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Nouveauté Ete 2022 Cahier de calcul 1ère année après le BAC

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Nouveauté Ete 2022 Cahier de calcul 1ère année après le BAC

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Vous pouvez acheter la version éditée par Dunod du cahier de calcul. Le prix est très abordable et le format très pratique.

Le cahier de calcul est destiné aux élèves de première année post-Bac. Il permet aux élèves de s'entraîner en autonomie à la pratique du calcul. Ce travail a été réalisé collectivement par une trentaine de professeurs en classes préparatoires.
La dernière version du cahier de calcul est la version 1.13.
Voici les conditions d'utilisation et de partage de ce document :

La version PDF du cahier de calcul est librement diffusable par les professeurs auprès de leurs élèves.

Les participants au projet peuvent le rendre disponible sur leur site web.

Le PDF et les sources LaTeX seront mis à disposition des membres de l'UPS via la BEDOC de l'UPS.

Les sources LaTeX ne sont pas diffusables hors BEDOC.

Le contenu du cahier de calcul est modifiable et réutilisable pour des usages spécifiques à l'exclusion de tout usage commercial.

Les noms des participants au projet sont indiqués en page 2 du cahier de calcul.

Participants

Vincent Bayle, Romain Basson, Olivier Bertrand, Ménard Bourgade, Julien Bureaux, Alain Camanes, Mathieu Charlot, Mathilde Colin de Verdière, Keven Commault, Miguel Concy, Rémy Eupherte, Hélène Gros, Audrey Hechner, Florian Hechner, Marie Hézard, Nicolas Laillet, Valérie Le Blanc, Thierry Limoges, Quang-Thai Ngo, Xavier Pellegrin, Fabien Pellegrini, Jean-Louis Pourtier, Valérie Robert, Jean-Pierre Técourt, Guillaume Tomasini, Marc Tenti.

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Les cahiers de calcul, destinés aux lycéens en classe de Première et Terminale, permettent aux élèves de s'entraîner en autonomie à la pratique du calcul.

Vous pouvez acheter la version éditée par Dunod. Le prix est très abordable et le format très pratique.

Ce travail a été réalisé collectivement par une trentaine de professeurs en classes préparatoires et en lycée :

Mélissa BAILLŒUIL-INGLART
Colas BARDAVID
Romain BASSON
Ménard BOURGADE
Van Bien BUI
Alain CAMANES
Carole CHABANIER
Mathilde COLIN DE VERDIÈRE
Geneviève DAVION
Thibaut DEHEUVELS
Anne FOUBERT
Jérôme GÄRTNER
Eliane GAYOUT
Christopher GOYET
Hélène GROS
Benjamin GROUX
Marie HÉZARD
Nicolas LAILLET
Jason LAPEYRONNIE
Hadrien LARÔME
Sandrine LARÔME
François LAURENT
Landry LAVOINE
Blaise LE MEAUX
Steven LU
Lionel MAGNIS
Quang-Thai NGO
Anthony OLLIVIER
Alan PELLÉ
Nicolas POPOFF
Jean-Philippe SPRIET
Jérôme TROCHON

Voici les conditions d'utilisation et de partage de ces documents :

Les versions PDF des cahiers de calcul sont librement diffusables par les professeurs auprès de leurs élèves, sous format papier ou PDF.

Les noms des coordinateurs et participants au projet doivent être indiqués.

Les participants au projet peuvent les mettre à disposition sur leur site web.

Les sources LaTeX sont mises à disposition des membres de l'UPS, via la BEDOC et le gitea de l'UPS.

Les sources LaTeX ne sont pas diffusables en dehors de la BEDOC et du gitea.

Le contenu des cahiers de calcul est modifiable et réutilisable pour des usages spécifiques à l'exclusion de tout usage commercial.

Les dernières versions des cahiers de calcul sont :

1.4.0 (pour le cahier de calcul Première Spécialité),

1.4.0 (pour le cahier de calcul Terminale Spécialité),

1.4.0 (pour le cahier de calcul Mathématiques Expertes).

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🚶 Parcours - CodEx : le code par les exercices

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Exercices de programmation dans le navigateur

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Formulaire 1ère année après BAC Informatique PYTHON

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Formulaire 1ère année après BAC Informatique PYTHON

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Voici des activités mentales pour vous entraîner. Dix questions en trois (ou quatre) minutes chrono. Pas plus !

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Calcul de termes d'une suite définie de manière explicite

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CHAPITRE 1 - Nombres complexes : point de vue algébrique et polynômes

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Ministère de l'Education Nationale et de la Jeunesse

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Informations et conseils pour choisir son orientation, réussir sa scolarité au lycée, préparer le baccalauréat et son orientation post-bac

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Ministère de l'Education Nationale et de la Jeunesse

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Informations et conseils pour choisir son orientation, réussir sa scolarité au lycée, préparer le baccalauréat et son orientation post-bac

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Grille d'évaluation

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Informations utiles

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Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie RocheLycée Charles A. Coulomb, Angoulême Johann BoeufLycée Paul Guérin, NiortSimon TournerieLycée de la Venise Verte, Niort

Donner du sensConstruire une culture commune

Journée 1

Ressources de fin de stage

Textes officiels de cadrage

Attendus du PNF 3 mots clés

Ecoute et représentations

Le genre du Grand Oral

Focales d'écoute

Attendus et informations à prélever

BONUSAutorisation d'enregistrement

RAPPELLes gestes du discours

Défilement du contenu par les flèches latérales ou accès direct en cliquant ci-dessous

Sur Eduscol, page sur la protection des données personnelles et assistance intégrant les modèles d'autorisation d'enregistrement image/voix (mineurs et majeurs)Le site de la DANE de Poitiers nous propose les formulaires suivants :Formulaire pour les familles droit image et voix sur internet : version éditable (Word de 50.9 ko)Utilisation de l'image ou de la voix de l'élève dans le cadre d'un projet. Version avril 2020.Usage responsable du numérique : entre le droit, l'éthique et la déontologie mis à jour le 07/09/2020Formulaire pour les familles droit image et voix en interne : version éditable (Word de 45.9 ko)Utilisation de la voix et de l'image des élèves (usages internes à l'établissement). Version avril 2020.Usage responsable du numérique : entre le droit, l'éthique et la déontologie mis à jour le 07/09/2020Formulaire pour les familles droit image et voix sur internet (PDF de 132.2 ko)Utilisation de l'image ou de la voix de l'élève dans le cadre d'un projet. Version avril 2020.Usage responsable du numérique : entre le droit, l'éthique et la déontologie mis à jour le 07/09/2020Formulaire pour les familles droit image et voix en interne (PDF de 152.6 ko)Utilisation de la voix et de l'image des élèves (usages internes à l'établissement). Version avril 2020.Usage responsable du numérique : entre le droit, l'éthique et la déontologiemis à jour le 07/09/2020

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

GRAND ORAL - Évaluation

PRESENTATIONS

Les formateurs, les objectifs, les contraintes

Collègues convoqués

Transfert dans les équipes

2e demi-journée : interactions

Virginie RocheLycée Charles A. Coulomb, Angoulême Johann BoeufLycée Paul Guérin, NiortSimon TournerieLycée de la Venise Verte, Niort

3h en visio

Sujet très vaste !

Donner du sensConstruire une culture commune

ACCUEIL

20 min avant le début du stage pour gérer la technique et saluer individuellement

PRESENTATIONS

Les formateurs, les objectifs, les contraintes

0

1

2

3

EVALUATION & CONSENSUS

Ecoute et effets de filtre

GENRE ET STYLE

Place du GO dans les compétences orales de l'élève

APPROPRIATION DES ATTENDUS

Focales d'écoute et informations à prélever dans un oral

S'ESSAYER A L'ECOUTE

Réflexions autour de l'écoute. Culture commune d'écoute.

TRANSFERT

Prolonger les travaux et partager les réflexions

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Cadrage institutionnel

Arrêté du 16 juillet 2018 relatif aux épreuves du baccalauréat général à compter de la session de 2021

EDUSCOLPrésentation du Grand Oral

Note de service n° 2020-036 du 11-2-2020Bulletin officiel spécial n° 2 du 13 février 2020

education.gouv.frComment se passe le Grand Oral ?

MENFoire aux questionsEpreuve orale terminale dite "Grand Oral"

Ressource de l'Inspection généraleCadre et spécificités disciplinaires

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

GRAND ORAL - Évaluation

Ecoute et effets de filtre

Evaluation et consensus

Bertille, octobre 2020

Selon vous, quels points n'ont pas fait l'objet de consensus ?

Écoute autorisée uniquement dans le cadre de la session de formation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

GRAND ORAL - Évaluation

Les attendus du PNF

Parole

Instruite

Située

IncarnéeAncrée

Connaissances solides et appropriées, parole documentée, sens questionné

Parole doublement adressée (jury spécialiste et non spécialiste), dans un cadre précis...

Dimension intellectuelle et dimension corporelle

Effet de halo

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

GRAND ORAL - Évaluation

FILTRESensibilité préférentielle dans l'écoute

Effet de halo

Ecoute et effets de filtre

Evaluation et consensus

Les biais évoqués lors du PNF 2020

Notamment 22:20 intervention de Rachel Le Lamer-Pavard sur les biais

lc.cx/gofiltres

Pourquoi ne parle-t-on pas comme on écrit ?

José Deulofeu

vimeo.com/116970543

1ère impression

SPHERES NON SCOLAIRES

SPHERES SCOLAIRES

Bagarre

Soirée bar

Boulangerie

Coursdialogué

Elève chez lui

Elaboré Spontané

GRAND ORAL - Évaluation

LE GENRE DU GRAND ORAL

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Une ÉPREUVE DÉFINIE Des MODES de RÉALISATION OUVERTS

Exposé

Oraldeterminale

SPHERES SCOLAIRES

GRAND ORAL - Évaluation

LE GENRE DU GRAND ORAL

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Une ÉPREUVE DÉFINIE Des MODES de RÉALISATION OUVERTS

Grand OralUne épreuve...

...définie dans ses attentes

...ouverte dans ses modes de réalisation

...à l'intersection de trois styles

Parole instruite, située, incarnée

Oral élaboré + oral spontané

Démarche d'argumentation

Mode de présentation

Style de l'élève

Style du professeur

Style de la discipline

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

LE GENRE DU GRAND ORAL

Une ÉPREUVE DÉFINIE Des MODES de RÉALISATION OUVERTS

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Objectif : faire sienne la grille pour l'oublier

Sources : Note de service + foire aux questions

LE GENRE DU GRAND ORAL

Une ÉPREUVE DÉFINIE Des MODES de RÉALISATION OUVERTS

GRAND ORAL - Évaluation

APPROPRIATION DES ATTENDUS

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Objectif : faire sienne la grille pour l'oublier

Sources : Note de service + foire aux questions

Effets de sympathie

Prosodie

Structuration du propos

Prise en compte de l'auditoire

Spécificités disciplinaires

Ancrage du propos

GRAND ORAL - Évaluation

LES GESTES DU DISCOURS

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Evoquer une situation personnelle ou faire appel à un vécu partagé...

(= ton, intonation, musicalité de la voix)Projection de la voix, variation d'intonations, silences, répétitions...

Annoncer puis rappeler le plan, récapituler...

Rigueur scientifique, fiabilité des sources...Démontrer, étapes d'un processus, conceptualiser, lien entre réel/modèle/expérimental...

Interpeler, faire référence au support transmis, reformuler, partager son expérience...

Se présenter, démarrer un propos, articuler des arguments, terminer la présentation pour engager l'échange...

Exemple SVT

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Identifier les focales d'écoute...

APPROPRIATION DES ATTENDUS

Objectif : faire sienne la grille pour l'oublier

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Identifier les focales d'écoute...

Connaissances

APPROPRIATION DES ATTENDUS

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Identifier les focales d'écoute...

Connaissances

Argumentation

APPROPRIATION DES ATTENDUS

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Identifier les focales d'écoute...

Connaissances

Argumentation

Prise de parole en continu

APPROPRIATION DES ATTENDUS

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Identifier les focales d'écoute...

Connaissances

Argumentation

Prise de parole en continu

Interaction(s)

APPROPRIATION DES ATTENDUS

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Identifier les focales d'écoute...

Connaissances

Argumentation

Prise de parole en continu

Interaction(s)

Qualités orales

APPROPRIATION DES ATTENDUS

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Focale par focale, quelles informations prélever pour situer l'élève par rapport aux attendus du genre défini par les textes ?

APPROPRIATION DES ATTENDUS

Objectif : faire sienne la grille pour l'oublier

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

APPROPRIATION DES ATTENDUS

Focale par focale, quelles informations prélever pour situer l'élève par rapport aux attendus du genre défini par les textes ?

solidesprécises (vocabulaire)appropriées (que l'élève a fait siennes et qu'il peut redéfinir)

construite (parcours, cheminement)exploration d'une question et de ses enjeuxarticulation des savoirsréflexion personnelle, qui a imposé de faire des recherches (le cours ne suffit pas)implication du candidat et ouverture (esprit critique, curiosité intellectuelle)

Connaissances

Argumentation

Prise de parole en continu

Qualités orales

développée (tenir et gérer le temps)un discours préparé (élaboré, fluide)un discours clair et adressé (s'assure de l'écoute par différents signaux)

Qualités de la voix (audible, articulée, modulée)Corps (posture, gestes, regards)

PRISE PAROLE en CONTINU -> PAROLE FLUIDE (discours préparé, élaboré) -> PAROLE DÉVELOPPÉE -> PAROLE CLAIRE et ADRESSÉE (prise en compte des signaux)

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

APPROPRIATION DES ATTENDUS

ou

APPROPRIATION DES ATTENDUS

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

?

GRAND ORAL - Évaluation

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Objectif : faire sienne la grille pour l'oublier

APPROPRIATION DES ATTENDUS

GRAND ORAL - Évaluation

CONSTRUIRE UNE CULTURE COMMUNE DE L'ECOUTE

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Objectifs

commencer à se mettre d'accord / à créer une culture commune de l'écoute des 5mncommencer à créer une réflexion autour de l'écoute donner de la valeur à la parole pourpréparer la partie interactions (situation d'examen)mieux préparer l'élève (situation d'entraînement)

GRAND ORAL - Évaluation

CONSTRUIRE UNE CULTURE COMMUNE DE L'ECOUTE

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

Pendant l'écoute vous allez relever des informations pour situer l'élève par rapport aux attendus.

1

Ecoute

Impressions et positionnement

2

GRAND ORAL - Évaluation

CONSTRUIRE UNE CULTURE COMMUNE DE L'ECOUTE

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

x

x

x

x

GRAND ORAL - Évaluation

TRANSFERT ?

Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers

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GO Ac Poitiers - Evaluation - Partage Twitter

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Virginie Roche, Johann Boeuf et Simon Tournerie - Académie Poitiers GRAND ORAL - Évaluation Virginie RocheLycée Charles A.

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Travailler l'oral_Les bases de la rhétorique

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Histoire des Mathématiques - Idées de sujets historiques 

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Histoire des Mathématiques - Idées de sujets historiques 

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Site du professeur Bernard Ycart Université Grenoble-Alpes

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Récits d'histoire des mathématiques, vie des mathématiciens, grands textes mathématiques, en liaison avec les programmes d'enseignement

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Une carte interactive de l'Histoire des Mathématiques IREM

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Une carte interactive de l'Histoire des Mathématiques IREM

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Pour utiliser la carte en plein écran, cliquer sur l'icône en haut à droite

L'approche historique et culturelle des mathématiques dans les programmes : de nouveaux angles pour l'apprentissage et l'enseignement de cette discipline

Que ce soit dans les programmes de la refondation de l'école (2015) ou dans le référentiel de l'éducation prioritaire (2013), la question de la confrontation explicite des élèves aux dimensions culturelles et historiques des mathématiques est nouvelle. Toutefois, depuis de nombreuses années, on trouve des travaux de recherche et de nombreux ouvrages pédagogiques et culturels qui irriguent ces formes d'enseignements, celles-ci étant plus ou moins mises en œuvre.

Certes, des enseignants, par des initiatives personnelles ou collectives (impulsions au sein d'une équipe, d'une circonscription, d'un réseau...) garnissent leur enseignement de récits convoquant des mondes extra-scolaires, en particuliers des récits nourris de culture mathématique (anecdotes, références à des sites, usage de documents authentiques, ouvrages, en particuliers certains manuels scolaires, conférences...), mais cela ne découlait pas d'une demande explicite des programmes en mathématiques (même si dans l'ancienne version du socle, le pilier cinq, dit " culture humaniste " pouvait servir de garantie institutionnelle pour ce type d'entreprise).

