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https://view.genial.ly/63695a4a5127b10012c276d6/presentation-funcion-exponencial

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en algunas ocaciones escuchamos expresiones que hacen referencia a un crecimiento exponencial, estos son algunos ejemplos los cuales pueden ser modelizados mediante una funcion exponencial

Datacion de restos Arqueologicos

Degradacion de sustancias Radioactivas

Crecimiento de Poblaciones

Decubrimiento de Nuevas Enfermedades

Se ha observado que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley exponencial decreciente. Si es el número de núcleos radiactivos en el instante inicial, después de un cierto tiempo t, el número de núcleos radiactivos presentes N se ha reducido a

donde l es una característica de la sustancia radiactiva denominada constante de desintegración.

Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación se obtiene

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.

A partir de un modelo simple de núcleo radioactivo hemos conocido el significado de la constante de desintegración.

La ley de desintegración puede deducirse del siguiente modo: si l es la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo, la probabilidad de que un núcleo se desintegre en un tiempo dt es l· dt. Si hay N núcleos presentes, en el tiempo dt podemos esperar que se desintegren (l dt)N núcleos, Por tanto, podemos escribir

El signo menos aparece por que N disminuye con el tiempo a consecuencia de la desintegración. Integrando esta ecuación obtenemos la ley exponencial decreciente.

es el número inicial de núcleos radioactivos presentes en el instante t=0.
Esta estructura de hierro pudelado diseñada por Gustave Eiffel aplica el álgebra y el cálculo infinitesimal para desarrollar una ecuación adaptable al peso de la torre. Para hacernos una idea de cómo se aplica, antes se debe comprender qué es una ecuación exponencial. Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la variable a despejar se encuentra en el exponente, representada por una función exponencial, es decir, una gráfica que nos muestra su desarrollo. Las funciones son infinitas, pero acercándonos siempre a un límite conocido por asíntotas dándose el 0 (plano horizontal del suelo) y +∞ (el eje vertical de la torre). El matemático Weidman dedujo la base para la construcción de la torre. Un factor crucial para los cálculos que Eiffel tenía en mente pasaba por calibrar el efecto de las fuerzas ejercidas por el viento sobre determinados puntos estructurales de la Torre. Weidman encontró una solución exacta de la ecuación en forma de una función exponencial que se ajusta rigurosamente a la forma de la mitad superior de la torre. La clave para su solución deriva de dos ecuaciones exponenciales diferentes interconectadas: una para la mitad superior de la torre, y otra en la que interviene el factor de sobredimensionamiento de seguridad de la estructura en su base.
Si tu respuesta es sí es probable que frecuentemente te fijes en el número de seguidores. Dependiendo del estado de tu cuenta y tu contenido que publicas, el número de seguidores irá creciendo y esto se puede medir con ayuda de las matemáticas. Pero no solo estamos hablando de sumar los que van apareciendo cada día, sino de hacer un cálculo con los datos de la población (seguidores) y el consumo de tu contenido. Para hacer estos cálculos utilizaremos la función lineal y exponencial.

¿Tienes alguna cuenta en YouTube o TikTok?

Aumento de seguidores a un canal de youtube

Lineal (aumento de seguidores a un canal de youtube

Crecimiento lineal

El crecimiento lineal ocurre cuando el aumento es el mismo o uniforme. Tomemos como ejemplo los seguidores de un canal de YouTube. En este caso es cuando el incremento de los seguidores es el mismo en cada periodo de tiempo. En el gráfico las barras forman una especie de "escalera", de tal manera que al unir los picos, obtenemos una línea, señal de que el aumento es uniforme.

¿Cómo se aplica la función exponencial?

Antes es necesario saber dos conceptos básicos: el crecimiento lineal y el crecimiento exponencial.

