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El gradiente y las coordenadas esféricas/cilíndricas

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El gradiente y las coordenadas esféricas/cilíndricas

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El gradiente es una operación vectorial, que opera sobre una función escalar, para producir un vector cuya magnitud es la máxima razón de cambio de la función en el punto del gradiente y que apunta en la dirección de ese máximo.
Si S es una superficie de valor constante, para la función f(x,y,z), entonces el gradiente sobre la superficie, define un vector que es normal a la superficie.
El gradiente está presente en diversos lugares y áreas de estudio de la física, un ejemplo de su aplicación son las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo.
Las coordenadas esféricas y cilíndricas se relacionan con el gradiente ya que en algunas ocasiones las superficies a las que se les necesita aplicar un gradiente son más fáciles de manipular en un Sistema de coordenada distinto a la rectangular, esto puede deberse a que presentan algún tipo de simetría.

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Campos eléctricos y ondas tridimensionales.

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Campos eléctricos y ondas tridimensionales.

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Los campos eléctricos constan de una forma esférica, por lo tanto el uso de los sitemas de coordenadas cilíndricas resulta viable para determinar la posición o las cargas.
Mediante el método de Gauss se puede medir fácilmente el campo eléctrico, si sólo si, éste tuviese una simetría; si esto no fuera así, el calculo del campo sería de mayor dificultad.
Me atrevería a aseverar que también las coordenadas esféricas son útiles para la rama de la física de las ondas, ya que las ondas tridimensionales tienen una forma esférica.

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Es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico. Posee ese nombre en honor a Pierre-Simon Laplace.
La ecuación de Laplace puede expresarse en diferentes sistemas de coordenadas, como es el caso de las coordenadas esféricas. Estas se involucran cuando la distribución de cargas tiene una simetría esférica, para colaborar en la solución del potencial eléctrico. También está estrechamente relacionado con el cálculo del campo eléctrico, debido a que una vez teniendo el potencial, se puede obtener el campo eléctrico.

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Por lo general al hablar de la distancia mas corta entre dos puntos pensamos en la línea recta, pero en la realidad vivimos en un planeta con forma redonda, y en largas distancias no podemos recurrir a la línea recta sino a la geodésica que es la distancia mas cercana entre dos puntos sobre una superficie esférica. Con más precisión, una geodésica en una superficie esférica es un arco de circunferencia formada por la intersección de la esfera con un plano que pasa por el centro de la esfera. Por lo tanto, una geodésica de una superficie esférica es una circunferencia o un arco de ella que tiene el mismo radio que la esfera.

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Medición y modelado en materia de astronomía.

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Medición y modelado en materia de astronomía.

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Actualmente en el campo de la astronomía, se utiliza el sistema de coordenas esféricas para poder posicionar las estrellas debido a la facilidad de no utilizar la distancia los cuerpos celestes. Es por ello que incluso los telescopios han optado por utilizar esta técnica para facilitar los mapas estelares que pueden ser de interés futuro para los astrónomos. El proceso es lanzar el rayo laser hasta el cuerpo celeste deseado, una vez realizado esto se saca el cálculo para poder determinar el ángulo de inclinación respecto a la tierra para finalmente hacer el modelo que refleje su posición en un globo terraceo modelado.

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Simulación por el método de Montecarlo de la densidad de energía de ondas multidispersadas

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Simulación por el método de Montecarlo de la densidad de energía de ondas multidispersadas

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Esta simulación tiene como objetivo estimar la distribución de energía de las ondas multidispersadas en el espacio y tiempo bajo la hipótesis de esparcimiento isótropo, para ello hay que representar la propagación de la energía de ondas S a partir de la trayectoria de muchas partículas; para la localización de los dispersores, la fuente sísmica (F) y el receptor (R) se consideran sistemas locales de coordenadas esféricas que representarán el vector posición del k-ésimo dispersor en el mismo sistema de coordenadas.

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Las grúas en especial las de tipo torre son operadas por medio de las coordenadas cilíndricas pues debido a su limitado movimiento a subir y bajar y girar en su eje, para controlar la posición de la carga es preciso indicar el ángulo de giro del brazo de la grúa así como es necesario indicar una altura a la cual esta estará posicionada junto con la distancia de separación de la torre. Observando todo el rango de movimiento de la grúa se forma un cilindro.

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Descripción matemática de ondas esféricas tridimensionales.

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Descripción matemática de ondas esféricas tridimensionales.

