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Rectas y circunferencias

Nombre: Leonardo Gonzalez
C.I: 28040852

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es una rama de matemáticas dedicada al estudio en profundidad de las figuras geométricas.

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Geometría Analítica - Concepto, aplicaciones, fórmulas y características

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Geometría Analítica ✓ Te explicamos qué es la geometría analítica, su historia, características y fórmulas principales. Además, sus diversas aplicaciones.

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Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.
Cuando queremos determinar la ecuación de una recta L, que pasa por un punto P(x1,y1) que tiene una pendiente m, si existe un punto P(x,y) cualquiera de la recta y es distinto de P1, utilizando la fórmula de la pendiente tenemos:

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Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.

Cuando queremos determinar la ecuación de una recta L, que pasa por un punto P(x1,y1) que tiene una pendiente m, si existe un punto P(x,y) cualquiera de la recta y es distinto de P1, utilizando la fórmula de la pendiente tenemos:

y pasando el término x ± x1 que está dividiendo hacia el otro lado multiplicando, resulta:
y obtenemos la siguiente forma de ecuación de una recta: Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada.
La recta que pasa por el punto dado P1 (x1, y1) y tiene la pendiente dada m, tiene por ecuación

Otras formas de la ecuación de la recta
A)Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen.

Consideremos una recta Lcuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen, es decir, su intercepción con el eje Y, es b. Como se conoce b, el punto cuyas coordenadas son (0, b) está sobre la recta. Por tanto, el problema se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto (0, b) y tiene una pendiente dada. Por lo que la ecuación buscada es:

Por lo que la recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación:

B)Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por dos cualesquiera de sus puntos. Analíticamente, la ecuación de una recta también queda perfectamente determinada conociendo las coordenadas de dos cualesquiera de sus puntos.

La recta que pasa por dos puntos dados P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) tiene por ecuación

Sean a diferente de 0 y b diferente de 0 los segmentos que una recta determina sobre los ejes X y Y , es decir, sus intercepciones. Entonces (a, 0) y (0, b) son dos puntos de la recta. Por tanto, el problema de obtener la ecuación de una recta cuando se conocen los segmentos que determina sobre los ejes se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, y tenemos,

La recta cuyas intercepciones con los ejes X y Y son a distinto de 0 y b distinto de 0, respectivamente, tiene por ecuación:

Distancia de un punto a una recta
Para calcular la distancia dirigida de un punto P1(x1,y1) a una recta r determinada por la ecuación Ax + By + C = 0 se utiliza la fórmula:

La distancia d es la longitud del segmento de recta perpendicular dirigido de la recta r al punto P1(x1,y1). Dicha distancia será positiva si el punto se encuentra por encima de la recta, y negativo si se encuentra por debajo de la recta. El signo de d será igual al signo de B.
Distancia entre dos recta paralelas
Para calcular la distancia no dirigida entre dos rectas paralelas, llamadas L1 y L2 se considera aplicar la siguiente formula:

Para calcular la distancia no dirigida entre dos rectas paralelas, llamadas L1 y L2 respectivamente, hay que determinar un punto que pertenezca a una de las rectas, asignando a x un valor de 0 para encontrar el valor correspondiente de y, realizando el despeje correspondiente.

Enseguida, con este punto y la recta L2 se procede a encontrar la distancia de este punto a la recta, con la fórmula de la distancia de un punto a una recta.

Cuando se calcula la distancia entre dos rectas paralelas, el signo indica cuál de las rectas está arriba de la otra y solamente se considera que la distancia entre las rectas es una distancia no dirigida y se calcula con el valor absoluto, por eso el resultado es positivo.

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3. LA LINEA RECTA - Geometría Analítica Plana

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Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.

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extraído del material de ayuda de la "Santiago Mariño"

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Tutorial de como calcular el angulo de una recta

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Tutorial de como calcular el angulo de una recta

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Enlace recomendado por la "Santiago Mariño"

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¿Que representa la pendiente de una recta?

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¿Que representa la pendiente de una recta?

