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Le coniche sono curve ottenute come sezioni di una superficie conica con un piano. Al variare dell'angolo α formato dal piano secante con l'asse del cono si ottiene un'iperbole, una parabola, un'ellisse o una circonferenza.

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Se il piano interseca la superficie conica passa per il vertice, al variare dell'angolo α si ottengono le coniche degeneri.
-iperbole degenere: coppia di rette incidenti nel vertice.
-parabola degenere: coppia di rette coincidenti passanti per il vertice.
-ellisse degenere: un punto, coincidente con il vertice.

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Per definizione la parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta data d detta direttrice

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-Si definisce circonferenza il luogo dei punti del piano equidistanti da un dato punto, detto centro della circonferenza. Più in generale una circonferenza è una conica non degenere.

L'equazione in forma implicita della circonferenza è la seguente:

(x-xC)² + (y-yC)² = r²

L’equazione in forma esplicita o in forma canonica:

x ²+y ²+ax+by+c=0                     a ²+b ²−4c>0
Coordinate del centro:
(-a/2 ; -b/2)
Coordinate del raggio:
r²= a²/4 + b²/4 - c

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Posizione di una retta rispetto ad una circonferenza

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Posizione di una retta rispetto ad una circonferenza

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Abbiamo tre casi distinti che dobbiamo analizzare.

Se il punto T è interno alla circonferenza, non ci sono rette tangenti.

Se T appartiene alla circonferenza possiamo utilizzare la formula di               sdoppiamento per determinare l’equazione dell’unica retta tangente     alla circonferenza passante per T:

r:  xx T+yy T+a x+x T/2​+b y+y T​/2+c=0

Se T è un punto esterno alla circonferenza, le rette tangenti alla circonferenza passanti per T sono sempre due. Per ottenere i coefficienti angolari di queste rette è sufficiente risolvere il sistema tra l’equazione della circonferenza e il fascio di rette passante per T, imponendo che l’equazione risolvente abbia Δ=0.

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L'asse è perpendicolare alla retta passante per i centri delle due circonferenze.

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Un fascio di circonferenze è un insieme di circonferenze i cui centri giacciono su una retta, o un insieme di circonferenze aventi il medesimo centro. Il fascio è ottenuto utilizzando due circonferenze le cui equazioni generano le equazioni dell'intero fascio, cioè dalle due generatrici è possibile ottenere le equazioni di tutte le altre circonferenze del fascio.

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Si definisce ellisse il luogo geometrico dei punti P per cui è costante la somma delle distanze da due punti F ₁ e F ₂, detti fuochi.

Indichiamo:
con 2c la distanza tra F1 e F2, detta distanza focale
2a la somma costante delle distanze dei punti dell'ellisse dai fuochi
a e c indicano due valori costanti e positivi

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x ²/a 2  + y ²/b ²=1                 con   a>b
c=a² - b2
ecc.= c/a

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x ²/a 2  + y ²/b ²=1        con b>a

c²= b² - a²

ecc:   c/b

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Il metodo generale è il seguente:

Mettere a sistema l’equazione dell’ellisse con l’equazione della generica retta passante per il punto

Trovare l’equazione risolvente

Imporre che l’equazione risolvente abbia una sola soluzione, ponendo Δ=0.

C’è anche un altro metodo, detto formula di sdoppiamento:
dato un punto P di coordinate (x 0​;y ₀​) appartenente a un ellisse di equazione x²/a2  + y²/b²=1 , la retta tangente all’ ellisse in P è data dall’equazione:
xx ₀/a​2  +  yy ₀/b 2​=1

Si noti la forma particolare dell’ellisse: essa ha centro nell’origine. Non è sempre così, infatti in generale si parla di ellissi traslata.

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Assegnati nel piano due punti, F ₁ e F ₂, si chiama iperbole il luogo geometrico dei punti P del piano che hanno costante la differenza delle distanze da F 1 e F ₂.

F¹ e F2 sono i fuochi dell'iperbole.
Il punto medio del segmento F₁F2 è il centro dell'iperbole.

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Equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse x

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Equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse x

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x ²/ a 2 - y ²/ b 2 = 1
in questo caso si pone c2 - a2 = b²
eccentricità=  c/a

# data[].attributes.headline
Equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse y 

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Equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse y 

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x ²/ a 2 - y ²/ b ² = -1
in questo caso si pone c² - b² = a2
eccentricità=  c/b
asintoti:   y=- b/a x    e    y= b/a x

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Come per i casi precedenti, per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti condotte da un punto P(x0;y₀) alla generica iperbole di equazione x²/ a2 - y²/ b2 = 1, si pone la condizione di tangenza Δ=0, nell'equazione risolvente del sistema formato dalle equazioni dell'iperbole e del fascio di rette passanti per P.

Formula di sdoppiamento:  xx ₀/a 2 - yy ₀/b ²=1     o    xx ₀/a ² - yy ₀/b ²=-1

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Iperbole equilatera riferita gli assi di simmetria

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Iperbole equilatera riferita gli assi di simmetria

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Se nell'equazione canonica a=b, l'iperbole si dice equilatera.
Se i fuochi sono sull'asse x, l'equazione dell'iperbole equilatera è:
x 2 - y 2 = a ²
Se i fuochi sono sull'asse y, l'equazione dell'iperbole equilatera è:
x 2 - y 2 = -a ²

# data[].attributes.body
In generale, si può dimostrare che, se si considera un'iperbole equilatera che ha gli asintoti paralleli agli assi cartesiani, allora tale curva ha un'equazione del tipo:           y= ax + b/ cx + d
Questa equazione è una particolare funzione, la funzione omografica.
Le equazioni degli asintoti sono x= -d/c   e    y= a/c
Le coordinate del centro di simmetria sono:  C(-d/c;  a/c)

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Ax ² + Bxy +Cy ² + Dx + Ey + F = 0
Con A,B,C,D,E,F ∈ R e A,B,C non contemporaneamente nulli.
Viceversa, se l'insieme delle soluzioni reali di un'equazione algebriche di secondo grado in due incognite non è vuoto, esso rappresenta, nel piano cartesiano, una conica che può essere anche degenere.

Limitandosi al caso B = 0, dall'equazione Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 si riconosce il tipo di conica che essa rappresenta utilizzando le seguenti  regole.

1.  Se A = 0 oppure C = 0, allora l'equazione rappresenta una parabola.

2. Se A = C ≠ 0, allora l'equazione rappresenta una circonferenza.

3. Se A ⋅ C ≠ 0 e A ≠ C, e:

A ⋅ C > 0: l'equazione rappresenta un'ellisse o un'ellisse degenere ( un punto).

A ⋅ C < 0: l'equazione rappresenta un'iperbole o un'iperbole degenere (coppia di rette).

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Se e = 0, la conica è una circonferenza;
Se 0 < e < 1 la conica è un'ellisse;
Se e = 1 la conica è una parabola;
Se e > 1 la conica è un'iperbole.

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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO IN DUE INCOGNITE

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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO IN DUE INCOGNITE

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Si presenta nella forma            f(x;y) = ax 2 + by ² + cx + dy + e ≥ 0
e ha come soluzioni una delle due regioni del piano definite dalla curva di equazione f (x;y) = 0.