Dorénavant, suite à la refondation de l'École, le socle commun a été enrichi du terme " culture ", venant s'ajouter à ceux de " connaissances " et " compétences " déjà existants. Toutes les disciplines sont concernés, les mathématiques en particuliers, dès lors, on peut se poser la question de quelle culture, de quelle histoire parle-t-on ? Quelle histoire mathématique à enseigner ? Quelles formes pédagogiques ? (étude de textes authentiques, conférences-débat, conférence-atelier, mise en scène sous forme de saynètes, recherche multimédia...), y aurait-il des " incontournables " ou au contraire faut-il viser la diversité ? Et enfin quelle formation initiale et continue pour les enseignants du premier et du second degré, sur ces formes d'enseignements ?

On lit dans le référentiel éducation prioritaire : " Les élèves sont confrontés aux dimensions culturelles et historiques des savoirs enseignés pour les doter d'une culture qui leur donne des références indispensables pour situer les savoirs " et aussi par exemple, dans les programmes du cycle 3, en ce qui concerne les mathématiques, il est stipulé que " la mise en perspective historique de certaines connaissances (numération de position, apparition des nombres décimaux, du système métrique, etc.) contribue à enrichir la culture scientifique des élèves ".

En quoi la confrontation aux dimensions culturelles et historiques des mathématiques pose de nouveaux dilemmes aux enseignants ?

Un faisceau de nouvelles questions se présente à l'enseignant :
Peut-on calquer la construction des savoirs dans l'histoire à la construction des savoirs par les élèves ?
La prise en compte de la rencontre de l'épistémologie (construction des savoirs mathématiques dans l'histoire, versant phylogénétique) et de la didactique (construction des savoirs par les apprenants, versant ontogénétique) implique de penser le lien entre les deux dynamiques. Notons que l'une ne peut pas se calquer stricto-sensu sur l'autre, c'est le cas de l'exemple de l'enchaînement " nombres naturels, fractions puis nombre décimal " qui est historique, toutefois il est fort à parier que les obstacles rencontrés par l'Humanité soient des obstacles pour les élèves.

L. Desmet explique : " Cette approche [ " nombres naturels, fractions puis nombre décimal "] est pertinente à condition d'inhiber certaines connaissances sur les entiers naturels pour comparer les fractions par exemple (1/4 est plus petit que 1/3 malgré la connaissance que l'on a des entiers 3 et 4 et de leur ordre). " Certains chercheurs qui se sont exprimés, pensent que " la compréhension du système décimal est plus essentielle à la compréhension des nombres décimaux que la compréhension des fractions ", et tempèrent en expliquant qu'" il est impensable d'aborder les nombres décimaux sans que le fractionnement de l'unité en part égales n'ait été abordé au préalable ".

Quels nouveaux gestes pédagogiques demande une approche historique et culturelle des mathématiques ?
L'approche épistémologique demande un rapport au savoir qui s'inscrit dans le temps et l'espace en prise avec une construction sociopolitique des savoirs, ceux-ci étant ainsi recontextualisés, et de ce fait, demande l'élaboration d'un corpus documentaire, qui n'est ni l'échafaudage de concepts, ni l'usage de techniques de résolution de problème, mais une médiation entre ces derniers et l'histoire de la construction des savoirs mathématiques et de leurs usages.

Cet aspect est, pour certains enseignants, complètement étranger ; il est loin d'être évident de travailler à partir de documents historiques dans la classe. D'autre part, ce corpus n'est pas facilement identifiable, tant il est vaste, et n'est pas toujours adapté en l'état pour une mise en forme pédagogique et didactique, d'autant que les enseignants, formateurs, pilotes, premier ou second degré, n'ont pas forcément croisé, de manière institutionnelle, dans leur formation, la question de l'enseignement d'aspects culturels et historiques des mathématiques.

G. Brousseau nous rappelle que " les obstacles didactiques d'origine épistémologique sont ceux auxquels on ne peut, ni ne doit échapper, du fait même de leur rôle constitutif dans la connaissance visée. On peut les retrouver dans l'histoire des concepts eux-mêmes. Cela ne veut pas dire qu'on doit amplifier leur effet ni qu'on doit reproduire en milieu scolaire les conditions historiques où on les a vaincus. "

Comment les langues, terreaux de cultures, pour parler " mathématiques " portent en elles des concepts ?
En ce qui concerne l'approche culturelle des mathématiques, celle-ci soulève des difficultés, qui peuvent être présentes au cœur de la langue française. C'est le cas des transcodages entre structure des mots-nombres et chiffres-nombres (l'exemple de " quatre-vingt-dix " et " 90 ", abordé au cycle 2, étant emblématique d'un transcodage difficile et opaque quant aux structures sous-jacentes), mais aussi socioculturelle, comme le transcodage des mots-nombres entre langues, même issues de la francophonie (par exemple, " quatre-vingt-dix " en France qui se dit " nonante " en Belgique).

Il peut sembler difficile pour certains enseignants de faire vivre d'autres langues dans leur classe, peut-être pour ne pas brouiller leur message didactique par crainte d'une maîtrise incertaine de ces langues. À l'inverse, faire vivre des transcodages qui ne vivent que dans la classe (par exemple compter avec les mots-nombres chinois ou turcs, très proches de la structure décimale) ne garantit pas leurs transpositions dans l'environnement extra-scolaire de l'élève, peut être perçu par ce dernier comme une singularité dans son parcours scolaire et être peu mobilisé dans ses apprentissages sur le long terme. Néanmoins, notons que l'approche par les questions historiques et culturelles en mathématiques peut s'avérer être un levier puissant pour travailler les composantes symboliques, culturelles et cognitives des apprentissages, par exemple la connaissance de l'origine arabe du mot " chiffre " (son origine signifiant " zéro ") ou l'origine latine du mot " calcul " (son origine signifiant " caillou ") sont des passerelles simples et efficaces qui renseignent facilement les élèves sur l'enracinement des savoirs dans les langues.
Dans la culture mathématique, comment faire vivre les dialectiques entre concepts-objets et concepts-outils ?
L'entrée dans l'histoire et la culture des mathématiques montre l'enracinement de celles-ci dans des questions extra-mathématiques, et illustre comment des concepts mathématiques peuvent sous-tendre d'autres champs disciplinaires comme la musique, l'architecture, les lettres, la géographie, etc., et qui, bien que répondant au prescrit lié à l'interdisciplinarité, ajoute de la complexité dans les choix que les enseignants doivent réaliser dans leur démarche pédagogique au risque de brouiller une certaine conscience disciplinaire, mais n'en est pas moins cruciale pour la formation des élèves et la construction d'une conscience des visées humanistes des mathématiques, en témoignent les mots du mathématicien Charles Gustave Jacobi écrivant à cet autre illustre mathématicien Adrien-Marie Legendre, en 1830 : " ...que le but unique de la science, c'est l'honneur de l'esprit humain et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu'une question de système du monde ".

Une carte-ressource qui se veut utile, utilisable, acceptable et appropriable

Henrique Vilas Boas, enseignant de mathématique dans un REP+ (réseau d'éducation prioritaire), chargé d'étude au centre Alain Savary-Ifé-ENS et ancien formateur académique de l'académie de Lyon, propose une carte interactive, à la fois chronologique et spatiale, qui vise à faire connaître un corpus documentaire sur l'histoire et la culture des mathématiques, afin de permettre aux enseignants, coordonnateurs, formateurs et pilotes en éducation prioritaire ou ailleurs, d'identifier en un coup d'œil un cadre mathématique, une région du Monde et une époque.

Cette carte lui semble utile, en ce qu'elle constitue une ébauche de corpus documentaire (textes, audios et vidéos) construit à partir de références solides et stables (IREM, académies, laboratoires scientifiques...). Elle lui semble aussi utilisable car elle offre des repères, à la fois spatiaux et chronologiques, qui situent certaines mathématiques pratiquées ou pensées dans l'Histoire, mais aussi celles que l'on fabrique à l'école (comme les tablettes mésopotamiennes qui étaient probablement, pour certaines, des tablettes "d'étudiants").

Enfin, elle lui semble acceptable car il a cherché des ressources gratuites, sans publicités et garanties auprès des différents instituts, chercheurs, formateurs et enseignants qui offrent tous, avec acuité, un regard historique et culturel sur les mathématiques. Enfin, il souhaite que cette ressource soit le mieux possible appropriable, en particulier dans les réseaux d'éducation prioritaire, dans un souci de synthèse, sans rechercher l'exhaustivité, par la possibilité de se saisir d'extraits d'un corpus documentaire exigeant, mais à destination de non-experts de l'histoire et de l'épistémologie des mathématiques, de travailler avec les élèves ou pour le seul nourrissage culturel des enseignants, des formateurs ou d'une équipe de réseau, afin d'alimenter solidement les récits en la matière.
Comment utiliser la carte ?
Pour utiliser la carte, on peut cocher ou décocher les périodes (elles ont été choisies arbitrairement pour faciliter la recherche), on peut choisir une icône dans la carte (voir ci-dessous la légende iconographique), ou écrire un mot clé à l'aide de l'icône " loupe " (par exemple : " nombre ", " mesurer ", " Chine ", " IREM ", " Al Kindi ").

Chaque icône a été choisie pour un cadre visé, néanmoins des choix arbitraires ont parfois été faits et il se peut qu'il y ait plus d'informations que ce qui est indiqué.

Remerciements et point de vigilance
Les images ont été choisies libres de droit, néanmoins il se peut qu'il y ait des erreurs, merci de signaler tout problème de droit à l'image. Enfin de nombreux liens ont été proposés (IREM d'Aix-Marseille, de la Réunion, de Lyon, de Paris, de Basse-Normandie, de Rennes, de Poitiers, ICEM pédagogie Freinet, Educmaths-ENS, EducTice-ENS, Académie de Caen, Paris, Lyon, Grenoble, Lille, l'APMEP, Images des mathématiques du CNRS, vidéothèque du CNRS, l'UNESCO, CIJM, l'AMUCHMA, le site Matou Matheux, la revue en ligne québécoise acromaths, le site Dimension, le site mathématiques magiques, CanalU, le site Fermat science, la revue en ligne MathémaTICE, l'Académie des sciences, l'Académie des langues kanak, le site enseignement-latin, le site de métrologie française, le site Culture Maths de l'ENS, le site ethnographiques.org, l'observatoire astronomique de Lyon, France-TV et le site Statistix). Chaque lien est accompagné d'un petit texte de présentation des auteurs et du contenu, et aussi de repères sur l'usage dans le cycle approprié. Nous remercions chaleureusement tous les contributeurs qui ont bien voulu nous autoriser à diriger les liens sur leur site.

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Une carte interactive d'histoire des mathématiques

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Henrique Vilas Boas, enseignant de mathématique dans un REP+ (réseau d'éducation prioritaire), chargé d'étude au centre Alain Savary-Ifé-ENS et ancien formateur académique de l'académie de Lyon, propose une carte interactive, à la fois chronologique et spatiale, qui vise à faire connaître un corpus documentaire sur l'histoire et la culture des mathématiques, afin de permettre aux enseignants, coordonnateurs, formateurs et pilotes en éducation prioritaire ou ailleurs, d'identifier en un coup d'œil un cadre mathématique, une région du Monde et une époque.

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Récits d'histoire des mathématiques, vie des mathématiciens, grands textes mathématiques, en liaison avec les programmes d'enseignement

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Propriétés et utilisation des suites adjacentes

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Propriétés et utilisation des suites adjacentes

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Exemples de suite vérifiant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients constants : FIBONACCI

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Exemples de suite vérifiant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients constants : FIBONACCI

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Etude de la convergence de la méthode de Héron

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Etude de la convergence de la méthode de Héron

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La méthode de Héron dans le cas particulier de 2

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Modèles d'évolutions de populations : le modèle logistique

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Modèles d'évolutions de populations : le modèle logistique

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Autres sources sur les modèles d'évolutions de populations :

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Autres sources sur les modèles d'évolutions de populations :

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Vers la médecine : Dépistage systématique ? 

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Vers la médecine : Dépistage systématique ? 

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Prévalence, Sensibilité, spécificité, valeurs prédictives ...

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Cette loi d'équilibre, formulée en 1908 par le mathématicien anglais Hardy et le médecin allemand Weinberg, est le modèle central de la génétique des populations : "Dans une population de grande taille où les individus s'unissent aléatoirement, les fréquences des génotypes restent stables de génération en génération, et ne dépendent que des fréquences de la génération initiale."

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http://uel.unisciel.fr/biologie/genepop/genepop_ch02/co/apprendre_ch2_01.html

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A framework for easily creating beautiful presentations using HTML

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Désintégration radioactive : fonction ln , primitives , fonction exp ...

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Désintégration radioactive : fonction ln , primitives , fonction exp ...

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La désintégration radioactive et la décroissance exponentielle

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Autre document de l'académie de Versailles

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Autre document de l'académie de Versailles

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Propositions de questions d'histoire des mathématiques pour le grand oral du bac

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Nouveau document avec idées de sujets Académie de Strasbourg

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Nouveau document avec idées de sujets Académie de Strasbourg

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DM 13 + ce lien vers le site ACCROMATHS

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Le dépistage massif est un élément essentiel de la lutte contre la propagation du coronavirus. Mais comment parer à une éventuelle pénurie de réactifs et de matériel ? En opérant les tests sur des mélanges de prélèvements et en faisant appel aux mathématiques.

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Les maths au quotidien, des applications mathématiques interactives et téléchargeables au plus proche de la vie courante

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Article très pédagogique CNRS - Le modèle SIR

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Article très pédagogique CNRS - Le modèle SIR

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- Ecrit par Piste rouge Le 29 octobre 2020 Corentin Bayette, avec la participation de Marc Monticelli pour les simulations
Lire l'article en

Pour les États et pour les organisations internationales, comme l'Organisation mondiale de la santé (OMS) ou l'Union européenne (UE), connaître l'évolution d'une épidémie humaine (grippe H1N1, virus Ebola, coronavirus), animale (grippe aviaire, peste porcine, rage) ou végétale est primordial.

En cas de menace sanitaire grave appelant des mesures d'urgence, notamment en cas de menace d'épidémie, le ministre chargé de la santé peut, par arrêté motivé, prescrire dans l'intérêt de la santé publique toute mesure proportionnée aux risques courus et appropriée aux circonstances de temps et de lieu afin de prévenir et de limiter les conséquences des menaces possibles sur la santé de la population.

Article L3131-1 du code de santé publique

Cette étude permet en effet de prédire l'évolution de la maladie au cours du temps et a pour but principal de guider les dirigeants dans la prise de décision en termes de santé publique. La vaccination, la mise en quarantaine, la protection de certaines populations à risque (personnes âgées, personnes immunodéprimées ou enfants) sont des exemples de politiques sanitaires à mettre en place pour répondre à ces crises.

Il convient dès à présent de préciser que les modèles mathématiques sont des modèles simplifiés, ayant des limites dont il faut être conscient. Ils restent toutefois utiles pour tenter de prévoir l'évolution d'une épidémie.
Ces décisions sont donc " motivées " par de tels modèles, nous commençons par le modèle SIR.

