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Cambio de la orientación de los ejes de referencia mientras se conserva el origen. La principal razón para rotar los ejes es que una ecuación dada es mucho más simple en el nuevo sistema de coordenadas que en el sistema original.

Si los ejes originales x y y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo , para cualquier punto P(x, y), las coordenadas originales (x, y) se convierten en las nuevas coordenadas (x ´, y ´), que son:

x ´ = x cos  + y sen
y´ = - x sen  + y cos

Para derivar la ecuación en las nuevas coordenadas, necesitamos expresar las coordenadas originales en las nuevas coordenadas:

x = x ´ cos  - y ´ sen
y = x ´ sen  + y cos

Como ejemplo de rotación, considera una ecuación simple y = x + 21/2, que es una línea. Si los ejes originales x e y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo de 45°, las coordenadas originales se pueden expresar como:

x = x ´ cos 45° - y ´ sen 45°
y = x ´ sen 45° + y ´ cos 45°

Por lo tanto,

x = x ´ (21/2/2) - y ´ (21/2/2)
y = x ´ (21/2/2) + y ´ (21/2/2)

Entonces, la ecuación y = x + 21/2 se convierte en:

x ´ (21/2/2) + y ´ (21/2/2) = x ´ (21/2/2) - y ´ (21/2/2) + 21/2

y ´ = 1

En las nuevas coordenadas, la ecuación es una línea paralela al eje x ´, +1 unidad separada del eje x ´.

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Cambio de los ejes de referencia sin girarlos, de manera que cada eje permanece paralelo a su posición original. Una vez que el origen de un sistema de ejes x e y se cambia al punto O´(xo, yo) en el sistema original, es necesario dar a cada punto p(x, y) en el sistema original un nuevo conjunto de coordenadas p´(x´, y´) en el nuevo sistema, de acuerdo con las siguientes relaciones:

x = x´ + xo
y = y´ + yo

El propósito de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una curva para procesamiento posterior. Por ejemplo, un círculo con centro en (1, 2) y un radio r = 3, se puede describir por medio de la siguiente ecuación:

(x - 1) ² + (y - 2) ² = 3²

Cuando los ejes de referencia se cambian a O´(1, 2), el mismo círculo se puede describir como:

[(x´+1) - 1] ² + [(y´+2) - 2] ² = 3²
o
(x´) ² + (y´)² = 3²

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Ejemplo. Coordenadas rectangulares a polares

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Ejemplo. Coordenadas rectangulares a polares

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Si es que tenemos las coordenadas rectangulares (3, 4), ¿cuál es su equivalente en coordenadas polares?

Tenemos los valores x=3; y=4. Usamos las fórmulas dadas arriba junto con estos valores para encontrar las coordenadas polares. Entonces, el valor de r es encontrado usando el teorema de Pitágoras:

r= raiz[(x^2)+(y^2)]
r= raiz[(3^2)+(4^2)]
r= raiz[9+16]
r= raiz[25]
r= 5

Ahora, encontramos el valor de θ usando la tangente inversa:

θ = tan^-1(y/x)
θ = tan^-1(4/3)
θ = 0.93 rad

Tanto el componente en x como el componente en y son positivos, por lo que el punto está en el primer cuadrante. Esto significa que el ángulo obtenido es el correcto.

Las coordenadas polares son (5, 0.93 rad).

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¿Cómo transformar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares?

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¿Cómo transformar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares?

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Recordamos que las coordenadas rectangulares son escritas de la forma (X, Y) y las coordenadas polares son escritas de la forma (r, θ), en donde, r es la distancia desde el origen hasta el punto y θ es el ángulo formado por la línea y el eje x. Estas coordenadas son relacionadas usando trigonometría.

Usando el triángulo rectángulo, podemos obtener relaciones para las coordenadas polares en términos de las coordenadas rectangulares. Observamos que las coordenadas en x forman la base del triángulo rectángulo y las coordenadas en y forman la altura.

Además, vemos que la distancia r corresponde a la hipotenusa del triángulo. Entonces, podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa:

r^2=(x^2)+(y^2)

El ángulo θ puede ser encontrado usando la función tangente. Recordemos que la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. El lado opuesto es el componente y y el lado adyacente es el componente x. Entonces, tenemos:

θ =tan^-1(y/x)

Debido a que el rango de la función tangente inversa va desde  hasta , esto no cubre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano, por lo que muchas veces, la calculadora puede dar el valor incorrecto de .

Esto depende en el cuadrante en el que se ubica el punto. Podemos usar lo siguiente para arreglar esto:

Cuadrante    |   valor de Tan^-1
1           |   valor de calculadora
2          |   valor de calculadora + 90°
3          |   valor de calculadora + 180°
4 | valor de calculadora + 270°

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Es un objeto matemático formado por dos rectas perpendiculares trazadas sobre un plano llamadas "ejes", la recta horizontal es el eje X, la recta vertical es el eje Y. El plano queda dividido en cuatro partes llamados cuadrantes.
El sistema de coordenadas rectangulares consiste en dos ejes perpendiculares, el Y siguiendo la dirección de la meridiana (Norte y Sur) y el X (Este y Oeste) siguiendo la dirección perpendicular a ella. Los dos ejes se cortan en un punto, que es el origen de coordenadas, al que se asignan coordenadas X=0, Y=0.

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Definición de transformación de coordenadas

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Definición de transformación de coordenadas

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Cambio de posición de los ejes de referencia en un sistema de coordenadas, ya sea por traslación, rotación, o ambas. El propósito de dicho cambio por lo general es simplificar la ecuación de una curva para manejo posterior.

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Las coordenadas polares o sistema de coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. Este sistema es ampliamente utilizado en física y trigonometría.

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¿Cómo transformar coordenadas polares a rectangulares?

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¿Cómo transformar coordenadas polares a rectangulares?

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Las coordenadas polares tienen la forma , en donde, r es la distancia del punto desde el origen y θ es el ángulo formado por la línea y el eje x. Las coordenadas rectangulares o coordenadas cartesianas tienen la forma .

Para transformar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, usamos trigonometría y relacionamos a estas dos coordenadas.

Claramente, vemos que podemos encontrar las coordenadas x usando la función coseno y podemos encontrar las coordenadas en y usando la función seno. Entonces, tenemos las fórmulas:

x= r*cos( θ )
y= r*sin( θ )

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Ejemplo. Coordenadas polares a rectangulares

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Ejemplo. Coordenadas polares a rectangulares

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Si es que tenemos a un punto con las coordenadas polares (5,  π/3) ¿cuáles son sus coordenadas rectangulares?

Podemos observar los valores r=5 y θ=π/3 . Usamos las fórmulas encontradas anteriormente para convertir a coordenadas rectangulares. Entonces, el valor de x es encontrado usando la función coseno:

x= r*cos( θ )
x= 5*cos(π/3)
x= 5*0,5
x= 2,5

El valor de y es encontrado usando la función seno:
y= r*sin( θ )
y= 5*sin(π/3)
y= 5*0,866
y= 4,33

Entonces, las coordenadas rectangulares son (2.5, 4.33).