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강대국을 만드는 통계의 역사 | 통계학, 삶의질지표, 국가통계

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수학 동아리 발표 PPT

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조사한 내용

최소 에너지 원리:물질 시스템은 가장 안정된 상태를 유지하기 위해 에너지가 가장 낮은 상태를 선택하는 것을 말함

에너지는 위치에 따라서 계속 달라짐

에너지를 함수로 나타낼 시 대부분은 이차함수

->꼭짓점이 가장 에너지가 적고 안정된 상태

(이때 최고차항의 계수는 양수)

핵심 방정식->E(x)=0.5kx²

그래프를 이용해 구조적 안정성 판단 가능

스프링 시스템,구조물 설계등 다양한 분야에서 활용

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기계공학

1.기계의 내구성

1)열역학을 이용,기계에 가해지는 열의 양에 따른 기계의 녹아내림 여부를 이차함수의 꼭짓점을 통해 알아낼 수 있다.

2)구조역학을 이용,기계에 가해지는 하중과 힘에 따른 기계의 파손 여부와 버틸수 있은 최댓값을 이차함수를 통해 구할수 있다.

2.기계의 효율성

1)기계의 효율을 나타내는 이차함수의 그래프의 꼭짓점을 찾아 기계의 효율이 최대가 되는 지점을 구할수 있다.

3.기계의 설계

1)물체가 날아가는 포물선이나 기계의 움직임을 이차함수로 나타내고 그 궤도나 다음행동 등을 예측할수 있다.

2)기계의 전달되는 신호를 집중하고 잘 인식하기 위해 이차함수를 통해 기계를 설계하여 효율성을 증가시킬수 있다. ex) 안테나

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컴퓨터 그래픽스에서 단위 행렬의 주대각선 성분을 바꾸어 스케일,3×3 행렬의 1,2 행의 3열의 성분을 바꾸어 이동,3×3 단위행렬의 1,2행의 1,2열의 성분을 코싸인 함수와 싸인 함수로 바꾸어 회전할 수 있음을 찾아봄

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전력의 소모:

저항(R)에서 소모되는 전력(P)은 전류(I)의 제곱에 비례한다 (P = I²×R). 전류가 증가하면 전력은 이차함수 그래프를 그리며 급격히 증가한다, 이 이차함수그래프의 최대/최솟값을 구해 최대 전력 효율을 설계할수 있다.

LED, 디스플레이 밝기제어 알고리즘:

LED의 밝기를 사람의 눈에 자연스럽게 보이기 위해 선형적인 전류신호가 아닌 이차함수 곡선형태의 신호를 사용해 감마 보정을 한다.

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방정식이 고대 바빌로니아부터 시작되서 현대수학의 다양한 분야에 활용된다.

방정식은 자동차 제동, 전기•전자 회로, 공기저항과 물체 운동에 쓰임

이를 발표할때 활용할 자료 초안제작

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방정식의 정의:방정식은 무엇인가?

방정식의 실생활 활용:자동차 제동,전자•전지 회로,공기저항과 물체운동등

이에 따른 케플러의 타원 궤도 방정식 설명

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케플러 제 1법칙 (타원 궤도의 법칙)

태양계의 모든 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그리며 공전함

핵심 방정식. (x^2 + y^2 = r^2) 에서 변형함

x^2 / a^2 + y^2 / b^2 =1

a : 타원 중심에서 가장 먼거리

b : 타원의 중심에서 가장 가까운 거리

a = b 라면 이 식은 반지름이 a인 방정식이 되고 타원의 아주 특별한 케이스임.

이 방정식을 통해서 행성의 근일점 (가장 가까운 거리)와 원일점( 가장 먼 거리)를 계산할 수 있다.

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여러 방정식의 종류와 활용을 알아 보았다. 예를들어 방정식의 종류에는 미분의 개념을 연장시킨 미분방정식이 존재한다는걸 알았고 이를 이용해 베르누이방정식 슈뢰딩거방정식등이 있다는걸 알수 있었다. 그리고방정식의 유래와 역사에 대해 탐구하였다

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산업공학의 핵심인 최적화와 경제성을 중심으로 이차함수의 최솟값(꼭짓점)개념을 활용해 운전 속도를 x로, 연료비를 y로 하는 이차함수를 설계함. 도출된 최저 연료비를 일차함수의 기울기로, 차량 유지비를 고정 비용으로 설정하여 거리당 총비용을 계산하는 방정식을 이끎.

