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Aplicaciones de la teoría de grafos en inteligencia artificial

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Aplicaciones de la teoría de grafos en inteligencia artificial

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las redes inalámbricas han tenido un espectacular auge en los últimos anos (redes celulares, de sensores para monitorización, redes ad-hoc, etc.) apareciendo numerosos problemas sobre la construcción, organización y manejo de estas redes, en la que cada nodo representa representa una estación emisora con un rango de transmisión uniforme. Así estas redes toman como modelo básico el denominado grafo unidad (unit disk graph, UDG) en el que hay una arista entre dos nodos si su distancia euclidiana es menor o igual a 1.

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Arthur Cayley, la teoría de grafos y los isómeros químicos

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Arthur Cayley, la teoría de grafos y los isómeros químicos

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Cada fórmula química define un compuesto a partir de los diferentes átomos que contiene. En 1811, el químico francés Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850) observó que existían sustancias distintas que poseían la misma composición química, por lo que sus átomos tendrían que estar enlazados de diferente manera.

En 1823, el químico alemán Justus von Liebig (1803-1873) -que trabajaba en un laboratorio privado con Gay-Lussac- demostró que el fulminato de plata y el cianato de plata -ambos formados por moléculas conteniendo un átomo de plata, uno de carbono, uno de oxígeno y otro de nitrógeno- tenían propiedades muy distintas, en particular, el primero era muy explosivo. ¿Qué los distinguía? Si sus moléculas constaban de los mismos átomos y en la misma cantidad, la diferencia debía residir en la manera en que esos átomos se enlazaban en cada molécula: el fulminato de plata puede escribirse como AgNCO y el cianato de plata es AgOCN.

Gay-Lussac comunicó estos estudios al químico sueco Jöns Jacob von Berzelius (1779-1848). Por su cuenta, Berzelius había descubierto que el ácido racémicoy el ácido tartárico parecían tener la misma fórmula empírica -G ₄H ₆O ₆-, pero no compartían las mismas propiedades; Berzelius sugirió denominarlos isómeros.

En 1857, el polímata británico Arthur Cayley (1821-1895) -y gran experto en teoría de grafos- decidió utilizar sus conocimientos matemáticos en el estudio de los isómeros de , de fórmula C nH 2n+2: deseaba enumerar todas las posibles configuraciones. Su manera de abordar el problema fue la de asignar a cada alcano un -es decir, un grafo, un conjunto de vértices y aristas uniendo algunos de ellos, en el que dos vértices están conectados por exactamente un camino de aristas-. Dado un alcano, Cayley ignoraba los átomos de hidrógeno, y construía un árbol tomando como vértices los átomos de carbono y como aristas los enlaces entre ellos. Su teoría dependía del número de 'centros' del alcano. ¿Qué es un centro? Dado el árbol de Cayley -construido a partir de la fórmula del isómero, como acabamos de indicar-, se suprimen los vértices de valencia 1 -la valencia de un vértice es el número de aristas que salen de él-. Cayley demostró que los árboles asociados a alcanos tenían siempre vértices de valencia menor o igual a 4, y que sólo podían tener uno o dos centros.

Veamos un ejemplo para entender mejor el concepto de centro y el resultado probado por Cayley: tomemos dos isómeros del alcano con 5 átomos de carbono, el pentano -de fórmula bruta C ₅H ₁₂ -.

1. el 2,2-dimetilpropano -C(CH ₃) ₄ - posee cuatro vértices de valencia 1 y uno de valencia 4, que es su único centro:

2. el 2-metilbutano -(CH ₃) ₂-CH-CH ₂-CH ₃ - posee tres vértices de valencia 1 y dos de valencia 2; estos dos últimos son los centros:

Basándose en las propiedades de este tipo de árboles, Cayley propuso una fórmula para calcular el número de isómeros de los alcanos: su expresión era exacta para n de 1 a 11, pero fallaba más allá. También inventó un algoritmo que permitía calcular el número de isómeros para n conociendo el número de isómeros para n-1.

The Online Encyclopedia of Integer Sequences () ofrece un amplio estudio sobre el número de isómeros de alcano, sin tener en cuenta los estereoisómeros -es decir, los isómeros que difieren sólo en la orientación espacial-. Cada isómero de alcano se identifica con un árbol , de n vértices no etiquetados y de valencia menor o igual a 4 -como proponía Cayley, el no tener raíz significa que no hay vértices destacados-. Ignorar los estereoisómeros significa que las aristas que salen de un vértice no están ordenadas.

