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1. Un ahorrador realiza los siguientes depósitos en una cuenta de ahorros que liquida interés simple, al 0.75% quincenal, $750 mil a los 4 meses y 15 días, $950 mil a los 6 meses y 15 días, $1.200.000 a los 9 meses y 15 días, $1.650.000 a los 15 meses y $1.700.000 a los 18 meses, cuanto tendrá ahorrado al cabo de los dos años, y si quisiera ahorrar ese valor desde que abre la cuenta con cuanto la debería abrir?

Un ahorrador deposita varias sumas de dinero en una cuenta de ahorros que liquida interés simple con una tasa del 0.75% quincenal. El objetivo es determinar cuánto tendrá acumulado después de dos años y, en caso de querer ahorrar esa misma cantidad desde el inicio, con cuánto debería haber abierto la cuenta.

El cálculo del interés simple se basa en la ecuación:

I = P r t

donde "I" representa el interés generado, "P" es el capital depositado, "r" la tasa de interés por período y "t" el tiempo en períodos. En este caso, el interés se calcula en función de quincenas, ya que la tasa proporcionada es de 0.75% por quincena.

Cada depósito se mantiene en la cuenta hasta completar los dos años, por lo que debemos determinar cuántas quincenas transcurren desde el momento del depósito hasta el final del período. A partir de esto, se calcula el interés generado por cada depósito y se suma al monto original.

El primer depósito de $750,000 se realiza a los 4 meses y 15 días, lo que significa que permanecerá en la cuenta durante 9 quincenas. Aplicando la ecuación del interés simple, se obtiene un interés de $50,625. Sumando este valor al capital inicial, el total acumulado por este depósito es de $800,625.

El segundo depósito de $950,000 ocurre a los 6 meses y 15 días, con una permanencia de 13 quincenas hasta los dos años. Aplicando la misma ecuación, el interés generado es de $92,625, dando un total acumulado de $1,042,625.

El tercer depósito de $1,200,000 se realiza a los 9 meses y 15 días, permaneciendo 19 quincenas. El interés que genera es de $171,000, por lo que el total acumulado asciende a $1,371,000.

El cuarto depósito de $1,650,000 ocurre a los 15 meses, lo que le permite permanecer en la cuenta durante 30 quincenas. Con ello, el interés generado es de $371,250, llevando el total acumulado a $2,021,250.

El último depósito de $1,700,000 se realiza a los 18 meses, con una permanencia de 36 quincenas. En este caso, el interés sumado es de $459,000, resultando en un total acumulado de $2,159,000.

Sumando todos los montos acumulados, se obtiene el total final en la cuenta después de dos años:

$800,625 + $1,042,625 + $1,371,000 + $2,021,250 + $2,159,000 = $7,394,500

Ahora, si el ahorrador quisiera haber depositado una única cantidad inicial y dejarla en la cuenta durante los dos años, el cálculo se haría con la ecuación del monto final en interés simple:

M = P (1 + r * t)

Dado que el tiempo total es de 48 quincenas y la tasa de interés por quincena es de 0.0075, despejamos "P" en la ecuación:

P = 7,394,500 / (1 + 0.0075 * 48)
P = 7,394,500 / 1.36
P = 5,437,132.35

Por lo tanto, si el ahorrador hubiera querido alcanzar el mismo monto al cabo de dos años sin realizar depósitos adicionales, debería haber iniciado la cuenta con $5,437,132.35.

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2. Siendo el rendimiento normal del dinero del 20% anual de interés. ¿Qué oferta es más conveniente para vender un terreno que hoy cuesta $180 millones?

a. Pagar $ 183 millones de contado a 6 meses, con cuota inicial del 28%

b. Pagar $184 millones al cabo de un año con una cuota inicial del 25%

c. Pagar el 50% de contado y el saldo al finalizar el primer año

d. Pagar el 80% a los 6 meses y el saldo al finalizar el primer año

El problema plantea la comparación de distintas opciones para vender un terreno con un precio actual de $180 millones, considerando que el dinero tiene un rendimiento normal del 20% anual. Para determinar cuál opción es más conveniente, se calcula el valor presente de cada alternativa, es decir, cuánto valdría hoy cada oferta si se descuenta la tasa de interés del 20% anual.

