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Anmerkung:
Padlet lässt keine Vektorpfeile über den Buchstabe zu. Bitte "dazudenken" :)

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- LGS mithilfe des Gauß-Verfahrens (auch in Matrixschreibweise) lösen
- räumliche Vorstellung: Wir befinden uns in einem 3D-Koordinatensystem (z.B. mit Ursprung in der Zimmerecke)

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Gauß-Verfahren - Einführung, mit Aufgaben+Lösung

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- Ein Vektor ist ein Zahlentripel, das eine Verschiebung im Raum beschreibt. Vektoren können mithilfe von Pfeilen dargestellt werden. Ein Vektor beschreibt unendlich viele (parallele und gleich lange) Pfeile.
- Der Betrag eines Vektors beschreibt die Länge eines zugehörigen Pfeils.

Rechnen mit Vektoren
- Addition/Subtraktion koordinatenweise (bildlich: Aneinandersetzen der Pfeile)
- Skalarmultiplikation: Zahl wird mit jedem Eintrag des Vektors multipliziert.
- Beim Multiplizieren zweier Vektoren erhält man eine Zahl. Berechnung: a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

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Darstellung von Vektoren

Bei Vektoren handelt es sich aus geometrischer Sicht um mit einer bestimmten Länge, die sowohl eine bestimmte Richtung, wie auch einen bestimmten Richtungssinn haben; dieser wird in Zeichnungen durch Pfeil am Ende der Strecke hervorgehoben. In der Formelschreibweise werden Vektoren meist mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet und durch einen Pfeil über der Vektorgröße markiert.

Je nachdem, ob zwei- oder dreidimensionale geometrische Formen untersucht werden, reicht ein geordnetes Paar aus zwei oder ein Tupel aus drei Koordinatenwerten - also beziehungsweise - aus, um einen Vektor vollständig zu charakterisieren.[1] Die einzelnen Koordinatenwerte („Komponenten") geben dabei an, um wie viele Längeneinheiten die Spitze des Vektors entlang der jeweiligen Raumrichtung vom Anfangspunkt des Vektors entfernt liegt.

Ein Vektor, dessen Anfangspunkt dem Ursprung des Koordinatensystems entspricht, wird als Ortsvektor bezeichnet. Jeder Punkt eines Raumes kann durch einen zugehörigen Ortsvektor eindeutig charakterisiert werden.

Betrag eines Vektors

Identische Vektoren

Zwei Vektoren und sind gleich, wenn sie in allen Koordinaten übereinstimmen. Beide Vektoren haben dann den gleichen Betrag, die gleiche Richtung und den gleichen Richtungssinn. Sie können allerdings von unterschiedlichen Anfangspunkten ausgehen und daher parallel zueinander im Raum verschoben sein, da für Vektoren stets nur die Differenz der Koordinatenwerte von Anfangspunkt und Endpunkt von Bedeutung ist.

Gegenvektor

Bei zweidimensionalen Vektoren wird die dritte Komponente weggelassen.

Normvektor und Nullvektor

Ein Vektor, dessen Länge genau einer Längeneinheit entspricht, wird „normierter" Vektor genannt.

Ein Vektor mit Betrag Null wird als Nullvektor bezeichnet. Bei einem Nullvektor sind Anfangs- und Endpunkt identisch.

Addition und Subtraktion von Vektoren

Ein Vektor kann durch Beibehalten seiner Richtung und seines Richtungssinns, also parallel im Raum verschoben werden, ohne dass sich die Werte seiner Komponenten ändern. Dies kann genutzt werden, um zwei Vektoren zeichnerisch zu addieren beziehungsweise subtrahieren.

Der Summenvektor

Rechnerisch erhält man den Summenvektor, indem man die einzelnen Komponenten beider Vektoren addiert:

Eine Addition von Vektoren mit unterschiedlicher Dimension ist nicht definiert.

