# data[].attributes.location_name
Нишапур, Хорасан-Резави, Иран

# data[].attributes.headline
Нишапур, Хорасан-Резави, Иран

# data[].attributes.subject
Нишапур, Хорасан-Резави, Иран

# data[].attributes.body
Омар Хайям

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Гийяс-ад-Ди́н Абу-ль-Фатх Ома́р ибн-Эбрахи́м Хайя́м Нишапури́ ( перс. غیاث الدین ابوالفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشابورﻯ‎), Ома́р Хайя́м (عمر خیام); , Нишапур - , там же) - персидский философ, математик, астроном и поэт.

Внёс вклад в алгебру построением классификации кубических уравнений и их решением с помощью конических сечений. Известен во всём мире как философ и выдающийся поэт, автор цикла философских рубаи. Омар Хайям также известен созданием самого точного из ныне используемых календарей. Учениками Хайяма были такие учёные, как Музаффар аль-Асфизари и Абдуррахман аль-Хазини.

Гийяс-ад-Ди́н Абу-ль-Фатх Ома́р ибн-Ибрахим Хайя́м Нишапури́

غیاث ‌الدین Гийяс-ад-Дин - хитаб, "помощь религии".

بن ابراهیم ибн-Эбрахим - насаб, "сын Эбрахима".

خیام Хайям - тахаллус, "палаточный мастер" (предположительно, указание на ремесло отца; от слова "хайма" - палатка, от этого же слова предположительно происходит старорусское "хамовник" - текстильщик).

Родился в городе Нишапур, который находится в Хорасане (ныне иранская провинция Хорасан-Резави). Омар был сыном палаточника, также у него была младшая сестра по имени Аиша. В 8 лет начал глубоко заниматься математикой, астрономией, философией. В 12 лет Омар стал учеником Нишапурского медресе. Позднее обучался в медресе Балха, Самарканда и Бухары. Там он с отличием окончил курс по мусульманскому праву и медицине, получив квалификацию хаки́ма, то есть врача. Но медицинская практика его мало интересовала. Изучал сочинения известного математика и астронома Сабита ибн Курры, труды греческих математиков.

Детство Хайяма пришлось на жестокий период сельджукского завоевания Центральной Азии. Погибло множество людей, в том числе значительная часть учёных. Позже в предисловии к своей "Алгебре" Хайям напишет горькие слова:

Мы были свидетелями гибели учёных, от которых осталась небольшая многострадальная кучка людей. Суровость судьбы в эти времена препятствует им всецело отдаться совершенствованию и углублению своей науки. Большая часть тех, которые в настоящее время имеют вид учёных, одевают истину ложью, не выходя в науке за пределы подделки и лицемерия. И если они встречают человека, отличающегося тем, что он ищет истину и любит правду, старается отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться от хвастовства и обмана, они делают его предметом своего презрения и насмешек.

В возрасте шестнадцати лет Хайям пережил первую в своей жизни утрату: во время эпидемии умер его отец, а потом и мать. Омар продал отцовский дом и мастерскую и отправился в Самарканд. В то время это был признанный на Востоке научный и культурный центр. В Самарканде Хайям становится вначале учеником одного из медресе, но после нескольких выступлений на диспутах он настолько поразил всех своей учёностью, что его сразу же сделали наставником.

Как и другие крупные учёные того времени, Омар не задерживался подолгу в каком-то городе. Всего через четыре года он покинул Самарканд и переехал в Бухару, где начал работать в хранилищах книг. За десять лет, что учёный прожил в Бухаре, он написал четыре фундаментальных трактата по математике.

В 1074 году его пригласили в Исфахан, центр государства Санджаров, ко двору сельджукского султана Мелик-шаха I. По инициативе и при покровительстве главного шахского визиря Низам аль-Мулька Омар становится духовным наставником султана. Через два года Мелик-шах назначил его руководителем дворцовой обсерватории, одной из крупнейших в мире. Работая на этой должности, Омар Хайям не только продолжал занятия математикой, но и стал известным астрономом. С группой учёных он разработал солнечный календарь, более точный, чем григорианский. Составил "Маликшахские астрономические таблицы", включавшие небольшой звёздный каталог. Здесь же написал "Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида" (1077 г.) из трёх книг; во второй и третьей книгах исследовал теорию отношений и учение о числе. Однако в 1092 году, со смертью покровительствовавшего ему султана Мелик-шаха и визиря Низам ал-Мулька, исфаханский период его жизни заканчивается. Обвинённый в безбожном вольнодумстве, поэт вынужден покинуть сельджукскую столицу.

О последних часах жизни Хайяма известно со слов его младшего современника - Бейхаки, ссылающегося на слова зятя поэта.

Однажды во время чтения "Книги об исцелении" Абу Али ибн Сины Хайям почувствовал приближение смерти (а было тогда ему уже за восемьдесят). Остановился он в чтении на разделе, посвященном труднейшему метафизическому вопросу и озаглавленному "Единое во множественном", заложил между листов золотую зубочистку, которую держал в руке, и закрыл фолиант. Затем он позвал своих близких и учеников, составил завещание и после этого уже не принимал ни пищи, ни питья. Исполнив молитву на сон грядущий, он положил земной поклон и, стоя на коленях, произнёс: "Боже! По мере своих сил я старался познать Тебя. Прости меня! Поскольку я познал Тебя, постольку я к Тебе приблизился". С этими словами на устах Хайям и умер.

Хайяму принадлежит "Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы", в котором даётся классификация уравнений и излагается решение уравнений 1-й, 2-й и 3-й степени. В первых главах трактата Хайям излагает алгебраический метод решения квадратных уравнений, описанный ещё ал-Хорезми. В следующих главах он развивает геометрический метод решения кубических уравнений, восходящий к Архимеду: корни данных уравнений в этом методе определялись как общие точки пересечения двух подходящих конических сечений. Хайям привёл обоснование этого метода, классификацию типов уравнений, алгоритм выбора типа конического сечения, оценку числа (положительных) корней и их величины. Хайям не заметил, что кубическое уравнение может иметь три положительных действительных корня. До явных алгебраических формул Кардано Хайяму дойти не удалось, но он высказал надежду, что явное решение будет найдено в будущем.

Во введении к данному трактату Омар Хайям даёт первое дошедшее до нас определение алгебры как науки, утверждая: алгебра - это наука об определении неизвестных величин, состоящих в некоторых отношениях с величинами известными, причём такое определение осуществляется с помощью составления и решения уравнений.

В 1077 г. Хайям закончил работу над важным математическим трудом - "Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида". Трактат состоял из трёх книг; первая содержала оригинальную теорию параллельных прямых, вторая и третья посвящены усовершенствованию теории отношений и пропорций. В первой книге Хайям пытается доказать V постулат Евклида и заменяет его более простым и очевидным эквивалентом: Две сходящиеся прямые должны пересечься; по сути, в ходе этих попыток Омар Хайям доказал первые теоремы геометрий Лобачевского и Римана.

Далее Хайям рассматривает в своём трактате иррациональные числа как вполне законные, определяя равенство двух отношений как последовательное равенство всех подходящих частных в алгоритме Евклида. Евклидову теорию пропорций он заменил численной теорией.

При этом в третьей книге "Комментариев", посвящённой составлению (то есть умножению) отношений, Хайям по-новому трактует связь понятий отношения и числа. Рассматривая отношение двух непрерывных геометрических величин A и B, он рассуждает так: "Выберем единицу и сделаем её отношение к величине G равным отношению A к B, и будем смотреть на величину G как на линию, поверхность, тело или время; но будем смотреть на неё как на величину, отвлечённую разумом от всего этого и принадлежащую к числам, но не к числам абсолютным и настоящим, так как отношение A к B часто может не быть числовым... Следует, что бы ты знал, что эта единица является делимой и величина G, являющаяся произвольной величиной, рассматривается как число в указанном выше смысле". Высказавшись за введение в математику делимой единицы и нового рода чисел, Хайям теоретически обосновал расширение понятия числа до положительного действительного числа.

Ещё одна математическая работа Хайяма - "Об искусстве определения количества золота и серебра в состоящем из них теле" - посвящена классической задаче на смешение, впервые решённой ещё Архимедом.

Хайям возглавлял группу астрономов Исфахана, которая в правление сельджукского султана Джалал ад-Дина Малик-шаха разработала принципиально новый солнечный календарь. Он был принят официально в 1079 г. Основным предназначением этого календаря была как можно более строгая привязка Новруза (то есть начала года) к весеннему равноденствию, понимаемому как вхождение солнца в зодиакальное созвездие Овна. Так, 1 фарвардина ( Новруз) 468 солнечного года хиджры, в которое был принят календарь, соответствовало пятнице, 9 рамазана 417 лунного года хиджры, и 19 фарвардина 448 года эры Йездигерда (15 марта 1079 г.). Для отличия от зороастрийского солнечного года, называвшегося "древним" или "персидским" , новый календарь стали называть по имени султана - "Джалали" или "Малеки". Количество дней в месяцах календаря "Джалали" варьировало в зависимости от сроков вступления солнца в тот или иной зодиакальный знак и могло колебаться от 29 до 32 дней. Были предложены и новые названия месяцев, а также дней каждого месяца по образцу зороастрийского календаря. Однако они не прижились, и месяцы стали именоваться в общем случае именем соответствующего знака зодиака.

С чисто астрономической точки зрения календарь "Джалали" был точнее, чем древнеримский юлианский календарь, применявшийся в современной Хайяму Европе, и точнее, чем позднейший европейский григорианский календарь. Вместо цикла "1 високосный на 4 года" (юлианский календарь) или "97 високосных на 400 лет" (григорианский календарь) Хайямом принято было соотношение "8 високосных на 33 года". Другими словами, из каждых 33-х лет 8 были високосными и 25 обычными. Этот календарь точнее всех других известных соответствует году весенних равноденствий. Проект Омара Хайяма был утверждён и лёг в основу иранского календаря, который вплоть до настоящего времени действует в Иране в качестве официального с 1079 года.

Хайям составил "Маликшахов зидж ", включающий звёздный каталог 100 ярких звёзд и посвящённый сельджукскому султану Маликшаху ибн Алп Арслану. Наблюдения зиджа датированы 1079 годом ("на начало [первого] года високоса малики"); рукопись не сохранилась, но существуют списки с неё.

При жизни Хайям был известен исключительно как выдающийся учёный. На протяжении всей жизни он писал стихотворные афоризмы ( рубаи), в которых высказывал свои сокровенные мысли о жизни, о человеке, о его знании в жанрах хамрийят и зухдийят. С годами количество приписываемых Хайяму четверостиший росло и к XX веку превысило 5000. Возможно, свои сочинения приписывали Хайяму все те, кто опасался преследований за вольнодумство и богохульство. Точно установить, какие из них действительно принадлежат Хайяму (если он вообще сочинял стихи), практически невозможно. Некоторые исследователи считают возможным авторство Хайяма в отношении 300-500 рубаи.

Долгое время Омар Хайям был забыт. По счастливой случайности тетрадь с его стихами попала в викторианскую эпоху в руки английского поэта Эдварда Фицджеральда, который перевёл многие рубаи сначала на латынь, а потом на английский. В начале XX века рубаи в весьма вольном и оригинальном переложении Фицджеральда стали едва ли не самым популярным произведением викторианской поэзии. Всемирная известность Омара Хайяма как глашатая гедонизма, отрицающего посмертное воздаяние, пробудила интерес и к его научным достижениям, которые были открыты заново и переосознаны.

Хайям Омар. О доказательстве задач алгебры и алмукабалы. Историко-математические исследования, 6, 1953. - С. 15-66.

Хайям Омар. Комментарии к трудным постулатам книги Евклида. Историко-математические исследования, 6, 1953. - С. 67-107.

Хайям Омар. Об искусстве определения золота и серебра в состоящем из них теле. Историко-математические исследования, 6, 1953. - С. 108-112.

Хайям Омар. / Перевод А. П. Юшкевича. Статья и комментарии Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича. - М.: Изд. вост. лит., 1961.

Хаййам Омар. Трактаты. / Перевод Б. А. Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича. Статья и комментарии Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича. - М., 1962.

Хайям Омар. Первый алгебраический трактат. Историко-математические исследования, 15, 1963. - С. 445-472.

Хайям Омар. О прямом кустасе. Историко-математические исследования, 19, 1974. - С. 274-278.

Хайям Омар. Речь о родах, которые образуются квартой. Историко-математические исследования, 19, 1974. - С. 279-284.

Первым стал переводить Омара Хайяма на русский язык В. Л. Величко (1891). Хрестоматийный перевод рубаи на русский язык (1910) выполнил Константин Бальмонт. Некоторые русскоязычные издания рубаи:

Омар Хайям Рубайят. Подготовка текста, перевод и предисловие Р. М. Алиева и М. Н. О. Османова под редакцией Е. Э. Бертельса. Две части. Издательство восточной литературы. Москва 1959 год.

Омар Хайям Рубайят. Перевёл с таджикского-фарси: Владимир Державин. Издательство "ИРФОН", Душанбе, 1965 г.

Омар Хайям Рубаи. Пер. с фарси // Ирано-Таджикская поэзия. - М.:Художественная литература, 1974. - С. 101-124. / Библиотека всемирной литературы, серия 1, Т. 21.

Омар Хайям Рубаи. - Ташкент, изд. ЦК КП Узбекистана, 1978. - 104 с., 200 000 экз.

Омар Хайям Рубаи: Лучшие переводы / Сост.,вступ.статья, примеч. Ш. М. Шамухамедова. - Ташкент, Издательство ЦК Компартии Узбекистана, 1982. - 128 с., 7 вкл.л., 200 000 экз. (Избранная лирика Востока. Издание второе, дополненное)

Омар Хайям Рубаи. Перевод С. Северцева - в: Великое Древо. Поэты Востока. М., 1984, с. 282-284.

Омар Хайям Рубаи: Пер. с перс.-тадж. / Вступ. ст. З. Н. Ворожейкиной и А. Ш. Шахвердова; Сост. и примеч. А. Ш. Шахвердова. - Л.: Сов. писатель, 1986. - 320 с. Тираж 100 000 экз. (Библиотека поэта. Большая серия. Издание третье).

Омар Хайям: Рубайят. Сопоставление переводов / Малкович Р.Ш.. - СПб.: Издательство РХГА, 2012. - 696 с. - 500 экз. - ISBN 978-5-88812-542-7.

Сказание об Омаре Хайяме. - М.: Художественная литература, 1980. - 432 с.

Симашко Морис, Хадж Хайяма. - "Избранное", Алма-Ата, "Жазушы", 1983. - С. 400-423.

Ильясов Я. Заклинатель змей; Башня молчания: Повести. - Ташкент: Изд-во лит. и искусства, 1986. - 496 с.

"Омар Хайям" / "Omar Khayham" (1924) - США, в роли Фил Данхэм;

"Омар Хайям" / "Omar Khayyam" (1957) - США, в главной роли Корнел Уайлд;

"Омар Хайям" / "Ömer Hayyam" (1973) - Турция, в роли Орчун Сонат / Orçun Sonat.

"Омар Хайям" / "Omar Al-Khayyam" (2002) - США, в роли Джихад Саад / Jihad Saad;

"Хранитель: Легенда об Омаре Хайяме" (2005) - США, в главной роли - Бруно Ластра.

1. Климишин И. А. Календарь и хронология. - Изд. 3. - М.: Наука, 1990. - С. 38-39. - 478 с. - ISBN 5-02-014354-5.

2. Звездный каталог ал-Бируни с приложением каталогов Хайама и ат-Туси. Дата обращения: 2 мая 2010. . // Историко-астрономические исследования. Вып. VIII. 1962. С.83-192.

3. Омар Хайям. Четверостишия. - Русич - 2002.

4. Омар Хайям. Математические трактаты / Пер. Б. А. Розенфельда // Историко-математические исследования. Вып. VI. 1952. - С. 105-106.

5. ↑ Климишин И. А. Календарь и хронология. - М.: Наука, 1981. - 192 с.

6. В фарси имена знаков Зодиака представляют собой заимствования из арабского языка

7. Heydari-Malayeri M. A concise review of the Iranian calendar. Paris Observatory, 2006.

8. Хаййам Омар. Трактаты. Перевод Б. А. Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича. Статья и комментарии Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича. М., 1962.

9. UNIS Monument to Be Inaugurated at the Vienna International Centre, 'Scholars Pavilion' donated to International Organizations in Vienna by Iran. Дата обращения: 3 августа 2017.

Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. - К.: Наукова думка, 1983. - 639 с.

Глезер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. - М.: Просвещение, 1982. - 240 с.

История математики. Дата обращения: 15 марта 2008. с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А. П. Юшкевича). - Т. I. - М.: Наука, 1972.

Крамар Ф. Д. Об исследованиях Омара Хайяма и Насирэддина Туси по теории параллельных линий. - Алма-Ата, 1964.

Национальная энциклопедия Узбекистана (узб.). - Ташкент, 2000-2005.

Омар Хайям // Литература и язык. Современная иллюстрированная энциклопедия / Под редакцией проф. Горкина А.П.. - М.: Росмэн, 2006.

Омар Хайям // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. - 3-е изд. - М. : Советская энциклопедия, 1969-1978.

М.-Н. Османов. // Краткая литературная энциклопедия: В 9 т / Гл. ред. А. А. Сурков. - М.: Сов. энцикл., 1968. - Т. 5: Мурари - Припев.

Розенфельд Б. А., Юшкевич А. П. Омар Хайям. - М.: Наука, 1965. - 194 с.

Розенфельд Б. А., Юшкевич А. П. Теория параллельных линий на средневековом Востоке. IX-XIV вв. - М.: Наука, 1983. - 128 с.

Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. 4-е изд. - М.: Наука, 1984. - 284 с.

Султанов Ш. З., Султанов К. З. . - М.: Молодая гвардия, 1987. - 320 с. - (Жизнь замечательных людей. - Вып. 679).

Шамсиддинов Д. Проблема общих понятий и научной абстракции в творчестве Омара Хайяма // Философские науки. - 1987. - № 7. - С. 101-105.

В Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона есть две статьи разных авторов об Омаре Хайяме:

# data[].attributes.attachment_link.description
Гийяс-ад-Ди́н Абу-ль-Фатх Ома́р ибн-Эбрахи́м Хайя́м Нишапури́ ( перс. غیاث الدین ابوالفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشابورﻯ‎), Ома́р Хайя́м (عمر خیام); , Нишапур - , там же) - персидский философ, математик, астроном и поэт. Внёс вклад в алгебру построением классификации кубических уравнений и их решением с помощью конических сечений.

# data[].attributes.location_name
Сиракузы, Саракуза, Италия

# data[].attributes.headline
Сиракузы, Саракуза, Италия

# data[].attributes.subject
Сиракузы, Саракуза, Италия

# data[].attributes.body
Архимед

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Архиме́д ( др.-греч. ; 287-212 годы до н. э.) - древнегреческий учёный и инженер. Родился и бо́льшую часть жизни прожил в городе Сиракузы на Сицилии.

Сделал множество открытий в области геометрии, предвосхитил многие идеи математического анализа. Заложил основы механики, гидростатики, был автором ряда важных изобретений. С именем Архимеда связаны многие математические понятия. Наиболее известно приближение числа π (22/7), которое называется Архимедовым числом. Кроме того, его имя носят граф, ещё одно число, копула, аксиома, спираль, тело, закон и другие. Работы учёного использовали в своих сочинениях всемирно известные математики и физики XVI-XVII веков, такие, как Иоганн Кеплер, Галилео Галилей, Рене Декарт и Пьер Ферма. Согласно современным оценкам, открытия Архимеда стали основой для дальнейшего развития математики в 1550-1650-х годах. В частности, работы Архимеда легли в основание математического анализа.

С жизнью Архимеда связаны несколько легенд. Широкую известность получил рассказ о том, как Архимед сумел определить, сделана ли корона царя Гиерона полностью из золота, выданного царём для этого заказа, или нанятый ювелир сжульничал, подмешав в расплав серебро. Размышляя о поставленной задаче, Архимед пришёл в баню и, погружаясь в ванну, обратил внимание на поведение уровня воды. В этот момент его осенила идея о приложении вытесняемого объёма к весу, которая легла в основу гидростатики. С криком " Эврика!" Архимед выскочил из ванны и голым побежал к царю. Сравнив объёмы воды, вытесненные короной и слитком золота равного с ней веса, учёный доказал обман ювелира. Согласно другой легенде, благодаря открытию теории рычага и созданию полиспаста Архимед смог в одиночку сдвинуть с места огромный корабль при перевозке его по суше на катках. Ошеломлённым соотечественникам учёный сказал, что, будь у него точка опоры, он бы перевернул Землю.

Во время штурма Сиракуз римлянами созданные Архимедом устройства привели к поражению целой армии, которая атаковала город с моря и суши. Римляне, надеявшиеся быстро захватить город, были вынуждены отказаться от первоначального плана и перешли к осаде. Через два года город захватили благодаря изменнику. Во время штурма Архимед был убит.