El valor presente de un pago futuro se calcula con la ecuación:

VP = VF / (1 + r) ^ t

donde "VP" es el valor presente, "VF" es el valor futuro del pago, "r" es la tasa de interés anual expresada en decimales y "t" es el tiempo en años.

Análisis de cada opción:

1. Pago de $183 millones de contado a 6 meses, con cuota inicial del 28%
En este caso, una parte del pago se realiza al inicio y el resto en 6 meses. El pago total es de $183 millones, pero dado que la tasa de interés es del 20% anual, el dinero que se recibe en 6 meses debe ser descontado a su valor presente. Aplicando la fórmula de descuento:

VP = 183,000,000 / (1 + 0.20)^(6/12)
VP = 183,000,000 / (1.095)
VP ≈ 167,126,712

2. Pago de $184 millones al cabo de un año con una cuota inicial del 25%
Aquí, el vendedor recibe un pago inicial del 25% y el resto dentro de un año. El pago total es de $184 millones, pero la parte que se recibe al año debe ser descontada a su valor presente:

VP = 184,000,000 / (1 + 0.20)^1
VP = 184,000,000 / 1.20
VP ≈ 153,333,333

3. Pagar el 50% de contado y el saldo al finalizar el primer año
En esta opción, el comprador paga la mitad del valor del terreno al inicio y la otra mitad dentro de un año. El primer 50% no necesita ser descontado, pero el segundo 50% sí:

VP = (50% 180,000,000) + (50% 180,000,000) / (1 + 0.20)^1
VP = 90,000,000 + (90,000,000 / 1.20)
VP = 90,000,000 + 75,000,000
VP = 165,000,000

4. Pagar el 80% a los 6 meses y el saldo al finalizar el primer año
En este caso, el comprador paga el 80% a los 6 meses y el 20% restante al finalizar el primer año. Ambos pagos deben ser descontados a su valor presente:

VP = (80% 180,000,000) / (1 + 0.20)^(6/12) + (20% 180,000,000) / (1 + 0.20)^1
VP = (144,000,000 / 1.095) + (36,000,000 / 1.20)
VP = 131,506,849 + 30,000,000
VP = 161,506,849

Conclusión:

Comparando los valores presentes calculados para cada opción:

Opción A: $167,126,712

Opción B: $153,333,333

Opción C: $165,000,000

Opción D: $161,506,849

La opción que tiene el mayor valor presente es la Opción A (Pago de contado a 6 meses, con cuota inicial del 28%), ya que representa la mejor alternativa en términos financieros al considerar el valor del dinero en el tiempo. ​

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3. Al cabo de año y medio se hace necesario cambiar una maquinaria empacadora que para esa época podría venderse en $25 millones, la nueva maquinaria tiene un precio de $50 millones, y se puede cancelar cancelando la cuota inicial con la venta de la maquinaria usada, con cuanto debo abrir hoy una cuenta de ahorros que paga el 18% anual trimestre vencido, si estoy pensando en realizar una inversión para adquirirla de contado en ese mes?

El problema consiste en determinar cuánto dinero debe depositarse hoy en una cuenta de ahorros para poder completar la compra de una nueva maquinaria dentro de un año y medio. La cuenta ofrece un 18% de interés anual, con capitalización trimestral, y el comprador podrá vender la maquinaria usada en ese momento por $25 millones, los cuales servirán como cuota inicial.

El monto total necesario para la compra de la nueva maquinaria es de $50 millones. Como se podrá cubrir $25 millones con la venta de la maquinaria usada, el monto que debe ahorrarse es la diferencia:

Monto a ahorrar = 50,000,000 - 25,000,000 = 25,000,000

La cuenta de ahorros paga 18% anual trimestre vencido, lo que implica que la tasa de interés efectiva por trimestre es:

Tasa trimestral = 18% / 4 = 4.5% = 0.045

Dado que la inversión se realizará en 1.5 años, y en cada año hay 4 trimestres, el número total de trimestres es:

Número de trimestres = 1.5 * 4 = 6

La ecuación para determinar el valor presente de una inversión futura con capitalización compuesta es:

P = M / (1 + r)^t

donde:

"P" es el monto que se debe depositar hoy.

