# data[].attributes.body
Verifica quello che hai imparato sulle equazioni e disequazioni collegandoti al seguente sito e rispondendo alle domande di questo test di riepilogo.   https://docs.google.

# data[].attributes.body
Spesso nella realtà di tutti i giorni utilizziamo numeri diversi da quelli che abbiamo studiato finora. Questi numeri sono chiamati numeri relativi perchè il loro valore dipende dalla posizione che occupano rispetto allo zero. In particolare i numeri preceduti dal segno + sono chiamati numeri positivi e si collocano sulla retta orientata a destra rispetto allo zero; i numeri preceduti dal segno - sono chiamati numeri negativi e si collocano sulla retta orientata a sinistra rispetto allo zero.
I numeri relativi si incontrano in molte occasioni: quando misuriamo le temperature minime e massime di una località, per esempio (+10 ⁰C; -2 ⁰C), quando parcheggiamo la nostra autovettura in un parcheggio sotterraneo, per esempio (piano -1; piano -2;….), o ancora quando leggiamo l’estratto conto della nostra banca, per esempio (+ € 500 dovuto a un deposito, oppure - € 250 a causa di una spesa).
Anche in geografia utilizziamo i numeri relativi. Il punto di riferimento fissato come zero è rappresentato dal livello del mare; il Monte Everest ha un’altitudine di 8847 m sopra il livello del mare e la Fossa delle Marianne ha una profondità massima di 11 022 m sotto il livello del mare. Diciamo quindi che l’altitudine del Monte Everest è di + 8847 m  e quella della Fossa delle Marianne è di – 11 022 m.

Rifletti e rispondi. Justin e Mei sono in una escape room: per riuscire a uscirne devono risolvere degli enigmi!
Justin dice a Mei: “leggi le istruzioni, penso si tratti di una parola da decifrare”. Mei risponde: “ok Justin, una volta trovata la parola potremo inserirla nel computer”!
Ecco le istruzioni: “parti dalla lettera assegnata al valore 0 e muoviti nell’ordine indicato nella colonna salti . Attenzione! I numeri positivi fanno saltare verso destra, quelli negativi verso sinistra”.
Puoi aiutare Justin e Mei a trovare la parola misteriosa? Completa la seguente tabella che riporta, di salto in salto, il numero raggiunto e trascrivi nella colonna corrispondente la lettera dell’alfabeto. Qual è la parola che hai trovato?
Sequenza-Salti-Traguardo-Lettere
Partenza       0         0                 S
10 salto       +3       +3                …..
20 salto       -3        …..               …..
3⁰ salto      + 1        …..               …..
4⁰ salto       -2        …..               …..
5⁰ salto       -1         …..               …..

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Dopo aver svolto tutte le attività che il/la tuo/tua Insegnante ti ha assegnato, rifletti sul tuo studio, rispondendo alle seguenti domande.

Hai lavorato con impegno e serietà? ……………...

Hai ascoltato mentre gli altri parlavano? …………

Hai chiesto chiarimenti e fatto proposte? ……….

Sei stato chiaro nell’esposizione orale? …………..

I dubbi che avevi sono stati risolti? …………………

Le attività proposte su questo Padlet hanno facilitato il tuo studio sul testo base? ………………………

# data[].attributes.body
Per riorganizzare e memorizzare quanto hai appreso studia il capitolo sul testo base.
Per verificare se hai compreso i contenuti principali del capitolo e prepararti all’interrogazione accedi alla piattaforma per visionare i materiali digitali.

1. “Ulteriori esercizi” e svolgi gli esercizi.

2. “Esercizi interattivi” e verifica il tuo livello di preparazione.

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Perché vengono utilizzati i numeri relativi 

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Perché vengono utilizzati i numeri relativi 

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Una volta chiarito il significato di numero relativo, possiamo adesso definire gli insiemi che caratterizzano tali numeri.

I numeri interi preceduti dal segno + costituiscono l’insieme dei numeri interi positivi; tale insieme si indica con Z⁺.

