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EM6 PIANO di AMMORTAMENTO di excel funzioni INTERESSI e RATA

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Sistemi Lineari : Metodo di Sostituzione e Metodo di Riduzione

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Il metodo di Cramer per sistemi lineari è un procedimento per la risoluzione dei sistemi di equazioni lineari, e prevede di determinare le soluzioni dei sistemi lineari quadrati* (con tante equazioni quante incognite) mediante il calcolo del determinante associato.

Come ultimo metodo per risolvere i sistemi lineari introduciamo il metodo di Cramer: si tratta di una procedura apparentemente complicata con cui è possibile studiare la compatibilità dei sistemi lineari con tante equazioni quante incognite. Poiché questa lezione è pensata per studenti delle scuole superiori, ci concentreremo esclusivamente sui sistemi di due equazioni in due incognite e di tre equazioni in tre incognite; invitiamo comunque gli universitari a leggere in ottica di ripasso, e di procedere successivamente lo studio nella sezione di Algebra Lineare.

Per dovere di completezza, a fine lezione proporremo alcuni approfondimenti rivolti ai soli studenti universitari in cui spieghiamo *come usare il metodo di Cramer per sistemi lineari rettangolari (numero di equazioni diverso dal numero di incognite).

Metodo di Cramer per i sistemi lineari (quadrati)

Per introdurre il metodo di Cramer ci servirebbero alcune definizioni preliminari, tra cui quella di matrice (completa - incompleta) associata a un sistema lineare e di determinante di una matrice. Tali nozioni richiedono però molto lavoro teorico e, in termini didattici, è opportuno definirle in maniera rigorosa solamente nei corsi universitari.

D'altra parte il metodo di Cramer fornisce una procedura di risoluzione dei sistemi lineari estremamente comoda, così comoda che sarebbe un peccato non poterla apprendere e utilizzare già alle scuole superiori. Per questo motivo si adotta un semplice compromesso didattico: alle superiori ci si limita a considerare sistemi lineari 2x2 e 3x3.

Così facendo possiamo limitarci a dare definizioni specifiche per le matrici associate a un sistema lineare e specifiche formule di calcolo per il determinante di matrici 2x2 e 3x3, il che ci consentirà di aggirare l'intero impianto teorico e di fornire un metodo pronto all'uso per la risoluzione dei sistemi 2x2 e 3x3.

Metodo di Cramer per sistemi lineari di 2 equazioni in 2 incognite

Vediamo come applicare il metodo di Cramer per un sistema lineare di due equazioni in due incognite:

Scriviamo i coefficienti delle incognite in una sorta di tabella, che chiameremo matrice dei coefficienti (o matrice incompleta)

Consideriamo la quantità definita dalla seguente formula: la chiameremo determinante della matrice 2x2

Per ricordare la formula di calcolo del determinante di una matrice 2x2 è sufficiente tenere a mente il seguente schemino:

A questo punto abbiamo due possibilità:

- se il determinante è uguale a zero, dobbiamo fermarci. Il metodo di Cramer non si può applicare e il sistema sarà indeterminato o impossibile. Per scoprirlo procederemo con uno degli altri 3 metodi (sostituzione, riduzione o confronto).

- Se il determinante è diverso da zero, allora il sistema è determinato e possiamo proseguire con la regola di Cramer :

Calcoliamo la seguente quantità, che chiameremo determinante dell'incognita x

ottenuto da sostituendo i coefficienti della con i termini noti delle equazioni del sistema.

Allo stesso modo calcoleremo il determinante dell'incognita y:

ottenuto da sostituendo i coefficienti della con i termini noti delle equazioni del sistema.

Fatto ciò, il metodo di Cramer individua le soluzioni del sistema 2x2 mediante le seguenti formule

Esempio (metodo di Cramer su un sistema lineare 2x2)

Iniziamo dal calcolo del determinante della matrice dei coefficienti

Essendo il sistema è determinato, ammette cioè un'unica soluzione che possiamo calcolare applicando il metodo di Cramer.

