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Dos triángulos son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, es decir:

Sus tres lados son iguales.

Sus tres ángulos son iguales.
👉 Al superponerlos, coinciden exactamente.

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1. LAL (Lado–Ángulo–Lado)

Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son iguales a los de otro, los triángulos son congruentes.
Ejemplo: En △ABC\triangle ABC△ABC y △DEF\triangle DEF△DEF, si AB=DEAB=DEAB=DE, AC=DFAC=DFAC=DF y ∠A=∠D\angle A=\angle D∠A=∠D, entonces △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF△ABC≅△DEF.

2. ALA (Ángulo–Lado–Ángulo)

Si dos ángulos y el lado comprendido son iguales a los de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Ejemplo: En △PQR\triangle PQR△PQR y △STU\triangle STU△STU, si ∠P=∠S\angle P=\angle S∠P=∠S, ∠Q=∠T\angle Q=\angle T∠Q=∠T y PQ=STPQ=STPQ=ST, entonces △PQR≅△STU\triangle PQR \cong \triangle STU△PQR≅△STU.

3. LLL (Lado–Lado–Lado)

Si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro, los triángulos son congruentes.
Ejemplo: En △MNP\triangle MNP△MNP y △XYZ\triangle XYZ△XYZ, si MN=XYMN=XYMN=XY, NP=YZNP=YZNP=YZ, PM=ZXPM=ZXPM=ZX, entonces △MNP≅△XYZ\triangle MNP \cong \triangle XYZ△MNP≅△XYZ.

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a) Teorema del triángulo isósceles

Si un triángulo tiene dos lados iguales, los ángulos opuestos también lo son.
Ejemplo: En △ABC\triangle ABC△ABC, si AB=ACAB=ACAB=AC, entonces ∠B=∠C\angle B = \angle C∠B=∠C.

b) Teorema del triángulo equilátero

Todos los lados de un triángulo equilátero son iguales y cada ángulo mide 60°.
Ejemplo: En △DEF\triangle DEF△DEF, si DE=EF=FDDE=EF=FDDE=EF=FD, entonces ∠D=∠E=∠F=60∘\angle D = \angle E = \angle F = 60^\circ∠D=∠E=∠F=60∘.

c) Teorema del triángulo rectángulo

La suma de los ángulos agudos es 90∘90^\circ90∘.

Criterio Cateto–Hipotenusa: si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un cateto iguales, son congruentes.
Ejemplo: En dos triángulos rectángulos ABCABCABC y DEFDEFDEF, si AB=DEAB=DEAB=DE (hipotenusa) y AC=DFAC=DFAC=DF (cateto), entonces son congruentes.

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Problema 1 (LAL + isósceles)

En △ABC\triangle ABC△ABC, con AB=ACAB=ACAB=AC y DDD punto medio de BCBCBC.
Demostración:

BD=DCBD=DCBD=DC, AB=ACAB=ACAB=AC y ADADAD es común.

Por LLL, △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD△ABD≅△ACD.

Entonces ∠BAD=∠DAC\angle BAD = \angle DAC∠BAD=∠DAC.
👉 ADADAD biseca al ángulo ∠A\angle A∠A.

Problema 2 (ALA)

En △PQR\triangle PQR△PQR, punto SSS sobre QRQRQR. Se cumple: ∠PQS=∠SPR\angle PQS=\angle SPR∠PQS=∠SPR, ∠PSQ=∠PRS\angle PSQ=\angle PRS∠PSQ=∠PRS, y lado común PSPSPS.
Demostración:

Dos ángulos y lado comprendido ⇒ ALA.

△PQS≅△SPR\triangle PQS \cong \triangle SPR△PQS≅△SPR.

Entonces QS=SRQS=SRQS=SR.

Problema 3 (LLL → isósceles)

En △XYZ\triangle XYZ△XYZ, MMM es punto medio de YZYZYZ y XM⊥YZXM \perp YZXM⊥YZ.
Demostración:

En △YXM\triangle YXM△YXM y △ZXM\triangle ZXM△ZXM: XMXMXM común, YM=ZMYM=ZMYM=ZM, y ambos son rectángulos en MMM.

Por LLL, son congruentes.

Entonces XY=XZXY=XZXY=XZ.
👉 El triángulo es isósceles.

Problema 4 (Rectángulo, Cateto–Hipotenusa)

En △ABC\triangle ABC△ABC y △A′B′C′\triangle A'B'C'△A′B′C′, rectángulos, se cumple AB=A′B′AB=A'B'AB=A′B′ (hipotenusas) y BC=B′C′BC=B'C'BC=B′C′ (catetos).
Demostración:

Rectángulos con hipotenusa y cateto iguales ⇒ CH.

△ABC≅△A′B′C′\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'△ABC≅△A′B′C′.

Entonces ∠A=∠A′\angle A = \angle A'∠A=∠A′.