Además de incluir el número de alcanos hasta , la OEIS incorpora fórmulas recurrentes para el cálculo de la cantidad de isómeros para cualquier valor de n. Incluso se distinguen los alcanos con o con dos centros.

El número de isómeros de alcanos para n -es decir, C ₁H 4 tiene 1 isómero, C ₂H 6 tiene 1 isómero, C ₃H 8 tiene 1 isómero, C ₄H 10 tiene 2 isómeros, etc.- es:1, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 18, 35, 75, 159, 355, 802, 1.858, 4.347, 10.359, 24.894, 60.523, 148.284, 366.319, 910.726, 2.278.658, 5.731.580, 14.490.245, 36.797.588, 93.839.412, 240.215.803, 617.105.614, 1.590.507.121, 4.111.846.763, 10.660.307.791, 27.711.253.769, etc.

Teniendo en cuenta estos cálculos, se estima que el alcano C ₁₆₇H ₃₃₆ posee más isómeros que partículas existen en el universo.

Para obtener el número completo de isómeros de alcano, basta con incorporar una ordenación a las aristas.

Referencias:

[1] P. Boulanger, Cayley et le calcul des isomères chimiques , Maths & Chimie, Tangente HS 43 (2012) 90-92

[2] E. M. Rains and N. J. A. Sloane, On Cayley's Enumeration of Alkanes (or 4-Valent Trees) , Journal of Integer Sequences, vol. 2 (1999) Article 99.1.1

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

Esta anotación participa en el XXXVIII Carnaval de la Química cuyo blog anfitrión es Pero eso es otra historia ...

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Arthur Cayley, la teoría de grafos y los isómeros químicos

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Cada fórmula química define un compuesto a partir de los diferentes átomos que contiene. En 1811, el químico francés Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850) observó que existían sustancias distintas que poseían la misma composición química, por lo que sus átomos tendrían que estar enlazados de diferente manera.

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Aplicación de los grafos en Topología de red de computadoras

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Aplicación de los grafos en Topología de red de computadoras

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REPRESENTACIÓN DEREDES SOCIALES MEDIANTE GRAFOS.

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REPRESENTACIÓN DEREDES SOCIALES MEDIANTE GRAFOS.

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REPRESENTACIÓN DEREDES SOCIALES MEDIANTE GRAFOS.

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REPRESENTACIÓN DEREDES SOCIALES MEDIANTE GRAFOS.

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Instituto de Ingeniería del Conocimiento - IIC

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Estudio de redes sociales y grafos.  Datahack | IIC

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REPRESENTACIÓ N DEREDES SOCIALES MEDIANTE GRAFOS.

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REPRESENTACIÓ N DEREDES SOCIALES MEDIANTE GRAFOS.

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Modelado Dinámico por Inspección para Convertidores de Potencia CD a CD Conmutados: Un Enfoque Basado en Grafos  

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Modelado Dinámico por Inspección para Convertidores de Potencia CD a CD Conmutados: Un Enfoque Basado en Grafos  

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Los grafos también se utilizan en los planos de autopistas

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Los grafos también se utilizan en los planos de autopistas

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Hace un cierto tiempo estábamos en clase de matemática Discreta y uno de mis profesores me propuso ver si los mapas de metro de Londres y de Tokyo eran conexos. Yo como cualquier otra persona no normal en lugar de pasar tres pueblos del asunto me dediqué a comprobarlo.

El metro de Londres tiene un mapa muy bonito y la verdad es que la red y las líneas son muy chulas (voy a apartar aquí mi vena de friki de los transportes). El mapa como muchos sabréis es un grafo pues se representa la conexión entre las estaciones muchas veces distorsionando las direcciones y las distancias según conveniencia.

Ahora uno ve el de Tokyo y parece un absoluto caos pero en realidad no lo es tanto porque si nos fijamos nos va poniendo el orden de las estaciones según las líneas. Así tenemos una ventaja, si alguna vez en tu vida tienes que coger el metro de Tokyo (No nos dirás que este blog no es útil) viendo dos estaciones de la misma línea sabes cuántas estaciones hay entre ambas sin tener que contarlas lo que puede ser tedioso. (Y las intersecciones de líneas son mucho más claras)

Os hago spoiler: Ambos mapas de metro son conexos, es decir, desde cualquier estación se puede llegar a cualquier otra de la red.