이 과정에서 AI를 수식 설계의 도구로 활용해 수식의 타당성을 높여 정교화했고, 이는 복잡한 물류 현장을 수학적으로 단순화하여 최적의 답을 찾는 공학적 사고력을 기르는 계기가 됨.

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영상이라는 매체, 필요하면 나레이션을 추가해서 푸리에 변환을 탐구해보기로 결정했다. 구체적으로 반도체, 영상, 운동 분야에서 어떻게 사용되는지 탐구하기로 했다. 푸리에 변환이 모둠원들 전부의 진로랑 연결되어서 푸리에 변환이 정말 무궁무진하게 다양하게 쓰인다는 것을 알게 되었다. 다른 분야는 또 무엇이 있을지 알아보고 싶어졌다

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유리함수와 관련분야인 약학의 연계성을 찾아 주제를 찾아보았다.

>>미카엘리스-멘텐식과 그 역함수를 활용해 약물대사 포화량과 투여량<<을 분석하는 것이다.

미카엘리스-멘텐식은 기질 농도에 따른 효소의 초기 농도 반응 속도를 나타낸 생화학 모델링 식이다. 효소의 활성을 나타내는데, 이 식의 점근선을 활용해 대사 포화점을 찾아낼 수 있고, 역함수를 직접 구해서 약물을 과다 복용했을 때 인체에 치명적인 이유를 증명할 수 있다.

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유리함수와 무리함수를 실생활에서 활용할 수 있는 사례를 찾아보고 약물의 효과와 임계점에 대해 탐구하자고 의견을 내었다. 그리고 약물의 효과가 시간이 지남에 따라 감소하는 것을 유리함수로 식을 세우고 약물 저항성이 점점 높아지는 것을 무리함수로 식을 세웠다. 그리고 두 그래프가 만나는 지점에 생기는 임계점을 구하기 위해 두 식을 연립하여 임계점을 구하였다.

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행렬로 만들어진 암호화의 종류와 중에서 힐 암호를 만드는 과정을 알아봄.

인공지능의 기초가 행렬인지 인터넷으로 처음 접함

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행렬이 인공지능 그래픽 분야만 아니라 이미지 처리 분야에서도 쓰인다는 것을 알게되었다. 이미지의 행렬을 저장한뒤 그에 따라 일정한 계산을 통해 이미지를 기울이거나 전환등 여러가지 게능을 수행할수 있었다.

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PPT내용 정리

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이차함수와_전력소모_발표-1

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최소 에너지 원리는 일상 속에서 매우 다양항 분야에서 활용될 수 있다.충격을 받으면 에너지가 증가했다가,다시 원래대로 돌아가는 원리룰 이용해 자동차 서스펜션에 사용되고, 건물이나 다리 등 다양한 구조물에도 적용되어 에너지가 최소가 되는 방향으로 설계한다.그리고 관절에도 적용되어 움직임을 설계한다.그리고 흔들의자에도 최소 에너지 원리가 적용되어 있으며,자석이나 비누 등 다양한 곳에서 볼 수 있고 사용되고 있다.

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모둠원들과 같이 발표 할 때 어떤 방식으로 발표를 할 건지 토의를하여 영상 제작을 통해 발표를 하기로 하여, 영상에 필요한 시각작 자료와 대사를 작성했다.

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암호화 개념 설명

힐 암호 개념 설명 (왜 힐 암호가 암호와와 행렬을 가지고 있는지)