"M" es el monto final necesario, en este caso $25 millones.

"r" es la tasa de interés por período, es decir, 0.045.

"t" es el número de períodos, en este caso 6 trimestres.

Sustituyendo los valores:

P = 25,000,000 / (1.045)^6
P = 25,000,000 / 1.30064
P ≈ 19,221,893.15

Por lo tanto, para que el ahorro sea suficiente para cubrir los $25 millones que se necesitan dentro de 1.5 años, es necesario depositar hoy aproximadamente $19,221,893.15 en la cuenta de ahorros con capitalización trimestral del 18% anual.

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4. Un cliente de un banco realizo un depósito en una cuenta de ahorros por $15 millones, con unos intereses del 14% anual mes vencido, al finalizar el primer año el cliente retira la mitad del saldo en ese momento, seis meses después deposita una suma igual a la del saldo de ese día, y un año después decide cancelar la cuenta, cuánto dinero le entregan en ese momento?

El problema consiste en calcular cuánto dinero tendrá un cliente al momento de cancelar su cuenta de ahorros, considerando que se aplican intereses del 14% anual mes vencido y que hay retiros y depósitos en distintos momentos.

El cálculo sigue los siguientes pasos:

1. Crecimiento del saldo en el primer año

El cliente deposita $15 millones y el banco paga 14% anual mes vencido, lo que significa que la tasa de interés mensual es:

Tasa mensual = 14% / 12 = 1.1667% = 0.011667

Como el interés se capitaliza mensualmente, usamos la fórmula de interés compuesto:

Saldo después de 1 año = P (1 + r)^t
Saldo después de 1 año = 15,000,000 (1.011667)^12
Saldo después de 1 año ≈ 17,240,130

2. Retiro del 50% del saldo

Al finalizar el primer año, el cliente retira la mitad del saldo, por lo que el nuevo saldo es:

Nuevo saldo = 17,240,130 / 2 ≈ 8,620,065

3. Crecimiento del saldo en los siguientes 6 meses

El saldo restante continúa generando intereses durante 6 meses:

Saldo después de 6 meses = 8,620,065 * (1.011667)^6
Saldo después de 6 meses ≈ 9,241,345

4. Depósito adicional

Seis meses después del retiro, el cliente deposita una cantidad igual a su saldo en ese momento, es decir, $9,241,345, por lo que el nuevo saldo es:

Nuevo saldo = 9,241,345 + 9,241,345 = 18,482,690

5. Crecimiento del saldo en el siguiente año

El saldo generado se mantiene durante 1 año más con la misma tasa de interés:

Saldo final = 18,482,690 * (1.011667)^12
Saldo final ≈ 21,242,344

Resultado final:

Cuando el cliente decide cancelar la cuenta después de estos movimientos, el banco le entrega aproximadamente $21,242,344.

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5. Calcular la cuantía final resultante de una inversión de $18 millones durante 5 años, bajo interés compuesto, si los tantos nominales aplicados se capitalizan trimestralmente y para los dos primeros años es del 10%, para el siguiente año y medio es del 12% y para el resto del plazo del 14%.

El problema consiste en calcular la cuantía final resultante de una inversión de $18 millones durante 5 años, bajo un esquema de interés compuesto, donde las tasas aplicadas varían en diferentes periodos y se capitalizan trimestralmente.

