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A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) é uma realização do Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA, e tem como objetivo estimular o estudo da Matemática e revelar talentos na área.

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Portal da OBMEP - Introdução à Lógica Matemática

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Portal da OBMEP - Cardinalidade de conjuntos

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Listen to this episode from PETcast Matemática on Spotify. Estamos na reta final da série "Áreas da Matemática". O episódio de hoje foi sobre a área da Álgebra, e contou com as seguintes participações: PETianos: Eduardo da Fonseca Martins Guilherme Zahra Cundari Convidados: Prof. Dr. Antônio Aparecido de Andrade Prof.

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"Nem a matemática nem a física moderna existiriam sem a álgebra. Não haveria computadores sem algoritmos, nem química sem alcalinos", segundo o físico teórico Jim Al-Khalili.

Al-Khalili, professor da Universidade de Surrey, no Reino Unido, produziu o documentário da BBC Science and Islam ("A ciência e o Islã", em tradução livre).

"A linguagem da ciência moderna ainda tem muitas referências às suas raízes árabes", destacou ele no programa de TV. "Do século 12 até o 17, pesquisadores europeus faziam referências frequentes a textos islâmicos do passado."

E mostra uma cópia do Liber Abbaci ("O livro do cálculo", em tradução livre) de Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, que se tornaria o primeiro grande matemático da Europa medieval.

"O fascinante é que, na página 406, existe uma referência a um texto antigo chamado Modum algebre et almuchabale e, nas suas margens, está escrito o nome Maumeht - a versão latinizada do nome árabe Mohammed", segundo Al-Khalili.

Tratava-se de Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī, cujo nome ocidental é Al-Khwarizmi (Al-Cuarismi, em português), que derivou na palavra algoritmo. Ele viveu aproximadamente entre os anos 780 e 850. Al-Cuarismi descreveu a ideia revolucionária de que é possível representar qualquer número desejado com apenas 10 símbolos simples.

Esse grande matemático, que emigrou da Pérsia oriental para Bagdá (hoje, capital do Iraque), deu ao Ocidente os números e o sistema decimal. É frequentemente designado o pai da álgebra.

"Agora se sabe que muitas das ideias que antes se imaginava que fossem conceitos novos e brilhantes graças aos matemáticos europeus dos séculos 16, 17 e 18 foram desenvolvidas por matemáticos árabes/islâmicos cerca de quatro séculos antes", segundo John Joseph O'Connor e Edmund Frederick Robertson, da Universidade de St. Andrews, no Reino Unido.

Legenda da foto,
Jim Al-Khalili produziu o documentário da BBC intitulado 'Science and Islam'

Para eles, "em muitos aspectos, a matemática estudada atualmente tem estilo muito mais próximo da contribuição árabe/islâmica que dos gregos".

Ao longo da história, houve grandes matemáticos no mundo árabe e islâmico. Aqui apresentamos três deles.

Al-Batani

Para Juan Martos Quesada, professor aposentado e ex-diretor do Departamento de Estudos Árabes e Islâmicos da Universidade Complutense de Madri, na Espanha, uma das principais contribuições dos matemáticos árabes "foi resgatar a ciência grega e latina com suas traduções".

Mas eles também recuperaram o melhor da ciência desenvolvida pelos indianos. "A grande importância de Al-Batani foi ter conseguido unir a astronomia e a matemática, compondo um único campo de estudo", segundo declarou Martos Quesada à BBC News Mundo, serviço em espanhol da BBC.

"Ele aplicou muitas fórmulas matemáticas à astronomia. Determinou com grande precisão, por exemplo, o ano solar com 365 dias - o que foi um grande feito, já que estamos falando em finais do século 9 e início do século 10."

"Com relação aos equinócios, ele os estudou e concluiu que havia erros nas contas feitas por Ptolomeu. Isso serviu para aperfeiçoar toda a herança grega de Ptolomeu que foi recebida pelos matemáticos árabes", segundo Martos Quesada. Al-Batani também estabeleceu uma série de relações trigonométricas.

Para o documentário da BBC, Al-Khalili visitou a Universidade de Pádua, na Itália, e viu um dos livros mais importantes da história da ciência: De revolutionibus orbium coelestium ("Sobre a revolução das esferas celestes", em tradução livre), publicado em 1543 por Nicolau Copérnico.

"A importância desse livro é enorme", ressalta Al-Khalili. "Nele, Copérnico defende pela primeira vez, desde a antiguidade grega, que todos os planetas, incluindo a Terra, giram ao redor do sol. Muitos historiadores o consideram o iniciador da revolução científica europeia."

Copérnico menciona o astrônomo Machometi Aracenfis, que é o grande Al-Batani.

"É para mim uma grande revelação que ele mencione explicitamente um muçulmano do século 9, que forneceu muitas informações sobre suas observações", ressalta Al-Khalili. "Copérnico usou extensamente as observações de Al-Batani sobre a posição dos planetas, do sol, da lua e das estrelas."

Al-Batani nasceu em 858 perto de Urfa, na Síria, e morreu em 929, no Iraque.

Jaime Coullaut Cordero, professor de estudos árabes e islâmicos da Universidade de Salamanca, na Espanha, conversou com a BBC News Mundo sobre Ibn Al-Shatir, astrônomo e matemático que nasceu em Damasco, hoje capital da Síria, perto do ano de 1304.

"Ele foi pouco conhecido no Ocidente porque suas obras não foram traduzidas para o latim", segundo Cordero. Mas ele ressalta que, nos anos 1980, "pesquisadores descobriram os modelos planetários de Ibn Al-Shatir e perceberam que eram iguais aos modelos propostos por Copérnico alguns séculos depois".

Shaikh Mohammad Razaullah Ansari, professor emérito de física da Universidade Muçulmana de Aligarh, na Índia, escreveu um artigo para a página da Unesco sobre um erudito árabe dos séculos 10° e 11 que se dedicou não só à matemática, mas também à física, mecânica, astronomia, filosofia e medicina.

Trata-se do grande Abū Ali al-Ḥasan Ibn al-Haytham al-Baṣrī, cujo nome em português é Al-Hazém. Ele nasceu no Iraque no ano 965 e morreu no Egito em 1040. Foi um dos famosos cientistas do Cairo, no Egito, e chamado de "segundo Ptolomeu" pelos eruditos árabes.

Al-Hazém é considerado o pai do método científico moderno. Ele desenvolveu a metodologia de "experimentação como outra forma de comprovar a hipótese ou premissa básica", segundo Razaullah Ansari.

Já Martos Quesada destaca suas contribuições para os princípios da óptica. De fato, Razaullah Ansari ensina que sua obra mais famosa foi sobre a óptica: Kitab fi al-Manaẓir, traduzido de forma anônima para o latim nos séculos 12 e 13 com o título Opticae Thesaurus ("O livro da óptica", em tradução livre). Em sete volumes, Al-Hazém estudou as propriedades da luz, de forma experimental e matemática.