예시 들기. 예시 상황 설정 재미있게 풀어나가기

어떻게 해석하는지 설명

왜 이걸 했는지 + 내 느낌

인공지능에서 행렬이 얼마나 중요한지 설명

예시를 들면서

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발표할 때 대본을 미리 써봄

저는 컴퓨터 그래픽스 속에서 행렬이 어떻게 사용되는지 설명하려합니다.일단 그래픽스는 컴퓨터를 이용해 이미지를 제작하는 모든 작업을 뜻하는데요.컴퓨터에서 이미지를 제작하기 위해선 벡터를 사용합니다.벡터란 크기와 방향만이 존재하는 물체를 나타낸 것으로 위치가 존재하지 않습니다.이해하기 쉽게 시각적으로 표현하자면 벡터는 원점에서 뻗어나가는 화살표입니다.그리고 이 벡터가 두 개 이상 있으면 벡터 공간이라는 이미지를 만들 수 있습니다.벡터 공간을 이루는데 필요한 벡터를 기저벡터라고 부릅니다.벡터 공간은 이쯤 알아보고 행렬이 하는 역할을 살펴보자면 행렬은 벡터공간을 돌리고,움직이고 크기를 조절할 수 있습니다.행렬은 3차원 공간에도 활용할 수 있지만 저는 2차원에서만 다뤄볼까합니다.행렬을 이용해 공간을 변형시키는 방법은 기존 벡터 공간의 기저 벡터 성분을 1곱하기2 행렬로 나타낸 후 2곱하기2 행렬을 곱해 새로운 기저 벡터 성분을 만들어 공간을 변형시킵니다.아래에 있는 벡터 공간은 3차원이지만 이후에 다룰 이동행렬을 설명하기 위해 잠깐 보기만 하시면 됩니다.이제 본격적으로 어떻게 행렬을 쓰는지 알려드리겠습니다.먼저 스케일 행렬입니다.스케일 행렬은 벡터 공간의 크기를 바꾸는 행렬로 S라고 합니다.스케일 행렬은 2곱하기2 행렬의 주댁각선 성분에 숫자를 이용합니다.주대각선 성분은 오른쪽 아래에서 왼쪽 위까지의 대각선에 있는 성분입니다.이 곳의 숫자를 늘리거나 줄임으로써 크기를 바꿀 수 있습니다.다음 알아볼 것은 회전 행렬로 R이라고 합니다.물체를 쉽게 회전시키기 위해 회전 행렬에는 싸인과 코싸인이 사용됩니다.쎄타에 회전하고 싶은 각도를 넣으면 공간의 두 기저 벡터 성분에 곱해져 원하는 만큼 회전이 됩니다.다음으로 알아볼 것은 이동행렬로 T라고 합니다.아래에 있는 2곱하기2 행렬들을 보면 주대각선 성분을 제외한 어떠한 성분을 바꿔도 일차원인 공간의 선만이 움직이는 것을 볼 수 있습니다.그래서 2차원 공간을 움직이기 위해서는 3차원 공간을 변형시키는 3곱하기3 행렬을 써야합니다.3곱하기3 행렬의 1,3과 2,3 성분을 바꾸고 3개의 기저 벡터 성분에 곱해주면 바꾼 만큼 2차원에서의 이동이 됩니다.지금까지 알려드린 3가지의 행렬을 한번에 사용하게 되는 경우에 미리 3가지의 행렬을 곱해놓은 후 벡터 공간에 곱해 연산량을 감소할 수 있습니다.만약 우리가 1만개의 벡터를 이동,회전,크기 변환을 시키고 싶은데 3가지 행렬을 순서대로 곱했다면 연산 횟수는 3만 번일 겁니다.하지만 미리 곱해놓은 SRT행렬을 곱한다면 연산 횟수는 1만 번으로 크게 감소할 수 있을 겁니다.하지만 행렬은 곱하는 순서에 따라 값이 달라지듯 TRS 행렬을 곱하는냐,SRT 행렬을 곱하느냐에 따라 결과값이 달라질 것입니다.이상으로 그래픽스 속에서의 행렬의 활용을 알아봤습니다.

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이미지의 변형은 이미지의 각 픽셀을 이동시켜 이미지를 다른 형태로 변환하는 것이다.
이미지의 각 픽셀 좌표에 어떠한 변환 행렬을 곱하여 이러한 변환을 수행할 수 있다.

크기 변형 (Scaling)

이미지의 x축과 y축에 대하여, 각각 a,b의 비율로 변형을 수행한다.

회전 (Rotation)

이미지를 특정 각도로 회전시킨다.

전단 (Sheer)

이미지를 기울인다.

반전 (Invert)

이미지를 X축이나 Y축 기준으로 반전시킨다.

행렬식은 적기 어려워 생략함

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속도와 연료비의 관계를 이차함수로 설정하여 디젤트럭과 전기트럭의 최적 속도와 이때의 비용을 도출했다.