Le modèle SIR

Le modèle SIR est un exemple de modèle à compartiments, c'est à dire que l'on divise la population en plusieurs catégories.
Pour une population donnée, on étudie la taille de trois sous-populations au cours du temps $t$ : $S(t)$ représente les personnes saines (susceptible en anglais) au temps $t$, $I(t)$ les personnes infectées (infected), et $R(t)$ les personnes retirées (removed) ; $N=S(t)+I(t)+R(t)$ représente alors la population constante totale au cours du temps. Il convient de bien différencier les personnes saines des personnes retirées : les personnes saines n'ont pas encore été touchées par le virus, alors que les personnes retirées sont guéries, et donc immunisées. Autrement dit, les personnes retirées ne sont plus prises en compte. Par conséquent, le modèle SIR ne s'occupe pas directement de prédire la mortalité de l'épidémie, pour cela il faut un autre modèle : le modèle SEIR qui est introduit dans le second article Modélisation d'une épidémie, partie 2. Le modèle SIR peut donc être représenté par le schéma suivant :

Ici, $\beta$ représente le taux de transmission, c'est à dire le taux de personnes saines qui deviennent infectées et $\gamma$ le taux de guérison, c'est à dire le taux de personnes infectées qui deviennent retirées. Mathématiquement, le modèle SIR est donné par le système suivant :

\[ \begin{cases} \displaystyle \frac{dS(t)}{dt} &=& -\beta S(t)I(t)&(1.1)\\ \displaystyle \frac{dI(t)}{dt} &=& \beta S(t)I(t)-\gamma I(t)&(1.2)\\ \displaystyle \frac{dR(t)}{dt} &=& \gamma I(t)&(1.3) \end{cases} \]
Comment lire ce système ?
Les dérivées $\frac{d}{dt}$ permettent de connaître la variation (c'est à dire si c'est croissant ou décroissant) des fonctions $S$, $I$ et $R$ en fonction du temps $t$, afin d'en décrire l'évolution au cours du temps. Le terme $S(t)I(t)$ représente le nombre de contacts entre des personnes saines et des personnes infectées. $\beta$ étant le taux de transmission, il y a dès lors $\beta S(t)I(t)$ personnes nouvellement infectées. Celles-ci se soustraient des personnes saines (1.1), et s'ajoutent aux personnes infectées (1.2). De même, parmi les personnes infectées, certaines vont guérir : $\gamma$ étant le taux de guérison, il a $\gamma I(t)$ personnes nouvellement guéries qui s'enlèvent des personnes infectées (1.2) et s'ajoutent aux personnes retirées (1.3).

Voici ce que l'on peut obtenir grâce à une résolution numérique :

Datant de 1927 [ ST], ce modèle peut paraître simple, trop simple même, mais il est efficace : il a aidé à la politique sanitaire de vaccination contre la variole au début du XX$^{e}$ siècle. Les personnes saines vaccinées deviennent en effet directement retirées, et à terme l'épidémie s'arrête. Or, une politique de vaccination visant à vacciner 100% de la population est quasiment impossible : il faut donc trouver le bon équilibre pour vacciner une partie de la population assez importante pour ralentir, puis arrêter l'épidémie. C'est ce qu'a permis le modèle SIR.
Une complexification de ce modèle est le modèle SEIR qui permet de prendre en compte plus de paramètres de la population ou du virus et qui fait l'objet de la partie 2 de cet article. Faisons maintenant un tout petit peu de théorie mathématique.

Un petit peu de maths : taux de reproduction et théorème du seuil

De manière purement mathématique, nous pouvons dire que : les limites des fonctions $S(t),I(t)$ et $R(t)$ existent lorsque $t$ tend vers $+\infty$ (voir [ HW]). De plus, \[\lim_{t \to +\infty}I(t)=0,\] c'est à dire que l'épidémie s'arrête forcément. Ce point de vue est purement mathématique, il prend en compte le cas extrême où l'épidémie s'arrête puisque la population est totalement décimée... Il prend aussi en compte le cas où la population est vaccinée ou immunisée (immunité naturelle ou collective). C'est pourquoi, des mesures politiques sont prises pour arriver à diminuer le temps avant l'arrêt de l'épidémie. Pour cela, il est nécessaire de réduire ce qu'on appelle le taux de reproduction $R_0$ :

Définition : Le taux de reproduction $R_0$ est le nombre moyen de cas secondaires produits par un individu infectieux au cours de sa période d'infection.

Au début de l'épidémie, l'expression de $R_0$ est $\beta/\gamma$ puisque $1/\gamma$ représente la durée moyenne de la maladie et qu'au début, les personnes rencontrées sont presque toutes saines.

Ici, on prend $R_0=3$ : cela signifie que chaque personne contaminée va en contaminer 3 autres.

Réaction en chaîne : Le premier contaminé va contaminer 3 personnes, donc 4 personnes de contaminées. Ces trois nouvelles personnes contaminées vont en contaminer CHACUNE trois autres : 9 nouvelles personnes sont contaminées. Il y a donc 13 personnes contaminées au total. Ces 9 personnes vont à leur tour contaminer chacune trois personnes pour un total de 40 contaminées ; et ainsi de suite...

Avant d'être utilisé en épidémiologie, ce concept a été à l'origine utilisé en démographie. Pour un historique plus complet, une définition plus précise mais aussi plus difficile du taux de reproduction, lisez l'article Dynamique des populations (piste rouge) publié sur ce site au moment de la grippe H1N1.

Nous pouvons alors énoncer le théorème du seuil :

Théorème : Si $R_0>1$, alors $I(t)$ croît, atteint son maximum puis décroît vers 0 quand $t$ tend vers $+\infty$ : c'est une épidémie.

Sinon, $I(t)$ décroît directement vers 0 quand $t$ tend vers $+\infty$ : il n'y a pas d'épidémie.

C'est sur ce théorème que se basent les scientifiques et les politiques lorsqu'ils disent, pour l'épidémie de Covid-19 notamment, qu'il faut à tout prix réduire $R_0$ pour le rendre le plus proche possible de 1. Voici deux cas un peu extrêmes qui illustrent le théorème du seuil sur le modèle SIR :

La définition de $R_0$, la démonstration du théorème et d'autres résultats sont disponibles dans [ HW].

Restons encore un peu sur le modèle SIR pour illustrer comment la modification des paramètres peut impacter le tracé de la courbe.

Efficacité des mesures prises et effets sur la courbe

Au final, à quoi sert cette modélisation ? Comment voir l'effet des décisions sur l'évolution d'une épidémie ? Voici quelques exemples simples où nous avons modifié un paramètre (et fixé les autres) :

Modification du taux de transmission

Ce taux peut être abaissé par des mesures comme la distanciation sociale, le confinement ou la fermeture de certains lieux.

On observe très clairement que le pic de courbe de $I$ (en orange) est moins haut (0,8 contre 0,6) et que la courbe est plus étalée. De plus, la courbe de $S$ (en bleu) décroit beaucoup plus rapidement à gauche qu'à droite.

Modification du taux de guérison

L'état d'un système de santé ou l'existence d'un traitement peuvent permettre d'augmenter ce taux.

Comme précédemment, on voit clairement l'effet sur le pic de la courbe de $I$ (infectés, en orange) : de 90% de la population infectée à 60%.

Modification des deux à la fois

La combinaison de mesures permettant de baisser le taux de transmission (mesures sanitaires) et d'augmenter le taux de guérison (mesures médicales et recherche) permettent de modifier le pic de la manière suivante :

L'effet sur le pic de la courbe de $I$ (orange) est indiscutable : on passe d'une hauteur de 0,9 (avec une courbe qui " descend lentement ") à une hauteur de 0,5 (avec une courbe qui " descend " quasiment directement et très rapidement). En outre, le nombre de personnes saines (courbe bleue) décroit très rapidement vers 0 à gauche contrairement à la courbe de $S$ (en bleu) à droite qui reste au-dessus de 0,1.

Modification interactive

Vous pouvez vous-même illustrer l'effet de la modification des paramètres avec cette simulation interactive.

Remarque importante : Les taux considérés ci-dessus le sont à des fins pédagogiques et pour illustrer au mieux : ils ont été choisis arbitrairement. Ces courbes ne reflètent pas la situation actuelle du Covid-19, contrairement à la suite de l'article.

Une autre simulation interactive : discrète et aléatoire

La simulation suivante illustre la propagation du Coronavirus Covid-19 et est interactive, elle n'est pas basée directement sur le modèle SIR mais sur un modèle plus compliqué (qui prend en compte plus de paramètres). Cette simulation a en effet des points communs avec le modèle SIR (3 sous-populations : saines, infectées, retirées) mais également des différences majeures : elle est discrète (chaque point représente une personne) et aléatoire (afin de modéliser les déplacements des personnes et leurs potentiels contacts). Elle permet ainsi de voir plus précisément l'impact de la modification des paramètres sur l'évolution du virus. Vous pouvez à nouveau simuler la propagation du virus en modifiant des paramètres comme le temps de guérison ou le nombre d'individus infectés initialement.

Pour les tablettes : ça se passe ici sur le site du CNRS pour une version pleine page.
Les personnes saines (S - pas encore infectées), infectées (I) et retirées (R - guéries et donc immunisées) sont représentées par des points gris, rouges et verts respectivement.
Une simulation interactive plus riche en paramètres (mortalité, confinement) est disponible dans la seconde partie.

Efficacité des mesures : l'exemple du Royaume-Uni

Modifier les paramètres sur nos simulations proches du modèle SIR nous a permis de tirer quelques conclusions quant à la modification de la courbe. Des simulations plus complexes existent : les épidémiologistes utilisent également des modèles, plus réalistes et plus sophistiqués, pour essayer d'évaluer les différentes mesures de santé publique. Aussi, pour les plus motivés et bilingues, ce papier (format PDF) du Imperial College London daté du 16 mars 2020 étudie l'impact des décisions non-pharmaceutiques pour réduire la mortalité du Covid-19 au Royaume-Uni et aux États-Unis. Y sont notamment discutées les mesures de fermeture des écoles, de quarantaine des personnes infectées, de la distanciation sociale et du confinement. Le modèle utilisé est sensiblement plus compliqué que le modèle SIR : il prend en compte l'espace (l'emplacement des écoles et des lieux de travail notamment) et est basé sur les interactions entre individus dans la population. On considère qu'il y a transmission lorsqu'il y a contact entre une personne infectée et une personne saine, que ce soit à la maison, à l'école, au travail ou de manière aléatoire dans l'espace public. Les paramètres utilisés (taux de reproduction, taux d'incubation, durée de contagiosité, etc.) sont choisis d'après les premiers travaux chinois étudiant le Coronavirus à Wuhan. Le virus se propageant, les données sur le virus se précisent et les paramètres utilisés pour les modélisations sont donc modifiés en conséquence.
L'effet des mesures sanitaires sur l'évolution de l'épidémie au Royaume-Uni est principalement étudié dans ce texte, on peut entre autres y trouver ce graphique :

Comparaison du nombre de lits occupés au Royaume-Uni selon différentes mesures prises

Il illustre l'effet des décisions sur le nombre de lits en réanimation/soins intensifs occupés pour 100 000 personnes. On voit très bien que la courbe bleu clair (confinement, quarantaine et distanciation sociale des personnes de plus de 70 ans) est beaucoup plus " étalée " et avec un pic moins " haut " que la courbe noire (aucune mesure) : ce qui est très important pour l'hôpital. Dans le premier cas, le nombre de malades graves est très élevé et sur un temps très court, dépassant largement les capacités de l'hôpital. A l'inverse, avec l'ensemble des mesures prises, le nombre de malades graves est plus faible et sur un temps plus long, ce qui peut permettre à l'hôpital de se préparer, d'adapter sa capacité et de prendre en charge plus de personnes. Il y est également écrit que, dans un cas idéal, ces mesures peuvent permettre de réduire le pic de l'épidémie de deux tiers et de diviser le nombre de morts par 2 !

Conclusion et mise en garde

Le modèle SIR, pourtant relativement simple, permet donc d'obtenir une première modélisation d'une épidémie et d'observer l'impact des mesures sanitaires sur son l'évolution. Nous verrons dans un second article comment le modifier pour prendre en compte des paramètres supplémentaires comme l'âge des personnes ou la démographie de la population.
Il convient de rappeler pour conclure que les modélisations restent des outils mathématiques qui aident à prévoir l'évolution d'une épidémie donnée ; ils sont certes précis et rigoureux, mais calculés à un moment donné, avec des paramètres donnés et dans un contexte plutôt idéal. Modéliser la réaction et le comportement des gens, l'évolution du virus (mutation éventuelle) et tous les autres paramètres à la situation est extrêmement difficile. C'est pourquoi, à l'image des sondages et des statistiques, il est nécessaire de les utiliser, de savoir les lire mais aussi de les comprendre. Il faut ainsi trouver le bon équilibre entre : considérer sérieusement les modèles d'épidémies obtenus après modélisation et prendre du recul sur la situation.

La suite ici : Modélisation d'une épidémie, partie 2

Références

[HW]
Howard Weiss, The SIR model and the Foundations of Public Health, MATerials MATemàtics, Publicació electrònica de divulgació del Departament de Matemàtiques de la Universitat Autònoma de Barcelona, 2013.

[ST]
Suzanne Touzeau, Modèles épidémiologiques, AgroParisTech (cours au format PDF), 2010.

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Ecrit par Piste rouge Le 29 octobre 2020 Corentin Bayette, avec la participation de Marc Monticelli pour les simulations Lire l'article en Pour les États et pour les organisations internationales, comme l'Organisation mondiale de la santé (OMS) ou l'Union européenne (UE), connaître l'évolution d'une épidémie humaine (grippe H1N1, virus Ebola, coronavirus), animale (grippe aviaire, peste porcine, rage) ou végétale est primordial.

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Un exemple de modélisation : La modélisation proposée ici est sans doute la première intervention des mathématiques dans un problème épidémiologique. Elle est due à Daniel Bernoulli(suisse, 1700-1782)

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Un exemple de modélisation : La modélisation proposée ici est sans doute la première intervention des mathématiques dans un problème épidémiologique. Elle est due à Daniel Bernoulli(suisse, 1700-1782)

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Le modèle Proies Prédateurs Maths Expertes Matrices

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Le modèle Proies Prédateurs Maths Expertes Matrices

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Histoire de la fonction logarithme népérien

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Histoire de la fonction logarithme népérien

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Maths Informatique La sécurité des mots de passe

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Maths Informatique La sécurité des mots de passe

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Comment arrive-t-on à fixer des cibles à atteindre pour la réduction de gaz à effet de serre? Quel est l'impact de les négliger? Ou même d'en dévier un peu? Pour répondre à de telles questions, on gagne à se tourner vers la modélisation et la simulation.

Un monde en profond changement

Pour avoir une idée de ce que nous réserve l'avenir, il est souvent d'usage d'extrapoler à partir du passé. Une telle approche ne peut suffire lorsque des changements importants modifient en profondeur la structure du système étudié. Il nous faut alors étudier de plus près les différentes dynamiques en jeu.

C'est le cas avec les changements climatiques qui résultent de l'impact des activités humaines sur l'environnement. Quand on considère l'ensemble des dynamiques qui régissent les conditions sur notre planète, il est clair qu'il s'agit d'un système extrêmement complexe et qu'il faut pour le comprendre cibler ce qui nous intéresse en le mettant en relation avec les éléments susceptibles de l'influencer.

De tous les phénomènes associés aux changements climatiques, nous avons choisi d'examiner de plus près le réchauffement planétaire. Un des éléments susceptibles d'influencer la température est la quantité des gaz à effet de serre dans l'atmosphère, parmi lesquels le CO ₂ est dominant. Ce gaz, présent dans la nature et nécessaire à la photosynthèse des plantes, a vu sa concentration dans l'atmosphère augmenter de façon importante avec la combustion des énergies fossiles. Pour mieux comprendre la perturbation climatique que cela engendre et les effets des restrictions éventuelles, on gagne à considérer le cycle du carbone qui se déploie sur notre planète, c'est à dire l'itinéraire que parcourt le carbone dans les différentes composantes du système terrestre. Pour modéliser ce système complexe, il peut être intéressant d'adopter l'approche de la dynamique des systèmes (voir encadré).

La dynamique des systèmes

La dynamique des systèmes, conçue par Jay W. Forrester, est une façon d'aborder l'étude d'un système complexe en considérant les relations entre différentes composantes qui interagissent entre elles, possiblement avec un délai ou des boucles de rétroaction. On représente souvent de tels systèmes comme des ensembles de réservoirs communiquant entre eux. En décrivant le mouvement de substances (ou de populations) depuis, vers ou entre ces différents réservoirs (ou compartiments) et en définissant des valeurs initiales pour le contenu de chacun de ces réservoirs (ou stock), on peut construire un modèle qu'il est possible de simuler. Les mouvements (ou flux) sont décrits par la quantité de substance entrant dans ou sortant d'un réservoir par unité de temps. Ces quantités peuvent dépendre de différents éléments du système.

Si tous les mouvements se font d'un réservoir à l'autre, le système est dit fermé. S'il peut entrer quelque chose dans un réservoir qui provient de l'extérieur du système ou s'il est possible que quelque chose sorte du système depuis l'un de ses réservoirs, le système est dit ouvert.