Mas Al-Hazém foi também um grande matemático, como explica Ricardo Moreno, escritor e professor da faculdade de matemática da Universidade Complutense na página do Centro Virtual de Divulgação da Matemática.

"Ele foi um dos primeiros matemáticos árabes a estudar com sucesso equações de grau superior ao segundo, quando resolveu geometricamente uma equação de terceiro grau proposta por Arquimedes, mais de 1.200 anos antes, na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro", segundo Moreno.

No campo da teoria dos números, Al-Hazém deixou contribuições importantes com seu trabalho sobre os números perfeitos. Ele também desenvolveu a geometria elementar e pesquisou casos específicos dos teoremas de Euclides.

Abu Kamil

Ricardo Moreno destaca que a morte de Al-Cuarismi "coincidiu aproximadamente com o nascimento, no Egito, de Abu Kamil ibn Aslam ibn Mohammed, conhecido como o calculista egípcio".

"Ele viveu 80 anos e deixou inúmeras obras matemáticas - entre elas, um tratado de álgebra, cujo original em árabe se perdeu, mas do qual duas traduções chegaram até nós, uma em latim e outra em hebraico. Ele resolve equações de segundo grau de forma geométrica, como seu predecessor de Bagdá, mas apoiado mais diretamente nos Elementos [de Euclides]", segundo Moreno.

Uma breve biografia de O'Connor e Robertson indica que se sabe muito pouco sobre a vida de Abu Kamil - mas o suficiente para compreender seu papel no desenvolvimento da álgebra. Segundo os autores, "Kamil foi um dos sucessores imediatos de Al-Cuarismi". E, de fato, o próprio Kamil destaca o papel de Al-Cuarismi como o "inventor da álgebra".

"Mas existe outra razão para a importância de Abu Kamil: seu trabalho foi a base dos livros de Fibonacci", segundo O'Connor e Robertson. "Kamil é importante não apenas no desenvolvimento da álgebra árabe, mas também porque, através de Fibonacci, tem importância fundamental na introdução da álgebra na Europa."

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Três grandes matemáticos árabes que fizeram importantes descobertas para a ciência - BBC News Brasil

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Para pesquisadores da Universidade de St. Andrews, no Reino Unido, "a matemática estudada atualmente tem estilo muito mais próximo da contribuição árabe/islâmica que dos gregos".

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Legenda da foto,

Por enquanto, viajar é apenas um exercício mental que nos ajuda a entender as leis do universo

Nesse momento, você teria a possibilidade de voltar ao final de 2019 e evitar o desencadeamento da pandemia do coronavírus. Sua missão seria encontrar o paciente zero, pouco antes de ele ser infectado.

Parece bom, não? O problema é que um pequeno detalhe o impediria de completar essa missão.

É verdade que algumas interpretações da física teórica afirmam que a viagem no tempo é possível. Albert Einstein, por exemplo, estava ciente de que suas equações permitiam, em princípio, viagens no tempo.

Essa possibilidade teórica, entretanto, esbarra no que os cientistas chamam de "paradoxo", que tornaria logicamente impossível que a viagem acontecesse.

Esses paradoxos são um desmancha prazeres para os entusiastas de viagens no tempo, mas agora novas pesquisas afirmam que eles podem ser evitados.

Quais são esses paradoxos e por que este novo estudo afirma que é possível evitá-los para viajar ao passado?

Um neto que mata seu avô

Para entender o que é um paradoxo, vamos voltar à história da pandemia

Se você viajar ao passado e evitar que o paciente zero seja infectado, um paradoxo é criado imediatamente.

Ou seja, se você conseguisse impedir o início da pandemia, hoje não teríamos uma pandemia, portanto, não haveria motivo para viajar ao passado. Assim, você não viajaria ao passado e não poderia evitar que a pandemia se desencadeasse.

Esse é o paradoxo, um ciclo infinito que cria uma inconsistência lógica e destrói a ilusão da viagem no tempo.

Existem muitos paradoxos, mas este é um dos mais famosos. É chamado de "paradoxo do avô", porque sua versão original apresenta um cenário em que um neto viaja ao passado para matar seu avô antes de ele ter seu pai.

Legenda da foto,

A partir da física teórica, vários exercícios foram propostos para explicar a possibilidade de viagem no tempo

O problema é que se ele matasse o avô, o viajante jamais poderia ter nascido. E, se ele não nascesse, sua viagem no tempo também não seria possível.

Evitar o paradoxo

Para resolver este paradoxo, vários exercícios mentais foram propostos, mas agora, dois pesquisadores na Austrália propõem uma solução matemática para evitá-lo.

Os pesquisadores queriam analisar como a dinâmica de um corpo, ou seja, seu movimento no espaço-tempo, se comporta ao entrar em uma curva de viagem ao passado.

Para isso, criaram um modelo matemático com o qual calcularam que um "agente" que entra em um ciclo de viagem ao passado poderia seguir caminhos diferentes sem alterar o resultado de suas ações.

O exercício abstrato mostra que vários agentes podem se comunicar no passado e no presente, sem uma relação de causa e efeito.

Isso significa que "os eventos se ajustam, de modo que sempre haverá uma solução única e consistente", diz Germain Tobar, estudante de física da Universidade de Queensland, na Austrália, e autor do estudo, supervisionado pelo professor Fabio Costa, filósofo e físico teórico.

E o que isso significa?

Voltando ao exemplo da pandemia, o que o estudo diz é que se você viajar ao passado, poderia fazer o que quiser, mas seria impossível mudar o resultado dos eventos.

Ou seja, você teria livre arbítrio, mas não conseguiria evitar que a pandemia se desencadeasse.

Poderia acontecer, por exemplo, que enquanto você estivesse tentando deter o paciente zero, outra pessoa se contagiaria, ou mesmo você.

De acordo com o modelo de Tobar, os eventos mais relevantes seriam calibrados constantemente para evitar qualquer inconsistência (paradoxo) e, assim, atingir sempre o mesmo resultado, neste caso, o início da pandemia.

Entendendo o universo

O estudo de Tobar é aplicável apenas de forma abstrata no campo da matemática.

"É um trabalho interessante", diz Chris Fewster, professor de matemática da Universidade de York, no Reino Unido, que estuda modelos de viagem no tempo.

Fewster, no entanto, adverte que agora "resta saber se as condições abstratas que (os autores) impuseram são satisfeitas nas teorias da física atualmente conhecidas".

Segundo Tobar, esse é exatamente o desafio que eles têm agora: colocar seu modelo à prova.

Por enquanto, embora seu trabalho esteja longe de tornar a viagem no tempo uma realidade, Tobar argumenta se tratar de um passo rumo à compreensão das leis que governam o Universo.

