# data[].attributes.body
La probabilità di un evento E è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli f e quello dei casi possibili u quando sono tutti ugualmente possibili.

# data[].attributes.body
Un esperimento aleatorio è un fenomeno di cui non riusciamo a prevedere il risultato con certezza.

# data[].attributes.body
L'insieme U di tutti i possibili risultati di un esperimento si chiama spazio campionario o universo.

# data[].attributes.body
Un evento è un qualunque sottoinsieme dello spazio campionario; un evento formato da un singolo risultato dall'esperimento è detto evento elementare.

# data[].attributes.body
L'insieme universo U è l'insieme dei casi possibili

# data[].attributes.body
Il sottoinsieme E rappresenta l'insieme dei casi favorevoli.

# data[].attributes.body
Nel lancio di un dado a sei facce possiamo rappresentare l'insieme universo U come:

U={1,2,3,4,5,6}

gli eventi elementari sono:

E1="esce il numero 1"

E6="esce il numero 6"

Un possibile evento è E={2,4,6}, cioè esce un numero pari.

# data[].attributes.body
possiamo esprimere il valore della probabilità anche mediante una percentuale

# data[].attributes.body
Poiché il numero ʄ dei casi favorevoli è sempre minore o uguale al numero dei casi possibili.

# data[].attributes.body
se ʄ=u, poiché il numero dei casi favorevoli è uguale al numero dei casi possibili, l'evento è CERTO.

# data[].attributes.body
se ʄ=0, poiché il numero dei casi favorevoli è nullo, l'evento è impossibile.

# data[].attributes.body
considerando un evento E, il suo evento contrario E' è l'evento che si verifica se e solo non si verifica E

# data[].attributes.body
nel lancio di un dado l'evento contrario di E="esce un numero pari" è E'="non esce un numero pari", ossia "esce un numero dispari"

# data[].attributes.headline
Probabilità e calcolo combinatorio, esempio:

# data[].attributes.subject
Probabilità e calcolo combinatorio, esempio:

# data[].attributes.body
Da un'urna contenente 4 palline bianche e 6 nere estraiamo consecutivamente 5 palline, senza rimettere ogni volta la pallina estratta dall'urna.

E1={escono consecutivamente, nell'ordine, 2 palline bianche e 3 nere}

dobbiamo supporre di distinguere per l'ordine di uscita ogni possibile raggruppamento.

i casi possibili si possono calcolare con le disposizioni semplici

D10,5=10*9*8*7*6=30240

i casi favorevoli sono tutti i gruppi formati da 2 palline bianche

D4,2 D6,3=(43)*(6*5*4)=1440

# data[].attributes.body
Dati due eventi E₁ ed E₂ di uno stesso spazio campionario:

·         L’evento unione o somma logica è l’evento E₁ U E₂ che si verifica quando è verificato almeno uno degli eventi E₁ o E2;

·         L’evento intersezione o prodotto logico è l’evento E₁ ∩ E₂ che si verifica quando sono verificati entrambi gli eventi E₁ ed E2;

L'evento unione viene anche detto evento totale, mentre l'evento intersezione è detto anche evento composto

# data[].attributes.body
Due eventi E1 ed E₂ sono:

indipendenti se il verificarsi di uno non influenza la probabilità di verificarsi dell'altro;

dipendenti in caso contratrio.

In generale:

Dati due eventi E, ed E2, con P(E1) ‡ 0, si chiama probabilità condizionata di E, rispetto a E,, e si indica con p (E2 E,), la probabilità che si verifichi Ez nell'ipotesi che E, sia verificato.

# data[].attributes.body
La probabilità del prodotto logico di due eventi E, ed Ez è uguale al prodotto della probabilità dell'evento E, per la probabilità dell'evento E, nell'ipotesi che

E, si sia verificato:

P (E, nE2) = p (E1) • p (E2 Es).

In particolare, nel caso di eventi indipendenti:

P(E, nE2) = p (E1) • p(E2).

# data[].attributes.body
TEOREMA

La probabilità condizionata di un evento E, rispetto a un evento E, non impossibile, è:

# data[].attributes.body
* Se gli eventi E,, Ez, ..., En sono una partizione dell'insieme universo U, cioè

* sono non vuoti, • sono a due a due incompatibili, • la loro unione è U,

allora vale la formula di disintegrazione:

P(E) = p(E,) • p (E| E) + p(E2) • p(E| Ez) + ... + p(En) • p(E| En).

* Il teorema di Bayes permette di calcolare la probabilità che la causa E, abbia preceduto l'evento E che si è verificato.

# data[].attributes.body
e applicando il teorema del prodotto logico di eventi, si ha la formula

p(E)=p(E₁).p(E|E₁)+p(E₂)·p(E|E₂)+ ... +p(En).p(E En ),

la cui applicazione risulta facilitata utilizzando i diagrammi ad albero.

Questa formula è anche detta formula di disintegrazione.

# data[].attributes.body
La probabilità che l'evento E; sia stato la causa di

E si ottiene come rapporto fra la probabilità di

E¡n E e la probabilità dell'evento totale E.

# data[].attributes.body
Una popolazione è composta dal 40% di maschi e dal 60% di femmine.

I maschi indossano solo pantaloni mentre le femmine indossano al 50% pantaloni e al 50% gonne.

Un osservatore nota da lontano una persona con i pantaloni, qual è la probabilità che sia femmina?

La probabilità semplice (a priori) che sia femmina ( evento A ) è del 60%

p(A)=0.6

La probabilità semplice (a priori) che una persona porti i pantaloni ( evento B ) è del 70%

p(B)=0.7

Secondo i dati del problema la probabilità condizionata (o a posteriori) che porti i pantaloni (evento B) una donna (evento A) è del 50%

p(B|A)=0.5

A questo punto applico il teorema di Bayes per calcolare la probabilità che a portare i pantaloni (evento B) sia una donna (evento A)

𝑝(𝐴|𝐵)=𝑝(𝐴)⋅𝑝(𝐵|𝐴):𝑝(𝐵)

Sostituisco i dati delle probabilità che già conosco e trovo la soluzione del problema.

p(A|B)=0.6⋅0.5 :0.7

𝑝(𝐴|𝐵)=0.43

Quindi, c'è una probabilità del 43% che la persona vista da lontano sia una donna.

E' la probabilità condizionata dell'evento A ( donna ) considerando l'informazione disponibile sull'evento B ( pantaloni ).