Jay W. Forrester (1918-2016)

Jay Wright Forrester est considéré comme le père de la dynamique des systèmes. Né au Nebraska, il prit en charge l'électrification du ranch familial avant la fin de ses études secondaires. Après un diplôme en génie électrique, il entra au MIT en 1939 et se spécialisa dans la conception de servomécanismes. Directeur du laboratoire informatique du MIT (1945 à 1951), il accepta en 1956 une chaire de professeur à l'École de gestion Sloan de cette institution. Il reconnaîtra dans les problèmes de gestion des occasions d'application des principes du génie et de la simulation informatique; c'est là que naîtra la dynamique des systèmes comme approche de modélisation. Dans ses livres Industrial Dynamics, Urban Dynamics et World Dynamics, il montre la portée de ces idées pour traiter de problématiques émanant autant des organisations humaines que de l'environnement physique.

Un modèle simple du cycle du carbone

Au regard du cycle du carbone, la planète Terre peut être vue comme un système fait de cinq réservoirs : la biosphère terrestre, l'atmosphère, le sol (lithosphère), l'océan de surface et l'océan profond (hydrosphère).

Cette représentation est à la base du modèle simple que proposait en 2005 le professeur émérite William M. White de l'Université Cornell à ses étudiants en sciences de la terre.

Le modèle proposé fait l'hypothèse qu'en l'absence de combustion des énergies fossiles, le carbone circule dans un système fermé et à l'équilibre. Ça ne veut pas dire que rien ne s'y passe ou qu'il n'y a aucune variabilité saisonnière ou entre les régions. Mais de façon globale, à l'échelle de la planète et pour une période couvrant quelques siècles voire quelques milliers d'années, le mouvement est passablement le même d'une année à l'autre, et les stocks de carbone dans les réservoirs restent à peu près stables. Voyons comment en examinant de plus près la façon dont le modèle caractérise le déplacement du carbone entre les différents réservoirs.

Considérons d'abord la triade terrestre du modèle, constituée de l'atmosphère, de la biosphère terrestre, et de la lithosphère (ou sol). La version la plus simple du modèle proposé par White considère constants les flux annuels entre ces réservoirs. Le schéma ci-dessous montre les valeurs attribuées aux différents flux annuels (55 ou 110 gigatonnes/année) entre les réservoirs que sont l'atmosphère, la biosphère et la lithosphère; ces trois réservoirs contiennent respectivement 750, 575 et 1400 gigatonnes de carbone, toujours selon ce modèle.

Si la biosphère terrestre absorbe chaque année 110 gigatonnes (Gt) de carbone de l'atmosphère pour la photosynthèse, elle lui retourne en revanche 55 Gt par la respiration des animaux et végétaux. La mort de ceux-ci transfère annuellement 55 Gt de carbone au sol, tandis que la décomposition en relâche tout autant du sol à l'atmosphère. En somme, au sein de cette triade, le modèle suppose que dans une année, chacun des réservoirs absorbe autant de carbone des deux autres qu'il leur en refile, maintenant donc constante la quantité de carbone contenue dans chaque réservoir. En fait, c'est même la connaissance (ou, plus justement, l'hypothèse) de l'équilibre qui a permis de déterminer certaines des " données " présentées ci-haut.

Regardons à présent ce qui se passe du côté de l'océan. On peut conceptuellement le diviser en deux réservoirs de carbone : l'océan de surface et l'océan profond.

Les transferts de carbone entre les deux couches de l'océan s'expliquent d'abord par la circulation océanique, où les écarts de température, de densité, de salinité ainsi que la rotation de la terre, engendrent selon le lieu géographique des mouvements de plongée (des eaux de surface, froides, salées et riches en CO ₂) ou de remontée (des eaux profondes, chaudes, moins salées et moins riches en CO ₂). La " pompe biologique " constitue un autre mécanisme qui fait passer le carbone de l'océan de surface à l'océan profond : ici, le carbone absorbé par la photosynthèse des plantes aquatiques de l'océan de surface se transmet aux autres organismes vivants qui se succèdent dans la chaîne alimentaire, et finit par aboutir aux matières inertes associées aux sédiments de l'océan profond.

Reflétant essentiellement la dynamique de l'océan comme écosystème, la pompe biologique est d'abord considérée dans le modèle proposé comme un flux de carbone constant, de 4 Gt par année. En revanche, les flux annuels de carbone associés à la plongée et à la remontée, sensibles à la concentration en carbone, sont définis de façon relative aux stocks de carbone dont ils émanent : 3/100 du stock de carbone de l'océan de surface pour la plongée et environ 7/10000 du stock de carbone de l'océan de surface pour la remontée. Ainsi, comme

\[4 + 0,03 \times 750 \approx 0,0007048 \times 37600,\]

le modèle nous présente l'océan dans un état initial d'équilibre, si l'on ne considère pas ses échanges avec l'atmosphère.

De leur côté, les échanges gazeux entre l'océan de surface et l'atmosphère peuvent aller dans les deux sens. Considéré dans le modèle comme proportionnel à la différence des stocks de carbone dans ces deux réservoir, le flux va du réservoir avec la plus grande quantité de carbone vers celui qui en a le moins. Comme l'intensité du flux dépend de l'importance de cette différence, on peut voir dans cette relation une application de la loi de diffusion de Fick (voir encadré), si l'on suppose que le volume de l'océan de surface a été défini de façon telle que la simple comparaison des stocks puisse se substituer à celle des concentrations. Le coefficient de diffusion utilisé par White (1/75) reflète à la fois la surface d'échange entre les réservoirs et l'efficacité de cet échange.

Or, ici, comme les stocks associés à l'océan de surface et à l'atmosphère ont la même valeur initiale, le flux demeure nul et les deux réservoirs maintiennent leur stock de 750 Gt de carbone. Par conséquent, autant dans les mers que sur les terres, l'équilibre est maintenu dans le modèle. Jusqu'à ce qu'on y considère l'impact de l'activité humaine ...

La loi de diffusion de Fick (1855)

La première loi de diffusion de Fick postule que le flux de diffusion J d'une substance va des régions de forte concentration vers les régions de faible concentration, avec une ampleur proportionnelle à la différence des concentrations (c). De façon continue, pour un flux qui s'écoule dans une dimension :

\[J= -k\frac{dc}{dx},\]

où $J$ correspond à la quantité de substance traversant une unité de surface par unité de temps et où $k$ est le coefficient de diffusion. En 3D, le flux de diffusion s'exprime par un vecteur et la variation de concentration par un gradient :

\[ J=k \nabla c. \]

Dans une dynamique de réservoirs et de stocks, on peut considérer que le flux de diffusion d'un réservoir à l'autre correspond aux échanges qui se font à travers la surface qui sépare les deux milieux.

La loi de Fick peut alors s'exprimer ainsi :
\[J = −\hat{k}(c_A −c_B),\]

où $\hat{k}$ est proportionnel à l'aire de la surface $S.$

Un équilibre rompu

Extraits par l'homme des profondeurs de l'océan ou du sol et émettant, par la combustion qu'on en fait, du CO ₂ dans l'atmosphère, les combustibles fossiles constituent un apport extérieur au cycle du carbone. Leur utilisation transforme ce système fermé en un système ouvert, et perturbe l'équilibre qui avait été atteint en cette période interglaciaire. Pour apprécier l'ampleur de cette perturbation, il nous faut retourner aux données.

Depuis 1950, les émissions mondiales annuelles de CO ₂ ont presque été multipliées par 6, passant de 6,4 Gt/année à plus de 36 Gt/année. Comme le carbone constitue 12/44 de la masse du CO ₂, cela signifie que l'ajout annuel de carbone dans l'atmosphère lié aux émissions de CO ₂ est passé dans les 70 dernières années de 1,75 Gt/année à presque 10 Gt/ année. Quand on additionne tout ce carbone envoyé dans l'atmosphère en 70 ans, c'est près de 400 gigatonnes de carbone que les émissions de CO ₂ produites par la combustion des énergies fossiles ont introduites artificiellement dans le cycle du carbone.

Durant cette même période, on a par ailleurs constaté que la concentration en CO ₂ de l'atmosphère est passé de 310 parties par millions (ppm) à 410 parties par millions. Comme il est établi que 1 ppm de CO ₂ dans l'atmosphère correspond à 7,81 Gt de CO ₂ et donc à 2,13 Gt de carbone, les 100 ppm de CO ₂ additionnels correspondent à 213 Gt de carbone supplémentaire dans l'atmosphère. C'est déjà une quantité phénoménale, mais bien inférieure aux 395 gigatonnes qu'on lui a envoyées. Où est passée la différence?

Si l'on se fie au modèle proposé, elle ne peut qu'être passée dans l'océan, puisque les flux du côté terrestre, tous supposés constants, ne paraissent pas affectés par la quantité de carbone dans l'atmosphère. (On pourra revenir plus tard sur ces simplifications initiales.)

Il reste qu'il est admis dans la communauté scientifique que la quantité accrue de CO ₂ dans l'atmosphère contribue de façon importante à l'effet de serre et au réchauffement climatique. Entre 1950 et 2019, pendant que la concentration en CO ₂ de l'atmosphère augmentait de 14 ppm par décennie, la température globale moyenne gagnait tout un degré Celsius, pour une augmentation moyenne et presque régulière de 0,14°C par décennie. Cette corrélation est reflétée dans l'équation suivante, incluse dans le modèle de White, et liant par une relation affine la température globale moyenne annuelle $(T)$ à la concentration $(c)$ de CO ₂ dans l'atmosphère :

\[T = T_0 + (c - c_0) /100. \]

$T_0$ et $c_0$ sont des valeurs de référence associées à une année dans l'intervalle où la relation s'applique. L'illustration en bas de page représente le modèle ainsi complété.

On peut à présent définir différents scénarios d'utilisation des énergies fossiles pour en évaluer, par la simulation, l'impact sur le système ainsi modélisé.

Simuler pour évaluer

La façon la plus simple de simuler ce système consiste à initialiser les différents réservoirs avec les valeurs qui leur sont associées pour une même année, et à y additionner, d'une année à l'autre, la valeur des flux annuels entrants (positifs) et sortants (négatifs).

Les données de stocks et de flux utilisées dans le modèle correspondent à peu près à l'état de la planète en 1990, même si le système n'était déjà plus à l'équilibre. En partant de cette année de référence pour initialiser le système, on peut commencer par valider les capacités de prédiction du modèle en cherchant à lui faire reconstruire l'histoire récente.

En 1990, la température globale moyenne $(T_0)$ se situait à 13,4°C. La concentration moyenne de CO ₂ $(c_0)$ dans l'atmosphère y était de 352 ppm, en cohérence avec la valeur de 750 Gt de carbone associée à ce réservoir. Les émissions de CO ₂ liées à la combustion des énergies fossiles en 1990 correspondaient à un afflux externe de 6 Gt de carbone dans l'atmosphère.

Depuis, les émissions de CO ₂ ont augmenté de 0,14 Gt/année en équivalent carbone. On peut donc définir comme premier scénario ce test de la réalité, en décrivant le flux d'apport en carbone lié à la combustion des énergies fossiles avec la fonction suivante : $F_e(t) = 6 + 0,14t,$ où $t$ est le nombre d'années écoulées depuis 1990.

La figure ci-haut représente l'évolution ainsi simulée des quantités de carbone dans les différents réservoirs autour de l'atmosphère. Avec un accroissement linéaire des émissions de CO ₂ qui constituent des ajouts à la quantité de carbone en circulation, de façon cohérente avec l'intégration d'une fonction linéaire et malgré la contribution croissante de l'océan pour absorber ce carbone supplémentaire, la simulation révèle une croissance plus rapide que linéaire de la quantité de carbone dans l'atmosphère. En $t=30$ (qui correspond à l'année 2020), les calculs effectués par la simulation chiffrent le stock de carbone dans l'atmosphère à 956 Gt, ce qui équivaudrait à une concentration de 449 ppm. Alors que la concentration réelle de CO ₂ dans l'atmosphère vient de franchir la barre historique des 410 ppm, le modèle, dans toutes ses simplifications, paraît donc plus sévère que ne l'est la réalité.

Cela nous est confirmé en examinant la courbe de la température globale moyenne, telle que simulée en utilisant la relation $T = 13,4 + (c - 352)/100.$ La température paraît croître de 1 degré en 30 ans (de 13,4°C à 14,4°C), alors que sa croissance " n'a été que " de 0,7°C entre 1990 et 2020.

Il est heureux que le modèle ne soit pas une représentation tout à fait juste de la réalité, car il prédit un réchauffement de 4,6°C entre 1990 et 2100. Cela dit, il met en lumière des phénomènes bien réels, et le risque qu'on court à laisser croître les émissions de CO ₂. Il permet aussi de comparer différents scénarios et de mieux en comprendre les implications.

Par exemple, que se passerait-il si l'on ramenait instantanément aujourd'hui les émissions de CO ₂ à 95 % du niveau de 1990? Et si l'on arrêtait toute émission de CO ₂ en 2030? Ce sont là des scénarios assez peu réalistes mais qui permettent de mieux cadrer les gains envisageables. C'est la beauté de la simulation que de nous permettre d'entrevoir l'horizon des possibles, en ratissant aussi large que souhaité.

Toutefois, pour mieux chiffrer les gains possibles, on gagnerait à améliorer la précision du modèle, en revoyant certaines hypothèses utilisées.

Des pistes d'amélioration du modèle

On pourrait d'abord, comme le suggère White dans une seconde version du modèle, considérer que l'augmentation des émissions de CO ₂ dans l'atmosphère s'accompagne d'une augmentation de nitrate (NO ₃-) et donc de l'activité de photosynthèse et de la productivité de l'ensemble de la biosphère terrestre. Ainsi, de constants, les flux de respiration, de mort et de décomposition deviendraient dynamiques à leur tour. On pourrait aussi vouloir prendre en compte la déforestation dans la modélisation des changements de cette biosphère. On pourrait même s'intéresser aux boucles de rétroaction associées à la fonte des glaces et du pergélisol. Réduisant l'albédo et libérant du CO ₂ et du CH ₄, ces fontes causées par le réchauffement planétaire contribuent à l'accélérer.

On pourrait ensuite revoir les flux entre les couches de l'océan, en se demandant aussi si l'on ne gagnerait pas à y ajouter une couche intermédiaire, à étendre entre ces couches l'application de la loi de diffusion de Fick, à considérer de façon explicite d'autres forces en jeu, etc. Certains de ces raffinements pourraient demander toutefois une modélisation de l'espace beaucoup plus fine que ce à quoi nous nous sommes limités avec nos cinq réservoirs. Et on entrerait là dans le domaine des équations aux dérivées partielles, ce que font les spécialistes du domaine.

Mais si le but visé par le modèle est d'aider à faire comprendre le phénomène à un plus grand nombre, on gagne à chercher à en maximiser la simplicité, sans pour autant trahir la réalité.

Futura - Portail web - Articles sur le réchauffement climatique
https://www.futura-sciences.com/planete/environnement/rechauffement/

Jeandel, C., & Mosseri, R. (2011). Le climat à découvert. CNRS Éditions.
https://books.openedition.org/editionscnrs/11316

Schlesinger, W. H., & Andrews, J. A. (2000). Soil respiration and the global carbon cycle.
Biogeochemistry, 48(1), 7-20. https://www.jstor.org/stable/1469550

Wanninkhof, R., Asher, W. E., Ho, D. T., Sweeney, C., & McGillis, W. R. (2009). Advances in quantifying air-sea gas exchange and environmental forcing. Annual Review of Marine Science, Vol. 1: 213-244.
https://www.annualreviews.org/doi/full/10.1146/annurev.marine.010908.163742

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Comment arrive-t-on à fixer des cibles à atteindre pour la réduction de gaz à effet de serre? Quel est l'impact de les négliger? Ou même d'en dévier un peu? Pour répondre à de telles questions, on gagne à se tourner vers la modélisation et la simulation.

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Dynamique de populations BILAN pour sujet d'oral

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Vidéo du Gagnant Ma thèse en 180 secondes.

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Vidéo du Gagnant Ma thèse en 180 secondes.

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Ma thèse en 180 secondes (2018) - Arnaud PERSONNE (Premier prix du jury et prix du public)

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Exemple de fiche lors de la préparation sur ce thème

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Exemple de fiche lors de la préparation sur ce thème

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Méthode d'EULER et la fonction exponentielle. Sujet sur la fonction exp

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Méthode d'EULER et la fonction exponentielle. Sujet sur la fonction exp

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La méthode de Newton Raphson - Comparaison avec l'algorithme de dichotomie.

