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Ma che cos’è un angolo dal punto di vista geometrico?
“Un angolo è la parte illimitata di piano compresa tra due semirette avente l’origine in comune.”
E’ grazie a queste forme che possiamo misurare il mondo intorno a noi. Gli angoli infatti ci aiutano a costruire case, ponti e tante altre cose anche in molti campi diversi; vengono inoltre utilizzati per descrivere la forma, l'orientamento e la posizione degli oggetti.

Per questo motivo è molto importante studiare gli angoli, le loro caratteristiche e le loro proprietà.

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Il sistema di misurazione degli angoli è un sistema sessagesimale (da una parola latina che significa “sessanta”), cioè i sottomultipli del grado sono i primi e i secondi; inoltre entrambi vengono suddivisi in 60 parti congruenti. Dal punto di vista numerico, nella scrittura delle ampiezze degli angoli, possiamo dire che:
la misura di un angolo è scritta in forma normale quando il valore dei primi e dei secondi è strettamente inferiore a 60.

Ad esempio:

la misura dell’angolo α = 135° 45’ 58” è scritta in forma   normale;

la misura dell’angolo β = 230° 45’ 138” non è scritta in forma normale perché i secondi sono superiori a 60.

Dividiamo dunque 138” : 60” = 2’ (con resto 18”). Sostituendo tale valore nella misura iniziale avremo:
β = 230° 45’ 138” = 230° (45 + 2)’ 18” =  230° 47’ 18”.

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Mettiti alla prova. Verifica quello che hai imparato sulle misure di tempo con questo test di riepilogo.
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Il sistema di misurazione del tempo è un sistema misto, formato cioè da una parte non decimale (anno, mese e giorno, ora) da una parte sessagesimale, cioè a multipli di 60 (ora, minuti e secondi) e da una parte decimale (per misure inferiori al secondo).
L’unità di misura base è il secondo da cui sono state ottenute le unità di misura derivate.
Così come per le misure angolari, per indicare per esempio 5 mesi, 10 giorni, 20 ore, 45 minuti e 36 secondi, scriviamo:
5m 10g 20h 45m 36s
Per comodità nei calcoli consideriamo l’anno di 360 giorni e il mese di 30 giorni, anche se ormai nelle varie operazioni bancarie si ricorre all’anno civile formato da 365 giorni sul quale si basa il nostro calendario.

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Nella costruzione di qualsiasi edificio, e più in generale in architettura è fondamentale conoscere e utilizzare correttamente l’ampiezza degli angoli. Possono essere utilizzati per definire la forma e la struttura, e possono anche essere usati per creare dettagli decorativi e artistici.
In particolare gli angoli retti sono spesso usati, per esempio, per creare la base di un edificio, per definire la forma di una stanza o la posizione delle finestre o delle porte, garantendo al contempo solidità e stabilità.
Gli angoli acuti e ottusi possono creare effetti visivi e decorativi. Ad esempio, un angolo acuto può essere utilizzato per creare un tetto a spiovente, mentre un angolo ottuso può essere utilizzato per creare una finestra a forma di arco.
Gli architetti spesso lavorano con gli angoli in modo creativo utilizzando forme e proporzioni per creare un senso di equilibrio e armonia attraverso l'uso di linee oblique o curve.
In sintesi, gli angoli sono utilizzati per definire la forma e la struttura di un edificio e di migliorarne l’estetica e la stabilità.

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In ogni punto della Terra il “mezzogiorno astronomico” corrisponde al momento in cui il Sole è alla massima altezza sull’orizzonte: in questa posizione si trova allineato con il meridiano che passa per quel punto. Se ciascuno regolasse il proprio orologio sul mezzogiorno astronomico locale, basterebbe spostarsi di qualche decina di chilometri a Est o a Ovest per avere differenze di parecchi secondi o di alcuni minuti nel computo delle ore, con tutti gli inconvenienti del caso, non ultimi i problemi tra gli Stati.
Per evitare questa confusione, nacque l’idea di suddividere la superficie terrestre in 24 “spicchi” detti fusi orari con differenze di un’ora tra uno e l’altro. Ogni fuso orario è compreso tra due circoli meridiani distanti 15°, ottenuti dividendo i 360° di una circonferenza per 24.
Tutte le località all’interno di un fuso orario adottano, per convenzione internazionale, la medesima ora, quella del meridiano centrale del fuso, detta ora civile.
Il primo fuso è quello attraversato dal meridiano di Greenwich, che corrisponde all’ora 0. Quando, viaggiando, ci si sposta verso Ovest, l’ora viene anticipata; verso Est viene ritardata. Se, arrivando da Est, si supera la linea del cambiamento di data, si è in anticipo di un giorno, in questo caso, bisogna spostare la data dell’orologio al giorno precedente. Se si supera la linea del cambiamento di data venendo da Ovest, si è invece in ritardo di un giorno.