Calcoliamo il determinante dell'incognita x sostituendo i termini noti al posto dei suoi coefficienti nella matrice incompleta:

Allo stesso modo calcoliamo il determinante dell'incognita y, sostituendo i termini noti nella matrice incompleta al posto dei suoi coefficienti:

Non ci resta che calcolare la soluzione con le formule di Cramer:

e in definitiva la soluzione è .

Metodo di Cramer per sistemi di 3 equazioni in 3 incognite

La regola di Cramer per i sistemi di tre equazioni in tre incognite segue la medesima logica del caso 2x2 ma è leggermente più impegnativa, per ovvi motivi: ci sono più calcoli da fare. ;)

Consideriamo un sistema lineare 3x3 in forma normale

Per prima cosa scriviamo la matrice dei coefficienti associata al sistema:

Per calcolarne il determinante possiamo ricorrere alla regola di Sarrus, che al livello di studi delle scuole superiori può essere considerata come una vera e propria definizione

La formula non è semplicissima a prima vista, ma c'è un semplice trucco che permette di ricavarla in un attimo. Scriviamo la matrice senza le parentesi quadre e ricopiamola alla sua destra. Il determinante della matrice 3x3 è dato dalla somma dei prodotti degli elementi collegati dalle frecce rosse meno la somma dei prodotti degli elementi collegati dalle frecce blu, come mostrato in figura:

Dopo aver calcolato il determinante abbiamo due possibilità:

- se il determinante è uguale a zero, ci fermiamo. Il metodo di Cramer non è applicabile e il sistema è impossibile o indeterminato. Useremo quindi uno degli altri 3 metodi per i sistemi lineari (sostituzione, riduzione o confronto).

- Se il determinante è diverso da zero, il sistema è determinato e possiamo usare la regola di Cramer

In quest'ultima eventualità passeremo a calcolare i determinanti delle incognite x, y, z con logica del tutto analoga rispetto al caso 2x2.

Calcoliamo il determinante dell'incognita che si ottiene da sostituendo al posto dei coefficienti dell'incognita i termini noti :

Passiamo al determinante dell'incognita , ottenuto da sostituendo al posto dei coefficienti dell'incognita i termini noti :

Infine, calcoliamo il determinante dell'incognita partendo da e sostituendo i coefficienti dell'incognita con i termini noti :

Fatto ciò, l'unica soluzione del sistema lineare è individuata dalle formule:

Esempio (metodo di Cramer su un sistema lineare 3x3)

Calcoliamo dapprima il determinante associato al sistema lineare:

Usiamo la regola di Sarrus aiutandoci con lo schema grafico:

Essendo il sistema sarà determinato. Per trovare la soluzione con la regola di Cramer calcoliamo il valore dei determinanti associati alle tre incognite .

Ottenuto sostituendo nella matrice di partenza la colonna dei coefficienti dell'incognita x con i termini noti (in arancione). Allo stesso modo:

La soluzione del sistema è quindi:

ossia .

Suggerimenti per usare al meglio il metodo di Cramer

A differenza degli altri tre metodi, la regola di Cramer è piuttosto meccanica e non presenta passaggi particolarmente delicati. Nei sistemi 2x2 è un metodo certamente conveniente anche alla luce del fatto che il calcolo dei determinanti è semplice; nei sistemi 3x3 le formule si complicano e conducono a calcoli di per sé non complicati, ma che aumentano vertiginosamente le probabilità di commettere errori di distrazione o di segno.

Da usare con prudenza.

Pro e contro del metodo di Cramer

PRO) Metodo teoricamente semplice e meccanico, delinea una strada ben precisa su cui è impossibile perdersi e che non richiede alcun particolare ragionamento. Permette inoltre di stabilire preventivamente se il sistema lineare è determinato oppure indeterminato/impossibile.

CONTRO) Espone al rischio di commettere errori di segno o di distrazione nel caso 3x3.

Altri metodi di risoluzione dei sistemi lineari

1) Metodo di sostituzione ✓

2) Metodo del confronto ✓

3) Metodo di riduzione ✓

4) Metodo di Cramer ✓

Approfondimento per universitari: metodo di Cramer per sistemi rettangolari

Chiudiamo questa intensa lezione con una parentesi dedicata agli studenti universitari. Innanzitutto vi invitiamo a prendere visione della lezione sul calcolo del determinante, dove spieghiamo come calcolare il determinante di una matrice quadrata di qualsiasi ordine.