Por otro lado, si cada año la cantidad de seguidores de ese canal de YouTube se multiplica por una misma cantidad (progresión geométrica), el aumento de los seguidores por cada periodo de tiempo no será el mismo.
Si el número de vistas de un video de ese canal de YouTube se triplica por cada minuto que pasa, ocurrirá lo siguiente:

Crecimiento exponencial

De acuerdo a esta tabla, la razón de la progresión geométrica en este caso será 3.

Los términos de esta progresión se pueden expresar como potencias de 3.

De acuerdo a la información obtenida del número de vistas minuto a minuto obtenemos que:
Minuto 0 es 1 = 3 ⁰
Minuto 1 son 3 = 3 ¹
Minuto 2 son 9 = 3 ²
Minuto 3 son 27 = 3 ³

Crecimiento exponencial

De esta manera, obtenemos una función exponencial en donde "a" es la base que debe ser mayor a "0", donde "X" es la potencia y "f(x)" es el resultado o potencia. El exponente señala el número de veces que se repite la base.

f (x) = ax

Numero de vistas del video por minuto.

- - - - - Exponencial (Numero de vistas del video por minuto)

Tener en consideracion que se si el valor de la base es mayor a 1, la función será creciente. Si el valor se ubica entre 0 y 1, la función será decreciente.

En nuestro ejemplo, hay una función exponencial cuya base es mayor a 1, es una función creciente:
f(x) = 3 x

A continuacion veremos mas aplicaciones de la funcion exponencial en situaciones de la vida real.

La población de una ciudad es P=350000e 0.012t , en donde t=0 representa a la población en el año 2020. A) Encuentra la población de la ciudad en el año 2030. B)Encuentra la población de la ciudad en el año 2035.

A) Para encontrar la población en el año 2030, necesitamos usar t=10 en la ecuación dada:

b) Para encontrar la población en el año 2035, necesitamos usar t=15:

Crecimiento poblacional

Crecimiento poblacional

En algunos casos los científicos empiezan con un cierto número de bacterias o animales y miran cómo cambia su población. Por ejemplo, si es que la población se duplica cada 7 días, esto puede ser modelado por una función exponencial.

La fórmula general usada para representar al crecimiento poblacional es P(r,t,f)=Pi(1+r)tf, en donde Pirepresenta a la población inicial, r es la tasa de crecimiento poblacional, t es el tiempo transcurrido, y f es el periodo sobre el cual la población crece por una tasa de r.

La razón de t a f es muchas veces simplificada en un solo valor que representa el número de ciclos compuestos. A pesar de que esa es la fórmula general, muchos de los modelos poblacionales usan el número e y forman la fórmula P=Piekt

Los modelos poblacionales pueden ocurrir en dos maneras. Una manera es si es que tenemos una función exponencial y tenemos que encontrar estimaciones. La segunda forma involucra encontrar una ecuación exponencial a partir de la información dada. Miraremos ejemplos de ambas maneras.

Teniendo en cuenta la situacion planteada anteriormente. Encuentra cuándo la población será igual a 450 000.

La ecuación que tenemos que resolver para encontrar el tiempo es: P=350000e 0.012t
450000=350000e 0.01 2t
450000/350000=e 0.012t
ln⁡(450000/350000)=ln ⁡e 0.012t
ln(350000450000​)=0.012t
ln⁡(450000350000)0.012=t
0.012ln(350000450000​)​=t
20.94=t

Sabemos que la población en el año 2035 será 419 026, por lo que tiene sentido que la respuesta sea mayor que 2035. Recuerda que la P en la ecuación es la población final, la cual tenemos que es 450 000.

A) Imagina que inviertes 1000 dólares en una cuenta de ahorros. La tasa promedio de interés es 5% y es compuesta 4 veces al año. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta de ahorros después de 10 años?

C=1000, r=0.05, n=4 y t=10.

B) Ahora imagina que inviertes los mismos 1000 dólares en una cuenta que te ofrece un 7% de interés compuesto mensualmente. ¿Cuánto dinero tendrás después de 10 años?