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Gli angoli sono dappertutto. Il mondo intorno a noi presenta infiniti esempi di angoli: in architettura e ingegneria civile, in fisica, in biologia ecc..
Li usiamo anche per misurare le ore e i minuti con gli orologi analogici.
Rifletti e rispondi - Osserva la vignetta: Maksim e Francesca hanno preso l’autobus che porta alla spiaggia cittadina. Passeranno una bella giornata al mare …… caldo permettendo! Per fortuna Maksim ha portato un ventaglio. Francesca, una ragazza molto curiosa, chiede a Maksim: “di quanto riesci ad aprirlo”? In geometria lo strumento che normalmente viene utilizzato è il goniometro.
Calcola l’ampiezza delle aperture del ventaglio in figura leggendo le misurazioni direttamente dallo strumento.

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Osservando la figura allegata è possibile distinguere alcuni angoli particolari in relazione alla loro ampiezza.
Gli angoli possono essere acuti, retti, ottusi o piatti, a seconda della loro ampiezza. Possiamo disegnare angoli di qualsiasi misura mediante un compasso e una riga. Uno degli angoli più noti per le sue applicazioni pratiche è l’angolo retto che, come sappiamo, ha un’ampiezza di 90° e l’angolo acuto invece ha un’ampiezza minore, mentre l'angolo ottuso ne ha una maggiore, ma comunque inferiore a 180°.

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Per confrontare due angoli è necessario far coincidere i vertici e uno dei due lati, per esempio a e c, in modo che gli altri due lati si trovino dalla stessa parte rispetto al lato comune; la relazione tra i due angoli è definita dalla posizione del lato b rispetto a d.

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Mettiti alla prova. Verifica quello che hai imparato sulle misure di tempo con questo test di riepilogo. https://docs.google.

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Per verificare le tue conoscenze sulle misure di tempo rispondi vero o falso cliccando al seguente link.

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Falso: Il sistema di misurazione del tempo è un sistema decimale, Il sistema di misurazione del tempo è un sistema sessagesimale, 1g corrisponde a 1400m, 24h corrispondono a 1M, Per passare dai minuti ai secondi bisogna dividere per 60, Vero: 5m corrispondono a 300s, 1h corrisponde a 60m, 1M corrisponde a 30g, 360g corrispondono ad un anno commerciale, Per passare dai secondi ai decimi di secondo bisogna moltiplicare per 10,

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Falso: Il sistema di misurazione del tempo è un sistema decimale, Il sistema di misurazione del tempo è un sistema sessagesimale, 1g corrisponde a 1400m, Vero:

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Utilizza le definizioni per risolvere il cruciverba. Clicca su una parola e digita la risposta.

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Consecutivi - Due angoli aventi un vertice e un lato in comune e gli altri due lati situati da parti opposte rispetto al lato comune, Ottuso - Un angolo di ampiezza maggiore di 90 gradi e minore di 180 gradi, Acuto - Un angolo la cui ampiezza è minore di 90 gradi, Angolo - E' ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette che hanno l'origine in comune, Piatto - Un angolo la cui ampiezza è 180 gradi, Adiacenti - Due angoli consecutivi aventi i due lati non comuni uno sul prolungamento dell'altro, Retto - Un angolo la cui ampiezza è 90 gradi,

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Consecutivi - Due angoli aventi un vertice e un lato in comune e gli altri due lati situati da parti opposte rispetto al lato comune.

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Nel seguente quiz sono presenti una serie di domande a risposta multipla. Scegli la risposta giusta per procedere.

