# data[].attributes.attachment_link.title
Многогранники

# data[].attributes.headline
Клименко Марина Петрівна

# data[].attributes.subject
Клименко Марина Петрівна

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Піраміди, їх види та властивості

1. Піраміди

Пірамідою (n-кутною) називається многогранник, у якого одна грань є довільним n-кутником, а інші n граней - трикутники, які мають спільну вершину. N-кутник називається основою, а трикутники - бічними гранями. Спільна вершина бічних граней називається вершиною піраміди.

Наприклад: піраміда SABCD, ABCD - основа; - бічні грані піраміди; S - вершина піраміди; SA, SB, SC, SD - бічні ребра.

Висотою піраміди називається перпендикуляр, проведений із вершини піраміди на площину основи.

Наприклад: SO - висота піраміди.

Правильною називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а висота піраміди співпадає з центром цього многокутника.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведеної із вершини піраміди, називається її апофемою.

Наприклад: правильна трикутна піраміда SABC, , SK - апофема.

У правильній піраміді:

бічні ребра рівні;

бічні грані рівні;

апофеми рівні;

двогранні кути при основі рівні;

двогранні кути при бічних ребрах рівні;

кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх вершин основи;

кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних граней;

кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних ребер.

Діагональним перерізом піраміди називається переріз площиною, яка проходить через два бічних ребра піраміди, що не належать одній грані.

2. Властивості паралельних перерізів пірамід

Теорема. Якщо піраміда перерізається площиною, паралельною основі, то:

1. бічні ребра та висота піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини;

2. переріз - многокутник, подібний основі;

3. площі перерізу та основи відносяться як квадрати їх відстаней від вершини піраміди.

Якщо довільну n-кутну піраміду перерізати площиною, паралельною основі, то ця площина відітне від піраміди многогранник, дві грані якого подібні n-кутники, а інші n граней - трапеції. Цей многогранник називається зрізаною пірамідою.

Паралельні грані зрізаної піраміди називаються основами, а всі інші - бічними. Висотою зрізаної піраміди називається перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи на площину іншої основи.

Зрізана піраміда називається правильною, якщо вона складає частину правильної піраміди. Висота бічної грані правильної зрізаної піраміди, проведена до ребра основи, називається апофемою.

У правильній зрізаній піраміді:

бічні ребра рівні;

бічні грані рівні;

апофеми рівні;

двогранні кути при кожній основі рівні;

двогранні кути при бічних ребрах рівні;

кожна точка прямої, яка проходить через центри її основ, рівновіддалена від усіх вершин кожної основи, рівновіддалена від площини бічних граней, рівновіддалена від прямих, на яких лежать бічні ребра.

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
їх види та властивості

# data[].attributes.attachment_link.title
Піраміди, їх види та властивості

# data[].attributes.attachment_link.description
Піраміди, їх види та властивості Пірамідою (n-кутною) називається многогранник, у якого одна грань є довільним n-кутником, а інші n граней - трикутники, які мають спільну вершину. N-кутник називається основою, а трикутники - бічними гранями. Спільна вершина бічних граней називається вершиною піраміди.

# data[].attributes.headline
ДНЗ "Глухівське вище професійне училище"

# data[].attributes.subject
ДНЗ "Глухівське вище професійне училище"

# data[].attributes.attachment_link.title
Головна — Державний навчальний заклад ”Глухівське вище професійне училище”

# data[].attributes.attachment_link.description
Отримати інформацію та ознайомитись з правилами прийому Ви можете у приймальній комісії: м. Глухів, вул. Есманський шлях, 17а (каб. 102).
Тел. для довідок: (05444) 32247, 32993, +380 68 060 23 07
Детальніше

# data[].attributes.headline
Паралелепіпед

# data[].attributes.subject
Паралелепіпед

# data[].attributes.attachment_link.title
Паралелепіпед. Види паралелепіпедів - урок. Геометрія, 10 клас.

# data[].attributes.attachment_link.description
Урок з теми Паралелепіпед. Види паралелепіпедів. Теоретичні матеріали та завдання Геометрія, 10 клас. МiйКлас - онлайн школа нового покоління.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Куб, натисніть тут для обертання моделі.