Сведения о жизни Архимеда оставили нам Полибий, Тит Ливий, Цицерон, Плутарх, Витрувий, Диодор Сицилийский и другие. Почти все они жили на много лет позже описываемых событий, и достоверность этих сведений оценить трудно.

Впервые биография Архимеда была описана неким Гераклидом, вероятно, его учеником. Она существовала ещё в VI веке н. э., так как её упоминает математик Евтокий Аскалонский в комментариях к работам античного учёного. Наиболее ранние из дошедших до современников сведения об Архимеде содержатся в "Истории" Полибия (200-120 годы до н. э.). Этот историк подробно рассказывает о созданных сиракузским учёным машинах.

Историк I века до н. э. Диодор Сицилийский описывает архимедов винт, который был изобретён учёным во время пребывания в Египте. О том, что Архимед учился математике в Александрии и не порывал связи с тамошними учёными, написано в его работах. Римский писатель Тит Ливий характеризует Архимеда как астронома и гениального конструктора и инженера. Имя сиракузского учёного упоминает оратор и политик Цицерон, который, по собственным словам, обнаружил могилу учёного. Неоднократно Архимеда упоминает римский архитектор и механик Марк Витрувий Поллион. Он пишет о сиракузянине как о знатоке законов течения воды в трубах, авторе руководств по строительной механике, которые не сохранились, ссылается на работу "О плавающих телах". Наиболее поздним автором, который приводит ранее неопубликованные из дошедших до наших дней источников данные об Архимеде, является Плутарх. В биографии римского полководца Марцелла Архимеду посвящено несколько страниц. Этим, собственно, и исчерпываются свидетельства античных авторов о сиракузском учёном.

Изображение родственника и покровителя Архимеда сиракузского царя Гиерона II на античной монете

Архимед родился в Сиракузах - греческой колонии на острове Сицилия в 287 году до н. э. Отцом Архимеда предположительно был математик и астроном Фидий. По мнению историка С. Я. Лурье, семья Архимеда на момент его рождения была небогатой. Отец не смог обеспечить сыну всестороннее образование, в основе которого в то время были занятия философией и литературой. Фидий смог обучить Архимеда только тому, что знал сам, а именно математическим наукам. По сообщению Плутарха, Архимед был родственником будущего тирана, а затем и царя Сиракуз, Гиерона, который в то время был одним из граждан города.

Гиерон участвовал в Пирровой войне (280-275 годы до н. э.), на стороне греков против римлян. Во время боевых действий он отличился, стал одним из военачальников, и, вскоре после ухода Пирра в Грецию, смог захватить власть в Сиракузах. Это отразилось и на материальном благополучии семьи Гиерона. Молодой Архимед получил возможность отправиться в один из главных научных центров Античности - Александрию.

Учёные, к кругу которых примкнул Архимед, группировались вокруг Александрийского мусейона. В состав мусейона входила знаменитая Александрийская библиотека, в которой было собрано более 700 тысяч рукописей. По-видимому, именно здесь Архимед познакомился с трудами Демокрита, Евдокса и других геометров, о которых он упоминал в своих сочинениях.

В Александрии Архимед познакомился и подружился со знаменитыми учёными: астрономом Кононом, разносторонним учёным Эратосфеном из Кирены, с которыми потом переписывался до конца их жизни. Архимед называл Конона своим другом, а две свои работы " Метод механических теорем" и " Задача о быках " снабдил введениями, адресованными Эратосфену. После смерти Конона (ок. 220 года до н. э.) Архимед активно продолжал переписываться с его учеником , и многие трактаты Архимеда последних лет начинаются словами: "Архимед приветствует Досифея".

"Архимед с криком „Эврика" бежит к царю". Гравюра Г. Маззучелли , 1737 год

"Архимед переворачивает Землю". Гравюра 1824 года

По окончании обучения Архимед вернулся на Сицилию. Молодой учёный не имел желания делать карьеру придворного. Как родственнику сиракузского царя ему были обеспечены соответствующие условия жизни. Гиерон лояльно относился к "чудачествам" своего родственника. В отличие от Архимеда, которого интересовала наука как таковая, царь Сиракуз искал возможности её практического применения. Именно он, возможно играя на честолюбии Архимеда, убедил того создать механизмы и машины, работа которых завораживала современников и во многом принесла всемирную славу своему создателю. Уже при жизни Архимеда вокруг его имени создавались легенды, поводом для которых служили его поразительные изобретения, производившие ошеломляющее действие на современников.

Широкую известность получил рассказ, описанный у Витрувия, о том, как Архимед сумел определить, сделана ли корона царя Гиерона из чистого золота, или ювелир подмешал туда значительное количество серебра. По весу корона соответствовала количеству отпущенного на её изготовление благородного металла. После доноса о том, что часть золота заменили серебром, царь приказал Архимеду определить истину. Учёный как-то случайно пришёл в баню, опустился в ванну и увидел, как из неё вытекает вода. Согласно легенде в этот момент его осенила идея, лёгшая в основу гидростатики. С криком " Эврика!" Архимед выскочил из ванны и голым побежал к царю. Автор легенды не учёл, что Гиерон II жил в укреплённой резиденции на острове Ортигия вне Сиракуз и, соответственно, Архимед физически не мог прибежать к нему из городской бани. Архимед попросил сделать два слитка из серебра и золота, равных по весу короне. Затем он наполнил водой до краёв некую ёмкость, в которую последовательно погружал слитки и корону. Вынимая предмет из воды, он доливал в ёмкость определённое количество жидкости из мерного сосуда. Корона вытеснила больший объём воды, чем равный ей по весу золотой слиток. Таким образом Архимед доказал обман ювелира. Учёные подчёркивают, что решение задачи определения удельного веса тел, путём измерения их объёма погружением в жидкость, не требовало открытия принципов гидростатики, вошедших в науку под названием " закона Архимеда ".

Согласно другой легенде, приведённой у Плутарха, Архимед написал Гиерону, что сможет сдвинуть любой груз. Также он добавил, что будь в его распоряжении другая земля, на которую можно было бы встать, он сдвинул бы с места и нашу. Для проверки утверждений Архимеда на берег вытащили трёхмачтовое грузовое судно. Его трюм наполнили кладью и посадили на корму команду матросов. Архимед сел поодаль и начал вытягивать пропущенный через систему блоков ( полиспаст) и прикреплённый к кораблю канат. Судно начало двигаться, "так ровно и медленно, словно плыло по морю". По другой, описанной у Афинея, версии речь шла о корабле " Сиракузия", который впоследствии подарили египетскому фараону Птолемею III Эвергету. Когда огромное по античным меркам судно было построено, царь распорядился спустить его на воду, чтобы там завершить остальные работы. О том, как это сделать, было много споров. Задачу решил Архимед, который вместе с немногочисленными помощниками сумел сдвинуть огромный корабль с места, изготовив систему сложных блоков с лебёдками. В современных интерпретациях крылатая фраза Архимеда звучала, как др.-греч. Δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινήσω ("Дай мне, где стать, и Землю поверну", в другом варианте: "Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю").

"Архимед руководит обороной Сиракуз". Томас Ральф Спенс, 1895 год

Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился во время осады Сиракуз римлянами в 214-212 годах до н. э. в ходе Второй Пунической войны. Городом с 215 года до н. э. правил Гиероним, внук Гиерона II. Он поддержал в войне Карфаген, и римские войска двинулись на Сиракузы. Гиеронима свергли через 13 месяцев после прихода к власти. Пришедшие ему на смену военачальники продолжили войну с Римом. Подробное описание осады Сиракуз римским полководцем Марцеллом и участия Архимеда в обороне содержится в сочинениях Плутарха и Диодора Сицилийского.

Деталь фрески Джулио Париджи 1599-1600 годов с "когтем Архимеда". Галерея Уффици, Флоренция, Италия

После того, как римская армия подошла к Сиракузам, ими был выработан следующий план штурма города. Аппию Клавдию Пульхру было поручено наступление на суше. Его войску следовало подойти к крепостной стене, которая окружала "большие Сиракузы" вместе с предместьями, именуемыми Эпиполами. Одновременно римский флот под командованием Марка Клавдия Марцелла должен был напасть на нижнюю часть города - Акрадину. Римляне предполагали быстро занять Сиракузы.

Когда римляне напали на город с двух сторон, жители Сиракуз растерялись. В этот момент в ход пустили сконструированные Архимедом машины. Они забрасывали римские войска на суше тяжёлыми камнями. На вражеские суда стали опускаться укреплённые на стенах брусья. Они либо топили корабли силой своего толчка, либо захватывали их крючьями и поднимали за нос над водой. Затем " когти Архимеда" раскручивали римские галеры и швыряли их об утёсы у подножья городской стены. " Нередко взору открывалось ужасное зрелище: поднятый высоко над морем корабль раскачивался в разные стороны до тех пор, пока все до последнего человека не оказывались сброшенными за борт или разнесёнными в клочья, а опустевшее судно разбивалось о стену или снова падало на воду, когда железные челюсти разжимались". Римский полководец предполагал, что восемь судов, несущие высокую башню "самбуку", смогут подойти к стенам. Затем, согласно плану Марцелла, легионеры по башне должны были проникнуть в город. Однако несколько удачно выпущенных катапультами камней "весом в десять талантов" (около 250 кг) смогли её разрушить. После этого Марцелл приказал отступить. На военном совете римляне предположили, что защитные орудия Сиракуз действуют только на дальние расстояние, а вблизи неэффективны. Ночью римляне совершили ещё одну неудачную попытку захватить город. Незаметно они проникли под городские стены, где были встречены скорпионами и другими машинами, разящими короткими стрелами через предварительно приготовленные в городской стене отверстия. В 2005 году были проведены несколько экспериментов с целью проверить правдивость описания этого "сверхоружия древности", получившего название " коготь Архимеда "; построенная конструкция показала свою полную работоспособность.

Римляне вынуждены были отказаться от мысли взять город штурмом и перешли к осаде. Знаменитый историк древности Полибий писал: " Такова чудесная сила одного человека, одного дарования, умело направленного на какое-либо дело... римляне могли бы быстро овладеть городом, если бы кто-либо изъял из среды сиракузян одного старца. Но так как этот один был среди сиракузян, они не дерзали нападать на город ".

Деталь фрески Джулио Париджи 1599-1600 годов, на которой Архимед с помощью зеркала поджигает корабль. Галерея Уффици, Флоренция, Италия

По одной из легенд, впервые описанной у Диодора Сицилийского, когда римский флот, потерпев поражение, отошёл на безопасное и недосягаемое для камней катапульт расстояние, Архимед задействовал ещё одно из своих изобретений - " Зеркала Архимеда". Он установил большое зеркало, в которое направил лучи из других зеркал поменьше. Отражённый луч смог поджечь и уничтожить римские корабли. Достоверность данной легенды больше занимала физиков, нежели историков. Рене Декарт и Иоганн Кеплер отвергали возможность поджога при помощи солнечного луча на большом расстоянии. Эксперименты с тепловым лучом проводили и в Новейшее время. Так, греческому учёному Иоаннису Саккасу в 1973 году удалось поджечь фанерную модель римского корабля, обработанную смолой, с расстояния 50 м, используя 70 медных зеркал.

"Смерть Архимеда". Тома Дежорж, 1815 год

Осенью 212 года до н. э. Сиракузы были взяты римлянами. Это произошло во время праздника Артемиды, когда охранники были пьяны. Один из охранников открыл врагу потайной ход в стене. Во время штурма города Архимед был убит. Рассказ о смерти Архимеда от рук римлян в античных источниках существует в нескольких версиях. Римские авторы Тит Ливий и Плиний Старший, признавая злодеяние, совершённое соотечественниками, пишут о том, что это произошло случайно и в суматохе. Также они подчёркивают недовольство Марцелла, который якобы приказал не убивать Архимеда во время штурма.

Греки по национальности Диодор Сицилийский и Плутарх, жившие во времена владычества Рима, представляют захватчиков Сиракуз необразованными, далёкими от науки и даже трусливыми солдатами, занятыми грабежом. Жестокость войск Марцелла даже разбирали в сенате, на котором военачальника оправдали. Когда через 2 года Марцеллу поручили вновь поехать в Сицилию, присутствовавшие в Риме жители острова облачились в траурные одежды и стали ходить по домам сенаторов, говоря, что если Марцелл вернётся на их родной остров, то все островитяне покинут свои дома. Согласно Диодору Сицилийскому, некий легионер схватил Архимеда. Тогда учёный воскликнул: "Быстро, кто-нибудь, подайте одну из моих машин!" Римский солдат испугался, решив, что относительно него хотят применить какое-то очередное открытие Архимеда, и зарубил 75-летнего старика мечом. Плутарх приводит три существовавших версии о гибели сиракузского учёного. По одной из них римский солдат, согласно приказу, схватил Архимеда и хотел отвести его к Марцеллу. Однако пленник наотрез отказывался следовать к главнокомандующему римской армией, так как должен был решить некую математическую задачу. Тогда возмущённый солдат убил Архимеда. По другой, описанной у Плутарха, версии Архимед перед гибелью просил солдата немного обождать, чтобы задача, которой он был на тот момент занят, получила решение. И по третьей плутарховой версии Архимед сам отправился к Марцеллу со своими математическими приборами. Легионеры решили, что старик несёт что-то ценное, и убили его с целью грабежа. Оба автора подчёркивают, что главнокомандующий римской армией Марцелл был опечален случившимся.

Ещё одну версию приводит византийский филолог XII века Иоанн Цец (Chiliad, книга II). В разгар боя 75-летний Архимед сидел на пороге своего дома, углублённо размышляя над чертежами, сделанными им прямо на дорожном песке. В это время пробегавший мимо римский воин наступил на чертёж, и возмущённый учёный бросился на римлянина с криком: " Не тронь моих чертежей! " (по другой версии "кругов"). Солдат остановился и хладнокровно зарубил старика мечом.

Римская гробница, построенная не менее чем через 2 века после гибели Архимеда в Сиракузах и которую принято называть "Гробницей Архимеда" (итал. Tomba di Archimede)

"Цицерон находит могилу Архимеда". Бенджамин Уэст, 1804 год. Художественная галерея Йельского университета, США

Цицерон, бывший квестором на Сицилии в 75 году до н. э., писал в " Тускуланских беседах", что ему спустя 137 лет после смерти Архимеда удалось обнаружить полуразрушенную могилу учёного. На ней, как и завещал Архимед, было изображение шара, вписанного в цилиндр.

Подлинные обстоятельства смерти Архимеда, а также истинная реакция Марцелла на это событие остаются невыясненными. Приведённые легенды античных авторов однозначно свидетельствуют, что учёного убили во время волны грабежей и убийств сразу после взятия Сиракуз римлянами. Не исключено, что Марцелл демонстрировал скорбь и даже распорядился отдать почести убитому. Римляне нуждались в поддержке греков, и им было крайне невыгодно предстать в роли убийц и насильников, истребляющих лучших представителей эллинской цивилизации. Как бы то ни было, первое время в Сиракузах было небезопасно вспоминать своего гениального соотечественника.

Работы Архимеда относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат исследования по геометрии, арифметике, алгебре. Он нашёл все полуправильные многогранники, которые теперь носят его имя, значительно развил учение о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений вида , корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы. Архимед провёл и полное исследование этих уравнений, то есть нашёл, при каких условиях они будут иметь действительные положительные различные корни и при каких корни будут совпадать[38][39].

Однако главные математические достижения Архимеда касаются проблем, которые сейчас относят к области математического анализа. Греки до Архимеда сумели определить площади многоугольников и круга, объём призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей или объёмов; для этого он усовершенствовал и виртуозно применял метод исчерпывания Евдокса Книдского. В своей работе "Послание к Эратосфену о методе" (иногда называемой "Метод механических теорем") он использовал бесконечно малые для вычисления объёмов. Идеи Архимеда легли впоследствии в основу интегрального исчисления.

Квадратура сегмента параболы

В сочинении "Квадратура параболы" Архимед доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок). Для доказательства Архимед подсчитал сумму бесконечного ряда:

Каждое слагаемое ряда - это общая площадь треугольников, вписанных в неохваченную предыдущими членами ряда часть сегмента параболы.

В математике, естественных науках и технике очень важно уметь находить наибольшие и наименьшие значения изменяющихся величин - их экстремумы. Например, как среди цилиндров, вписанных в шар, найти цилиндр, имеющий наибольший объём? Все такие задачи в настоящее время могут быть решены с помощью дифференциального исчисления. Архимед первым увидел связь этих задач с проблемами определения касательных и показал, как решать задачи на экстремумы.

Архимед сумел установить, что объёмы конуса и шара, вписанных в цилиндр, и самого цилиндра соотносятся как 1:2:3. Лучшим своим достижением он, согласно Цицерону, считал определение поверхности и объёма шара - задача, которую до него никто решить не мог. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.

Шар, вписанный в цилиндр

Помимо перечисленного, Архимед вычислил площадь поверхности для сегмента шара и витка открытой им " спирали Архимеда", определил объёмы сегментов шара, эллипсоида, параболоида и двуполостного гиперболоида вращения.

Следующая задача относится к геометрии кривых. Пусть дана некоторая кривая линия. Как определить касательную в любой её точке? Или, если переложить эту проблему на язык физики, пусть нам известен путь некоторого тела в каждый момент времени. Как определить скорость его в любой точке? Первый общий метод решения этой задачи был найден Архимедом. Этот метод впоследствии лёг в основу дифференциального исчисления.

Схема архимедова метода вычисления числа

Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архимедом отношение длины окружности к диаметру. В работе "Об измерении круга" Архимед дал своё знаменитое приближение для числа : " архимедово число" . Более того, он сумел оценить точность этого приближения: . Для доказательства он построил для круга вписанный и описанный 96-угольники и вычислил длины их сторон. Он также доказал, что площадь круга равна (числу пи), умноженному на квадрат радиуса круга ( )[46][42].

Утверждение: "Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке", называемой теперь ортоцентром, часть историков приписывает Архимеду и называют его теоремой Архимеда. Ортоцентр впервые в греческой математике использован в "Книге лемм" Архимеда, хотя явного доказательства существования ортоцентра Архимед не привёл. Тем не менее до середины девятнадцатого века, ортоцентр нередко называли архимедовой точкой.

Архимеду также приписывают лемму Архимеда.

В работе " О шаре и цилиндре" Архимед постулирует, что любая величина при её добавлении к себе достаточное число раз превысит любую заданную величину. Это свойство - аксиома Архимеда, включаемая сейчас в аксиоматику вещественных чисел. Она утверждает следующее:

Если имеются две величины, и , и меньше , то, взяв слагаемым достаточное количество раз, можно превзойти :

В не дошедшем до нас "послании к Зевксиппу" Архимедом была предложена система именования больших чисел, для которых греческая система счисления была не приспособлена. Система Архимеда позволяла давать имена числам вплоть до числа .

Эту систему он использует в трактате Псаммит, где он опровергал мнение, что песчинок в мире больше, чем самое большое число, которое может быть названо. Архимед, предположив, что маковое зёрнышко может содержать не больше одной мириады песчинок, показал, что если под "миром" понимать сферу с центром в Земле и радиусом до Солнца, как было принято в геоцентрической модели того времени, то в мире не может поместиться более песчинок. Если же принять гелиоцентрическую модель его современника Аристарха, и считать "миром" сферу неподвижных звёзд (радиус которой, как предположил Архимед, превышает расстояние до Солнца, во столько же раз, во сколько расстояние до Солнца превышает радиус Земли), то число песчинок будет не более чем . Это гораздо меньше самого большого числа, которое можно назвать в системе Архимеда[50][51].

Альтернативную систему наименования больших чисел предложил Аполлоний Пергский в своей работе "Быстросчёт" ( др.-греч. ). Вероятно, в связи с полемикой Архимеда с Аполлонием (или Эратосфеном) появилась " Задача о быках ", в решении которой встречаются большие числа.

"Если величины будут несоизмеримы, то они точно так же уравновесятся на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам"

Видеоурок: полиспаст. Описание технологии с помощью которой, по мнению современников, Архимед смог одной рукой перетянуть гружёный корабль

В течение многих веков основой механики была изложенная в труде Архимеда " О равновесии плоских фигур " теория рычага. В основе этой теории лежат следующие постулаты:

1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине;

2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено;

3. Точно так же если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.

На основании этих постулатов Архимед сформулировал закон рычага следующим образом: " Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые будут обратно пропорциональны тяжестям. Если величины будут несоизмеримы, то они точно так же уравновесятся на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам ".

В том же труде Архимедом дано определение центра тяжести тела как " некоторая расположенная внутри его [тела] точка - такая, что если за неё мысленно подвесить тело, то оно остаётся в покое и сохраняет первоначальное положение". Также им были описаны принципы расчёта центра тяжести треугольника, параллелограмма, трапеции, сегмента параболы, криволинейной трапеции, боковые стороны которой являются дугами парабол.

Изложенные Архимедом принципы работы рычагов и понятие центра тяжести практически в неизменном виде используются и на сегодняшний день.