Los datos clave son:

1. Para los primeros 2 años, la tasa nominal es del 10% anual, por lo que la tasa trimestral es:
10% / 4 = 2.5% = 0.025
Como hay 8 trimestres en 2 años, el saldo después de este periodo es:

Monto = 18,000,000 * (1.025)^8
Monto ≈ 22,075,383

2. Para el siguiente 1.5 años, la tasa nominal es del 12% anual, por lo que la tasa trimestral es:
12% / 4 = 3% = 0.03
Como hay 6 trimestres en 1.5 años, el saldo después de este periodo es:

Monto = 22,075,383 * (1.03)^6
Monto ≈ 26,314,041

3. Para el resto del plazo (1.5 años más), la tasa nominal es del 14% anual, por lo que la tasa trimestral es:
14% / 4 = 3.5% = 0.035
Como hay 6 trimestres en 1.5 años, el saldo final es:

Monto = 26,314,041 * (1.035)^6
Monto ≈ 32,204,889

Resultado final:

Después de 5 años con las tasas aplicadas, la cuantía final de la inversión es aproximadamente $32,204,889. ​

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6. Se ha solicitado un préstamo a un plazo de 5 años a una tasa de interés del 1.2% efectivo mensual y la cantidad que se ha pagado al final del tiempo ha sido de $15 millones. ¿De cuánto se ha pedido el préstamo?

El problema consiste en determinar cuánto dinero se pidió prestado inicialmente, considerando que después de 5 años, con una tasa de interés del 1.2% mensual, el monto total pagado ha sido de $15 millones.

Para esto, utilizamos la fórmula del valor futuro en interés compuesto:

VF = VP * (1 + r)^t

Donde:

VF es el valor futuro, que es 15,000,000.

VP es el valor presente (el préstamo solicitado).

r es la tasa de interés mensual, que es 1.2% = 0.012.

t es el número de meses en 5 años, es decir, 5 × 12 = 60 meses.

Reorganizando la ecuación para despejar VP:

VP = VF / (1 + r)^t

Sustituyendo valores:

VP = 15,000,000 / (1.012)^60

VP ≈ 7,332,642

Resultado final:

El monto original del préstamo fue aproximadamente $7,332,642.

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7. Se tiene una tasa nominal del 1,25% mensual, 2,15% bimensual, 3,25% trimestral, 6,45% semestral, todas anticipadas; ¿Cuál es su equivalencia en tasa efectiva mensual?

El problema consiste en convertir tasas nominales anticipadas a su equivalente en tasa efectiva mensual. Se tienen las siguientes tasas:

1.25% mensual anticipada

2.15% bimestral anticipada

3.25% trimestral anticipada

6.45% semestral anticipada

Dado que son tasas anticipadas, se deben convertir en tasas vencidas antes de obtener la tasa efectiva mensual. La conversión de una tasa anticipada (r_a) a una tasa vencida (r_v) se realiza con la fórmula:

r_v = r_a / (1 - r_a)

Luego, la tasa vencida obtenida se convierte en tasa efectiva mensual según su periodicidad.

Cálculos:

1. Para la tasa mensual anticipada de 1.25%:
r_v = 0.0125 / (1 - 0.0125) = 0.012658
La tasa efectiva mensual es 1.2658%.

2. Para la tasa bimestral anticipada de 2.15%:
r_v = 0.0215 / (1 - 0.0215) = 0.021972
Convertimos a tasa mensual:
(1 + 0.021972)^(1/2) - 1 = 0.010901
La tasa efectiva mensual es 1.0901%.

3. Para la tasa trimestral anticipada de 3.25%:
r_v = 0.0325 / (1 - 0.0325) = 0.033592
Convertimos a tasa mensual:
(1 + 0.033592)^(1/3) - 1 = 0.011041
La tasa efectiva mensual es 1.1041%.

4. Para la tasa semestral anticipada de 6.45%:
r_v = 0.0645 / (1 - 0.0645) = 0.068947
Convertimos a tasa mensual:
(1 + 0.068947)^(1/6) - 1 = 0.011155
La tasa efectiva mensual es 1.1155%.

Resultados Finales:

1.25% mensual anticipada → 1.2658% efectiva mensual

2.15% bimestral anticipada → 1.0901% efectiva mensual

3.25% trimestral anticipada → 1.1041% efectiva mensual

6.45% semestral anticipada → 1.1155% efectiva mensual ​

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8. Calcular la tasa de interés que se aplica a un capital inicial de $30 millones para que después de 5 años se tengan $38 millones.