Будова куба у стереопроєкції.

Розгортка куба

Тривимірна модель куба

Куб (від лат. cubus і далі від дав.-гр. κύβος, первісно - "кубічна кістка для гри") або гекса́едр (від дав.-гр. ἑξα- - "шість" + - "грань, поверхня") - правильний многогранник, кожна грань якого є квадратом. Окремий випадок паралелепіпеда і призми.

У різних дисциплінах використовуються значення терміну, що мають відношення до тих або інших властивостей геометричного прототипу. Зокрема, в алгебрі кубом числа називають значення цього числа, піднесене до 3-го степеня. В аналітиці (OLAP-аналіз) застосовуються так звані аналітичні багатовимірні куби, що дозволяють в наочному вигляді зіставити дані з різних таблиць.

Якщо центр куба сумістити з початком координат, а ребра зорієнтувати паралельно осям, тоді вершини куба з ребрами довжини 2 матимуть координати (±1,±1,±1).

Вміст куба буде відповідати умовам на координати (x ₀, x ₁, x ₂) де −1 < x i < 1.

Для куба, довжина ребер якого дорівнює :

Куб має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів із такою ж площею поверхні. А також куб, має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів із такими ж загальними лінійними розмірами (довжина+висота+ширина).

У куб можна вписати тетраедр двома способами, притому чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинами куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі грані-квадрата.

Чотири перетини куба є правильними шестикутниками - ці перетини проходять через центр куба перпендикулярно чотирьом його діагоналям.

У куб можна вписати октаедр, притому всі шість вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести граней куба.

Куб можна вписати в октаедр, притому всі вісім вершин куба будуть розташовано в центрах восьми гранях октаедра.

У куб можна вписати ікосаедр, при цьому, шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра всередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба.

Куб має чотири спеціальні ортогональні проєкції, із центом, на одній з вершин, ребрі, грані і нормалі відносно її фігури вершин. Перша і друга відповідають A ₂ і B ₂ площинам Коксетера.

Із центом в

Грані

Вершині

Площини Коксетера

B₂

A₂

Проєктивна
симетрія

[4]

[6]

Вигляд під нахилом

11 розгорток куба.

Куб має одинадцять різних розгорток: тобто, існує одинадцять способів зробити із куба пласку розгортку розрізаючи його по семи ребрах. Для того, щоб зафарбувати куб так, що сусідні грані не матимуть однакового кольору, необхідно принаймні три кольори.

Аналог куба в чотиривимірному евклідовому просторі має спеціальну назву - тесеракт, або не так визначено - гіперкуб. Аналог куба в n-вимірному евклідовому просторі називається n-вимірним гіперкубом, або просто n-кубом.

В математичній теорії також для повноти розглядають куби менших розмірностей. Так, 0-вимірний куб - це просто точка. 1-вимірний куб - це відрізок. 2-вимірний куб - це квадрат.

Однорідні октаедральні многогранники

Симетрія: [4,3], (*432)[en]

[4,3]⁺
(432)

[1⁺,4,3] = [3,3]
(*332)[en]

[3⁺,4]
(3*2)