I numeri interi preceduti dal segno - costituiscono l’insieme dei numeri interi negativi; tale insieme si indica con Z⁻.

L’unione dei numeri interi positivi  Z⁺ compreso lo zero, a cui però non si assegna alcun segno, e dei numeri interi negativi Z⁻  forma l’insieme dei numeri interi relativi, che si indica con Z.

Oltre ai numeri interi è possibile considerare positivi o negativi i numeri razionali, attribuendo a essi il segno più o meno. Determineremo così l’insieme dei numeri razionali positivi Q⁺ e quello dei numeri razionali negativi Q-.
Dall’Unione di Q⁺ e Q- otteniamo l’insieme dei numeri razionali (o razionali relativi) che si indica con Q.

Infine anche i numeri irrazionali assoluti possono essere preceduti dal segno più o meno. Determineremo pertanto l’insieme dei numeri irrazionali positivi I⁺ e irrazionali negativi I⁻. Dalla loro unione otteniamo l’insieme dei numeri irrazionali relativi, che si indica con I.

Se uniamo gli insiemi numerici considerati fino a questo momento otteniamo un nuovo insieme, l’insieme R dei numeri reali relativi.          Z U Q U I = R

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Quando in ambito scientifico si ha a che fare con numeri molto grandi o molto piccoli, risulta difficoltoso leggerli e interpretare i dati che rappresentano.
Per semplificare la scrittura di tali numeri si ricorre pertanto alla notazione scientifica che consiste nello scrivere i numeri considerando solamente la prima cifra più significativa (diversa da zero) e adattare poi la potenza di 10 corrispondente.

In pratica un numero è scritto in notazione scientifica quando si presenta nella forma a x 10 n dove a è un numero decimale con una sola cifra diversa da zero prima della virgola e n è un numero intero.
Per capire meglio questo concetto analizziamo attentamente i seguenti esempi.

Età della Terra 4 500 000 000 anni, che scritto in notazione scientifica diventa: 4,5 x 10 ⁹

Carica elettrica di un protone = 0,00000000000000000016 coulomb, che scritto in notazione scientifica: 1,6 x 10⁻¹⁹

Mettiti alla prova. Verifica il tuo livello di preparazione
rispondendo alle domande dopo esserti collegato al
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Addizione, sottrazione e somma algebrica

# data[].attributes.subject
Addizione, sottrazione e somma algebrica

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In questa sezione ci occuperemo delle operazioni e delle proprietà nell’insieme R. Tale insieme è, come abbiamo visto in precedenza, un’estensione dell’insieme N dei numeri naturali; di conseguenza, nelle singole operazioni, i termini e i risultati mantengono le stesse denominazioni e godono delle stesse proprietà studiate nell’insieme N.
L’addizione
“La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo che ha lo stesso segno degli addendi dati e per valore assoluto la somma dei valori assoluti; se i due numeri da addizionare sono discordi la loro somma è un numero relativo che ha lo stesso segno dell’addendo avente valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti”.
Alla luce di questa regola analizziamo i seguenti esempi.

I due numeri da sommare hanno entrambi segno positivo (+3) + (+4) = + 3 + 4 = + 7.

I due numeri da sommare hanno entrambi segno negativo (-2) + (-5) = -2 - 5 = - 7

I due numeri da sommare hanno segno diverso, il primo positivo e il secondo negativo: (+1/3) + (-1/4)  = + 1/3 - 1/4 = + 1/12.

I due numeri da sommare hanno segno diverso, il primo negativo e il secondo positivo: (-5/4) + (1/2) = -5/4 + 1/2 = -3/4.

La sottrazione
“ La differenza di due numeri relativi si ottiene effettuando la somma del primo termine con l’opposto del secondo”.
Alla luce di questa regola analizziamo i seguenti esempi.

