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Los signos de matemáticas conocidos como +, -, x y /, son símbolos aritméticos para indicar el estado de una operación matemática, este tipo de operaciones son conocidas como la adición, sustracción, multiplicación y división, así mismo también pueden englobar a los signos algebraicos en las operaciones.

En matemáticas existen leyes que se encargan de signos para realizar las operaciones más básicas como lo son suma, resta, división y multiplicación, este tipo de ley es la que se ocupa del sentido de las operaciones, como se ejercen y la dirección de los signos.

Fórmulas para la ley de los signos.

(+) . (+)= (+) (el resultado de una operación dos números positivos es positivo)

(-) . (-)= (+) (el resultado de una operación número negativo y uno negativo es positivo)

(+) . (-)= (-) (el resultado de una operación número positivo y uno negativo es negativo)

(-) . (+)= (-) (el resultado de una operación número negativo y uno positivo es negativo)

Ley de los signos para suma

En suma, de números positivos con números positivos, el resultado es un número positivo.

De ser una suma de un número negativo con otro número negativo, el resultado es negativo.

Si se trata de un número positivo con un número negativo el signo en el resultado es del número entero de mayor valor.

Ejemplos:

4 + 8= 12

(-5) + (-6) = -11

-7 + 4= -3

Ley de los signos para resta

En este caso la ley aplica en el mismo sentido de la suma, poniéndose en práctica las mismas reglas.

Ejemplos:

(+6) – (+2)= +4

(-7) – (-4)= -3

Ley de los signos para multiplicación y división

En el caso de multiplicar o dividir un signo positivo con otros positivo el resultado es positivo.

De multiplicar o dividir un signo negativo con otro negativo el resultado será positivo.

Por último si se multiplica o divide un signo negativo con uno positivo o viceversa siempre será negativos, sin tomar en cuenta el mayor valor del número.

Ejemplos:

(+6) ÷ (+4)= +1,5

(-8) ÷ (-4)= +2

(+4) ÷ (-2)= -2

La Ley de los Signos es la ley que establece cómo se comportan los signos de los números en el momento de las operaciones matemáticas, si esta ley se aplica correctamente, se garantiza un resultado correcto en cualquier suma, resta, multiplicación y división que se realice. (Del Moral, M. & Rodríguez 2022)

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En Matemáticas es frecuente utilizar expresiones que combinan números y letras o solamente letras.

Las expresiones que resultan de combinar números y letras, relacionándolos con las operaciones habituales se llaman expresiones algebraicas

EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Una expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas. Adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
La expresión algebraica esta conformada por TÉRMINOS Nuestra expresión Algebraica modelo está conformada por tres términos: (3y ), (-2xy), (8). Entonces, UN TÉRMINO es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos separados únicamente por la multiplicación o la división. Aquí no hay sumas ni restas para separarlos.
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO: Se denomina grado absoluto de un término algebraico a la suma de los exponentes de su factores literales: 3x 3 , este término es de grado tres.
GRADO RELATIVO: Está dado por el exponente de la variable considerada (con relación a una letra). -5x2y 3 : Es de 2º grado con respecto a la variable x -5x2y 3 : Es de 3er grado con respecto a la variable y. (Manuel, 2013)

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Trinomio: Expresiones compuestas por una cantidad finita de constantes (números) y variables (incógnitas), vinculadas entre sí a través de la multiplicación, la resta y/o la suma, es un Polinomio que consta de tres términos.  (Manuel, 2013)
Ejemplos:
1) 5x + 6y + 3z
2) 4mn2 + 2m2n – 3mn

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Un Polinomio es una expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos:
Ejemplos:
1) -7x2 + 4x – 5xy
2) 6x4 - 5x3 + x2 + 4x + 9
De acuerdo a la cantidad de sumandos el polinomio recibe denominaciones particulares como: Binomio y Trinomio.  (Manuel, 2013)

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Binomio: es una expresiones algebraicas que se compone de dos términos, donde se enlazan dos monomios que se suman o restan (a+b) o (a-b), todo binomio es un polinomio, pero las expresiones algebraicas pueden contar con más de dos términos por lo cual existen polinomios que no son binomios, de tres, cuatro o más términos, es un Polinomio que consta de dos términos. (Manuel, 2013)
Ejemplos:
1) 5x2y + 2x2y 3
2) 4a2b + 4a3b 3

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REFLEXIÓN SOBRE LA IMPORTANCIA DE TOMAR EN CUENTA LA LEY DE LOS SIGNOS

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REFLEXIÓN SOBRE LA IMPORTANCIA DE TOMAR EN CUENTA LA LEY DE LOS SIGNOS

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La ley de los signos nos ayuda a ejecutar operaciones matemáticas, poder resolver y obtener resultados que serán obtenidos, pueden ser positivos o negativos, básicamente son procedimientos que deben realizarse según las reglas, y de esta manera obtener los resultados de una forma correcta, por lo que se considera que para realizar operaciones matemáticas siempre hay que tener en cuenta las leyes de los signos porque depende de cada operación cual será el resultados y estos pueden ser números positivos o negativos según la situación que se presente.