{4,3}

t{4,3}

r{4,3}
r{3 1,1}

t{3,4}
t{3 1,1}

{3,4}
{3 1,1}

rr{4,3}
s ₂{3,4}

tr{4,3}

sr{4,3}

h{4,3}
{3,3}

h₂{4,3}
t{3,3}

s{3,4}
s{3 1,1}

Двоїсті многогранники

V4³

V3.8²

V(3.4)²

V4.6²

V3 ⁴

V3.4³

V4.6.8

V3⁴.4

V3³

V3.6²

V3⁵

# data[].attributes.attachment_link.title
Куб - Вікіпедія

# data[].attributes.attachment_link.description
Куб (від лат. cubus і далі від дав.-гр. κύβος, первісно - "кубічна кістка для гри") або гекса́едр (від дав.-гр. ἑξα- - "шість" + - "грань, поверхня") - правильний многогранник, кожна грань якого є квадратом. Окремий випадок паралелепіпеда і призми. У різних дисциплінах використовуються значення терміну, що мають відношення до тих або інших властивостей геометричного прототипу.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
При́зма ( дав.-гр. πρίσμα - "відпиляне"; від πρίζω - "пиляю") - стереометрична фігура, многогранник ( призматоїд), у якого дві грані - рівні n-кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта n граней - паралелограми. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два n-кутники називаються її основами.

Багатокутник, що лежить в основі, визначає назву призми: трикутник - трикутна призма, чотирикутник - чотирикутна; п'ятикутник - п'ятикутна ( пентапризма) і т. д.

Призма є частковим випадком циліндра в загальному сенсі (некругового).

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми - похилі.

Призма називається правильною, якщо вона пряма і її основи - правильні багатокутники.

Висота призми - відстань між площинами її основ.

Призма, основою якої є паралелограм, називається паралелепіпедом.

Пряма призма - це призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основи, звідки випливає, що всі бічні грані є прямокутниками[1]. Інші призми називаються похилими.

Пряма прямокутна призма називається прямокутним паралелепіпедом. Символ Шлефлі такої призми- { }×{ }×{ }.

Правильна призма - це пряма призма, основою якої є правильний багатокутник. Бічні грані правильної призми - рівні прямокутники.

Правильна призма, бічні грані якої є квадратами (висота якої дорівнює стороні основи), є напівправильним багатогранником. Символ Шлефлі такої призми - t{2,p}.

Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних багатогранників, іншу послідовність утворюють антипризми

Зрізана призма - це призма з непаралельними основами.

Назва

Визначення

Позначення на кресленні

Креслення

Основи

Дві грані, є конгруентними багатокутниками, що лежать у паралельних одна одній площинах.

,

Бічні грані

Усі грані, крім основ. Кожна бічна грань обов'язково є паралелограмом.

, , , ,

Бічна поверхня

Об'єднання бічних граней.

Повна поверхня

Об'єднання основ і бічної поверхні.

Бічні ребра

Спільні сторони бічних граней.

, , , ,

Висота

Відрізок, що з'єднує площини, у яких лежать основи призми і перпендикулярний до цих площин.

Діагональ

Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, які не належать одній грані.

Діагональна площина

Площина, що проходить через бічне ребро призми і діагональ основи.

Діагональний переріз

Перетин призми і діагональної площини. В перерізі утворюється паралелограм, зокрема його часткові випадки - ромб, прямокутник, квадрат.

Перпендикулярний (ортогональний) переріз

Переріз призми і площини, перпендикулярної до її бічного ребра.

Основи призми є рівними багатокутниками.

Бічні грані призми є паралелограмами.

Бічні ребра призми паралельні і рівні.

Об'єм призми дорівнює добутку її висоти на площу основи:

Об'єм призми з правильною n-кутною основою дорівнює

(тут s - довжина сторони багатокутника).

Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні і подвоєної площі основи.

Площа бічної поверхні довільної призми , де - периметр перпендикулярного перерізу, - довжина бічного ребра.

Площа бічної поверхні прямої призми , де - периметр основи призми, - висота призми.

Площа бічної поверхні прямої призми з правильною n-кутною основою дорівнює

Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми.

Кути перпендикулярного перерізу - це лінійні кути двогранних кутів при відповідних бічних ребрах.

Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней.

Двоїстим багатогранником прямої призми є біпіраміда.

Групою симетрії прямої n-кутної призми з правильною основою є група порядку 4 n, за винятком куба, який має групу симетрії порядку 48, що містить три версії D 4h в якості підгруп. Групою обертань є Dn 2 n, за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група O порядку 24, що має три версії D ₄ в якості підгруп.

Група симетрії Dnh включає центральну симетрію в тому і тільки в тому випадку, коли n парне.

Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту. Таким чином об'єм дорівнює:

де S - площа основи, h - висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

Площа бічної поверхні призми дорівнює , де P - периметр основи, H - висота.

Площа поверхні призми дорівнює , де S - площа основи, h - висота, P - периметр основи.

Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

Призматичний багатогранник - це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. n-вимірний призматичний багатогранник конструюється з двох ( n − 1)-вимірних багатогранників, перенесених у наступну розмірність.

Елементи призматичного n-вимірного багатогранника подвоюються з елементів ( n − 1)-вимірного багатогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.

Візьмемо n-вимірний багатогранник з елементами (i-вимірна грань, i = 0, ..., n). Призматичний ( )-вимірний багатогранник буде мати елементів розмірності i (при , ).

За розмірностями:

Беремо багатокутник з n вершинами і n сторонами. Отримаємо призму з 2n вершинами, 3n ребрами і гранями.

Беремо багатогранник з v вершинами, e ребрами і f гранями. Отримуємо (4-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, гранями і комірками.

Беремо 4-вимірний багатогранник з v вершинами, e ребрами, f гранями і c комірками. Отримуємо (5-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, (2-вимірними) гранями, комірками гіперкомірками.

Правильний n-багатогранник, представлений символом Шлефлі t}, може утворити однорідний призматичний багатогранник розмірності ( n + 1), представлений прямим добутком двох символів Шлефлі: t}×{}.

За розмірностями:

Призма з 0-вимірного багатогранника - це відрізок, що подається порожнім символом Шлефлі {}.

Призма з 1-вимірного багатогранника - це прямокутник, отриманий з двох відрізків. Ця призма подається як добуток символів Шлефлі {}×{}. Якщо призма є квадратом, запис можна скоротити: {}×{} = {4}.
Приклад: Квадрат, {}×{}, два паралельні відрізки, з'єднані двома іншими відрізками, сторонами.

багатокутна призма - це 3-вимірна призма, отримана з двох багатокутників (один отриманий паралельним перенесенням іншого), які пов'язані прямокутниками. З правильного багатокутника {p} можна отримати однорідну n-кутну призму, подану добутком {p}×{}. Якщо p = 4, призма стає кубом: {4}×{} = {4, 3}.

4-вимірна призма, отримана з двох багатогранників (один отримано паралельним перенесенням іншого), зв'язаних 3-вимірними призматичними комірками. З правильного багатогранника {p, q} можна отримати однорідну 4-вимірну призму, подану добутком {p, q}×{}. Якщо багатогранник є кубом і сторони призми теж куби, призма перетворюється на тесеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.

...

Призматичні багатогранники більш високих розмірностей також існують як прямі добутки двох будь-яких багатогранників. Розмірність призматичного багатогранника дорівнює добутку розмірностей елементів добутку. Перший приклад такого добутку існує в 4-вимірному просторі і називається дуопризмами, які отримуються, як добуток двох багатокутників. Правильні дуопризми подаються символом { p}×{ q}.

Скручена призма - це неопуклий призматичний багатогранник, отриманий з однорідної q-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут радіан ( градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутими[4].

Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається багатогранником Шенхардта.

Скручена призма топологічно ідентична антипризмі, але має половину симетрій: Dn, [ n,2]⁺, порядку 2 n. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників.

Трикутна

Чотирикутні

12-кутна

Багатогранник Шенхардта

Скручена квадратна антипризма

Квадратна антипризма

Скручена дванадцятикутна антипризма

Призми топологічно є частиною послідовності однорідних зрізаних багатогранників з конфігураціями вершин (3.2 n.2n) і [n,3].

Варіанти симетрії *n32 зрізаних мозаїк: 3.2n.2n

Симетрія
*n32
[n,3]

Сферична

Компактна гіперболічна

Параком-
пактна

Некомпактна гіперболічна

*232
[2,3]

*332
[3,3]

*432
[4,3]

*532
[5,3]

*632
[6,3]

*732
[7,3]

*832
[8,3]...