Архимед прославился многими механическими конструкциями. Рычаг был известен и до него, но лишь Архимед изложил его полную теорию и успешно её применял на практике. Плутарх сообщает, что Архимед построил в порту Сиракуз немало блочно-рычажных механизмов для облегчения подъёма и транспортировки тяжёлых грузов. В легенде о том, как Архимед движением руки начал двигать корабль, современники видят работу не рычага, а полиспаста или многоступенчатого редуктора, которые сумел создать древнегреческий сиракузский учёный.

Подъём предметов с помощью Архимедова винта

Большая часть открытий Архимеда связана с потребностями его родного города Сиракузы. Древнегреческий писатель Афиней (II-III века н. э.) описал, как царь Гиерон II поручил учёному спроектировать громадный по античным меркам корабль " Сиракузия". Судно предполагали использовать во время увеселительных путешествий, а также для перевозки грузов и солдат. По современным оценкам роскошный корабль, отделанный драгоценными камнями и слоновой костью, имел длину около 100 метров и мог перевозить до 5 тысяч человек.

Согласно Афинею, на корабле были сад, гимнасий и даже посвящённый Афродите храм. Предполагалось, что такое судно будет давать течь. Разработанный Архимедом винт позволял выкачивать воду всего лишь одному человеку.

Это устройство представляло собой вращающийся внутри цилиндра винт с косым направлением витков резьбы, что представлено на анимационной картинке. Строение архимедова винта дошло до нас из трудов римского архитектора и механика I века до н. э. Витрувия. Несмотря на кажущуюся простоту, данное изобретение позволило решить поставленную перед учёным проблему. Его впоследствии стали применять в самых различных отраслях народного хозяйства и промышленности, в том числе и для перекачки жидкостей и сыпучих твёрдых веществ, таких как уголь и зерно. Первенство Архимеда в его открытии оспаривается. Возможно, архимедов винт представляет собой несколько модифицированную систему водяного насоса, который использовали при орошении построенных задолго до корабля "Сиракузия" висячих садов Семирамиды в Вавилоне.

Видеоурок: закон Архимеда

Родной город Архимеда Сиракузы был портовым. Вопросы плавучести тел в нём ежедневно решались на практике судостроителями и мореплавателями. Существует легенда о том, что закон Архимеда был открыт благодаря практической задаче о содержании примесей в золоте из которого изготовили корону Гиерона II. Однако задача, поставленная царём Сиракуз, требовала лишь знания объёмов короны и золота того же веса. Использование закона гидростатики, получившего название "закона Архимеда", при её решении не требовалось.

Сочинение " О плавающих телах" состоит из двух частей. В первой, вступительной, даётся описание основных положений, во второй рассматриваются вопросы равновесия плавающего в жидкости тела (на примере параболоида вращения).

Аксиома, из которой выводятся остальные умозаключения в сочинении Архимеда, звучала как " жидкость имеет такую природу, что из её частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными и что каждая из частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается чем-нибудь другим". Далее он формулирует утверждение " Поверхность всякой жидкости, установившейся неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром Земли". Таким образом античный учёный считал Землю шаром, а поверхность Мирового океана сферической.

Путём логических рассуждений, а также на основе их подтверждения в экспериментах, Архимед пришёл к выводам, что более лёгкое относительно воды тело погружается до тех пор, пока вес жидкости в объёме погрузившейся части не станет равным весу всего тела. Исходя из этого, он пишет утверждения, содержащие формулировки названного в его честь закона гидростатики: " Тела более лёгкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость насильственно, будут выталкиваться вверх с силой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая равный объём с телом, будет тяжелее этого тела" и " Тела более тяжёлые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до самого низа, и в жидкости станут легче на величину веса жидкости в объёме, равном объёму погружённого тела ".

В Большой российской энциклопедии закон Архимеда звучит следующим образом: " На всякое тело, погружённое в жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (газа) поддерживающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа), направленная вверх и проходящая через центр тяжести вытесненной жидкости ".

Кроме математики и механики Архимед уделял внимание и оптике. Он написал объёмный труд "Катоптрика", который до сегодняшнего дня не сохранился. В позднем пересказе из сочинения уцелела единственная теорема, в которой учёный доказывал, что при отражении луча угол отражения света равен углу его падения на зеркало.

Из отрывков трудов античных авторов можно сделать вывод о том, что Архимед хорошо знал зажигательные свойства вогнутых зеркал, проводил опыты по преломлению света, исследовал свойства изображений в вогнутых, плоских и выпуклых зеркалах.

С научными работами Архимеда по оптике связана легенда о поджоге римского флота во время осады Сиракуз.

Система мира Архимеда

До сегодняшнего дня дошли сведения о трёх астрономических работах учёного. В сочинении " Псаммит" Архимед задался вопросом о размере Вселенной. Ипполит Римский (170-230-е годы н. э.) в приписываемом ему трактате " Обличение всех ересей" приводит расстояния между планетами, взятые из какой-то из утерянных ныне работ Архимеда. Также сохранились четыре упоминания о своеобразном планетарии или "небесном глобусе", сконструированном Архимедом.

В "Псаммите" он экспериментальным путём нашёл угловой диаметр Солнца - от 27' до 32'55". Истинное значение показателя составляет 31'28"-32'37". То есть, как подчёркивают современные авторы, Архимеду удалось впервые определить данную величину.

Архимед построил планетарий или "небесную сферу", при движении которой можно было наблюдать движение пяти планет, восход Солнца и Луны, фазы и затмения Луны, исчезновение обоих тел за линией горизонта. Занимался проблемой определения расстояний до планет; предположительно в основе его вычислений лежала система мира с центром в Земле, но планетами Меркурием, Венерой и Марсом, обращающимися вокруг Солнца и вместе с ним - вокруг Земли. В своём сочинении "Псаммит" донёс информацию о гелиоцентрической системе мира Аристарха Самосского.

Сведения о некоем "небесном глобусе", который наглядно изображал систему мира с Землёй в центре, вокруг которой вращаются Солнце, Луна и планеты, содержатся в нескольких античных источниках. Цицерон, в пересказе, передаёт слова Гая Сульпиция Галла, который якобы видел в доме Марцелла устройство, сконструированное Архимедом, и привезённое завоевателем Сиракуз в качестве трофея. Одновременно он говорит о более известной "другой сфере Архимеда", которую Марцелл передал в храм Доблести. Это устройство упоминали Овидий, Лактанций и Клавдий Клавдиан.

Обращает на себя внимание, что Клавдиан описывает работу "небесного глобуса" через 6 веков после смерти Архимеда. Все из перечисленных авторов изумлены и восхищены данным устройством. " Если в мире это [движение планет] не может совершиться без бога, то и в сфере своей Архимед не мог бы воспроизвести это без божественного вдохновения ", - резюмирует описание архимедова шара Цицерон.

Архимед за свою жизнь написал множество научных трудов. В период античности не было создано "Корпуса работ Архимеда". Оставшиеся после него сочинения были частично утрачены в Средние века, некоторые дошли до наших дней благодаря арабским переводам. Изучение наследия сиракузского учёного продолжается и в XXI веке. Так, пергаментный кодекс " палимпсест Архимеда " был обнаружен лишь в XX веке и содержал неизвестные науке ранее труды. О существовании некоторых работ возможно судить исключительно из научных трудов античных и средневековых авторов, живших значительно позднее Архимеда.

Наиболее полное собрание сочинений сохранившихся на 1970-е годы работ Архимеда включает 19 трактатов. Их перечисление, в том числе и не вошедшего в собрание, приведено в том порядке, в котором они расположены в указанном источнике:

1. трактат из двух частей "О шаре и цилиндре" (др.-греч. περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ). В нём Архимед доказал, что площадь любой сферы радиуса r в четыре раза превышает площадь её наибольшего круга (в современных обозначениях S=4πr²); объём шара равен двум третям того цилиндра, в который он вписан, что с учётом объёма цилиндра приводит к получению формулы объёма шара πr³[42]. Там же приводится аксиома Архимеда[72];

2. "Измерение круга" (др.-греч. κύκλου μέτρησις ) в дошедшем до нас виде представляет сочинение из трёх теорем. Первая даёт описание определения площади круга как произведения полупериметра на радиус. Третья выводит отношение между длиной окружности и диаметром, известное как число . Вторая, которую следовало бы поместить после третьей, приводит классический метод вычисления площади круга[46][42];

3. "О коноидах и сфероидах" (др.-греч. περὶ κωνοειδέων καὶ σφαιροειδέων ) - первое произведение среди всей мировой математической литературы, в котором рассматриваются поверхности второго порядка. Основной задачей, решение которой Архимед приводит в сочинении, является определение объёмов сегментов параболоида, гиперболоида и эллипсоида вращения[44][42][45];

4. трактат "О спиралях" (др.-греч. περὶ ἑλίκων ) написан позже двухтомника "О шаре и цилиндре" и до сочинения "О коноидах и сфероидах". Тема трактата была предложена Архимеду Кононом. Сиракузский учёный описывает множество свойств спирали, которая представляет линию, соединяющую местоположения точки, движущейся с одинаковой скоростью вдоль прямой линии, которая сама вращается с постоянной скоростью вокруг фиксированной точки. Полученную кривую называют архимедовой спиралью[43][42];

5. трактат "О равновесии плоских фигур" (др.-греч. περὶ ἰσορροπιῶν ) состоит из двух книг, в которых выводится закон равновесия рычага; доказывается, что центр тяжести плоского треугольника находится в точке пересечения его медиан; находятся центры тяжести параллелограмма, трапеции и параболического сегмента. Большая часть книги по мнению современников не является подлинной и состоит из поздних дополнений[42];

6. "Псаммит" (др.-греч. ψαμμίτης , в дословном переводе "О счислении песчинок"). Он стал одним из последних сочинений Архимеда. Его суть изложена в подразделе "Астрономия" статьи;

7. в "Квадратуре параболы" (др.-греч. τετραγωνισμὸς παραβολῆς ) обосновывается, что площадь сегмента параболы равна вписанного в неё треугольника. Трактат является первым из нескольких посланий Досифею, написанным вскоре после смерти Конона (около 220 года до н. э.)[73][42];

8. произведение "О плавающих телах" (др.-греч. περὶ τῶν ὀχουμένων ) относится к числу поздних сочинений Архимеда, возможно, представляя собой последнее из них. В XIII веке некий Вильгельм из Мербека перевёл текст с греческого на латынь для Фомы Аквинского. Греческий оригинал не сохранился, в отличие от перевода, который хранится в Ватиканской библиотеке. Качество перевода было низким в связи с отсутствием у переводчика необходимых математических познаний. В 1905 году сочинение, точнее его ¾, обнаружили в Палимпсесте Архимеда. Недостающую часть в палимпсесте дополнили по переводу XIII века[74];

9. "Стомахион" (др.-греч. στομάχιον ) был обнаружен в начале XX века в палимпсесте и посвящён древнегреческой головоломке, состоящей в составлении квадрата из многоугольников, на которые он был вначале разрезан. Задача состоит в сборке квадрата из 14 его частей, среди которых 1 пятиугольник, 2 четырёхугольника и 11 треугольников[75];

10. трактат "Послание к Эратосфену о механическом методе" (др.-греч. πρὸς Ἐρατοσθένην ἔφοδος ), или "Эфод", также обнаружен в начале XX века. Он описывает процесс открытий в математике. Это единственное античное произведение, затрагивающее данную тему[42].

11. в трактате "Задача о быках" (др.-греч. πρόβλημα βοεικόν ) Архимед ставит задачу, приводимую к уравнению Пелля. Эта работа была обнаружена Готхольдом Эфраимом Лессингом в греческой рукописи, состоящей из стихотворения в 44 строки, в библиотеке герцога Августа в Вольфенбюттеле в Германии. Текст задачи был опубликован в издании "Beiträge zur Geschichte und Litteratur" в Брауншвейге в 1773 году. Авторство Архимеда у антиковедов не вызывает сомнений, так как и по стилю, и по характеру трактат соответствует математическим эпиграммам той эпохи. Задача о быках авторства Архимеда упоминается в одном из античных схолиев к диалогу Платона "Хармид, или О благоразумии". Она адресована Эратосфену и математикам Александрии. Архимед ставит им задачу подсчитать количество голов скота в стаде Гелиоса. Полное решение задачи было впервые опубликовано только в 1880 году[76][77];
Третий том указанного собрания сочинений включает сочинения Архимеда, сохранившиеся благодаря переводам арабских учёных, а именно[71]:

12. трактаты "О касающихся кругах" и

13. "О началах геометрии" сохранились в рукописи арабского математика Сабит ибн Курра (836-901), хранящейся в библиотеке города Патна в Индии. Их издали в 1940 году в Хайдарабаде[71];

14. "Книга лемм" сохранилась в виде арабской обработки и её латинского перевода. Историю книги можно представить так. Арабский математик Сабит ибн Курра перевёл ряд принадлежащих Архимеду текстов. Затем через столетие персидский математик из Багдада Абу Сахль аль-Кухи систематизировал перевод предшественника. Ещё через полвека третий учёный Ан-Насави написал комментарии, а затем четвёртый, чьё имя достоверно не известно, сократил получившийся текст. Латинский перевод арабского текста, отстоящего от Архимеда четырьмя переработками, был опубликован в 1659 году. В книге приведены сведения о проблеме трисекции угла, а также способ определения площади салинона[78];

15. "Книга о построении круга, разделённого на семь равных частей" состоит из трёх трактатов: "О свойствах прямоугольных треугольников", "О кругах" и "О построении правильного семиугольника". Они также сохранились до наших дней благодаря арабской рукописи[71];

16. "О касающихся кругах"[71];

17. "Нахождение высоты и площади треугольника по его сторонам" сохранился благодаря переводу средневекового персидского учёного Аль-Бируни[71];

18. "Трактат о построении около шара телесной фигуры с четырнадцатью основаниями"[79];

19. "Часы Архимеда"[71];

20. трактат "О параллельных линиях" в переработке Сабита ибн Курры "Книга о том, что две линии, проведённые под углами, меньшими двух прямых, встречаются", как указывают рецензенты, не приведён в указанном собрании сочинений. По их мнению, включение этого трактата в сборник наследия Архимеда оправдано так же, как и приведённые трактаты, дошедшие до наших дней исключительно в переводе и обработке средневековых арабских учёных[71].

Собрание сочинений Архимеда, изданное Й. Л. Гейбергом

В связи с масштабами и новаторством достижений Архимеда в математике, влияние его работ на развитие науки в Античности оказалось скромным. Современники Архимеда использовали лишь наиболее простые для понимания результаты его трудов, как то: формулы для вычисления окружности и площади круга, объёма шара с применением приближения Архимеда для числа π), равного ²²/ ₇.

Человечество дважды вновь "открывало" Архимеда, и дважды учёные делали попытки продвинуться в своих открытиях дальше. Первый раз это произошло на арабском Востоке. В Средние века часть трактатов Архимеда перевели на арабский язык. Достижения античного учёного оказали влияние на развитие математики исламского Средневековья, в частности на определение объёмов тел вращения, центров тяжести сложных геометрических конструкций. Несмотря на то, что Сабит ибн Курра, Ибн аль-Хайсам и учёные их школ овладели методом верхних и нижних сумм и даже вычислили несколько новых интегралов, далеко они не продвинулись. Их достижения лишь несколько дополнили открытия Архимеда.

Но наибольшее влияние работы Архимеда оказали на математиков Европы в XVI-XVII веках. Результаты его работ использовали в своих сочинениях такие всемирно известные математики и физики, как Иоганн Кеплер (1571-1630), Галилео Галилей (1564-1642), Рене Декарт (1596-1650), Пьер Ферма (1601-1665), Исаак Ньютон (1642-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) и др.

Первые печатные издания сборников уцелевших трудов Архимеда датированы XVI веком. Они представляют собой перепечатку манускрипта, который по имени владельца в XV столетии носит название "манускрипта Валла". В нём были записаны лишь 7 (в списке сочинений с первого по седьмой) произведений Архимеда. В 1544 году в Базеле опубликовали Editio Princeps, содержавшие архимедовы трактаты на древнегреческом. В 1558 году появились печатные латинские переводы Федерико Командино. Именно их использовали Иоганн Кеплер и Галилео Галилей. Рене Декарт и Пьер Ферма при написании своих работ брали сведения из другого перевода трактатов Архимеда на латынь 1615 года, выполненного Давидом Риво.

В 1675 году в Лондоне увидел свет латинский перевод трудов Архимеда, выполненный И. Барроу. Его особенностью стали вольные трактовки. Переводчик посчитал возможным, не придерживаясь оригинала, излагать положения трудов античного учёного своими словами, сокращать либо заменять своими приводимые доказательства.

В 1676 году Джон Валлис опубликовал подлинный греческий текст "Псаммита" и "Измерения круга" с комментариями Евдокия, новым латинским переводом и своими примечаниями. Этот английский математик так охарактеризовал важность и значение трудов Архимеда: " Муж поразительной проницательности, он заложил первоосновы почти всех открытий, развитием которых гордится наш век". Одновременно он предугадал, что у Архимеда был метод решений, который тот скрыл от потомков. С его точки зрения, значительно большую пользу для развития науки принесло бы описание метода решений, а не описание самих решений. В то время, когда Валлис "выговаривал" Архимеду, не был найден "Эфод", в котором сиракузский учёный писал: " Я счёл уместным в этой книге изложить мой метод... полезный и для доказательства теорем... Легче найти строгое доказательство после того, как при помощи этого метода приобретена ориентировка в вопросах... Теоремы, которые я сейчас публикую, я нашёл прежде при помощи этого метода, и я решил письменно изложить его... потому что, как я убеждён, я оказываю этим немаловажную услугу математике: многие из моих современников или последователей, ознакомившись с этим методом, будут в состоянии находить новые теоремы, до которых я ещё не додумался ". К сожалению, "Эфод" был обнаружен лишь в начале XX века, когда изложенные в нём сведения для развития математической науки стали неактуальными, а представляли лишь исторический интерес.

На русский язык сочинения Архимеда впервые перевели в 1823 году.

Профиль Архимеда на медали Филдсовской премии

В математике и физике

С именем Архимеда связаны многие математические понятия, некоторые из них устарели, другие используются по сегодняшний день.

Например, существуют архимедовы граф, число, копула, аксиома, спираль, тело, закон и другие.

Лейбниц писал: "Внимательно читая сочинения Архимеда, перестаёшь удивляться всем новым открытиям геометров".

В 1959 г. X Комсомольская конференция физфака МГУ провозгласила: "Учредить праздник День физика. Считать Днём физика день рождения Архимеда. Постановить, что Архимед родился 7 мая 287 г. до н. э."[источник не указан 52 дня ]

Открытый в 2004 году музей математики во Флоренции получил название " Сад Архимеда" ( итал. Il Giardino Di Archimede).

В технике

Почтовая марка России с первым русским винтовым фрегатом "Архимед"

Именем Архимеда назвали один из первых винтовых пароходов " Архимед", заложенный в 1838 году и спущенный в 1839 году в Великобритании. Также в 1848 году на воду спустили первый русский винтовой пароход " Архимед". Его судьба оказалась печальной. Осенью 1850 года он разбился у датского острова Борнхольм. Кроме ряда объектов, а также компьютерных программ, названных в честь Архимеда, в профессиональной среде инженеров обсуждается идея "Клятвы Архимеда". Предполагается, что её следует приносить молодым инженерам по окончании учебного заведения и перед получением диплома.

В художественной литературе

Один из рассказов сборника " Книга апокрифов" классика чешской литературы Карела Чапека носит название "Смерть Архимеда". Автор утверждает, что дело обстояло совершенно не так, как утверждалось ранее. Согласно повествованию Чапека, в дом к Архимеду приходит центурион Люций. Между ним и Архимедом происходит диалог, в ходе которого римлянин пытается убедить учёного перейти на сторону Рима. Во время разговора с Люцием Архимед произносит "Осторожно, не сотри моих кругов". Рассказ заканчивается: " Несколько позже было официально объявлено, что известный учёный Архимед погиб в результате несчастного случая". В апокрифе речь идёт не о свободе учёного от политики, а о несовместимости культуры и агрессивного милитаризма. Сюжет рассказа был навеян предвоенной обстановкой в Чехословакии в 1938 году, а также нападками коллаборационистов на самого писателя за его нежелание идти на сотрудничество с нацистами.

В честь Архимеда названы:

На русском языке

Архимедовы теоремы, Андреем Таккветом, езуитом, выбранные и Георгием Петром Домкиио сокрашенные... / Пер. с лат. И. Сатарова. СПб., 1745. С. 287-457.

Архимеда Две книги о шаре и цилиндре, измерение круга и леммы. / Пер. Ф. Петрушевского. СПб., 1823. 240 стр.

Архимеда Псаммит, или Изчисление песку в пространстве равном шару неподвижных звёзд. / Пер. Ф. Петрушевского. СПб., 1824. 95 стр.

Новое сочинение Архимеда. Послание Архимеда к Эратосфену о некоторых теоремах механики. / Пер. с нем. Одесса, 1909. XVI, 28 стр.

О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). / Пер. с нем. под ред. С. Н. Бернштейна. (Серия "Библиотека классиков точного знания", 3). Одесса, 1911. 156 стр.
3-е изд. (Серия "Классики естествознания"). М.-Л.: ОНТИ. 1936. 235 стр. 5000 экз.