Es importante de resaltar que el conocer las normas para poder ejecutar las operaciones es muy fundamental, para el desempeño diario, porque en si utilizamos siempre las matemáticas en nuestra vida diaria, ya que siempre utilizamos la suma, resta, multiplicación, división, entonces el saber conocer y aprender más, tiene como fin el de mejorar el desarrollo de nuestras habilidades y capacidades para resolver problemas, en si trae muchos beneficios y no se diga en el caso de los estudiantes en muy fundamental el aprendizaje y llenarse de conocimientos para que resuelvan problemas tanto personales como profesionales.

En ese sentido pues se puede manifestar que tanto la ley de los signos como las expresiones algebraicas nos sirven para plantear y resolver problemas de la vida diaria, ya que todos los problemas que se planteas siempre son a través de números y letras, entonces se puede decir que resuelve problemas, pero esto debe estar acorde con las normas y leyes ya que cada una debe cumplir su función para obtener los resultados correctos.

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Dividir en cualquier contexto matemático implica realizar operaciones de suma, resta y multiplicación de forma simultánea. Es por lo anterior, que se incluye en la imagen conceptual de la operación división de expresiones algebraicas, 4 campos operacionales que partiendo del dividendo y el divisor, se construyan el cociente y el residuo. Arcila Cuervo, G. J. (2016).

El campo 1 está asociado a la construcción de términos iguales mediante la multiplicación de los términos algebraicos definidos por el dividendo y el divisor.

El campo 2 está asociado a la construcción del cociente cuyos términos son consecuencia de la construcción de términos iguales.

El campo 3 está asociado a la construcción de términos semejantes que son el resultado de la multiplicación de los términos del cociente y los términos del divisor.

El campo 4 está asociado a la construcción del residuo mediante las operaciones de suma y resta de términos iguales y semejantes que se derivan del campo 3.

Para examinar la solución de la operación división en expresiones algebraicas, se parte de los elementos que tiene la operación división y su relación matemáticamente que es: dividendo = divisor × cociente + residuo.

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La representación simbólica y el trabajo con expresiones multiplicativas son asuntos que están presentes, el dominio y manipulación de programas de cálculos del tipo a(x ± b) − c(x ± d), siendo a, b, c y d números naturales, pone de manifiesto la importancia de la propiedad distributiva en el cálculo algebraico y permite establecer las reglas del producto de sumandos y sustraendos.

Además, la escritura convencional del producto en el álgebra requiere dejar de lado el uso de la cruz: 3 × a o 4 × 5 para indicar una multiplicación, del mismo modo que analizar cuándo se hace necesario usar paréntesis en una expresión.

Asumir que en ab y que en a(x+y) hay una operación que no se escribe y que hay nuevas reglas que involucra la distributiva son parte de los conocimientos necesarios para avanzar en el cálculo algebraico.

“La jerarquía de las operaciones que establecen las reglas del cálculo algebraico rompe con la técnica aritmética de efectuar las operaciones de izquierda a derecha, imponiendo una lectura de toda la expresión algebraica para efectuar en primer lugar aquellas operaciones que tienen prioridad, independientemente del lugar que ocupen en la expresión” Detzel, P., Ruiz, M. E., & Colipe, E. (2020).

Así, trabajando primero con la propiedad distributiva y operación de operaciones (por ejemplo, resta de una resta, resta de una suma), se logran condiciones para apuntalar una justificación de la conocida “regla de los signos” (“menos por menos es más”, “más por menos es menos”, etc.). A continuación mostramos el proceso que dará lugar a gestionar expresiones del tipo a(x ± b) − c(x ± d), a través de un contexto geométrico que involucra el cálculo y la comparación de áreas de rectángulos

En una primera instancia el trabajo se centra en la representación simbólica de expresiones de la forma ax y a(x + b), es decir en las distintas escrituras para simbolizar la operación de multiplicación y el uso del paréntesis.

