# data[].attributes.headline
Информационно-познавательный??? Как это?

# data[].attributes.subject
Информационно-познавательный??? Как это?

# data[].attributes.body
Информационный проект направлен на сбор информации об объекте или явлении с последующим анализом информации, возможно, обобщением и обязательным представлением. Такие проекты требуют хорошо продуманной структуры, возможности систематической коррекции по ходу работы над проектом.

# data[].attributes.headline
Проектный продукт

# data[].attributes.subject
Проектный продукт

# data[].attributes.body
Школьная газета, статья, журнал, путеводитель, проморолик,  буклет, компьютерная анимация, мультимедийный продукт,  учебное пособие, реклама, инструкция, сайт/web-страница,  карта/атлас, макеты, модели, схемы, план-карты, постеры,  презентации, альбомы, буклеты, брошюры, книги,  реконструкции событий, эссе, рассказы, стихи, рисунки,  результаты исследовательских экспедиций, обработки  архивов и мемуаров, документальные фильмы, мультфильмы,  выставки, игры, тематические вечера, концерты, сценарии  мероприятий, веб-сайты, программное обеспечение, компакт диски (или другие цифровые носители), лэпбук, памятка,  плакат, баннер и другое

# data[].attributes.headline
Рассказ у доски

# data[].attributes.subject
Рассказ у доски

# data[].attributes.body
В раззработке

# data[].attributes.body
почти финальная версия

# data[].attributes.attachment_link.title
Проект по математике

# data[].attributes.headline
Образец титульного листа, содержания, введения

# data[].attributes.subject
Образец титульного листа, содержания, введения

# data[].attributes.headline
Требования к оформлению проекта

# data[].attributes.subject
Требования к оформлению проекта

# data[].attributes.headline
Лист самооценки

# data[].attributes.subject
Лист самооценки

# data[].attributes.body
что умею, что могу

# data[].attributes.attachment_link.title
Лист самооценки обучающегося

# data[].attributes.headline
Партизанская математика

# data[].attributes.subject
Партизанская математика

# data[].attributes.body
Текстовые задачи с видео разбором стр.36 - 45

# data[].attributes.attachment_link.title
Задачник с интерактивными ссылками на Ютуб (разбор заданий) Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

# data[].attributes.headline
Примерный план защиты

# data[].attributes.subject
Примерный план защиты

# data[].attributes.attachment_link.title
Примерный план защиты проекта

# data[].attributes.headline
Пример подачи текстовой задачи на геометрическую прогрессию 

# data[].attributes.subject
Пример подачи текстовой задачи на геометрическую прогрессию 

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Анна Малкова

# data[].attributes.attachment_link.title
Задача в Хелоуин. Гномы, гоблины, Мерлин. Прогрессия на ЕГЭ.

# data[].attributes.headline
можно подобное видео сделать 

# data[].attributes.subject
можно подобное видео сделать 

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Борис Трушин

# data[].attributes.attachment_link.title
Как решать сложные текстовые задачи почти в уме | Математика. ЕГЭ.  Задание 11 | Борис Трушин |

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Определение текстовой задачи.

Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми {сюжетными, практическими, арифметическими и т.д.). Перечисленные названия берут начало от способа записи (задача представлена в виде текста), сюжета (описываются реальные объекты, явления, события), характера математических выкладок (устанавливаются количественные отношения между значениями некоторых величин, связанные чаще всего с вычислениями). В последнее время наиболее распространенным является термин "текстовая задача".

Текстовой задачей как правило, называется описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий.

Придерживаясь современной терминологии, можно сказать, что текстовая задача представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т.п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики. Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи.

Виды текстовых задач.

Множество задач, в которых имеется одинаковая зависимость между величинами, входящими в эти задачи, при возможном различии их числовых данных и фабул образуют определенный вид задач. Задачи одного вида имеют одну и ту же алгебраическую модель. Положив в основание классификации способы решения задач, можно выделить такие группы задач:

1. задачи на тройное правило;

2. задачи на нахождение неизвестных по результатам действий;

3. задачи на пропорциональное деление;

4. задачи на исключение одного из неизвестных;

5. задачи на среднее арифметическое;

6. задачи на проценты и части;

7. задачи на движение;

8. задачи, решаемые с конца, или "обратным ходом", и т.д.

Можно рассмотреть и следующую классификацию задач: задачи на движение, задачи на работу, задачи на проценты и части, задачи на концентрацию, логические задачи и т.д.

Методы решения текстовых задач.

Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом - строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод - построив разные алгоритмы. Ясно, что и в этих случаях мы также имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые (с целью избежать разночтения и неоднозначность трактовки термина "метод решения") будем называть способами решения.

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом - значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур. Одну и ту же задачу можно также решить различными геометрическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения используются различные построения или свойства фигур.

Задача: Из двух городов Аи В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20км/ч, второго - 30 км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

Решение:

1-й способ. Математическую модель задачи представим в виде диаграммы. Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одно го отрезка по горизонтали - за 1 ч. Отложим на вертикальной прямой отрезок АВ, равный 250 км. Он будет изображать расстояние между городами. Для удобства проведем еще одну ось времени через точку В. Затем на вертикальных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каждым туристом за 1 ч, 2 ч, 3 ч и т.д. (рис. 1.1, а). Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.

2-й способ. В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (в часах), по вертикали - расстояние (в километрах).

Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали - за 1 ч. Построим графики, характеризующие движение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией у = 20х, второго - у = 250 - 30х. Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся (рис. 1.1, б). Из чертежа видно, что ее значение равно 5. Ордината указывает, на каком расстоянии от пункта А произойдет встреча. Ее значение равно 100.

3-й способ. Пусть время движения туристов до встречи изображается отрезком ОТ, а скорость сближения - отрезком OS (рис. 1.1, в). Тогда площадь S прямоугольника OSO1Т (она равна OS∙ОТ) соответствует расстоянию между городами А и В (пройденный путь есть произведение скорости движения на время движения). Учитывая, что туристы сближаются каждый час на 20 + 30 = 50 (км), расстояние между городами равно 250 км, имеем уравнение 250 = 50 * ОТ, решив которое находим ОТ = 5 (ч). Итак, туристы встретятся через 5 ч. Ответ: через 5 ч.

в

Логический метод. Решить задачу логическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи "на переправы", классическим представителем которых является задача о волке, козе и капусте, или задачи "на взвешивание".

Практический метод. Решить задачу практическим методом - значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т.п.).

Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов: алгебраический и арифметический; геометрический, алгебраический и арифметический; арифметический и практический и т.п. В этом случае считают, что задача решается комбиниро ванным (смешанным) методом. Методы решения могут быть разными, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.

Этапы решения текстовых задач.

Теперь ознакомимся с этапами решения текстовых задач.

Деятельность по решению задачи включает следующие этапы независимо от выбранного метода решения:

1. Анализ содержания задачи.

2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.

3. Осуществление плана решения задачи.

4.Проверка решения задачи.

В реальном процессе решения задачи названные этапы не имеют четких границ, и человек, решающий задачу, не всегда выделяет их в явном виде, переходя от одного к другому незаметно для себя. Вместе с тем решение каждой отдельно взятой задачи обязательно должно содержать все указанные этапы, осмысленное прохождение которых (вместе со знанием приемов их выполнения) делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, более успешным. Игнорирование одних этапов (например, поиска пути решения) может привести к решению методом "проб и ошибок", игнорирование других (например, проверки решения задачи) - к получению неверного ответа и т.д.