Un'altra lettura interessante: quella sul teorema di Rouché Capelli, utile sia dal punto di vista teorico che nella risoluzione degli esercizi sui sistemi lineari parametrici.

Infine, visto che il metodo di Cramer viene utilizzato solamente nella risoluzione dei sistemi quadrati ( n equazioni in n incognite), è bene sapere che esso è applicabile anche ai sistemi rettangolari di m equazioni in n incognite. Un esempio: metodo di Cramer su un sistema rettangolare.

È tutto. Vi aspettiamo nella lezione successiva, in cui vi presenteremo le equazioni di secondo grado a un'incognita. In caso di dubbi, o se siete in cerca di esercizi svolti, vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna per reperire tutto quello che vi serve qui su YM; per il resto potete fare affidamento al tool per risolvere i sistemi di equazioni online, in modo da verificare i risultati dei vostri esercizi. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

Tags: metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari - Cramer nei sistemi lineari - determinante con la regola di Sarrus.

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Il metodo di Cramer per sistemi lineari è un procedimento per la risoluzione dei sistemi di equazioni lineari, e prevede di determinare le soluzioni dei sistemi lineari quadrati* (con tante equazioni quante incognite) mediante il calcolo del determinante associato.

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Le equazioni di secondo grado ad un'incognita, dette anche equazioni di grado 2 o equazioni quadratiche, sono equazioni in cui l'incognita compare con esponente di grado 2 ed eventualmente con esponenti di grado inferiore.

Dopo aver affrontato le equazioni di primo grado passiamo in modo del tutto naturale alla successiva tipologia di equazioni intere, ossia definite mediante polinomi. In questa lezione ci occupiamo delle equazioni di secondo grado, dandone la definizione e studiando tutti i principali metodi di risoluzione.

Come vedremo nel seguito, disponendo della forma normale è possibile ricorrere a una formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, nota anche come formula del delta (o formula del discriminante). Essa è utilizzabile in ogni caso, ciononostante vedremo come sia possibile introdurre una classificazione che ci permetterà di ricorrere a metodi risolutivi più immediati in alcuni casi particolari.

Nota: chi fosse interessato alle disequazioni di secondo grado può leggere la lezione dell'omonimo link. ;)

Come sono fatte le equazioni di secondo grado?

Possiamo dare una semplice e intuitiva definizione per le equazioni di secondo grado: diciamo che un'equazione ha grado 2 se uno dei due membri è un polinomio di grado 2 e l'altro membro è un polinomio di grado al più 2.

In modo analogo, possiamo dire che un'equazione di secondo grado è un'equazione polinomiale in cui l'incognita compare almeno una volta con esponente di grado 2 e tale che l'incognita compaia con grado massimo pari a 2. Sono esempi di equazioni di secondo grado:

In base a ciò che abbiamo imparato nello studio delle equazioni di primo grado, sappiamo che un'equazione può assumere diverse forme equivalenti tra loro. Piuttosto che perdersi nelle molteplici forme che un'equazione di secondo grado può assumere, è molto più utile definire la forma normale delle equazioni di secondo grado:

dove:

è detto coefficiente del termine di grado 2;

è detto coefficiente del termine di grado 1;

è detto coefficiente del termine di grado 0, o termine noto;

La forma normale individua un'equazione di secondo grado a patto che risulti

in caso contrario avremmo a che fare con un'equazione di primo grado se , o con un' equazione senza incognita se .

Lo studio delle equazioni di secondo grado ha lo scopo di riuscire a risolvere qualsiasi equazione di secondo grado in forma normale o, eventualmente, qualsiasi equazione che sia stata ricondotta alla precedente forma normale. Con questo intendiamo che potrebbe capitarci un'equazione come

che all'apparenza sembrerebbe di terzo grado, ma che si riconduce facilmente a un'equazione di grado 2

Numero di soluzioni di un'equazione di secondo grado in forma normale

Vi ricordate lo schema per le equazioni di primo grado? In quel contesto abbiamo trattato tutti i possibili casi sul numero delle soluzioni, ivi compresi quelli che scaturivano dalle possibili riduzioni a equazioni senza incognite: equazioni impossibili ed equazioni indeterminate.