*∞32
[∞,3]

[12i,3]

[9i,3]

[6i,3]

Зрізані
фігури

Конфігурація

3.4.4

3.6.6

3.8.8

3.10.10

3.24 i.24i

3.18 i.18i

3.12 i.12i

Розділені
фігури

Конфігурація

V3.4.4

V3.6.6

V3.8.8

V3.10.10

V3.12.12[en]

V3.14.14[en]

V3.16.16

V3.∞.∞

Призми топологічно є частиною послідовності скошених багатогранників з вершинними фігурами (3.4.n.4) і мозаїк на гіперболічній площині. Ці вершиннотранзитивні фігури мають (*n32) дзеркальну симетрію.

Існує 4 однорідні з'єднання трикутних призм:

Існує 9 однорідних стільників, що включають комірки у вигляді трикутних призм:

зрізаний шестикутний призматичний стільник,

Трикутна призма є першим багатогранником в ряду напівправильних багатогранників. Кожен наступний однорідний багатогранник містить в якості вершинної фігури попередній багатогранник. Торольд Госсет ідентифікував цю серію в 1900 як таку, що містить всі фасети правильних багатовимірних багатогранників, всі симплекси і ортоплекси ( правильні трикутники і квадрати для випадку трикутних призм). У нотації Коксетера трикутна призма задається символом −1 ₂₁.

k₂₁[en] у просторі розмірністю n

Простір

Скінченний

Евклідів

Гіперболічний

En[en]

3

4

5

6

7

8

9

10

Група
Коксетера

E₃=A₂A₁

E₄=A₄

E₅=D₅

E₆

E₇[en] |

E₈

E₉ = Ẽ₈ = E₈⁺

E₁₀ = T₈ = E₈⁺⁺

Діаграма
Коксетера

[3 −1,2,1]

[3 0,2,1]

[3 1,2,1]

[3 2,2,1]

[3 3,2,1]

[3 4,2,1]

[3 5,2,1]

[3 6,2,1]

Порядок

12

120

192

51 840

2 903 040

696 729 600

∞

Граф

-

-

Позначення

−1₂₁

0₂₁

1₂₁

2₂₁[en]

3₂₁[en]

4₂₁[en]

5 ₂₁

6 ₂₁

Трикутна призма є коміркою у багатьох чотиривимірних однорідних 4-вимірних багатогранниках, включно з:

William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. - 1938.

Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. - New York : Infobase Publishing, 2003. - (Facts on file).

Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. - California : University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7.

Призма // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. - Львів, 2010. - С. 160. - ISBN 978-966-7407-83-4.

Weisstein, Eric W. Prism(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

George Olshevsky. "Prismatic polytope". Glossary for Hyperspace.

Nonconvex Prisms and Antiprisms

Surface Area MATHguide

Volume MATHguide

Paper models of prisms and antiprisms Розгортки призм і антипризм

Paper models of prisms and antiprisms Розгортки, створені системою .

Stella: Polyhedron Navigator: Програми для створення 3D- и 4D-зображень, наведених на цій сторінці.

Гордєєва Є. П. Ч. 1 // Нарисна геометрія. Багатогранники (правильні, неправильні та зірчасті) : навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл / Є. П. Гордєєва, В. Л. Величко. - Луцьк : ЛДТУ, 2007. - 191 с. - ISBN ISBN 978-966-7667-70-2.

Eric W. Weisstein, Prism at MathWorld.

# data[].attributes.attachment_link.title
Призма (математика)

# data[].attributes.attachment_link.description
При́зма ( дав.-гр. πρίσμα - "відпиляне"; від πρίζω - "пиляю") - стереометрична фігура, многогранник ( призматоїд), у якого дві грані - рівні n-кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта n граней - паралелограми. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два n-кутники називаються її основами.

# data[].attributes.headline
Многогранники

# data[].attributes.subject
Многогранники

# data[].attributes.attachment_link.title
Многокутники та многогранники. ЗНО з математики