Рассмотрим более подробно каждый этап решения задачи.

1. Анализ задачи. Основное назначение этапа - осмыслить ситуацию, отраженную в задаче; выделить условия и требования, назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные). На этом этапе решения задачи можно использовать такие приемы:

а) представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче;

б) постановка специальных вопросов и поиск ответов на них;

в) "переформулировка" задачи;

г) моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных или графических моделей и др.

Первый прием - представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче, - выполняется фактически при чтении или слушании задачи. Вместе с тем мысленное воспроизведение всех объектов задачи и связей между ними может проводиться и позже. Цель такого воспроизведения - выявление основных количественных и качественных характеристик ситуации, представленной в задаче.

Второй прием - постановка специальных вопросов и поиск ответов на них - включает следующий "стандартный" набор вопросов, ответы на которые позволяют детально разобраться в содержании задачи:

Третий прием - переформулировка текста задачи - состоит в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим описанием, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Вся лишняя, несущественная информация при этом отбрасывается, текст задачи преобразуется в форму, облегчающую поиск пути решения. В ходе переформулировки выделяются основные ситуации, о которых идет речь в задаче, при необходимости строится вспомогательная модель задачи: краткая запись условия, таблица, рисунок, чертеж, диаграмма и т.п.

Моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных моделей или графических моделей является еще одним, четвертым, приемом анализа задачи.

Вспомогательные модели являются действенным средством поиска пути решения задачи и составления плана ее решения.

2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения. Назначение этапа - завершить установление связей между данными и искомыми величинами и указать последовательность использования этих связей.

Проведя анализ задачи, не всегда просто найти путь ее решения. Поиск пути решения задачи является довольно трудным процессом, для которого нет точного предписания. Укажем некоторые приемы, помогающие осуществлять этот этап.

Одним из приемов поиска пути решения задачи является анализ задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск пути решения задачи можно осуществлять от вопроса задачи к данным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетический путь).

В первом случае (аналитический путь) на основе анализа задачи необходимо уточнить, что требуется найти в задаче и определить, что достаточно знать для ответа на этот вопрос. Для этого следует выяснить, какие из нужных данных есть в условии задачи. Если они (или одно из них) отсутствуют, надо определить, что нужно знать, чтобы найти недостающие данные (или одно недостающее данное), и т.д., пока для определения очередного неизвестного оба данных будут известны.

Во втором случае (синтетический путь) решающий выделяет в тексте задачи два каких-либо данных и на основе связи между ними, установленной при анализе, определяет, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого действия. Затем, считая полученное число данным, решающий опять выделяет два взаимосвязанных данных и определяет, какое неизвестное может быть найдено по ним и с помощью какого действия, и т.д., пока выполнение очередного действия не приведет к определению искомого.

При решении задач анализ и синтез в рассуждениях, как правило, переплетаются. Осуществляя поиск пути решения задачи синтетически, анализ часто производят "про себя". В то же время, каким бы приемом мы ни вели поиск пути решения составной задачи, ее предварительный анализ (хотя бы подсознательный) неизбежен.

Еще одним из приемов поиска пути решения задачи является разбиение задачи на смысловые части. Сущность этой работы заключается в том, чтобы научиться различать в данной задаче отдельные, менее сложные задачи, последовательное решение которых позволяет получить ответ на требование данной.

3. Осуществление плана решения задачи. Назначение этапа - найти ответ на требование задачи. Немаловажную роль при решении задач играет запись найденного решения. Прежде всего, остановимся на используемых сокращениях при записи действий с именованными числами. При записи именованных чисел, выраженных в метрических мерах, используются наименования, принятые в международной системе единиц СИ, например, "м" - метр, "км/ч" - километров в час. Названия таких мер, как квадратный метр, кубический метр, записываются "м ²", "м ³". Вес названия метрических мер, употребляемых без чисел, выписываются полностью словами, например: "сколько гектаров земли...",а не "сколько га земли...". Принято названия метрических мер выписывать полностью и в случае буквенной символики, например, "а литров", "b метров" и т.д. Однако часто этого не делают, а используют более удобную запись "х км/ч", "у м ³ " и т.д. Что касается других наименований, то здесь нет общеустановленных условных обозначений. Вместе с тем, в последнее время как правило вместо "руб." принято писать "р.", вместо "коп." - "к." и др.

Рассмотрим пример на задаче, решаемой геометрическим методом.

Геометрический метод. Осуществление плана решения задачи выполняется письменно. Обычно в этом случае описывают и выполняют построение графика или диаграммы. Затем ответы на требование задачи считываются с чертежа (если используется конструктивный прием) или находятся в результате аналитического решения задачи (если используется графико-вычислительный прием).

Задача: Имеются два сплава золота и серебра; в одном количество этих металлов находится в отношении 2 : 3, в другом - в отношении 3: 7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

Решение: Математическую модель задачи представим в виде диаграммы (рис. ниже). По горизонтали будем откладывать массу сплава (в килограммах), по вертикали - число долей серебра в сплаве.

Рассмотрим вначале доли какого-либо одного металла в сплаве, например доли серебра. Серебро составляет 3/5 первого сплава, 7/10 второго и 11/16 искомого. Общий знаменатель этих дробей - 80, Следовательно, на каждые 80 частей в первом сплаве приходится 48 частей серебра, во втором - 56 частей, в искомом - 55 частей.

Проведем горизонтальный отрезок АВ, изображающий 8 кг (массу искомого сплава). По вертикали для уменьшения размера чертежа наносим на луче АС деления, начиная не с нуля, а с 48 (48 - наименьшее число долей серебра в сплавах). Соединяем прямолинейным отрезком точки В (8 кг) и С (56 долей серебра) и проводим через точку с отметкой 55 горизонтальную

прямую до пересечения с ВС в точке D, а через D - вертикальную прямую до пересечения с АВ в точке Е. Отрезки АЕ и ЕВ указывают ответ: надо взять 1 кг первого сплава (отрезок АЕ) и 7 кг второго сплава (отрезок ЕВ).

Ответ: 1 кг; 7кг.

А Е 2 4 6 8 х,кг

4.Проверка решения задачи. Назначение этапа - установить, правильно ли понята задача, и выяснить, не противоречит ли полученный ответ всем другим условиям задачи. Этот этап является обязательным при решении задач. Следует помнить, что логичные рассуждения на других этапах решения задачи не гарантируют правильности ее решения.

Проверку решения задачи можно проводить различными способами. Перечислим их.

I. Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи и данными в условии задачи.

1. Составление и решение задачи, обратной данной.

2. Решение задачи различными способами.

IV. Решение задачи различными методами. V. Прикидка (грубая проверка).

Решение текстовых задач занимает в курсе алгебры VII - VIII классов значительное место.

Авторы: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К.И. Нешков, С. Б. Суворова.

Глава I. Выражения, тождества, уравнения. (45 + 8 на повторение)

Глава II.Функции. (33 + 10 на повторение)

# data[].attributes.attachment_link.title
17. Виды и методы решения текстовых задач

# data[].attributes.attachment_link.description
Определение текстовой задачи. Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовы­ми {сюжетными, практическими, арифметическими и т.д.). Пере­численные названия берут начало от способа записи (задача пред­ставлена в виде текста), сюжета (описываются реальные объекты, явления, события), характера математических выкладок (устанав­ливаются количественные отношения между значениями некото­рых величин, связанные чаще всего с вычислениями).