El problema consiste en determinar la tasa de interés aplicada a un capital inicial de $30 millones para que, después de 5 años, el monto acumulado sea de $38 millones.

Dado que no se especifica si el interés es simple o compuesto, asumimos que se trata de interés compuesto, cuya fórmula es:

VF = VP * (1 + r)^t

Donde:

VF es el valor futuro, que es 38,000,000.

VP es el capital inicial, que es 30,000,000.

r es la tasa de interés anual a determinar.

t es el tiempo en años, que es 5.

Para despejar la tasa r, reordenamos la ecuación:

r = (VF / VP)^(1/t) - 1

Sustituyendo los valores:

r = (38,000,000 / 30,000,000)^(1/5) - 1

r = (1.2667)^(0.2) - 1

r ≈ 0.0484

Expresado en porcentaje:

r ≈ 4.84% anual

Resultado final:

La tasa de interés aplicada es aproximadamente 4.84% anual.

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9. Se tiene una tasa efectiva periódica del 1,35% mensual, 2,40% bimensual, 3,6% trimestral, 6,7% semestral, ¿Cuál es su equivalencia en tasa efectiva periódica trimestral?

El problema consiste en convertir varias tasas efectivas periódicas a su equivalente en tasa efectiva trimestral. Se tienen las siguientes tasas:

1.35% mensual

2.40% bimensual

3.6% trimestral

6.7% semestral

Para convertir cualquier tasa efectiva periódica a tasa efectiva trimestral, utilizamos la siguiente fórmula de conversión de tasas equivalentes:

(1 + r_anual)^(1/n) - 1

Donde r_anual es la tasa anual equivalente y n es el número de períodos en un año.

Cálculos:

1. Para la tasa mensual de 1.35%:
Convertimos a tasa anual:
(1 + 0.0135)^12 - 1 = 0.1730 (17.30%)
Luego convertimos a tasa trimestral:
(1 + 0.1730)^(1/4) - 1 = 0.0410 (4.10%)

2. Para la tasa bimensual de 2.40%:
Convertimos a tasa anual:
(1 + 0.0240)^6 - 1 = 0.1577 (15.77%)
Luego convertimos a tasa trimestral:
(1 + 0.1577)^(1/4) - 1 = 0.0362 (3.62%)

3. Para la tasa trimestral de 3.6%:
Como ya está en términos trimestrales, permanece en 3.6%.

4. Para la tasa semestral de 6.7%:
Convertimos a tasa anual:
(1 + 0.0670)^2 - 1 = 0.1383 (13.83%)
Luego convertimos a tasa trimestral:
(1 + 0.1383)^(1/4) - 1 = 0.0329 (3.29%)

Resultados Finales:

1.35% mensual → 4.10% trimestral

2.40% bimensual → 3.62% trimestral

3.6% trimestral → 3.6% trimestral

6.7% semestral → 3.29% trimestral

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10. ¿Cuánto recibirá una persona que invierte $20 millones de pesos en depósito a término fijo por 5 años, si se le reconoce una tasa de interés del 5% efectivo semestral?

El problema consiste en calcular el valor futuro de una inversión de $20 millones de pesos en un depósito a término fijo durante 5 años, con una tasa de interés del 5% efectivo semestral.

Dado que se trata de interés compuesto, utilizamos la fórmula:

VF = VP * (1 + r)^n

Donde:

VF es el valor futuro a calcular.

VP es el capital inicial, que es $20,000,000.

r es la tasa de interés por período, que es 5% = 0.05.

n es el número de períodos. Como la tasa es semestral y el plazo es de 5 años, hay 10 semestres (5 × 2 = 10).

Sustituyendo los valores en la ecuación:

VF = 20,000,000 (1 + 0.05)^10
VF = 20,000,000 (1.6289)
VF ≈ 32,577,890

Resultado Final:

Al cabo de 5 años, la persona recibirá aproximadamente $32,577,890 pesos.

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En este video se aborda cada ejercicio y se explica en base a sus fundamentos aritméticos y de análisis económico.