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O modelo matemático que diz ser possível voltar ao passado - BBC News Brasil

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Nesse momento, você teria a possibilidade de voltar ao final de 2019 e evitar o desencadeamento da pandemia do coronavírus. Sua missão seria encontrar o paciente zero, pouco antes de ele ser infectado. Parece bom, não? O problema é que um pequeno detalhe o impediria de completar essa missão.

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Episódio #037 - Pensamento crítico, lógica e argumentação

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Listen to this episode from Número Imaginário on Spotify. Neste episódio falarei um pouco sobre alguns critérios que podemos empregar para avaliarmos se estamos diante de um bom ou um mau argumento.

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Episódio #022 - Será que 'N' está contido em 'Z'?

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Listen to this episode from Número Imaginário on Spotify. Neste episódio tentarei responder às seguintes questões: será que o conjunto dos números naturais 'N' está de fato contido no conjunto dos números inteiros 'Z'? É possível que de alguma forma não esteja?

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Episódio #019 - Teoria(s) Axiomática(s) de Conjuntos

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Listen to this episode from Número Imaginário on Spotify. Neste episódio falarei um pouco sobre algumas teorias de conjuntos e como essas teorias possuem diferentes conceitos e permitem concluir resultados muitas vezes conflitantes entre si (embora corretos dentro de seus próprios escopos).

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Episódio #02 - Zero é um número natural?

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Listen to this episode from Número Imaginário on Spotify. Neste episódio falarei um pouco sobre os axiomas de Peano (ou Dedekind-Peano) e tentarei responder à seguinte questão: zero é um número natural?

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Episódio #02 - Zero é um número natural?

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Há vários exemplos na História de descobertas matemáticas feitas dentro do sistema carcerário. Talvez o mais famoso seja o do matemático francês André Weil, que traçou importantes conexões entre a geometria algébrica e a teoria dos números enquanto cumpria pena em uma prisão militar em Ruen, na França, durante a Segunda Guerra.

Em sua autobiografia, ele afirma que o isolamento da prisão permitiu que ele tivesse uma clareza maior das ideias. O americano Christopher Havens - que segue pelo mesmo caminho - concorda.

Em 2011, ele foi condenado a 25 anos de prisão por homicídio. Descobriu seu amor pela matemática - e sua aptidão - alguns meses após o início do cumprimento da pena, quando estava em uma solitária.

Havens começou a estudar sozinho e, diante da dificuldade de solucionar alguns problemas, resolveu escrever a uma revista de matemática para pedir ajuda. Uma dessas correspondências acabou chegando nas mãos dos meus pais, ambos matemáticos.

Encaminhada em janeiro de 2013 inicialmente a um amigo meu, Matthew Cargo, que na época era editor da editora Mathematical Sciences Publishers, ela dizia o seguinte:

"A quem possa interessar:

Estou interessado em receber mais informações sobre a assinatura dos Anais da Matemática para meu uso pessoal. Neste momento, cumpro pena de 25 anos de prisão no sistema prisional do Estado de Washington e decidi usar esse tempo para me tornar uma pessoa melhor.

Como os números se tornaram uma paixão para mim, estou estudando cálculo e teoria dos números. Poderiam, por favor, me enviar o que tiverem de informação sobre o periódico de matemática? Christopher Havens,

P.S.: Sou autodidata, e com frequência fico empacado em certos problemas. Sabem se há alguém com quem poderia me corresponder, dado que eu pagaria pelas postagens?

Aqui não há professores que possam me ajudar e às vezes gasto centenas de dólares em livros que podem ou não ter as respostas que procuro.

Obrigada."

Foi Cargo que colocou Havens em contato com meus pais.

Um período produtivo

No início, meu pai, que foi professor da Universidade de Turim, na Itália, e pesquisador da teoria dos números, aceitou ajudá-lo apenas porque pedimos.

Ele achava que Havens seria uma dessas pessoas que de repente se entusiasmavam com os números e acabavam desenvolvendo teorias cheia de falhas. Para tentar provar isso, enviou-lhe um problema e pediu que ele resolvesse.

Meu pai recebeu como resposta, pelo correio, uma folha de 120 centímetros que continha um fórmula longa e complexa.

Colocou-a no computador e, para sua surpresa, descobriu que os resultados estavam todos corretos.

Na sequência, meu pai convidou Havens a se unir a ele na tentativa de resolver um problema de frações contínuas. Descobertas por Euclides em 300 a.C., as frações contínuas permitem expressar todos os números através de sequências de números inteiros.

Por exemplo: o número pi é a relação entre o valor da circunferência de um círculo e seu diâmetro - 3,14159... A sequência de números depois da vírgula é infinita e totalmente caótica. Expressa como uma fração contínua, entretanto, ela se converte em algo mais simples e "agradável".

As frações contínuas exemplificam a pujança da teoria dos números, campo ao qual também pertencem parte das contribuições de Weil e que tem permitido avanços na área de criptologia, que é vital para o funcionamento dos bancos, do mercado financeiro e das comunicações militares.

As contribuições de Havens acabaram sendo publicadas em janeiro deste ano na revista Research in Number Theory. Seu trabalho, que teve lugar de destaque na publicação, demonstrou pela primeira vez a existência de uma série de regularidades na aproximação de uma vasta categoria de números.

É uma descoberta que pode abrir novos campos de pesquisa dentro da teoria dos números.

Aliás, encontrar novas formas de escrever números é uma das questões mais relevantes para um pesquisador dessa área - ainda que os resultados não tenham aplicação prática imediata.

Neste momento, por exemplo, há supercomputadores dedicados exclusivamente a processar bilhões de casas decimais do pi.

No caso de Havens, ele usou como ferramentas apenas lápis e papel - e as cartas que enviava para os companheiros de pesquisa do outro lado do oceano, na Itália.

As condições na prisão

Como isso foi possível? Nas palavras do próprio Havens:

"Menos de um ano depois de ser preso, meu comportamento acabou me levando à solitária. E foi exatamente ali que vi minha vida mudar, porque me dei conta de que amava a matemática. Passava umas dez horas por dia estudando (...) E então decidi entrar no Programa de Transição Intensiva (ITP, na sigla em inglês)."

"É um programa de um ano que ajuda as pessoas a acertarem as ideias. Foi pensado para efetivamente ajudar o sujeito a abrir sua cabeça. E essa se tornou minha rotina diária: comer, estudar matemática, escovar os dentes, depois tudo de novo. Foi uma época muito importante da minha vida."

Foi depois de completar o ITP que Havens enviou sua solicitação à revista de matemática e que meus pais se tornaram seus tutores. Eles enviavam um monte de livros para os EUA, mas eles acabavam sendo todos retidos pela administração do presídio porque não vinham de uma editora autorizada.

Havens teve então a ideia de propor aos agentes carcerários um projeto para ensinar matemática aos demais detentos, batizado de Matemática na Prisão.

