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1. Función Exponencial:

La función exponencial se define como f(x) = aˣ, donde 'a' es una constante positiva llamada base, y x es la variable.

Características principales:

Dominio: Todos los números reales (ℝ)

Codominio: Todos los números reales positivos (y > 0)

Siempre pasa por el punto (0, 1)

Si a > 1, la función crece rápidamente

Si 0 < a < 1, la función decrece rápidamente

La función exponencial más común es e^x, donde e ≈ 2.71828 (número de Euler)

2. Función Logarítmica:

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Se define como y = log_a(x), que es equivalente a a^y = x.

Características principales:

Dominio: Todos los números reales positivos (x > 0)

Codominio: Todos los números reales (ℝ)

Siempre pasa por el punto (1, 0)

Crece más lentamente que cualquier potencia de x

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Función Exponencial (f(x) = aˣ, donde a > 0 y a ≠ 1) Dominio:

El dominio de la función exponencial es todos los números reales (ℝ).

Esto significa que puedes elevar 'a' a cualquier potencia real.

Codominio:

El codominio de la función exponencial es todos los números reales positivos (y > 0).

Matemáticamente, se expresa como (0, +∞).

Esto se debe a que cualquier número positivo elevado a cualquier potencia real siempre dará un resultado positivo.

Función Logarítmica (f(x) = log_a(x), donde a > 0 y a ≠ 1) Dominio:

El dominio de la función logarítmica es todos los números reales positivos (x > 0).

Matemáticamente, se expresa como (0, +∞).

No se puede calcular el logaritmo de un número negativo o cero en los números reales.

Codominio:

El codominio de la función logarítmica es todos los números reales (ℝ).

Esto significa que el resultado de un logaritmo puede ser cualquier número real, incluyendo negativos, cero y positivos.

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f, es una ley entre dos conjuntos de números: el dominio y el codominio. A cada número del dominio le hace corresponder un único número del codominio. Esta ley es una correspondencia unívoca.Ejemplo: En el ejemplo, el dominio es El codominio es Y la exprsión de la función es ya que lo que hace la función es multiplicar por dos cada número del dominio. Podemos observar cómo a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio.Imagen o Recorrido Seax un elemento del dominio, llamamos imagen de x mediante la función f a f(x), es decir, al elemento del codominio que le asigna la función f.Ejemplo: en la función del ejemplo anterior, la imagen de 1 es f(1)=2, la imagen de -2 es f(-2)=-4. Llamamosconjunto imagen (o simplemente imagen) o recorrido de la función f al conjunto de elementos del codominio que son la imagen de algún (o más) elemento del dominio. Es decir, siy es un elemento de la imagen de f, entonces existe al menos un elemento, x, del dominio de f tal que Ejemplo 1 Dominio: como es una función racional, tenemos que excluir del dominio los puntos que hacen que el denominador sea 0 (no podemos dividir por 0). Por tanto, el dominio es Recorrido: El recorrido es todos los reales excepto 0 ya que si suponemos que entonces Lo cual es falso. Esto quiere decir que la ecuación no tiene solución y, por tanto, el 0 no tiene antimagen (elemento del dominio cuya imagen es 0). Por tanto, la imagen def es La gráfica es: Ejemplo 2 Esta función es la parte entera dex. Lo que hace es quitar la parte decimal del número y quedarse con la parte entera. Por ejemplo, Dominio: el dominio de la función es todos los reales.Recorrido: Es fácil ver que la imagen de la función es el conjunto de los números enteros: donde La gráfica es: Más Ejemplos Enlace:Ejercicios resueltos: cálculo del dominio y recorrido de funciones de una variable real Enlace relacionado:Ejercicios resueltos: estudio de la continuidad de funciones de una variable real Enlaces:

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Conceptos de dominio, codominio y recorido (o imagen) de una función. Con ejemplos. [url=https://www.matesfacil.com/ESO/dominio/ejercicios-resueltos...

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¿CÓMO ES SU GRAFICA? FUNCIÓN LOGARÍTMICA

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¿CÓMO ES SU GRAFICA? FUNCIÓN LOGARÍTMICA

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La función logarítmica general se expresa como f(x) = log_a(x), donde 'a' es la base del logaritmo y es un número positivo distinto de 1. La gráfica más comúnmente estudiada es la del logaritmo natural, ln(x), que es el logaritmo en base e.

Características principales de la gráfica de la función logarítmica:

1. Dominio: x > 0

2. Pasa por el punto (1, 0)

3. Es creciente para todo su dominio

4. Es cóncava hacia abajo

5. Tiene una asíntota vertical en x = 0

6. No tiene asíntota horizontal, pero crece muy lentamente para valores grandes de x

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Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Y, cuando 0 < a < 1:

Características

Dominio: es el de todos los números reales que hacen que el argumento de la función sea mayor que cero.
Veamos tres ejemplos de dominios de funciones logarítmicas:

En este último caso, los reales negativos, junto con {0}+(0,2) son los que hacen el argumento mayor que cero.

Lo mismo ocurre cuando la base es menor que uno, que es cuando la función es decreciente.

Recorrido:
El recorrido son todos los números reales.

Derivada de la función logarítmica elemental:

Las funciones logarítmicas son continuas.

Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es estrictamente creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente.

En la forma simple de la función, la imagen de 1 siempre es 0 independientemente de cual sea la base a y la imagen de a es 1.