Qui usiamo un approccio un po' più formale: tralasciamo i possibili casi di riduzione a gradi inferiori, dovuti a eventuali cancellazioni dei termini contenenti l'incognita, e ci limitiamo ad analizzare il numero di soluzioni delle equazioni di secondo grado in forma normale.

Consideriamo quindi la forma normale delle equazioni di secondo grado

Ci domandiamo quante possono essere le soluzioni dell'equazione considerando come insieme di esistenza delle soluzioni l'insieme dei numeri reali . In altri termini, e le possibili soluzioni sono da ricercarsi in .

1) Due soluzioni. L'equazione di secondo grado è determinata e ammette due soluzioni reali.

2) Una soluzione. L'equazione di secondo grado è determinata e ammette una soluzione reale. Più precisamente si dice che l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti, o anche che ammette una soluzione reale con molteplicità algebrica 2.

3) Nessuna soluzione. L'equazione di secondo grado è impossibile e non ammette alcuna soluzione reale.

Metodi di risoluzione e classificazione delle equazioni di secondo grado

Come vi abbiamo anticipato, esistono sostanzialmente un metodo generale che permette di risolvere qualsiasi equazione di secondo grado e una serie di metodi più immediati, applicabili però solamente in alcuni casi particolari. Vediamo quindi una panoramica completa sulla classificazione delle equazioni di secondo grado proponendo di volta in volta i metodi risolutivi ed esempi svolti per ciascun caso.

Il punto di partenza è sempre la forma normale delle equazioni di secondo grado:

Equazioni di secondo grado complete e formula del delta

Diciamo equazione di secondo grado completa un'equazione di secondo grado in forma normale in cui tutti i coefficienti sono diversi da zero

Il principale metodo per risolvere le equazioni di grado 2 complete, detto formula risolutiva delle equazioni di secondo grado o formula del delta, è piuttosto semplice. Esso prevede di considerare una quantità che è caratteristica delle equazioni di secondo grado, il cosiddetto discriminante

che viene detto anche delta dell'equazione e che viene indicato con la lettera greca maiuscola .

Il discriminante ci permette di scrivere la formula risolutiva:

o, esplicitamente

Il simbolo ± va letto come più o meno ed è una scrittura sintetica per indicare che bisogna considerare due possibilità ugualmente valide: la prima si ottiene usando il segno + in luogo di ±, la seconda sostituendo ± con il segno -.

La formula risolutiva per le equazioni di secondo grado complete ha due aspetti estremamente interessanti:

A) può essere utilizzata sempre e comunque, anche per le equazioni di secondo grado non complete;

B) ci permette di capire qual è il numero delle soluzioni ancor prima di applicarla. Guardiamo con attenzione il secondo termine del numeratore:

Se analizziamo il segno del delta (positivo, negativo o nullo) possiamo capire velocemente che:

Delta positivo → Equazione di secondo grado determinata con due soluzioni reali distinte

Delta nullo → Equazione di secondo grado determinata con due soluzioni reali coincidenti

3) Se il discriminante è negativo allora la formula risolutiva perde di significato e l'equazione non ammette soluzioni reali, perché non è possibile estrarre la radice quadrata di un numero negativo nell'insieme dei numeri reali.

Delta negativo → Equazione di secondo grado impossibile, nessuna soluzione reale

Nelle lezioni successive spiegheremo nel dettaglio come ricavare la formula del discriminante e perché il segno del delta individua il numero di soluzioni nelle equazioni di secondo grado; vedremo inoltre che in alcuni casi è possibile semplificare la formula del delta usando una versione detta ridotta e una ridottissima ( delta quarti).

Esempi di equazioni di secondo grado complete

Calcoliamo il delta:

Poiché il discriminante è positivo ci aspettiamo due soluzioni reali e distinte per l'equazione

In conclusione le soluzioni sono .

