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Schau dir auf Binogi das Video "Einführung in Geometrie" an.

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Schau dir auf Binogi das Video "Geometrie von Vierecken" an.

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Das Viereck. Es hat nur eine Seite mehr als das Dreieck und ist doch ganz anders. So gibt es zum Beispiel nichts für das Viereck, was dem Satz des Pythagoras nahekommt. Und wenn du alle Seiten eines Dreiecks kennst, dann ist das Dreieck ​eindeutig ​bestimmt. Dafür kann ein Viereck seine Form ändern, ohne dass sich seine Seitenlängen ändern.

Deshalb verwenden wir Dreiecksstrukturen für die Konstruktion von Objekten, die eine Last zu tragen haben, wie etwa Brücken. Schau dir Brücken und deren unterspannte Balken an, Gerüste oder die Rückseite von Bücherregalen, und du wirst Stellen finden, wo eine Diagonale auf ein Rechteck gelegt wird, so dass es zwei Dreiecke bildet. Probier es selbst aus und spüre, wie viel stärker die Struktur wird. Aber heute reden wir über Vierecke, nicht über Dreiecke. Alle Vierecke haben natürlich gemeinsam, dass sie vier Winkel enthalten.

Also haben sie alle auch vier Seiten. Dieses sieht ein wenig schief aus. Würden wir alle Winkel genau auf 90 Grad einstellen und sie somit zu rechten Winkeln machen, dann hätten wir es mit einem Rechteck zu tun. Ein Rechteck ist ein Viereck mit ausschließlich rechten Winkeln. Und wenn alle Ecken rechte Winkel sind, dann wird jede Seite automatisch so lang wie die gegenüberliegende Seite.

Das ​Quadrat​ ist ein Sonderfall des Rechtecks. Ein Quadrat ist ein Viereck, das nur rechte Winkel aufweist und​ dessen vier Seiten alle gleich lang sind. Wenn wir ein Quadrat seitlich ein wenig eindrücken, wie hier, ist es kein Quadrat mehr. Denn die Winkel messen nicht mehr 90 Grad. Wir sprechen nun von einer ​Raute​.

Eine Raute ist ein Viereck, bei dem ​alle Seiten​gleich lang sind und die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind. Rauten siehst du meistens in ​dieser Ausrichtung. Karo bei Kartenspielen und das Logo des Autoherstellers Renault sind Beispiele für Rauten. Erweitern wir eine Raute so wie hier, dann sind die Seiten nicht mehr gleich. Wir haben es jetzt mit einem ​Parallelogramm​ zu tun.

In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden​ Seiten gleich. So wie ein Quadrat ein Sonderfall des Rechtecks ist, ist eine Raute ein Sonderfall des Parallelogramms. Wenn wir ein Parallelogramm wie hier begradigen, erhalten wir wieder ein Rechteck. Sind die gegenüberliegenden Seiten nicht mehr gleich lang, handelt es sich um ein ​Trapez​. Jetzt sind nur zwei der gegenüberliegenden Seiten parallel, die anderen beiden nicht.

Sind die nicht parallelen Seiten gleich lang, reden wir von einem ​gleichschenkligen Trapez​. Hier ist eine Übersicht einiger Vierecke: Ein Rechteck, ein Quadrat, ein Parallelogramm, eine Raute und ein Trapez. Es gibt noch mehr, aber das soll für den Anfang erst mal reichen.

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Mathematik - Die Geometrie von Vierecken

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Das Viereck. Es hat nur eine Seite mehr als das Dreieck und ist doch ganz anders. So gibt es zum Beispiel nichts für das Viereck, was dem Satz des Pythagoras nahekommt. Und wenn du alle Seiten eines Dreiecks kennst, dann ist das Dreieck ​eindeutig ​bestimmt.

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Löse Quiz 1-3 auf Binogi.
https://app.binogi.de/l/die-geometrie-von-vierecken
Schaue dir das Video dazu mehrmals an, bis du alle Fragen beantworten kannst.