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La méthode de Newton Raphson - Comparaison avec l'algorithme de dichotomie.

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Probabilités : quelle loi de probabilité pour un phénomène rare ?

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Probabilités : quelle loi de probabilité pour un phénomène rare ?

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Loi de Poisson

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Les différentes approches pour approximer Pi

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Les différentes approches pour approximer Pi

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La méthode de Monte Carlo : "Peut-on calculer une intégrale grâce au hasard?"

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La méthode de Monte Carlo : "Peut-on calculer une intégrale grâce au hasard?"

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La manière la plus simple de déterminer l'intégrale d'une fonction continue \(f\) entre deux réels \(a\) et \(b\) est sans doute de déterminer une primitive de cette fonction. Seulement, une telle primitive n'est pas toujours aisée à obtenir (et pour certaines fonctions, il est même sans espoir d'espérer exprimer leurs primitives en utilisant simplement les fonctions de base, comme par exemple la fonction \(x\mapsto e^{-x^2}\)).

En revanche, il est possible d'utiliser différentes méthodes pour approcher cette intégrale. Dans les exemples qui suivent, nous considérerons une fonction \(f\) continue sur un intervalle \([a;b]\)

Méthodes déterministes

Méthode des rectangles

La méthode historique, celle qui donne sa notation \(\displaystyle\displaystyle\int_a^bf(x)dx\) est la méthode des rectangles. On divise ainsi l'intervalle \([a,b]\) en \(n\) intervalles de taille \(dx\).

On forme alors des rectangles dont l'aire cumulée approchera celle de la courbe. Il y a trois possibilités pour construire un rectangle entre les abscisses \(x\) et \(x + dx\) :

On le construit d'une hauteur \(f(x)\) : les sommets en haut à gauche de chaque rectangle correspondent à des points de la courbe.

On le construit d'une hauteur \(f(x+dx)\) : les sommets en haut à droite de chaque rectangle correspondent à des points de la courbe.

On le construit d'une hauteur \(f\left(x+\dfrac{dx}{2}\right)\) : les milieu des côtés hauts de chaque rectangle correspondent à des points de la courbe.

Il s'avère que le rectangle milieu est plus efficace que les deux autres, mais le raisonnement derrière cette affirmation dépasse le cadre des mathématiques de Terminale.

Prenons le premiers cas, l'algorithme de calcul de la valeur approchée de \(\displaystyle\displaystyle\int_a^bf(x)dx\) est donc le suivant :

Entrées : une fonction \(f\), deux réels \(a\) et \(b\) désignant les bornes d'intégration et un entier naturel non nul \(n\) désignant le nombre de subdivisions de l'intervalle \([a;b]\) à considérer. On suppose que \(a < b\).

Initialisation :

On assigne à une variable x la valeur de \(a\).

On assigne à une variable \(I\) la valeur 0.

On assigne à \(dx\) la valeur de \(\dfrac{b-a}{n}\)

On répète \(n\) fois ce qui suit

On ajoute à I la valeur de \(f(x)*dx\)

On ajoute à \(x\) la valeur de \(dx\)

On renvoie la valeur de \(I\).

Une implémentation en Python pourrait être la suivante.

Méthode des trapèzes

La méthode des trapèzes ressembles à celle des rectangles, sauf qu'elle utilise... des trapèzes !

On divise toujours l'intervalle \([a,b]\) en \(n\) intervalles de taille \(dx\). Pour chacun de ces intervalles, on forme alors un trapèze dont le côté haut correspond au segment joignant les deux valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle considéré.

En ajoutant les aires des trapèzes ainsi construits, on obtient alors une estimation de l'intégrale de notre fonction \(f\) entre \(a\) et \(b\). Rappelons que l'aire d'un trapèze de hauteur \(h\), de petite base \(b\) et de grande base \(N\) vaut \(\frac{B+b}{2} \times h\). L'algorithme utilisée est donc le suivant.

Entrées : une fonction \(f\), deux réels \(a\) et \(b\) désignant les bornes d'intégration et un entier naturel non nul \(n\) désignant le nombre de subdivisions de l'intervalle \([a;b]\) à considérer. On suppose que \(a < b\).

Initialisation :

On assigne à une variable x la valeur de \(a\).

On assigne à une variable \(I\) la valeur 0.

On assigne à \(dx\) la valeur de \(\dfrac{b-a}{n}\)

On répète \(n\) fois ce qui suit

On ajoute à I la valeur de \(\dfrac{f(x)+f(x+dx)}{2}*dx\)

On ajoute à \(x\) la valeur de \(dx\)

On renvoie la valeur de \(I\).

Une implémentation en Python pourrait être la suivante. On peut d'emblée voir que la méthode des trapèzes semble plus efficace que celle des rectangles gauches ou droits : on obtient en 20 subdivisions un résultat déjà plus convaincant qu'en 1000 subdivisions avec la précédente.

Méthode de Simpson

La méthode des rectangles approchait chaque portion de courbe par une fonction constante, c'est-à-dire une fonction polynômiale de degré au plus 0. La méthode des trapèzes, quant à elle, approchait chaque portion de courbe par une fonction affine, éventuellement constante. En d'autres termes, on approchait la fonction à l'aide d'une fonction polynômiale de degré au plus 1. On peut alors naturellement se demander si ces méthodes peuvent s'étendre à des fonctions de degré supérieur... Et en effet, elles le peuvent !

La méthode de Simpson approche chaque portion de courbe par un arc de parabole ou un segment de droite, selon les cas (et donc la fonction par une fonction polynômiale de degré au plus 2).

On considère un intervalle \([s;t]\), et on note \(m=\dfrac{s+t}{2}\). On approche alors la fonction \(f\) sur l'intervalle \([s;t]\) par la fonction polynômiale \(P\) définie pour tout réel \(x\in[s;t]\) par

\[P(x)=f(s) \dfrac{(x-t)(x-m)}{(s-t)(s-m)} + f(t) \dfrac{(x-s)(x-m)}{(t-s)(t-m)} + f(m) \dfrac{(x-t)(x-s)}{(m-t)(m-s)} \]

De cette manière, on a \(P(s)=f(s)\), \(P(t)=f(t)\) et \(P(m)=f(m)\). La courbe de la fonction et l'arc de parabole se croisent donc à des abscisses qui correspondent aux bords gauches et droits de l'intervalle considéré, mais aussi au milieu de cet intervalle.

On approche alors l'intégrale de \(f\) sur \([s;t]\) par l'intégrale de \(P\).

\[\displaystyle\int_{s}^tP(x)dx = \dfrac{t-s}{6}\left(P(s)+4P(m)+P(t)\right) = \dfrac{t-s}{6}\left(f(s)+4f(m)+f(t)\right) \]

Détails du calcul

On a
\[\displaystyle\int _s^tP(x)dx= \displaystyle\int _s^t \left(f(s) \dfrac{(x-t)(x-m)}{(s-t)(s-m)} + f(t) \dfrac{(x-s)(x-m)}{(t-s)(t-m)} + f(m) \dfrac{(x-t)(x-s)}{(m-t)(m-s)} \right)dx\]

On utilise alors la linéarité de l'intégrale, puis on note \(r\) le rayon de l'intervalle \([s;t]\). On a donc \(t-s=2r\) et \(t-m=m-s=r\). Ainsi,

\[\displaystyle\int _s^tP(x)dx= \dfrac{f(s)}{2r^2} \displaystyle\int _s^t (x-t)(x-m)dx + \dfrac{f(t)}{2r^2} \displaystyle\int _s^t (x-s)(x-m)dx - \dfrac{f(m)}{r^2} \displaystyle\int _s^t (x-t)(x-s)dx\]

Il nous reste alors à calculer ces trois intégrales. Pour cela, nous utiliserons le fait que \(m\) est le milieu de l'intervalle \([s:t]\) et nous allons découper judicieusement les facteurs dans l'intégrale.

Ainsi,
\[\renewcommand{\arraystretch}{2.5}\begin{array}{lll}\displaystyle\int _s^t (x-t)(x-m)dx &=& \displaystyle\int _s^t (x-m+m-t)(x-m)dx \\&=& \displaystyle\int _s^t (x-m)^2dx + (m-t)\displaystyle\int _s^t (x-m)dx\end{array}\]

Il nous reste alors à intégrer ces deux expressions

\[\displaystyle\int _s^t (x-t)(x-m)dx = \left[\dfrac{(x-m)^3}{3}\right]_s^t + (m-t)\left[\dfrac{(x-m)^2}{2}\right]_s^tdx\]

On rappelle alors que \(t-m=r\) et que \(s-m=-r\). Ainsi,

\[\renewcommand{\arraystretch}{2.5}\begin{array}{lll}\displaystyle\int _s^t (x-t)(x-m)dx &= & \dfrac{(t-m)^3}{3} - \dfrac{(s-m)^3}{3} + (m-t)\left(\dfrac{(t-m)^2}{2} -\dfrac{(s-m)^2}{2}\right) \\& =& \dfrac{r^3}{3}-\left(\dfrac{-r^3}{3}\right)+(m-t)\left(\dfrac{r^2}{2}-\dfrac{r^2}{2}\right)\\&=&\dfrac{2r^3}{3}\end{array}\]

Ainsi,
\[ \dfrac{f(s)}{2r^2} \times \displaystyle\int _s^t (x-t)(x-m)dx = \dfrac{f(s)}{2r^2} \times \dfrac{2r^3}{3} = \dfrac{2r}{6}f(s) = \dfrac{t-s}{6}f(s)\]

En utilisant la même méthode, on trouve que

\[ \dfrac{f(t)}{2r^2} \times \displaystyle\int _s^t (x-s)(x-m)dx = \dfrac{t-s}{6}f(t)\]

Il reste alors à déterminer la valeur de la dernière intégrale. Nous utiliserons le même procédé

\[\renewcommand{\arraystretch}{2.5}\begin{array}{lll}\displaystyle\int _s^t (x-t)(x-s)dx &= &\displaystyle\int _s^t (x-m+m-t)(x-m+m-s)dx \\ &=& \displaystyle\int _s^t (x-m-r)(x-m+r)dx \\&=& \displaystyle\int _s^t (x-m)^2dx - \displaystyle\int _s^t r^2dx \end{array}\]

On a vu précédemment que

\[\displaystyle\int _s^t (x-m)^2dx = \dfrac{2r^3}{3}\]

Par ailleurs,

\[\displaystyle\int _s^t r^2dx = r^2(t-s)=r^2 \times 2r = 2r^3\]

Ainsi,

\[\displaystyle\int _s^t (x-t)(x-s)dx = \dfrac{2r^3}{3}-2r^3=-\dfrac{4r^3}{3}\]

Il en vient que

\[- \dfrac{f(m)}{r^2} \times \displaystyle\int _s^t (x-t)(x-s)dx = - \dfrac{f(m)}{r^2} \times \left(-\dfrac{4r^3}{3}\right)= 4f(m) \times \dfrac{r}{3} = 4f(m) \times \dfrac{s-t}{6}\]

En réinjectant tout ceci dans la première expression et en factorisant par \(\dfrac{s-t}{6}\), on obtient l'expression voulue, à savoir,

\[\displaystyle\int_{s}^tP(x)dx = \dfrac{t-s}{6}\left(P(s)+4P(m)+P(t)\right) \]

Il suffit alors d'utiliser cette approximation sur chaque sous-intervalle sur lequel on souhaite intégrer notre fonction \(f\) pour obtenir une valeur approchée de son intégrale sur ce segment, ce qui conduit à l'algorithme suivant :

Entrées : une fonction \(f\), deux réels \(a\) et \(b\) désignant les bornes d'intégration et un entier naturel non nul \(n\) désignant le nombre de subdivisions de l'intervalle \([a;b]\) à considérer. On suppose que \(a < b\).

Initialisation :

On assigne à une variable x la valeur de \(a\).

On assigne à une variable \(I\) la valeur 0.

On assigne à \(dx\) la valeur de \(\dfrac{b-a}{n}\)

On répète \(n\) fois ce qui suit

On ajoute à I la valeur de \(\left(\dfrac{f(x)+f(x+dx)+4f\left(x+\frac{dx}{2}\right)}{6}\right)*dx\)

On ajoute à \(x\) la valeur de \(dx\)

On renvoie la valeur de \(I\).

Là encore, on peut l'implémenter en Python pour se rendre compte de la vitesse de convergence de cette méthode, qui surpasse les deux autres.

Méthode probabiliste : Monte-Carlo

Bien que cette méthode soit relativement peu efficace et anecdotique comparée aux précédentes, on peut la voir apparaître dans le programme de Terminale Générale, en tant qu'approfondissement proposé.

On suppose que l'on souhaite intégrer une fonction \(f\) continue et positive sur un intervalle \([a,b]\). On note \(M\) le maximums de notre fonction sur cet intervalle (celui-ci existe bel et bien, en vertu du théorème de Weierstrass que vous rencontrerez lors de vos études supérieures.). Si l'on ne parvient pas à le déterminer directement, on peut tout aussi bien se contenter d'un majorant.

On initialise un compteur \(C\) à 0, puis on recommence les étapes suivantes autant de fois que voulu :

On choisit alors un réel au hasard et de manière uniforme sur l'intervalle \([a;b]\) : on note \(x\) ce réel. Le programme ne parle pas de telles lois de probabilités sur des espaces continus, mais nous laisserons Python s'en charger pour nous.

On choisit un autre réel au hasard, de manière uniforme et indépendante du premier réel sur l'intervalle \([0;M]\).

Si \(y < f(x)\), on incrémente le compteur \(C\) de 1. Sinon, on ne fait rien.

On divise le compteur par le nombre de couples tirés pour obtenir une estimation de notre intégrale

L'idée est assez simple : on prend un point au hasard dans le plan et on regarde si celui-ci est au-dessus ou en-dessous de la courbe représentative de la fonction \(f\). On compte alors la proportion de points sous la courbe parmi ceux tirés au hasard et on utilise cette proportion comme estimation de l'intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\).

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Algorithmes de calcul d'intégrales - Mathoutils

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La manière la plus simple de déterminer l'intégrale d'une fonction continue (f) entre deux réels (a) et (b) est sans doute de [...]

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Est-ce que toute évolution de population peut se modéliser avec une équation différentielle ?

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n°54 page 413

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En quoi les primitives sont-elles utiles pour modéliser la chute d'un corps ?

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En quoi les primitives sont-elles utiles pour modéliser la chute d'un corps ?

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Pearltrees is a place to organize everything you’re interested in. It lets you organize, explore and share everything you like.

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Comment calculer le volume d'un donut ? Sujet mêlant espace et intégration

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A partir de la page 20 du très bon cours de Paul Milan

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La série harmonique (lié au sujet précédent)

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La série harmonique (lié au sujet précédent)

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ChronoMath , une chronologie des MATHMATIQUES l'usage des professeurs de mathmatiques, des tudiants et des lves des lyces & collges

BERNOULLI Johann (Jean), suisse, 1667-1748

Frère cadet de Jacques Bernoulli (Jakob), Johann, dit , fit ses tudes Ble (Basel, Suisse), sa ville natale. C'est Jakob qui lui insuffla la passion des mathmatiques et l'accompagnera dans sa formation. Médecin (1690), physicien, il fut, entre autres, le professeur de Jean 1er Leonhard Euler et un ami de Gabriel Cramer.

Pour en savoir plus sur la dynastie des Bernoulli, on pourra consulter une page ( "rf.1) trs intressante de P. Radelet de Grave dcrivant la gnalogie de cette illustre famille de scientifiques.

Admirateur de Leibniz qu'il rencontre Paris en 1691, on doit Johann Bernoulli d'impo rtants travaux et rsultats en calcul différentiel et intégral qu'il introduisit en France par l'intermdiaire de Guillaume de L'hospital .

➔ Ce dernier sera le premier à utiliser (1696) le terme français d' d'une fonction f pour désigner la fonction F dont la différentielle est f(x)dx. Le terme provient du utilisé par Johann et son frère. On parle aujourd'hui, depuis intégrale calculus integralis Lagrange, de primitive , plus prcisment de fonction primitive. L'intgrale dsignant aujourd'hui le nombre :

En 1695, Johann obtint une chaire de mathmatiques l'universit de Groningue (Groningen, Hollande). On lui doit ds cette poque, avec son ami . A la mort de Leibniz, les premires tudes des Jacques et paracheves par Jakob (1705), Euler fonctions exponentielles (appellation due Leibniz) qui furent dveloppes par son frre sa chaire l'université de Bâle lui sera confie.