Архимед. Исчисление песчинок (Псаммит). / Пер. и прим. Г. Н. Попова. (Серия "Классики естествознания"). М.-Л., Гос. техн.-теор. изд. 1932. 102 стр.

Архимед. Сочинения / Перевод, вступительная статья и комментарии И. Н. Веселовского. Перевод арабских текстов Б. А. Розенфельда. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. - 640 с. - 4000 экз.

На французском языке

Издание в серии "Collection Budé": Archiméde. Oeuvres.

T. I: De la sphère et du cylindre. - La Mesure du cercle. - Sur les conoïdes et les sphéroïdes. Texte établi et traduit par Ch. Mugler. 2e tirage 2003. XXX, 488 p.

T. II: Des spirales. - De l'équilibre des figures planes. - L'Arénaire. - La Quadrature de la parabole. Texte établi et traduit par Ch. Mugler. 2e tirage 2002. 371 p.

T. III: Des corps flottants. - Stomachion. - La Méthode. - Le livre des lemmes. - Le Problème des boeufs. Texte établi et traduit par Ch. Mugler. 2e tirage 2002. 324 p.

T. IV: Commentaires d'Eutocius. - Fragments. Texte établi et traduit par Ch. Mugler. 2e tirage 2002. 417 p.

Комментарии

Пир мудрецов. Книги I-VIII / Пер. Н. Т. Голинкевича. Комм. М. Г. Витковской, А. А. Григорьевой, Е. С. Иванюк, О. Л. Левинской, Б. М. Никольского, И. В. Рыбаковой. Отв. ред. М. Л. Гаспаров. - М.: Наука, 2003. - 656 с. - (Литературные памятники). - ISBN 5-02-011816-8.

Десять книг об архитектуре / Пер. с лат. Ф. А. Петровского. - М.: Изд-во Академии архитектуры, 1936.

Диодор Сицилийский. Историческая библиотека / Перевод, статья, комментарии и указатель О. П. Цыбенко. - М.: Лабиринт, 2000. - (Античное наследие).

Фасты. Книга VI // Элегии и малые поэмы / сост. и предисл. М. Гаспарова. Коммент. М. Гаспарова и С. Ошерова. - М.: Художественная литература, 1973. - 526 с. - (Библиотека античной литературы. Рим).

Плиний Старший. Естественная история // Вопросы истории естествознания и техники / Перевод с лат., комментарии и предисловие Б. А. Старостина. - М., 2007. - № 3. - С. 110-142.

Сравнительные жизнеописания в двух томах / Перевод С. П. Маркиша, обработка перевода для настоящего переиздания - С. С. Аверинцева, переработка комментария - М. Л. Гаспарова. - второе. - М.: Наука, 1994.

Полибий. Всеобщая история. - ОЛМА-ПРЕСС Инвест, 2004. - 576 с. - ISBN 5-94848-201-4.

Тит Ливий. История Рима от основания города / Пер. В. М. Смирина. Комм. Н. Е. Боданской. Ред. переводов М. Л. Гаспаров и Г. С. Кнабе. Ред. комментариев В. М. Смирин. Отв. ред. Е. С. Голубцова. - М.: Наука, 1989.

Марк Туллий Цицерон. Диалоги / Перевод с латинского и комментарии В. О. Горенштейна. Издание подготовили И. Н. Веселовский, В. О. Горенштейн и С. Л. Утченко. - М.: Научно-издательский центр "Ладомир" - "Наука", 1994.

Марк Туллий Цицерон. Тускуланские беседы // Избранные сочинения / Перевод с латинского и комментарии М. Л. Гаспарова. - М.: Художественная литература, 1975.

Литература

Башмакова И. Г., Розенфельд Б. А. [рец. на:] Archimēdous Apanta. Archaion keimenon; metaphrasis, scholia hypo Euangelou S. Stamatē, ekdosis Technikou epimelētēriou tēs Hellados, Athēnai, t. 1, m. 1-2, 1970, t. 2, 1973, t. 3, 1974. Архимед. Полное собрание сочинений. Древний текст; перевод и комментарии Эвангелоса С. Стаматиса, Афины, Изд-во "Технику эпимелитириу тис Элладос", т. 1, ч. 1, 2, 1970; т. 2, 1973; т. 3, 1974 // Вопросы истории естествознания и техники. - М., 1976. - Вып. 53 (4). - С. 77-78.

Берве Гельмут. Тираны Греции. - Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. - 640 с. - (Исторические силуэты). - ISBN 5-222-00368-X.

Бондаренко С. Б. Философские взгляды Архимеда (к 2300-летию со дня рождения) // Философия науки. - Институт философии и права СО РАН, 2013. - № 2. - С. 176-185.

Волков А. Р. Поэтика современного литературного апокрифа // Litteraria humanitas IV / Roman Jakobson. Mikulášek, Miroslav (editor). - Брно: 1. vyd. V Brně: Masarykova univerzita, 1996. - С. 399-407. - ISBN 8021014377.

Житомирский С. В. Архимед: Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1981. - 112 с. - 100 000 экз.

Архимед, краткий очерк о жизни и творчестве. - М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949. - 52 с. - 20 000 экз.

Кораблёв И. Ш. Глава четвёртая. На пути к закату (от Канн до падения Капуи) // Ганнибал. - М.: Наука, 1976. - 399 с.

Лансель, Серж. Осада Сиракуз: Архимед против Марцелла (214-212 годы) // Ганнибал. - М.: Молодая Гвардия, 2002. - (Жизнь замечательных людей). - ISBN 5-235-02483-4.

Лопатухина И. Е. и др. Очерки по истории механики и физики: Учебное пособие для студентов и аспирантов, обучающихся по направлениям: астрономия, математика, механика, прикладная математика, физика. - СПб.: ВВМ, 2016. - 204 с. - ISBN 978-5-9651-1046-9.

Родионов Е. А. Пунические войны. - СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2005. - (Res militaris). - ISBN 5-288-03650-0.

Серов В. Энциклопедический словарь крылатых слов и выражений. - М.: ООО Издательство "Локид-Пресс", 2005. - ISBN 5-320-00323-4.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Книга по Требованию, 2013. - Т. 1. - 608 с. - ISBN 978-5-458-52898-6.

Щетников А. И. Задача Архимеда о быках, алгоритм Евклида и уравнение Пелля // Математика в высшем образовании. - 2004. - № 2. - С. 27-40.

История математики. С древнейших времён до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. - М.: Наука, 1970. - Т. I. - С. 129.

Barrow-Green June, Grsy Jeremy, Wilson Robin. The History of Mathematics: A Source-based Approach (англ.). - Providence, Rhode Island: MAA Press, 2019. - Vol. 1. - ISBN 9781470443528.

Netz R., Noel W. The Archimedes Code. - Weidenfeld & Nicolson, 2007. - 313 p. - ISBN 0-306-81580-X.

Дополнительная литература

Бондаренко С. Б. Жизнь и смерть Архимеда Сиракузского // Вопросы культурологии. - М.: ИД ПАНОРАМА, 2014. - № 10. - С. 38-42.

Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. - М.: Наука, 1959. - 456 с.

Веселовский И. Н. Архимед. - М.: Учпедгиз, 1957. - 112 с. - 30 000 экз.

Житомирский С. В. Астрономические работы Архимеда // Историко-астрономические исследования / Отв. ред. Л. Е. Майстров. - 1977. - Вып. XIII. - С. 319-397.

Житомирский С. В. Античная астрономия и орфизм. - М.: Янус-К, 2001. - 164 с. - ISBN 5-8037-0072-X.

Кудрявцев П. С. // Курс истории физики. - 2 изд., испр. и доп.. - М.: Просвещение, 1982. - 448 с.

Щетников А. И. Архимед, корабль Гиерона и "золотое правило механики // Сибирский физический журнал. - 1995. - № 4. - С. 74-76.

Aaboe A., Berggern J. L. Didactical and Other Remarks on Some Theorems of Archimedes and Infinitesimals // Centaurus. - 1996. - Vol. 38. - P. 295-316. - ISSN 0008-8994. - doi:10.1111/j.1600-0498.1996.tb00018.x.

J. L. Berggren. A lacuna in book I of archimedes' sphere and cylinder // Historia Mathematica. - Elsevier, 1977. - Vol. 4. - P. 1-6. - doi:10.1016/0315-0860(77)90028-3.

J. L. Berggren. Spurious Theorems in Archimedes' Equilibrium of Planes: Book I // Archive for History of Exact Sciences. - Springer, 1976. - Vol. 16, № 2. - P. 87-103.

Christianidis Jean, Dialetis Dimitris, Gavroglu Kostas. Having a Knack for the Non-Intuitive: Aristarchus's Heliocentrism through Archimedes's Geocentrism // History of Science. - 2002. - 1 июня (vol. 40, № 128). - P. 147-168. - doi:10.1177/007327530204000202.

Dijksterhuis E. J. Archimedes (англ.). - Copenhagen: E. Munksgaard, 1956.

Drachmann A. G. Fragments from Archimedes in Heron's Mechanics (англ.) // Centaurus. - 1963. - March (vol. 8). - P. 91-146. - doi:10.1111/j.1600-0498.1963.tb00551.x.

Netz Reviel, Saito Ken, Tchernetska Natalie. A New Reading of Method Proposition 14: Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest (Part 1) // Sciamus. - 2001. - Vol. 2. - P. 9-29.

Netz Reviel, Saito Ken, Tchernetska Natalie. A New Reading of Method Proposition 14: Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest (Part 2) // Sciamus. - 2001. - Vol. 3. - P. 109-125.

# data[].attributes.attachment_link.title
Архимед - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Архиме́д ( др.-греч. ; 287-212 годы до н. э.) - древнегреческий учёный и инженер. Родился и бо́льшую часть жизни прожил в городе Сиракузы на Сицилии. Сделал множество открытий в области геометрии, предвосхитил многие идеи математического анализа. Заложил основы механики, гидростатики, был автором ряда важных изобретений. С именем Архимеда связаны многие математические понятия.

# data[].attributes.body
Александр Дмитриевич Брюно

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Фонд Викимедиа

# data[].attributes.attachment_link.title
Брюно, Александр Дмитриевич — Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 22 марта 2021 года; проверки требуют 9 правок.

# data[].attributes.location_name
Устюжна, Вологодская область

# data[].attributes.headline
Устюжна, Вологодская область

# data[].attributes.subject
Устюжна, Вологодская область

# data[].attributes.body
Михаил Софронов

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Михаил Софронов (1729-1760) - математик, один из первых действительных членов Петербургской Академии наук из числа отечественных учёных.

В 1748 году В. К. Тредиаковский отобрал из Новгородской духовной семинарии для обучения в столице 6 семинаристов, из которых самыми способными оказались двое - Михаил Софронов и Филипп Яремский (кроме них упоминаются: "Иван Елисеев (Братковский) и Иосиф Полидорский, дети новгородских церковников Назар Герасимов и Игнатий Терентьев". Терентьев и Герасимов стали преподавателями Академической гимназии; И. Е. Братковский, И. Д. Полидорский служили в Географическом департаменте). Михаил Софронов осенью 1750 года был отмечен в Академическом университете как лучший студент и награждён за усердие. За два года сын дьячка из деревни Устюжна Новгородской губернии стал "звездой" университета. Ещё в конце 1749 года его назначили преподавателем арифметики в Академической гимназии.

Уже в декабре 1751 года специальным распоряжением по Академии наук Михаил Софронов был допущен к преподаванию математики студентам второго курса Академического университета. В декабре того же года он написал свой первый научный труд, "Метод определения давления воды на дугу окружности", получивший высокую оценку членов Петербургской Академии. Весьма высоко отозвался о работе почётный член Петербургской Академии наук, известный математик и физик Леонард Эйлер. Некоторое время после смерти Рихмана Михаил Софронов фактически заведовал Физическим кабинетом Академии наук. Вскоре Софронов уехал в Берлин, к Эйлеру, и пробыл там с июля 1754 по май 1755 года. К моменту возвращению в Россию Михаил Софронов был уже известен как крупный математик, диссертация которого, "О спрямлении дуг эллипса", заслужила высокую оценку его учителя и принесла автору должность адъюнкта Академии по математике. Однако бюрократическая обстановка, царившая в академии, засилие ученых-иностранцев, заботившихся не столько о развитии русской науки, сколько о личном обогащении, отсутствие материальных средств отрицательно повлияли на судьбу Михаила Софронова. Сначала его не сочли возможным использовать по специальности, а затем исключили из адъюнктов Академии наук. Талантливый математик трагически погиб в тридцатилетнем возрасте: 10 февраля 1760 года он замёрз на дороге вблизи проезжего дома на Выборгской стороне.

В этой статье о человеке из России или бывшего СССР не указано отчество.

Вы можете помочь проекту, добавив отчество в текст статьи и, при необходимости, переименовав её.

# data[].attributes.attachment_link.title
Софронов, Михаил - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Михаил Софронов (1729-1760) - математик, один из первых действительных членов Петербургской Академии наук из числа отечественных учёных. В 1748 году В. К. Тредиаковский отобрал из Новгородской духовной семинарии для обучения в столице 6 семинаристов, из которых самыми способными оказались двое - Михаил Софронов и Филипп Яремский (кроме них упоминаются: "Иван Елисеев (Братковский) и Иосиф Полидорский, дети новгородских церковников Назар Герасимов и Игнатий Терентьев".

# data[].attributes.location_name
Кондрово, Калужская область

# data[].attributes.headline
Кондрово, Калужская область

# data[].attributes.subject
Кондрово, Калужская область

# data[].attributes.body
Александр Яковлевич Хинчин

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Родился 7 ( 19 июля) 1894 года в селе Кондрово (ныне Калужская область), в семье инженера-технолога Якова Гершеновича Хинчина (1858-1941), впоследствии управляющего Кондровскими бумажными фабриками, затем - профессора и заведующего отделом НИИ древесины и Института народного хозяйства.

В отроческие годы увлекался поэзией. В 1908-1914 годах в Калуге были изданы его 4 небольших сборника. Знакомил со своими произведениями А. А. Блока, известно письмо Блока Хинчину с одобрением его творчества.

На выбор жизненного пути Хинчиным, по его собственному признанию, решающее влияние оказало знакомство с учебником математического анализа, который он изучил самостоятельно.

Учился с 1911 года на физико-математическом факультете Московского университета, где стал одним из первых учеников Н. Н. Лузина. Окончил университет в 1916 году. Преподавательская деятельность А. Я. Хинчина началась в 1918 году в Иваново-Вознесенске, куда он переехал с группой московских математиков во главе с Н. Н. Лузиным. Вскоре он стал первым деканом физико-математического факультета Иваново-Вознесенского педагогического института. В 1922 году вернулся в Москву, в созданный при Московском университете НИИ математики и механики.

В 1926 году он был приглашён заведовать кафедрой математического анализа Второго Московского государственного университета, а в 1927 году Хинчин был утверждён профессором МГУ. Степень доктора физико-математических наук была присуждена А. Я. Хинчину без защиты диссертации в 1935 году.

Член-корреспондент АН СССР ( 1939). Действительный член Академии педагогических наук РСФСР, один из её основателей ( 1943), автор трудов по методике преподавания математики.

В 1943-1957 годах А. Я. Хинчин заведовал кафедрой математического анализа мехмата МГУ.

Ранние работы Хинчина относились к математическому анализу и теории функций вещественного переменного. В 1916 году он одновременно с А. Данжуа создал теорию аппроксимативных производных и обобщил понятие интеграла Данжуа (в узком смысле), придя к более общей конструкции интеграла Данжуа - Хинчина [en] , которая позволяет восстанавливать первообразную функции по её аппроксимативной производной[11]. В 1923 году установил неравенство Хинчина [en] , дающее оценку сверху для -нормы суммы независимых функций[12].

Позднее А. Я. Хинчин применил методы метрической теории функций к задачам теории вероятностей и теории чисел. Им получены важные результаты в области предельных теорем, открыт закон повторного логарифма. Одним из значительных результатов, принесших Хинчину мировую славу выдающегося математика, является формула Леви - Хинчина для характеристической функции процесса в теории стохастических процессов Леви.

А. Я. Хинчин совместно с А. Н. Колмогоровым положил начало общей теории случайных процессов, где, в частности, дал определение стационарного случайного процесса. Начиная с 1930 года занимался созданием теории массового обслуживания (в ней ему - наряду с другими результатами - принадлежит обоснование формулы Поллачека - Хинчина).

В теории чисел А. Я. Хинчину принадлежат работы по метрической теории чисел и теории диофантовых приближений. Хорошо известны фундаментальные результаты Хинчина, относящиеся к проблеме приближения действительных чисел рациональными числами.

А. Я. Хинчин - один из самых блестящих представителей Московской математической школы. Им получены основополагающие результаты в теории функций действительного переменного, теории чисел, теории вероятностей, статистической физике. Научное наследие Хинчина включает, в частности, 4 монографии по теории вероятностей, 3 - по статистической физике, 2 - по теории чисел.

Хинчин А. Я. Цепные дроби. - совр. изд. 2004.

Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел. - 1947.

Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. - 1948.

Хинчин А. Я. Асимптотические законы теории вероятностей. - 1936.

Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания / под редакцией Б. В. Гнеденко. - М.: Физматгиз, 1963. - 236 с.

Хинчин А. Я. Педагогические статьи: Вопросы преподавания математики. 2-е изд. - М.: КомКнига, 2006. - 208 с. - ISBN 5-484-00531-0.

# data[].attributes.attachment_link.title
Хинчин, Александр Яковлевич - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Родился 7 ( 19 июля) 1894 года в селе Кондрово (ныне Калужская область), в семье инженера-технолога Якова Гершеновича Хинчина (1858-1941), впоследствии управляющего Кондровскими бумажными фабриками, затем - профессора и заведующего отделом НИИ древесины и Института народного хозяйства. В отроческие годы увлекался поэзией. В 1908-1914 годах в Калуге были изданы его 4 небольших сборника.

# data[].attributes.location_name
Санкт-Петербург

# data[].attributes.headline
Санкт-Петербург

# data[].attributes.subject
Санкт-Петербург

# data[].attributes.body
Василий Висковатов

# data[].attributes.attachment_link.title
Висковатов, Василий Иванович - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Василий Иванович Висковатов (26 декабря 1779 ( 6 января 1780), Санкт-Петербург - 8 ( 20) октября 1812, Санкт-Петербург) - русский математик. Известный специалист в области математического анализа и вариационного исчисления, один из активных последователей С. Г. Гурьева в пропаганде новых передовых научных идей.

# data[].attributes.location_name
Брауншвейг, Германия

# data[].attributes.headline
Брауншвейг, Германия

# data[].attributes.subject
Брауншвейг, Германия

# data[].attributes.body
Карл Фридрих Гаусс

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Фонд Викимедиа

# data[].attributes.attachment_link.title
Гаусс, Карл Фридрих — Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген) — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист[11]. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков»[12].

# data[].attributes.location_name
Париж, Франция

# data[].attributes.headline
Париж, Франция

# data[].attributes.subject
Париж, Франция

# data[].attributes.body
Жозеф Луи Лагранж

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Не следует путать с современником-генералом Жозефом Лагранжем.

Жозе́ф Луи́ Лагра́нж ( фр. Joseph Louis Lagrange, итал. Giuseppe Lodovico Lagrangia; 25 января 1736, Турин - 10 апреля 1813, Париж) - французский математик, астроном и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером - крупнейший математик XVIII века. Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала.

Автор классического трактата " Аналитическая механика", в котором установил фундаментальный " принцип возможных перемещений" и завершил математизацию механики. Внёс огромный вклад в математический анализ, теорию чисел, в теорию вероятностей и численные методы, создал вариационное исчисление.

Член Прусской академии наук (1766-1787; иностранный член в период 1756-1766 и с 1787 года), Парижской академии наук (с 1787 года, в период 1772-1787 - иностранный член), Петербургской академии наук (1776, иностранный почётный член), Лондонского королевского общества (1791).

Отец Лагранжа - полуфранцуз, полуитальянец,- служил в итальянском городе Турине военным казначеем Сардинского королевства.

Лагранж родился 25 января 1736 в Турине, в богатой семье. Однако его отец, занявшись рискованными спекуляциями, потерял как своё личное состояние, так и состояние своей жены. Из-за материальных затруднений семьи он был вынужден рано начать самостоятельную жизнь. Сначала Лагранж заинтересовался филологией. Его отец хотел, чтобы сын стал адвокатом, и поэтому определил его в Туринский университет. Но в руки Лагранжа случайно попал трактат по математической оптике, и он стал увлечённо изучать математическую литературу.

В 1755 году Лагранж послал Эйлеру свою работу об изопериметрических свойствах, ставших впоследствии основой вариационного исчисления. В этой работе он решил ряд задач, которые сам Эйлер не смог одолеть. Эйлер включил похвалы Лагранжу в свою работу и (вместе с д'Аламбером) рекомендовал молодого учёного в иностранные члены Берлинской Академии наук (избран в октябре 1756 года).