(+4) - (+6) = + 4 - 6 = - 2

(-2/3) - (-1/4) = -2/3 + 1/4 = -5/12

Somma algebrica
Operando con i numeri relativi nel modo descritto dagli esempi precedenti, la sottrazione diventa un’addizione: praticamente si esegue la somma del primo termine con l’opposto del secondo termine della sottrazione. Il risultato delle espressioni contenenti addizioni e sottrazioni di numeri relativi viene chiamato somma algebrica.
Analizziamo il seguente esempio:
(+3) + (-5) - (+2) - (-3) + (+4) = 3 - 5 - 2 + 3 + 4 = +3
(-1/2) - (-1/4) + (- 2/3) - (+ 5/6) = - 1/2 + 1/4 - 2/3 - 5/6 = -7/4

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Questo è il capitolo dove si inizia lo studio di un nuovo ramo della matematica: l’algebra. Il termine algebra deriva dall’arabo “al-giabr”, che significa completamento, reintegrazione. L’algebra infatti fu sviluppata inizialmente soprattutto dai grandi matematici islamici del Medio Evo, e consiste in procedimenti di calcolo volti a trovare numeri che completano e reintegrano una sequenza di operazioni con alcuni valori mancanti.

In altre parole, semplificando un po’, l’algebra è una disciplina che mira a scoprire dei valori numerici “incogniti”, indicati per mezzo di numeri e/o apposite lettere, in base a proprie regole e procedure.

Semplificando ulteriormente, potremmo dire che l’algebra è una branca della matematica in cui compaiono operazioni non solo con i numeri, ma anche con le lettere; lettere che indicano quantità numeriche e di cui ci occuperemo in modo più approfondito nel Padlet sul calcolo letterale.

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Per confrontare due numeri relativi possiamo utilmente avvalerci della rappresentazione grafica.
Considerata una coppia qualsiasi di numeri relativi, sarà sempre maggiore il numero che si trova più a destra ovvero la cui immagine segue l’altra nella successione dei numeri procedendo da sinistra verso destra. Viceversa sarà minore quel numero la cui immagine precede l’altra.
Esempi:

0 segue - 3 allora 0  > -3

0 precede + 4 allora 0 < + 4

+ 1/3 segue - 1 allora + 1/3 > -1

+ 5 segue + 3/2 allora + 5 > + 3/2

- 6 precede - 5/2 allora - 6 < - 5/2

Da queste considerazioni possiamo trarre alcune considerazioni di ordine generale.

Lo zero è maggiore di ogni numero negativo.

Lo zero è minore di ogni numero positivo.

Ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo.

Dati due numeri positivi, è maggiore quello che ha il valore assoluto maggiore.

Dati due numeri negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto minore.

Mettiti alla prova rispondendo alle seguenti domande sulle caratteristiche dei numeri relativi cliccando sul seguente link. wordwall.

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Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda
Redazione: Giulia Baccanelli, Mario Scalvini, Federico Rossi

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell’Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condivisi allo stesso modo).

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Gli insiemi numerici sono stati definiti per soddisfare esigenze di calcolo sempre più precise e sofisticate.
Come risulta evidente anche dalla figura, si può giungere a R per successivi ampliamenti, seguendo il percorso concettuale che è cominciato nella classe prima ed è proseguito negli anni successivi.

In N  (ovvero Z⁺) è sempre possibile eseguire addizioni e moltiplicazioni ma non sempre è possibile eseguire sottrazioni e divisioni.

Siamo allora passati a Q nel quale è sempre possibile eseguire la divisione ma continua a non essere sempre possibile eseguire la sottrazione.

Siamo passati a I per poter eseguire l’operazione di estrazione di radice di numeri che non sono quadrati perfetti.

Finalmente siamo giunti a R. Comprendendo anche i numeri negativi; R consente di effettuare sempre tutte le quattro operazioni fondamentali, l’elevamento a potenza e l’estrazione di radice di numeri. L’operazione di sottrazione è sempre possibile in R; quando il sottraendo è maggiore del minuendo si ottiene semplicemente un numero negativo.

Mettiti alla prova. Rispondi alle seguenti domande relative agli insiemi dei numeri relativi.    wordwall.