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Este tipo de ondas se propagan en todas direcciones y sus frentes de ondas se caracterizan por ser esferas concéntricas al foco emisor. Algunos fenómenos como la luz y el sonido se consideran aproximadamente ondas esféricas.
Dada la simetría esférica de estas ondas, resulta conveniente describirlas matemáticamente en términos de coordenadas esféricas, lo que permite formular una ecuación que describe lo que ocurre con la onda a medida que se propaga y se aleja de la fuente emisora.

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Un robot de configuración esférica es un robot conformado generalmente por dos articulaciones de tipo rotacional, y una de tipo prismática. Este diseño permite al robot operar dentro de un sistema de referencia de coordenadas esféricas.
Este tipo de robots son utilizados en el manejo de máquinas y herramientas, soldaduras por puntos, vaciado de metales, frezado, soldadura a gas, y soldadura al arco.

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A pesar de que no es tan obvia, una de las aplicaciones para las coordenadas esféricas que más me llamó la atención se encuentra en el campo de la electroestática.

Las coordenadas esféricas son útiles para calcular el campo eléctrico creado por una carga puntual, pues ésta tiene una simetría esférica y es posible aplicar el teorema de Gauss, que relaciona el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada y la carga eléctrica que se encuentra en su interior.

Para utilizar este teorema se necesita encontrar la simetría, lo cual se consigue con la ayuda de las coordenadas esféricas.

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Aplicaciones de las coordenadas polares cilíndricas en la Ingeniería Civil

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Aplicaciones de las coordenadas polares cilíndricas en la Ingeniería Civil

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Como ya hemos aprendido, las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje (z).
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico.
De esta manera, en la Ingeniería Civil se utiliza para realizar superficies topográficas que nos ayudan a ver por donde es favorable hacer una carretera que comunique pueblos, ciudades, etc.
De igual manera, en el caso de los caminos que comunican dos puntos específicos, como los mencionados anteriormente, se pueden utilizar el mismo tipo de coordenadas para sacar cuanto es la inclinación y la medida del peralte por el que tendrán que cruzar los carros.

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Esta ecuación describe la conducción del calor en un cuerpo hecho de un material de densidad ρ, calor específico c y conductividad térmica K, tomando en cuenta la distribución inicial de temperaturas en el cuerpo y las condiciones de contorno, a su vez es el único mecanismo de transmisión de calor posible en los medios sólidos opacos, cuando en estos cuerpos existe un gradiente de temperatura.

Un dato que puedo resaltar es que a partir de la ecuación de calor y la Ley de Fourier se puede expresar el flujo de calor en una dirección el cual es directamente proporcional: Al gradiente de temperatura en esa dirección, a la conductividad del material, y al área normal a la dirección del flujo, unos ejemplos donde se pueden aplicar son:

Coordenadas rectangulares: Pared de un hogar con conducción térmica.

Coordenadas cilíndricas: Cables recubiertos con un aislante térmico

Coordenadas esféricas: hemisferios de la tierra

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La distribución de velocidades de Maxwell consiste en la distribución de las velocidades en las moléculas de un gas ideal. Para obtener la distribución, se visualiza como una esfera, y es necesario obtener la suma de todas las direcciones y una forma de verlo, es “tomando el desarrollo de un elemento del volumen de una capa esférica en el "espacio de velocidad". La suma respecto a las coordenadas angulares, otorga el área de la esfera y el elemento radial el volumen, y de ambos se puede obtener la distribución de velocidades en términos de “una cáscara esférica”.

Sin embargo, utilizar las coordenadas cartesianas para dicho proceso puede resultar tedioso, por lo que, se realizan las conversiones a coordenadas polares para hacer de forma más directa los cálculos.

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Una de las aplicaciones de las coordenadas cilíndricas es en los campos magnéticos mediante el uso de la ley de Lorentz, la cual sirve para describir la acción que un campo magnético produce sobre una carga en movimiento o un conjunto de ellas, pero para ello hay que describir el campo magnético que lo produce; es entonces donde se aplican las coordenadas cilíndricas.

Con las coordenadas cilíndricas se pueden expresar de mejor manera cargas puntuales con posiciones y velocidades distintas, estos campos logran describir circunferencias en torno al movimiento de las cargas.

Gracias a ello se pueden calcular otras magnitudes como sería la fuerza magnética, además que debido a sus usos se pueden construir dispositivos que sirven para entender la materia tales como el selector de velocidades, espectrómetro de masas y el ciclotrón. Es importante mencionar que, aunque en estos dispositivos no se utilice directamente las coordenadas cilíndricas, en su creación estas sí tomaron parte gracias al cálculo de sus cargas y velocidades en un campo magnético.

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Situar un punto sobre la superficie terrestre.

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Situar un punto sobre la superficie terrestre.