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Maria streicht einen alten Stall. Sie beginnt damit, die Türen schwarz anzumalen. Jede Tür hat die Form eines Rechtecks. Um zu berechnen, wie viel Farbe sie benötigt, muss Maria den F​lächeninhalt (oder die ​Oberfläche​) der Türen berechnen. Maria macht eine Skizze der Türen in ihren Notizblock.

Die Türen sind 2 und 1/4 m hoch, und zusammen sind sie 4 m breit. Maria zeichnet für jeden ganzen Meter Gitterlinien auf die Türen, um zu berechnen, wie viele ​Quadratmeter die Türen messen. Sie sind 1,2,3,4,5,6,7 - 8 ganze m² groß, und ein wenig Rest ist ist auch übrig geblieben. Hmm... Das ist ungenau.

Maria will ​genau wissen, wie viel Farbe sie benötigt. Sie muss es also ​berechnen​. Um die Fläche der Stalltüren zu berechnen, multipliziert Maria die Breite mit der Höhe. In der Geometrie, kann man statt B​reite auch G​rundseite​ sagen, was aber nicht oft vorkommt. Und diese misst 4 m.

Die Höhe wird auch in der Geometrie Höhe genannt. Sie entspricht 2,25 m. 4 ⋅ 2,25 = ​9 m²​. Der Flächeninhalt der Türen ist 9 m². Wirf einen Blick auf die ​Einheiten​. m mit einer leicht erhöhten zwei.

Meter ², oder einfach m².​ Dies ist die Flächeneinheit, die du erhältst, wenn du eine Breite mit einer Höhe in Metern multiplizierst. Hätte Maria die Breite und die Höhe in Zentimetern gemessen, wäre das Ergebnis in Quadratzentimetern​ angegeben. Nun will Maria auch die Stallwand abmessen. Sie fängt mit dem unteren Teil an. Der ist 5 m breit, und bis zur Decke sind es auch 5 m.

Die Form eines ​Quadrats​. Da Quadrate auch Rechtecke sind, erhältst du den Flächeninhalt so: Breite ⋅ Höhe 5 m hoch und 5 m breit - 5 ⋅ 5. Die Wand misst 25 m²​. Aber da Breite und Höhe in einem Quadrat gleich sind, kannst du auch so verfahren: Eine Seite mal sich selbst. Mit anderen Worten - ​ eine Seite zum Quadrat​.

Aber warte mal! Es soll ja gar nicht die ganze​ Wand rot sein. Die Tür ist Teil der Wandfläche. Deshalb zieht Maria von den 25 m² an Wandfläche die Türfläche ab, also -​ 9 m². Das ergibt 16 m². (Es gibt noch andere Wandbereiche, aber das sind keine Quadrate oder Rechtecke.

Um die kümmern wir uns später.) Der Flächeninhalt vom Rechteck gleich Breite ⋅ Höhe. Miss Breite und Höhe in den gleichen Einheiten, so erhältst du die Ergebnisse als jene ​Quadrateinheiten. Um den Flächeninhalt eines Quadrats zu berechnen, multiplizierst du eine Seite mit sich selbst. 1 m ⋅ 1 m = 1 m².

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Maria streicht einen alten Stall. Sie beginnt damit, die Türen schwarz anzumalen. Jede Tür hat die Form eines Rechtecks. Um zu berechnen, wie viel Farbe sie benötigt, muss Maria den F​lächeninhalt (oder die ​Oberfläche​) der Türen berechnen. Maria macht eine Skizze der Türen in ihren Notizblock.

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https://app.binogi.de/l/quadrate-und-rechtecke
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Schau dir auf Binogi das Video "Andere Vierecke" an.

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Maria streicht den Pferdestall, wo sie ihre Wochenenden verbringt. Die Tür und ein Teil der Außenwand sind schon fertig. Nur der Giebel und das Treppengeländer sind noch übrig. Maria will natürlich wissen, wie groß die Oberfläche ist, so dass sie genug Farbe kaufen kann. Sowohl Giebel als auch Geländer sind Arten von schiefen Rechtecken.