В 1755 году Лагранж был назначен преподавателем математики в Королевской артиллерийской школе в Турине, где пользовался, несмотря на свою молодость, славой прекрасного преподавателя. Лагранж организовал там научное общество, из которого впоследствии выросла Туринская академия наук, издаёт труды по механике и вариационному исчислению (1759). Здесь же он впервые применяет анализ к теории вероятностей, развивает теорию колебаний и акустику.

1762: первое описание общего решения вариационной задачи. Оно не было ясно обосновано и встретило резкую критику. Эйлер в 1766 году дал строгое обоснование вариационным методам и в дальнейшем всячески поддерживал Лагранжа.

В 1764 году Французская академия наук объявила конкурс на лучшую работу по проблеме движения Луны. Лагранж представил работу, посвящённую либрации Луны (см. Точки Лагранжа), которая была удостоена первой премии. В 1766 году Лагранж получил вторую премию Парижской Академии за исследование, посвященное теории движения спутников Юпитера, а до 1778 года был удостоен ещё трёх премий.

В 1766 году по приглашению прусского короля Фридриха II Лагранж переехал в Берлин (тоже по рекомендации Д'Аламбера и Эйлера). Здесь он вначале руководил физико-математическим отделением Академии наук, а позже стал президентом Академии. В её "Мемуарах" опубликовал множество выдающихся работ. Женился (1767) на своей кузине по матери, Виттории Конти, но в 1783 году его жена умерла.

Берлинский период (1766-1787) был самым плодотворным в жизни Лагранжа. Здесь он выполнил важные работы по алгебре и теории чисел, в том числе строго доказал несколько утверждений Ферма и теорему Вильсона: для любого простого числа p выражение делится на p.

1771: Лагранж публикует мемуар "Размышления о решении числовых уравнений" ( Réflexions sur la résolution algébrique des équations) и затем ряд дополнений к нему. Позднее Абель и Галуа черпали вдохновение в этой блестящей работе. Впервые в математике появляется конечная группа подстановок. Лагранж высказал предположение, что не все уравнения выше 4-й степени разрешимы в радикалах. Строгое доказательство этого факта и конкретные примеры таких уравнений дал Абель в 1824-1826 годах, а общие условия разрешимости нашёл Галуа в 1830-1832 гг.

1772: избран иностранным членом Парижской академии наук.

В Берлине была подготовлена и " Аналитическая механика" ( "Mécanique analytique"), опубликованная в Париже в 1788 году и ставшая вершиной научной деятельности Лагранжа. Гамильтон назвал этот шедевр "научной поэмой". В основу всей статики положен т. н. принцип возможных перемещений, в основу динамики - сочетание этого принципа с принципом Д'Аламбера. Введены обобщённые координаты, разработан принцип наименьшего действия. Впервые со времён Архимеда монография по механике не содержит ни одного чертежа, чем Лагранж особенно гордился.

В 1787 году, после кончины Фридриха II, Лагранж по приглашению Людовика XVI переехал в Париж, где был принят с королевскими почестями и стал членом Парижской Академии наук (уже не иностранным членом).

Революция отнеслась к Лагранжу снисходительно. Ему пожаловали пенсию и оплачиваемое место в комиссии, занимавшейся разработкой метрической системы мер и весов и нового календаря. К большому своему облегчению, Лагранжу удаётся заблокировать революционный проект всеобщего перехода на двенадцатиричную систему.

1792: Лагранж вновь женился, на Рене-Франсуазе-Аделаиде Лемонье, дочери друга-астронома. Брак оказался удачным.

1795: открылась Нормальная школа, и Лагранж преподаёт там математику. В 1797 году, после создания Политехнической школы, вёл там преподавательскую деятельность, читал курс математического анализа.

В эти годы Лагранж публикует свою знаменитую интерполяционную формулу для приближения функции многочленом. Издаёт книгу "Теория аналитических функций", без актуальных бесконечно малых. Эта работа позже вдохновляла Коши при разработке строгого обоснования анализа. Там же Лагранж дал формулу остаточного члена ряда Тейлора, указал метод множителей Лагранжа для решения задач на условный экстремум.

1801: опубликованы "Лекции об исчислении функций".

Наполеон любил обсуждать с деликатным и ироничным Лагранжем философские вопросы. Он пожаловал Лагранжу титул графа, должность сенатора и орден Почётного легиона.

Умер Лагранж 10 апреля 1813 года, умер спокойно, как и жил, сказав друзьям: "Я сделал своё дело... Я никогда никого не ненавидел, и не делал никому зла". Похоронен в парижском Пантеоне.

Лагранж внёс существенный вклад во многие области математики, включая вариационное исчисление, теорию дифференциальных уравнений, решение задач на нахождение максимумов и минимумов, теорию чисел, алгебру и теорию вероятностей. Формула конечных приращений и несколько других теорем названы его именем. В двух своих важных трудах - "Теория аналитических функций" ("Théorie des fonctions analytiques", 1797) и "О решении численных уравнений" ("De la résolution des équations numériques", 1798) - подытожил всё, что было известно по этим вопросам в его время, а содержавшиеся в них новые идеи и методы были развиты в работах математиков XIX века.

Пьер-Симон Лаплас дал такую характеристику деятельности Лагранжа:

...среди тех, кто самым эффективным образом раздвинул пределы наших знаний, Ньютон и Лагранж в самой высокой степени владели счастливым искусством открывания новых данных, представляющих собой существо знаний...

Высоко оценивал Лагранжа, как учёного и как человека, Фурье:

Лагранж был столько же философ, сколько математик. Он доказал это своей жизнью, умеренностью желаний земных благ, глубокой преданностью общим интересам человечества, благородной простотой своих привычек, возвышенностью души и глубокой справедливостью в оценке трудов своих современников

По сообщению И. П. Эккермана, который был секретарём И. В. Гёте немецкий писатель выделял его человеческие качества: "- Он был добрый человек, - говорит он, - и уже потому был велик. Ибо добрый человек, одаренный талантом, всегда благотворно воздействует на остальное человечество, будь он художником, естествоиспытателем, поэтом или кем угодно".

Имя Лагранжа внесено в список 72 величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.

В его честь названы:

Жозеф Луи Лагранж, 1736-1936. Сб. статей к 200-летию со дня рождения. М. - Л.: Изд. АН СССР, 1937.

Лагранж Ж. Л. Аналитическая механика. М. - Л.: ГИТТЛ, 1950.

# data[].attributes.attachment_link.title
Лагранж, Жозеф Луи - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Не следует путать с современником-генералом Жозефом Лагранжем. Жозе́ф Луи́ Лагра́нж ( фр. Joseph Louis Lagrange, итал. Giuseppe Lodovico Lagrangia; 25 января 1736, Турин - 10 апреля 1813, Париж) - французский математик, астроном и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером - крупнейший математик XVIII века. Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала.

# data[].attributes.location_name
Базель, Швейцария

# data[].attributes.headline
Базель, Швейцария

# data[].attributes.subject
Базель, Швейцария

# data[].attributes.body
Леонард Эйлер

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Эйлер.

Леона́рд Э́йлер ( нем. Leonhard Euler; 15 апреля 1707, Базель, Швейцария - 7 () сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) - швейцарский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук). Наряду с Лагранжем - крупнейший математик XVIII века, считается одним из величайших математиков в истории. Эйлер - автор более чем 850 работ (включая два десятка фундаментальных монографий) по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям. Он глубоко изучал медицину, химию, ботанику, воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук. Первый российский член Американской академии искусств и наук.

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году приглашён работать в Санкт-Петербург, куда переехал годом позже. С 1726 по 1741 год, а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук (будучи сначала адъюнктом, а с 1731 года - профессором); в 1741-1766 годах работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии). Уже через год пребывания в России хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики ( С. К. Котельников) и астрономы ( С. Я. Румовский) были учениками Эйлера.

Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье базельского пастора Пауля Эйлера, друга семьи Бернулли, и Маргариты Эйлер, урождённой Брукер. Вскоре после рождения Леонарда семья переехала в селение Рихен (в часе ходьбы от Базеля), куда Пауль Эйлер был назначен пастором; там и прошли первые годы детства мальчика. Начальное обучение Леонард получил дома под руководством отца (тот в своё время учился математике у Якоба Бернулли). Пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой - как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления, и Леонард рано проявил математические способности.

20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Но любовь к математике направила Леонарда по иному пути. Посещая дом своего учителя, Эйлер познакомился и подружился с его сыновьями - Даниилом и Николаем, которые также, по семейной традиции, глубоко изучали математику. В 1723 году Эйлер получил (по существовавшему в Базельском университете обычаю) первую награду ( primam lauream). 8 июля 1724 года 17-летний Леонард Эйлер произнёс на латыни речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра искусств.

В начале зимы 1726-1727 годов Эйлер получил известие из Санкт-Петербурга: по рекомендации братьев Бернулли он приглашён на должность адъюнкта (помощника профессора) по кафедре физиологии (эту кафедру занимал Д. Бернулли) с годовым жалованьем 200 рублей (сохранилось письмо Эйлера президенту Академии Л. Л. Блюментросту от 9 ноября 1726 года с благодарностью за принятие в Академию). Поскольку Иоганн Бернулли был известным врачом, то в России считали, что Леонард Эйлер как его лучший ученик - тоже врач. Свой отъезд из Базеля Эйлер отложил, однако, до весны, посвятив оставшиеся месяцы серьёзному изучению медицинских наук, глубоким знанием которых он впоследствии поражал своих современников. Наконец, 5 апреля 1727 года Эйлер навсегда покинул Швейцарию, хотя швейцарское ( базельское) подданство сохранил до конца жизни.

22 января () 1724 года Пётр I утвердил проект устройства Петербургской академии. 28 января () 1724 года вышел указ Сената о создании Академии. Из 22 профессоров и адъюнктов, приглашённых в первые годы, оказалось 8 математиков, которые занимались также механикой, физикой, астрономией, картографией, теорией кораблестроения, службой мер и весов.

Эйлер (путь которого из Базеля лежал через Любек, Ревель и Кронштадт) прибыл в Санкт-Петербург 24 мая 1727 года; за несколько дней до этого умерла императрица Екатерина I, покровительница Академии, и учёные пребывали в унынии и растерянности. Эйлеру помогли освоиться на новом месте земляки-базельцы: академики Даниил Бернулли и Якоб Герман; последний, являвшийся профессором по кафедре высшей математики, доводился молодому учёному дальним родственником и оказывал ему всевозможное покровительство. Эйлера сделали адъюнктом высшей математики (а не физиологии, как первоначально планировалось), хотя он в Петербурге проводил исследования в области гидродинамики биологических жидкостей, выделили ему жалованье 300 рублей в год и предоставили казённую квартиру.

Эйлер стал бегло говорить по-русски уже через несколько месяцев после приезда в Петербург.

В 1728 году началась публикация первого русского научного журнала "Комментарии Петербургской Академии наук" (на латинском языке). Уже второй том содержал три статьи Эйлера, и в последующие годы практически каждый выпуск академического ежегодника включал несколько новых его работ. Всего в этом издании было опубликовано более 400 статей Эйлера.

В сентябре 1730 года закончился срок контрактов, заключённых с академиками Я. Германом (кафедра математики) и Г. Б. Бильфингером (кафедра экспериментальной и теоретической физики). На их вакансии были утверждены соответственно Даниил Бернулли и Леонард Эйлер; последний получил увеличение жалованья до 400 рублей, а 22 января 1731 года - и официальную должность профессора. Ещё через два года (1733) Даниил Бернулли вернулся в Швейцарию, и Эйлер, оставив кафедру физики, занял его место, став академиком и профессором высшей математики с окладом 600 рублей (впрочем, Даниил Бернулли получал вдвое больше).

27 декабря 1733 года 26-летний Леонард Эйлер женился на своей ровеснице Катарине ( нем. Katharina Gsell), дочери академического живописца Георга Гзеля (петербургского швейцарца). Молодожёны приобрели дом на набережной Невы, где и поселились. В семье Эйлера родились 13 детей, но выжили 3 сына и 2 дочери.

Работы у молодого профессора было много: картография, всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов, составление учебных руководств, проектирование пожарных насосов и т. д. От него даже требовали составления гороскопов, каковой заказ Эйлер со всем возможным тактом переадресовал штатному астроному. А. С. Пушкин приводит романтический рассказ: якобы Эйлер составил гороскоп для новорождённого Иоанна Антоновича (1740), но результат его настолько испугал, что он никому не стал его показывать и лишь после смерти несчастного царевича рассказал о нём графу К. Г. Разумовскому. Достоверность этого исторического анекдота крайне сомнительна.

За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научных работ. Значительная часть академических "Записок" заполнена трудами Эйлера. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств. В течение 1730-х годов Эйлер возглавлял работу по картографированию Российской империи, которая (уже после отъезда Эйлера, в 1745 году) завершилась изданием атласа территории страны. Как рассказывал Н. И. Фусс, в 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое математическое вычисление, причём группа академиков просила на это три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня - и справился самостоятельно; однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Впрочем, сам Эйлер в одном из своих писем приписывал потерю глаза своей работе по составлению карт в географическом департаменте при Академии.

Обстановка ухудшилась, когда в 1740 году умерла императрица Анна Иоанновна, и императором был объявлен малолетний Иоанн VI. "Предвиделось нечто опасное, - писал позднее Эйлер в автобиографии. - После кончины достославной императрицы Анны при последовавшем тогда регентстве... положение начало представляться неуверенным". В самом деле, в регентство Анны Леопольдовны Петербургская академия окончательно пришла в запустение. Эйлер стал обдумывать вариант возврата на родину или переезда в иную страну. В конце концов он принял предложение прусского короля Фридриха, который приглашал его на весьма выгодных условиях в Берлинскую академию, на должность директора её Математического департамента. Академия создавалась на базе прусского Королевского общества, основанного ещё Лейбницем, но в те годы находившегося в удручающем состоянии.

Эйлер подал руководству Петербургской академии прошение об отставке:

Того ради нахожусь принужден, как ради слабого здоровья, так и других обстоятельств, искать приятнейшего климата и принять от его Королевского Величества Прусского учиненное мне призывание. Того ради прошу Императорскую Академию наук всеподданнейше меня милостиво уволить и снабдить для моего и домашних моих проезду потребным пашпортом.

29 мая 1741 года разрешение Академии было получено. Эйлер был "отпущен" и утверждён почётным членом Академии с окладом 200 рублей. В июне 1741 года 34-летний Леонард Эйлер с женой, двумя сыновьями и четырьмя племянниками прибыл в Берлин. Он провёл там 25 лет и издал около 260 работ.

Работы у Эйлера было немало. Помимо математических исследований, он руководил обсерваторией, занимался многими практическими делами, включая выпуск календарей (основной источник дохода Академии), чеканку прусских монет, прокладку нового водопровода, организацию пенсионного обеспечения и лотерей.

В 1742 году вышло четырёхтомное собрание сочинений Иоганна Бернулли. Посылая его из Базеля Эйлеру в Берлин, старый учёный писал своему ученику: "Я посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости". В берлинский период, одна за другой, выходят работы Эйлера: "Введение в анализ бесконечно малых" (1748), "Морская наука" (1749), "Теория движения Луны" (1753), "Наставление по дифференциальному исчислению" ( лат. Institutiones calculi differentialis, 1755). Многочисленные статьи по отдельным вопросам печатаются в изданиях Берлинской и Петербургской Академий. В 1744 году Эйлер открыл вариационное исчисление. В его работах используются продуманная терминология и математическая символика, в значительной степени сохранившиеся до наших дней, изложение доводится до уровня практических алгоритмов.

Все сии диссертации не токмо хороши, но и весьма превосходны, ибо он [Ломоносов] пишет о материях физических и химических весьма нужных, которые поныне не знали и истолковать не могли самые остроумные люди, что он учинил с таким успехом, что я совершенно уверен в справедливости его изъяснений. При сём случае г. Ломоносову должен отдать справедливость, что имеет превосходное дарование для изъяснения физических и химических явлений. Желать должно, чтоб и другия Академии в состоянии были произвести такия откровения, как показал г. Ломоносов.

Этой высокой оценке не помешало даже то, что Ломоносов математических работ не писал и высшей математикой не владел. Тем не менее, в 1755 году, в результате бестактности Ломоносова, который опубликовал без разрешения Эйлера его частное письмо в свою поддержку, Эйлер прекратил с ним всякие отношения. Отношения восстановились в 1761 году благодаря тому, что Ломоносов содействовал возвращению Эйлера в Россию.

Эйлер сообщил в ответ свои условия:

оклад 3000 рублей в год и пост вице-президента Академии;

квартира, свободная от солдатского постоя;

оплачиваемые должности для троих его сыновей, в том числе пост секретаря Академии для старшего.

Письмо к Вам г. Эйлера доставило мне большое удовольствие, потому что я узнаю из него о желании его снова вступить в мою службу. Конечно, я нахожу его совершенно достойным желаемого звания вице-президента Академии наук, но для этого следует принять некоторые меры, прежде чем я установлю это звание - говорю установлю, так как доныне его не существовало. При настоящем положении дел там нет денег на жалование в 3000 рублей, но для человека с такими достоинствами, как г. Эйлер, я добавлю к академическому жалованию из государственных доходов, что вместе составит требуемые 3000 рублей... Я уверена, что моя Академия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранее поздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека.

Эйлер подал королю прошение об увольнении со службы, но никакого ответа не получил. Подал повторно - но Фридрих не желал даже обсуждать вопрос о его отъезде. Решающую поддержку Эйлеру оказали настойчивые ходатайства российского представительства от имени императрицы. 2 мая 1766 года Фридрих наконец-то разрешил великому учёному покинуть Пруссию, не удержавшись, впрочем, в своей переписке от злобных острот в адрес Эйлера (так, 25 июля он писал Д'Аламберу: "Господин Эйлер, до безумия любящий Большую и Малую Медведицу, приблизился к северу для большего удобства к наблюдению их"). Правда, служившего подполковником артиллерии ( нем. Oberstleutnant) Кристофа - младшего сына Эйлера - король наотрез отказался отпустить из армии; позднее, благодаря заступничеству Екатерины II, тот всё же смог присоединиться к отцу и дослужился в русской армии до генерал-лейтенанта. Летом 1766 года Эйлер вернулся в Россию - теперь уже навсегда.

17 () июля 1766 года 60-летний Эйлер, его семья и домочадцы (всего 18 человек) прибыли в российскую столицу. Сразу же по прибытии он был принят императрицей. Екатерина II встретила его как августейшую особу и осыпала милостями: пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове и на приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.

К несчастью, после возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта левого глаза - он перестал видеть. Вероятно, по этой причине обещанный пост вице-президента Академии он так и не получил (что не помешало Эйлеру и его потомкам в течение почти ста лет участвовать в управлении Академией). Однако слепота не отразилась на работоспособности учёного, он лишь заметил, что теперь будет меньше отвлекаться от занятий математикой. До обретения секретаря Эйлер диктовал свои труды мальчику-портному, который всё записывал по-немецки. Число опубликованных им работ даже возросло; в течение второго пребывания в России Эйлер продиктовал более 400 статей и 10 книг, что составляет больше половины его творческого наследия.

В 1768-1770 годах вышла в свет двухтомная классическая монография "Универсальная арифметика" (издавалась также под названиями "Начала алгебры" и "Полный курс алгебры"). Вначале этот труд был опубликован на русском языке (1768-1769), издание на немецком вышло два года спустя. Книга была переведена на многие языки и переиздавалась около 30 раз (трижды - на русском). Все последующие учебники алгебры создавались под сильнейшим влиянием книги Эйлера.

В эти же годы вышли трёхтомник "Диоптрика" ( лат. Dioptrica, 1769-1771) о линзовых системах и фундаментальное "Интегральное исчисление" ( лат. Institutiones calculi integralis, 1768-1770), тоже в 3 томах.

В 1771 году в жизни Эйлера произошли два серьёзных события. В мае в Петербурге случился большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спасли. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть "Новой теории движения луны", но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память. Эйлеру пришлось временно переселиться в другой дом. Второе событие: в сентябре того же года, по особому приглашению императрицы, в Санкт-Петербург прибыл для лечения Эйлера известный немецкий окулист барон Вентцель. После осмотра он согласился сделать Эйлеру операцию и удалил с левого глаза катаракту. Эйлер снова стал видеть. Врач предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать - лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Однако уже через несколько дней после операции Эйлер снял повязку и вскоре потерял зрение снова. На этот раз - окончательно.

1772: "Новая теория движения Луны". Эйлер наконец завершил свой многолетний труд, приближённо решив задачу трёх тел.

В 1773 году по рекомендации Даниила Бернулли в Петербург приехал из Базеля ученик Бернулли, Николаус Фусс. Это было большой удачей для Эйлера. Фусс, одарённый математик, сразу же после приезда взял на себя заботы о математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. В последующие десять лет - до самой своей смерти - Эйлер преимущественно ему диктовал свои труды, хотя иногда пользовался "глазами старшего сына" и других своих учеников. В этом же 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет. Смерть жены была болезненным ударом для учёного, искренне привязанного к семье. Вскоре Эйлер женился на Саломее-Абигайль, сводной сестре покойной жены.