La fonction exponentielle selon Euler : "

En sciences physiques, on lui doit la notation g pour désigner l'accélération de la pesanteur. Dans ce contexte mcanique, il s'oppose durement aux ides de Newton en prnant des ides cartsiennes (thorie des tourbillons, ou vortex, expliquant l'attraction distance) retardant le dveloppement de la mcanique newtonienne sur le continent.

Avec Johann Bernoulli, on entre dans (du latin l'analyse fonctionnelle avec la notation f x pour désigner l'image par une fonction f d'un nombre x, qui se "modernisera" par f(x) avec Clairaut et Euler . L encore, le terme fonction functio) est de son ami Leibniz. Il en donne cependant une dfinition trs claire en 1718 (Tome second des uvres compltes, page 235, " rf.2) :

Johann Bernoulli fut le premier donner un sens l'criture f(x) = xD ∗ ∗ ∗
x. Quel est son domaine de dfinition ? Exprimer f(x) au moyen de moyen de la fonction exponentielle de base e. Calculer sa drive. Rep : f = R⁺-{0}, f(x) = e xlnx, f '(x) = (1 + lnx)e xlnx

Johann tablit (1701) la mthode de dcomposition des fractions rationnelles en lments simples (qu'utilisrent cependant également Leibniz et Cotes sur des cas prcis). Cette technique fondamentale permettra de calculer des primitives et des intégrales jusqu'ici "inaccessibles".

La dcomposition en lments simples des fractions rationnelles, exemples : "

Les séries harmonique & semi-harmonique :

Jean Bernoulli (mais l'italien prouva la divergence (la somme est infinie) de la série harmonique Pietro Mengoli avait dj obtenu cet important rsultat dans les annes 1650) :

La suite (u n) de terme gnral, u n = 1/n est galement dite harmonique. Elle est lie la musicologie (thorie musicale) issue des premires tudes de Pythagore sur la frquence des notes de musique. Le terme harmonie est driv du grec harmonia qui signifiait, en menuiserie et architecture, cheville, assemblage et, par l, ce qui est bien ajust (harmonieux...)

Chaque somme partielle de rang k est appel nombre harmonique ; on a successivement :

1 , 1 + 1/2 , 1 + 1/2 + 1/3 , 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 , ...

Euler étudia galement cette série divergente, ce sera la naissance de la célèbre constante d'Euler :

ln n =ln(n) dsignant le logarithme nprien de l'entier n.

Existence et tude de la constante d'Euler (souvent note γ) : "

On peut se poser la question de savoir si les sommes partielles passent par des valeurs entières, c'est dire : ∗ ∗ ∗

Valeurs entires ventuelles existe-t-il des nombres harmoniques entiers : de la srie harmonique

Srie semi-harmonique :

Notons que la , galement appele série harmonique alternée semi harmonique :

est convergente (sa limite est ln 2, logarithme népérien de 2) :

Série de Mercator : "

C'est à Jean Bernoulli que l'on doit le célèbre problème (1696) du (du grec brachistochrone brakhus = court et khronos = le temps), dont la solution est un arc de cycloïde.

Brachistochrone et calcul des variations : Le " kappa : "

➔ Pour en savoir plus :

1. Gnalogie des Bernoulli et leurs travaux, une page trs intressante de P. Radelet de Grave :
http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/docu/LesBernoulli.pdf

2. uvres compltes de Jean Bernoulli (en franais), tome 2 : https://books.google.be/books?id=10EiPJr29RUC

L'hospital © Serge Mehl - De Moivrewww.chronomath.com

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ChronoMath , une chronologie des MATHMATIQUES l'usage des professeurs de mathmatiques, des tudiants et des lves des lyces & collges BERNOULLI Johann (Jean), suisse, 1667-1748 Frère cadet de Jacques Bernoulli (Jakob), Johann, dit , fit ses tudes Ble (Basel, Suisse), sa ville natale. C'est Jakob qui lui insuffla la passion des mathmatiques et l'accompagnera dans sa formation.

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La trompette de Gabriel (Idée de Sacha Petit)

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La trompette de Gabriel (Idée de Sacha Petit)

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La en associant l' Trompette de Gabriel ou solide hyperbolique aigu est une figure inventée par Evangelista Torricelli possédant une aire infinie mais un volume fini. Le nom fait allusion à la tradition d'identifier l' archange Gabriel à l'ange qui souffle dans la trompette pour annoncer le Jour du jugement, infini et le divin [réf. nécessaire].

Construction

La trompette de Gabriel est engendrée par une portion d'hyperbole d'équation

tracée sur l'intervalle [ et tournant autour de l'axe (Ox)

Son volume est donné par la formule :

et l'aire de la portion de trompette entre x = 1 et x = a (a > 1) est donnée par la formule suivante, qui diverge quand a tend vers :

Un solide de longueur infinie mais de volume fini

La trompette de Gabriel fut étudiée par Torricelli qui l'appelle le " solide hyperbolique aigu ". Vers 1641, à une époque où le calcul intégral n'existe pas, il démontre que son volume est identique à celui d'un cylindre en utilisant la méthode des indivisibles développée par Cavalieri. Pour cela, il complète la trompette par un " bouchon ", découpe son volume en cylindres concentriques. Il déploie alors les cylindres en rectangles comme on déroule des billes de bois. Chaque rectangle a pour dimension x × 2πy, comme xy est constant, tous les rectangles ont la même aire. Il déforme alors chaque rectangle en disque d'aire 2π. Il double sa démonstration par un raisonnement par exhaustion. Roberval, par la suite, fournit une démonstration que Torricelli reconnait être plus ingénieuse.

Qu'un solide de longueur infinie puisse posséder un volume fini semble contre-intuitif aux mathématiciens de l'époque et suscite de nombreuses correspondances sur le sujet du fini et de l'infini. Cavalieri s'en étonne, et Roberval met d'abord en doute le résultat de Torricelli. Ce résultat suscite l'admiration de Gassendi. Il remet en cause la définition du solide chez Barrow et Mersenne. Il inspire à Pascal cette réflexion : " Incompréhensible. Tout ce qui est incompréhensible ne laisse pas d'être. Le Nombre infini. Un espace infini égal au fini. " Le père Pardies, dans la préface de ses Elemens de Geométrie en 1671, en fait une preuve de l'existence de Dieu. Ce résultat déstabilise Descartes dans ses convictions sur l'infini et suscite un débat entre Hobbes et Wallis.

Ce solide présente aussi un second paradoxe apparent puisque sa surface est infinie. Il suffit donc d'un volume fini pour en remplir son intérieur alors qu'il faudrait une quantité infinie de peinture pour en couvrir seulement la surface. Ce paradoxe montre les limites de l'association surface=quantité de peinture nécessaire pour la peindre. En effet, la quantité de peinture suppose que la surface soit peinte sur une épaisseur e. Lorsque l'on peint l'intérieur de la trompette, il arrive un moment où le rayon intérieur devient inférieur à e. Alors on s'arrête de peindre tandis que la surface continue à se déployer indéfiniment.

À la même époque, Huygens et Sluse, étudiant la cissoïde, prouvent l'existence d'un récipient de volume fini et pouvant contenir un volume infini,. En revanche, il est prouvé qu'un volume infini ne peut pas avoir une surface finie.

Notes et références

1. Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts, et des métiers, [1]

2. Jean Itard, " La lettre de Torricelli à Roberval d'octobre 1643 ", dans Revue d'histoire des sciences, Année 1975, Volume 28, Numéro 28-2, pp. 113-124

3. Paolo Mancuso, Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century, pp 136-149

4. Frank Swetz, John Fauvel, Victor J. Katz, Otto Bekken, Bengt Johansson, Learn from the Masters !, MAA 1994, p 88.

5. Il s'agit d'un " vase " obtenu par rotation de la surface comprise entre la cissoïde et son asymptote autour de l'axe parallèle à l'asymptote passant par le sommet de la cissoïde (voir Cissoïde de Dioclès#Histoire)

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La en associant l' Trompette de Gabriel ou solide hyperbolique aigu est une figure inventée par Evangelista Torricelli possédant une aire infinie mais un volume fini. Le nom fait allusion à la tradition d'identifier l' archange Gabriel à l'ange qui souffle dans la trompette pour annoncer le Jour du jugement, infini et le divin [réf.

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Site d'un professeur du lycée Du Parc à Lyon

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Site d'un professeur du lycée Du Parc à Lyon

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Documents pour ma classe de Terminale Spécialité Mathématiques

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Comment la convexité permet-elle de mesurer les accélérations dans l'évolution de phénomènes ?

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Comment la convexité permet-elle de mesurer les accélérations dans l'évolution de phénomènes ?

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Théorème fondamental de l'intégration en MANGA

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Théorème fondamental de l'intégration en MANGA

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Le thème des TIPE 2021-2022 s'intitule santé, prévention. Ce thème englobe les santés humaine, animale et végétale, à l'échelle des individus, des populations, voire à une échelle globale. Les pistes sont nombreuses, entre les problématiques médicales, les comportements et les modes de vie, ou les facteurs environnementaux. Retrouvez dans ce dossier des approches par les sciences du numérique sur des sujets proches de ce thème.

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Cryptographie et nombres premiers (Daniel Perrin)

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Astuce pour se souvenir des valeurs du sinus

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Mathématiques

Jacinta ALVESjalves.maths@gmail.com

T S

Lycée Jean de Prades

DTL

COURS

DS / IE

ALGORITHMIQUECALCULATRICE

TRAVAILLER CHEZ SOI

BACCALAUREAT

Prise de rendez-vous pour réunion parents-professeurs

Réunion du 26 Mars 2019

Remise à niveau

Cours de première

Méthodologie

Orientation

Calendrier par période

Calendrier par périodesPériode 1 : Jusqu'aux Vacances de ToussaintPériode 2: Jusqu'aux Vacances de NoëlPériode 3 : Jusqu'aux Vacances d'hiverPériode 4 : Jusqu'aux Vacances de printempsPériode 5 : Jusqu'aux baccalauréat.

INTERROGATIONS ECRITESIE 01 - Récurrence : Corrigé.IE 02 - Continuité, dérivabilité et limites : CorrigéIE 03 - Nombres complexes et forme algébrique : CorrigéIE 04 - Fonction exponentielle - Nombres complexes : Corrigé.IE 05 - Conditionnement et indépendance - Ppté de ln : Corrigé.IE 06 - Fonction logarithme népérien : CorrigéIE 07 - Geométrie vectorielle - limites de suite : CorrigéIE 08 - Fonctions trigonométriques - formes trigonométrique des complexes: CorrigéIE 09 - Limites de fonctions - opérations, comparaison, composition : CorrigéIE 10 - Calcul d'intégrales et primitives : Corrigé.IE 11 - Représentations paramétriques et Loi normale : CorrigéIE 12 - Echantillonnage - Produit scalaire : corrige.DEVOIRS SURVEILLESTest de rentrée : Sujet- CorrigéDS 01 : Sujet- CorrigéDS 02 : Sujet- CorrigéDS 03: Sujet- CorrigéDS 04: Sujet- CorrigéDS 05: Sujet- CorrigéDS 06: Sujet- CorrigéDS 07 : Sujet- Corrigé

DEVOIRS EN TEMPS LIBREDTL n°01: Sujet- CorrigéDTL n°02: Sujet- CorrigéDTL n°03: Sujet- CorrigéDTL n°04 : Sujet- CorrigéDTL n°05 : Sujet- CorrigéDTL n°06 : Sujet- CorrigéDTL n°07 : Sujet- CorrigéDTL n°08 : Sujet- CorrigéDTL n°09 : Sujet- CorrigéDTL n°10 : Sujet- CorrigéDTL n°11 : Sujet- CorrigéDTL n°12 : Sujet- Corrigé

DEMARCHE ALGORITHMIQUEUn résumé de l'ensemble des thèmes vus depuis la classe de seconde : ici.CALCULATRICELes suites.Les fonctions.Les suites et les algorithmes.

BACCALAUREATPour réviser les examens :iciSUJETS DE BACCALAUREATS BLANC SMars 2019 :Sujet-CorrigéMai 2019 :Sujet-CorrigéPour s'entraîner à l'épreuve orale du second groupe : SujetSUJETS DE BACCALAUREAT DES ANNEES PRECEDENTESVous retrouverez l'ensemble des sujets et de leurs corrigés sur le site de l'APMEP.Sujets de 2019 :Liban : Sujet - CorrigéAmérique du Nord :Sujet - CorrigéCentres étrangers :Antilles - Guyane :

Exercices du livre corrigésFiche 01 - Raisonnement par récurrence.Fiche 02 - Suites convergentes et divergentes.Fiche 03 - Limites, continuité et dérivabilité.Fiche 04 - Nombres complexes : forme algébrique. (Corrigé du livre du professeur - en cours)Fiche 05- Fonction exponentielle.Fiche 06 - Probabilités conditionnelles.Fiche 07 - Logarithme NépérienFiche 08 - Géométrie vectorielle dans l'espaceFiche 09- Limites de suites : opérations et comparaisons.Fiche 10- Fonctions trigonométriques.Fiche 11 - Nombres complexes : forme trigonométriqueFiche 12 - Limites de fonctions : opérations, composition, comparaisonFiche 13 - Droites et plans de l'espaceFiche 14 - Intégrales et primitivesFiche 15 - Lois à densités - Lois uniforme et exponentiellesFiche 16 - Repérage dans l'espaceFiche 17 - Loi normaleFiche 18 - Propriétés de l'intégraleFiche 19 - Produit scalaire dans l'espaceFiche 20 - Échantillonnage et estimationRéviser les notions des classes précédentesRéviser les notions précédentes :lessystèmes d'équations.

Remise à niveauPour vous permettre d'entamer votre année du baccalauréat dans les meilleures conditions, je vous propose de réviser à l'aide de ce document interactif où figurent les attendus de la classe de première, des exercices et leurs corrigés.Bon travail à tous !

COURS Terminale SDans cette partie, sont regroupés les divers documents vous permettant de travailler les leçons.Les liens correspondent :Leçon : il s'agit de la leçon entière que vous devez travailler à la date demandée ;Cours : Il s'agit de la feuille de cours où se trouvent les applications et tableaux vous permettant de recopier le cours pour ceux qui préfèrent avoir un cours manuscrit.Activités : il s'agit de l'ensemble des activités préparatoires aux notions du chapitre . Une version papier sera donnée en classe.Applications : Il s'agit des corrigés des applications faites en classe au cours du chapitre.Plan de travail : Il s'agit du document sur lequel vous trouverez les vidéos préparatoires aux séances de cours et activités, ainsi que la liste des exercices complémentaires.CHAPITRE 01 - Suites convergentes et divergentes:Leçon- Cours- Activités - Applications.CHAPITRE 02 - Limites et continuité:Leçon- Cours - Activités : Partie 1 - Partie 2 - Applications.CHAPITRE 03 - Nombres complexes - forme algébrique:Leçon - Cours - Activités - Applications - Plan de travail.CHAPITRE 04 - Fonction exponentielle:Leçon - Cours - Activités - Applications - Plan de travail.CHAPITRE 05 - Conditionnement et indépendance:Leçon- Cours- Activités- Applications- Plan de travail.CHAPITRE 06 - Logarithme Népérien:Leçon- Cours- Activités- Applications- Plan de travail - Automatiser.CHAPITRE 07 - Géométrie vectorielle dans l'espace:Leçon- Cours-Activités - Applications - Plan de travail.CHAPITRE 08 - Limites de suites: Opérations et comparaisons :Leçon- Cours- Activités- Applications- Plan de travail.CHAPITRE 09 - Fonctions sinus et cosinus:Leçon- Cours- Activités- Applications- Plan de travail.CHAPITRE 10 - Nombres complexes - Forme trigonométrique:Leçon- Cours- Activités.-Applications-Plan de travail.CHAPITRE 11 - Limites de fonctions : opérations, comparaison, composition:Leçon -Cours - Activités.- Applications- Plan de travail.CHAPITRE 12 - Droites et plans de l'espace:Leçon- Cours- Activités- Applications-Plan de travail - Exercices Sections - Carte mentale.CHAPITRE 13 - Intégrales et primitives:Leçon- Cours - Activités.- Applications- Plan de travail.CHAPITRE 14 - Lois à densité - Exemples : lois uniforme et exponentiellesLeçon- Cours- Activités - Applications- Plan de travail.CHAPITRE 15 - Repérage dans l'espace : Leçon - Cours- Activités.- Applications- Plan de travail.CHAPITRE 16 - Loi Normale:Leçon- Cours- Activités.- Applications- Plan de travail.CHAPITRE 17 - Propriétés de l'intégrale:Leçon- Cours- Activités.- Applications- Plan de travail.CHAPITRE 18 -Produit scalaire dans l'espace : Leçon - Cours- Activités.- Applications- Plan de travail.CHAPITRE 19 - Échantillonnageet estimation:Leçon- Cours - Activités- Applications- Plan de travail.