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Al considerar la Tierra como una esfera, podemos situar cada punto sobre la superficie terrestre mediante sus dos coordenadas angulares de las coordenadas esféricas, semejantes a la latitud y longitud que usamos. La componente radial no es necesaria, pues todo punto sobre la superficie está a la misma distancia del centro ( simplificando la Tierra como una esfera perfecta, que no lo es)
Gracias a la simetría esférica podemos modelar fácilmente en coordenadas esféricas.

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Radar como centro de un sistema de coordenadas esféricas

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Radar como centro de un sistema de coordenadas esféricas

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Una antena de radar meteorológico se compone básicamente de una fuente primaria montada en el puno focal del reflector parabólico. La regla de iluminación del radar se establece de modo que logre la forma de haz deseada con la mayor precisión posible. El movimiento mecánico del reflector-pedestal establecido debe diseñarse para adaptarse al volumen deseado de radar.
Es decir, la antena usa las coordenadas esféricas para encontrar el radar y poder comunicarse.

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Ecuación de Schrödinger para el hidrógeno

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Ecuación de Schrödinger para el hidrógeno

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En 1926, el físico austríaco Erwin Schrödinger derivó una ecuación de ondas inspirándose en la analogía existente entre la mecánica y la óptica, la cual explica mucha de la fenomenología cuántica que se conocía en aquel momento. La ecuación de Schrödinger describe la evolución temporal del estado cuántico de un sistema no relativista.

Las coordenadas esféricas son usadas en la ecuación de Schrodinger si el potencial del sistema que se va a examinar es esféricamente simétrico. La ecuación de Schrodinger en coordenadas esféricas es la forma más adecuada para el estudio del átomo de hidrógeno, ya que el electrón en este átomo está sometido a un potencial de simetría esférica.

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Potencial de una esfera de cargas uniformes.

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Potencial de una esfera de cargas uniformes.

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La coordenadas esféricas toman un papel importante dentro de la ecuación de Poisson debido a que en dicha ecuación se representa una simetría esférica completa.
Sobre la ecuación de  Laplace y Poisson.
Es una aproximación útil para el cálculo de potencial eléctrico. Esta se consigue relacionando ese potencial con la densidad de carga a la que da lugar.
Y como se mencionó al principio, la simetría de la distribución de cargas ayuda a la solución del potencial eléctrico. Por ejemplo, si la distribución de cargas tiene una simetría esférica, usamos coordenadas polares esféricas.

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Representación de la Tierra: Proyecciones cilíndricas 

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Representación de la Tierra: Proyecciones cilíndricas 

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Los mapas mantienen su fidelidad al representar grandes superficies teniendo en cuenta la curvatura de la Tierra. Nuestro planeta no es una esfera perfecta, por lo tanto, no se puede representar una esfera en un mapa de dos dimensiones sin producir deformaciones o espacios vacíos.

Las proyecciones cartográficas ayudan a tener una imagen muy aproximada para representar la superficie de la Tierra. El tipo de proyección que se use dependerá de la fidelidad que se requiera en las distancias, áreas o ángulos.

Las proyecciones cilíndricas, basadas en las coordenadas cilíndricas, son efectivas para representar las áreas entre el Ecuador y los trópicos, pero a medida que nos acercamos a los polos la deformación de la tierra es mayor.

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Aplicación de coordenadas esféricas en dinámica.

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Aplicación de coordenadas esféricas en dinámica.

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Las aplicaciones para usar las coordenadas cilíndricas son variadas, pues serán aplicables siempre que haya una simetría radial, como ocurre en muchos casos de la naturaleza y el día a día.
Una aplicación de esto se ve reflejado en el caso de las fuerzas centrales, en las que un cuerpo genera una campo gravitatorio a su alrededor, al depender éste exclusivamente de la distancia (y de la masa del cuerpo que genera el campo), tiene simetría radial o esférica. Ej: campo creado por el Sol, la Tierra, cualquier planeta, un protón alrededor del cual giran electrones.

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Son un sistema de referencia que permite que cada ubicación en la Tierra sea específica por un conjunto de números, letras y símbolos. Puesto que es un sistema tridimensional, se sitúan dos coordenadas de manera horizontal para latitud y longitud, y una tercera coordenada que representa la altitud, creando un sistema de coordenadas esféricas cuyo centro es el de la Tierra y está expresado en grados sexagesimales.
Aunque existen los conversores de coordenadas UTM a geográficas o viceversa; el sistema de coordenadas geográfico es también bastante utilizado y aplicaciones como Google Earth ofrece en su menú las opciones de elegir entre un sistema de coordenadas u otro así como las unidades de medida en pies, millas o metros.

