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La geometría analítica consiste en el estudio de las características, medidas y propiedades de las figuras geométricas mediante expresiones algebraicas de fórmulas y números usando conjunto de ejes y coordenadas.

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También conocido como el plano cartesiano o plano Bidimensional con dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.

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El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.

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Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las dos rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de estos cuadrantes.

Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I, II, III y IV.

Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas.

Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva.

Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas.

Cuadrante IV: la abscisa es positiva y el ordenada negativa.

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El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el primero en utilizar este sistema de coordenadas.

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Fermat y Descartes y el Nacimiento de la Gerometria Analitica. Plano cartesiano y la Parabola

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Un sistema de coordenadas es un sistema que nos permite identificar la posición de un punto. Es decir, es un conjunto de valores que se utilizan para definir dónde está situado cualquier objeto geométrico.

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El eje X también se llama eje de las abscisas o eje OX

El eje Y también recibe el nombre de eje de las ordenadas o eje OY.

El eje X corresponde a las coordenadas horizontales, mientras que el eje Y representa las coordenadas verticales.

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Geometría Analítica es deducir las propiedades de las curvas geométricas y el estudio de sus ecuaciones. $e facilita su estudio cuando se logra simplificar su ecuación, lo cual se logra mediante una transformación de los ejes desordenadas, cuyo proceso se reduce a 2 movimientos o una de traslación y otro dé rotación.

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Hace referencia al cambio delos ejes de un sistema de coordenadas en cual se trabaja ya sea por el método de traslación, por Rotación o por ambos métodos. Asimismo su final es poder SIMPLICAR una ecuación.

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En geometría, un sistema de coordenadas rectangulares sirve para ubicar de manera precisa cualquier punto sobre el espacio. Para ello es suficiente con dar tres coordenadas.
El sistema de coordenadas rectangulares sirve para posicionar cualquier punto en el espacio o en el plano, bastando para ello indicar las tres coordenadas del punto, en el orden x, y, z.

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Origen de la Coordenadas Rectangulares. 

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Origen de la Coordenadas Rectangulares. 

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Las coordenadas rectangulares fueron propuestas originalmente por el matemático francés René Descartes (1596 y 1650), con esta idea de Descartes, a los puntos del plano y del espacio se le asignan números, de modo que las figuras geométricas tienen asociadas una ecuación algebraica y los teoremas geométricos clásicos pueden ser demostrados algebraicamente. Con las coordenadas cartesianas nace la geometría analítica.

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Las coordenadas polares o sistema de coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. Este sistema es ampliamente utilizado en física y trigonometría.

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¿Qué son las coordenadas polares?

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas alterno al sistema cartesiano. Las coordenadas polares tienen la forma ( r, θ), en donde, r es la distancia desde el origen hasta el punto y θ es el ángulo formado con respecto al eje x.

Este sistema de coordenadas puede resultar más conveniente en el cálculo de las ecuaciones de movimiento de varios sistemas mecánicos. Muchas veces tenemos objetos que se mueven en círculos y el uso de coordenadas polares puede simplificar las ecuaciones usadas.

Ejemplos de coordenadas polares

Un punto en coordenadas polares puede ser graficado al medir la distancia desde el origen y medir el ángulo desde el eje x. El siguiente diagrama representa al punto $latex (4, \frac{\pi}{3})$.

El valor de r puede ser tanto positivo como negativo. Por ejemplo, abajo tenemos a la gráfica de los puntos $latex (4, \frac{\pi}{3})$ y $latex (-4, \frac{\pi}{3})$.

Podemos ver que, si es que r es positivo, el punto está ubicado en el mismo cuadrante que el ángulo. Por otra parte, si es que r es negativo, el punto se ubica en el cuadrante opuesto al ángulo.

Una diferencia importante entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares es que, en las coordenadas cartesianas existe un solo conjunto de coordenadas para cada punto.

Por otra parte, en las coordenadas polares, existe un número infinito de coordenadas para cada punto. Si es que sumamos o restamos 2π, obtenemos un ángulo equivalente. Por ejemplo, las siguientes coordenadas representan al mismo punto:

$latex (4, \frac{\pi}{3})=(4, -\frac{5\pi}{3})=(-4, \frac{4\pi}{3})=(-4, -\frac{2\pi}{3})$
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Fórmulas de conversión de polar a cartesiano

Podemos obtener las fórmulas de conversión de polar a cartesiano usando el siguiente diagrama:

Usando el diagrama, fácilmente podemos ver que el componente x es encontrado usando el coseno del ángulo y el componente y es encontrado usando el seno del ángulo:

EJERCICIO 1

Tenemos las coordenadas polares $latex (6, \frac{2\pi}{3})$. ¿Cuál es su equivalente en coordenadas cartesianas?

$latex x=6 \cos(\frac{2\pi}{3})$

$latex x=-3$

$latex y=6 \sin(\frac{2\pi}{3})$

$latex y=5.2$

EJERCICIO 2

Si es que tenemos las coordenadas polares $latex (5, \frac{5\pi}{4})$, ¿cuál es su equivalente en coordenadas cartesianas?

$latex x=5 \cos(\frac{5\pi}{4})$

$latex x=-3.54$

$latex y=5 \sin(\frac{5\pi}{4})$

$latex y=3.54$

Fórmulas de conversión de cartesiano a polar

Vamos a usar el mismo diagrama para obtener las fórmulas de conversión de cartesiano a polar:

Usando el triángulo rectángulo, podemos ver que r es igual a la hipotenusa y x, y son los catetos. Entonces, podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor de r:

$latex {{r}^2}={{x}^2}+{{y}^2}$

Encontramos al ángulo θ usando la tangente inversa. La tangente de un ángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. En este caso, el lado opuesto es y y el lado adyacente es x. Entonces, tenemos:

Debemos tener cuidado con el ángulo, ya que la tangente inversa tiene un rango que va desde $latex -\frac{\pi}{2}$ hasta $latex \frac{\pi}{2}$. Debido a esto, la calculadora puede darnos un valor incorrecto.