Em troca, ele conseguiu autorização para manter uma biblioteca e uma pequena sala, onde poderia receber visitas duas vezes por semana. A partir daí, os livros que chegavam no centro de detenção puderam de fato entrar.

Para escrever este texto, tive três conversas por telefone de 20 minutos com Havens (o tempo máximo permitido pelas regras da prisão), durante as quais a palavra educação foi mencionada várias vezes.

"A educação foi um estorvo pra mim. Fui um mau aluno, estava envolvido com drogas, não conseguia me segurar em um emprego e não parava em casa (...) A educação é muito difícil na prisão (...) Por isso estou buscando algo fora. Tento construir pontes e fortalecer minhas relações com gente de fora, porque, para mim, educação é isso."

"As oportunidades que me aparecem são uma experiência e um aprendizado, especialmente porque elas são raras aqui dentro."

Havens também vê na matemática uma forma de pagar sua dívida com a sociedade.

"Posso dizer com certeza que tracei um plano de vida, de longo prazo, para poder pagar uma dívida que na verdade não tem preço. Sei que é um trabalho permanente (...) e que nunca chegará o dia em que poderei quitar essa dívida completamente."

"Mas isso não é algo ruim, é inspirador. Pode soar bobo, mas, no decorrer do cumprimento da minha pena, também me acompanha a alma da minha vítima, e a ela estou dedicando as minhas maiores conquistas."

A vida depois da cadeia

O certo é que, apesar das evidências de que os detentos que estudam em geral têm menor nível de reincidência quando ganham a liberdade, as oportunidades para se ir além do que se aprende na prisão são reduzidas.

E, sem acesso à internet, a maioria dos cursos à distância está fora do alcance dos presos.

Neste momento, Havens está estudando para obter um diploma de bacharel em matemática pela Adams State University, que conta com a modalidade de ensino pelo correio.

Ele quer continuar estudando quando sair, apesar das dificuldades que se impõem devido à sua ficha criminal.

Ele pretende seguir carreira e quer transformar o projeto Matemática na Prisão em uma organização sem fins lucrativos que possa ajudar detentos que tenham aptidão com os números.
*Marta Cerruti é Professora de Engenharia de Materiais na Universidade McGill, em Montreal, no Canadá.
Este artigo foi publicado originalmente em The Conversation. Clique aqui para ler a versão original
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Como o amor de um preso pela matemática levou a avanços na teoria dos números

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Há vários exemplos na História de descobertas matemáticas feitas dentro do sistema carcerário. Talvez o mais famoso seja o do matemático francês André Weil, que traçou importantes conexões entre a geometria algébrica e a teoria dos números enquanto cumpria pena em uma prisão militar em Ruen, na França, durante a Segunda Guerra.

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A primeira fase da 17ª Olimpíada Brasileira de Matemática em Escolas Públicas (OBMEP) foi um dos assuntos mais comentados pelo Twitter, na última terça-feira, 7. A questão do Pinóquio chamou atenção dos alunos por não possuir nenhum número no exercício.

A pergunta orientava os alunos a analisar se estaria certa a afirmação: "Pinóquio sempre mente" e "Pinóquio diz: 'Todos os meus chapéus são verdes'". A partir daí, as questões eram:
"Admita que sejam válidas ambas as seguintes sentenças: Pinóquio sempre mente; Pinóquio diz: "Todos os meus chapéus são verdes". Podemos concluir dessas duas sentenças que:
(A) Pinóquio tem pelo menos um chapéu.
(B) Pinóquio tem apenas um chapéu verde.
(C) Pinóquio não tem chapéus.
(D) Pinóquio tem pelo menos um chapéu verde.
(E) Pinóquio não tem chapéus verdes."

A resposta seria a letra "A", pois na frase "Todos os meus chapéus são verdes" existe pelo menos um chapéu de Pinóquio que não é verde.

O exercício viralizou no Twitter e rendeu diversos comentários engraçados sobre o tema. Além do fato sobre o chapéu, o Pinóquio, que é um personagem clássico da literatura, foi alvo de memes e xingamentos por parte dos estudantes.

A população brasileira discutindo sobre a questão do Pinóquio #OBMEP pic.twitter.com/6qbvjV6KnC

- nale (@anamoraespr) June 7, 2022

Eu na OBMEP tentando entender oq matemática tem haver com quantos chapéus o Pinóquio tem: pic.twitter.com/n4x6li07m0

- Gabi★⁵| SKZ (@_justmestay) June 7, 2022

obmep achando q eu vou saber se o pinoquio ta mentindo ou nao pic.twitter.com/siNo9SIzwF

- jugh (@_huuj) June 7, 2022

Veja também

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Questão sobre mentira de Pinóquio intriga usuários e viraliza nas redes sociais | Exame

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Exercício que fala sobre mentira de Pinóquio chamou atenção dos estudantes

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Portal da OBMEP - Números Naturais - Representação, Operações e Divisibilidade

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Portal da OBMEP - Sistemas de Numeração e Paridade

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Portal da OBMEP - Algoritmo de Euclides Estendido, Relação de Bézout e Equações Diofantinas

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Portal da OBMEP - Teorema Chinês do Resto

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Legenda da foto,

Ilustração medieval do encontro de Alexandre Magno com os gimnosofistas (por volta de 1420)

Author, Redação

Role, BBC News Mundo

Dizem que, certa vez, depois de conquistar a Pérsia, há quase 2,3 mil anos, Alexandre, o Grande, chegou às margens do Rio Indo, onde hoje é o Paquistão, e encontrou um gimnosofista,um filósofo nu, sentado sobre uma rocha, olhando para o céu.

"O que você está fazendo?", perguntou Alexandre.

"Experimentando o nada", respondeu o gimnosofista.

"E você, o que está fazendo?"

"Conquistando o mundo", respondeu Alexandre.

Os dois riram, cada um achando que o outro era um tolo que estava desperdiçando sua vida.

Quem conta essa história é o renomado mitólogo indiano Devdutt Pattanaik, para ilustrar as diferenças entre a cultura indiana e a ocidental - e também para mostrar como a Índia estava filosoficamente aberta para o conceito do nada, muito antes de ser escrito o primeiro número zero.

Fogo

As três grandes religiões da Índia antiga - o budismo, o hinduísmo e o jainismo - mantinham um extraordinário enfoque sobre números.

A matemática indiana remonta ao período védico (perto do ano 800 a.C.), quando a prática religiosa exigia cálculos bastante sofisticados.

Naquela época, os rituais eram parte importante da vida das pessoas. E a construção de altares de fogo era regida por especificações precisas, detalhadas nos Śulbasūtras, os textos científicos mais antigos da Índia.

