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En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Demostración: Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha.
El área de este cuadrado será (b+c)².Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2): más el área del cuadrado amarillo Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

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Los triángulos se pueden clasificar según diferentes criterios:

Por sus lados

Por sus ángulos

Clasificación de triángulos según sus lados

Triángulo equilátero
Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden grados).Triángulo isósceles
Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.Triángulo escaleno
Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.Clasificación de triángulos según sus ángulos

Triángulo Rectángulo
Si tiene un ángulo interior recto . A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.Triángulo obtusángulo
Si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de ); los otros dos son agudos (menor de ).Triángulo acutángulo
Cuando sus tres ángulos son menores a ; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.Triángulo equiángulo
Normalmente se llama Triángulo equilátero y ya se ha comentado anteriormente.
Propiedades de los triángulos

Triángulos
Equilátero Isósceles EscalenoRectángulo |  | Acutángulo | Obstusángulo | Podemos ver en el esquema anterior que las clasificaciones comentadas en el apartado anterior se pueden combinar de dos a dos (una de cada apartado).
Así, tenemos las siguientes características:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de  cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos son:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

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Los exponentes también se llaman potencias o índices.
El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.
En este ejemplo: 8 ² = 8 × 8 = 64.

El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces.

Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir.

Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir.

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Un monomio es el producto de un número conocido (coeficiente) por uno o varios valores desconocidos, representados por letras (parte literal). El grado de un monomio es el número de factores que forman su parte literal (la suma de los exponentes de las letras).

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Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn + bxn= (a + b)xn
Producto de un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.
(2x²y³z) = 10x²y³z
Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.
axn · bxm = (a · b)xn + m

División de monomios Sólo se pueden dividir monomios cuando: 1Tienen la misma parte literal
2El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes.
ax n : bx m = (a : b)x n − m

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Es una expresión matemática constituida por una suma finita de productos entre variables (valores no determinados ) y constantes(números fijos llamados coeficientes).

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Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos:
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x , entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
2x • ½   =  56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

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Suma: Sumamos términos semejantes es decir sumamos aquellos términos cuyas variables y exponentes sean iguales.   Los pasos para hacer las suma son:
Paso 1: Elimine los paréntesis
Paso 2. Agrupe términos semejantes
Paso 3. Sume y reste los términos semejantes.
Resta: Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes de los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis.
Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto un signo negativo, los signos dentro del paréntesis se afectan. Los signos se cambian a su opuesto y el signo negativo antepuesto al paréntesis pasa a ser positivo.
Paso 2: Elimine   los paréntesis.   Para hacerlo sólo escriba los términos que están dentro del paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + entre los dos paréntesis.
Paso 3: Agrupe los términos semejantes; es decir los términos con iguales variables e iguales exponentes.
Paso 4: Sume y reste los términos semejantes.
División de polinomios
Para realizar la división debemos colocar a la izquierda el dividendo y a la derecha el divisor, tal y como se hacen las divisiones tradicionales. Para empezar hay que dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor (8x³ : 2x²) y el resultado los ponemos como el primer número del cociente (4x). Después multiplicamos este número del cociente por el divisor y se lo restamos al dividendo.
Multiplicación de polinomios
Para llevar a cabo esta operación debemos multiplicar cada uno de los monomios del primer polinomio, por todos los elementos del segundo polinomio. Después debemos sumar todos los monomios que posean el mismo coeficiente y obtendremos el polinomio resultante.

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Método de reducción
Sea el sistema.
3X + Y = 11.
5X - Y = 13.
Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema.
3x + y = 11.
5x - y = 13.
8x + 0 = 24.
8x=24
x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos.
y=2
Ejemplo
Sea el sistema.
3x - y = 7.
2x + 3y = 12.
5x + y = 19.
Si aplicamos el método de reducción en este caso ningún coeficiente de las variables se hace cero. Por lo tanto hay que multiplicar una de ellas por un número de forma tal que cuando sumemos una de ellas desaparezca. Por ejemplo la primera por 3.
3x – y = 7 / 3.
Obtenemos
9x - 3y = 21.
Entonces obtenemos el nuevo sistema.
9x -3y = 21.
2 x +3y = 12.
11x + 0 = 33.
11x = 33.
x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos.
y=2

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El álgebra es la parte de la matemática que estudia la relación entre números, letras y signos.  Por lo tanto, el lenguaje algebraico es aquel que emplea símbolos y letras para representar números.  Esta clase de lenguaje fue introducida por primera vez por el matemático francés François Vieth, quien es considerado el padre del álgebra expresada en palabras.
Lenguaje comun a lenguaje algebraico
1. Un numero cualquiera: x
2. La suma de dos numeros diferentes: x + y
3. La diferencia de dos números: x - y
4. El producto de dos números: x y
5. El cociente de dos números: x/y
6. El cubo de un numero: x ³
7. El triple del cuadrado de un numero: 3x ²
8. La suma de los cuadrados de dos números: x ² + y ²
9. La quinta parte del cubo de un numero: x ³/5
10. El cubo de la quinta parte de un numero: (x/5)³
11. La suma de dos números dividida entre su diferencia: (x + y)/(x - y)
12. ¿Cuál es el numero que agregado a 3 suma 8?: x + 3 = 8
13. ¿Cuál es el numero que disminuido de 20 da por diferencia 7?: x - 20 = 7
14. Las tres quintas partes de un numero aumentado en un cuarto: 3/5 x + 1/4
15. La diferencia entre un numero y su anterior: x - (x-1)
16. La suma entre un numero par y el triple del siguiente par: 2x + 3(2x+2)
17. El producto entre el doble de un numero y la tercera parte de su consecutivo: 2x·(x+1)/3
18. El cociente entre un numero y su mitad: x/(x/2)
19. La mitad de la suma de dos números multiplicado por el cuadrado de ambos números: 1/2·(x+y)(x·y)²
20. La raíz cubica del cuadrado de la suma de dos números: ³√(x+y)²
21. La tercera parte de un numero aumentado en 10: x/3 + 10
22. Las dos terceras partes de la suma de dos números: 2/3·(x+y)

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Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
≠ no es igual
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:
1º Todo número positivo es mayor que cero

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5
2º Todo número negativo es menor que cero

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9
3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto ;

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20