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Математика проникает почти во все области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В связи с этим было решено включить в итоговую аттестацию в форме единого государственного экзамена (ЕГЭ) предмет математики, где особое внимание уделяется текстовым задачам.

Изучение текстовых задач происходит в основной школе, но рассматриваются они недостаточно глубоко, таким образом, приобретённые в основной школе навыки и знания решения текстовых задач со временем теряются. Исходя из этого, чтобы достойно сдать ЕГЭ, а именно, верно решить текстовые задачи, нам необходимо рассмотреть классификации этих задач, систематизировать и ликвидировать пробелы в знаниях по математике.

При решении каждой задачи мы производим небольшое математическое исследование, с помощью которого проверяется наша сообразительность и способность к логическому мышлению.

Текстовые задачи мы можем условно классифицировать по типам: задачи на числовые зависимости; задачи, связанные с понятием процента; задачи на "движение", "концентрацию смесей и сплавов", "работу" и т. д. По методу решения: алгебраический метод и геометрический метод. Решение текстовых задач делится на несколько этапов:

1. выбор неизвестных;

2. составление уравнений или систем уравнений, а в некоторых случаях - систем неравенств;

3. нахождение неизвестных или нужной комбинации неизвестных;

4. отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Иногда при решении сложных задач трудно с самого начала определить количество вводимых неизвестных. Выбирая неизвестные, мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Поэтому все соотношения должны из конкретных условий задачи, т. е. необходимо каждое условие представить в виде уравнения или неравенства. Так же необходимо обратить внимание на то, что число переменных, входящих в неравенства или уравнения, может оказаться достаточно большим, однако в дальнейшем, при решении уравнений или неравенств, "лишние" переменные последовательно исключаются.

Бывают случаи, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, но и нередки задачи, в которых число неизвестных больше числа уравнений. Если при этом мы использовали все условия задачи, то необходимо прочитать внимательно ещё раз условие и понять требование задачи, т. к. может оказаться, что надо отыскать не все неизвестные, а всего лишь их соотношение.

Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.

Дадим краткую характеристику первых трех методов решения текстовых задач, которые наиболее часто встречаются в школьном курсе математики.

1. Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если её решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.

2. Алгебраический метод. В науке данный метод трактуется как метод буквенных вычислений. Решить задачу алгебраическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для её решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.

3. Геометрический метод. Он состоит в том, что логическое доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением, иногда доказательство или решение видно из наглядной картины. Под геометрическим методом решения алгебраических задач будем понимать в дальнейшем метод решения, заключающийся в использовании геометрических представлений (изображений), законов геометрии и элементов аналитических методов (уравнений (неравенств), систем уравнений, арифметических выражений и др.)[12].

Геометрические представления возникают на основе геометрических знаний и геометрической интуиции. Геометрическое представление условия текстовой задачи будем называть геометрической моделью этой задачи. Построение и использование геометрических моделей в процессе решения текстовых алгебраических задач основаны на законах геометрии. Отсюда и название "геометрический метод".

Традиционно под геометрическим методом решения задач (не только текстовых) в курсе алгебры понимали только конструктивный прием, когда решение выполнялось с помощью точных построений, и ответ задачи получали прямо с чертежа. Это ограничивало возможности использования геометрических представлений, в частности, при решении текстовых задач. Мы будем понимать геометрический метод, как метод, состоящий из двух приемов: конструктивного и конструктивно-аналитического[12].

Конструктивный прием предполагает выполнение всех построений чертежными инструментами на миллиметровой бумаге в клетку с использованием масштаба. Ответ задачи получается обычно приближенный, но приемлемый для практических целей, и находится он путем измерений длин отрезков или других элементов чертежа.

Конструктивно-аналитический прием позволяет выполнить чертеж схематически, от руки. Решение задачи в этом случае осуществляется аналитически: либо арифметическим путем с использование чертежа, либо путем составления уравнения, которое основывается на точных геометрических соотношениях (равенства, подобия, равновеликости и др.).

Таким образом, для решения алгебраической задачи геометрическим методом необходимо:

1. построить геометрическую модель задачи: решающую или вспомогательную (геометрическая модель задачи называется решающей, если она позволяет получить ответ задачи без аналитических выкладок, в противном случае - вспомогательной).

2. найти ответ задачи: если модель решающая, то ответ "снимаем" с чертежа, в случае вспомогательной геометрической модели надо:

а) составить числовое выражение или уравнение (систему уравнений), неравенство (систему неравенств), используя геометрические соотношения полученных фигур;

б) найти значение числового выражения или уравнения, неравенства (системы уравнений или неравенств);

в) исследовать полученные решения: выяснить, удовлетворяют ли корни уравнения (системы уравнений), решения неравенства (системы неравенств) условию и требованию задачи, исчерпывают ли они все решения задачи и т.д.

4 Задачи на движение

Системы уравнений, которые составляются на основании условий задач на движение, как правило, содержат такие величины, как скорости движущихся объектов, расстояние, время, ускорение, а также скорость течения воды (движение по реке).

Решая подобные задачи для различных типов движения нам необходимо определить некоторые особенности[13].

Для равномерного движения по прямой будут характерны следующие особенности:

1. Движение на отдельных участках считается равномерным, а пройденный путь определяется по формуле , где - скорость, - время.

2. Повороты движущихся тел считаются мгновенными, т. е. происходят без затрат времени. При этом скорость (если задана в условии) также меняется мгновенно.

3. Скорость считается всегда величиной положительной.

4. При движении объекта по течению реки, скорость течения которой равна , а собственная скорость объекта в стоячей воде равна , скорость объекта относительно берега будет равна . При движении объекта против течения реки, его скорость относительно берега будет равна , при этом должно выполняться неравенство .

5. Когда в условии задачи говорится о движении плотов, то можно считать, что плот имеет ту же скорость, что и течение реки.

Исследовав типы задач для различных типов движения из Открытого банка задач ЕГЭ по математике, мы можем разделить их на две группы - задачи на движение в одном направлении, задачи на встречное движение и движение туда и обратно, и составить для каждой группы одну общую модель решения данных задач.

Задачи на движение в одном направлении

После отбора информации из условия задачи и представления её в виде таблицы, составляем систему уравнений или неравенств, т. е. составляем два выражения, представляющие одну и ту же величину, и приравниваем их[5].

После нахождения неизвестных или нужной комбинации неизвестных, отбираем решения, подходящие по смыслу задачи.

Делаем вывод и записываем ответ на вопрос задачи.

4.2 Задачи на встречное движение и на движение туда и обратно

Обычно при решении задач на движение, часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг к другу. При исследовании задач из Открытого Банка задач ЕГЭ по математике, таких задач не было обнаружено, но мы не можем себе позволить оставить их без рассмотрения.

Пусть расстояние между точками Два тела начинают движение одновременно, но имеют разные скорости Пусть - точка встречи (рис. 1). В случае движения навстречу друг другу имеет: где - время, которое они двигались. Сложим эти два равенства:

Так как то время, через которое они встретятся, равно:

Если же, например, первое тело начало движение на раньше, чем второе, то и где - расстояние, пройденное первым телом до начала движения второго. Приведем примеры.