Maria fängt mit dem Treppengeländer an. Was hat es für eine Form? Wenn wir es ein wenig drehen, so wie hier, dann kannst du es erkennen. Es ist ein P​arallelogramm.​ Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und verlaufen parallel. Obwohl ein Parallelogramm im Vergleich zu einem Rechteck schief aussieht, berechnet man den Flächeninhalt auf genau die gleiche Weise: Die Grundseite ⋅ der Höhe.

Aber wie kann das sein? Es ist so schief, und trotzdem ist der Flächeninhalt gleich? Es ist so: Schau dir an, was passiert, wenn wir die Figur hier zerschneiden. Wir bekommen ein Dreieck, und wenn wir es hierher bewegen, dann passt es perfekt und wird zu einem Rechteck. Die Grundseite und die Höhe bleiben gleich.

Grundseite ⋅ Höhe ergibt also den Flächeninhalt sowohl für ​Rechtecke​ als auch für Parallelogramme. Wenn Maria dasTreppengeländer misst, muß sie aufpassen, wie groß die Grundseite ist. Sie misst 3 m. Und dann misst sie die H​öhe im ​rechten Winkel zur Grundseite und erhält 90 cm. Grundseite ⋅ Höhe... 3 ⋅ 0,9 m...

ist gleich 2,7 m². Das war das Treppengeländer. Und der Giebel? Ist das auch ein Parallelogramm? Nein.

Das ist eine andere Art von Viereck. Er hat zwei gegenüberliegende Seiten, die parallel sind, und zwei, die es nicht sind. Die zwei nicht parallel zueinander liegenden Seiten sind gleich lang. Es ist ein ​gleichschenkliges Trapez​. Gleichschenklig oder nicht - der Flächeninhalt eines Trapezes wird immer auf die gleiche Weise berechnet.

​ Es gibt zwei einfache Wege, das zu tun: Der erste ist einfach zu verstehen, dafür dauert das Berechnen aber einige Zeit. Mach das und du bekommst ein Rechteck und zwei Dreiecke. Jetzt kannst du den Flächeninhalt jeder Figur separat berechnen und dann addieren, um den Flächeninhalt des gleichschenkligen Trapezes zu erhalten. Es gibt jedoch einen schnelleren Weg. Schau zuerst, was passiert, wenn du die Grundseite mit der Höhe multiplizierst​.

Du erhältst diese Fläche, die viel zu groß ist. Aber es gibt noch eine andere Grundseite. Und die ist kürzer. Ein Trapez hat ​zwei Grundseiten ​- eine kürzere und eine längere. Wenn du nun den Flächeninhalt des Rechtecks mit der kürzeren Grundseite berechnest, erhältst du ​diese​ Fläche.

Und diese ist viel zu ​klein​. Du bekommst die korrekte Trapezfläche, wenn du eine Basislänge nimmst, die ​genau in der Mitte der kürzeren und der längeren Grundseiten liegt​, und sie dann mit der Höhe multiplizierst. Genau hier​hast du ein Rechteck mit der gleichen Fläche wie das Trapez. Diese Basislänge berechnest du, indem du... die Länge der beiden Grundseiten addierst und die Summe dann durch 2 teilst.

So erhältst du den Mittelwert zwischen der kürzeren und der längeren Grundseite. Multipliziere den dann mit der Höhe. Maria hat den Giebel des Stalls vermessen und festgestellt, dass die untere, längere Grundseite 5 m, die obere, kürzere 3 m misst, und die Höhe 2 m. Sie setzt die Maße in die Formel ein und berechnet den Flächeninhalt: 8 m². Du erhältst den Flächeninhalt eines Parallelogramms auf gleiche Weise wie den eines Rechtecks: Grundseite ⋅ Höhe.

Der Flächeninhalt eines ​Trapezes​ wird wie folgt berechnet: die längere plus die kürzere Grundseite, / 2, ⋅ der Höhe.