Escritos entre 800 a.C. e 200 a.C., os Śulbasūtras contêm, entre outras coisas:

- Conversões de figuras geométricas, como do quadrado para o círculo ou do retângulo para o quadrado, mantendo as mesmas áreas. Para isso, foi preciso calcular o valor do número pi (π);

- O cálculo da raiz quadrada de 2 (√2), o número irracional que viria a ameaçar a filosofia pitagórica;

- E, falando em Pitágoras, os escritos indianos já incluíam o teorema que acabou levando seu nome, 200 anos antes do nascimento do filósofo e matemático grego.

Gigantes

Além de estarem adiantados na geometria, os indianos desenvolveram uma obsessão única no mundo antigo por números gigantescos.

Na Grécia, o número mais alto era a miríade, que representava 10 mil. Mas a Índia chegou aos trilhões, quatrilhões e mais além. E vestígios dessa antiga paixão pelo inviavelmente grande permanecem vivos até hoje.

"Números muito grandes fazem parte das conversas", diz o matemático indiano Shrikirshna G. Dani.

"Por exemplo, se falo em ' padartha' sem explicar, quase todo mundo entende."

"É 10¹⁷ - 1 seguido por 17 zeros [100.000.000.000.000.000, ou 100 quatrilhões] - e significa literalmente 'a meio caminho do céu'", esclarece o professor.

"E, na tradição budista, os números iam muito mais além: 10⁵³ é um deles."

Mas qual o motivo desses números? Eles eram usados para alguma coisa?

"Não existe nenhuma razão prática óbvia", afirma Dani.

"Acredito que exista um certo tipo de satisfação que as pessoas obtêm quando pensam neste tipo de número."

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No 'Śulbasūtra', Baudhayana (por volta de 800-700 a.C.) escreveu os valores de π e √2, além de um teorema muito parecido com o de Pitágoras

E que razão melhor do que a satisfação!

Os jainistas também não ficavam para trás. Raju, por exemplo, é a distância percorrida por um deus em seis meses, depois de percorrer 100 mil yojanas a cada abrir e fechar de olhos.

Provavelmente essa explicação não te diz nada, mas fazendo um cálculo aproximado, se um deus piscar os olhos 10 vezes por segundo, ele percorre cerca de 15 anos-luz.

Nenhum texto religioso ocidental menciona algum valor próximo a esse.

E, como se não bastasse, os indianos contemplaram e classificaram diversas variedades de infinito, o que foi fundamental para desenvolver o pensamento matemático abstrato dois milênios depois.

Do nada para o zero

É claro que, para imaginar tamanha quantidade de zeros, era preciso inventá-lo primeiro.

A noção de vazio já era presente em diversas culturas. Os maias e os babilônios, por exemplo, usavam marcadores de ausência de quantidade. Mas os indianos foram os que transformaram essa ausência em 0, chamando-a de shunya ("vazio", em sânscrito).

Dar um símbolo para o nada, dizendo, em outras palavras, que nada era alguma coisa, talvez tenha sido o maior salto conceitual da história da matemática.

Mas quando esse salto aconteceu?

Até poucos anos atrás, o zero mais antigo já encontrado era o que aparece em uma parede do templo do forte de Gwalior, no centro da Índia. Ele data de 875. Naquela época, o zero já era de uso comum na região.

Mas em 2017, especialistas dataram um antigo pergaminho indiano conhecido como manuscrito Bhakshali, descoberto em 1881, como tendo sido escrito nos séculos 3 ou 4, e esse passou a ser o registro mais antigo de um zero. Muitos especialistas, entretanto, contestam a datação.

De qualquer forma, até onde sabemos, os astrônomos e matemáticos indianos Aryabhata, nascido em 476, e Brahmagupta, nascido em 598, foram os primeiros a descrever formalmente as casas decimais modernas e as regras atuais que regem o uso do número zero, demonstrando sua incrível utilidade.

Superior a todos os demais pela forma como facilitava os cálculos, o sistema numérico indiano se espalhou, primeiro pelo Oriente Médio, para depois chegar à Europa e ao resto do mundo, até se tornar o sistema dominante.

Mas por que o zero se originou na Índia? Foi só para escrever grandes números, ou havia outras forças espirituais em jogo?

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Nos manuais arquitetônicos indianos, o espaço vazio das construções era mais importante do que as paredes

Nirvana

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O círculo, símbolo do céu e do vazio, acabou sendo escolhido para indicar o zero

"O interessante é que existe uma grande quantidade de shunya surgindo em toda parte. Estava por aí desde aproximadamente 300 a.C.", segundo o historiador da matemática George Gheverghese Joseph.

Ele destaca que o shunya estava presente em "manuais arquitetônicos, dizendo que o importante não eram as paredes, mas o espaço entre elas", e até "na crença existente no budismo, no jainismo e na base da religião védicao, de que você precisa alcançar um estado específico chamado nirvana, no qual tudo é apagado".

"Era um ambiente muito fértil para que alguém, cujo nome não conhecemos, percebesse que esse conceito filosófico e cultural também seria útil no sentido matemático", afirma o historiador.

Para a matemática Renu Jain, vice-chanceler da Universidade Devi Ahilya Vishwadivyalaya, na Índia, não existe dúvida de que a ideia espiritual do nada inspirou a ideia matemática do zero.

"Zero não indica nada, mas, na Índia, ele é derivado do conceito de shunya, uma espécie de salvação, o ápice qualitativo da humanidade, em certo sentido", explica.

"Quando todos os nossos desejos são atendidos, não temos nenhum desejo e, então, vamos para o nirvana ou shunya."

Ou seja, o nada é o todo.

Na verdade, o próprio uso do círculo para designar o zero pode ter origens religiosas.

"O círculo também simboliza o céu", observa a historiadora da matemática indiana Kim Plofker.

"Muitas das palavras usadas para codificar verbalmente o zero em sânscrito significam céu ou vazio. Por isso, como o céu é representado pelo círculo dos céus, este é um símbolo muito apropriado para o zero", explica.

"Segundo as religiões da Índia, o universo nasceu do nada, e o nada é o objetivo final da humanidade", afirmou o matemático Marcus du Sautoy no episódio The Genius of the East ("O gênio do Oriente") da série de TV Story of Maths ("História da matemática"), da BBC.

"Por isso, talvez não seja surpreendente que uma cultura que acolheu o vazio com tanto entusiasmo pudesse acomodar sem problemas a noção do zero", segundo ele.

Nunca poderemos afirmar com total certeza, mas, a julgar pelas opiniões de diversos especialistas, é provável que algo na sabedoria espiritual da Índia tenha levado à invenção do zero.

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Até poucos anos atrás, o zero mais antigo já encontrado era o que aparece em uma parede do templo do forte de Gwalior, no centro da Índia, datado de 875

E existe ainda outra ideia relacionada ao zero e ao vazio que teve um impacto profundo no mundo moderno.

Os computadores funcionam segundo o princípio de dois estados possíveis: ligado e desligado. Ao ligado, atribui-se o valor 1; e, ao desligado, 0.