"Он перестал вычислять и жить", - сказал Кондорсе на траурном заседании Парижской Академии наук ( фр. Il cessa de calculer et de vivre).

Его похоронили на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике на немецком языке гласила: "Здесь покоятся останки знаменитого во всём свете Леонарда Эйлера, мудреца и праведника. Родился в Базеле 4 апреля 1707 года, умер 7 сентября 1783 года". После смерти Эйлера его могила затерялась и была найдена, в заброшенном состоянии, только в 1830 году. В 1837 году Академия наук заменила эту надгробную плиту новым гранитным надгробием (существующим и поныне) с надписью на латинском языке "Леонарду Эйлеру - Петербургская Академия" ( лат. Leonhardo Eulero - Academia Petropolitana).

Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Познания Эйлера были энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику, медицину, химию, теорию музыки, множество европейских и древних языков.

Эйлер охотно участвовал в научных дискуссиях, из которых наибольшую известность получили:

Во всех упомянутых случаях позиция Эйлера поддержана современной наукой.

С точки зрения математики, XVIII век - это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрознены и не всегда согласованы, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, геометрию, тригонометрию, теорию чисел и другие дисциплины в единую систему, добавив при этом немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор "по Эйлеру" почти без изменений.

Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, фундаментальная " формула Эйлера" в теории комплексных чисел, операция сравнения по целому модулю, полная теория непрерывных дробей, аналитический фундамент механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, число e, обозначение i для мнимой единицы, ряд специальных функций и многое другое.

По существу, именно Эйлер создал несколько новых математических дисциплин - теорию чисел, вариационное исчисление, теорию комплексных функций, дифференциальную геометрию поверхностей; он заложил основы теории специальных функций. Другие области его трудов: диофантов анализ, математическая физика, статистика и т. д.

Историк науки Клиффорд Трусделл писал: "Эйлер был первым учёным в западной цивилизации, кто стал писать о математике ясным и лёгким для чтения языком". Биографы отмечают, что Эйлер был виртуозным алгоритмистом. Он неизменно старался довести свои открытия до уровня конкретных вычислительных методов и сам был непревзойдённым мастером численных расчётов. Ж. Кондорсе рассказывал, что однажды два студента, выполняя независимо сложные астрономические вычисления, получили немного различающиеся результаты в 50-м знаке и обратились к Эйлеру за помощью. Эйлер проделал те же вычисления в уме и указал правильный результат.

П. Л. Чебышёв писал: "Эйлером было положено начало всех изысканий, составляющих общую теорию чисел". Большинство математиков XVIII века занимались развитием анализа, но Эйлер пронёс увлечение древней арифметикой через всю свою жизнь. Благодаря его трудам интерес к теории чисел к концу века возродился.

Эйлер продолжил исследования Ферма, ранее высказавшего (под влиянием Диофанта) ряд разрозненных гипотез о натуральных числах. Эйлер строго доказал эти гипотезы, значительно обобщил их и объединил в содержательную теорию чисел[68]. Он ввёл в математику исключительно важную " функцию Эйлера" и сформулировал с её помощью " теорему Эйлера"[69]. Он опроверг гипотезу Ферма о том, что все числа вида - простые; оказалось, что делится на 641[70]. Доказал утверждение Ферма о представлении нечётного простого числа в виде суммы двух квадратов[68]. Дал одно из решений задачи о четырёх кубах. Доказал, что число Мерсенна - простое число; в течение почти ста лет (до 1867 года) оно оставалось наибольшим известным простым числом[71].

Эйлер создал основу теории сравнений и квадратичных вычетов, указав для последних критерий разрешимости. Эйлер ввёл понятие первообразного корня и выдвинул гипотезу, что для любого простого числа p существует первообразный корень по модулю p; доказать это он не сумел, позднее теорему доказали Лежандр и Гаусс. Большое значение в теории имела другая гипотеза Эйлера - квадратичный закон взаимности, также доказанный Гауссом[68]. Эйлер доказал Великую теорему Ферма для и , создал полную теорию непрерывных дробей, исследовал различные классы диофантовых уравнений, теорию разбиений чисел на слагаемые[72][73].

В задаче о количестве разбиений натурального числа получил формулу, выражающую производящую функцию числа разбиений через бесконечное произведение

.

Эйлер определил дзета-функцию, обобщение которой получило впоследствии имя Римана:

,

где вещественное число (у Римана - комплексное). Эйлер вывел для неё разложение:

,

где произведение берётся по всем простым числам . Тем самым он открыл, что в теории чисел возможно применение методов математического анализа, положив начало аналитической теории чисел[69], в основе которой лежат тождество Эйлера и общий метод производящих функций[74].

Одна из главных заслуг Эйлера перед наукой - монография "Введение в анализ бесконечно малых" (1748). В 1755 году вышло дополненное "Дифференциальное исчисление", а в 1768-1770 годах - три тома "Интегрального исчисления". В совокупности это фундаментальный, хорошо иллюстрированный примерами курс, с продуманной терминологией и символикой. "Можно с уверенностью сказать, что добрая половина того, что преподаётся теперь в курсах высшей алгебры и высшего анализа, находится в трудах Эйлера" ( Н. Н. Лузин). Эйлер первый дал систематическую теорию интегрирования и используемых при этом технических приёмов. В частности, он - автор классического способа интегрирования рациональных функций путём разложения их на простые дроби и метода решения дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами. Впервые ввёл двойные интегралы.

Эйлер всегда уделял особое внимание методам решения дифференциальных уравнений - как обыкновенных, так и в частных производных, открыв и описав важные классы интегрируемых дифференциальных уравнений. Изложил " метод ломаных" Эйлера (1768) - численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Одновременно с А. К. Клеро Эйлер вывел условия интегрируемости линейных дифференциальных форм от двух или трёх переменных (1739). Получил серьёзные результаты в теории эллиптических функций, в том числе первые теоремы сложения эллиптических интегралов (1761). Впервые исследовал максимумы и минимумы функций многих переменных.

Основание натуральных логарифмов было известно ещё со времён Непера и Якоба Бернулли, однако Эйлер выполнил настолько глубокое исследование этой важнейшей константы, что с тех пор она носит его имя. Другая исследованная им константа: постоянная Эйлера - Маскерони.

Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций - тоже его заслуга, так же как и их символика и обобщение на комплексный случай. Формулы, часто именуемые в учебниках " условия Коши - Римана", более правильно было бы назвать "условиями Д'Аламбера - Эйлера".

Он делит с Лагранжем честь открытия вариационного исчисления, выписав уравнения Эйлера - Лагранжа для общей вариационной задачи. В 1744 году Эйлер опубликовал трактат "Метод нахождения кривых линий..." - первую работу по вариационному исчислению (помимо прочего, она содержала первое систематическое изложение теории упругих кривых и результаты по сопротивлению материалов).

Эйлер значительно продвинул теорию рядов и распространил её на комплексную область, получив при этом знаменитую формулу Эйлера, дающую тригонометрическое представление комплексного числа. Большое впечатление на математический мир произвели ряды, впервые просуммированные Эйлером, в том числе не поддававшийся до него никому ряд обратных квадратов:

.

С помощью рядов Эйлер исследовал трансцендентные функции, то есть те функции, которые не выражаются алгебраическим уравнением (например, интегральный логарифм). Он открыл (1729-1730) имеющие сейчас многообразные приложения " эйлеровы интегралы" - специальные функции, вошедшие в науку как гамма-функция и бета-функция Эйлера. При решении задачи о колебаниях упругой мембраны (возникла в связи с определением высоты звука литавр) Эйлер в 1764 году впервые ввёл бесселевы функции для любого натурального индекса (исследование Ф. В. Бесселя, имя которого эти функции носят ныне, относится к 1824 году).

С более поздней точки зрения, действия Эйлера с бесконечными рядами не всегда могут считаться корректными (обоснование анализа было проведено лишь полвека спустя), но феноменальная математическая интуиция практически всегда подсказывала ему правильный результат. Вместе с тем во многих важных отношениях его понимание опередило время - например, предложенное им обобщённое понимание суммы расходящихся рядов и операций с ними послужило основой современной теории этих рядов, развитой в конце XIX - начале XX века.

Второй том "Введения в анализ бесконечно малых" ( 1748) - это первый в мире учебник по аналитической геометрии и основам дифференциальной геометрии. Эйлер дал классификацию алгебраических кривых 3-го и 4-го порядков, а также поверхностей второго порядка. Термин " аффинные преобразования" впервые введён в этой книге вместе с теорией таких преобразований. В 1732 году Эйлер вывел общее уравнение геодезических линий на поверхности.

В 1771 году Эйлер опубликовал сочинение "О телах, поверхность которых можно развернуть на плоскость". В этой работе введено понятие развёртывающейся поверхности, то есть поверхности, которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов. Эйлер, однако, даёт здесь вполне общую теорию метрики, от которой зависит вся внутренняя геометрия поверхности. Позже исследование метрики становится у него основным инструментом теории поверхностей.

Эйлер много внимания уделял представлению натуральных чисел в виде сумм специального вида и сформулировал ряд теорем для вычисления числа разбиений. При решении комбинаторных задач он глубоко изучил свойства сочетаний и перестановок, ввёл в рассмотрение числа Эйлера.

Эйлер исследовал алгоритмы построения магических квадратов методом обхода шахматным конём. Две его работы (1776, 1779) заложили фундамент общей теории латинских и греко-латинских квадратов, огромная практическая ценность которой выяснилась после создания Рональдом Фишером методов планирования эксперимента, а также в теории кодов, исправляющих ошибки.

Статья Эйлера 1736 года "Решение вопроса, связанного с геометрией положения" положила начало теории графов как математической дисциплине. Поводом для исследования послужила задача о семи мостах Кёнигсберга: можно ли пройти каждый мост по одному разу и вернуться в исходное место? Эйлер формализовал её, сведя к задаче о существовании в графе ( вершины которого отвечают частям города, разделённым протоками реки Преголя, а рёбра - мостам) циклического маршрута, проходящего по каждому ребру ровно один раз (в современной терминологии - эйлерова цикла). Решая последнюю задачу, Эйлер показал: для наличия эйлерова цикла в графе нужно, чтобы у каждой вершины её степень (число выходящих из вершины рёбер) была чётной (а в задаче о кёнигсбергских мостах это не так: степени равны 3, 3, 3 и 5).

Эйлер внёс существенный вклад в теорию и методы приближённых вычислений. Впервые применил аналитические методы в картографии. Предложил удобный метод графического изображения соотношений и операций над множествами, получивший название " Круги Эйлера" (или Эйлера- Венна).

В 1736 году вышел двухтомный трактат Эйлера "Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении", знаменовавший новый этап в развитии этой древней науки и посвящённый динамике материальной точки. В отличие от основоположников данного раздела динамики - Галилея и Ньютона, пользовавшихся геометрическими методами, 29-летний Эйлер предложил регулярный и единообразный аналитический метод решения различных задач динамики: составление дифференциальных уравнений движения материального объекта и их последующее интегрирование при заданных начальных условиях.

В первом томе трактата рассматривается движение свободной материальной точки, во втором - несвободной, причём исследуется движение как в пустоте, так и в сопротивляющейся среде. Отдельно рассматриваются задачи баллистики и теория маятника. Здесь Эйлер впервые записывает дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки, а для общего случая криволинейного её движения вводит естественные уравнения движения - уравнения в проекциях на оси сопровождающего трёхгранника. Во многих конкретных задачах он доводит интегрирование уравнений движения до конца; в случаях движения точки без сопротивления он систематически пользуется первым интегралом уравнений движения - интегралом энергии. Во втором томе, в связи с проблемой движения точки по произвольно искривлённой поверхности, излагается созданная Эйлером дифференциальная геометрия поверхностей.

К динамике материальной точки Эйлер возвращался и позднее. В 1746 году, исследуя движение материальной точки по подвижной поверхности, он приходит (одновременно с Д. Бернулли и П. Дарси) к теореме об изменении момента количества движения. В 1765 году Эйлер, использовав выдвинутую в 1742 году К. Маклореном идею о разложении скоростей и сил по трём неподвижным координатным осям, впервые записывает дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на декартовы неподвижные оси.

Последний результат был опубликован Эйлером в его втором фундаментальном трактате по аналитической динамике - книге "Теория движения твёрдых тел" (1765). Основное её содержание посвящено, однако, другому разделу механики - динамике твёрдого тела, основоположником которого и стал Эйлер. В трактате, в частности, содержится вывод системы из шести дифференциальных уравнений движения свободного твёрдого тела. Важное значение для статики имеет излагаемая в § 620 трактата теорема о приведении приложенной к твёрдому телу системы сил к двум силам. Проектируя на координатные оси условия равенства этих сил нулю, Эйлер впервые получает уравнения равновесия твёрдого тела под действием произвольной пространственной системы сил.

В трактате 1765 года изложен и ряд фундаментальных результатов Эйлера, относящихся к кинематике твёрдого тела (в XVIII веке кинематику ещё не выделяли в качестве отдельного раздела механики). Среди них выделим формулы Эйлера для распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела (векторный эквивалент этих формул - кинематическая формула Эйлера) и кинематические уравнения Эйлера, дающие выражение производных от углов Эйлера (введены им в 1748 году; в механике применяются для задания ориентации твёрдого тела) через проекции угловой скорости на оси координат.

Помимо данного трактата, для динамики твёрдого тела важное значение имеют две более ранние работы Эйлера: "Исследования о механическом познании тел" и "Вращательное движение твёрдых тел вокруг переменной оси", которые были представлены на рассмотрение Берлинской академии наук в 1758 году, но опубликованы в её "Записках" позже (в том же 1765 году, что и трактат). В них: разработана теория моментов инерции (в частности, впервые доказана " теорема Гюйгенса - Штейнера"); установлено существование у любого твёрдого тела с неподвижной точкой по крайней мере трёх осей свободного вращения; получены динамические уравнения Эйлера, описывающие динамику твёрдого тела с неподвижной точкой; приведено аналитическое решение данных уравнений в случае равенства нулю главного момента внешних сил ( случай Эйлера) - один из трёх общих случаев интегрируемости в задаче о динамике тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой.

Эйлеру принадлежит заслуга аналитического оформления принципа наименьшего действия (предложенного в 1744 году - в весьма нечёткой форме - П. Л. Мопертюи), правильного понимания условий применимости принципа и его первого доказательства (проведённого в том же 1744 году для случая одной материальной точки, движущейся под действием центральной силы). Под действием здесь (речь идёт о так называемом укороченном действии, а не о действии по Гамильтону) применительно к системе материальных точек понимается интеграл

где и - две конфигурации системы, и - соответственно масса, алгебраическая скорость и элемент дуги траектории -й точки, - число точек[122].

В результате в науку вошёл принцип Мопертюи - Эйлера - первый в ряду интегральных вариационных принципов механики; позднее данный принцип был обобщён Ж. Л. Лагранжем, и теперь его обычно трактуют как одну из форм ( форма Мопертюи - Эйлера, рассматриваемая наряду с формой Лагранжа и формой Якоби) принципа Мопертюи - Лагранжа. Несмотря на свой определяющий вклад, в возникшей вокруг принципа наименьшего действия дискуссии Эйлер решительно отстаивал приоритет Мопертюи и указывал на основополагающее значение этого принципа в механике. Данная идея привлекла внимание физиков, которые в XIX-XX веках выяснили фундаментальную роль вариационных принципов в природе и применили вариационный подход во многих разделах своей науки.

Ряд работ Эйлера посвящён вопросам механики машин. В мемуаре "О наивыгоднейшем применении простых и сложных машин" (1747) Эйлер предложил вести изучение машин не в состоянии покоя, а в состоянии движения. Этот новый, "динамический" подход Эйлер обосновал и развил в мемуаре "О машинах вообще" (1753); в нём он впервые в истории науки указал на три составные части машины, которые в XIX веке были определены как двигатель, передача и рабочий орган. В мемуаре "Принципы теории машин" (1763) Эйлер показал, что при расчёте динамических характеристик машин в случае их ускоренного движения нужно учитывать не только силы сопротивления и инерцию полезной нагрузки, но и инерцию всех составных частей машины, и даёт (применительно к гидравлическим двигателям) пример такого расчёта.

Эйлер занимался также и прикладными вопросами теории механизмов и машин: вопросами теории гидравлических машин и ветряных мельниц, исследованием трения частей машин, вопросами профилирования зубчатых колёс (здесь он обосновал и развил аналитическую теорию эвольвентного зацепления). В 1765 году он заложил основы теории трения гибких тросов и получил, в частности, формулу Эйлера для определения натяжения троса, используемую и сейчас при решении ряда практических задач (например, при расчёте механизмов с гибкими звеньями).

С именем Эйлера связано и последовательное введение в механику идеи континуума, в соответствии с которой материальное тело представляют, абстрагируясь от его молекулярного или атомного строения, в виде непрерывной сплошной среды. Модель сплошной среды была введена Эйлером в мемуаре "Открытие нового принципа механики" (доложен в 1750 году Берлинской академии наук и опубликован в её "Мемуарах" двумя годами позже).

В основу рассмотрения автор мемуара положил принцип материальных частиц Эйлера - положение, приводимое и сейчас во многих учебниках механики и физики (нередко без упоминания имени Эйлера): сплошное тело с любой степенью точности можно моделировать системой материальных точек, разбив его мысленно на достаточно малые частицы и трактуя каждую из них как материальную точку. Опираясь на этот принцип, можно те или иные динамические соотношения для сплошного тела получать, записав их аналоги для отдельных материальных частиц (по Эйлеру, "телец") и почленно просуммировав (заменяя при этом суммирование по всем точкам интегрированием по объёму области, занимаемой телом). Данный подход позволил Эйлеру обойтись без использования таких средств современного интегрального исчисления (типа интеграла Стилтьеса), которые ещё не были известны в XVIII веке.

Опираясь на указанный принцип, Эйлер получил - применяя к элементарному материальному объёму теорему об изменении количества движения - первый закон движения Эйлера (позже появился и второй закон движения Эйлера - результат применения теоремы об изменении момента количества движения). Законы движения Эйлера фактически представляли собой основные законы движения механики сплошных сред; для перехода к ныне используемым общим уравнениям движения таких сред не хватало лишь выражения поверхностных сил через тензор напряжений (это было сделано О. Коши в 1820-х гг.). Полученные результаты Эйлер применил при изучении конкретных моделей сплошных тел - и в динамике твёрдого тела (именно в упоминавшемся мемуаре впервые приводятся уравнения динамики тела с неподвижной точкой, отнесённые к произвольным декартовым осям), и в гидродинамике, и в теории упругости.

В теории упругости ряд исследований Эйлера посвящён теории изгиба балок и стержней; при этом уже в ранних работах (1740-е гг.) он занимается задачей о продольном изгибе упругого стержня, составляя и решая дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня. В 1757 году в работе "О нагрузке колонн" Эйлер впервые в истории получил формулу для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня, положив начало теории устойчивости упругих систем. Практическое применение данная формула нашла значительно позже - почти сто лет спустя, когда во многих странах (прежде всего, в Англии) развернулось строительство железных дорог, потребовавшее проведения расчётов на прочность железнодорожных мостов; именно в это время инженеры и приняли на вооружение - после некоторого уточнения - модель Эйлера.

Эйлер является - наряду с Д. Бернулли и Ж. Л. Лагранжем - одним из основоположников аналитической гидродинамики; здесь ему принадлежит заслуга создания теории движения идеальной жидкости (то есть жидкости, не обладающей вязкостью) и решения ряда конкретных задач гидромеханики[146]. В работе "Принципы движения жидкостей"[147] (1752; опубликована девятью годами позже) он, применяя свои уравнения динамики элементарного материального объёма сплошной среды к модели несжимаемой идеальной жидкости, впервые получил для такой жидкости уравнения движения, а также (для общего трёхмерного случая[148]) уравнение неразрывности. Изучая безвихревое движение несжимаемой жидкости, Эйлер ввёл функцию (позже названную Г. Гельмгольцем потенциалом скоростей) и показал, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных - так в науку вошло уравнение, ныне известное как уравнение Лапласа[149].

Результаты данной работы Эйлер существенно обобщил в трактате "Общие принципы движения жидкостей"[150] (1755). Здесь он - уже для случая сжимаемой идеальной жидкости - представил (практически в современных обозначениях) уравнение неразрывности и уравнения движения (три скалярных дифференциальных уравнения, которым в векторной записи соответствует уравнение Эйлера - основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости[151]). Эйлер отметил, что для замыкания данной системы из четырёх уравнений нужно определяющее соотношение, позволяющее выразить давление (его Эйлер называл "упругостью") как функцию плотности и "другого свойства , которое влияет на упругость" (фактически имелась в виду температура)[152][153]. Обсуждая возможность существования непотенциальных движений несжимаемой жидкости, Эйлер привёл первый конкретный пример вихревого её течения, а для потенциальных движений такой жидкости получил первый интеграл - частный случай известного ныне интеграла Лагранжа - Коши[154].