Из города выезжает велосипедист, а через три часа после его выезда навстречу ему из города выезжает мотоциклист, скорость которого в три раза больше скорости велосипедиста. Велосипедист и мотоциклист встречаются посередине между . Если бы мотоциклист выехал бы не через три, а через два часа после велосипедиста, то встреча произошла бы на 15 км ближе к Найти расстояние между

Обозначим: - расстояние между - скорость велосипедиста, - скорость мотоциклиста. Скорость мотоциклиста в три раза больше скорости велосипедиста: встреча происходит посередине, если мотоциклист выехал на три часа позже: встреча произошла бы на 15 км ближе к , если бы мотоциклист выехал на два часа позже: Исключая , имеем Из первого уравнения подставляя во второе, получаем уравнение для определения решая которое, получаем S=180 (км)[16].

Задача 2 [В12, № 5715].

Моторная лодка прошла против течения реки 55 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 8 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Расстояние

(км)

Время

(ч)

Скорость

Зная, что лодка на обратный путь затратила на 6 часов меньше, составим и решим уравнение.

Ответ: 3 .

Таким образом, при решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что приводит к более короткому решению. Если после составления уравнений, полученная система не решается, то необходимо попробовать выбрать другие неизвестные. Количество неизвестных не имеет значения, правильное составление системы превыше всего. Также, нужно обращать особое внимание на единицы измерения - в течение всего решения они обязательно должны быть одинаковыми. А именно, если это часы, то на протяжении всей задачи время должно выражаться в часах, а не в минутах, так и, километры и метры не должны применяться в одном решении и т. п[7].

5 Задачи на совместную работу

Задачи такого типа содержат в себе информацию о выполнении некоторой работы несколькими субъектами (рабочими, насосами, механизмами и т. п.). Объём работы в таких задачах обычно не указывается и не является искомым, а также предполагается, что выполняемая работа проводиться равномерно, т. е. с постоянной производительностью для каждого субъекта.

- время выполнения работы;

- производительность, т. е. работа, производимая за единицу времени;

- работа, выполняемая за время.

В задачах на работу, системы уравнений содержат следующие величины:

Эти три величины связаны соотношением

Исследуя прототипы из Открытого Банка задач ЕГЭ по математике на движение и производительность, нельзя не заметить, что все задачи данного типа можно разделить на две группы - задачи на работу и задачи на трубы. Для каждой из них мы можем составить общие модели решения типовых задач, которые знать будет очень полезно[8].

В задачах "на детали" за неизвестные, как правило, надо принимать производительность - её роль такова же, как роль скорости в задачах на движение. Рассмотрим на одной задаче два способа решения, сначала примем за неизвестную величину - время, а потом - производительность и посмотрим, в чём разница решения при выборе разных неизвестных.

В основном задачи на работу решаются по такой же логике, как и задачи на движение.

Задача 3 [В12, № 5825].

На изготовление 16 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий[16]?

Работа, (детали)

Производительность,

Время, (ч)

Зная, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй рабочий, составим и решим уравнение.

Работа, (детали)

Производительность,

Время, (ч)

Зная, что первый рабочий на выполнение работы затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий, составим и решим уравнение.

Таким образом, второй рабочий делает 5 деталей в час.

Как мы видим, на ответ выбор неизвестных не влияет, но от этого зависит длина решения (количество действий). Исходя из этого, при решении задач, выбирать неизвестные стоит исходя из условия задачи. Чем меньше количества действий нам предстоит совершить, тем быстрее мы решим задачу. А это очень большое преимущество на экзамене.

В задачах "на трубы", из которых что-нибудь льётся (к примеру, вода), модель решения схожа с задачами "на работу". Разница лишь в том, что здесь производительность трубы - это объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени[17]. Иногда в подобных задачах за неизвестные необходимо одновременно принять и объём бассейна, производительность труб, время наполнения и слива бассейна каждой трубой. Из-за большого количества неизвестных задача на первый взгляд может показаться очень трудной и нерешабельной, но это не так. Рассмотрим примеры решения двух задач.

Задача 4 [ № 2.10]

Объём бассейна, ( )

Скорость заполнения,

Время заполнения, (ч)

Зная, что бассейн заполняется двумя трубами за 6 часов, составим уравнение.

На основании того, что одна первая труба наполняет бассейн на 5 часов быстрее, составим уравнение.

Так как, выражают одни и те же неизвестные величины, то для их нахождения составим и решим уравнение.

Ответ: за 10 часов и 15 часов соответственно.

Задача 5 [ В12, № 26598].

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

Объём резервуара, (л)

Скорость заполнения,

Время заполнения, (м)

Зная, что вторая труба заполняет резервуар на 1 минуту быстрее, чем первая труба, составим и решим уравнение.

массовая концентрация вещества в смеси;

процентное содержание вещества в смеси;

объёмная концентрация вещества в смеси;

объёмное процентное содержание компоненты.

Таким образом, вторая труба пропускает 11 литров воды в минуту.

1. Все рассматриваемые смеси (растворы, сплавы) однородны.

2. Не делается различия между литром как единицей ёмкости и литром как единицей массы.

3. Отсутствуют химические и другие реакции между компонентами раствора.

Ответ: 10 литров воды в минуту.

Решая задачи "на работу", нужно принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах, будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе.

6 Задачи на концентрацию, сплавы и смеси

В задачах этого типа основным является понятие "концентрация". Решение задач основано на использовании следующих определений:

Так же необходимо знать следующие допущения:

Массовая концентрация вещества в смеси определяется отношением массы данной компоненты к полной массе смеси и показывает, какую долю полной массы смеси составляет масса данной компоненты:

Процентным содержанием вещества в смеси называется величина

Объёмная концентрация вещества в смеси определяется отношением объёма, занимаемого данной компонентой, к полному объёму смеси и показывает, какую долю полного объёма смеси составляет объём, занимаемый данной компонентой:

Объёмным процентным содержанием компоненты называется величина

т. е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах;

Если смесь составлена из веществ , входящих в неё в отношении , то концентрация веществ равны соответственно

Приведем примеры.

Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объём одного раствора 4 л, другого - 6 л. Если их слить вместе, то получиться 35%-й раствор кислоты. Если же слить равные объёмы этих растворов, то получиться 36%-й раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворах[8]?

Здесь удобнее считать неизвестным не количества кислоты в первоначальных растворах, а концентрации кислоты в них (получаются более простые уравнения). Пусть концентрации кислоты в первом и втором растворах равны соответственно . Тогда объёмы кислоты в растворах равны . Если слить эти растворы вместе, то их общий объём станет 4 + 6 = 10 л, а объём кислоты - . Следовательно, в новом растворе концентрация кислоты определиться из равенства

нахождение части от целого;

восстановление целого по известной его части;

нахождение процентного прироста.

Возьмём теперь равные объёмы обоих растворов по Тогда кислоты в этих объёмах содержится по и л соответственно в первом и втором растворах. Общий объём равен а объём кислоты, если слить эти растворы, равен Следовательно, концентрация кислоты в новом растворе определиться из равенства

Пусть нам известна некоторая величина . Необходимо найти этой величины[17]. Если считать, что - это 100%, а - неизвестная величина, то из пропорции получаем:

Пусть некоторое число составляет от неизвестной величины . Необходимо найти . Считая, что - это 100%, получаем пропорцию:

Процентным приростом величины за время называется величина

После простых преобразований получаем такую систему линейных уравнений:

Средний процент прироста определяется равенством:

Ответ: в первом растворе содержится 1,64 л кислоты, во втором 1,86 л.