"Talvez não surpreenda que o sistema de números binários também tenha sido inventado na Índia, nos séculos 2 ou 3 antes de Cristo, por um musicólogo chamado Pingala, apesar de seu uso ser para a métrica", afirmou o historiador de ciência e astronomia Subhash Kak à jornalista Mariellen Ward, da BBC Travel.

E pensar que tudo nasceu na Índia... do nada!

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O extraordinário conceito do nada que levou à invenção do zero - BBC News Brasil

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A noção de vazio já era presente em diversas culturas. Mas dar um símbolo para o nada, dizendo, em outras palavras, que nada era alguma coisa, talvez tenha sido o maior salto conceitual da história da matemática.

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Dalia Ventura

BBC News Mundo

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Era uma vez um caçador, um contador de histórias e um número sinistro. Mais precisamente, trata-se de um número primo - ou seja, que é divisível somente por 1 e por ele mesmo.

Mas antes de contarmos melhor essa história, vamos relembrar um pouco o histórico dos números primos, que serão o personagem principal.

Os números primos são motivo de fascinação desde os primórdios da civilização. Ou pelo menos há cerca de 3.570 anos, quando o escriba egípcio Ahmes, durante o reinado do faraó Apófis 1°, criou o papiro matemático Rhind e registrou, de forma diferente, as frações cujos denominadores eram números primos.

Os matemáticos já dedicaram milhões de horas de estudo aos números primos. Além de serem belos, sedutores e muito úteis, eles também são exasperantes. São partículas da teoria dos números que não têm um padrão evidente - quanto mais números primos são encontrados, mais erráticos eles parecem ser.

E nem sequer o imenso poder dos computadores é de grande ajuda.

Mas, neste longo e tortuoso caminho para revelar os mistérios dos números primos, às vezes surgem curiosidades que acabam deleitando o público em geral. São como fatias deliciosas de conhecimento que nos relembram quão genial é o mundo dos números.

Por isso, de vez em quando, os matemáticos nos brindam com estas "delícias", enriquecendo a cultura popular.

Crédito, © The Trustees of the British Museum

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O papiro de Ahmes é o documento mais extenso e conhecido que lança luz sobre a abordagem matemática dos antigos egípcios

Os fãs da série The Big Bang Theory talvez se lembrem de Sheldon Cooper dizendo que "o melhor número é 73. Por quê? Porque 73 é o 21° número primo".

"O reverso de 73 (37) é o 12° número primo."

"O reverso de 12 (21) é o produto da multiplicação de 7 x 3."

"Em binário, 73 é um palíndromo, 1001001, que, de trás pra frente, é 1001001."

Sheldon provavelmente também gostaria do número tema desta reportagem. Afinal, além de ser primo, ele tem essa mesma simetria poética dos palíndromos (é igual quando lido da esquerda para a direita ou no sentido inverso).

No entanto, ele é mais "diabólico".

O caçador

O número foi encontrado por um "caçador de primos" - que é como se chamam as pessoas dedicadas a procurar esses números, que são muito difíceis de encontrar.

Trata-se do engenheiro elétrico e matemático americano Harvey Dubner (1928-2019), conhecido pelas suas colaborações para a busca de grandes números primos.

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Harvey Dubner estava a ponto de se encontrar com um demônio: Belfegor

Dubner estava rastreando um conjunto de números primos, partindo de 16.661 e acrescentando zeros dos dois lados, entre os algarismos 1 e 6.

Em outras palavras, ele começou com 16.661 (que é primo) e verificou se 1.066.601 também é primo. E não é.

E seguiu fazendo o mesmo com 1 00666 001, 1 000666 000 1 e assim por diante, sempre acrescentando zeros antes e depois da série de algarismos 6. Ele não estava achando nenhum número primo, mas não se deu por vencido.

Dubner continuou tentando sem sucesso, até chegar ao número 1 0000000000000666 0000000000000 1 e... eureka! Ele encontrou o primeiro número primo com essas características.

O matemático prosseguiu em sua árdua tarefa e concluiu que, além do número acima, com 13 zeros de cada lado, também eram primos os números com 42, 506, 608, 2.472 e 2.623 zeros agregados ao número primo inicial.

Mas...

Acontece que outro matemático, Cliff Pickover - o nosso contador de histórias - percebeu que este primeiro número tinha algumas características "diabólicas".

Desde o princípio, o experimento de Dubner estava concentrado no 666 - o número da besta, segundo o Apocalipse, o último livro do Novo Testamento e da Bíblia cristã:

"Aqui está a sabedoria. Aquele que tem entendimento, calcule o número da besta, pois é número de homem. Ora, esse número é seiscentos e sessenta e seis", diz o capítulo 13 e versículo 18 do Apocalipse.

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Os pássaros que inspiraram o número primo de Belfegor no manuscrito Voynich

Ele também observou que o número da besta neste primeiro número primo "estava rodeado por 13 zeros de cada lado, número supersticiosamente considerado, por muito tempo, de má sorte na cultura ocidental", declarou Pickover à BBC News Mundo, serviço de notícias em espanhol da BBC.

E tem mais. O número tem "ao todo, 31 dígitos, ou seja, 13 ao contrário".

O matemático então decidiu dar ao número 1. 000.000.000.000. 066.6 00.000.000.000.00 1 o nome de "primo de Belfegor".

Belfegor é um dos sete príncipes do inferno, o demônio do pecado capital da preguiça, mas também, curiosamente, dos excrementos. Por isso, ele é elegantemente retratado em um vaso sanitário na ilustração gravada em madeira incluída no Dicionário Infernal, publicado em 1818 e 1863 pelo escritor francês Jacques Auguste Simon Collin de Plancy (1794-1881).

Na Antiguidade, Belfegor não chamou muita atenção, mas sua função foi mudando, e ele chegou a ser encarregado de tentar os mortais com o dom da descoberta e da invenção - o que não parece nada nefasto, enfim...

O número primo de Belfegor tem também seu símbolo: é um π (pi) ao contrário, derivado de um pictograma de pássaro que aparece no manuscrito Voynich, do século 15, que nunca foi decifrado.

Por quê?

Pickover é autor de 50 livros sobre temas que variam de matemática e medicina até a vida após a morte e inteligência artificial.

Seu objetivo declarado é "expor a uma audiência ampla as maravilhas da ciência e da matemática". Para isso, ele utiliza conceitos lúdicos, mas complexos, como "números de vampiros" e "hipercubos mágicos".

"Francis Bacon [o artista, 1909-1992] disse certa vez: 'O trabalho do artista é sempre aprofundar o mistério'. Uso este enfoque em grande parte da minha produção científica", declarou ele à BBC News Mundo.

"Descobri que dar nomes a certos números ou conceitos matemáticos ajuda a estimular o interesse nas pessoas de todas as idades."

"O nome ajuda a concentrar a atenção e a discussão, rejuvenescendo o interesse dos estudantes pela matemática."

