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En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, es decir, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos.

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La recta es una línea que se extiende en una misma dirección por lo tanto tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección.

Determinación de una recta

Por un punto pueden pasar infinitas de rectas aunque por dos puntos solo pueda pasar una sola recta.

Dado que por dos puntos solo pued epasar una recta, podemos decir que una recta queda determinada por dos puntos

Si treso más puntos pertenecen a una misma recta, se decide que están alineados.

Posición de rectas en un plano

Dos rectas en un mismo plano pueden tener diferentes posiciones entre sí:

Rectas secantes: Tienen un único punto en común.

Rectas paralelas: No tienen ningún punto en común, aunque las prolongues.

Rectas coincidentes: Tienen todos los puntos en común.

Tipos de rectas

Cada una de las dos partes punto A divide a la recta se llama semirrecta. El punto A es el origen de las dos semirrectas.

La parte de la recta comprendida entre los puntos A y B se llama segmento y lo simbolizaremos por AB.

Los puntos A y B son los extremos del segmentos.

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Conceptos de un Ángulo

El ángulo como región de barrida en un giro: Si haces girar un lápiz sobre una mesa manteniendo fijo uno de sus extremos, la región del plano que barre el lápiz en su giro también es un ángulo.

El ángulo es la regióndel plano barrida al girar una semirrecta o semirrecta generatriz respecto de su origen, desde una posición inicial hasta una posición inicial.

El ángulo como región del plano: Imagina que desde el punto en que te encuentras parte dos caminos. La región comprendida entre ambos caminos se denomina ángulo.

El ángulo es la región es la región del plano limitada por dos semirectas que tienen el mismo origen.

Expresar ángulos en forma compleja y forma incompleja

Sabemos que, al efectuar cualquier medida, podemos expresar el resultado en forma conpleja o en forma compleja. Esto tambien ocurre con la medida de ángulo. Así, podemos decir que la medida de un angulo es 15° 32’ 48” o que es 55968”.

Para expresar 5968” en forma compleja transformamos los segundos en grados, minutos y segundos.

-Dividimos los segundos entre 60 para pasar a minutos (el resto obtenido lo apuntamos en el resultado como segundo).

-Dividimos lo minutos entre 60 para pasar a grados. (El resto obtenido lo apuntamos en el resultado como minuto y el cociente como el resultado de grado).

Para pasar 15° 32’ 48” en forma incompleja, tranformamos los grados, los minutos y los segundos a segundos

-transformamos los grados y los minutos a la unidad que se pide, es decir segundos

15° x (3600”:1°)=54000”

32’ x (60”:1’)=1920”

-A continuacion sumamos los resultados:

54000”+1920”+48”=55968”

Operaciones con ángulos

Sumas:

-Colocamos las medidas de los ángulos una debajo de la otra de manera que en cada columna coincidan las unidades

-Sumamos por separado los grados, los minutos y los segundos

-Si el numero de minutos o de segundos resultantes es mayor o igual que 60, lo transformamos en la unidad de orden inmediatamente superior.

Resta:

-Colocamos de la misma manera que la suma las medidas de los angulos y comenzamos a restar por las unidades de orden inferior.

-Si el numero de segundo o minutos en el minuendo es menor que el sustraendo, transformamos una unidad de orden inmediatamente superior del minuendo en su equivalente de orden inferior.

Multiplicación:

-Multiplicamos por el numero natural los grados, los minutos y los segundos.

-Si el numero de minutos o el numero de segundos del resultado es mayor o igual que 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.

Division:

-Dividimos los grados por el numero natural, transformamos el resto a minutos y los sumamos a los que ya teniamos.

-Dividimos los minutos, transformamos el resto a segundo y los sumamos a los que ya teniamos.

-Dividimos los segundos.

Clasificacion de angulos:

-Segun la region del plano que abarca:

Ángulo Convexo:

El ángulo Â es convexo porque abarca una de las 4 regiones del plano que se determina al prolongar sus lados.

Ángulo Cóncavo:

-El ángulo B es cóncavo porque abarca tres de estas 4 regiones.

Según su amplitud o medida:

Ángulo agudo:

-Su amplitud es menor que la de un Ángulo recto.

-Mide menos de 90º

Ángulo recto:

-Sus lados son perpendiculares

-Mide 90º

Ángulo obtuso:

-Su amplitud es mayor que la de un ángulo recto.

-Mide más de 90º

Ángulo Nulo:

-Su amplitud es nula

-Mide 0º

Ángulo Llano:

-Su amplitud equivale a dos ángulos rectos.

-Mide 180º

Ángulo Completo:

-Su amplitud equivale a 4 ángulos rectos

-Mide 360º

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Polígono es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.

Clasificación de polígonos

Según el número de lados:

3 lados: Triángulo

4 lados: Cuadrilátero

5 lados: Pentágono

10 lados: Decágono

12 lados: Dodecágono

20 lados: Icoságono

Según sus ángulos:

Un polígono es convexo si tiene todos sus ángulos convexos.

Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos es cóncavo.

Según longitud relativa de sus lados y la amplitud relativa de sus ángulos:

Un polígono es equilátero si tiene todos sus lados iguales

Un polígono es equiángulo si tiene todos sus ángulos iguales.

Un polígono es regular si tiene todos sus lados y ángulos iguales.

Un polígono es irregular si no tiene todos sus lados iguales o no tiene todos sus ángulos iguales, es decir, si no es regular.

Propiedades:

Suma de los ángulos:

El número de triángulos en que se puede descomponer un polígono es n-2, siendo n el número de lados.

-La suma de los ángulos de un polígono de n lados es igual a 180° por (n-2).