Lo que hice para llegar a esa conclusión es dado un tren de una línea podemos llegar a cualquier estación de dicha línea luego podemos representar esa línea como un vértice del grafo y si el grafo formado por todas las líneas es conexo tenemos nuestro objetivo (OLÉ)

En ambos casos el grafo es conexo y de hecho tiene diámetro menor que 4. Para aquellos que no sepáis lo que es el diámetro de un grafo es dado un vértice cualquiera (línea en nuestro caso) cuál es el mínimo de aristas que hemos de recorrer (cambio de línea) para llegar a cualquier otro de los vértices (cualquier otra línea). Dicho de otra forma, el número de cambios de línea para pasar entre dos líneas cualesquiera del grafo. Es fácil comprobar que por ejemplo en el de Londres partiendo de la línea Circle con a lo sumo 2 cambios podemos llegar a cualquier línea. Por consiguiente el diámetro será a lo sumo 4 pues desde una línea cualquiera podemos llegar a lo sumo en dos cambios a la línea Circle y luego de esta a cualquier otra.

Sin embargo, no tiene por qué ser 4 el diámetro. Sabemos que está acotado superiormente por 4 y inferiormente por 2 pues de por ejemplo otra vez la línea Circle no se puede conectar con todas las demás. Hay un teorema en teoría de grafos que dice que el diámetro ha de ser menor que 2 veces el radio lo cual tiene sentido por lo que hemos explicado.

Os dejamos aquí los grafos resultantes de los metros de Londres y Tokyo.

Este es el grafo representado en Geogebra del metro de Londres

Y este es el correspondiente del metro de Tokyo

Por supuesto no hemos hecho estudio con el metro de Sevilla pues se trata del grafo trivial. Consta de un solo punto (vértice) al solo tener por ahora (y seguramente por bastantes años) una única línea. Al menos lo que nos indica las estaciones y sus conexiones si es un grafo aunque demasiado aburrido como para dedicarle más de 4 líneas.

Un día volviendo en el autobús le enseñé a un compañero mío esto y entonces dijo, ¿Y se te ha ocurrido hacerlo de los autobuses de Sevilla? cosa que en un principio me había planteado pero si ya los grafos de estos mapas de metro son algo complicados no me quería imaginar el de la red de autobuses. Pero como bien dijo Prado Bassas lo que mueve la ciencia es el ``No hay huevos`` y esa misma noche ante el reto de mi compañero me dediqué a elaborar dicho grafo.

Eso sí, solo consideré como conexión si era exactamente en la misma parada pues si no entraba el dilema de cuanta distancia tenían que separar dos paradas para que no se consideraran enlace. Además de la dificultad de medir eso y la gran posibilidad de cometer errores al hacerlo (y no disponer de tanto tiempo)

Si os fijáis el tranvía (T1) es la única línea que no está conectada con las demás al no tener técnicamente paradas en común por el resto. Lo restante sí es conexo y de hecho en su momento calculamos (el desarrollo mediante fuerza bruta me lo voy a ahorrar) que el diámetro era bien o 3 o 4. Si alguno de vosotros por algún extraño motivo quiere hallar la respuesta exacta y mandárnosla a culturamates@gmail.com no nos quejaremos (entenderemos evidentemente lo contrario). Esperamos que os haya gustado esta entrada y nos vemos en la próxima :)

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Hace un cierto tiempo estábamos en clase de matemática Discreta y uno de mis profesores me propuso ver si los mapas de metro de Londres y de Tokyo eran conexos. Yo como cualquier otra persona no normal en lugar de pasar tres pueblos del asunto me dediqué a comprobarlo.

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Metro de Madrid

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Aplicación de los grafos en circuitos eléctricos

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Aplicación de los grafos en circuitos eléctricos

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Los grafos se han usado en circuitos eléctricos desde el
siglo XIX, gracias a Gustav Kirchhoff

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Los mapas conceptuales basados en grafos permiten que una persona exprese de una forma efectiva, ágil y amena sus conceptos. La tecnología actual también permite que estos mapas puedan compartirse colaborativamente, así logrando crear mapas grupales en los que intervienen los conceptos de varias personas.