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Trinomio de grado 4 con coeficiente principal -1 y término independiente 3.

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Trinomio de grado 4 con coeficiente principal -1 y término independiente 3.

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X-3

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Factorización de polinomios. Por diferentes métodos: Teorema del factor, Ruffini, uso de identidades notables, sacar factor común.

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Factorización de polinomios. Por diferentes métodos: Teorema del factor, Ruffini, uso de identidades notables, sacar factor común.

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Un polinomio es irreducible si no se puede escribir como producto de dos o más polinomios de grado menor.

Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de polinomios irreducibles.

Teorema del factor: Para factorizar un polinomio se calculan sus raíces reales. Dichas raíces proporcionan los factores tal y como indica el teorema del factor.

EJEMPLO:

Factorización por la regla de Ruffini: Para factorizar un polinomio de grado superior a dos, utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.

EJEMPLO

Los pasos a seguir los veremos con el polinomio:

Factorización mediante extracción de factor común: Cuando todos los términos de un polinomio poseen un factor común, se puede comenzar su factorización extrayendo dicho factor común.

EJEMPLOS

Factorización utilizando las identidades notables: A veces, el polinomio que se va a factorizar es el desarrollo de una identidad notable.

EJEMPLOS

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Teorema del resto: El resto, R, de dividir un polinomio P(x) entre un binomio (x - a), coincide con el valor numérico del polinomio en x = a, es decir, R = P(a).

Para probar el teorema, se expresa el polinomio P(x) utilizando la propiedad de la división como D(x) = C(x) · d(x) + R, es decir, P(x) = (x - a) · C(x) + R.

Al sustituir x = a → P(a) = (a - a) · C(a) + R → P(a) = R.

Teorema del factor: Si P(a) = 0, entonces el polinomio P(x) es divisible por (x - a), es decir, (x - a) es un factor de P(x).

Para probar este teorema, se utiliza el teorema del resto. Si P(a) = 0, el resto de la división de P(x) : (x - a) es nulo. Entonces P(x) se expresa P(x) = (x - a) · C(x).

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Se dice que x = a es una raíz del polinomio P(x), si el valor numérico de P(x) para x = a es nulo, es decir, x = a es raíz de P(x) si P(a) = 0

El número de raíces de un polinomio depende de su grado.

Un polinomio de grado n puede tener, como máximo, n raíces reales.

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Método de Ruffini: qué es, para qué se utiliza, ejemplos

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Método de Ruffini: qué es, para qué se utiliza, ejemplos

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La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x - a.

Por tanto, el método de Ruffini se utiliza para realizar ese cálculo de manera rápida, pues este método facilita la obtención del resultado.

EJEMPLO

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Cuadrado de una suma: El cuadrado de una suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo término más el doble producto de los dos términos.

Cuadrado de una diferencia: El cuadrado de una diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo término menos el doble producto de los dos términos.
Suma por diferencia: La suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

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Si los monomios de un polinomio tienen factores comunes, se puede expresar el polinomio como el producto de un monomio llamado factor común por otro polinomio de grado menor. Esta operación se llama extracción de factor común.

EJEMPLO

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Operaciones básicas de polinomios, ¿cómo se suman, restan, multiplican o dividen estas expresiones?

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Operaciones básicas de polinomios, ¿cómo se suman, restan, multiplican o dividen estas expresiones?

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Para explicar la suma, resta, multiplicación y división de polinomios, es conveniente primero hacer referencia a como se hacen estas operaciones con monomios.

Suma y resta de monomios: Para sumar o restar monomios semejantes (tienen la misma parte literal) se suman o restan sus coeficientes y se escribe la misma parte literal que tienen ambos.

Cuando dos monomios no son semejantes, su suma y su resta se dejan de forma indicada sin realizar ninguna operación.

Producto de un número por un monomio: Para multiplicar un número real por un monomio se multiplica el número por el coeficiente del monomio y se escribe la misma parte literal.

EJEMPLOS

Producto de monomios: Para multiplicar cualquier par de monomios, se multiplican los coeficientes y las partes literales.

Potencia de un monomio: Para calcular la potencia de un monomio se eleva al exponente el coeficiente y cada una de las variables de la parte literal.
División de monomios: Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y sus partes literales.

EJEMPLO

Sabiendo esto sobre los monomios, ya se puede hacer referencia a los polinomios.

Suma y resta de polinomios: Para sumar o restar polinomios se suman o restan los monomios semejantes que los forman.

Producto de un número por un polinomio: Para multiplicar un número real por un polinomio, se multiplica dicho número por cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Producto de dos polinomios: Para multiplicar polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo polinomio y se operan los monomios semejantes.

División de un polinomio entre un monomio: Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio.

División de polinomios: Dividir un polinomio D(x) entre otro d(x) consiste en encontrar dos polinomios C(x) y R(x) tales que:

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El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado obtenido al sustituir cada una de las variables por números.

EJEMPLO

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Definición de polinomio: grado, coeficientes (coeficiente principal), término independiente.

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Definición de polinomio: grado, coeficientes (coeficiente principal), término independiente.

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Definición: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de varios monomios (expresión algebraica formada por el producto de un número real por una o varias variables elevadas a exponentes naturales) no semejantes, que se llaman términos.

EJEMPLO

Grado: Se llama grado del polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo forman.

EJEMPLO

Término principal: El término principal es el monomio de mayor grado. Su coeficiente es el coeficiente principal.

EJEMPLO

Término independiente: El término independiente es el monomio que no tiene parte literal.

EJEMPLO

EJEMPLO DE TODO LO ANTERIOR