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Kenneth Johandy Mercado Romero
Docente: Juan Miguel Correa Sandino.

Introducción a límites / Definición y teoremas

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Para la matemática, un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor.

Mediante esta guía No 20, nosotros como estudiantes aprenderemos a conocer este campo y su dominio, a aplicar ejercicios, además de la valoración de este tema.

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Una definición informal del límite matemático indica que el límite de una función f(x) es T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar para cada ocasión un x cerca
de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a T como se pretenda.

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La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

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Más de 50 límites resueltos y explicados

En esta página calculamos límites de funciones de una variable. Primero, hacemos una pequeña introducción y recordamos los conceptos de límite, límites laterales e indeterminaciones. Después, proporcionamos algunas reglas y procedimientos útiles para calcular límites y evitar las indeterminaciones.

En total, resolvemos detalladamente más de 50 límites, sin utilizar la regla de L'Hôpital ni infinitésimos.
Índice:

1. Introducción

2. Concepto de límite

3. Definición formal

4. Límites laterales

5. Límites infinitos

6. Reglas básicas

7. Primeros límites resueltos (básicos)

8. Indeterminaciones

9. Procedimientos o técnicas

10. Más límites resueltos

Más límites resueltos:

Las funciones matemáticas se utilizan en otros ámbitos, por ejemplo, para calcular los beneficios o los costes de una empresa, la velocidad o aceleración de un móvil, etc., por lo que es importante conocer el comportamiento de una función.

Por ejemplo, la siguiente función no está definida en \(x=0\) ni en \(x = -1\) (porque no se puede dividir entre \(0\)):

Sin embargo, sí podemos preguntarnos cómo se comporta la función cuando \(x\) se aproxima a \(0\) o cuando se aproxima a \(-1\). ¿Y si \(x\) crece o decrece indefinidamente? Los límites de la función \(f\) nos proporcionan las respuestas.

Además de ayudarnos a visualizar la gráfica de la función, los límites también se utilizan para estudiar otras propiedades, como la continuidad de una función, la diferenciabilidad, etc.

Dada una función \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y un punto \(x_0 \in \mathbb{R}\), el límite de \(f\) cuando \(x\) tiende a \(x_0\) se representa como

En un principio, este límite es el valor que toma \(f\) en el punto \(x_0\), es decir, \(f(x_0)\). Si \(f(x_0)\) no existe (por ejemplo, cuando \(x_0\) anula el denominador de \(f\)), entonces el límite es el valor al que \(f\) se aproxima cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\).

Por ejemplo, sea la función

No existe \(f(0)\), pero cuanto más se aproxima \(x\) a \(0\), la función crece más y más, como podemos observar en la gráfica:

Por tanto, el límite de \(f\) cuando \(x\) tiende a \(0\) es infinito:

También, podemos predecir el comportamiento de la función cuando \(x\) crece o decrece indefinidamente (cuando \(x\) tiende a \(\pm \infty\)). Cuando esto ocurre, la función \(f(x) =1/x^2\) se aproxima cada vez más a \(0\):

Hemos estado hablando, básicamente, de límites en puntos finitos \(x_0\in\mathbb{R}\), pero también podemos preguntarnos cuál es límite de una función cuando \(x\) crece o decrece indefinidamente, es decir, cuando \(x\to +\infty\) y cuando \(x\to -\infty\).

Obviamente, no podemos hablar de límites laterales cuando \(x\) tiende a infinito.

Hasta el momento, no hemos explicado cómo calcular los límites.

1. Lo primero que hacemos para calcular el límite de \(f\) en el punto \(x_0\) es comprobar si se puede calcular \(f(x_0)\) porque, en este caso, el límite es dicho valor:

Es decir, en este caso sólo hay que cambiar las \(x\) por \(x_0\).

Nota: en una función definida a trozos, hay que calcular primero los límites laterales en \(x_0\) si es un punto de cambio de definición.

2. Es importante comprobar que la función está escrita en su mínima expresión.

Ahora vamos a ver las reglas que nos permiten calcular los límites cuando sustituimos \(x\) por \(x_0\). Escribiremos el signo de interrogación "?" para las indeterminaciones, de las cuales hablaremos más adelante.

Sea \(K\) un número real distinto de \(0\).

Sumar o restar infinito:

La resta de infinitos de signo distinto es indeterminado: \(\infty -\infty = ?\).

Multiplicar por infinito:

El producto \(0·\infty\) es una indeterminación.

El producto de infinitos es infinito. El signo se obtiene por la regla de los signos:

Dividir entre cero:

El cociente \(0/0\) es una indeterminación.

Dividir entre infinito:

El cociente \(\infty/\infty\) es una indeterminación.

Elevar a \(0\):

Las potencias \(\infty^0\) y \(0^0\) son indeterminaciones.

Elevar a infinito:

La potencia \(1^\infty\) es una indeterminación.

Nota: \(0^\infty =0\) y \(\infty^\infty = \infty\) no son indeterminaciones.

