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Misura degli Angoli –

La trigonometria studia i metodi per determinare la misura degli elementi di un triangolo (lati e angoli) e trova applicazione in astronomia, meccanica, navigazione e topografia. È preceduta dalla goniometria, che si occupa della misura degli angoli e delle relative funzioni.

Sistema sessagesimale

L'unità di misura è il grado sessagesimale (°), pari alla 360ª parte dell'angolo giro.

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Misura in radianti

Per semplificare i calcoli, si utilizza il radiante, definito come l'angolo al centro che insiste su un arco di lunghezza uguale al raggio della circonferenza.

L'angolo giro misura 2π rad

L'angolo piatto misura π rad

L'angolo retto misura π/2 rad

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• una funzione è secante di a°, quando associa ad a° reciproco del valore di cos a°

Sec a°= 1/cos a°

• una funzione è cosecante di a° quando associa ad a° reciproco del valore di sin a°

Csc a°=1/sin a°

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Capitolo 12 - FUNZIONI GONIOMETRICHE - indice teorico

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Capitolo 12 - FUNZIONI GONIOMETRICHE - indice teorico

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Misura degli angoli

Funzione seno e coseno

Funzione tangente

Funzioni cosecante e secante

Funzione cotangente

Funzioni goniometriche di angoli particolari

Funzioni goniometriche inverse

Angoli associati

Funzioni goniometriche e trasformazioni geometriche

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Seno, Coseno e Tangente : funzioni goniometriche ;)

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Capitolo 13 - FORMULE GONIOMETRICHE - indice teorico

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Capitolo 13 - FORMULE GONIOMETRICHE - indice teorico

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Formule di addizione e sottrazione

Formule di duplicazione

Formule di bisezione

Formule parametriche

Formule di prostaferesi e di Werner

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Formule di Addizione, Sottrazione, Duplicazione & Co in goniometria ;)

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Consideriamo la circonferenza conio metrica è un angolo orientato a°, consideriamo il punto B della circonferenza associato ad a°. Definiamo coseno e seno il valore dell'ascissa è quello dell'ordinata del punto B.

Cos a°= xb

Sin a°= yb

sinusoide y=sin⁡(x): è una curva che oscilla tra -1 e 1, iniziando da a x=0x . ha un periodo di 2π.

cosinusoide y=cos⁡(x): anche questa curva oscilla tra -1 e 1. anch'essa ha un periodo di 2π e differisce dalla sinusoide di una fase di π/2​, cioè è spostata orizzontalmente rispetto alla sinusoide.

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Consideriamo un angolo a° e chiamiamo B l'intersezione fra il lato termine la circonferenza goniometriche di centro O .la tangente di a° è la funzione che ad a° associa il rapporto fra l'ordinata l'ascissa dal punto

Tan a°= sin a°/ cos a°

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Definiamo cotangente di a° la funzione che associa ad a° il rapporto, quando esiste, tra l'ascissa e l'ordinata del punto B

cot a°= cos a°/sin a°

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Funzioni Goniometriche

1. Seno:

sin(a) = cateto opposto / ipotenusa

2. Coseno:

cos(a) = cateto adiacente / ipotenusa

3. Tangente:

tan(a) = seno(a) / coseno(a)

4. Cotangente:

cot(a) = 1 / tan(a)

cot(a) = cos(a) / sin(a)

5. Secante:

sec(a) = 1 / cos(a)

6. Cosecante:

csc(a) = 1 / sin(a)

Altre formule di angoli particolari:

Per a° = π/6 (30°):

sin(π/6) = 1/2

cos(π/6) = √3/2

tan(π/6) = √3/3

cot(π/6) = √3

sec(π/6) = 2√3/3

csc(π/6) = 2

Per a° = π/4 (45°):

sin(π/4) = √2/2

cos(π/4) = √2/2

tan(π/4) = 1

cot(π/4) = 1

sec(π/4) = √2

csc(π/4) = √2

Per a° = π/3 (60°):

sin(π/3) = √3/2

cos(π/3) = 1/2

tan(π/3) = √3

cot(π/3) = √3/3

sec(π/3) = 2

csc(π/3) = 2√3/3

gli angoli associati sono angoli che, pur essendo diversi, hanno lo stesso valore per le funzioni goniometriche.

esempi:

Angolo complementare: Se a+b = π/2 (90°), le funzioni goniometriche sono associate come segue:

sin(π/2 - a) = cos(a)

cos(π/2 - a) = sin(a)

tan(π/2 - a) = cot(a)

cot(π/2 - a) = tan(a)

sec(π/2 - a) = csc(a)

csc(π/2 - a) = sec(a)

Angolo supplementare: Se a+b =π (180°), le funzioni goniometriche sono associate come segue:

sin(π - a) = sin(a)

cos(π - a) = -cos(a)

tan(π - a) = -tan(a)

cot(π - a) = -cot(a)

sec(π - a) = -sec(a)

csc(π - a) = csc(a)

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Formule goniometriche

Formule di duplicazione:

sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) oppure cos(2a) =( 2 cos²(a) - 1 ) oppure cos(2a) = ( 1 - 2 sin²(a) )

tan(2a) = (2 tan(a)) / (1 - tan²(a))

Formule di bisezione:

cos(a/2) = ± √(1 + cos(a)) / 2

sin(a/2) = ± √(1 - cos(a)) / 2

tan(a/2) = ± √(1 - cos(a)) / (1 + cos(a))

Formule di addizione:

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)

tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a) tan(b))

Formule di sottrazione:

sin(a - b) = sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b)

cos(a - b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a) tan(b))

Formule di Prostaferesi:

1. Somma di seni:
sin⁡(p)+sin⁡(q)=2sin⁡(p+q/2)cos⁡(p−q/2)

2. Differenza di seni:
sin⁡(p)−sin⁡(q)=2cos⁡(p+q/2)sin⁡(p−q/2)

3. Somma di coseni:
cos⁡(p)+cos⁡(q)=2cos⁡(p+q/2)cos⁡(p−q/2)

4. Differenza di coseni:
cos⁡(p)−cos⁡(q)=−2sin⁡(p+q/2)sin⁡(p−q/2)

Formule di Werner:

1. Prodotto di seno e coseno:
sin⁡(a)cos⁡(b)=1/2[sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)]

2. Prodotto di coseni:
cos⁡(a)cos⁡(b)=1/2[cos⁡(a+b)+cos⁡(a−b)]

3. Prodotto di seni:
sin⁡(a)sin⁡(b)=1/2[cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b)]