Der Differenzvektor

Die Differenz zweier Vektoren lässt sich zeichnerisch auf ähnliche Weise bestimmen, indem man den Gegenvektor des zweiten Vektors zum ersten Vektor addiert.

Rechnerisch erhält man den Differenzvektor, indem man die einzelnen Komponenten beider Vektoren subtrahiert:

Multiplikation von Vektoren

Vektoren können entweder mit einer reellen Zahl (einem so genannten „Skalar") als auch mit anderen Vektoren multipliziert werden.

Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl

Ist , so wird der Vektor gestreckt.

Ist , so wird der Vektor gestaucht.

Ist , so wird zusätzlich zur Streckung beziehungsweise Stauchung des Vektors der Richtungssinn umgedreht.

Diese Form der Vektor-Multiplikation wird oftmals auch „S-Multiplikation" genannt.

Rechnerisch lässt sich ein Vektor mit einer reellen Zahl multiplizieren, indem jede Komponente des Vektors mit dieser Zahl multipliziert wird:

Multipliziert man einen Vektor mit der Zahl , so bleibt er unverändert; es gilt also stets:

Multipliziert man einen Vektor hingegen mit dem Kehrwert seines Betrags , so erhält man den zugehörigen, auf eine Längeneinheit normierten Vektor :

Zusätzlich gelten bezüglich der Multiplikation von Skalaren mit Vektoren das Assoziativ - und Distributivgesetz :

Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren und ist definiert als das Produkt ihrer Beträge und , multipliziert mit dem Cosinus des zwischen ihnen eingeschlossenen Winkels :

Schreibt man die beiden Vektoren und in Spaltenform, so kann das Skalarprodukt komponentenweise nach folgender Formel berechnet werden:

Das Ergebnis ist ein skalarer Wert, also eine Zahl. Die Bedeutung des Skalarprodukts wird schnell deutlich, wenn man sich einige Sonderfälle betrachtet:

Stehen die beiden Vektoren und senkrecht zueinander, so ist . Somit ergibt das Skalarprodukt in diesem Fall den Wert Null:

Mit Hilfe dieser Beziehung kann einerseits leicht gepüeft werden, ob zwei Vektoren und senkrecht aufeinander stehen. Andererseits kann bei einem Vektor mit nur zwei gegebenen Komponenten unter Verwendung der komponentenweisen Darstellung die dritte Komponente so bestimmt werden, dass der Vektor auf dem zweiten Vektor senkrecht steht.
Beispiel:

Stehen die beiden Vektoren und parallel zueinander, so ist . Das Skalarprodukt ist in diesem Fall gleich dem Produkt der Beträge beider Vektoren.

Dieser Zusammenhang wurde implizit bereits verwendet, um den Betrag eines bestimmten Vektors zu berechnen. Setzt man nämlich , so gilt:

Der Betrag des Vektors kann somit bestimmt werden, indem man das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst bildet und aus dem Ergebnis die Quadratwurzel zieht. Schreibt man die obige Gleichung komponentenweise, so erhält man die übliche Betrags-Gleichung(2).

Für beliebige Winkel lässt sich das Produkt geometrisch als „Projektion" des Vektors auf den Vektor deuten. Die Projektion entspricht dabei anschaulich dem „Schattenwurf" des Vektors , der sich bei einer senkrecht auf einfallenden Beleuchtung ergeben würde.

Der Wert des Skalarprodukts ist damit im Allgemeinen gleich dem Betrag des ersten Vektors, multipliziert mit der senkrechten Projektion des zweiten Vektors auf den ersten.

Da das Skalarprodukt komponentenweise einfach zu berechnen ist, kann es auch genutzt werden, um den Winkel zwischen zwei Vektoren oder einem Vektor und einer der Achsen eines (kartesischen) Koordinatensystems zu berechnen. Für den Winkel zwischen zwei Vektoren gilt nämlich aufgrund von Gleichung (11):

Um den Winkel zu berechnen, muss man somit nur das Skalarprodukt berechnen und dieses durch das Produkt beider Vektor-Beträge dividieren; der Arcus-Cosinus dieses Werts ergibt den gesuchten Winkel.