7 Задачи на процентный прирост и вычисление "сложных процентов"

Решение задач на процентный прирост и вычисление "сложных процентов" тесно связано с тремя понятиями:

Решение задач этого типа основано на использовании следующих определений:

Если за время величина измениться на далее за - на и т. д., то значение величины в момент вычисляется по формуле:

откуда получаем

Итак, если число увеличится на , то полученное значение будет равно а если уменьшить на , то полученное значение будет равно

Рассмотрим примеры.

Учитель зарабатывает на 25% меньше, чем профессор. На сколько процентов больше, чем учитель, зарабатывает профессор?

- 100%,

- (100%-25%), откуда находим, что зарплата учителя составляет 0,75

- , откуда находим, зарплата профессора составляет Но в вопросе спрашивается, на сколько процентов, значит, на %.

Ответ: на %.

Задача 7[ B1, № 26631].

В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

Найдём количество взрослых проживающих в городе (нахождение части от целого):

200000 ∙ 0,85 = 170000 взрослых жителей.

Теперь найдём часть работающего населения от всех взрослых жителей:

170000 ∙ 0,55 = 93500 взрослых работает.

Ответ: 93500 взрослых жителей работает.

Закончив исследование текстовых задач, рассмотрев методы работы (решения) над задачами и определив общие модели решения, мы можем сделать некоторые выводы и дать рекомендации, которые необходимо знать при сдаче ЕГЭ.

При решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что приводит к более короткому решению. Если после составления уравнений, полученная система не решается, то необходимо попробовать выбрать другие неизвестные. Количество неизвестных не имеет значения, правильное составление системы превыше всего. Также, нужно обращать особое внимание на единицы измерения - в течение всего решения они обязательно должны быть одинаковыми. А именно, если это часы, то на протяжении всей задачи время должно выражаться в часах, а не в минутах, так и, километры и метры не должны применяться в одном решении и т. п.

Для преобразования условия задачи в математическую модель математические знания практически не нужны - здесь необходим здравый смысл. Очень важно обязательно сформулировать, используя переменные, что мы обязаны найти, т. к. переменных может быть намного больше, чем уравнений, где все их найти просто невозможно.

Решая системы нужно помнить, что в текстовых задачах все величины, как правило, положительны, т. к. в природе отрицательных скоростей и расстояний не существует. Это даёт нам право на умножение, деление и на возведение в квадрат получающиеся уравнения и неравенства.

Решая задачи "на работу", очень выгодно принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах, будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе. Во время исследования была обнаружена всего одна задача, где помимо рассмотрения деятельности всех рабочих, важно рассмотреть их совместную деятельность, а иначе задача будет решена не верно.

В задах "на производительность" стоит лишь отметить то, что за производительность трубы принимается объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени. Также, бывают случаи, когда необходимо принять за неизвестные одновременно объём бассейна, производительность труб и время наполнения бассейна каждой трубой, чего не стоит опасаться. Все задачи из Открытого Банка задач ЕГЭ по математике данного типа решаются по одной общей модели, в условии задачи меняется лишь вопрос или величины. Например, в одной задача спрашивается, сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, а во второй задаче, сколько литров воды в минуту пропускает первая труба и т. д.

В задачах на проценты, которые встречаются в ЕГЭ в блоках , часто наблюдаются такие явления, как повышение и понижение цен на , продажа с наценкой , нахождение части от целого и т. д. В блоке иногда встречаются задачи, решающиеся в одно действие, где информации условие несёт немного и соответственно, представлять её в виде таблицы не обязательно, чего не скажешь о блоке . Здесь составители заданий из-за большого объёма условия предлагают нам уже готовые, заполненные таблицы. Правда в некоторых случаях так или не так всё равно приходиться некоторые явления представлять в виде дополнительной таблицы.

Resource id #2724

# data[].attributes.attachment_link.title
виды текстовых задач и методы их решения

# data[].attributes.attachment_link.description
Математика проникает почти во все области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В связи с этим было решено включить в итоговую аттестацию в форме единого государственного экзамена (ЕГЭ) предмет математики, где особое внимание уделяется текстовым задачам.

# data[].attributes.headline
План работы над проектом

# data[].attributes.subject
План работы над проектом

# data[].attributes.body
1. Определить цели и задачи проекта. Выбрать из множества текстовых задач те типы задач, которые войдут в проект
2. Решить, что же будет продуктом
3. Распределить кто в каких задачах будет разбираться

# data[].attributes.attachment_link.title
Задачи на смеси и сплавы. ГИА

# data[].attributes.headline
Лурье М. В. Задачи на составление уравнений. Техника решения. 

# data[].attributes.subject
Лурье М. В. Задачи на составление уравнений. Техника решения. 

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Удерживайте правую кнопку мыши для выделения группы страниц.

Удерживайте клавишу Shift для выделения диапазона страниц.

Удерживайте клавишу Ctrl для перехода к странице без её выделения.

Позволяет находить заданные слова и словосочетания в тексте публикации.

Поиск поддерживает кириллический и латинский алфавиты.

Переключайте вид списка результатов поиска кнопками "Список" и "Карта".

Функция печати/скачивания доступна только зарегистрированным пользователям.

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь.

Выбор оформления (светлое/тёмное) доступен только зарегистрированным пользователям.

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь.

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
математическое

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
электронная библиотека

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Математическое образование

# data[].attributes.attachment_link.title
Лурье М. В. Задачи на составление уравнений. Техника решения. - 2005 // Библиотека Mathedu.Ru

# data[].attributes.attachment_link.description
Удержи­вайте пра­вую кнопку мыши для выде­ле­ния группы стра­ниц. Удержи­вайте кла­вишу Shift для выде­ле­ния диапа­зона стра­ниц. Удержи­вайте кла­вишу Ctrl для пере­хода к стра­нице без её выде­ле­ния. Поз­во­ляет нахо­дить задан­ные слова и сло­во­со­че­та­ния в тек­сте пуб­ли­кации. Поиск под­держи­вает кирил­ли­че­ский и латин­ский алфа­виты. Пере­клю­чайте вид списка результа­тов поиска кноп­ками "Спи­сок" и "Карта".

# data[].attributes.headline
Иллюстрация задач

# data[].attributes.subject
Иллюстрация задач

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
яндекс видео

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
смотреть онлайн

# data[].attributes.attachment_link.title
Решение разных задач на дроби | Практика | Онлайн-курс по математике "Раздррроби все!" | Георгий Вольфсон - Смотреть в Эфире

# data[].attributes.attachment_link.description
Видео из онлайн-курса по математике "Раздррроби все!" для 4-6 классов. Бесплатно пройти полный курс с заданиями на Лекториуме: https://www.lektorium....

# data[].attributes.headline
Пример презентации (с анимацией)

# data[].attributes.subject
Пример презентации (с анимацией)

# data[].attributes.attachment_link.title
Задачи на движение протяженных тел

# data[].attributes.body
Скоро сдача устного экзамена

# data[].attributes.headline
Движение протяженных тел

# data[].attributes.subject
Движение протяженных тел

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Это один из самых интересных типов текстовых задач на ЕГЭ по математике. Здесь и задачи на движение протяженных тел. И задачи, где два поезда движутся навстречу друг другу (по параллельным путям, конечно). И такие, где один поезд обгоняет другой.

