curvatura di una superficie Indice Paragrafo precedente Paragrafo successivo Come ricorderete, per le curve nel piano la nozione di curvatura in un punto P ci consentiva di valutare lo scostamento della curva dalla tangente nelle immediate vicinanze del punto considerato cio lo scostamento dall'andamento rettilineo; in modo analogo la curvatura di una superficie in suo punto P dovr misurare lo scostamento della superficie dal piano tangente in P nelle immediate vicinanze del punto considerato.

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Lobacewskij scrive nella introduzione ai " Nuovi principi della geometria":

"I vani sforzi compiuti dai tempi di Euclide, per il corso di duemila anni, mi spinsero a sospettare che nei concetti stessi della geometria non si racchiuda ancora quella verità che si voleva dimostrare, e che può essere controllata, in modo simile alle altre leggi della fisica, soltanto da esperienze, quali, ad esempio, le osservazioni astronomiche."

Egli concepisce l'idea che lo spazio fisico reale possa avere alcune caratteristiche diverse da quello euclideo e, in seguito a ciò, ritiene che la geometria debba essere fondata non più su enti ideali (punto, retta, piano), bensì su oggetti geometrici più tangibili e più vicini alla nostra esperienza sensoriale (per esempio i corpi solidi).

Questa fisicità porta a considerare vere solo le affermazioni che possono essere verificate sperimentalmente.
In questa ottica Lobacewskij nega, nel 5° Postulato di Euclide, l'unicità della retta parallela ad una retta data, con le seguenti considerazioni:
Preso un foglio su cui disegnare, dalle dimensioni qualsiasi, se r è una retta e P un punto esterno ad essa, si conduca per P la perpendicolare PH alla retta r e, sempre per P, una retta a che forma con PH un angolo che differisce da un angolo retto per "pochissimo".
La retta a non incontrerà la retta r sul foglio di lavoro e potrebbe non incontrarla ad una distanza "ragionevolmente vicina"; potrebbe incontrarla invece ad una distanza al di fuori della nostra percezione, o, proprio per questo, non incontrarla affatto.

Se accettiamo questa ipotesi, per P passano delle rette (secanti) che incontrano la retta r e rette(non secanti) che non la incontrano; le retta a e a' che separano in ciascun semipiano le rette secanti dalle non secanti vengono chiamate rette per il punto P e parallele alla retta r.
Lobacewskij allora ritiene validi i primi quattro postulati di Euclide e sostituisce il quinto con il seguente:
per un punto passano due rette parallele ad una retta data
L'accettazione dell'assioma delle due parallele comporta notevoli conseguenze, fra le quali:
- nessun quadrilatero è un rettangolo
- non esistono triangoli simili, ad eccezione di quando essi sono anche congruenti
- per un triangolo qualsiasi la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore di un angolo piatto

Ci sono alcuni validi modelli che descrivono la geometria di Lobacewskij:i modelli di Klein, di Poincaré e di Beltrami.
Iniziamo da quello di Klein: esso è costruito pensando

ai punti come i punti interni ad una conica (per esempio una circonferenza)

alle rette come le congiungenti due punti interni alla conica

al piano formato dai punti interni alla conica

Si può facilmente verificare che sono rispettati in questo modello sia gli assiomi di incidenza, sia quelli di ordinamento, sia quelli di continuità.
E' invece meno semplice verificare gli assiomi della congruenza, perchè per parlare di congruenza è indispensabile parlare di distanza tra punti e tutto è complicato dal fatto di non poter parlare di segmenti la cui lunghezza supera quella del diametro della circonferenza che abbiamo preso in esame.

Klein diede allora una definizione di distanza tra due punti in questo modo:

dove con A e B indichiamo due punti del "nostro piano" e con P e Q gli estremi della corda passante per A e per B (con AP < AQ)
Le caratteristiche di questa definizione sono le seguenti:

la distanza d(A;B) tra due punti è sempre non negativa
la distanza d(A;A) = | ln 1 | = 0
se A è un punto fisso e B varia sulla "retta" avvicinandosi alla frontiera d(A;B) = ¥

Utilizzando questa definizione di distanza tra due punti le "rette" risultano avere lunghezza infinita.
In tale modello non è verificato l'assioma delle parallele: si consideri, infatti la "retta" AB e il punto C esterno ad essa; si può verificare immediatamente che vi sono infinite "rette" che non intersecano la retta data e tali "rette" sono separate da quelle che invece incontrano la "retta" AB da due particolari "rette" che vengono definite parallele ad AB passanti per C.

In altro modello della Geometria di Lobacewskij è quello di Poincaré.
Il modello di Poincaré è costruito pensando:

i punti come i punti interni ad una circonferenza C

le rette sono gli archi di circonferenza perpendicolari nei loro estremi alla circonferenza C (nei punti di intersezione le tangenti alle due circonferenze, la C e quella cui appartiene l'arco, hanno tangenti fra loro perpendicolari)

il piano formato dai punti interni alla circonferenza

Come si può osservare in questa situazione le proprietà delle "nuove rette" differiscono da quelle della geometria euclidea e in particolare non vale più il postulato delle parallele.
Questi nuovi enti si comportano esattamente come quelli del modello di Klein, ma con questa sottile distinzione:
nel modello di Klein le rette non sono le rette euclidee, nel modello di Poincaré le rette non sono le rette euclidee, ma sono archi di circonferenza euclidei e quindi, sotto questo aspetto, in questo modello si può applicare la geometria euclidea.