Límite 5

siendo \(f\) la siguiente función definida por partes:

Las indeterminaciones son las 7 operaciones algebraicas siguientes cuyo resultado no podemos predecir:

Por ejemplo, en los dos siguientes límites aparece la indeterminación cociente de infinitos:

El resultado del primer límites es \(+\infty\) y el del segundo es \(0\).

En el siguiente apartado vemos algunos procedimientos para resolver las indeterminaciones.

La mayoría de los procedimientos los utilizamos cuando \(x\to\infty\).

Cociente de polinomios:

En el límite de un cociente de polinomios \(P(x)/Q(x)\) suele aparecer un cociente de infinitos (\(\infty/\infty\)). Escribimos \(\delta P\) y \(\delta Q\) para referirnos al grado del polinomio \(P\) y \(Q\), respectivamente:

En el primer caso, el signo del infinito depende de los grados de los polinomios y de sus coeficientes.

En el tercer caso, \(p\) es el coeficiente director de \(P(x)\) y \(q\) es el de \(Q(x)\).

Cociente de exponenciales:

Normalmente, para resolver límites con exponenciales, dividimos la función entre alguna de las exponenciales (generalmente, la que tiene base mayor para conseguir bases menores que 1).

Indeterminación \(1^\infty \):

Esta indeterminación aparece, normalmente, en los límites con la forma

donde la función \(f(x)\) tiende a 1 y \(h(x)\) tiende a infinito. El punto \(A\) del límite puede ser un punto finito o \(\pm \infty\).

En este caso, aplicamos la siguiente fórmula:

Cociente de raíces:

Cuando la función está formada por un cociente en el que aparecen raíces, el límite depende del orden de las raíces, al igual que en los cocientes de polinomios.

Suelen aparecer las indeterminaciones resta de infinitos y cociente de infinitos. Normalmente, es suficiente multiplicar y dividir por el conjugado y/o comparar los órdenes de las raíces y grados de las \(x\).

Fórmulas que pueden ayudar (para resta de infinitos):

Comparación de funciones:

Muchas veces, es fácil calcular el límite de una función simplemente comparando las funciones que conforman la propia función.

Por ejemplo, el límite cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) de la función \(x^5-x^2\) es \(\infty-\infty\). Sin embargo, como \(x^5\) crece más rápido que la función \(x^2\), el límite es \(+\infty\). Dicho de otra forma, el orden del infinito del límite de la primera función es mayor que el de la segunda, así que el resultado es \(\infty\).

Otros ejemplos:

Aplicación de logaritmos:

Las propiedades de los logaritmos pueden ser útiles para calcular límites, sobre todo, cuando aparecen exponentes. Para ello, utilizamos la propia definición del logaritmo:

De este modo,

Límite 36

Ayuda: utilizad el siguiente límite:

Límite 37

Ayuda: utilizad el siguiente límite:

Límite 41

Demostrar el límite siguiente, que se ha empleado en varias ocasiones en esta página:

Ayuda: representación del coseno de \(x\), del arco de circunferencia con ángulo \(x\) y de la tangente de \(x\) en un circuncerencia de radio \(R=1\), siendo \(0< x < \pi/2\):

Límite 49

Comprobar la fórmula que empleamos para la indeterminación uno elevado a infinito (\(1^\infty\)):

Más límites resueltos:

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Resolvemos más de 50 límites explicando el procedimiento, incluyendo indeterminaciones (cero dividido cero, infinito dividido infinito, cero por infinito, 1 elevado a infinito, cero elevado a cero, infinito elevado a cero e infinito menos infinito). Concepto de límite, definición formal, límites laterales, procedimientos, técnicas, reglas básicas.

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Teoremas de límites. Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Épsilon-Delta. Se establecieron 8 teoremas:

Límite de una función lineal.

Límite de una función constante.

Límite de una función identidad.

Límite de suma o diferencia de funciones.

Límite del producto de funciones.

Límite de una n-ésima potencia.

Límite del cociente de funciones.

Límite de raíz n-ésima de una función

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Solución de límites por factorización | Ejemplo 1

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Padlet es un muro donde las alumnos pueden insertar información de cualquier tipo teniendo la función de presentar todo este contenido en distintas formas tales como una pizarra digital, un lienzo una línea de tiempo y cantidad de formas. Para las matemáticas , suben sus trabajos, tareas y archivos en general. Además es una herramienta muy potente para trabajar de manera colaborativa.

En las matemáticas, resulta de una utilidad muy importante pues, ayuda a resumir las generalidades del tema a abordar, en este caso, ayuda a mejorar el énfasis dedicado a los limites matemáticos.

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https://www.google.com/search?q=limites&rlz=1C1AVFB_enNI793NI793&oq=limites&aqs=chrome..69i57j0l2j46j0l2j69i61l2.2781j0j4&sourceid=chrome&ie=UTF-8
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico
http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/limites/lim_teo.html