Расскажем о секретах решения таких задач.
Что значит "движение протяженных тел"?
Если в условии задачи поезд проходит расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы - длиной самого поезда можно пренебречь. Она намного меньше расстояния между городами. В физике говорят, что поезд в этом случае можно считать материальной точкой. Если же в задаче один поезд проходит мимо другого или поезд проходит через туннель - длину поезда также надо учитывать.
1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 500 метров, за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
36 секунд, за которые поезд проезжает мимо лесополосы, - это время от момента, когда голова поезда поравнялась с началом лесополосы, до момента, когда хвост поезда поравнялся с концом лесополосы. За это время поезд проезжает расстояние, равное сумме собственной длины и длины лесополосы.

Переведем 36 секунды в часы.

За это время поезд проехал

Ответ: 300
Задачи на встречное движение или обгон удобно решать в движущейся системе отсчета. 2. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 60 км/ч и 30 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 400 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 38 секундам. Ответ дайте в метрах.
Решим задачу в системе отсчета, связанную с головой пассажирского поезда. Представим, что мы находимся в кабине машиниста неподвижного поезда, а мимо нас проносится скорый поезд. Скорость, с которой один поезд движется относительно другого, равна

Тогда 38 секунд, за которые движущийся поезд проезжает мимо неподвижного, - это время от момента, когда голова первого поезда поравнялась с хвостом второго, до момента, когда хвост первого поезда поравнялся с головой второго (смотри рисунки) За это время скорый поезд проезжает расстояние, равное сумме длин двух поездов.

Переведем 38 секунд в часы:

За это время поезд проехал

Ответ: 550
3. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 56 и 52 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 15 секунд. Найдите длину второго поезда. Ответ выразите в метрах.
Если пассажир находится в первом поезде, то в его системе отсчета второй поезд движется навстречу со скоростью, равной сумме скоростей поездов. Иначе она называется "скорость сближения", и она равна

Переведем эту скорость в метры/минуту.

Мы получили, что со скоростью 1800м/мин мимо пассажира первого поезда проходит весь второй поезд. По условию, это происходит за

Длина второго поезда равна

Ответ: 450 м.
4. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 140 метров, второй - длиной 60 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 800 метров. Через 15 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 1000 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
Переведем минуты в часы:

Пусть и - скорости первого и второго сухогрузов. Будем решать задачу в системе отсчета, связанной с первым сухогрузом. Представьте, что вы находитесь на нем и видите, как второй сухогруз догоняет и обгоняет ваш корабль со скоростью

Расстояние, пройденное вторым сухогрузом, - это сумма расстояний от носа второго сухогруза до кормы первого, длины первого сухогруза, расстояния от его носа первого до кормы второго и длины второго (см. рисунок).

Воспользуемся формулой:

км/ч

На 8 километров в час скорость второго сухогруза больше скорости первого.

Ответ: 8

# data[].attributes.attachment_link.title
Задачи на движение протяженных тел и сложение скоростей

# data[].attributes.attachment_link.description
Это один из самых интересных типов текстовых задач на ЕГЭ по математике. Здесь и задачи на движение протяженных тел. И задачи, где два поезда движутся навстречу друг другу (по параллельным путям, конечно). И такие, где один поезд обгоняет другой. Расскажем о секретах решения таких задач. Что значит "движение протяженных тел"?

# data[].attributes.headline
движение по реке

# data[].attributes.subject
движение по реке

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Верны те же формулы: \[{\large{S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac St \quad \quad \quad t=\dfrac Sv}}\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке по течению:
\(v_c\) - собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) - скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c+v_t\).
Значит, \[{\large{S=(v_c+v_t)\cdot t}}\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке против течения:
\(v_c\) - собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) - скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c-v_t\).
Значит, \[{\large{S=(v_c-v_t)\cdot t}}\]
\(\blacktriangleright\) Заметим, что плот - это тело, у которого собственная скорость \(v_c=0\). Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.

# data[].attributes.attachment_link.title
Задачи на движение по воде

# data[].attributes.attachment_link.description
Верны те же формулы: \[{\large{S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac St \quad \quad \quad t=\dfrac Sv}}\] \(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке по течению:\(v_c\) - собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);\(v_t\) - скорость течения;тогда скорость движения тела \(v=v_c+v_t\).Значит, \[{\large{S=(v_c+v_t)\cdot t}}\] \(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке против течения:\(v_c\) - собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);\(v_t\) - скорость течения;тогда скорость движения тела \(v=v_c-v_t\).Значит, \[{\large{S=(v_c-v_t)\cdot t}}\] \(\blacktriangleright\) Заметим, что плот - это тело, у которого собственная скорость \(v_c=0\).

# data[].attributes.headline
Смеси и сплавы

# data[].attributes.body
Смеси и сплавы

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Концентрация (процентное содержание) вещества

Рассмотрим смесь (сплав, раствор) из нескольких веществ.

Определение 1. Концентрацией (процентной концентрацией, процентным содержанием) вещества A в смеси (сплаве, растворе) называют число процентов выраженное формулой

(1)

где - масса вещества A в смеси (сплаве, растворе), а M - масса всей смеси (сплава, раствора).

Часто в задачах на растворы указаны не массы входящих в них веществ, а их объёмы. В этом случае вместо формулы (1) для концентрации (процентной концентрации, процентного содержания) вещества A в растворе используется формула

(2)

где - объём вещества А в растворе, а V - объем всего раствора.

Определение 2. Формулу (1) называют формулой для массовой концентрации вещества A в смеси (сплаве, растворе), а формулу (2) - формулой для объёмной концентрации вещества A в растворе.

При решении задач считается, что при слиянии нескольких растворов (сплавов) масса и объем полученной смеси равны сумме масс и объемов смешиваемых компонентов соответственно.

Приёмы, используемые при решении задач на массовые концентрации смесей (сплавов, растворов), а также при решении задач на объёмные концентрации растворов, являются общими, что мы и увидим при решении следующих типовых задач

Примеры решения задач на смеси, сплавы и растворы

Задача 1. Смешали 16 литров 30% раствора кислоты в воде с 9 литрами 80% раствора кислоты в воде. Найти концентрацию полученного раствора кислоты в воде.

Решение. В 16 литрах 30% раствора кислоты в воде содержится

литров кислоты. В 9 литрах 80% раствора кислоты в воде содержится

литров кислоты. Поэтому в смеси этих растворов содержится

4,8 + 7,2 = 12

литров кислоты. Поскольку полученный в результате смешивания раствор имеет объем

16 + 9 = 25

литров, то концентрация кислоты в этом растворе равна

Задача 2. Имеется 27 килограммов смеси цемента с песком с 40% содержанием цемента. Сколько килограммов песка нужно добавить в эту смесь, чтобы процентное содержание цемента в ней стало 30% ?

Решение. Обозначим буквой x количество килограммов песка, которые нужно добавить в смесь. Посколькув 27 килограммах смеси с 40% содержанием цемента содержится

килограммов цемента, а после добавления x килограммов песка масса смеси станет равной

килограммов, то после добавления песка процентное содержание цемента в получившейся смеси будет составлять

По условию задачи

Следовательно,

Задача 3. Смешав 8% и 13% растворы соли и добавив 200 миллилитров 5% раствора соли, получили 7% раствор соли. Если бы вместо 200 миллилитров 5% раствора соли добавили 300 миллилитров 17% раствора соли, то получили бы 15% раствор соли. Сколько миллилитров 8% и 13% растворов соли использовали для получения раствора?

Решение. Обозначив буквой x массу 8% раствора соли, а буквой y - массу 13% раствора соли, рассмотрим рисунки 1 и 2.

Рис. 1

На рисунке 1 изображена структура раствора, полученного при смешении x миллилитров 8% раствора соли, y миллилитров 13% раствора соли и 200 миллилитров 9% раствора соли. Объем этого раствора равен миллилитров.