Occorre qui fare una breve considerazione: il matematico, nei suoi studi, è libero di utilizzare gli enti fondamentali e un insieme qualsiasi di assiomi, purchè coerenti e compatibili al loro interno, ma il suo lavoro potrà essere utilizzato dal fisico solo se il suo sistema complessivo ha un riscontro nelle situazioni fisiche in cui vengono a trovarsi degli oggetti nel mondo reale (si ricordi l'esigenza, espressa dalle ricerche di Lobacewskij, di poter lavorare con concetti concreti).
A questo proposito si consideri la proposizione: "la luce si propaga in linea retta" e si pensi di considerare questa come la definizione fisica di retta; su questa base poggia il modello di Poincarè: infatti si può dimostrare che se la velocità della luce è in ogni punto interno alla circonferenza uguale alla distanza di quel punto dalla circonferenza i raggi di luce prendono proprio la forma di quegli archi che nel modello vengono chiamati "rette".

Il terzo modello è quello di Beltrami, che risulta essere particolarmente importante perchè è stato il primo modello proposto per le geometrie non euclidee ed ha avuto il pregio di convincere gli studiosi della validità di tali studi.
La curva fondamentale è la trattrice, definita come il luogo dei punti del piano tali che i segmenti di tangente compresi tra essa e una retta hanno lunghezza costante; tale retta risulta essere asintoto per la curva.

Si consideri adesso la superficie ottenuta ruotando la curva così costruita attorno al suo asintoto (si ottiene la pseudosfera).

I punti sono i punti che stanno sulla superficie della pseudosfera e per retta passante per due punti si intende la geodetica, cioè la linea di minima distanza congiungente i due punti; si può ben osservare che per un punto esterno ad una retta passano più rette che non la incontrano.

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Progetto Polymath - Le geometrie non euclidee

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Lobacewskij scrive nella introduzione ai " Nuovi principi della geometria": "I vani sforzi compiuti dai tempi di Euclide, per il corso di duemila anni, mi spinsero a sospettare che nei concetti stessi della geometria non si racchiuda ancora quella verità che si voleva dimostrare, e che può essere controllata, in modo simile alle altre leggi della fisica, soltanto da esperienze, quali, ad esempio, le osservazioni astronomiche."

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In questo modulo sono presenti due proposte relative a esperienze di modellizzazione in ambiente matematico - fisico, con uso della tecnologia, declinate e declinabili nei differenti ordini scolari.

Le due attività coinvolgono nodi concettuali differenti pur convergendo entrambi a favorire nell'allievo competenze di analisi di situazioni e relativa modellizzazione.

Nella prima attività viene proposta una situazione in cui due o più variabili covariano. Nella seconda attività viene presentato un progetto interdisciplinare di analisi geometrica e statica di un ponte.

Nonostante il carattere differente delle due attività, in termini di nodi concettuali coinvolti, entrambe mirano a favorire nell'allievo l'acquisizione di competenze di modellizzazione.

Anche qui La riflessione meta-didattica sarà particolarmente importante per focalizzare  le caratteristiche di un modello e della sua costruzione. Vi invitiamo quindi a partecipare alle riflessioni e a condividere esperienze.

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Attività introduttiva del modulo Modelli Fisico . Matematici

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Attività introduttiva del modulo Modelli Fisico . Matematici

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Video per MOOC - Modulo Modelli Fisico Matematici

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Attività introduttiva del modulo Modelli Fisico . Matematici

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Attività introduttiva del modulo Modelli Fisico . Matematici

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COVAZIAZIONE nella NATURA: il punto di rugiada

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COVAZIAZIONE nella NATURA: il punto di rugiada

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COVAZIAZIONE nella NATURA: il punto di rugiada

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Autori: Ferdinando Arzarello, Sara Bagossi, Silvia Beltramino, Ketty Savioli

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Covariazione & natura: il punto di rugiada - Primaria

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Ferdinando Arzarello, Sara Bagossi, Silvia Beltramino, Ketty Savioli

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Covariazione in natura: il punto di rugiada - Secondaria Primo Grado

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Autori: Ferdinando Arzarello, Sara Bagossi, Silvia Beltramino, Ketty Savioli, Elisabetta Vio

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Covariazione & natura: il punto di rugiada - Secondaria di Secondo Grado

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Autori: Ferdinando Arzarello, Sara Bagossi, Silvia Beltramino, Ketty Savioli

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Relazioni tra segni per rappresentare il mondo. I luoghi geometrici e la staticità dei ponti

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Relazioni tra segni per rappresentare il mondo. I luoghi geometrici e la staticità dei ponti

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Relazioni tra segni per rappresentare il mondo. I luoghi geometrici e la staticità dei ponti

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Progetto didattico di Arianna Coviello realizzato in collaborazione con il collega arch. Giancarlo Scarsi

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Relazioni tra segni per rappresentare il mondo. I luoghi geometrici e la staticità dei ponti Analisi geometrica

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Progetto didattico di Arianna Coviello, realizzato con il collega arch.Giancarlo Scarsi

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Relazioni tra segni per rappresentare il mondo. I luoghi geometrici e la staticità dei ponti Analisi statica

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Progetto didattico di Arianna Coviello realizzato in collaborazione con il collega arch. Giancarlo Scarsi

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Badge Modulo 3 modelli fisico-matematici

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Badge Modulo 3 modelli fisico-matematici

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Messana Vincenzo

url attività: https://www.ucl.ac.uk/learning-designer/viewer.php?uri=/personal/vmessana1/designs/fid/4389fb037d8012c7a5610833219c8127649f56fb4e8e41246e4de17f51fdaf44