Gleiches gilt auch für die Skalarprodukte von mit den beiden anderen Raumachsen. Die allgemeine Formel(11) des Skalarprodukts kann damit nach dem gesuchten Winkel aufgelöst werden:

Setzt man und in die obige Gleichung ein, so folgt:[2]

Das Vektorprodukt

Das Vektorprodukt zweier Vektoren und ergibt einen Vektor, der auf jedem der beiden Vektoren und senkrecht steht. Diese Definition ist erst ab einem dreidimensionalen Raum sinnvoll.

Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren und ist gleich dem Produkt ihrer Beträge und , multipliziert mit dem Sinus des zwischen ihnen eingeschlossenen Winkels :

Schreibt man die beiden Vektoren und in Spaltenform, so kann das Vektorprodukt komponentenweise nach folgender Formel berechnet werden:

Das Vektorprodukt findet Anwendung in der analytischen Geometrie und in der Technik. Beispielsweise kann zu zwei gegebenen Richtungsvektoren, die eine Ebene beschreiben, mit Hilfe des Vektorprodukts ein dritter „Normvektor" gefunden werden, der auf der Ebene senkrecht steht. In der Physik wird das Vektorprodukt beispielsweise bei der Berechnung von Drehmomenten und Drehimpulsen genutzt.

Anmerkungen:

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Bei Vektoren handelt es sich aus geometrischer Sicht um mit einer bestimmten Länge, die sowohl eine bestimmte Richtung, wie auch einen bestimmten Richtungssinn haben; dieser wird in Zeichnungen durch Pfeil am Ende der Strecke hervorgehoben. In der Formelschreibweise werden Vektoren meist mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet und durch einen Pfeil über der Vektorgröße markiert.

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Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal zueinander, wenn das Skalarprodukt = 0 ergibt.

Durch das Vektorprodukt zweier Vektoren a und b erhält man einen zu beiden Vektoren orthogonalen Vektor.
Berechnung:
a₂b₃ - a₃b₂
a₃b₁ - a₁b₃
a₁b₂ - a₂b₁

bzw. mithilfe dieses Schemas (mit Bleistift).

# data[].attributes.attachment_link.title
Vektorprodukt, Kreuzprodukt, vektorielles, äußeres Produkt, Formel | Mathe by Daniel Jung

# data[].attributes.body
- Parameterdarstellung besteht aus Stützvektor p und Parameter t mal Richtungsvektor v

Lage zweier Geraden
- (echt) parallel: Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander und ein Punkt (z.B. der Aufpunkt) von g1 liegt nicht auf g₂
- (parallel) identisch:  Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander und ein Punkt (z.B. der Aufpunkt) von g1 liegt auf g₂
- Schnittpunkt: Richtungsvektoren sind keine Vielfachen und Gleichsetzen bringt eine Lösung
- windschief:  Richtungsvektoren sind keine Vielfachen und Gleichsetzen bringt keine Lösung

# data[].attributes.body
- Erweiterung der Parametergleichung einer Geraden um einen weiteren Vektor, sodass eine Ebene aufgespannt wird (deshalb hier: Spannvektoren).