Para corregir esto, sumamos 180° o π si es que el punto está en el segundo y tercer cuadrantes y sumamos 360° o 2π si es que el punto está en el cuarto cuadrante. Si es que el punto está en el primer cuadrante, simplemente usamos el ángulo dado por la calculadora.

EJERCICIO 1

Si es que tenemos al punto (3, 5) en coordenadas cartesianas, ¿cuáles son sus coordenadas polares?

$latex r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$

$latex r=\sqrt{{{3}^2}+{{5}^2}}$

$latex r=\sqrt{9+25}$

$latex r=\sqrt{34}$

$latex r=5.83$

El ángulo θ es:

$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$

$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{5}{3})$

$latex \theta=1.03$ rad

EJERCICIO 2

Tenemos al punto (-2, -6) en coordenadas cartesianas. ¿Cuál es su equivalencia en coordenadas polares?

$latex r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$

$latex r=\sqrt{{{(-2)}^2}+{{(-6)}^2}}$

$latex r=\sqrt{4+36}$

$latex r=\sqrt{40}$

$latex r=6.32$

El ángulo θ es:

$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$

$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-6}{-2})$

$latex \theta=1.25$ rad

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre coordenadas polares y otros sistemas? Mira estas páginas:

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Coordenadas Polares - Fórmulas y Ejercicios - Neurochispas

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Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas alterno al sistema cartesiano. Las coordenadas polares tienen la forma ( r, θ), en donde, r es la distancia desde el origen hasta el punto y θ es el ángulo formado con respecto al eje x.

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Conversión de coordenadas cartesianas a polares 

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Conversión de coordenadas cartesianas a polares 

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Para realizar dicho Procedimiento es NECESARIO  que se tenga en conocimiento el Angulo y el radio de una coordenada  polar lo que permitirá hallar una especie de componentes rectangulares (componente horizontal y vertical), para luego sustituir dichos datos en las siguientes formulas en estudio:

X: r . Cosθ

Y: r . Senθ

Cabe destacar que los coordenadas proporcionadas siempre el primer datos será el radio del vector, y el segundo dato será el Angulo delmismo.

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CONVERTIR coordenadas POLARES a RECTANGULARES

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Convertir coordenadas rectangulares a polares

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Convertir coordenadas rectangulares a polares

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Para ellos es necesario tener en conocimiento los desplazamientos, tanto el Horizontal como el Vertical y así será posible llevar dichas coordenadas rectangulares a polares, es decir, obteniendo como resultado una distancia y Angulo de un vector o in punto el el plano. Considerando las siguientes formulas:

r = √ (x ² + y ²)

θ = arctan( y / x )

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Convertir coordenadas rectangulares a polares

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El primer paso de ellos es verificar si se tienen los datos necesarios para llevar las operaciones correspondientes.

luego es fundamental identificar los catetos, tanto el opuesto que es que esta frente al Angulo y el adyacente que es el restante, esto debido a que se trabaja con un triangulo rectángulo.

Calculamos X: 6 x Cos30: 3√3

calculamos Y: 6 x Sen30: 3.

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Aquí se deben aplicar las formulas correspondientes debido a que se tiene los don catetos pero no la Hipotenusa.

tenemos entonces que

r = √ (x ² + y ²) : √  (3 ² + 4 ²) : √(9 + 16) : √25 : 5

θ = arctan( y / x ): arctan(4/3) : 53,13°

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Debido hay que hay cónicas que no tienen su centro en el origen ni sus ejes coinciden con un ejes coordinado de x o y la ecuación de la misma es muy complicada.

para simplificarla trasladamos los ejes de coordenadas y se obtiene una ecuación como anteriormente se ha estudiado.
- Pasos

1. El eje de coordenadas se traslada a un nuevo eje que será O"(h,k)

2.  lo que indica que cualquier punto será:

- X: x" + h
- Y: y" + k
3. Dichas coordenadas se sustituyen en la nueva ecuación.
4. se desarrolla hasta simplificar lo mas posible.

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Traslación de ejes - Transformar ecuación a un nuevo eje de coordenadas- SimpleAlgebra1

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Cambio de la orientación de los ejes de referencia mientras se conserva el origen. La principal razón para rotar los ejes es que una ecuación dada es mucho más simple en el nuevo sistema de coordenadas que en el sistema original.

Si los ejes originales x y y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo , para cualquier punto P(x, y), las coordenadas originales (x, y) se convierten en las nuevas coordenadas (x ´, y ´), que son:

x ´ = x cos  + y sen
y´ = - x sen  + y cos

Para derivar la ecuación en las nuevas coordenadas, necesitamos expresar las coordenadas originales en las nuevas coordenadas:

x = x ´ cos  - y ´ sen
y = x ´ sen  + y cos

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cabe destacar que para realizar las rotación de los ejes de coordenadas, debe tenerse tanto el Angulo de la rotación y por supuesto las coordenadas.

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representación grafica de una circunferencia con coordenadas polares 

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representación grafica de una circunferencia con coordenadas polares 

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representacion grafica de una parabola con coordenadas polares 

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representacion grafica de una parabola con coordenadas polares 

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https://www.youtube.com/watch?v=5B08FRukk_M

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Gráfico de la ecuación de una parábola en polares