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In molte questioni di carattere scientifico è utile indicare, in modo approssimativo, grandezze di valore elevato come le distanze astronomiche o grandezze molto piccole come la lunghezza dei batteri. Di questi numeri, infatti, non occorre ricordare tutte le cifre ma l’ordine di grandezza, ovvero la potenza di dieci più vicina alla cifra considerata.
Per calcolare l’ordine di grandezza di un numero basta applicare la seguente regola.

1. Si scrive il numero nella notazione scientifica cioè nella forma a x 10n

2. Si stabiliscono le potenze di 10 tra le quali il numero è compreso

3. Se 1 ≤ a < 5 si assume come ordine di grandezza la potenza di 10 con esponente minore

4. Se 5 ≤ a < 10 si assume come ordine di grandezza la potenza di 10 con esponente maggiore.

Alla luce della regola e per capire meglio questo concetto analizziamo attentamente i seguenti esempi.

La distanza media del pianeta Saturno dal Sole è di 1 429 000 000 km, che possiamo scrivere nella forma 1,429 x 10⁹

Consideriamo le due potenze del dieci fra cui è compreso
1,429 x 10⁹
10 ⁹< 1,429 x 10 ⁹< 10 ¹⁰
Poiché la parte intera è minore di 5 possiamo concludere
che la potenza del 10 più vicina al numero è quella con
l’esponente minore cioè 10 ⁹
Possiamo pertanto affermare che 10 9 è l’ordine di
grandezza della distanza tra Saturno e il Sole espressa in
km.

Le dimensioni di un globulo rosso di un è di circa 0,000007 m, che possiamo scrivere nella forma 7 x 10⁻⁶ m. Consideriamo le due potenze del dieci fra cui è compreso 7 x 10⁻⁶

10⁻⁶ < 7 x 10⁻⁶ < 10-5
Poiché la parte intera è maggiore di 5 possiamo concludere
che la potenza del 10 più vicina al numero è quella con
l’esponente maggiore  cioè 10⁻⁵.
Possiamo pertanto affermare che  10-5 è l’ordine di
grandezza della lunghezza media di un batterio, espressa
in m.

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Moltiplicazione
“ Il prodotto fra due numeri relativi è un numero relativo che ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti; segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi.
Analizziamo i seguenti esempi:

(+5) x (-6) = - 30;

(-4) x (-7) = + 28;

(-2/3) x (+4/5) = - 8/15

Divisione
“Il quoziente fra due numeri relativi è un numero relativo che ha come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti, segno positivo se i due numeri sono concordi e segno negativo se i due numeri sono discordi”.
Analizziamo i seguenti esempi:

(-8) : (+4) = - 2;

(-15) : (-5) = + 3;

(+3/8) : (-9/4)= -1/6

# data[].attributes.body
Abbiamo visto che un numero relativo, come ad esempio + 2 o - 1/5, è formato da un segno (positivo o negativo) seguito da un numero. Talvolta è necessario considerare il numero relativo, ad esempio - 7, senza segno; questo valore è detto valore assoluto oppure modulo, e si indica nel modo seguente: | - 7 | si legge il valore assoluto di -7.
Pertanto possiamo concludere che il valore assoluto di un numero relativo è il numero stesso senza segno.
Consideriamo due numeri relativi positivi: + 1 e + 1/4. Essi hanno lo stesso segno e perciò si dicono concordi.
Anche i numeri negativi - 2 e - 1/2 hanno lo stesso segno e pertanto, anche in questo caso, i due numeri sono concordi.
I numeri - 3/2 e + 2 non hanno invece lo stesso segno e pertanto si dicono discordi.
Quando, nella prossima colonna, tratteremo le operazioni con i numeri relativi vedremo come i numeri positivi si possono scrivere anche senza segno. Ad esempio, al posto di + 3 e di + 1/4 si può scrivere semplicemente 3 e 1/4.
Due numeri relativi possono inoltre avere lo stesso valore assoluto ma segno opposto, ad esempio + 2 e - 2; in questo caso i due numeri si dicono opposti.
Se li rappresentiamo su una retta orientata osserviamo che le immagini di due numeri opposti sono simmetriche rispetto all’origine.
-2————O————+2

# data[].attributes.body
- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali sui numeri relativi.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: video, audio, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale lo studente e la studentessa imparano a  utilizzare i numeri relativi per operare nella realtà.