Número de Diagonales:

El número de diagonales de un polígono de un vértices es:

Polígonos regulares:

Propiedades

-Los polígonos regulares tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales.

-Estos polígonos tienen unos elementos característicos y exclusivos:

El centro: Punto interior del polígono que está a la misma distancia de todos sus vértices.

Apotema: segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cualquier lado

Ángulo central: Ángulo con vértice en el centro del polígono cuyos lados son semirrectas  que  pasan por dos vértices adyacentes.

Descomposición

Descomponemos el polígono irregular en triángulos.

Medimos con una regla las bases y las alturas de los tres triángulos, y calculamos sus áreas

... o también

Descomponemos la figura en el menor número posible de polígonos cuyas áreas sepamos calcular y medimos con la regla las longitudes necesarias.

Obtenemos las áreas de las figuras.

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Propiedades

-Los polígonos regulares tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales.

-Estos polígonos tienen unos elementos característicos y exclusivos:

El centro: Punto interior del polígono que está a la misma distancia de todos sus vértices.

Apotema: segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cualquier lado

Ángulo central: Ángulo con vértice en el centro del polígono cuyos lados son semirrectas  que  pasan por dos vértices adyacentes.

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Clasificación:

Según sus lados:

Equilátero ( Tres lados iguales)

Isósceles (2 lados iguales y 1 desigual)

Escaleno (  3 lados desiguales)

Según sus ángulos:

Acutángulo (3 ángulos agudos)

Rectángulo ( 1 ángulo recto)

Obtusángulo ( 1 lado obtuso)

Puntos notables del triángulo

Las mediatices y las bisectrices de un triángulo junto con las medianas y las alturas, que definiremos a continuación, constituyen las denominadas rectas notables de un triángulo, y sus intersecciones se denominan puntos notables.

Mediatrices: Las mediatrices de un triángulo son as mediatrices a sus lados. El punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo es el circuncentro, O. Está situado a la misma distancia de cada vértice, por lo que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices: Las bisectrices de un triángulo son as bisectrices de sus ángulos.El punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo es el incentro, I. Está situado a la misma distancia de cada lado del triángulo, por lo que es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo.

Alturas: Las alturas de un triángulo son los segmentos perpendiculares a un lado y que pasan por el vértice opuesto. El punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo es el ortocentro, H.

Medianas: Las medianas de un triángulo son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. El punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo es el baricentro, G. El baricentro divide cada mediana en dos segmentos, uno con la longitud doble a la del otro.

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Clasificación:

Paralelogramos:

Rectángulo (4 ángulos rectos)

Rombo (4 lados iguales)

Romboide (Lados y ángulos iguales dos a dos)

Cuadrado (4 ángulos rectos y 4 lados iguales)

Trapecios:

Trapecio rectángulo (Un lado no paralelo perpendicular a los lados paralelos)

Trapecio isósceles (Lados no paralelos iguales)

Trapecio escaleno (Lados no paralelos desiguales y no perpendiculares a los paralelos.

Trapezoides

Ningún par de lados paralelos.

Propiedades:

Un cuadrilátero tiene dos diagonales

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es de 360°.

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¿Que es una circunferencia?
Una circunferencia es una línea curva, cerrada y plana tal que todos sus puntos equidistan de un punto dado llamado centro.

Elementos:

-Centro(O)

Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

-Radio(r)

Segmento que une al centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

-Cuerda(AB)

Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

-Diámetro(d)

Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Su longitud es el doble del radio: d = 2 por r.

-Arco(AB)

Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de esta.

Posición de un punto en una circunferencia

Veamos las distintas posiciones de un punto que está situado a un centro O de una circunferencia de radio r

Punto interior ( d<r)

Punto perteneciente ( d=r)

Punto exterior ( d> r)

Posición de una recta en una circunferencia

Condiremos las distintas posiciones de una recta que está situada a una distancia d del centro O de una circunferencia de radio r.

Recta secante (Recta que tiene solamente dos puntos en común con la circunferencia)

Recta tangente ( Recta que tiene un único punto en común en la circunferencia

Recta exterior ( Recta que no tiene ningún punto en común con la circunferencia)

Posición de circunferencias

Circunferencias sin puntos comunes:

Exteriores: Todos los puntos de cada una de las dos circunferencia se son exteriores a la otrasconcétricas

Interiores: Todos los puntos d duna de las dos circunferencias son interiores a la otra circunferencia. Un caso particular son las circunferencias concéntricas, que son las que tienen el mismo centro.

Circunferencias con algún punto en común:

Secantes: Tienen únicamente dos puntos en común.

Tangentes: Tienen un único punto en común.

Longitud de una circunferencia y de los arcos

La longitud de una circunferencia se calcula multiplicando su diámetro por pi. Puesto que d=2 por

¿Como calcularlo?

A un ángulo completo, 360°, le corresponde un arco cuya longitud es la de la circunferencia.

A un ángulo de 1° le corresponderá un arco cuya longitud será la longitud de la circunferencia dividida por 360

A un ángulo central de n grados le corresponderá un arco cuya longitud, será la longitud del arco correspondiente a 1° multiplicada por n.

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¿que es el círculo?
Círculo es la región del plano limitada por una circunferencia.

Área del círculo

El área del círculo se calcula multiplicando pi por el radio al cuadrado.

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Descomposición

Descomponemos el polígono irregular en triángulos.

Medimos con una regla las bases y las alturas de los tres triángulos, y calculamos sus áreas

... o también

Descomponemos la figura en el menor número posible de polígonos cuyas áreas sepamos calcular y medimos con la regla las longitudes necesarias.

Obtenemos las áreas de las figuras.