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TS - Page d'accueil by Jacinta Alves on Genially

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Mathématiques Jacinta ALVESjalves.maths@gmail.com T S Lycée Jean de Prades DTL COURS DS / IE ALGORITHMIQUECALCULATRICE TRAVAILLER CHEZ SOI BACCALAUREAT Prise de rendez-vous pour réunion parents-professeurs Réunion du 26 Mars 2019 Remise à niveau Cours de première Méthodologie Orientation Calendrier par période Calendrier par périodesPériode 1 : Jusqu'aux Vacances de ToussaintPériode 2: Jusqu'aux Vacances de NoëlPériode 3 : Jusqu'aux Vacances d'hiverPériode 4 : Jusqu'aux Vacances de printempsPériode 5 : Jusqu'aux baccalauréat.

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Projet Voyage en Mathématique - Produits pédagogiques - Mathématiques - Fermat Science

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Ayant pris conscience avec le monde enseignant et le ministère de l'Education nationale d'un manque de produits pédagogiques autour des mathématiques à destination des collèges, Fermat Science s'attache à créer, grâce au projet " Voyage en mathématique ", des actions innovantes et dynamiques en s'appuyant sur des technologies actuelles.

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Les ensembles de nombres Accromaths Article

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Les ensembles de nombres Accromaths Article

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MATH'MONDE, le blog d'Hervé LEHNING, agrégé de mathématiques

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Les dangers de philosopher sur les nombres, par Hervé Lehning

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Pourquoi les Grecs n’ont-ils découvert ni les réels, ni le zéro et n’admettaient même pas le « un » dans la confrérie des nombres ? La raison tient à la philosophie, voire la mystique, dont ils encombraient ces notions. Le même schéma se retrouve à l’œuvre dans les temps modernes. Idée pythagoricienne des nombres Les nombres sont nés […]

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Article La naissance de la démonstration

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Article La naissance de la démonstration

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Pas d'évocation de Bombelli ... oublié ...

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Voyages au pays des maths - Pique-nique sur le plan complexe - Regarder le documentaire complet | ARTE

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Les nombres irrationnels n'ont plus de secret pour vous ? Alors on met le cap sur un lieu de pique-nique un peu compliqué à atteindre.On sait depuis longtemps que certaines équations ont pour solutions des nombres qui n'existent pas.

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Voyages au pays des maths - Sur la route de l’infini - Regarder le documentaire complet | ARTE

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Dans cet épisode de nos voyages au pays des maths, on met le cap vers l’Infini. Et même au-delà, car l’infini existe en plusieurs tailles. Si, si. Des contrées vertigineuses où Georg Kantor et sa théorie des ensembles nous donneront un sérieux coup de pouce pour nous y retrouver.

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Aujourd'hui, on a coutume de formuler la démonstration comme suit, en la généralisant à l'ensemble \(\mathbb{Q}^{*}_{+}\) de tous les rationnels positifs. L'ensemble \(\mathbb{Q}^{*}_{+}\) (nombres admettant une écriture \(p/q,\) où \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux et strictement positifs) est équivalent au sous-ensemble \(Q_0\) de l'ensemble \(\mathbb{N}^2\) formé des couples d'entiers premiers entre eux. Or, \(\mathbb{N}^2\) est assimilable à l'ensemble \(A\) des points d'un repère de coordonnées \((p,q)\) entières.

On peut parcourir l'ensemble \(A\) en suivant les diagonales du repère, telles que tracées sur la figure ci-dessus, c'est-à-dire en numérotant successivement tous les couples \((p,q)\) dont la somme des coordonnées est identique. On obtient ainsi une bijection entre \(A \approx \mathbb{N}^2\) et \(\mathbb{N}.\) L'image réciproque de \(Q_0\) (sous-ensemble des points à coordonnées premières entre elles) par cette bijection est un sous-ensemble infini de \(\mathbb{N},\) dont il est clair qu'il est (par simple renumérotation) en bijection avec \(\mathbb{N}.\) On obtient ainsi une bijection entre \(\mathbb{N}\) et l'ensemble \(Q_0,\) équipotent à \(\mathbb{Q}^{*}_{+}.\)

Dedekind se montra sensible au problème posé par Cantor et offrit à son tour une démonstration, que nous ne reproduirons pas ici, de la correspondance entre l'ensemble \((n)\) des entiers et l'ensemble des nombres algébriques (racines des polynômes à coefficients entiers).

Le problème restait encore ouvert pour l'ensemble " continu " des réels, mais fut résolu par Cantor, qui prouva une première fois en 1873 1 qu'il n'est pas dénombrable. Il en donna ensuite une seconde solution, plus simple selon lui, en 1891. L'argument prouvant la non-dénombrabilité de l'ensemble des réels (ou, plus exactement, de l'ensemble [0,1], et donc a fortiori de \(\mathbb{R}),\) est connu sous le nom de procédé diagonal, que nous présentons ici avec les notations utilisées par Cantor. Supposons par l'absurde que le segment d'entiers [0,1] se laisse ordonner en une suite infinie \(\omega_1, \: \omega_2, \: ...\) et notons

\[\omega_1= \overline{0,a_{1,1}a_{1,2}...a_{1,\nu}...} \] \[\omega_2= \overline{0,a_{2,1}a_{2,2}...a_{2,\nu}...}\] \[...\] \[\omega_\mu= \overline{0,a_{\mu,1}a_{\mu,2}...a_{\mu,\nu}...}\] \[...\]

les écritures décimales de ces nombres réels. Le nombre dont l'écriture décimale est \(\omega= \overline{0,b_1b_2...},\) où \(b_i=1\) si \(a_{i,i}\neq1\) et \(b_i=2\) sinon (il est donc formé en considérant les décimales situées sur la " diagonale " du schéma précédent) ne figure pas dans la liste précédente. En effet, pour tout \(\mu,\) la \(\mu\)-ième décimale de \(\omega_\mu\) est distincte de \(b_\mu.\) Par l'absurde on conclut que le segment [0,1] n'est pas en bijection avec l'ensemble \((n)\) des entiers.

Ce résultat était déjà acquis à Cantor en 1873 et lui semblait tout à fait conforme à l'intuition. Une dernière propriété des ensembles infinis ne laissa par contre pas, elle, de l'étonner, tant elle lui paraissait contre-intuitive. L'ayant prouvée, en juin 1877, dans une lettre à Dedekind, il lui faisait part de son incrédulité, en s'écriant, en français, " Je le vois, mais je ne le crois pas. " 2 Il s'agit de la correspondance univoque entre le " segment " continu \([0,1]\) et le " carré " \([0,1]^2,\) c'est-à-dire, graphiquement, entre une ligne et une surface : tous les points d'un carré peuvent être " envoyés " bijectivement sur un segment. Soit en effet deux valeurs réelles comprises entre 0 et 1, \(x_1\) et \(x_2,\) de développements décimaux \(\overline{0,a_{1}a_{2}...a_{\nu}...}\) et \(\overline{0,b_{1}b_{2}...b_{\nu}...}\) (visuellement, ce sont les coordonnées \((x_1,x_2)\) d'un point dans le carré). On définit alors la grandeur \(y= \overline{0,a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}...a_{\nu}b_{\nu}...} ,\) en alternant les décimales. La correspondance entre \((x_1,x_2)\) et \(y\) est injective et \(y\) ne prend que des valeurs entre 0 et 1 (elle ne les prend pas toutes, comme le fait remarquer Dedekind à Cantor, puisque le nombre \(y=0,1219191919\) devrait être formé à partir de \(x_1= 0,11111...\) et \(x_2=0,299999...,\) dont le développement décimal est en fait 0,300000..., et a donc plutôt donné naissance à \(y=0,1310101010... ).\) En tout cas, cela montre bien qu'il existe un sous-ensemble de [0,1] en bijection avec \([0,1]^2.\) Il suffit ensuite de construire une bijection entre ce sous-ensemble et [0,1] (ce que Cantor fait dans une seconde lettre) pour conclure.

Tous les constats opérés par Cantor dans les premières années, et dont nous avons cherché à restituer ici la teneur, l'ont été sans recourir à une notion d'ensemble autre que l'idée intuitive de " rassemblement " (Inbegriff). Le terme de puissance (Mächtigkeit) a été utilisé pour désigner la caractéristique commune des ensembles en correspondance univoque (c'est-à-dire l'équivalent du cardinal, pour des ensembles infinis), mais c'est la seule nouveauté lexicale introduite pour ces démonstrations. Cantor était dans un premier temps effrayé de penser que l'idée de dimension, sur laquelle repose une partie de la géométrie des courbes et des surfaces, fût erronée, puisqu'une figure à deux dimensions pouvait être décrite à l'aide d'une seule coordonnée. C'est pourquoi il craignait de faire part d'une découverte qui ruinerait selon lui toutes les " déductions philosophiques ou mathématiques " 3 s'appuyant sur ce concept. Son ami Dedekind le mit en garde, faisant observer, dans une lettre du 2 juillet 1877 4, que la bijection qu'il avait construite entre le carré et la ligne était " nécessairement partout discontinue ", " à donner le vertige ", et qu'en raison de cette particularité elle n'avait peut-être aucune conséquence ruineuse pour la géométrie, qui pouvait quant à elle continuer de s'appuyer sur l'idée de dimension - ce qu'elle fait toujours : les applications pertinentes entre surfaces en géométrie sont les homéomorphismes, bijections particulièrement régulières puisqu'au minimum continues. De fait, après avoir publié quelques articles sur la topologie de la surface et des lignes, Cantor a orienté ses découvertes dans une autre direction : la construction de nombres représentant les divers " degrés " dans l'infini. C'est notamment dans un livre paru en 1883 5 que Cantor a présenté au public cette nouvelle voie, au moyen de la notion d'ensemble, entendu cette fois comme réalité mathématique. Devant les réticences de certains de ses collègues, et notamment de Kronecker, il a cessé un temps de publier dans les revues mathématiques, pour réfléchir aux enjeux philosophiques et théologiques de ses théories, avant, en 1895-97, d'offrir, en deux articles parus aux Mathematische Annalen, une synthèse de ses travaux antérieurs. C'est sur elle que nous nous fondons pour l'exposé qui suit.

Les nombres cardinaux transfinis : une première suite de nombres plus grands que le fini

Lorsque Cantor publie ses travaux, la théorie des ensembles et son formalisme moderne (dus entre autres à Zermelo et Fraenkel, qui la pourvurent, au début du xxe siècle, d'un système d'axiomes), n'existent pas encore et l'ensemble est chez lui seulement défini, dans l'exposé de 1895, comme " une réunion \(M\) [pour Menge en allemand] de certains objets \(m\) bien distincts présents à notre vision ou à notre pensée, qui forment un tout " 7. Étant donné un ensemble (fini ou non) ordonné, on peut, en faisant abstraction de la " texture " (Beschaffenheit), c'est-à-dire des qualités, et de l'ordre des objets qui le composent, déduire la notion de cardinal ou puissance (Mächtigkeit), c'est-à-dire du nombre d'éléments qui les composent, de sorte que deux ensembles " équivalents " (dont les éléments correspondent un à un, ou bien encore entre lesquels il existe une correspondance biunivoque) ont la même puissance. Les cardinaux sont selon Cantor des nombres, et l'on peut définir sur eux un ordre (un cardinal \(a\) est inférieur à un autre \(b\) lorsqu'il existe un ensemble de cardinal \(a\) pouvant être envoyé injectivement dans un ensemble de cardinal \(b)\) et les opérations usuelles 8. Par exemple, si \(M\) et \(N\) sont des ensembles de cardinaux respectifs \(a\) et \(b,\) \(a+b\) est le cardinal de la réunion de \(M\) et \(N\) et \(a.b\) le cardinal du produit cartésien \(M \times N.\) Le cardinal des applications de \(N\) à valeurs dans \(M\) ne dépend que des cardinaux de \(M\) et \(N\) et se note \(a^b.\) Le cardinal de l'ensemble \(\{1, 2,..., \nu\}\) est le nombre entier \(\nu~;\) et les ensembles dont le cardinal n'est pas un nombre fini sont dits transfinis 9. Cela posé, Cantor introduit alors la notation \(\aleph_{0}\) (de \(\aleph,\) première lettre de l'alphabet hébreu, choisie sans doute davantage pour des raisons de commodité, puisqu'elle ne désigne rien d'autre en mathématiques, que, comme on le dit parfois sans fondement certain, en référence au nombre un, que désigne aussi cette lettre dans la numération hébraïque) pour dénoter le cardinal de l'ensemble \(\{\nu\}\) formé de tous les nombres cardinaux finis (identifiable à l'ensemble \(\mathbb{N}).\) Il est clair que \(\aleph_{0}\) ne peut être fini car l'ensemble \(\mathbb{N} \cup \{e_0\}\) (où \(e_0\) est un élément quelconque), qui contient un élément de plus que \(\mathbb{N},\) peut être aisément placé en bijection avec ce dernier (au moyen de l'application associant \(e_0\) à 1, puis 1 à 2, 2 à 3, etc., \(\nu+1\) à \(\nu)\) ; or, il est aisé de prouver que deux ensembles finis sont en bijection si et seulement si ils ont le même cardinal. La bijection mise en évidence prouve par ailleurs que \(\aleph_{0}+1= \aleph_{0}\) (au sens de l'égalité entre cardinaux). C'est à ce point que l'on commence à percevoir toute l'originalité de la théorie de Cantor : \(\aleph_{0}\) est un nombre, transfini certes, mais un nombre, et les opérations définies sur les cardinaux (addition, multiplication et puissance) étendent les opérations naturelles sur les nombres entiers. Il est alors facile de prouver que \(\aleph_{0}+\nu=\aleph_{0},\) où \(\nu\) est un cardinal fini, et la bijection construite dans la première partie entre \(\mathbb{N}\) et \(\mathbb{Q}\) (qui est équivalent à \(\mathbb{N}^2)\) montre que \(\aleph_{0}.\aleph_{0}=\aleph_{0}.\) Plus généralement, \(\aleph_{0}^\nu=\aleph_{0}.\) En outre, \(\aleph_{0}\) est le plus " petit " des nombres transfinis (c'est-à-dire que tout ensemble infini contient un sous-ensemble de cardinal \(\aleph_{0}).\) Il n'est cependant pas le seul. Comme on l'a vu dans la première partie, l'ensemble des nombres réels compris entre 0 et 1, qui n'est pas fini, n'est pas non plus équivalent à \(\mathbb{N},\) ce qui interdit d'y voir un ensemble de cardinal \(\aleph_{0}.\) Précisons alors le cardinal de l'ensemble [0,1]. Comme tout nombre réel du segment [0,1] est représenté par un unique développement en base 2 (de la forme \(\overline{0,11010110111...})\), et qu'un développement binaire est bien déterminé par une fonction de \(\mathbb{N}\) dans \(\{ 0,1 \}\) (l'image de l'entier \(n\) donne la valeur du \(n\)-ième chiffre après la virgule), il existe une bijection entre [0,1] et l'ensemble des applications de \(\mathbb{N}\) dans \(\{0,1\},\) dont le cardinal est noté, d'après ce qui précède \(2^{\aleph_{0}}.\) Ce dernier nombre cardinal est différent de \(\aleph_{0},\) et il lui est supérieur: on peut donc écrire que \(2^{\aleph_{0}}>\aleph_{0}.\) L'ensemble des applications de \(\mathbb{N}\) dans \(\{0,1\}\) étant équivalent à l'ensemble des parties de \(\mathbb{N},\) on peut itérer le procédé (considérer l'ensemble des parties de [0,1]) pour obtenir un ensemble de cardinal strictement supérieur à \(2^{\aleph_{0}},\) et ainsi de suite.