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Quiz - Rispondi alle seguenti domande sui fusi orari

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Quiz - Una serie di domande a risposta multipla. Scegli la risposta giusta per procedere.

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Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Roberto Vacca, Bruno Artuso e Claudia Bezzi. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Redazione: Giulia Baccanelli, Mario Scalvini, Federico Rossi.

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell’Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY - NC - SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condivisi allo stesso modo).

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Oltre alla distinzione del post precedente esistono altre due tipologie di angoli particolari.
Un angolo si dice acuto se la sua ampiezza è compresa tra 0° e 90°. Un angolo si dice ottuso se la sua ampiezza è compresa tra 90° e 180°.

# data[].attributes.body
Per eseguire operazioni con valori angolari sessagesimali occorre prestare attenzione a certi accorgimenti particolari che ora passiamo brevemente in rassegna.
Addizione tra due o più misure angolari
Per addizionare due o più misure angolari basta disporre le varie unità in colonna in modo che le unità dello stesso ordine occupino la stessa colonna e si possano sommare separatamente. Il risultato ottenuto deve poi essere ridotto in forma normale. Per esempio:
34° 25’ 80” +

36° 65’ 37” =

—————-

70° 90’ 117” che ridotto in forma normale diventa:

71° 31’ 57”

Sottrazione di due misure angolari
Anche per sottrarre due misure angolari bisogna disporre le varie unità in colonna con l’avvertenza che, nel caso in cui in uno o più ordini non si possa eseguire la sottrazione, bisogna prendere in “prestito” una unità dell’ordine superiore, ricordando che vale 60 di quelle inferiori. Per esempio:
54° 25’ 28” -

20° 65’ 30” =

—————-

33° 19’ 58” misura già ridotta in forma normale:

Moltiplicazione di una misura angolare per un numero intero
Per moltiplicare una misura angolare per un numero intero basta moltiplicare il numero intero per ciascuna unità dei vari ordini della misura stessa. Il risultato ottenuto deve essere poi ridotto in forma normale. Per esempio:
60° 15’ 40” x

3 =

—————-

120° 45’ 120” che ridotta in forma normale diventa:

120° 47’

Divisione di una misura angolare per un numero intero
Per dividere una misura angolare per un numero intero occorre eseguire attentamente le operazioni illustrate nel seguente esempio:
76°      45’     30” :  3   =   25° 35’ 10”

1° = 60’ + 45’ = 105’

30”
0

# data[].attributes.body
- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali su angoli e tempi.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: audio, video, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti online.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale, gli studenti e le studentesse imparano a misurare gli angoli e a operare con le misure di tempo.

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Consideriamo l’angolo compreso tra i lati a e b e tracciamo i prolungamenti dei lati, ovvero le semirette a’ e b’. Notiamo che tali prolungamenti non sono contenuti nell’angolo dato. Questo tipo di angolo si chiama convesso e la sua ampiezza è sempre compresa tra 0° e 180°.
“Un angolo si dice convesso quando non contiene i prolungamenti dei suoi lati”.
La parte di piano che contiene i prolungamenti dei due lati prende il nome di angolo concavo.
“Un angolo si dice concavo quando contiene i prolungamenti dei suoi lati”.
L’ampiezza di un angolo concavo è sempre compresa tra 180° e 360°.

# data[].attributes.body
Trova la coppia. Clicca sulla risposta corretta.

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# data[].attributes.attachment_link.readable_text
1) 18° 25' 36" + 4° 32' 44" a) 22° 58' 20" b) 22° 58' 80'' c) 23° 59' 70'' 2) 25° 44' 14" - 6° 32' 24" a) 19° 11' 49" b) 19° 12' 50" c) 19° 11' 50" 3) 18° 34' 50" x 3 a) 55° 104' 150" b) 55° 42' 30" c) 55° 44' 30" 4) 160 30' 30" : 3 a) 5° 30' 30" b) 5° 30' 10" c) 5,3° 10' 10"

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Quiz - Operazioni con le misure angolari

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Angoli consecutivi, adiacenti e opposti al vertice

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Angoli consecutivi, adiacenti e opposti al vertice

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“Due angoli con il vertice e un lato in comune e gli altri due lati situati da parti opposte rispetto al lato comune si dicono consecutivi”.
“Se due angoli consecutivi hanno i due lati non comuni uno sul prolungamento dell’altro si dicono adiacenti (angoli in grigio e verde AVB e BVC).
“ Due angoli che hanno i loro lati uno sul prolungamento dell’altro si dicono opposti al vertice (gli angoli in rosa AVD e BVC così come gli angoli in azzurro AVB e CVD).
Osservando la figura si può facilmente verificare, ritagliandoli e sovrapponendoli, oppure misurandoli con un goniometro, che gli angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro.