Darstellungsformen von Ebenen:
- Parametergleichung: Stützvektor p + zwei Parameter s, t und zwei Spannvektoren u, v
- Koordinatengleichung: Ein zur Ebene senkrechter Vektor (Normalenvektor) steht vor den "x"-en:
E: n ₁ x ₁ + n ₂ x ₂ + n ₃ x ₃ = d
d findet man durch Punktprobe mit einem bel. Punkt in der Ebene

Umformen von Parameter- in Koordinatenform:
- Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren = Normalenvektor
- Punktprobe mit dem Aufpunkt (Punkt, zu dem der Pfeil des Stützvektors zeigt) = d

# data[].attributes.body
Die Spurpunkte einer Ebene sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.
Sie werden berechnet, indem man für die jeweils anderen beiden Koordinaten in der Koordinatengleichung 0 einsetzt. Z.B.:
E: x₁ + 2x₂ - 3x₃ = 9
S12 (Schnittpunkt mit x₃-Achse):
0 + 2 · 0 - 3x₃ = 9
--> S₁₂ (0|0|-3)

Die Spurgeraden einer Ebene sind die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen. Sie werden bestimmt, indem man eine Gerade durch zwei Spurpunkte aufstellt.
Geht das nicht (z.B. weil die Ebene weniger als 3 Spurpunkte besitzt), verwendet man als Richtungsvektor einen zur jeweiligen x-Achse parallelen Vektor.

Modell zur Vorstellung

Anmerkung: Auch Geraden können Spurpunkte besitzen.

# data[].attributes.attachment_link.title
Spurpunkte einer Ebene, Vektorgeometrie, Schnitt mit Koordinatenachsen | Mathe by Daniel Jung

# data[].attributes.body
Vergleich: Richtungsvektor von g mit Normalenvektor von E
- Skalarprodukt = 0 --> E || g (entweder echt parallel oder (parallel) identisch)
- Skalarprodukt ≠ 0 --> Schnittpunkt

Falls ein Schnittpunkt vorhanden ist: g in E einsetzen und nach dem Parameter auflösen.
Anschließend Parameter in g einsetzen und Schnittpunkt berechnen.

Falls kein Schnittpunkt vorhanden ist: Punktprobe mit dem Aufpunkt von g in E.

# data[].attributes.attachment_link.title
Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden

# data[].attributes.body
Vergleich: Sind die Normalenvektoren von E₁ und E₂ Vielfache voneinander?
- Ja: E₁ und E₂ sind echt parallel oder (parallel) identisch
--> Punktprobe zur Überprüfung
- Nein: Die Ebenen schneiden sich, d.h. es gibt eine Schnittgerade (Berechnung nur für den Leistungskurs relevant)

# data[].attributes.body
Lotfußpunktverfahren:
1. Normalenvektor der Ebene E bestimmen und mit dem gegebenen Punkt P eine Gerade g aufstellen
2. Schnittpunkt F von g und E bestimmen (g in E einsetzen)
3. Abstand Punkt-Ebene entspricht dem Betrag des Vektors PF

Alternative (nicht abiturrelevant):
Hesse'sche Normalenform (HNF)

# data[].attributes.body
Spiegelung Punkt an Ebene:
Erweiterung des Lotfußpunktverfahrens (siehe "Abstand Punkt - Ebene"):
1. Lotfußpunkt bestimmen
2. "Laufweg": OP' = OF + PF

# data[].attributes.body
Übersicht und Beispiele

Winkel Vektor - Vektor:
Formel (siehe oben) ohne Betrag im Nenner (da >90° möglich)

Winkel Gerade - Gerade:
Gleiche Formel mit Betrag (a und b sind Richtungsvektoren von g und h)

Winkel Ebene - Ebene:
Gleiche Formel mit Betrag (a und b sind Normalenvektoren von E₁ und E₂)

Winkel Gerade - Ebene:
Formel mit Sinus (da sonst der Winkel zwischen Normalenvektor und Gerade anstatt des Winkels zwischen Ebene und Gerade berechnet wird) und Betrag. a und b sind Normalenvektor von E₁ bzw. Richtungsvektor von g.

# data[].attributes.body
Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von zwei Vektoren a und b aufgespannt wird.

