# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Wielokąty, koła i okręgi

Ta część serwisu przeznaczona jest dla użytkowników zalogowanych w serwisie:

Konto Premium to nieograniczony dostęp do największej bazy wiedzy z matematyki. Rozwiązaliśmy dla Ciebie wszystkie zadania krok po kroku, wytłumaczyliśmy każde zagadnienie, przygotowaliśmy zestawy wzorów, testów i arkuszy egzaminacyjnych. Z nami matematyka nie jest trudna!

Wybierz dogodny abonament i korzystaj z MegaMatmy bez ograniczeń!

# data[].attributes.attachment_link.description
Wielokąty, koła i okręgi Ta część serwisu przeznaczona jest dla użytkowników zalogowanych w serwisie: Konto Premium to nieograniczony dostęp do największej bazy wiedzy z matematyki. Rozwiązaliśmy dla Ciebie wszystkie zadania krok po kroku, wytłumaczyliśmy każde zagadnienie, przygotowaliśmy zestawy wzorów, testów i arkuszy egzaminacyjnych. Z nami matematyka nie jest trudna!

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Animacja prezentuje trójkąt A B C, którego kąty A =80 stopni i B =51 stopni.. Kąty A, B, C tworzą kąt półpełny, więc kąt C ma miarę 49 stopni.

Animacja przedstawia trapez. Zmieniając położenie wierzchołków, można otrzymać trapez równoramienny, trapez nierównoramienny, trapez prostokątny nierównoramienny i trapez prostokątny równoramienny.

Pole równoległoboku ABCD jest równe , a długości jego boków są równe 6 dm i 12 d m.
Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie S.

1. Oblicz wysokości równoległoboku.

2. Oblicz pole trójkąta ABC.

3. Oblicz wysokość trójkąta ASB.

Rozwiązanie.

1. Równoległobok ma dwie wysokości. Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku. Korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku - zapisujemy odpowiednie równości, z których wyznaczamy wysokości h oraz H.

h⋅12=24 H⋅6=24 h=2 H=4Odpowiedź: Wysokości równoległoboku są równe 2 dm i 4 dm.

2. Przekątna dzieli równoległobok na dwa takie same trójkąty. Zatem pole trójkąta ABC jest równe połowie pola równoległoboku.

P=24 2 =12 dm 2 Odpowiedź: Pole trójkąta ABC jest równe 12 d m 2 .

3. Wysokość trójkąta ASB stanowi połowę długości wysokości h równoległoboku.

Odpowiedź: Wysokość trójkąta ASB jest równa 1 dm.

Zastanów się, które czworokąty mają oś symetrii. Sprawdź swoje przypuszczenia, zmieniając położenie wierzchołków czworokątów.
Zmieniaj położenie punktów A,B, H,E. Punkty C, D, G,F są obrazami tych punktów w symetrii osiowej.
Jakie czworokąty możemy uzyskać?

Animacja pokazuje czworokąty osiowosymetryczne. Osią symetrii czworokąta jest albo jego przekątna albo prosta przechodząca przez środki jego przeciwległych boków. Zmieniając położenie wierzchołków deltoidu A B C D możemy otrzymać kwadrat lub romb. Zmieniając położenie wierzchołków prostokąta E F G H możemy otrzymać kwadrat lub trapez.

W trapezie równoramiennym

Definicja: Trapez prostokątny

Trapez, w którym przynajmniej jeden kąt ma miarę 90°, nazywamy trapezem prostokątnym.

W trapezie prostokątnym ramię prostopadłe do podstawy jest zarazem wysokością.

Twierdzenie: Suma kątów leżących przy ramieniu trapezu

Suma miar kątów leżących przy jednym z ramion trapezu jest równa 180°.

Pole trapezu o podstawach a, b i wysokości h wyraża się wzorem.

Obwód trapezu równoramiennego jest równy 22 cm. Jedna podstawa ma długość 3 cm, a druga jest trzykrotnie dłuższa. Wysokość jest o 1 cm krótsza od długości ramienia. Oblicz pole trapezu.
Zaznaczamy na rysunku sytuację przedstawioną w zadaniu, oznaczając a - długość ramienia trapezu. Dłuższa podstawa jest równa

Znajdziemy najpierw długość ramienia trapezu. Obwód trapezu jest równy 22 cm, zatem

Ramię trapezu ma długość 5 cm.
Wysokość jest o 1 cm krótsza niż ramię, więc ma długość

Obliczamy pole trapezu, korzystając z odpowiedniego wzoru.

Odpowiedź: Pole trapezu jest równe .

Pole trapezu równoramiennego ABCD jest równe . Wysokość trapezu jest dwa razy dłuższa od krótszej podstawy i wynosi 8 cm. Oblicz długości odcinków, na jakie wysokość poprowadzona z wierzchołka D dzieli podstawę AB.

Obliczamy długość a krótszej podstawy

Obliczamy długość drugiej podstawy, korzystając ze wzoru na pole trapezu.

Druga podstawa ma długość 14 cm.
Zauważmy, że gdy poprowadzimy wysokości z wierzchołków C i D to podzielą one dłuższą podstawę na trzy części. Środkowa z nich jest równa krótszej podstawie, dwie pozostałe mają równe długości.
Oznaczmy: x - długość jednej z tych części.

Wysokość DE podzieliła dłuższą podstawę na odcinki AE i EB, z których jeden ma długość 5 cm, a drugi

Jeśli w równoległoboku wszystkie boki są równe, to równoległobok nazywamy rombem.

Jeśli kąty w równoległoboku są równe, to taki równoległobok jest prostokątem.

Aby równoległobok był prostokątem, wystarczy, aby jeden jego kąt był prosty.

Podział wielokątów na trójkąty jest przydatny przy określeniu sumy miar kątów dowolnego wielokąta.

1. Czworokąt podzielony na trójkąty.

Suma miar kątów czworokąta jest równa 2∙180°=360°.

2. Pięciokąt podzielony na trójkąty.

Każdy n-kąt wypukły można podzielić na n-2 trójkąty. Suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi 180°, a to oznacza, że suma miar kątów w n-kącie jest równa (n-2)∙180°.

Twierdzenie: Suma miar kątów

Niech n będzie liczbą naturalną większą od 2.
Suma miar kątów n - kąta jest równa n-2 ⋅180°.

Wyznaczymy miarę kąta sześciokąta foremnego.

Suma miar wszystkich kątów sześciokąta wynosi

W sześciokącie foremnym kąty są równe. Jest ich sześć, zatem miara jednego z nich jest równa

Odpowiedź. Miara kąta sześciokąta foremnego jest równa 120°.

W pewnym wielokącie suma miar kątów jest równa 1440°. Ile boków ma ten wielokąt?
Oznaczmy: x - liczba boków wielokąta ( x - liczba naturalna dodatnia).
Otrzymujemy równanie

Równanie rozwiązujemy metodą działań odwrotnych.

Odpowiedź: Wielokąt, którego suma miar kątów jest równa 144 0° to dziesięciokąt.

Własności deltoidu:

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał składa się z sekcji: "Wielokąt", "Przekątne wielokąta", "Suma kątów wielokąta", "Trapezy", "Równoległoboki", "Czworokąty osiowosymetryczne". Materiał zawiera 40 ilustracji (fotografii, obrazów, rysunków), 4 filmy, 49 ćwiczeń, w tym 14 interaktywnych. Filmy - suma katów trójkąta, przykłady wielokątów, suma kątów wielokąta, rodzaje trapezów, wysokość równoległoboku, czworokąty osiowosymetrczne.