Ahora usamos la fórmula con los datos

A=1000(1+0.00712 ) ¹²⁽¹⁰⁾=2009.7

Interes Compuesto

Interés compuesto

El interés compuesto es una aplicación de las funciones exponenciales que es encontrada comúnmente en nuestro día a día. El interés es generalmente una cuota cobrada por el préstamo de dinero. Existen dos tipos de interés: simple y compuesto.

En el interés simple, el interés es acumulado solo en el principal o la cantidad inicial. Esto significa que la cantidad de interés ganada en cada periodo es la misma, ya que el interés es ganado sobre la cantidad inicial que no ha sido cambiada.

En el interés compuesto, el interés es acumulado tanto en la cantidad inicial como en el interés ganado previamente. Por esta razón, si es que todas las otras condiciones son las mismas, el interés compuesto crece a una tasa más rápida que el interés simple. La cantidad de interés ganada crece en cada periodo.

La fórmula para el interés compuesto es A=C(1+rn )n, en donde A representa la cantidad de dinero después de un periodo de tiempo, C representa la cantidad inicial de dinero, r representa la tasa de interés escrita en decimal, n es el número de veces que el interés es compuesto en un año y t es la cantidad de tiempo en años.

Teniendo en cuenta la situacion planteada anteriormente. Encuentra cuándo la población será igual a 450 000.

La ecuación que tenemos que resolver para encontrar el tiempo es: P=350000e 0.012t
450000=350000e 0.01 2t
450000/350000=e 0.012t
ln⁡(450000/350000)=ln ⁡e 0.012t
ln(350000450000​)=0.012t
ln⁡(450000350000)0.012=t
0.012ln(350000450000​)​=t
20.94=t

Sabemos que la población en el año 2035 será 419 026, por lo que tiene sentido que la respuesta sea mayor que 2035. Recuerda que la P en la ecuación es la población final, la cual tenemos que es 450 000.

Una función exponencial es aquella en que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a.

Cuando 0 < a < 1, entonces la función exponencial es una función decreciente y cuando a > 1, es una función creciente.

Caracteristicas de la F. Exponencial

El dominio de la función exponencial son todos los valores reales Dom(f)=R, ya que x es un exponente y admite cualquier valor real. La función tiene por imagen el conjunto Im(f)=(0,∞) y la gráfica tiene una asíntota horizontal en y = 0

. La condición que a sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a a por 1, la función ax se transforma en la función constante f(x) = 1.

La base no puede ser negativa porque valores de la forma
f(x)= (-9) 1/2 no tendrían sentido con números reales.

Una asíntota es una recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunas curvas y que se comporta como un límite gráfico hacia la cual la gráfica se aproxima indefinidamente pero nunca la toca ni la cruza. A medida que la una variable tiende hacia un cierto valor, la otra variable tiende a infinito, cualquiera que este sea.

Si agregamos un valor que acompañe a nuestra variable exponencial
¿Que sucede en la grafica?

Si agregamos un valor que acompañe sumando o restando en la formula
¿Que sucede en la grafica?

Investigar alguna funcion exponencial que modelice situaciones de la vida real y analizarla mas en profundidad. Su formula, caracteristicas dominio, imagen, crecimiento y asintotas. Hacer una infografia o folleto con el ejemplo elegido.

En padlet le dejamos un ejemplo hecho en canva ademas

de un tutorial de como usar la herramienta por si surge

alguna duda mientras estan confeccionando su ejemplo.

Una vez realizado el trabajo colocarlo en nuestro mural
de padlet. Cuentan con dos semanas a partir de que son

Actividad

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en algunas ocaciones escuchamos expresiones que hacen referencia a un crecimiento exponencial, estos son algunos ejemplos los cuales pueden ser modelizados mediante una funcion exponencial Datacion de restos Arqueologicos Degradacion de sustancias Radioactivas Crecimiento de Poblaciones Decubrimiento de Nuevas Enfermedades Se ha observado que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley exponencial decreciente.

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https://red.infd.edu.ar/wp-content/uploads/2020/04/Tutorial-Padlet.pdf

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