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As wavelets são funções, comumente representadas por ψ(t), que atendem a determinadas condições e possuem certas propriedades. Segundo José Eduardo Castilho em sua obra "Introdução ao mundo das Wavelets" de 2012, para ser considerado wavelet, a função deve obedecer à condição de admissibilidade proposta na imagem acima, o que garante que a função wavelet tenha uma forma oscilatória com média

zero. A segunda condição, também demonstrada na imagem acima descreve que a função wavelet deve ter energia unitária e garante a localização espacial da função.

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Compressão de imagens e arquivos são realizados afim de diminuir o espaço de armazenamento necessário para manter o arquivo armazenado. A compressão de imagens podem ocorrer de duas formas segundo suas características, lossless (sem perdas) e lossy (com perdas). Compressões lossless são utilizadas por programas que produzem arquivos .zip, onde se tem em mente eliminar ou esconder itens repetidos ou descartáveis. Compressões lossy são comumente utilizadas em fotos como exemplo fotos no formato JPEG por exemplo, imagine que você tire uma selfie numa parede branca, os dados dessa parede são decodificados numa informação de ao invés de contar quantos pixels há, é criado uma figura que delimita todo o espaço onde há esses pixels iguais, isto gera uma perda de informação a fim de se diminuir o armazenamento utilizado.

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Utilização da FWT na compressão de imagens

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Utilização da FWT na compressão de imagens

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A compressão de imagens do formato JPEG tem por característica a perda de informação (lossy) e por consequência a perda de qualidade da imagem. Com o avanço das pesquisas relativas as funções wavelets e sua transformação de sinais um novo método para compressão de imagem foi gerado, o JPEG2000. Este novo formato de compressão se mostra muito superior pois se utiliza de compressões lossless, que por sua vez mantem a qualidade da imagem e mesmo assim diminui o armazenamento necessário para manter o arquivo.

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Uma característica proeminente da análise wavelet é a implementação da decomposição tempo-frequência. Um exemplo ilustrativo desse comportamento pode ser observado na organização musical, que é percebida como eventos ao longo do tempo. Apesar de fazer parte de uma estrutura mais complexa, uma composição musical pode ser interpretada como um conjunto de notas musicais que são definidas por quatro atributos: frequência, instante de ocorrência, duração e intensidade.

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Utilização de Wavelets para analisar expressões faciais 3D

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Utilização de Wavelets para analisar expressões faciais 3D

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Um grupo de pesquisadores brasileiros desenvolveram em 2011 uma pesquisa sobre a análise de expressões faciais 3D através da utilização de transformadas wavelets 3D e 2D que utilizadas para estimar características multiescala de uma face real adquirida por um scanner 3D. O algoritmo Sequential Forward Floating Selection utiliza uma função de critério de entropia para analisar e selecionar o subconjunto de recursos que melhor representa cada modelo de expressão facial.

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Wavelets ortogonais de Daubechies para sinais turbulentos

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Wavelets ortogonais de Daubechies para sinais turbulentos

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Em Katul e Vidakovic (1996, 1998) e Vidakovic (2000), foi abordado o problema da seleção de wavelets ortogonais de Daubechies para sinais turbulentos. Foi observado que a escolha ideal é aquela que minimiza o desequilíbrio da energia do sinal, ou seja, aquela que requer o menor número de coeficientes para representar o sinal. Esses pesquisadores desenvolveram um esquema de limiar, conhecido como limiar de Lorentz, para identificar os coeficientes mais significativos. Outro artigo relevante sobre esse tema é o de Donoho e Johnstone (1994).

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Wavelets  em séries de dados de satélites infravermelhos

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Wavelets  em séries de dados de satélites infravermelhos

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Weng e Lau (1994) realizaram um estudo sobre a organização de convecção tropical no Pacífico oeste, empregando a DWT com a wavelet de Haar e a CWT com a wavelet de Morlet. Em sua pesquisa, esses autores inicialmente aplicaram essas ferramentas, utilizando a wavelet de Haar, em séries temporais sintéticas de sistemas dinâmicos com duplo período. Em seguida, eles aplicaram esse padrão de reconhecimento a séries de dados de infravermelho, obtidos de imagens de satélite de alta resolução, tanto para a wavelet de Haar quanto para a wavelet de Morlet.

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Como os estudos do fenômeno El Niño/Oscilação Sul têm sido realizados ao longo do tempo, Torrence e Compo (1998) investigaram as séries temporais associadas a esse fenômeno para avaliar e comparar as técnicas de análise wavelet com os resultados já conhecidos. Com isso, esses autores desenvolveram uma metodologia baseada nas técnicas de Monte Carlo para estabelecer limites de confiança nas análises de variância wavelet. Na Figura acima, são apresentados uma série temporal representativa desse fenômeno e o campo de isolinhas com o resultado da CWT, já estabelecidos os limites de confiança. Além disso, a DWT pode ser empregada para discriminar mesociclones em dados de radar Doppler (Desrochers e Yee, 1999) e para caracterizar as estruturas de sistemas convectivos (Yano et al., 2001b,a).

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A detecção e processamento de transientes magnetotelúricos provenientes de descargas elétricas atmosféricas foi realizada utilizando a CWT com a wavelet de Morlet, conforme descrito por Zhang et al., (1997). O método magnetotelúrico (MT) é uma técnica de exploração geofísica que utiliza o campo eletromagnético para obter informações sobre a estrutura do subsolo. Ele consiste em medir as variações temporais dos campos elétrico e magnético na superfície da Terra. Essas variações são causadas pela propagação de ondas eletromagnéticas de baixa frequência no subsolo. O MT é usado para mapear a variação espacial da resistividade terrestre, o que pode fornecer informações valiosas sobre a distribuição de minerais, água subterrânea e outras características geológicas. É uma técnica amplamente utilizada na exploração de recursos naturais, estudos geológicos e estudos ambientais.