Partiamo dal discriminante:

Avremo quindi due soluzioni reali e coincidenti:

e l'unica soluzione reale (con molteplicità algebrica 2) è .

Calcoliamo il delta dell'equazione

Poiché il delta è negativo, l'equazione è impossibile nell'insieme dei numeri reali.

Equazioni di secondo grado monomie

Il metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado monomie è immediato e non richiede calcoli: esse infatti ammettono sempre due soluzioni reali e coincidenti, entrambe nulle, quale che sia il valore di :

Se non ci fidiamo, nulla ci vieta di applicare la formula risolutiva per le equazioni complete:

Esempio di equazione di secondo grado monomia

L'unica soluzione reale ha molteplicità algebrica 2 ed è ovviamente .

Per approfondire: equazioni monomie.

Equazioni di secondo grado pure

Risolvere un'equazione in questa forma è semplice, infatti possiamo procedere al calcolo diretto delle eventuali soluzioni.

e sono date due possibilità:

- se sono concordi, allora è negativo e l'equazione non ammette soluzioni reali (impossibile);

- se sono discordi, allora è positivo e l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte (determinata), date da

A voi il compito di verificare che, applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado complete nel caso delle monomie, otteniamo esattamente le soluzioni appena scritte.

come richiesto dall'equazione monomia di secondo grado. Occhio a non trascurare questo piccolo, subdolo dettaglio, e a non fare confusione: un conto è estrarre la radice quadrata di un numero, intesa come operazione

un altro conto è risolvere un'equazione: in questo caso cerchiamo tutti i possibili valori che, sostituiti a , rendono vera l'uguaglianza!

Esempi di equazioni pure

Applicando il procedimento, otteniamo

Il secondo membro è positivo, quindi l'equazione ammette due soluzioni distinte date da .

Si ha

dove è negativo, dunque l'equazione non ammette soluzioni reali.

Nel caso vogliate consultare altri esempi svolti, vi rimandiamo al nostro approfondimento sulle equazioni pure.

Equazioni di secondo grado spurie

Anche in questo caso la risoluzione è immediata e ci permette di evitare la formula del discriminante. Possiamo infatti ricavare le soluzioni applicando la legge di annullamento del prodotto, secondo cui il prodotto di due fattori è zero se almeno uno dei due fattori è nullo.

Non dobbiamo fare altro che effettuare un raccoglimento a fattore comune

e applicare la legge di annullamento al prodotto su , ossia porre separatamente ognuno dei due fattori uguale a zero:

Otteniamo così due soluzioni distinte: .

Esempio di equazione di secondo grado spuria

Applicando il procedimento per le equazioni spurie, otteniamo

da cui le soluzioni

Per approfondire con ulteriori esempi svolti: equazione spuria.

Metodo alternativo - Risolvere le equazioni di secondo grado per scomposizione

Esiste un metodo alternativo all'utilizzo della formula del delta per le equazioni di secondo grado, che può essere utilizzato sia per le equazioni complete che per quelle non complete, ma che ha una limitazione pratica.

Consideriamo la forma normale delle equazioni di secondo grado

Se è possibile scomporre il polinomio di secondo grado come prodotto di due binomi di grado 1, e se siamo in grado di farlo con le tecniche di scomposizione che discendono dai prodotti notevoli, allora possiamo scomporre il polinomio nella seguente forma

A questo punto riscriviamo l'equazione nella forma equivalente

e applichiamo la legge di annullamento del prodotto per calcolare le soluzioni

Questo metodo potrà essere utilizzato ovviamente solo per le equazioni di secondo grado determinate, dunque con due soluzioni reali distinte o con due soluzioni reali coincidenti .

Per ottenere la scomposizione del polinomio di grado 2 possiamo usare qualsiasi tecnica atta allo scopo, e principalmente: differenza di quadrati, trinomio notevole con somma e prodotto, quadrato di binomio...

Questo metodo è utile per diversi motivi.

A) Talvolta ci capiterà di riconoscere al volo che il trinomio può essere scomposto facilmente, e quindi potremo risparmiarci i calcoli della formula del discriminante.