Рис.2

На рисунке 2 изображена структура раствора, полученного при смешении x миллилитров 8% раствора соли, y миллилитров 13% раствора соли и 300 миллилитров 17% раствора соли. Объем этого раствора равен миллилитров.

Записывая баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 1, а также баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 2, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными x и y :

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем

Задача 4. Имеются два сплава меди с цинком. Если сплавить 1 килограмм первого сплава с 2 килограммами второго сплава, то получится сплав с 50% содержанием меди. Если же сплавить 4 килограмма первого сплава с 1 килограммом второго сплава, то получится сплав с 36% содержанием меди. Найти процентное содержание меди в первом и во втором сплавах.

Решение. Обозначим и - процентные содержания меди в первом и во втором сплавах соответственно и рассмотрим рисунки 3 и 4.

Рис. 3

На рисунке 3 изображена структура сплава, состоящего из 1 килограмма первого сплава и 2 килограммов второго сплава. Масса этого сплава - 3 килограмма.

Рис.4

На рисунке 4 изображена структура сплава, состоящего из 4 килограммов первого сплава и 1 килограмма второго сплава. Масса этого сплава - 5 килограммов.

Записывая баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 3, а также баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 4, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными x и y :

Далее получаем

Ответ. В первом сплаве содержание меди 30% , во втором сплаве содержание меди 60% .

Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме "Проценты" и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника "Проценты. Решение задач на проценты", "Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки", а также наши учебные пособия "Задачи на проценты" и "Финансовая математика".

Приемы, используемые для решения задач на выполнение работ, представлены в разделе нашего справочника "Задачи на выполнение работ".

С примерами решения задач на движение можно ознакомиться в разделе нашего справочника "Задачи на движение".

С методами решения систем уравнений можно ознакомиться в разделах нашего справочника "Системы линейных уравнений", "Системы с нелинейными уравнениями" и в нашем учебном пособии "Системы уравнений".

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
подготовка к егэ

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
подготовка к огэ

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
задачи на составление уравнений

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
задачи на смеси

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
задачи на сплавы

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
задачи на растворы

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
концентрация

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
процентная концентрация

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
процентное содержание

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
массовая концентрация

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
объемная концентрация

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
примеры решения задач

# data[].attributes.attachment_link.title
Задачи на смеси, сплавы и растворы

# data[].attributes.attachment_link.description
Рассмотрим смесь (сплав, раствор) из нескольких веществ. Определение 1. Концентрацией (процентной концентрацией, процентным содержанием) вещества A в смеси (сплаве, растворе) называют число процентов выраженное формулой (1) где - масса вещества A в смеси (сплаве, растворе), а M - масса всей смеси (сплава, раствора).

# data[].attributes.body
Проценты

# data[].attributes.attachment_link.title
Решение задач на проценты, правила, формулы, ответы | Подготовка к ЕГЭ по математике

# data[].attributes.attachment_link.description
Решение задач на проценты, правила, формулы, ответы | Подготовка к ЕГЭ по математике. Эффективная подготовка к экзамену ЕГЭ по математике.

# data[].attributes.headline
Видео о том как решать текстовые задачи

# data[].attributes.subject
Видео о том как решать текстовые задачи

# data[].attributes.body
(я бы хотел что бы оно заняло половину выступления и сразу ответила на наиболее простые вопросы)

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Открытый урок

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Решение текстовых задач традиционно представляет собой трудность для учащихся, причем это касается не только младшей, но и средней и старшей школы.
Сложности при выполнении этого вида учебной деятельности для сегодняшних школьников становятся еще более серьезными и распространенными в связи с возросшими проблемами, касающимися освоения навыков чтения, понимания и смыслового анализа текста.

Даже та небольшая статистика, которая собиралась автором по этому вопросу, показывает, что у значительного процента школьников средней школы не сформировано умение читать и понимать текст одновременно. Понятно, что дефицит такого качества чтения делает весьма затруднительным выбор структурированной информации и поиск нужной стратегии при решении, сформулированной в виде сюжетного смыслового текста учебной задачи.

Алгоритм решения текстовых задач, который мы предлагаем нашим ученикам, сложился в ходе длительного опыта преподавания. Мы используем его достаточно эффективно как для сильных, так и для слабых учеников средней и старшей школы.

Сделаем замечание: для учащихся младшей школы настоящий подход является достаточно сложным в своей аналитической части. Но именно в этой возрастной категории максимальное внимание стоило бы уделять выработке и закреплению умения синхронного чтения и понимания. Этот навык оказывается решающим в ходе исследования текста, выделения формулировки задачи и поиска ее решения.

Подход к решению задач, о котором мы будем говорить, эффективен прежде всего при решении задач на движение и задач на совместную работу.
Сначала охарактеризуем стратегию алгоритма в целом, опишем его основные шаги. Затем на примерах нескольких типовых задач покажем, как работает данная методика на практике. И затем попробуем спрогнозировать возможные проблемы и вопросы, возникающие при использовании предлагаемого подхода.

Описание алгоритма

Основные особенности предлагаемого подхода связаны с тем, что главная задача сфокусирована на тщательном прочтении предлагаемого текста. Какие приемы смогут помочь нам сопроводить процесс чтения процессом мышления? Для того, чтобы чтение стало максимально осмысленным, надо, чтобы оно, во-первых, было достаточно медленным, позволяющим осознанно самому слушать читаемый текст, во-вторых, чтобы оно сопровождалось повышенной концентрацией внимания, чему, безусловно, способствует наличие дополнительного задания при чтении, например, по нахождению той или иной информации из текста.
Замедление чтения, выделение и структурирование смысловой информации происходит благодаря, во-первых, чтению задачи по смысловым отрезкам (предложениям или его частям), во-вторых, в связи с одновременным последовательным пошаговым заполнением таблицы, описывающей задачу.

Таблица представляет собой структуризацию информации, представленной в задаче. Благодаря таблице сюжетный текст превращается в информационную структуру со связями заданного вида, что помогает вплотную подойти к составлению уравнения и поиску окончательного решения.

Заполнение таблицы

Таблица для решения задачи имеет три столбца. В задачах на движение это столбцы S, v, t (путь, скорость, время). В задачах на совместную работу это А, р, t (работа, производительность, время). Каждая строчка характеризует объект, движущийся или работающий с определенной скоростью определенное время и проделывающий за это время некоторый путь или некоторую работу. При заполнении каждой строки сначала выбираем и заполняем тот столбец, информация о характеристике которого дана в задаче . Еще один столбец записываем в роли неизвестного (чаще всего - это та характеристика, которую требуется найти в задаче). И, наконец, в третью колонку вписываем формульную связь характеристик из двух уже заполненных столбцов. В задачах на равномерное движение путь, скорость и время связаны формулой S=v*t; в задачах на совместную работу связь работы, производительности и времени выражается формулой А=р*t. В таблице получается столько строчек, сколько раз каждый из объектов задачи действовал (перемещался или работал) или мог бы действовать. Например:

При внимательном, медленном и осмысленном прочтении задачи заполнение таблицы происходит так: читаем часть текста - заполняем первую строчку; читаем следующую часть текста - заполняем вторую строчку, и т.д.
По окончании заполнения таблицы оказывается, что есть часть информации, которая не вошла в таблицу, эта информация дублирует те значения величин в колонках, которые вычисляются в третью очередь, то есть по формуле. Это удвоение информации - и есть возможность для составления уравнения к задаче. Приравнивая формульные данные из таблицы к тому, что об этой же величине говорится в задаче, мы получаем искомое уравнение или систему уравнений, описывающих задачу.