Detzel, P., Ruiz, M. E., & Colipe, E. (2020).  “Para escribir el producto no se coloca nada, salvo que sean dos números, y en ese caso se usa el punto”; “para hallar la diferencia entre expresiones se puede compararlas y decir en cuánto más grande o más chica es una en relación a la otra o se calcula una resta entre ellas”; “si a una expresión se le suma o se le resta un número, la expresión será mayor o menor que la dada”; “si hay que multiplicar un número con una suma o una resta se tiene que usar paréntesis”. Y surgen las reglas de cálculo del tipo:

Restar 2(a + b) es lo mismo que restar 2a y restar 2b.

Restar 2(a − b) es lo mismo que restar 2a y sumar 2b.

Sumar 2(a + b) es lo mismo que sumar 2a y sumar 2b.

Sumar 2(a − b) es lo mismo que sumar 2a y restar 2b.

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El término enfoque estructural procede obviamente de la palabra estructura. En general, en matemáticas el término estructura se asigna a un sistema compuesto por un conjunto de objetos matemáticos, alguna operación u operaciones, así como ciertas propiedades y relaciones de y entre estos objetos y operaciones (Castro, Rico y Romero, 1997). La estructura del conjunto de los números naturales con la operación suma que es de semigrupo conmutativo, comprende los citados números, junto a la operación de suma y ciertas propiedades, entre ellas la conmutativa. Molina, M. (2010).

Este significado de estructura es el más frecuente en matemáticas, pero, al considerar expresiones aritméticas y algebraicas, este vocablo también se utiliza para referir a los términos que componen la expresión, a los signos que los relacionan, al orden de los diferentes elementos y a las relaciones que existen entre ellos.

Así, percibir la estructura de la expresión 14 + 5 = 5 +14 consiste en identificar dos partes (cada miembro) y un signo que las relaciona (el signo igual), que cada parte consta de dos números y un signo de suma que los conecta y que, además, los números que componen el miembro derecho de la igualdad son los mismos, pero en diferente orden, que los que componen el izquierdo.

Percibir las expresiones y sus partes (“subexpresiones”) como entidades (como un todo), y no como procesos a realizar paso a paso. Por ejemplo, percibir la expresión ab + ac + ae como suma de tres términos requiere considerar ab , ac y ae como entidades en sí mismas. De forma similar concluir que (125 + 329) − (125 + 329) es cero sin realizar ningún cálculo o reconocer 2x +1 como un factor común en la expresión ) (2 1) 3 (2 1 2 x + − x x + , necesita, entre otros aspectos, concebir 125 + 329 y 2x +1, respectivamente, como una entidad. Molina, M. (2010).

Reconocer relaciones entre subestructuras. Por ejemplo, percibir que los tres sumandos de la expresión ab + ac + ae tienen a como factor común o que la expresión (125 + 329) − (125 + 329) contiene dos subexpresiones que son iguales (125 + 329 ). Molina, M. (2010).

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La resta o sustracción de monomios y polinomios es una operación en la cual se quiere encontrar la diferencia entre el minuendo y el sustraendo. Para realizar la resta de expresiones algebraicas se identifican los términos semejantes y se reducen según corresponda, haciendo uso principalmente de la propiedad distributiva (Rodríguez et al, 2016)

5𝑎 2𝑥 + 1 2 𝑏 + 2𝑎𝑥 − 𝑏 = 5𝑎 2𝑥 + 2𝑎𝑥 + ( 1 2 − 1) 𝑏 = 5𝑎 2𝑥 + 2𝑎𝑥 − 1 2 𝑏

Es importante recordar la suma y resta de números reales al momento de reducir los términos semejantes, esto para realizar de manera correcta la suma o resta de los coeficientes.

Ejemplos posibles en la resta de monomios:

De 6b restar 3b. Determinando el minuendo +6b con su signo y posteriormente el sustraendo +3b con el signo de resta será:

6b – (3b) = 6b – 3b = 3b

Resta de polinomios

En la resta de monomios en realidad consiste en cambiar el signo del sustraendo, es recomendable analizar con paréntesis ya que en la resta de polinomios el signo de la resta afecta a todo el sustraendo, por lo tanto, se estaría empleando el mismo método realizado.

De 3x + 4y + 11w restar 2x + 3y + 8w.

3x + 4y + 11w – (2x + 3y + 8w) = 3x + 4y + 11w – 2x – 3y – 8w

El resultado después de agrupar los términos semejantes será:

x + y + 3w