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La pendiente de una recta es un sistema de representación rectangular, en un plano cartesiano

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En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento lineal, natural o constructivo respecto de la horizontal (de 0° o 180°).

En geometría analítica, puede referirse a la pendiente de la ecuación de una recta (o coeficiente angular)​ como caso particular de la tangente a una curva, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante, por ejemplo, en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas o canales.

Ángulo de inclinación

El ángulo α, definido tal como aparece en la figura, se llamaángulo de inclinación de la recta respecto al eje OX. La tangente (trigonométrica) del ángulo de inclinación   se llama coeficiente angular de la recta y se designa usualmente con la letra   y entonces

En realidad, el coeficiente angular y la pendiente tienen el mismo significado geométrico. En la ecuación que involucra el coeficiente angular y la ordenada en el origen: k es el coeficiente angular y b la ordenada en el origen.[2] ​

Pendiente de una recta

La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele estar representada por la letra , y está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. En la siguiente ecuación se describe:

Dado un sistema de ejes cartesianos x y, una recta horizontal paralela o congruente con el eje x tiene pendiente igual a 0 (cero), y su representación se define por la coordenada por donde ésta atraviesa el eje y. En aquellos casos donde la recta se encuentra formando un ángulo distinto de cero, cuanto menor sea el valor de la pendiente, menor ángulo tendrá la recta con respecto al eje x; por ejemplo, una recta inclinada (que se eleve) un ángulo de 45° con respecto al eje x tendrá una pendiente positiva , y una recta declinada (que caiga) 30° tendrá una pendiente negativa . La pendiente de una recta vertical no está definida, y su representación se indica por la coordenada donde ésta atraviesa al eje x.

El ángulo que una recta forma con el eje horizontal está relacionado con la pendiente por medio de la siguiente relación trigonométrica:

o equivalentemente:

Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; dos o más rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas) si el producto de sus pendientes es igual a -1.

La pendiente de las ecuaciones de la recta

Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de las siguientes maneras:

entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de puede ser interpretado como el punto donde la recta se interseca con el eje Y, es decir, el valor de cuando . Este valor también es llamado ordenada en el origen.

entonces "m" sigue siendo la pendiente. Pero en esta ecuación, el valor puede ser interpretado como el punto donde la recta se interseca con el eje X, es decir, el valor de cuando . Este valor también es llamado abcisa en el origen.

Si la pendiente de una recta y el punto de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:

La pendiente de la recta en la fórmula general:

está dada por:

Propiedades

Teniendo como datos los coeficientes angulares de dos rectas , uno de los ángulos μ formados por estas dos rectas se determina por la fórmula

.

La pauta de paralelismo de dos rectas es la igualdad de sus coeficientes angulares

.

La pauta de perpendicularidad de dos rectas se determina por las relaciones:

o .[3] ​

Si en la ecuación se mantiene constante k, sólo varía b, se tiene una familia de rectas paralelas con coeficiente angular constante k, que cubre todo el plano, al recorrer b todo el conjunto ℝ.

El concepto de pendiente es central en el cálculo diferencial. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas. En funciones no lineales, la razón de cambio varía a lo largo de la curva. La derivada de la función en un punto dado es la pendiente de la línea tangente en dicho punto.

Véase también

Referencias

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En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento lineal, natural o constructivo respecto de la horizontal (de 0° o 180°).

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Cómo se calcula la ecuación de una recta tangente a una Circunferencia.

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Cómo se calcula la ecuación de una recta tangente a una Circunferencia.

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Definición de ecuaciones ordinarias y  generales de una circunferencia 

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Definición de ecuaciones ordinarias y  generales de una circunferencia 

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La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Centro : C (a,b)

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Dos rectas son paralelas si su angulo de inclinación es el mismo.
la condición del  paralelismo establece que: m1=m2

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Son dos o más líneas que se interceptan con un ángulo de 90 grados. Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo. m1= -_1_ m2

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Cómo hallar la Ecuación de una Recta dados dos de sus puntos.

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Cómo hallar la Ecuación de una Recta dados dos de sus puntos.

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Ecuación general de una recta dados dos puntos