Этапы решения задачи

Таким образом, решение задачи разбивается на несколько этапов и шагов.

1. Читаем задачу целиком, чтобы уловить сюжет и конечный вопрос.

2. Рисуем таблицу: 3 колонки, несколько строк...

3. Читаем первый отрезок текста - заполняем первую строчку...

4. Читаем следующий отрезок текста, и т.д., пока не заполним все строчки

5. ...в каждой строчке одна величина неизвестна (буква), вторая - взята из условия задачи, третья - находится по формуле;

6. Находим дополнительную информацию задачи, которая удваивает имеющуюся в таблице;

7. Составляем уравнение (или систему);

8. Решаем уравнение

9. Выписываем найденное решение в виде ответа.

Применение алгоритма при решении задач

Рассмотрим примеры решения задач с помощью описанной технологии.
Текст задачи.
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 360 км, выехали одновременно два автомобиля. Через 3 ч оказалось, что первый из них прошел расстояние на 30 км больше, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если известно, что на весь путь первый автомобиль затратил на полчаса меньше, чем второй.

Это задача на движение. Требуется найти скорости двух объектов - автомобилей. Формула процесса S = v * t.

Рисуем таблицу. Заполняем ее параллельно с чтением частей текста.

Шаг 1. Выбор неизвестного, v - скорость первого автомобиля;
Шаг 2. 3 - время первого автомобиля (второе предложение);
Шаг 3. 3v - путь первого автомобиля (по формуле);
Шаг 4. 3 - время второго автомобиля (второе предложение);
Шаг 5. 3v - 30 - путь второго (первый прошел на 30 км больше, чем второй);
Шаг 6. (3v - 30)/3 - скорость второго (по формуле);
Шаг 7. v - скорость первого автомобиля; 360 км - путь первого автомобиля ( по условию);
Шаг 8. 360/v - время первого автомобиля (по формуле);
Шаг 9. v - 10 - скорость второго автомобиля; 360 км - путь второго автомобиля ( по условию);
Шаг 10. 360/(v - 10) - время второго автомобиля (по формуле);

Информация задачи, не вошедшая в таблицу, о том, что на весь путь первый автомобиль затратил времени на полчаса меньше, чем второй, будет использована при составлении уравнения. Таким образом, уравнивать предполагается ВРЕМЯ. Разница между значениями величин в двух нижних ячейках последнего столбца (времени) равна половине, то есть 0,5.

Получаем уравнение: 360/(v - 10) - 360/v = 0,5.

Решение этого уравнения стандартным способом дает нам следующее значение скорости первого автомобиля: v = 85 км/ч.
Скорость второго автомобиля на 10 км/ч меньше, то есть равна 75 км/ч.
Задача решена.
Текст задачи.
Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая за 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

Это задача на совместную работу. Требуется найти время работы каждого из двух работающих комбайнеров. Формула процесса А = р * t.

Рисуем таблицу. Заполняем ее параллельно с чтением частей текста.

Шаг 1. Время работы первого - t;
Шаг 2. Весь объем работы - 1 (то есть работу считаем в частях);
Шаг 3. Производительность первого - 1/t (по формуле);
Шаг 4. Время работы второго t + 24 (по условию задачи);
Шаг 5. Объем работы - такой же - равный 1.
Шаг 6. Производительность второго 1/(t + 24) (по формуле);
Шаг 7. Время совместной работы - 35;
Шаг 8. Объем работы по-прежнему равен 1;
Шаг 9. Производительность совместной работы 1/35 (по формуле).

Информация задачи, не вошедшая в таблицу, о том, что работа за 35 ч выполнялась совместно (это - характеристика скорости работы, она равна сумме скоростей работ поодиночке), будет использована при составлении уравнения. Иными словами, уравнивать в данном случае предполагается ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ. Сумма производительностей работы в одиночку равна совместной производительности.

Получаем уравнение: 1/t + 1/(t + 24) = 1/35;

Это уравнение легко решается и приводит к ответу:
Производительность первого равна 1/60, а второго - 1/84.
Таким образом, первый выполнит всю работу в одиночку за 60 ч, а второй - за 84 ч.
Задача решена.

Выводы

Мы рассмотрели достаточно подробно алгоритм решения текстовых задач. Попробуем подвести некоторые итоги.

Каковы сложности в применении данного подхода? Насколько легко он воспринимается детьми? Можно ли оценить степень его эффективности? Пользуются ли учащиеся данным способом составления уравнений по тексту при самостоятельной работе, когда он свободны в выборе приема поиска решения?

Проанализируем рассмотренный алгоритм с точки зрения ответов на поставленные вопросы.

1. Описанный здесь способ решения помимо формальной стороны (заполнение таблицы определенным образом) имеет неформальную составляющую: медленное прочтение текста задачи, разбитого на части, и его осмысление. Неформальный момент затрудняет освоение метода.

2. С другой стороны, наличие не только алгоритмики в приеме решения, но и размышления, осознания представленной в тексте информации, способствует формированию чрезвычайно важного сегодня навыка осмысленного чтения, понимания слова, умения выразить словом свою мысль.

3. Помимо прямой цели - решить задачу - в этой учебной деятельности присутствует еще одна цель, неявная, но от этого не менее значимая: научиться медленно и осмысленно читать слова текста.

4. Следует отметить, что учиться разбивать текст на смысловые части - это отдельная учебная задача, которую удобно решать при работе в группах.

5. Отметим, что не любой способ заполнения таблицы становится эффективным при дальнейшем составлении уравнения. Именно пошаговое алгоритмизированное заполнение таблицы помогает четко выделить ту величину, вариация которой будет записана как уравнение. Исключается возможность приравнивания разноименных величин, например, часов к километрам

6. Обратим внимание на то, что большинство детей, освоивших предлагаемый прием работы с текстовыми задачами, используют его и при самостоятельном поиске решения задачи.

7. Освоение представленного алгоритма развивает в ученике навык работы с письменным текстом, учит анализировать данные, логически структурировать информацию, выбирать главное. Данный подход способствует не только научению решать задачи, но и повышает качество учебной деятельности в целом.

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
первое сентября

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
открытый урок

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
социальная педагогика

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Ануфриева Мария Алексеевна

# data[].attributes.attachment_link.title
Решение текстовых задач с помощью пошагового алгоритма прочтения текста и заполнения таблицы

# data[].attributes.attachment_link.description
В работе рассмотрен способ решения текстовых задач на движение и на совместную работу с помощью последовательного выделения и прочтения информационно-смысловых отрезков текста параллельно с пошаговым заполнением таблицы по определенному алгоритму с использованием формулы процесса. На основе этого выявляются данные, не вошедшие в таблицу, но связывающие некоторые ее характеристики, что и позволяет выразить найденную связь в виде уравнения рассматриваемой задачи.

# data[].attributes.headline
Задачник. (но мы должны не заложать + нужно пояснение)

# data[].attributes.subject
Задачник. (но мы должны не заложать + нужно пояснение)

# data[].attributes.headline
Сайт с задачами. (но как по мне это ужасная идея)

# data[].attributes.subject
Сайт с задачами. (но как по мне это ужасная идея)

# data[].attributes.headline
Дополнительно

# data[].attributes.subject
Дополнительно