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Potenze e radici quadrate di numeri relativi

# data[].attributes.subject
Potenze e radici quadrate di numeri relativi

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POTENZE
“La potenza di un numero relativo avente la base positiva è sempre positiva, sia che l’esponente sia pari, sia che l’esponente sia dispari; la potenza di un numero relativo avente base negativa è positiva se l’esponente è pari, è negativa se l’esponente è dispari”.

(+5)3 = + 125;     (+5)²= 25

(-3)⁴ = +81; (-4)³ = - 64

Le proprietà sulle potenze studiate nell’insieme N valgono anche con i numeri relativi; pertanto ci limitiamo ad analizzarle mediante alcuni esempi.

(-3)⁴ x (-3)² = (-3)⁴⁺² = (-3)⁶

(+5)⁶ : (+5)³ = (+5)⁶⁻³ = (+5)³

((-4)²)³ = (-4)2x3 = (-4)⁶

(-5)² x (+4)² = ((-5) x (+4))² = (-20)²

(-10)³ : (+2)³ = ((-10) : (+2))³ = (-5)³

Radice quadrata
Per calcolare la radice quadrata di un numero relativo si possono presentare due casi.

Radice quadrata di un numero positivo, per esempio √+36 : in base alla definizione di radice quadrata dobbiamo trovare un numero che, moltiplicato per se stesso, dia come risultato + 36; è chiaro che sia + 6 che - 6 elevati al quadrato danno + 36. Infatti (+6)² = (+6) x (+6) = + 36 ma anche (-6)²= (-6) x (-6) = + 36. Pertanto √+36 è uguale a +6 ma anche -6. Siccome un’operazione deve portare ad un unico risultato, adotteremo la convenzione di considerare il solo valore positivo.

Radice quadrata di un numero negativo, per esempio √-9. In questo caso non esiste alcun numero naturale che, elevato al quadrato, dia come risultato - 3, pertanto la radice quadrata di un numero negativo non esiste nell’insieme dei numeri reali.

# data[].attributes.body
Conoscenze: conoscere i numeri relativi e le loro proprietà; conoscere le proprietà delle quattro operazioni fondamentali e delle operazioni di elevamento a potenza e di radice quadrata con i numeri relativi; conoscere il significato di notazione scientifica e di ordine di grandezza di un numero relativo.
Abilità: rappresentare e confrontare i numeri relativi; eseguire calcoli con le quattro operazioni fondamentali, con le potenze e con la radice quadrata con i numeri relativi; determinare la notazione scientifica e l’ordine di grandezza di un numero relativo.
Competenze: utilizzare con sicurezza le procedure di calcolo algebrico, scritto e mentale, anche con riferimenti alla realtà.
Competenze digitali:  utilizzare i mezzi informatici per cercare di elaborare informazioni; lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali ed elaborati; comprendere e produrre elaborati digitali.

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Le espressioni con i numeri relativi si risolvono applicando le stesse procedure di calcolo che abbiamo studiato nel volume di Aritmetica 1 a proposito dei numeri naturali. Naturalmente occorre tenere presente le regole dei segni nelle varie operazioni illustrate in questa sezione.
Analizziamo il seguente esempio:
[(-2+4-1) + (-6+3-1) x (2+5-7)] : (9-4x2) =
[1 - 4 x 0] : (9 - 8) = 1 - 0 : 1 = 1

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Verifica il tuo livello di preparazione scommettendo sulle tue capacità di rispondere in modo corretto alle seguenti operazioni con i numeri relativi. Clicca sul link e ……. buona fortuna.    wordwall.