이 두 차량의 최솟값인 비용을 각각 일차함수의 기울기로 삼고 차량 고정비를 y절편으로 더해 총비용 방정식을 세웠다. 두 직선의 교점인 임계 거리를 연립방정식으로 구하여 단거리와 장거리 노선별 맞춤형 차량 선택 기준을 정리했다.

복잡한 문제를 수식으로 단순화해  낭비를 줄이고 효율을 높이는 산업공학의 본질을 느꼈다.

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미카엘리스 멘텐 방정식이 무리함수라는 기하학적 그림과 달리 유리함수로만 사용되어야 하는 이유를 확인했고, 직접 그 역함수를 구해보았다. 특히 실생활에 사용되는 원리와 수학적 모델링의 중요성을 배웠다.

(전체적인 흐름을 잡아주고 대본을 작성하였고, 주제 잡으며 역함수도 구했다.)

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수정된 대본입니다!

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발표를 위한 ppt를 임시로 만들었다.

푸리에 변환과 복소수의 관계, 푸리에 변환의 개념을 최대한 이해하기 쉽게 정리하였다. 또한 실생활 예시를 찾아 그 예시 또한 정리했다.

다만 아쉬운 점은 푸리에 변환이 알고 보니 삼각함수와도 큰 연관이 있어, 삼각함수를 모르는 친구들은 이해가 다소 어려울 수도 있겠다는 것이다. 앞으로 주제를 선택할 때는 나중의 수학 내용이 나오지 않게 선택해야겠다고 절실하게 느꼈다. 하지만 이 내용을 2학년 삼각함수를 배우고 다시 탐구해보면 훨씬 더 깊이 있게 알아볼 수 있을 것 같다. 그래서 2학년 때도 이 주제를 가지고 더 알아보고 싶다.

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동아리 발표 ppt

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모둠원들과 같이 자기 진로에 관련된 수학 공식을 알아봤는데 모두 공통으로 푸리에 변환이라는 것이 나왔다. 하지만 푸리에 변환이라는 것을 그때 처음 알게되어 이해하기 어려웠지만 모둠원들과 같이 차근차근 이해해갔다. 아쉬운 점은 모둠원들의 진로와 공통된 공식이 푸리에 변환 이라는 어려운 공식이 관련됐다는 것이다.

다음에는 나의 진로와 관련된 수학 공식이 더 있는지 알고싶다.

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ppt

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로그인 발표PPT(이태준 김범수 김솔민)

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대본

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로그인 발표 대본(이태준 김범수 김솔민)

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요약

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요약(이태준 김범수 김솔민)

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design/DAHI3QZO5Js/plXuvLPR0RVh4G5xjfDmgg/edit

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발표자료

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발표 대본

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https://canva.link/e238knadex9z1pi

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수학 관련 영화는 거의 본 적 없어 재미있게 봔고 9,2,2가 답으로 나온 세 딸의 나이를 구하는 문제의 답을 생각해본 다음 찾아보고 싶다.

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처음엔 무슨 공포영화인줄 알았는데 진짜 공포영화여서 놀랐고 반전을 좋아하는데 반전이 많아서 좋았다 수학 얘기가 많이 나왔는데 거의다 이해하지 못했다. 그리고 인간의 욕심도 심각하다는걸 깨달았다.

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인상 깊었던 내용과 느낀 점 영화를 보면서 수학자들에게 수학 문제가 얼마나 큰 의미를 갖는지 깊이 느끼게 되었다. 평생을 바쳐 한 문제의 증명을 시도해 온 나이 든 수학자 '힐버트'가, 젊은 수학자 '갈루아'가 먼저 증명을 성공하자 좌절감에 빠져 극단적인 행동을 하는 모습이 기억에 남았다. 한 개인이 평생을 바라보며 달려온 목표에 누군가 일순간에 먼저 도달했을 때 느낄 허탈함을 생각해보면, 힐버트의 집착과 좌절감이 한편으로는 이해가 가기도 했다.

영화에 나온 문제 중 '레몬, 아니스, 레몬+아니스' 세 상자의 이름표가 모두 잘못 붙어있을 때, 최소 몇 번을 확인해야 내용물을 정확히 알 수 있는가에 대한 문제가 가장 신기했다. 직관적으로는 아무리 적어도 2번은 확인해야 할 것 같았는데, 논리적인 접근을 통해 단 1번만 확인해도 모든 상자의 내용물을 맞출 수 있다는 정답을 알고 나서 수학적 추론의 재미를 새로이 알게 되었다.