En résumé, \(\aleph_{0}\) est le premier cardinal transfini, celui de \(\mathbb{N}\) et de \(\mathbb{Q}.\) L'ensemble \(\mathbb{R},\) équivalent à [0,1] et donc à l'ensemble \(P(\mathbb{N})\) des parties de \(N,\) a pour cardinal \(2^{\aleph_{0}}.\) L'ensemble de ses parties, \(P(\mathbb{R}),\) équivalent à \(P(P(\mathbb{N})),\) a pour cardinal \(2^{2^{\aleph_{0}}},\) etc.

La génération de cardinaux transfinis au moyen des types ordinaux infinis : la suite des \(\aleph\)

Cantor propose cependant une autre méthode pour construire des cardinaux infinis aussi grands que souhaité, cette fois-ci au moyen du concept de nombre ordinal. On se souvient que le cardinal était le fruit d'une double abstraction à partir d'un ensemble ordonné : perte de la texture et perte de l'ordre. Le type d'ordre (Ordnungstypus ) est quant à lui l'ensemble considéré indépendamment de sa texture, mais en tenant compte de l'ordre de ses éléments. De manière rigoureuse, et en utilisant le langage des applications, on dirait que deux ensembles ordonnés \((M, \le)\) et \((N, \le)\) ont le même type d'ordre lorsqu'il existe entre eux une bijection \(f\) croissante, c'est-à-dire telle que, si \(x\le y\) sont deux éléments de \(M,\) alors \(f(x) \le f(y).\) Il suit aussitôt que deux ensembles ayant le même type d'ordre ont aussi le même cardinal, puisque le cardinal s'obtient par une abstraction supplémentaire.

On peut définir sur les types d'ordre les opérations usuelles. Pour deux ensembles \(M\) et \(N\) de types d'ordre \(\alpha\) et \(\beta,\) on note \((M, N)\) l'ensemble formé des éléments de \(M\) et \(N\) en conservant les ordres respectifs des éléments de chaque ensemble, et en faisant que tous les éléments de \(M\) aient un rang inférieur à tous ceux de \(N,\) ce qui revient intuitivement à juxtaposer les éléments de \(M,\) suivis de ceux de \(N.\) L'ensemble ainsi formé est ordonné, et son type d'ordre ne dépend que du type d'ordre des ensembles de départ. On peut donc le noter \(\alpha + \beta.\) De même se définit le produit : on remplace, en maintenant l'ordre, chaque élément \(n\) de \(N\) par un ensemble \(M_n\) ayant le même type que \(M,\) et on considère l'ensemble \(S\) formé de tous les éléments ainsi mis bout à bout (c'est la suite des éléments contenus dans chacun des \(M_n,\) dans l'ordre), qui est tel que deux éléments issus du même \(M_n\) gardent entre eux le même ordre de succession qu'ils avaient dans \(M_n,\) mais deux éléments de \(S\) issus de deux \(M_n\) différents ont entre eux le même ordre que les indices. Si, par exemple, \(M=\{1,2,3\}\) et \(N=\{4,5\},\) l'ensemble S est \(\{1_4, 2_4, 3_4, 1_5, 2_5, 3_5\}.\) Le type d'ordre de cet ensemble se note \(\alpha . \beta.\) On montre aisément que ces opérations sont associatives et que le produit est distributif par rapport à la somme.

On notera à ce point du développement que l'exposé de Cantor manque quelquefois de clarté faute d'un formalisme adéquat. L'ensemble-produit que nous venons de considérer est en réalité, du point de vue des types d'ordres, identique au produit cartésien \(M \times N\), muni de l'ordre lexicographique : \((m,n)\le(m',n')\) lorsque $m$<$m'$ ou $m=m'$ et $n\leq n'$. Les opérations d'abstraction, elles-mêmes, que Cantor demande à son lecteur d'accomplir pour parvenir au concept de types d'ordre ou de cardinal, pourraient être rigoureusement décrites en termes de classes d'équivalence : le cardinal $\aleph_0$ serait alors la classe d'équivalence de $\mathbb{N}$ pour la relation " deux ensembles sont équivalents lorsqu'il existe entre eux une correspondance biunivoque ". Quant aux types d'ordre, ce sont les classes d'équivalence pour la relation " deux ensembles ordonnés sont équivalents lorsqu'il existe entre eux une bijection respectant l'ordre ". De telles définitions n'ont cependant pas la force évocatrice de celles de Cantor : le seul vocabulaire qu'il emploie (les " types d'ordre " faisant référence à la manière, empirique, de classer les éléments d'un ensemble) montre bien la genèse de son raisonnement, assez imagé. Le dialogue permanent qui s'opère chez le mathématicien avec son intuition du monde sensible reste, en dépit de l'axiomatisation et de la formalisation des théories (qui semblent, de l'extérieur, réduire les mathématiques à des opérations purement logiques), sa principale source d'inspiration, quitte à ce que le procès d'abstraction du sensible, de réduction des propriétés observées à quelques-unes, le conduise à des résultats dépassant son intuition.

Donnons à présent quelques exemples illustrant le concept, peu formalisé chez Cantor, de type d'ordre. Les ensembles \(M=\{1, 3, 5\}\) et \(N=\{1, 6, 4\},\) munis de l'ordre naturel, ont le même type d'ordre : il suffit de faire correspondre 1 à 1, 3 à 4 et 5 à 6. Plus généralement, deux ensembles finis de même cardinal ont aussi le même type d'ordre. C'est pour les ensembles infinis que les types d'ordre présentent un réel intérêt. Cantor nomme \(\omega\) le type d'ordre de l'ensemble \(\mathbb{N}.\) L'ensemble \(\{f, 0, 1, 2, 3, 4, ...\},\) où l'on a ajouté un élément plus petit que 0 au " début " de l'ensemble, a alors le même type d'ordre (il suffit d'associer \(f\) à 0, 0 à 1, 1 à 2 et ainsi de suite, pour indexer les éléments de cet ensemble avec ceux de \(\mathbb{N},\) dans l'ordre) : ainsi, \(1+\omega=\omega.\) À l'inverse, l'ensemble \(\{0, 1, 2, ..., f\},\) formé de tous les entiers naturels non nuls, plus, " en dernier ", un élément \(f\) considéré maintenant comme plus grand que tous les autres a un type d'ordre différent, car il est impossible de réindexer ses éléments avec ceux de \(\mathbb{N}\) tout en respectant l'ordre (\(f\) devrait avoir un indice entier naturel plus grand que tous les autres). Cela montre, dans les termes de Cantor, que \(\omega+1\) est un ordinal distinct de \(\omega.\) De même, l'ensemble \(\{e_1, e_2, ..., e_\nu, ... ; f_1, f_2, ..., f_\nu, ...\},\) dont le type d'ordre est, par définition, \(\omega.2,\) n'a pas le même type que l'ensemble \(\{e_1, f_1, e_2, f_2, ...\},\) dont le type se note \(2.\omega\) par définition et dont il est facile de voir qu'il a le même type que \(\mathbb{N}.\) Ainsi, \(2.\omega=\omega,\) mais \(\omega.2\) est un ordinal distinct. Les opérations sur les ordinaux ne sont pas commutatives.

Cantor nomme ordinaux de première classe tous ceux des ensembles finis ordonnés, et ordinaux de deuxième classe 11 ceux des ensembles bien ordonnés (c'est-à-dire tels que toute partie non vide admette un plus petit élément) dont le cardinal est \(\aleph_{0}.\) Un ordre peut être alors être défini sur les ordinaux des ensembles bien ordonnés. Avec les notations du savant allemand: si \(\alpha\) et \(\beta\) sont les types de deux ensembles bien ordonnés \(F\) et \(G,\) on dit que \(\alpha \le \beta\) lorsque \(\alpha = \beta\) ou, sinon (\(\alpha \neq \beta,\) les deux ensembles n'ont pas le même type), lorsqu'il existe un segment 12 de l'ensemble \(G\) ayant le type de \(F.\) De même, \(\alpha > \beta\) lorsqu'il existe un segment de \(F\) ayant le type de \(G.\) Cantor prouve que cette définition ne dépend pas des ensembles \(F\) et \(G,\) et que tous les cas sont bien épuisés.

Cantor prouve alors que \(\omega\) est le plus petit ordinal de la deuxième classe, et que \(\omega+1\) est exactement le suivant. Que \(\omega + 1\) (type de l'ensemble \(\{0, 1, 2, ..., f\},\) noté \((N,f))\) soit strictement supérieur à \(\omega\) découle en effet de ce que l'ensemble \(\{0, 1, 2, ...\},\) noté \(N,\) est un segment de \((N,f).\) En outre, si \(\gamma\) est un ordinal strictement compris entre \(\omega\) et \(\omega+1,\) il est le type d'un segment de \((N,f),\) qui doit lui-même contenir un segment de même type que \(N,\) c'est-à-dire \(N.\) C'est donc soit \(N\) soit \((N,f),\) ce qui est absurde.

Par des raisonnements similaires, on montre que les ordinaux de la première et de la deuxième classe sont décrits par la suite (croissante) :

\[1,2,...,n,...,\omega,\omega+1,...,\omega+\omega=\omega.2,...,\omega.n..., \omega.\omega=\omega^2,...,\omega^k,...\]

Considérons alors l'ensemble \(E\) formé de tous ces ordinaux. Il s'agit d'un ensemble bien ordonné, et, pour tout ordinal \(\alpha \in E,\) l'ensemble \(\{\xi \in E / \xi \le \alpha \}\) a pour type d'ordre \(\alpha.\) Tout élément de \(E\) est donc le type d'ordre d'un de ses segments stricts, et ne peut être, par conséquent, le type d'ordre de \(E\) lui-même. Autrement dit, l'ordinal \(\alpha\) de \(E\) est strictement supérieur à chacun des ordinaux de première et de deuxième classe. Le cardinal de l'ensemble \(E\) n'est donc pas \(\aleph_{0}\) (cardinal commun des ensembles dont l'ordinal est dans la deuxième classe). On définit alors \(\aleph_{1}\) comme le cardinal de \(E.\)

En itérant le procédé (donc en considérant l'ensemble formé de tous les ordinaux des ensembles de cardinal \(\aleph_{1}),\) on engendre une suite infinie des alephs : \(\aleph_{0}, \aleph_{1},....\) C'est ainsi qu'on démontre à nouveau l'existence d'une infinité de degrés dans l'infini. En outre, les \(\aleph,\) tout comme les ordinaux, sont des nombres sur lesquels une structure d'anneau (somme et produit distributif) a été définie, ce qui permet d'élargir un certain nombre de propriétés arithmétiques à ces nombres transfinis. La construction de Cantor revient donc à faire des infinis, non plus un procès (on peut toujours trouver une grandeur finie plus grande qu'une grandeur donnée), non plus des abstractions inaccessibles à l'entendement fini de l'humain, non plus une qualité de la substance infinie qu'est Dieu, mais des totalités en acte tout à fait saisissables par la pensée. C'est ce que la théorie de Cantor contenait de diabolique, qui laissa plusieurs de ses collègues perplexes.

L'hypothèse du continu

Les raisonnements précédents ont mis en évidence deux suites de cardinaux infinis :

1°. \(\aleph_0, \aleph_1,..., \aleph_i,...,\) où \(\aleph_{i+1}\) est le cardinal de l'ensemble des ordinaux des ensembles de cardinal \(\aleph_i~;\)

2°. \(\aleph_0, 2^{\aleph_0}, 2^{2^{\aleph_0}},...\) où chaque terme est cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble de cardinal le terme précédent.

Naturellement, on peut se demander si ces deux suites sont identiques, c'est-à-dire si \(\aleph_1=2^{\aleph_0}\) (au sens de l'égalité entre cardinaux), etc. Comme \(2^{\aleph_0}\) est la puissance du segment [0,1], que Cantor nomme ensemble continu, on appelle " hypothèse du continu " la propriété \(\aleph_1=2^{\aleph_0},\) qui revient à dire, intuitivement, que \(\mathbb{R}\) (équivalent à [0,1]) est le "premier" ensemble plus grand que \(\mathbb{N}.\) Cantor était convaincu de la véracité de cette hypothèse, et s'est efforcé, jusqu'au bout de sa vie, d'en donner une démonstration, comme le montre sa correspondance avec Dedekind, sans succès... 13 La hauteur de l'enjeu posé par le problème du continu fut en tout cas perçue par Hilbert, qui le plaça en tête de la liste des vingt-trois problèmes appelés à marquer le xxe siècle, énoncée en 1900 au deuxième Congrès international des mathématiciens (dans la création duquel Cantor s'était beaucoup impliqué). On sait aujourd'hui que le problème ne peut être résolu : Gödel a montré en 1938 la compatibilité de l'hypothèse avec les axiomes habituels de la théorie des ensembles, et, en 1963, Paul Cohen a prouvé qu'elle était indécidable (c'est-à-dire que l'on peut ni l'affirmer ni l'infirmer, ou, plus exactement, que la supposer ou non n'a aucune incidence sur le reste de la théorie).

Ainsi était clos le feuilleton de l'infini ouvert par Cantor (et par quelques travaux précurseurs, comme les Paradoxes de l'infini de Bolzano, publiés en 1851) près d'un siècle auparavant. Ce feuilleton, c'est d'abord celui d'un mathématicien brillant, audacieux, pour ne pas se laisser intimider par des problèmes semblant dépasser l'entendement, curieux, pour ne pas choisir des domaines de recherches dont l'utilité paraît plus immédiate, incompris, car il n'a pas trouvé, de son vivant de chercheur, toute la reconnaissance qu'il aurait méritée. Mais c'est surtout le feuilleton d'une expérience profondément humaine, celle de la tension du sujet mathématique connaissant, qui, à la fois, découvre, conduit vers des vérités inattendues par une nécessité le dépassant, et construit, c'est-à-dire qu'il élabore, par un geste libre, un monde de concepts et de définitions reliés entre eux. C'est cela qu'exprimait Cantor, en 1883, dans les Grundlagen : " Les mathématiques sont entièrement libres dans leur développement et s'imposent cette seule retenue, que leurs concepts soient dépourvus de contradiction en eux-mêmes et qu'ils entretiennent avec les concepts construits auparavant, déjà présents et assurés, des relations fixes et ordonnées par des définitions. " 14 La voie suivie par Cantor pourrait bien, si exceptionnel son cheminement intellectuel fût-il, si tragique sa fin, être paradigmatique de celle du chercheur en mathématiques. Happé, dominé par ses découvertes incroyables, si contraires à l'intuition, il a dépassé le stade du seul étonnement ou de la crainte, pour élaborer, " entièrement libre ", les concepts qui devaient lui permettre de tirer le parti le plus abouti de ce qu'il lui avait été donné de voir, bien au-delà de ce qu'il avait vu. C'est cela, ce mixte de déductions sans cesse questionnées par l'intuition pour en élaborer d'autres, qui, loin des querelles abstraites entre les partisans du réalisme ou de l'idéalisme des objets mathématiques, constitue peut-être l'essence même de l'activité mathématique.

Bibliographie

Les travaux mathématiques de Cantor ont été réunis dans un volume : Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, éd. Ernst Zermelo, Berlin, Springer, 1932 (cité GA). Il n'existe pas de traduction complète en français, mais, pour les " Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre " de 1895-97, on dispose de celle de F. Marotte, Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis, Bordeaux, Jacques Gabay, 1899.

La correspondance entre Cantor et Dedekind a été éditée : Georg Cantor, Richard Dedekind, Briefwechsel Cantor-Dedekind, éd. Jean Cavaillès et Emmy Noether, Paris, Hermann, 1937. Une traduction en est donnée dans Jean Cavaillès, Philosophie mathématique, Paris, Hermann, 1962, p. 177-251 (cité Cavaillès (éd)).

Sur l'œuvre de Cantor, la bibliographie est considérable. On consultera pour une approche commode, les ouvrages de Jean-Pierre Belna, Cantor, Paris, Les Belles Lettres, 2000 et Joseph W. Dauben, Georg Cantor. His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton, Princeton University Press, 1979.

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Découvrir l'infini, construire des infinis

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Aujourd'hui, on a coutume de formuler la démonstration comme suit, en la généralisant à l'ensemble \(\mathbb{Q}^{*}_{+}\) de tous les rationnels positifs. L'ensemble \(\mathbb{Q}^{*}_{+}\) (nombres admettant une écriture \(p/q,\) où \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux et strictement positifs) est équivalent au sous-ensemble \(Q_0\) de l'ensemble \(\mathbb{N}^2\) formé des couples d'entiers premiers entre eux.

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