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En conclusión, la función inyectiva es una herramienta matemática fundamental que se utiliza en muchos campos de la ciencia y la ingeniería. Esta propiedad garantiza que cada elemento del dominio se asigne a un único elemento en el rango, lo que tiene implicaciones importantes en la teoría de conjuntos, la topología, la geometría y el análisis. Además, la función inversa es una función que revierte la acción de otra función, y solo existe si la función original es inyectiva. Esta propiedad puede tener aplicaciones importantes en campos como la física, la ingeniería y la estadística.

La comprensión de las funciones inyectivas y sus propiedades puede ayudar a resolver problemas específicos en muchas áreas de la ciencia y la tecnología. Por lo tanto, es fundamental tener un conocimiento sólido de estas propiedades y su aplicación en diferentes campos.

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En esta sección hablaremos acerca de función Inyectivas; funciones inversas para darle una breve definición de lo que son estas funciones; básicamente, si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f ⁻¹ que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f ⁻¹ es la función completamente opuesta a la original inversa de f. Cuando estemos hablando de funciones, diremos que una función inyectiva es aquella que manda a elementos distintos en el dominio a elementos distintos en el contra dominio.  

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En esta sección hablaremos acerca de función Inyectivas; funciones inversas para darle una breve definición de lo que son estas funciones; básicamente, si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f ⁻¹ que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f ⁻¹ es la función completamente opuesta a la original inversa de f. Cuando estemos hablando de funciones, diremos que una función inyectiva es aquella que manda a elementos distintos en el dominio a elementos distintos en el contra dominio.  

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Una función es inyectiva si cualesquiera dos entradas diferentes del dominio corresponden a dos diferentes salidas del rango. Esto es, si x1 y x2 son dos entradas diferentes de una función f, entonces f es
inyectiva si f(x1) no es igual a f(x2).

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Para funciones definidas por una ecuación y=f(x) y para las cuales la gráfica de f se desconoce, existe una prueba sencilla llamada la prueba de la recta horizontal, para determinar si f es inyectiva.

Teorema de prueba de la recta horizontal: Si toda recta horizontal intersecta la gráfica de la función f en a lo mucho un punto, entonces f es inyectiva.

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Considera que f es una función inyectiva. Entonces para cada x en el dominio de f existe exactamente una y en el rango (porque f es una función); y para cada y en el rango de f existe exactamente una x en el dominio (porque f es inyectiva). La correspondencia del rango de f al dominio de f se llama la función inversa de f. Se usa el símbolo f ⁻¹ para denotar la función inversa de f.

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Estas son las condiciones para que dos funciones f y g sean inversas:
● f(g(x))=x para todo x en el dominio de g.
● g(f(x))=x para todo x en el dominio de f.
Esto es porque si f y g son inversas, componer f y g (en cualquier orden) crea una función que para cualquier valor de entrada regresa el mismo valor.

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Considera que (a, b) es un punto en la gráfica de una función inyectiva f definida por y=f(x). Entonces b=f(a). Esto quiere decir que a=f ⁻¹(b), entonces (b, a) es un punto de la gráfica de la función inversa f ⁻¹. El segmento de recta con puntos terminales (a, b) y (b, a) es perpendicular a la recta y=x y está bisecada por la recta y=x. Se puede concluir que el punto (b, a) en f ⁻¹ es el reflejo en la recta y=x del punto (a, b) en f.

Teorema: La gráfica de una función inyectiva f y la gráfica de su función inversa f ⁻¹ son simétricas con respecto a la recta y=x.

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6. Determinación de dominio y rango de una función inversa

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6. Determinación de dominio y rango de una función inversa

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El dominio (conjunto de valores de entrada) de la función original será el rango (conjunto de posibles valores de salida) de la función inversa. Asimismo, el dominio de la función inversa será el rango de la función original.