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El sistema de coordenadas esféricas es el sistema más natural para localizar un punto o un objeto que se encuentra a una distancia desconocida.
Este sistema es "fácil" porque lo hemos utilizado desde la niñez para localizar puntos, usando normalmente el suelo como plano de referencia, dabamos la elevación y el ángulo del punto en cuestión.
El principio es similar para los astros, usando los planos fundamentales como el horizonte celeste, el ecuador celeste o la eclíptica como planos de referencia podemos localizar astros a distancias desconocidas con dar un par de coordenadas extra.

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Ubicación de estrellas con coordenadas cilíndricas

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Ubicación de estrellas con coordenadas cilíndricas

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Además de las aplicaciones que las coordenadas cilíndricas tienen en campos como la ingeniería, la física o la química, también poseen un rol importante en la astronomía.

Una de estas aplicaciones en esta área es la localización de estrellas dentro de galaxias con las llamadas coordenadas polares cilíndricas galácticas, que mencionan Spark y Gallagher (1975) en el libro Galaxies in the Universe (p. 37). Estas coordenadas emplean tres parámetros: R, distancia desde el centro de la galaxia; z, distancia sobre el plano de la galaxia; ϕ, ángulo medido partiendo de la dirección hacia el Sol.

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Ley de Biot-Savart, Coordenadas cilíndricas

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Ley de Biot-Savart, Coordenadas cilíndricas

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La ley de Biot-Savart sirve de base teórica para la definición de los campos magnéticos. La densidad de flujo magnético infinitesimal permite calcular el valor total del campo magnético asociado a una corriente eléctrica que fluye por un circuito.

Una vez establecido el valor del campo magnético asociado a un circuito de corriente eléctrica, es posible determinar su efecto sobre un segundo hilo conductor recorrido por otra corriente eléctrica.

Una aplicación sencilla de la ley de Biot-Savart se refiere al campo magnético que genera una corriente rectilínea en el espacio que la rodea.

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Las coordenadas esféricas en la geografía.

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Las coordenadas esféricas en la geografía.

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El uso más evidente de las coordenadas esféricas en la geografía es para identificar un punto de la superficie terrestre.

La latitud es la altura respecto al ecuador. Este ángulo es el complementario de la coordenada polar θ. La latitud, en lugar de variar de 0 (en el Polo Norte) a π (en el Polo Sur) lo hace desde 90° a -90°.

La longitud es la distancia angular respecto a un meridiano de Greenwich). Equivale a la coordenada acimutal φ.

La coordenada radial corresponde a la distancia al centro de la Tierra. La altitud z, de un punto de la superficie equivale al valor de r= z +R T con RT el radio de la Tierra (suponiendo ésta una esfera).

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Las coordenadas esféricas son usadas para situar estrellas en el firmamento.

El ángulo que forma el astro con el ecuador celeste es equivalente a la latitud, esto corresponde a la longitud, medida desde un punto conocido como punto vernal o punto Aries.

La coordenada radial (r), sería la distancia a la cual se encuentran las estrellas respecto a la tierra.

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La aplicación más familiar de las coordenadas esféricas es el sistema de latitud y longitud que divide la superficie de la tierra en una cuadrícula con fines de navegación. La distancia entre las líneas de la cuadrícula no se miden en millas o kilómetros, sino en grados y minutos. La cuadrícula curva se transfiere a "cartas planas" mediante una proyección, para que los marineros puedan usarlas para navegar.

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La forma en la que son ensamblados los discos en el interior de los HDD asemejan a un cilindro y en cada disco hay una aguja que los escribe que es parecida a la coordenada Z, la distancia al eje de cada disco equivale a la coordenada radial P y dados la cabeza y el cilindro, la posición a lo largo de una circunferencia (lo que se denomina una pista) se indica mediante el sector S, que corresponde a la coordenada cilíndrica

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Esta clase de robot cuenta con un movimiento rotacional en la base y dos ejes lineales perpendiculares, el segundo de ellos paralelo al de la base. Sus movimientos los realiza mediante la configuración de coordenadas cilíndricas, por lo que representan una gran ventaja al trabajar en áreas a su alrededor.
Sus usos en la industria son variados.

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Las coordenadas cilíndricas en las grúas 

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Las coordenadas cilíndricas en las grúas 

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El ejemplo más común que encontré sobre las coordenadas cilíndricas son las grúas. Para controlar la posición de la carga se indica el ángulo de giro del brazo de la grúa dado por φ, la altura a la que se sube la carga z, y cuanto hay que desplazarla a lo largo de la flecha ρ.