"A matemática é o martelo que quebra o gelo do nosso inconsciente", conclui Pickover.

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10³⁰ + 666 × 10¹⁴ + 1: o fascinante número que tem 'reputação diabólica' - BBC News Brasil

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Ele ganhou o nome de um dos sete príncipes do inferno, contém o 'número da Besta' e... a história não para por aí.

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A incrível história de como a França criou o sistema métrico decimal - BBC News Brasil

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Iniciativa surgida na Revolução Francesa resultou em um dos desenvolvimentos mais importantes da história da humanidade, afetando desde a engenharia até o comércio internacional e os sistemas políticos.

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Embora o ábaco esteja em desuso na maior parte do mundo, estudantes no Japão continuam a aprender aritmética com esta ferramenta milenar

O professor lê em voz alta os números que seus alunos devem somar.

São números grandes, de até 11 dígitos, e ele os dita muito rápido.

Em alta velocidade, os alunos movem seus dedos, deslocando bolinhas em um instrumento de madeira.

"Tac tac tac tac tac", se escuta na sala de aula em um ritmo frenético.

O professor termina. Uma aluna levanta a mão. E dá o resultado: 9 quatrilhões, 348 trilhões, 494 bilhões, 63 milhões, 70 mil e 450.

A aluna resolveu o emaranhado matemático em poucos segundos e sem usar a calculadora. Ela somou tudo mentalmente com a ajuda de um ábaco.

No Japão, onde a aula descrita acima acontece, essa invenção milenar que caiu em desuso na maior parte do mundo ainda está bastante vigente.

Nas escolas primárias, o ábaco é ensinado no nível básico, mas há colégios especializados.

Os defensores desse método elogiam sua contribuição para o desenvolvimento cognitivo dos mais jovens, fortalecendo sua memória, concentração e paciência.

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O professor dita com rapidez os números a serem somados - e os alunos fazem a conta com o ábaco em questão de segundos

Uma invenção milenar

Várias civilizações antigas já usavam o ábaco como ferramenta para calcular grandes somas.

Sua origem exata é desconhecida, mas algumas referências ao ábaco datam da época do Império Babilônico, cerca de mil anos antes da nossa era.

Consiste em uma tábua de madeira com cordas e fios paralelos. Em cada um deles, há dez contas (bolinhas) móveis. Com esse instrumento, você pode fazer cálculos aritméticos simples como adição, subtração, multiplicação e divisão, mas também outros mais complexos.

"O ábaco chegou ao Japão em meados do século 16. Eram comuns pequenas escolas particulares que ensinavam leitura, escrita e aritmética na época. O uso do ábaco se espalhou pelo Japão", conta Kazuyuki Takayanagi, professor de ábaco.

No início do século 20, durante o período Showa, muitas escolas especializadas em ábaco foram abertas.

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No início do século 20, foram abertas muitas escolas especializadas em ábaco no Japão

"Acredita-se que o aprendizado dessa ferramenta teve, mais tarde, um papel importante na notória recuperação do Japão no pós-guerra", acrescenta o professor.

Esse método tão antigo deixou de ser usado na maior parte do mundo.

No entanto, milhares de estudantes japoneses aprendem matemática com o ábaco - ou "soroban", como é conhecido em japonês.

Aulas extracurriculares

Takao Taniguchi, outro professor japonês de ábaco, explica que há aulas de soroban para a terceira e quarta séries do ensino fundamental, mas que são apenas de algumas horas.

"Para aprender melhor, muitos alunos fazem aulas extras de ábaco depois da escola", revela.

Normalmente, os estudantes que fazem essas aulas extracurriculares têm entre 5 e 20 anos.

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Muitos alunos optam por ter aulas extracurriculares de ábaco para chegar a um nível mais alto

Os alunos recebem qualificações conhecidas como kyu e dan, semelhantes às faixas concedidas nas artes marciais.

O 10º dan do soroban é o nível mais alto. Quem consegue obter esse grau de qualificação costuma ser capaz de calcular com grande rapidez e precisão.

Uma ferramenta de desenvolvimento cognitivo

"Quando a calculadora eletrônica começou a ser usada, as pessoas viram o ábaco como uma relíquia do passado. Mas aprender a manusear essa ferramenta ajuda a processar as informações de forma mais rápida e eficiente. Desde o século 20, é apenas mais uma calculadora, mas para nós é uma ferramenta de desenvolvimento cognitivo", explica Takayanagi.

Os defensores do ábaco o consideram uma ferramenta que não só melhora o cálculo mental, como também a memória e a concentração.

Os movimentos das mãos criam uma conexão entre o corpo e a mente que tornam o cálculo um processo ativo e envolvente.

Ryosuke Kuno, um estudante no 4º dan do ábaco, começou a aprender a técnica no fim do seu último ano no jardim da infância.

"Agora acho que eu calculo mais rápido nas aulas de matemática e me concentro melhor", diz ele.

"Posso multiplicar números de seis dígitos na minha cabeça e chegar ao resultado em cerca de 11 segundos", garante Yu Ohira, uma estudante no 10º dan do ábaco.

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Yu Ohira diz que consegue multiplicar números de seis dígitos em cerca de 11 segundos

"Acreditamos que o soroban ajuda a desenvolver o hemisfério direito do cérebro. Ao usar uma calculadora digital, ela faz os cálculos, mas o ábaco faz você pensar e mover os dedos. Tudo é feito pelo cérebro humano", destaca Taniguchi.

"Com o ábaco, os estudantes aprendem a ter paciência, a se concentrar e processar melhor as informações", completa.

Kimiko Ohira, outra entusiasta da ferramenta, conta que graças a ela sua filha tem muito mais concentração, além das habilidades matemáticas adquiridas.

"Estou surpresa com a rapidez com que minha filha aprende o conteúdo para as provas. Acho que é porque ela aprendeu a se concentrar", avalia.

Hiiro Saito, outra estudante no 10º dan, descreve como se concentra na hora de calcular:

"Quando faço cálculos mentais, sinto que o interior da minha cabeça fica escuro e só consigo ver as colunas e as bolas do ábaco."

Os acadêmicos reconhecem que, apesar de seus benefícios, não é uma ferramenta fácil de usar, principalmente se não for praticada desde cedo.

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Você já tentou usar o ábaco?

"Aprender o ábaco do zero na idade adulta pode ser um pouco difícil porque (os adultos) estão acostumados com outros métodos de cálculo. Mas se esses alunos continuarem estudando ábaco, os benefícios podem durar por toda a vida", diz Takayanagi.

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Ábaco, a milenar ferramenta de cálculo usada no Japão para reforçar a memória - BBC News Brasil

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É um instrumento em desuso na maior parte do mundo, mas que continua bastante vigente no Japão.

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Por que o 6 é um número perfeito, mas o 7 definitivamente não é - BBC News Brasil

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Grego Euclides disse isso, e os maiores matemáticos da história confirmaram... mas ainda é um mistério.