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Maria streicht den Pferdestall, wo sie ihre Wochenenden verbringt. Die Tür und ein Teil der Außenwand sind schon fertig. Nur der Giebel und das Treppengeländer sind noch übrig. Maria will natürlich wissen, wie groß die Oberfläche ist, so dass sie genug Farbe kaufen kann. Sowohl Giebel als auch Geländer sind Arten von schiefen Rechtecken.

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Hier sind 2 mit Wasser gefüllte Aquarien. Wir werden nun berechnen, wie viel Wasser sie enthalten können. In dieser Lektion beschäftigen wir uns mit dem ​Volumen ​von Körpern. So wie wir ​Flächen ​in ​Quadrat​metern oder Quadrat​zentimetern messen, können wir auch ​Volumen​ in Einheiten wie Kubikmetern und ​Kubikzentimetern ​berechnen. Dies ist ein ​Kubikzentimeter​.

Ein Würfel, dessen Seiten einen Zentimeter lang sind. Er ist etwa so groß wie ein Stück Würfelzucker. Eine Möglichkeit, ein Aquarium zu messen, wäre, es mit Würfeln wie diesen, aufzufüllen, und dann zu zählen, wie viele Würfel hineinpassen. Aber praktisch sieht anders aus! Zudem wäre das Ergebnis nicht präzise.

Messen wir das Aquarium also lieber mit einem ​Lineal​. Wir beginnen mit dem b​reiteren​ Aquarium. Dieser geometrische Körper, bei dem alle Winkel rechtwinklig sind, wird Quader genannt. Der ​Boden ​dieses Quaders ist ein Rechteck, dessen Seiten 40 bzw. 60 cm lang sind. 40 ⋅ 60 cm = 2400 cm². Wir nennen den Boden eines dreidimensionalen Körpers die ​ Grundseite​.

Bisher kennen wir nur die Fläche der Grundseite​, doch um das Volumen​ des Aquariums zu berechnen, müssen wir alle drei Dimensionen miteinander multiplizieren - Höhe, Breite und Länge. Also ​multiplizieren wir die Grundfläche mit der Höhe​. Weil das Aquarium 40 Zentimeter hoch ist, rechnen wir: 2400 cm² ⋅ 40 cm, 2400 ⋅ 40 = 96000. Und cm² ⋅ cm gleich cm³ ​. Hast du alles verstanden?

Wenn wir eine Fläche messen, rechnen wir: cm ⋅ cm, und wir erhalten ​cm²​. Auf die gleiche Weise erhalten wir eine neue Einheit, wenn wir ein Volumen berechnen. cm ⋅ cm ⋅ cm = cm³ . Wir schreiben dies als cm hoch 3. 3, weil es sich um einen dreidimensionalen Körper dreht. Wir können 96000 cm³ in Liter umwandeln, indem wir die Zahl durch 1000 teilen.

Das macht 96 Liter, bei randvoller Füllung. Lass uns einen Blick auf das andere Aquarium werfen. Alle Ecken sind rechtwinklig, und alle Seiten sind gleich - Länge, Breite und Höhe betragen jeweils 40 cm. Dieses Aquarium ist ein ​Würfel​. Hier bietet sich für die Berechnung des Volumens eine Abkürzung an.

Statt zuerst die Grundfläche zu berechnen und diese dann mit der Höhe zu multiplizieren, kannst du das direkt mit dem Taschenrechner erledigen: 40³. Das ist 40 ⋅ 40 ⋅ 40. Das Ergebnis ist dasselbe, aber wenn du was über Würfel und den Umgang mit Potenzen weißt, ist dies der schnellste Weg, das Volumen eines Würfels zu berechnen. Hier noch einmal alles, was du dir merken musst: Das Volumen eines Quaders und eines Würfels kann immer so berechnet werden: a ⋅ b ⋅ c. Wenn ein Quader ein Würfel ist, kannst du eine Abkürzung nehmen, da alle drei Seiten eines Würfels gleich lang sind: a³ Wenn du Volumen berechnest, denk daran, dass die Einheit in cm³ angegeben wird, wenn du in Zentimetern misst - oder in m³ , wenn du in Metern misst.