Así pues, las funciones logarítmicas, en su expresión simple, siempre pasan por los puntos (1 , 0) y (a , 1).

La función logarítmica es inyectiva.

Propiedades

Todas las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

Cambio de base:

Logaritmos

Sean dos números reales a y b, siendo a ≠ 1. El es el elemento al que hay que elevar el número a para que dé como resultado el número b.

A b se le llama argumento o antilogaritmo del logaritmo.

Todos los argumentos tienen que ser mayores que cero. No existen los logaritmos de números negativos o del cero.

Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, ya que siendo a = 3 y b = 9, el número al que hay que elevar 3 para que dé 9 es 2, (3² = 9). El antilogaritmo o argumento sería el 9.

Cuando el logaritmo es en base 10 ( a = 10), se llama logaritmo decimal y no se suele escribir la base: . También se llaman logaritmos comunes.

Se llama logaritmo neperiano (o logaritmo natural), y suele escribirse: f(x) = ln x (o, también f(x) = log e x), cuando la base es el número e ( e = 2,7182818...).

Ejercicio

Supongamos que tenemos la función logarítmica con base a = 2, definida por la función:

Ver sus características y graficar la función.

Solución:

La función es continua en todos los números reales positivos.

Como podemos ver en su gráfica, la función pasa por los puntos (1 , 0) y (2 , 1).

Para graficar la función con más puntos, se puede recurrir a su función inversa, que es la función exponencial. Para volver de la función potencial a su inversa, que es nuestra función logarítmica, se intercambian los valores de x e y. Como se ve aquí:

Como se ve en esta imagen:

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Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma: siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Y, cuando 0 1), la función es estrictamente creciente .

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¿CÓMO ES SU GRAFICA? FUNCIÓN EXPONENCIAL

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¿CÓMO ES SU GRAFICA? FUNCIÓN EXPONENCIAL

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La función exponencial general se expresa como f(x) = aˣ, donde 'a' es la base y es un número positivo distinto de 1. La gráfica más comúnmente estudiada es la de la función exponencial natural, e^x, donde e ≈ 2.71828.

Características principales de la gráfica de la función exponencial:

1. Dominio: Todos los números reales (ℝ)

2. Codominio: Todos los números reales positivos (y > 0)

3. Pasa por el punto (0, 1)

4. Es siempre creciente si a > 1, o siempre decreciente si 0 < a < 1

5. Es cóncava hacia arriba si a > 1, o cóncava hacia abajo si 0 < a < 1

6. Tiene una asíntota horizontal en y = 0 para valores negativos de x

7. Crece muy rápidamente para valores positivos de x cuando a > 1

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Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

También se suele denotar la función como exp (x).

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica.

Y, cuando 0 < a < 1:

Características

Propiedades

Todas las funciones exponenciales exp (x) cumplen las siguientes propiedades:

Ejercicio

Sea la función exponencial con a = 2, definida por la función:

La función es continua en todos los números reales.

La gráfica de la función pasa por los puntos (0 , 1) y (1 , 2).

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Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es: siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1. También se suele denotar la función como exp (x).

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La función logarítmica y la función exponencial están estrechamente relacionadas, ya que son funciones inversas entre sí. Esta relación se puede entender mejor observando sus definiciones y comportamientos:

1. Función exponencial: Una función exponencial tiene la forma general f(x)=ax donde a es una constante positiva (generalmente mayor que 1) y x es la variable independiente. Ejemplo: f(x)=2x

Crece rápidamente cuando x aumenta.

Siempre es positiva para cualquier valor de x.

Su gráfico pasa por el punto (0,1) (es decir, f(0)=1).

2. Función logarítmica: Una función logarítmica tiene la forma general g(x)=log⁡a(x), donde a es una constante positiva (igual que en la exponencial) y x es el argumento de la función. Ejemplo: g(x)=log⁡₂(x).

Crece lentamente cuando x aumenta.

Está definida solo para valores positivos de x.

Su gráfico pasa por el punto (1,0) (es decir, g(1)=0.

Relación inversa:

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Es decir, si f(x)=ax, entonces su inversa es g(x)=log⁡a(x), lo que implica que:

f(g(x))=alog⁡a(x)= x

g(f(x))=log⁡a(ax) =x

Esto significa que las funciones deshacen el efecto de la otra. Si aplicas una función exponencial y luego la logarítmica (o viceversa), recuperarás el valor original.

Gráficos:

El gráfico de una función es una reflexión del gráfico de la otra respecto a la línea y=x.

Esto es consistente con su relación como funciones inversas.

En resumen, la función logarítmica y la función exponencial están íntimamente conectadas porque una es la inversa de la otra.

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CÓMO ESTA DEFINIDA LA DERIVADA Y LA INTEGRAL DE ÉSTAS FUNCIONES?

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CÓMO ESTA DEFINIDA LA DERIVADA Y LA INTEGRAL DE ÉSTAS FUNCIONES?

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Para la función logarítmica f(x) = ln(x):

1. Derivada:

f'(x) = 1/x

2. Integral:

∫ln(x)dx = x ln(x) - x + C

Para la función exponencial f(x) = e^x:

1. Derivada:

2. f'(x) = e^x

3. Integral:

4. ∫e^x dx = e^x + C

Es importante notar que estas fórmulas son para el logaritmo natural (base e) y la función exponencial de base e.