A = | a  ×  b |

Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks, das von zwei Vektoren a und b aufgespannt wird.
A = ¹/₂ · | a  ×  b |

Formel für Volumen des Spats, der von drei Vektoren a, b und c aufgespannt wird.
V = | c  · ( a  ×  b ) |
(genannt: Spatprodukt)

Formel für Volumen einer dreiseitigen Pyramide, die von drei Vektoren a, b und c aufgespannt wird.
V = ¹/₆  ·  | c  · ( a  ×  b ) |

Formel für Volumen einer vierseitigen Pyramide, die von drei Vektoren a, b und c aufgespannt wird.
V = ¹/₃  ·  | c  · ( a  ×  b ) |

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
In diesem Artikel erklären wir dir, was das Spatprodukt ist und wie du es berechnest. Du möchtest das Thema in kürzester Zeit verstehen? Dann schau dir unser Video dazu an.

Spatprodukt einfach erklärt

Mit dem Spatprodukt kannst du das Volumen berechnen, das von drei Vektoren eingespannt wird. Den Körper, den die drei Vektoren einspannen, nennt man Spat.

Beispiel: Betrachte die Vektoren , und , dann erhältst du

oder .

direkt ins Video springen

Hinweis: Mit dem Skalarprodukt kannst du die Fläche berechnen, die von zwei Vektoren eingespannt wird.

Spatprodukt berechnen

Das Spatprodukt von drei Vektoren , und berechnest du mit der Formel .

Dabei bezeichnest du mit das Kreuzprodukt der beiden Vektoren und das Malzeichen stellt das Skalarprodukt zweier Vektoren dar.

Spatprodukt Beispiel

Betrachte zum Beispiel die Vektoren , und . Zuerst benötigst du das Kreuzprodukt der beiden Vektoren und

Danach berechnest du dann das Skalarprodukt von diesem Vektor mit dem Vektor

Der Betrag des Spatprodukts ist dann das Volumen des Spats.

Spatprodukt Determinante

Um das Spatprodukt dreier Vektoren , und zu berechnen, kannst du auch die Determinante einer 3×3 Matrix verwenden. Dabei schreibst du die Vektoren einfach in eine Matrix und berechnest dann die Determinante

Beispiel

Für die Vektoren , und lässt sich das Spatprodukt dadurch berechnen, in dem du die einzelnen Vektoren in eine Matrix schreibst und dann die Determinante berechnest

Wir haben dabei die Regel von Sarrus verwendet.

Weitere Themen der Vektorrechnung

Neben dem Spatprodukt gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Spatprodukt Aufgaben

Im folgenden Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben mit Lösungen, um das Berechnen des Spatprodukts zu üben.

Aufgabe 1: Spatprodukt berechnen

Berechne das Spatprodukt der drei Vektoren , und .

Lösung Aufgabe 1

Berechne zuerst das Kreuzprodukt der beiden Vektoren und

Setzt du das in die Formel des Spatprodukts ein, dann erhältst du

Aufgabe 2: Spatprodukt Volumen

Berechne das Volumen des Spats, das durch die drei Vektoren , und aufgespannt wird.

Lösung Aufgabe 2

Das Volumen des Spats berechnest du mit der Formel , wofür du also das Spatprodukt der drei Vektoren , und benötigst. Das heißt, du berechnest zuerst das Kreuzprodukt von und

Für das Spatprodukt bekommst du damit

.

Um das Volumen des Spats zu bestimmen, musst du noch den Betrag des Spatpodukts berechnen

.

Der Spat hat also ein Volumen von 34.

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In diesem Artikel erklären wir dir, was das Spatprodukt ist und wie du es berechnest. Du möchtest das Thema in kürzester Zeit verstehen? Dann schau dir unser Video dazu an. Mit dem Spatprodukt kannst du das Volumen berechnen, das von drei Vektoren eingespannt wird. Den Körper, den die drei Vektoren einspannen, nennt man Spat.

# data[].attributes.attachment_link.title
Gauß-Verfahren - Einführung, mit Aufgaben+Lösung