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Mathematik - Das Volumen eines Würfels und Quaders

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Hier sind 2 mit Wasser gefüllte Aquarien. Wir werden nun berechnen, wie viel Wasser sie enthalten können. In dieser Lektion beschäftigen wir uns mit dem ​Volumen ​von Körpern. So wie wir ​Flächen ​in ​Quadrat​metern oder Quadrat​zentimetern messen, können wir auch ​Volumen​ in Einheiten wie Kubikmetern und ​Kubikzentimetern ​berechnen. Dies ist ein ​Kubikzentimeter​.

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Nachdem du etwas über die verschiedenen Vierecke gelernt hast, wollen wir mal schauen, ob du diese bereits unterscheiden kannst.

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Binogi Video – Die Oberfläche eines Würfels und Quaders

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Binogi Video – Die Oberfläche eines Würfels und Quaders

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Schau dir auf Binogi das Video "Die Oberfläche eines Würfels und Quaders" an.

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Das ist eine Zeichnung von einem Aquarium. Wir wollen herausfinden, wie viel Glas man bräuchte, um es zu bauen. Von vorn sieht das Aquarium wie ein Viereck aus, mit 4 Ecken und 4 rechten Winkeln: ein Rechteck. Von der Seite betrachtet sieht es auch wie ein Viereck aus, aber mit 4 gleich langen Seiten und 4 rechten Winkeln: ein Quadrat. Und von oben sieht das Aquarium wie ein Rechteck aus.

Das Aquarium ist wie eine Kiste, ein Block, an dem alle Winkel rechte Winkel sind: Es ist ein Quader. Bei einem Quader sind Vorder- und Rückseite gleich groß, die rechte und die linke Seite sind gleich groß und die Ober- und Unterseite sind gleich groß. Alle drei sich gegenüberliegenden Seiten haben also jeweils dieselbe Oberfläche. Daher müssen wir, um die Gesamt- fläche eines Quaders zu berechnen, nur die Flächen von 3 Seiten berechnen und dann mit 2 multiplizieren. Fangen wir mit dem Glas für die Vorderseite an.

Es soll 1 m lang sein und 0,6 m breit. Die Fläche berechnet sich aus Länge ⋅ Breite. 1 m ⋅ 0,6 m sind 0,6 m². Das ist die Fläche dieses Rechtecks. Da Vorder- und Rückseite gleich groß sind, müssen wir 0,6 m² ⋅ 2 nehmen. Das ergibt 1,2 m² Glas für Vorder- und Rückseite.

Berechnen wir als nächstes die Fläche der Seiten des Aquariums. Die Länge beträgt 0,6 m und die Breite beträgt auch 0,6 m. Die Fläche ist 0,6 m ⋅ 0,6 m und das ergibt 0,36 m². Für rechte und linke Seite brauchen wir daher 0,36 m² Glas ⋅ 2: Das ergibt 0,72 m². Die Oberseite des Aquariums ist 1 m ⋅ 0,6 m groß.

Diese Fläche beträgt also 0,6 m². Die Ober- und die Unterseite sind gleich und die Gesamtfläche für beide Seiten beträgt 0,6 m² ⋅ 2: Das ergibt 1,2 m². Die Gesamtfläche aller Seiten, also die Gesamtoberfläche des Quaders, beträgt 1,2 + 0,72 + 1,2 m². Das ergibt 3,12 m². Man braucht mindestens 3,12 m² Glas, um dieses Aquarium zu bauen.

Hier sehen wir eine andere Zeichnung eines Aquariums, bei dem die 6 Seiten aus gleich großen Quadraten bestehen. Das ist ein Würfel. Die Länge und die Breite des Würfels beträgt 0,6 m. Um die Gesamtoberfläche eines Würfels zu berechnen, müssen wir nur die Fläche von einer der Seiten berechnen: 0,6 m ⋅ 0,6 m. Das ergibt 0,36 m².