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수학에 관한 영화라 재미없을것같았지만 미스터리하게 흥미있었던 영화같았다. 초반엔 각 인물이 상황의 심각성을 느끼지못하고 좀 풀려있었는데 갈수록 상황이 점점 고조되며 긴장감이있었던거같다.

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수학 동아리 시간에 영화 페르마의 방을 보면서 수학은 그저 계산만 하는 과목이 아니라는 것을 느꼈다. 영화 속에서는 제한된 시간 안에 다양한 문제를 해결해야 했는데, 문제를 풀기 위해서는 계산보다 논리적으로 생각하는 과정이 더 중요하다는 점이 인상 깊었다.

등장인물들이 서로 의견을 나누고 문제의 조건을 하나씩 확인하며 해결 방법을 찾아가는 모습도 기억에 남았다. 나도 평소에는 어려운 문제가 나오면 빨리 답을 찾으려고 하는 편인데, 이번 영화를 보고 문제를 차근차근 분석하는 것이 더 중요하다는 생각이 들었다.

이번 활동을 통해 수학은 정답을 맞히는 것보다 생각하는 힘을 기르는 과목이라는 것을 다시 한번 느꼈다. 앞으로는 어려운 문제를 만나도 쉽게 포기하지 않고 여러 가지 방법을 생각해 보며 해결하는 습관을 기르고 싶다.

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이 영화를 보면서 수학 문제의 답을 찾는건 수학자 개인의 문제가 아니라 모든 수학자의 문제이며,이를 위해서는 협력이 불가피하다는 것을 깨달았다.그리고 또한 증명이라는 것 또한 수학자들에게 제일 중요한 것이라는 것을 알 수 있었다.

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한 나이 많은 수학자는 오랜시간에 거쳐 수학난제를 거의 해결하지만 비슷한시기에 한 발 빨리 어린 다른 수학자가 그 수학문제를 증명해낸다. 나이많은 수학자는 이에 큰 분노를 느껴 어린 수학자를 포함한 여러 수학자를 네 면의 벽이 줄어드는 방에 가두어 살인하려는 줄거리이다. 처음에는 방에 갇힌 수학자들이 방에서 탈출하기 위해 모두 문제를 열심히 풀어나간다. 그러나 나중에는 문제를 푸는것보다 방의 크기가 줄어드는것을 막을 물리적 방법을 고민한다. 가구들을 바닥에 눕혀 공포에 떨며 기다렸다. 이 장면은 마치 죽음을 암묵적으로 기다리는 듯해 보였다. 만약 이 장면에서 나였으면 천장을 뚫을 방법을 고민했을 것 같다. 수학자들이 갇힌 방은 정육면체 모양을 띄고있고 네 벽면은 점점 줄어든다. 그렇다고 바닥도 움직이지 않는다. 이 상황에서 유일한 탈출구는 줄어들지 않는 천장이었을 것이다. 결과적으로 수학자들은 벽에 작은 틈을 발견해 탈출 한다. 이 장면에서 수학자들이 너도나도 빨리 탈출하기위해 질서와 이성을 잃고 움직인다. 죽음을 앞둔 사람들의 간절함을 느낄 수 있었다. 탈출한 수학자들은 작은 배를 타고 탈출한다. 이때 한명이 수학 난제 증명 종이를 다 버리고 이렇게 말한다. “세상은 그대로야”. 나는 이장면이 가장 인상깊었다. 수학자들은 어쩌면 평생을 안풀릴지도 모르는 수학난제를 풀기위해 갇혀 산다. 그러나 그 수학 문제가 풀리더라도 세상은 변하지 않는다. 비록 수학자들은 죽음 코앞을 다녀왔지만 큰 깨달음과 새 삶을 얻은 것이다.

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영화 페르마의 밀실을 보고, 제한 시간 내에 문제를 풀지 못하면 방이 좁아지는 상황 속에서 주인공들이 논리적 추론으로 위기를 극복하는 과정이 인상 깊었다. 압박감 속에서도 침착하게 퀴즈를 풀어나가는 모습을 보며 어려운 수학 문제를 마주했을 때 끝까지 노력하는 태도의 중요성을 배웠고, 수학적 논리가 지닌 매력을 느꼈다.