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Nel caso in cui la somma degli angoli assuma dei valori angolari particolari i due angoli si dicono:

1. Angoli complementari: quando la loro somma è 90⁰

2. Angoli supplementari: quando la loro somma è 180⁰

3. Angoli esplementari: quando la loro somma è 360⁰

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Conoscenze:
- conoscere le misure angoli e le loro proprietà;
- conoscere le misure di tempo e le loro proprietà.
Abilità:
- rappresentare nel piano gli angoli;
- operare con le misure angolari;
- operare con le misure di tempo;
- risolvere problemi inerenti alle misure di angoli e di tempi.
Competenze:
-  tradurre nel linguaggio matematico situazioni di vita corrente
identificando le grandezze relative  agli angoli e ai tempi e
scegliendo le unità di misura adatte.
Competenze digitali:
- utilizzare i mezzi informatici per cercare ed elaborare
informazioni;
-  lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali
ed elaborati;
- comprendere e produrre elaborati digitali.

# data[].attributes.body
Mettiti alla prova
Quanto sei abile a classificare gli angoli? Il quiz contiene una serie di domande a risposta multipla. Mettiti alla prova su quello che hai imparato sugli angoli!
Clicca per giocare con il quiz!

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1) Quali dei seguenti angoli sono acuti? a) 150° b) 90° c) 75° d) 50° e) 360° f) 89° 2) Quali dei seguenti angoli sono ottusi? a) 90° b) 119° c) 98° d) 55° e) 30° f) 100° 3) Quali delle seguenti coppie di angoli potrebbero essere di angoli opposti al vertice? a) 18°, 18° b) 10°, 80° c) 113°, 67° d) 36°, 36° e) 186°, 186° f) 127°, 127° 4) Quali dei seguenti angoli sono adiacenti? a) b) c) 5) Quali dei seguenti angoli sono concavi? a) 18° b) 317° c) 90° d) 200° e) 181° f) 154° 6) Quali dei seguenti angoli sono convessi? a) 270° b) 250° c) 18° d) 76° e) 350° f) 170°

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Quiz - Una serie di domande a risposta multipla. Scegli la risposta giusta per procedere.

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Giochi spaziali sugli angoli particolari

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Giochi spaziali sugli angoli particolari

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Nel gioco sono presenti una serie di domande a risposta multipla. Scegli la risposta giusta per procedere.

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1) Considera un angolo di 56°; qual è il suo complementare? a) 124° b) 44° c) 34° d) 4° e) 304° f) 90° 2) Considera un angolo di 118°; qual è il suo supplementare? a) 62° b) 242° c) 58° d) 180° e) 90° f) 298° 3) Considera un angolo di 145°; qual è il suo esplementare? a) 90° b) 55° c) 35° d) 180° e) 215° f) 360° 4) Qual è la misura di un angolo che è uguale alla metà del suo supplementare? a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 100° f) 75° 5) Qual è la misura di un angolo che è uguale al suo esplementare? a) 125° b) 45° c) 360° d) 90° e) 180° f) 100° 6) Qual è la misura di un angolo che è uguale al doppio del suo supplementare? a) 90° b) 120° c) 180° d) 50° e) 100° f) 200° 7) Se un angolo è ampio 100°, qual è la misura dell'angolo complementare di uno dei due angoli formati dalla bisettrice? a) 120° b) 40° c) 90° d) 180° e) 150° f) 45° 8) Se un angolo è ampio 160°, qual è la misura dell'angolo esplementare di uno dei due angoli formati dalla bisettrice? a) 180° b) 30° c) 280° d) 200° e) 360° f) 150°

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1) Considera un angolo di 56°; qual è il suo complementare? 2) Considera un angolo di 118°; qual è il suo supplementare?