Alle 6 Seiten haben dieselbe Fläche und deshalb ist die Gesamt- oberfläche des Würfels 0,36 m² ⋅ 6. Das ergibt 2,16 m². Man braucht mindestens 2,16 m² Glas, um dieses Aquarium zu bauen. Dann legen wir mal los! Oh.

Ich befürchte, ich muss noch mehr Glas kaufen ...

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Mathematik - Die Oberfläche eines Würfels und Quaders

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Das ist eine Zeichnung von einem Aquarium. Wir wollen herausfinden, wie viel Glas man bräuchte, um es zu bauen. Von vorn sieht das Aquarium wie ein Viereck aus, mit 4 Ecken und 4 rechten Winkeln: ein Rechteck. Von der Seite betrachtet sieht es auch wie ein Viereck aus, aber mit 4 gleich langen Seiten und 4 rechten Winkeln: ein Quadrat.

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Löse Quiz 1-3 auf Binogi.
https://app.binogi.de/l/die-oberflaeche-eines-wuerfels-und-quaders
Schaue dir das Video dazu mehrmals an, bis du alle Fragen beantworten kannst.

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Geometrische Formen findest du in deinem Alltag immer wieder und überall.

Aber hast du dir diese einmal genau angesehen?

Viele der Form sind sich sehr ähnlich, andere aber auch ganz unterschiedlich.
Sie alle haben einen Flächeninhalt und manche auch ein Volumen.
Du weißt noch nicht was ein "Flächeninhalt" oder was "Volumen" ist oder wie man diese berechnet?
Dann wirst du dies in diesem Padlet lernen!

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Du hast nun das erste Video in diesem Padlet gesehen. Jetzt folgt ein Arbeitsblatt. Für die Bearbeitung brauchst du dein Wissen aus dem Video.

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Schreibe nun alle wichtigen Informationen in dein Merkheft.

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Lösungen AB – Einführung in die Geometrie

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Lösungen AB – Einführung in die Geometrie

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Nachdem du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du sie nun mit den Lösungen überprüfen.

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Schreibe nun alle wichtigen Informationen in dein Merkheft.

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Lösungen AB – Die Geometrie von Vierecken 

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Lösungen AB – Die Geometrie von Vierecken 

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Nachdem du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du sie nun mit den Lösungen überprüfen.

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Bei diesem Arbeitsblatt wirst du ein wenig rechnen müssen!

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Schreibe nun alle wichtigen Informationen in dein Merkheft.

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Nachdem du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du sie nun mit den Lösungen überprüfen.

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Dieses Arbeitsblatt ist ähnlich wie das zum letzten Video. Schaffst du es auch diese Aufgaben zu lösen?

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Du hast bereits alles über Vierecke und ihren Flächeninhalt gelernt. Jetzt schauen wir uns 3-dimensionale Objekte an.

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Schreibe nun alle wichtigen Informationen in dein Merkheft.

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Schreibe nun alle wichtigen Informationen in dein Merkheft.

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Nachdem du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du sie nun mit den Lösungen überprüfen.

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Nachdem du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du sie nun mit den Lösungen überprüfen.

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Und schon bist du beim letzten Arbeitsblatt in diesem Padlet angekommen!

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Schreibe nun alle wichtigen Informationen in dein Merkheft.

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Lösungen AB – Die Oberfläche eines Würfels und Quaders

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Lösungen AB – Die Oberfläche eines Würfels und Quaders

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Nachdem du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du sie nun mit den Lösungen überprüfen.

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Damit du am Ende des Padlets eine gute Übersicht über die wichtigsten geometrischen Formen hast, wirst du dieses Merkheft ausfüllen. Eine Vorlage für das Merkheft findest du als PDF. Du kannst es dir entweder ausdrucken oder digital ausfüllen.

Die Seiten sind bereits vorbereitet, so dass du nur noch die Felder ausfüllen musst. Welche Informationen dies sind, liegt bei dir.