К тому же году относится и мемуар Эйлера "Общие принципы состояния равновесия жидкостей", в котором содержалось систематическое изложение гидростатики идеальной жидкости (включая вывод общего уравнения равновесия жидкостей и газов) и была выведена барометрическая формула для изотермической атмосферы.

В перечисленных работах Эйлер, записывая уравнения движения и равновесия жидкости, принимал за независимые пространственные переменные декартовы координаты текущего положения материальной частицы - переменные Эйлера (впервые такие переменные в гидродинамике использовал Д'Аламбер). Позднее, в работе "О принципах движения жидкостей. Раздел второй" (1770) Эйлер ввёл и вторую форму уравнений гидродинамики, в которой за независимые пространственные переменные принимались декартовы координаты положения материальной частицы в начальный момент времени (известные сейчас как переменные Лагранжа).

Основные достижения в этой области Эйлер собрал в трёхтомник "Диоптрика" ( лат. Dioptrica, 1769-1771). Среди главных результатов: правила расчёта оптимальных характеристик рефракторов, рефлекторов и микроскопов, вычисление наибольшей яркости изображения, наибольшего поля зрения, наименьшей длины инструмента, наибольшего увеличения, характеристик окуляра.

Ньютон утверждал, что создание ахроматической линзы принципиально невозможно. Эйлер возразил, что комбинация материалов с различными оптическими характеристиками может решить эту проблему. В 1758 году Эйлер после долгой полемики сумел убедить в этом английского оптика Джона Доллонда, который затем сделал первую ахроматическую линзу, соединив друг с другом две линзы, изготовленные из стёкол различного состава, а в 1784 году академик Ф. Эпинус в Петербурге построил первый в мире ахроматический микроскоп.

Эйлер заложил основы теории возмущений, позднее завершённой Лапласом и Пуанкаре. Ввёл фундаментальное понятие оскулирующих элементов орбиты и вывел дифференциальные уравнения, определяющие их изменение со временем. Построил теорию прецессии и нутации земной оси, предсказал "свободное движение полюсов" Земли, открытое сто лет спустя Чандлером.

В 1748-1751 годах Эйлер опубликовал полную теорию аберрации света и параллакса. В 1756 году он опубликовал дифференциальное уравнение астрономической рефракции, исследовал зависимость рефракции от давления и температуры воздуха в месте наблюдения. Эти результаты оказали огромное влияние на развитие астрономии в последующие годы.

Эйлер изложил очень точную теорию движения Луны, разработав для этого особый метод вариации орбитальных элементов. Впоследствии, в XIX веке, этот метод был расширен, применён в модели движения больших планет и используется до настоящего времени. Таблицы Майера, рассчитанные на основе теории Эйлера (1767), оказались также пригодными для решения насущной задачи определения долготы на море, и английское Адмиралтейство выплатило за неё Майеру и Эйлеру специальную премию. Основные труды Эйлера в этой области:

"Теория движения Луны", 1753;

"Теория движения планет и комет", 1774;

"Новая теория движения Луны", 1772.

Эйлер исследовал поле тяготения не только сферических, но и эллипсоидальных тел, что представляло собой существенный шаг вперёд. Он также впервые в науке указал на вековое смещение наклона плоскости эклиптики (1756), и по его предложению в качестве опорного был с тех пор принят наклон в начале 1700 года. Разработал основы теории движения спутников Юпитера и других сильно сжатых планет.

В 1748 году, задолго до работ П. Н. Лебедева, Эйлер выдвинул гипотезу, что хвосты комет, полярные сияния и зодиакальный свет имеют общим источником воздействие солнечного излучения на атмосферу или вещество небесных тел.

Всю жизнь Эйлер интересовался музыкальной гармонией, стремясь дать ей ясное математическое обоснование. Целью раннего его труда - "Опыт новой теории музыки" ( Tentamen novae theoriae musicae, 1739) - была попытка математически описать, чем приятная (благозвучная) музыка отличается от неприятной (неблагозвучной). В конце главы VII "Опыта" Эйлер расположил интервалы по "степеням приятности" ( gradus suavitatis), при этом октава была причислена ко II (наиболее приятному) классу, а диасхизма - к последнему, XXVII классу (самый неблагозвучный интервал); некоторые классы (в том числе первый, третий, шестой) в таблице приятности Эйлера были пропущены. По поводу этой работы ходила шутка, что в ней слишком много музыки для математиков и слишком много математики для музыкантов.

На склоне лет, в 1773 году Эйлер прочитал доклад в Санкт-Петербургской академии наук, в котором в окончательном виде сформулировал своё решетчатое представление звуковой системы; это представление было метафорически обозначено автором как "зерцало музыки" ( лат. speculum musicae). В следующем году доклад Эйлера был опубликован в виде небольшого трактата De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis ("Об истинных основаниях гармонии, представленных через speculum musicae"). Под названием "звуковой сети" ( нем. Tonnetz) эйлерова решётка получила широкое хождение в немецкой музыкальной теории XIX века.

В круг научных интересов Эйлера входила и физиология; в частности, он применял методы гидродинамики к исследованию принципов движения крови в сосудах. В 1742 году он послал в Дижонскую академию статью о течении жидкостей в эластичных трубках (рассматривавшихся как модели сосудов), а в декабре 1775 года представил Петербургской академии наук мемуар "Основы определения движения крови через артерии" ( Principia pro motu sanguines per arteria determinando). В этой работе анализировались физические и физиологические принципы движения крови, вызываемого периодическими сокращениями сердца. Трактуя кровь как несжимаемую жидкость, Эйлер нашёл решение составленных им уравнений движения для случая жёстких трубок, а в случае эластичных трубок ограничился лишь получением общих уравнений конечных движений.

Одной из главных задач, поставленных Эйлеру по прибытии в Россию, была подготовка научных кадров. Среди непосредственных учеников Эйлера:

В честь Эйлера названы:

Полное собрание сочинений Эйлера, издаваемое с 1909 года Швейцарским обществом естествоиспытателей, до сих пор не завершено; планировался выпуск 75 томов, из них вышло 73:

29 томов по математике;

31 том по механике и астрономии;

13 - по физике.

Восемь дополнительных томов будут посвящены научной переписке Эйлера (свыше 3000 писем).

В 1907 году российские и многие другие учёные отметили 200-летие великого математика, а в 1957 году советская и Берлинская академии наук посвятили торжественные сессии его 250-летию. В канун 300-летия Эйлера (2007) в Петербурге состоялся международный юбилейный форум и был снят кинофильм о жизни Эйлера. В том же году в Петербурге, у входа в Международный институт Эйлера, был открыт памятник Эйлеру работы скульптора А. Г. Дёмы. Власти Петербурга, однако, отвергли все предложения назвать в честь учёного площадь или улицу; в России до сих пор нет ни одной улицы Эйлера.

По отзывам современников, по характеру Эйлер был добродушен, незлобив, практически ни с кем не ссорился. К нему неизменно тепло относился даже Иоганн Бернулли, тяжёлый характер которого испытали на себе его брат Якоб и сын Даниил. Для полноты жизни Эйлеру требовалось только одно - возможность регулярного математического творчества. Он мог интенсивно работать даже "с ребёнком на коленях и с кошкой на спине". В то же время Эйлер был жизнерадостен, общителен, любил музыку, философские беседы.

Как отмечают современники, Эйлер был очень религиозен. По словам Кондорсе, каждый вечер Эйлер собирал своих детей, слуг и учеников, живших с ним, для молитвы. Он читал им главу из Библии и иногда сопровождал чтение проповедью. В 1747 году Эйлер издал трактат в защиту христианства против атеизма "Защита Божественного откровения от нападок свободомыслящих". Увлечение Эйлера теологическими рассуждениями стало причиной отрицательного отношения к нему (как философу) его знаменитых современников - Д'Аламбера и Лагранжа. Фридрих II, считавший себя "вольнодумцем" и переписывавшийся с Вольтером, говорил, что от Эйлера "попахивает попом".

Эйлер был заботливым семьянином, охотно помогал коллегам и молодёжи, щедро делился с ними своими идеями. Известен случай, когда Эйлер задержал свои публикации по вариационному исчислению, чтобы молодой и никому тогда не известный Лагранж, независимо пришедший к тем же открытиям, смог опубликовать их первым. Лагранж всегда с восхищением относился к Эйлеру и как к математику, и как к человеку; он говорил: "Если вы действительно любите математику, читайте Эйлера".

"Читайте, читайте Эйлера, он - наш общий учитель", - любил повторять и Лаплас ( фр. Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous.). Труды Эйлера с большой пользой для себя изучали и "король математиков" Карл Фридрих Гаусс, и практически все знаменитые учёные XVIII-XIX веков.

Д'Аламбер в одном из своих писем к Лагранжу называет Эйлера "этот дьявол" ( фр. се diable d'homme), как бы желая высказать этим, по мнению комментаторов, что сделанное Эйлером превышает человеческие силы.

М. В. Остроградский заявил в письме Н. Н. Фуссу: "Эйлер создал современный анализ, один обогатил его более, чем все его последователи, вместе взятые, и сделал его могущественнейшим орудием человеческого разума". Академик С. И. Вавилов писал: "Вместе с Петром I и Ломоносовым, Эйлер стал добрым гением нашей Академии, определившим её славу, её крепость, её продуктивность".

В 1743-1766 годах Эйлер жил в доме по адресу: Беренштрассе, 21/22. Дом сохранился, на нём установлена мемориальная доска.

Очень многие факты в геометрии, алгебре и комбинаторике, доказанные Эйлером, повсеместно используются в олимпиадной математике.

15 апреля 2007 года была проведена интернет-олимпиада для школьников по математике, посвящённая 300-летию со дня рождения Леонарда Эйлера, проходившая при поддержке ряда организаций. С 2008 года проводится математическая олимпиада имени Леонарда Эйлера для восьмиклассников, призванная отчасти заменить им утрату регионального и заключительного этапов Всероссийской математической олимпиады для 8-х классов.

По состоянию на конец 1980-х годов историки насчитали около 400 ныне живущих потомков, около половины из них проживали в СССР.

Приведём краткое генеалогическое древо некоторых из известных потомков Эйлера (фамилия приводится, если она не "Эйлер").

Среди других потомков Эйлера: Н. И. Геккер, В. Ф. Геккер и И. Р. Геккер, В. Е. Скалон, Э. Н. Берендтс. В числе потомков - множество учёных, геологов, инженеров, дипломатов, врачей, имеются также девять генералов и один адмирал.

Новая теория движения Луны. - Л.: Изд. АН СССР, 1934.

Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. - М.; Л.: Гостехиздат, 1934. - 600 с.

Основы динамики точки. - М.-Л.: ОНТИ, 1938.

Дифференциальное исчисление. - М.-Л.: Геодезиздат, 1949.

Интегральное исчисление. В 3 томах. - М.: Гостехиздат, 1956-1958.

Вариационные принципы механики. Сб. статей: Ферма, Гамильтон, Эйлер, Гаусс и др / Полак Л. (ред.). - М.: Физматлит, 1959. - 932 с.

Избранные картографические статьи. - М.-Л.: Геодезиздат, 1959.

Введение в анализ бесконечных. В 2 томах. - М.: Физматгиз, 1961.

Исследования по баллистике. - М.: Физматгиз, 1961.

Переписка. Аннотированный указатель. - Л.: Наука, 1967. - 391 с.

Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях. - СПб.: Наука, 2002. - 720 с. - ISBN 5-02-027900-5, 5-02-028521-8.

Опыт новой теории музыки (фрагменты трактата) // Музыкальная академия, 1995, № 1, с.140-146.

Опыт новой теории музыки, ясно изложенной в соответствии с непреложными принципами гармонии. - СПб.: Рос. акад. наук, С.-Петерб. науч. центр, изд-во Нестор-История, 2007. - ISBN 978-598187-202-0.

Руководство к арифметике для употребления гимназии Императорской Академии наук. - М.: Оникс, 2012. - 313 с. - ISBN 978-5-458-27255-1.

Использованная литература

Артемьева Т. В. . Леонард Эйлер как философ // Философия в Петербургской Академии наук XVIII века. - СПб., 1999. - 182 с.

Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Леонард Эйлер // Историко-математические исследования. - М.: ГИТТЛ, 1954. - № 7. - С. 453-512.

Бобылёв Д. К. Эйлер, Леонгард // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). - СПб., 1890-1907.

Гиндикин С. Г. . Рассказы о физиках и математиках. - 3-е изд., расш. - М.: МЦНМО, 2001. - 465 с. - ISBN 5-900916-83-9.

История механики в России / Под ред. А. Н. Боголюбова, И. З. Штокало. - Киев: Наукова думка, 1987. - 392 с.

Котек В. В. . Леонард Эйлер. - М.: Учпедгиз, 1961. - 106 с.

Колчинский И. Г., Корсунь А. А., Родригес М. Г. . Астрономы: Биографический справочник. 2-е изд. - Киев: Наукова думка, 1986. - 512 с.

Леонард Эйлер 1707-1783. Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти. - Изд-во АН СССР, 1935. - 240 с.

К 250-летию со дня рождения Л. Эйлера. - Сборник. - Изд-во АН СССР, 1958.

Летопись Российской Академии наук. - М.: Наука, 2000. - Т. 1: 1724-1802. - ISBN 5-02-024880-0.

Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. - М.: Наука, 1972. - Т. III.

Моисеев Н. Д. . Очерки развития механики. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1961. - 478 с.

Отрадных Ф. П. . Математика XVIII века и академик Леонард Эйлер. - М.: Советская наука, 1954. - 39 с.

Пекарский П. П. . История Императорской академии наук в Петербурге. Т. 1. - СПб., 1870. - LXVIII + 774 с. Архивная копия от 3 июля 2014 на Wayback Machine

Полякова Т. С. . Леонард Эйлер и математическое образование в России. - КомКнига, 2007. - 184 с. - ISBN 978-5-484-00775-2.

Прудников В. Е. . Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. - 1956.

Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. - М.: Наука, 1988. - 525 с. - ISBN 5-02-000002-7.

Рыбников К. А. . История математики в двух томах. - М.: Изд-во МГУ, 1960-1963.
Рыбников К. А. . История математики. 2-е изд. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. - 455 с.

История и методология механики. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. - 282 с.

Фрейман Л. С. . Творцы высшей математики. - М.: Наука, 1968. - С. 142-185. - 216 с.

Эйлер Леонард (Euler Leonard) // Физики : Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера. - Изд. 2-е, испр. и доп. - М. : Наука, 1983. - С. 307. - 400 с. - 200 000 экз. - ББК 22.3гя2. - УДК .

Эйлер, Леонард // Русский биографический словарь : в 25 томах. - СПб., 1912. - Т. 24: Щапов - Юшневский. - С. 189-193.

Труды Эйлера

# data[].attributes.attachment_link.title
Эйлер, Леонард

# data[].attributes.attachment_link.description
В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Эйлер. Леона́рд Э́йлер ( нем. Leonhard Euler; 15 апреля 1707, Базель, Швейцария - 7 () сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) - швейцарский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук).

# data[].attributes.location_name
Кранли, Cranleigh, Великобритания

# data[].attributes.headline
Кранли, Cranleigh, Великобритания

# data[].attributes.subject
Кранли, Cranleigh, Великобритания

# data[].attributes.body
Годфри Харолд Харди

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Го́дфри Ха́ролд Ха́рди ( англ. Godfrey Harold Hardy; 7 февраля 1877, Кранли, Великобритания - 1 декабря 1947, Кембридж, Великобритания) - английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе. В биологии он известен Законом Харди - Вайнберга, являющимся базовым принципом популяционной генетики. В дополнение к его исследованиям, его помнят за его эссе 1940 года об эстетике математики под названием " Апология математика". Харди также был наставником индийского математика Сринивасы Рамануджана.

Член Лондонского королевского общества (1910). Иностранный член-корреспондент (1924) и почётный член Академии наук СССР (1934), иностранный член Национальной академии наук США (1927), Французской академии наук (1947; корреспондент с 1945).

Родился в небольшом городке на юге Англии в семье учителей, оба родителя имели склонность к математике, хотя и преподавали другие предметы. Математические способности самого Харди начали проявляться ещё в раннем возрасте. Когда ему было всего два года, он писал числа до миллионов, а когда его брали в церковь, он развлекался, разлагая числа церковных гимнов.

В 1896 году он поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета. Всего после двух лет учёбы в 1898 году он занял четвёртое место на конкурсе выпускников.

В 1900 году Харди становится сотрудником факультета, а с 1906 года становится лектором с нагрузкой в 6 часов в неделю, что давало много свободного времени для собственных исследований. В 1919 году он занял пост профессора математики в Оксфордском университете. В 1931 году Харди вернулся в Кембридж, где пробыл на посту профессора до 1942 года.

Начиная с 1911 года Харди очень плодотворно сотрудничает с Джоном Литлвудом. Большинство работ Харди написано именно в соавторстве с Литлвудом. Ходила даже шутка, что в Англии живёт три великих математика - Харди, Литлвуд и Харди-Литлвуд, причем третий из них самый великий.

Одним из самых своих больших открытий сам Харди в интервью Палу Эрдёшу называл открытие молодого индийского математика Сринивасы Рамануджана, наставником которого он был с 1914 года, с которым впоследствии написал много работ. Харди почти сразу распознал необычайный, хотя и неисследованный блеск ума Рамануджана. Они стали близкими соратниками. Он назвал их сотрудничество "одним романтическим случаем в моей жизни".

Входил в группу Блумсбери; среди его друзей были Джордж Мур, Бертран Рассел и Джон Мейнард Кейнс. Он принимал участие в Союзе демократического контроля во время Первой мировой войны и Союзе за интеллектуальную свободу в конце 1930-х годов.

Харди предпочитал называть свою работу " чистой математикой", в отличие от математики, имевшей прикладное, особенное военное значение. В начале Второй мировой войны Харди, убеждённый пацифист, желал оправдать своё убеждение в том, что математика должна быть продолжена для неё же самой, а не ради её приложений. Он хотел написать книгу, в которой мог бы объяснить свою философию математикам следующего поколения; книгу, которая будет защищать математиков путём разработки по существу исключительно чистой математики, без необходимости прибегать к достижениям прикладной математики в целях оправдания общей значимости математики; книгу, способную вдохновить грядущие поколения чистых математиков. Харди был убеждённым атеистом, и его "оправдание" обращено не к Богу, а к соратникам и коллегам.

В своей книге " Апология математика " он говорит:

Я никогда не делал чего-нибудь "полезного". Ни одно моё открытие не принесло и не могло бы принести, явно или неявно, к добру или ко злу, ни малейшего изменения в благоустройстве этого мира.

Одной из главных тем книги является красота, которой обладает математика, которую Харди сравнивает с живописью, шахматами и поэзией. Для Харди самой красивой математикой является та, которая не имеет практического применения во внешнем мире ( чистая математика). В первую очередь это "математика для математики" - теория чисел. Харди утверждает, что если полезные знания определяются как знания, которые могут влиять на материальное благополучие человечества в ближайшем будущем (если не прямо сейчас), так, что чисто интеллектуальное удовлетворение несущественно, то большая часть высшей математики бесполезна. Он оправдывает стремление к чистой математике аргументом, что её совершенная "ненужность" в целом лишь означает, что она не может быть использована для причинения вреда. С другой стороны, Харди считает многое из прикладной математики "тривиальным", "уродливым" или "скучным", и сравнивает её с "настоящей математикой", которой является, по его мнению, чистая математика.

В теории чисел Харди занимался теорией простых чисел и теорией дзета-функции, а также проблемой Варинга. Вместе с Литлвудом они доказали несколько условных результатов, а также выдвинули две важные гипотезы о распределении простых чисел. Совместно с M. Райт нашёл два решения задачи о четырёх кубах (формулы Харди и Райт). Совместно с Рамануджаном им была получена асимптотика числа разбиений .

В теории функций занимался теорией тригонометрических рядов и исследованием неравенств. Ряд работ посвящён теории интегральных преобразований и теории интегральных уравнений.

Харди также является одним из авторов закона Харди - Вайнберга в популяционной генетике.

Для умного человека выражать мнение большинства - бесполезная трата времени. По определению, это могут сделать множество других людей. (англ. It is never worth a first class man's time to express a majority opinion. By definition, there are plenty of others to do that.)

где - функция распределения простых чисел.

Иерархия Харди - иерархия, представляющая собой семейство функций , где - это некий большой счетный ординал, такой, что фундаментальные последовательности присвоены всем предельным ординалам, меньшим, чем .

Неравенство Харди - математическое неравенство, впервые опубликованное и доказанное в 1920 году в заметке Харди, посвящённой упрощению доказательства теоремы Гильберта о двойных рядах.

Пространство Харди - особый вид функциональных пространств в комплексном анализе, аналог -пространства из функционального анализа.

Теорема Харди - Рамануджана - теорема, утверждающая, что скорость роста числа различных простых делителей числа определяется функцией повторного логарифма - , а "разброс" числа делителей - квадратным корнем этой функции.