B) Permette di capire, dal punto di vista teorico, perché nelle equazioni di secondo grado con delta uguale a zero si parla di due soluzioni reali e coincidenti, o anche di una soluzione reale con molteplicità algebrica 2. Se consideriamo ad esempio l'equazione di secondo grado

vediamo subito che il primo membro è il quadrato di un binomio

che possiamo scrivere per esteso, nella forma

In questo senso è una duplice soluzione dell'equazione: è un singolo valore numerico che risolve l'equazione in due modi, annullando il primo fattore e annullando anche il secondo.

C) Il metodo può essere utilizzato al contrario per scomporre polinomi in cui i prodotti notevoli non ci sono d'aiuto. Se infatti immaginiamo di avere un polinomio di secondo grado

e di volerlo scomporre, possiamo considerare l'equazione di secondo grado associata

Se l'equazione risulta determinata, allora il polinomio a coefficienti reali può essere scomposto nel prodotto di due binomi:

- se l'equazione ammette un'unica soluzione con molteplicità algebrica 2. Detta essa , la scomposizione del polinomio è data da

- se l'equazione ammette due soluzioni reali distinte e la scomposizione del polinomio è data da

In entrambi i casi, attenzione perché le scomposizioni richiedono di anteporre un segno meno alle soluzioni.

Per approfondire: scomposizione dei trinomi con le equazioni di secondo grado.

Ci fermiamo qui. Ci sarebbe molto altro da dire riguardo alle equazioni di secondo grado, ma non vogliamo bruciare le tappe. Vi anticipiamo solamente che, quando studieremo i numeri complessi, avremo modo di divertirci... ;) Ma per il momento avanziamo con ordine: le lezioni successive sono dedicate ad alcuni approfondimenti utili, dopodiché tratteremo le equazioni fratte di secondo grado e le equazioni parametriche di secondo grado.

Se volete fare un po' di allenamento potete servirvi delle schede correlate di esercizi svolti e di esercizi proposti, e nel caso non bastassero potete usare la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono tantissime risorse utili, tra cui ad esempio un comodo tool per risolvere le equazioni online, utile per controllare i risultati dei vostri esercizi. ;)

Orevwa, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Tags: Equazioni di secondo grado ad un'incognita - come risolvere le equazioni di secondo grado - formula per le soluzioni delle equazioni di secondo grado.

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Le equazioni di secondo grado ad un'incognita, dette anche equazioni di grado 2 o equazioni quadratiche, sono equazioni in cui l'incognita compare con esponente di grado 2 ed eventualmente con esponenti di grado inferiore. Dopo aver affrontato le equazioni di primo grado passiamo in modo del tutto naturale alla successiva tipologia di equazioni intere, ossia definite mediante polinomi.

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Compito Matematica V Serale   07 05.docx

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Come in tutti i linguaggi anche nel linguaggio della matematica posso dire frasi vere, posso dire bugie e posso dire cose inutili: questo si riflette sulle equazioni relative a quelle frasi che potranno essere possibili, impossibili od indeterminate. Vediamo di spiegarci meglio con qualche esempio: Riassumendo:

Equazione possibile, impossibile ed indeterminata

gli esempi che hai visto sono elementari ma quando ho un'equazione complicata e' quasi impossibile dire senza risolverla se e' possibile, impossibile od indeterminata ed a questo posso risalire solo dalla soluzione:

x = numero Equazione possibile

0 = numero Equazione impossible

0 = 0 Equazione indeterminata

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Come in tutti i linguaggi anche nel linguaggio della matematica posso dire frasi vere, posso dire bugie e posso dire cose inutili: questo si riflette sulle equazioni relative a quelle frasi che potranno essere possibili, impossibili od indeterminate.

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Equazioni di primo grado e relative disequazioni

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https://www.youtube.com/watch?v=b5JMbZDpW9E

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Cosa sono le coordinate cartesiane di un punto nel piano. Definizione di ascissa e ordinata (x e y) di un sistema di riferimento, quadranti e rette particolari

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sintesi La retta