Число Рамануджана - Харди (1729)

Теорема Харди

# data[].attributes.attachment_link.title
Харди, Годфри Харолд - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Го́дфри Ха́ролд Ха́рди ( англ. Godfrey Harold Hardy; 7 февраля 1877, Кранли, Великобритания - 1 декабря 1947, Кембридж, Великобритания) - английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе. В биологии он известен Законом Харди - Вайнберга, являющимся базовым принципом популяционной генетики.

# data[].attributes.location_name
Зволле, Нидерланды

# data[].attributes.headline
Зволле, Нидерланды

# data[].attributes.subject
Зволле, Нидерланды

# data[].attributes.body
Томас Иоаннес Стилтьес

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
То́мас Иоа́ннес Сти́лтьес ( нидерл. Thomas Joannes Stieltjes; 29 декабря 1856, Зволле - 31 декабря 1894, Тулуза) - нидерландский математик и астроном, ученик Шарля Эрмита. Почётный доктор Лейденского университета (с 1884 года), член Нидерландской академии наук (с 1886 года), член-корреспондент Петербургской академии наук (с 1894 года).

Наиболее известен обобщением понятия определённого интеграла Римана, получившим название " интеграл Стилтьеса" (или "интеграл Римана - Стилтьеса"). Считается "отцом-основателем" аналитической теории непрерывных дробей и (совместно с Анри Пуанкаре) теории асимптотических рядов.

Родился в Зволле, в семье известного в Нидерландах инженера, также Томаса Стилтьеса (1819-1878). В семье, кроме Томаса-младшего, были ещё двое сыновей и четыре дочери.

Окончил Политехническую школу в Делфте (1873-1876); к учёбе относился легкомысленно, в результате чего провалил выпускные экзамены. В 1877-1883 годах работал в Лейденской обсерватории помощником по астрономическим расчётам. Решающее влияние на судьбу Стилтьеса оказала переписка с Эрмитом, начавшаяся в 1882 году и продолжавшаяся до конца его жизни (всего историки насчитали 432 письма). В первых письмах Стилтьес касался работ Эрмита по небесной механике, однако тематика быстро расширилась, увлекла Стилтьеса, и он начал собственные математические исследования.

В 1883 году в жизни Стилтьеса произошли три важные перемены. В мае 1883 года он женился на Элизабет (Лили) Интвельд, у них родились сын и две дочери. В сентябре Стилтьеса попросили заменить в Делфтском университете заболевшего преподавателя математики Ф. Дж. Ван де Берга. С сентября по декабрь 1883 года Стилтьес читал лекции по аналитической и начертательной геометрии. Это укрепило его желание стать профессиональным математиком. 1 декабря 1883 года Стилтьес покинул обсерваторию. К этому моменту он был автором нескольких десятков статей, которые заслужили ему высокую репутацию среди математиков.

Сначала Стилтьес попытался получить вакантную кафедру в Гронингене, но помешало отсутствие учёной степени. Эрмит решил помочь талантливому ученику, заручился содействием директора Лейденской обсурватории Хендрика ван ден Бакхёйзена, друга Стилтьеса-отца, и добился присвоения Стилтьесу почётной степени Лейденского университета по математике и астрономии. В июне 1884 года сенат Лейденского университета утвердил это решение.

В 1885 году Стилтьес был избран членом Королевской академии наук в Амстердаме. В апреле он с семьей приехал в Париж. В 1886 году он наконец получил докторскую степень за диссертацию по асимптотическим рядам (защита прошла в парижской Высшей нормальной школе). В том же году, по рекомендации Эрмита, Стилтьес был назначен в Тулузский университет, где в 1889 году занял кафедру дифференциального и интегрального исчисления.

Скончался в новогоднюю ночь 31 декабря 1894 года в возрасте всего 38 лет, став жертвой, предположительно, одной из ранних эпидемий гриппа. Похоронен на кладбище Cimetière de Terre-Cabade в Тулузе. Его могила недавно была отреставрирована.

За свою короткую жизнь Стилтьес сумел внести существенный вклад во многие разделы математики. Его труды относятся к теории функциональных непрерывных дробей, проблеме моментов, обыкновенным и дифференциальным уравнения в частных производных, гамма-функции, эллиптическим функциям. методам приближённого интегрирования и др. Исследовал также расходящиеся и условно сходящиеся ряды, проблемы теории чисел. Совместно с Анри Пуанкаре создал теорию асимптотических рядов.

В 1894 году был опубликован его основной труд: "Исследования о непрерывных дробях", сыгравший выдающуюся роль в развитии математического анализа в XX веке, в частности, как важный первый шаг к теории гильбертовых пространств.. В этой богатой новыми идеями статье Стилтьес, помимо прочего, описал обобщение определённого интеграла ( интеграл Римана - Стилтьеса), это обобщение играет важную роль в современной математике и физике. Заодно Стилтьес развил исследования П. Л. Чебышёва ортогональных многочленов. Пытался, совместно с Эрмитом и Дарбу, доказать гипотезу Римана, однако в их доказательстве была обнаружена неустранимая ошибка, Независимо от Рамануджана открыл первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность:

Стилтьес много работал в области комплексного анализа ( теорема Стилтьеса). В уже упомянутой статье 1894 года он показал, что если последовательность аналитических функций равномерно ограничена по модулю внутри области Т (то есть. в каждом замкнутом круге, принадлежащем области), и если она равномерно сходится на какой-либо подобласти Т, то она равномерно сходится и внутри области Т. Эта теорема Стилтьеса была обобщена независимо друг от друга Дж. Витали и М. Б. Портером, показавшими, что заключение остается в силе, если сходимость выполняется на каком-либо подмножестве, имеющем в этой области хотя бы одну предельную точку[13].

Имя учёного присвоено нескольким математическим понятиям.

Имя Томаса Стилтьеса было присвоено Математическому институту при Лейденском университете (институт в 2011 году расформирован в ходе объединения с двумя другими математическими институтами Нидерландов).

Ссылки на тексты 94 статей Стилтьеса в интернете см. .

Изданы посмертно:

Русские переводы

Исследование непрерывных дробей. ОНТИ ДНТВУ: Харьков-Киев, 1936, 156 с.

Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций / Под ред. Колмогорова А. Н., Юшкевича А. П.. - М.: Наука, 1981. - 270 с.

Математика XIX века. Том III: Чебышёвское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей / Под ред. Колмогорова А. Н., Юшкевича А. П.. - М.: Наука, 1987. - 319 с.

Боголюбов А. Н. Стилтьес Томас Ян (младший) // Математики. Механики. Биографический справочник. - Киев: Наукова думка, 1983. - С. 452. - 639 с.

# data[].attributes.attachment_link.title
Стилтьес, Томас Иоаннес - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
То́мас Иоа́ннес Сти́лтьес ( нидерл. Thomas Joannes Stieltjes; 29 декабря 1856, Зволле - 31 декабря 1894, Тулуза) - нидерландский математик и астроном, ученик Шарля Эрмита. Почётный доктор Лейденского университета (с 1884 года), член Нидерландской академии наук (с 1886 года), член-корреспондент Петербургской академии наук (с 1894 года).

# data[].attributes.location_name
Галле, Германия

# data[].attributes.headline
Галле, Германия

# data[].attributes.subject
Галле, Германия

# data[].attributes.body
Бернштейн, Феликс

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Фе́ликс Бернште́йн ( нем. Felix Bernstein, 1878-1956) - немецкий математик. Первым доказал центральную для теории множеств теорему Кантора - Бернштейна (1896 год). Определил также статистические законы наследования групп крови (1924 год). Профессор Колумбийского, Сиракузского и Нью-Йоркского университетов.

Родился в еврейской семье, его отец - крупный физиолог Юлиус Бернштейн, дед по отцу - Аарон Бернштейн - известный журналист и общественный деятель. Мать Феликса была талантливым музыкантом, играла на фортепиано и сочиняла музыку. Феликс был назван в честь композитора Феликса Мендельсона, так как его мать надеялась, что ее сын в будущем станет известным музыкантом.

Ещё будучи учеником гимназии в Галле, Бернштейн посещал семинар Георга Кантора в местном университете (Кантор был другом отца Бернштейна). Закончив гимназию, Бернштейн с 1896 по 1900 годы учился в Мюнхене, Галле, Берлине и Гёттингене. В 1903 году защитил диссертацию, с 1911 года работал в Гёттингенском университете. Примерно в это же время Феликс познакомился и подружился с Альбертом Эйнштейном.

По окончании Первой мировой войны Бернштейн некоторое время был в Гёттингене вице-председателем местного отделения Немецкой демократической партии:118.

В 1921 году Бернштейн был назначен профессором Гёттингенского университета. В 1928 году он преподавал в Гарварде (США) в качестве приглашённого профессора.

В 1934 году, вскоре после прихода к власти нацистов, Бернштейн был как еврей уволен со всех своих должностей. Поскольку в это время он совершал лекционный тур по Америке, Бернштейн решил остаться в США. В 1948 году, после войны, Бернштейн вернулся в Европу. Он в основном жил в Риме и Фрайбурге, испытывая сильную нужду. Умер в Цюрихе 3 декабря 1956 года.

Бернштейн был разносторонним математиком, его труды относятся к теории множеств, теории чисел, теории тригонометрических рядов, теории интегральных уравнений, теории вероятностей и математической статистике. Он доказал фундаментальную теорему Кантора - Бернштейна, внёс значительный вклад в изопериметрическую проблему, теорию преобразования Лапласа. С 1920-х годов много занимался применением математических методов в биологии, исследуя задачи общей генетики, генетики популяций и теории наследственности.

Бернштейн - основатель и (с 1921 по 1934 годы) директор Института математической статистики Гёттингенского университета. В 2014 года в Гёттингене состоялось открытие Института математической статистике в биологии имени Ф. Бернштейна.

# data[].attributes.attachment_link.title
Бернштейн, Феликс - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Фе́ликс Бернште́йн ( нем. Felix Bernstein, 1878-1956) - немецкий математик. Первым доказал центральную для теории множеств теорему Кантора - Бернштейна (1896 год). Определил также статистические законы наследования групп крови (1924 год). Профессор Колумбийского, Сиракузского и Нью-Йоркского университетов. Родился в еврейской семье, его отец - крупный физиолог Юлиус Бернштейн, дед по отцу - Аарон Бернштейн - известный журналист и общественный деятель.

# data[].attributes.location_name
Нанкин, Цзянсу, Китай

# data[].attributes.headline
Нанкин, Цзянсу, Китай

# data[].attributes.subject
Нанкин, Цзянсу, Китай

# data[].attributes.body
Цзу Чунчжи

# data[].attributes.location_name
Ашфорд, Великобритания

# data[].attributes.headline
Ашфорд, Великобритания

# data[].attributes.subject
Ашфорд, Великобритания

# data[].attributes.body
Джон Валлис

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
28 октября ( Джон Ва́ллис, точнее - Уо́ллис ( англ. John Wallis; - 8 ноября) 1703) - английский математик, один из предшественников создателей математического анализа.

Валлис - сын священника из Эшфорда, графство Кент. Уже в молодости вызывал восхищение как феноменальный счётчик: как-то в уме извлёк квадратный корень из 53-значного числа. Однако никакого математического образования он не получил, занимаясь самостоятельно.

По окончании Кембриджского университета ( Эммануил-колледж, 1632-1640) стал священником англиканской церкви и получил степень магистра. После женитьбы в 1645 году вынужден был покинуть университет, так как от профессоров в те годы требовался обет безбрачия.

Блестяще знал языки: латинский, греческий, иврит, в 1647-1648 годах самостоятельно совершенствовался в математике, изучая труды Декарта и Отреда. Вскоре начал собственные математические исследования. В период революции прославился расшифровкой перехваченных писем сторонников короля. Однако он выступил против казни короля Карла I. Репутация выдающегося математика, заслуженная Валлисом к тому времени, привела к тому, что в 1649 году его пригласили в Оксфорд занять освободившуюся там (после изгнания нескольких роялистов) кафедру геометрии, которую Валлис занимал до кончины в 1703 году. Исполнял также почётные обязанности хранителя Оксфордского университетского архива.

После реставрации монархии (1660) завоевал доверие нового короля, Карла II, который назначил его придворным священником. Валлис участвовал в создании в 1660 году Лондонского Королевского общества - британской Академии наук - и стал одним из первых его членов. Скончался в Оксфорде, погребён там же в церкви св. Марии. Прижизненное собрание научных трудов Валлиса вышло в 1693-1699 годах.

В честь Валлиса назван астероид 31982 Джонваллис.

Валлис получил значительные результаты в зарождавшемся тогда математическом анализе, геометрии, тригонометрии, теории чисел.

В 1655 году Валлис издал большой трактат "Арифметика бесконечного" ( лат. Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata), где ввёл придуманный им символ бесконечности. В книге он сформулировал строгое определение предела переменной величины, продолжил многие идеи Декарта, впервые ввёл отрицательные абсциссы, вычислил суммы бесконечных рядов - по существу интегральные суммы, хотя понятия интеграла тогда ещё не было.

Там же была приведена знаменитая формула Валлиса:

В "Трактате о конических сечениях", приложении к "Арифметике бесконечного", Валлис развил " метод неделимых" Кавальери, перенеся его с геометрической базы на алгебраическую с помощью понятия бесконечно малого. Здесь он также, в современной терминологии, вычислил ряд определённых интегралов для степенной функции и близких к ней функций. Начиная с Валлиса, конические сечения рассматриваются как плоские кривые; при этом Валлис использовал не только декартовы, но и косоугольные координаты.

В математике Валлис всегда уделял особое внимание практически-вычислительным аспектам, зачастую пренебрегая строгими доказательствами. Свои университетские лекции по алгебре он опубликовал в виде монографии "Всеобщая математика, или полный курс арифметики" (1657). В ней он творчески переработал достижения алгебры от Виета до Декарта. В 1685 году он опубликовал значительно дополненный "Трактат по алгебре", который историки расценивают как алгебраическую энциклопедию своего времени. Трактат содержал, среди прочего, обстоятельную теорию логарифмов, разложение бинома, приближённые вычисления, а также геометрическую интерпретацию комплексных чисел, оставшуюся незамеченной современниками. Валлис первый дал современное определение логарифмирования как операции, обратной возведению в степень; Непер, изобретатель логарифмов, определил их кинематически, затушевав их истинную природу. Валлис ввёл термины: мантисса, интерпретация, непрерывная дробь, интерполяция, вывел рекуррентные соотношения для подходящих дробей непрерывной дроби.

Труды Валлиса произвели большое впечатление на молодого Ньютона. Именно в письмах к Валлису Ньютон впервые открыто сформулировал принципы своей версии дифференциального исчисления ( 1692), и с разрешения автора Валлис опубликовал эти письма в переиздании своего "Трактата по алгебре" ( 1693).

В 1693 году Валлис в своей работе воспроизвёл перевод сочинения Насир ад-Дина ат-Туси о пятом постулате и предложил эквивалентную, но более очевидную формулировку этой аксиомы: существуют подобные, но не равные фигуры.

Из прочих работ Валлиса замечательны исследования по определению длины дуги некоторых кривых. Он сумел, на пари с Паскалем, найти длину дуги для арки циклоиды, её площадь и положение центра масс сегмента циклоиды. Одновременно с Гюйгенсом и Реном он решил вопрос об упругом соударении шаров, опираясь на закон сохранения количества движения. Валлис, кроме того, писал трактаты о логике, об английской грамматике, о способе обучения глухонемых разговору и множество сочинений богословского и философского содержания.

# data[].attributes.attachment_link.title
Валлис, Джон - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
28 октября ( Джон Ва́ллис, точнее - Уо́ллис ( англ. John Wallis; - 8 ноября) 1703) - английский математик, один из предшественников создателей математического анализа. Валлис - сын священника из Эшфорда, графство Кент. Уже в молодости вызывал восхищение как феноменальный счётчик: как-то в уме извлёк квадратный корень из 53-значного числа.

# data[].attributes.location_name
Болонья, Италия

# data[].attributes.headline
Болонья, Италия

# data[].attributes.subject
Болонья, Италия

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Рафаэль Бомбелли ( итал. Rafael Bombelli; ок. 1526, Болонья - 1572, вероятно, Рим) - итальянский математик, инженер-гидротехник. Настоящая фамилия: Маццоли ( Mazzoli), ему пришлось сменить фамилию при возвращении в Болонью, потому что его дед был некогда казнён как заговорщик.

Известен тем, что ввёл в математику комплексные числа как легальный объект и разработал базовые правила действий с ними. Перевёл и опубликовал "Арифметику" Диофанта; благодаря этому событию начинается история теории чисел в Европе.

Рафаэль Маццоли родился в Болонье в семье торговца шерстью Антонио Маццоли и дочери портного Диаманте Скудьери ( Diamante Scudieri), он был старшим из шести их детей. Учился архитектуре. Как раз в это время открытия болонского математика дель Ферро в изложении Тартальи вызвали подъём массового интереса к математике, который захватил и Бомбелли.

Будучи по делам в Риме, Бомбелли познакомился с профессором университета Антонио Мария Пацци, который незадолго до того обнаружил в Ватиканской библиотеке рукопись "Арифметики" Диофанта. Друзья договорились перевести её на латинский. Одновременно с переводом Бомбелли пишет свой трактат "Алгебра" в трёх книгах, куда включил не только свои разработки, но и множество задач Диофанта с собственными комментариями. Однако главную ценность труда Бомбелли составили его собственные открытия. Он планировал дополнить трактат ещё двумя книгами геометрического содержания, но не успел их завершить. В 1923 году незаконченные рукописи последних томов "Алгебры" были обнаружены историком Этторе Бортолотти и опубликованы в 1929 году.

Главный труд Бомбелли - "Алгебра" ( L'Algebra), написана около 1560 года, издана в 1572 году в Венеции и переиздана в 1579 году в Болонье.

"Алгебра" примечательна во многих отношениях. Бомбелли, первый в Европе, свободно оперирует с отрицательными числами, приводит правила работы с ними, включая правило знаков для умножения. Он также первым, опередив своё время, оценил пользу комплексных чисел, в частности для решения уравнений третьей степени по формулам Кардано.

Пример[2]. Уравнение имеет вещественный корень x = 4, однако по формулам Кардано получаем: .

Бомбелли обнаружил, что , откуда сразу получается нужный вещественный корень. Он подчеркнул, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные слагаемые в формуле Кардано всегда сопряжены, поэтому при их сложении получается вещественный корень. Данное уравнение имеет ещё два вещественных корня ( ), однако отрицательные значения в тот период ещё не рассматривались как допустимые. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел.

Исчерпывающее исследование неприводимого случая требовало умения извлекать корни из комплексных чисел, а этого умения у Бомбелли ещё не было. Полностью проблему решили Виет и де Муавр.

Бомбелли также придумал первые скобки; они имели вид прямой и зеркально-отражённой буквы L. Привычные нам круглые скобки появились в том же XVI веке, однако в общее употребление их ввели только Лейбниц и Эйлер. Бомбелли первый стал использовать числовое (а не словесное, как ранее) обозначение для показателя степени, помечаемое специальной дужкой снизу. Современное обозначение показателя ввёл в широкое обращение Декарт.

Цепные дроби

Из других научных достижений Бомбелли следует отметить фактическое применение цепных дробей для вычисления квадратных корней из натуральных чисел. Понятия цепной дроби у Бомбелли ещё не было, и ниже излагается алгоритм в более поздней версии, данной Катальди (1613 год).

Чтобы найти значение , сначала определим его целое приближение: , где . Тогда . Отсюда несложно вывести, что . Повторно подставляя полученное выражение в формулу , мы получаем разложение в цепную дробь:

Для оценки точности полученных приближений можно использовать одно из свойств цепных дробей: последовательные значения подходящих дробей колеблются около точного значения, чередуя приближения с избытком и недостатком.

Пример. Для мы получаем последовательные приближения:

Последняя дробь равна ..., в то время как .

Другие достижения

Бомбелли занимался древними задачами удвоения куба и трисекции угла и сумел доказать, что их можно свести к решению кубического уравнения.

В честь Бомбелли названы:

Боголюбов А. Н. Бомбелли Раффаэле // Математики. Механики. Биографический справочник. - Киев: Наукова думка, 1983. - 639 с.

История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. - М.: Наука, 1970. - Т. I.

Каучикас А. П. Неопределённые уравнения в "Алгебре" Р. Бомбелли // История и методология естественных наук. - Изд. МГУ, 1978. - Т. 20. Математика и механика. - С. 138-146.

Смирнова Г. С. Геометрическое решение кубических уравнений в "Алгебре" Рафаэля Бомбелли // История и методология естественных наук. - Изд. МГУ, 1989. - Т. 36. Математика и механика. - С. 123-129.

# data[].attributes.attachment_link.title
Бомбелли, Рафаэль - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Рафаэль Бомбелли ( итал. Rafael Bombelli; ок. 1526, Болонья - 1572, вероятно, Рим) - итальянский математик, инженер-гидротехник. Настоящая фамилия: Маццоли ( Mazzoli), ему пришлось сменить фамилию при возвращении в Болонью, потому что его дед был некогда казнён как заговорщик. Известен тем, что ввёл в математику комплексные числа как легальный объект и разработал базовые правила действий с ними.