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Existe uma forma melhor de contar que a de 1 a 10? Para muitos matemáticos, sim - BBC News Brasil

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Há um movimento que defende que a gente adote outra forma de contar — confira os argumentos a favor da mudança.

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Uma das descobertas mais importantes das últimas décadas foi a de que a habilidade dos seres humanos de trabalhar com números está profundamente arraigada na ancestralidade biológica e não se baseia na nossa capacidade em usar a linguagem.

Considerando a variedade de situações em que nós humanos usamos informações numéricas, a vida sem números é inconcebível.

Mas como a competência numérica beneficiou nossos ancestrais, antes de eles virarem o Homo sapiens? E por que esses animais precisariam usar matemática?

Pois se descobriu que processar números oferece uma vantagem significativa para sobrevivência, que é o porquê dessa característica de comportamento estar presente em muitas populações de animais.

Muitos estudos examinando animais nos seus ambientes ecológicos sugerem que ter uma representação dos números melhora a habilidade de um animal de explorar recursos alimentares, caçar, evitar predadores, navegar pelo seu habitat e insistir em interações sociais.

Antes que animais com competências matemáticas evoluíssem no planeta, bactérias microscópicas - os organismos mais antigos da Terra - já exploraram informações quantitativas. As bactérias sobrevivem consumindo nutrientes do seu ambiente. Em geral, elas crescem e se dividem, para se multiplicarem.

No entanto, nos últimos anos, microbiólogos descobriram que elas também têm uma vida social e conseguem sentir a presença ou ausência de outras bactérias. Em outras palavras, elas conseguem pressentir o número de bactérias.

Pegue, por exemplo, a bactéria marinha Vibrio fischeri. Ela possui uma propriedade especial que permite que ela produza luz através de um processo chamado de bioluminescência, parecido com a forma como os vagalumes se iluminam.

Se essas bactérias são diluídas em soluções de água (onde estão essencialmente sozinhas), elas não conseguem produzir luz. Mas quando crescem até atingir um certo número de células, todas produzem luzes simultaneamente. Portanto, as Vibrio fischeri conseguem distinguir entre estarem sozinhas e estarem juntas.

Descobriu-se que elas fazem isso usando uma linguagem química. Elas fazem a secreção de moléculas de comunicação, e a concentração destas moléculas na água aumenta em proporção ao número de células.

E, quando essa molécula atinge uma certa quantidade, chamada de "quórum", ela informa as demais bactérias quantas vizinhas existem, e todas passam a emitir luz.

Esse comportamento é chamado em inglês de "quorum sensing"- as bactérias "votam" emitindo moléculas, os votos são contados e, se um determinado quórum é atingido, todas as bactérias reagem.

Esse comportamento não é exclusivo das Vibrio fischeri - todas as bactérias usam esse método para comunicar o número de células de forma indireta, através da sinalização de moléculas.

E o "quorum sensing" não acontece apenas com bactérias - animais usam isso para se deslocar também.

Formigas japonesas ( Myrmecina nipponica), por exemplo, decidem mudar suas colônias de lugar se elas sentem que há um quórum.

Nesta forma de decisão por consenso, as formigas começam a transportar juntas o seu ninho só se houver um determinado número de formigas presentes já no local de destino. Só depois disso que elas decidem que é seguro mudar seus ninhos de lugar.

A cognição numérica também desempenha um papel vital quando se trata de navegação e desenvolvimento de estratégias eficientes de busca por comida.

Em 2008, os biólogos Marie Dacke e Mandyam Srinivasan realizaram um experimento controlado no qual descobriram que as abelhas são capazes de estimar o número de pontos de referência em um túnel de voo para chegar a uma fonte de alimento - mesmo quando o layout espacial é alterado.

As abelhas usam pontos de referência para medir a distância de uma fonte de alimento até a colmeia. Fazer uma avaliação sobre números é vital para sua sobrevivência.

Quando se trata de procurar comida de forma eficiente, "buscar mais" é uma boa regra prática na maioria dos casos e parece algo óbvio, mas às vezes a estratégia oposta é melhor.

Os ratos adoram formigas vivas, mas as formigas são presas perigosas porque mordem quando estão sob ameaça. Quando um rato é colocado em uma arena junto com dois grupos de formigas de quantidades diferentes, ele surpreendentemente "busca menos".

Em um estudo, os ratos que podiam escolher entre cinco contra 15, cinco contra 30 e 10 contra 30 formigas sempre preferiram a menor quantidade de formigas. Os ratos parecem escolher o grupo menor de formigas para garantir uma boa caçada, com menor risco de serem mordidos com frequência.

As dicas numéricas também desempenham um papel relevante na caça de presas em grupos.

A probabilidade, por exemplo, de que os lobos capturem alces ou bisões varia de acordo com o tamanho de um grupo de caça.

Os lobos frequentemente caçam presas grandes, como alces e bisões, mas presas grandes podem chutar, arranhar e pisar nos lobos até a morte. Portanto, há incentivo para "se segurar" e deixar que outros entrem em ação, principalmente em grupos de caça maiores.

Como consequência, os lobos têm um tamanho de grupo ideal para caçar presas diferentes. Para alces, o grupo ideal de caça deve ter de dois a seis lobos.

No entanto, para o bisão, é melhor que o grupo tenha de nove a 13 lobos. Portanto, para os lobos, prevalece a regra do "quanto mais melhor" durante a caça, mas apenas até um certo número, que depende da resistência de sua presa.

Animais que são mais ou menos indefesos frequentemente procuram abrigo entre grandes grupos de companheiros sociais - a estratégia de sobrevivência do "quanto mais melhor" dificilmente precisa de explicação.

Mas esconder-se em grandes grupos não é a única estratégia contra predadores que envolve competência numérica.

Em 2005, uma equipe de biólogos da Universidade de Washington descobriu que o chickadee preto-tampado (uma espécie de ave) na Europa desenvolveu uma maneira surpreendente de anunciar a presença e a periculosidade de um predador.

Como muitos outros animais, os chickadee emitem gritos de alarme quando detectam um predador potencial, como um falcão, para alertar seus companheiros.

Para predadores parados, esses pequenos pássaros cantam um som chamado de "chick-a-dee". Foi demonstrado que o número de notas "dee" no final deste canto indica o nível de perigo de um predador.

Um grito como "chick-a-dee-dee" com apenas duas notas "dee" pode indicar a presença de uma coruja cinza bastante inofensiva.

As grandes corujas cinzentas são grandes demais para conseguir perseguir os chickadee na floresta, então elas não são vistas como uma ameaça séria.

Já a mesma manobra entre árvores não é problema para a pequena coruja do gênero Gaucidium, razão pela qual ela é um dos predadores mais perigosos para essas pequenas aves.

Quando os chickadees vêem uma coruja pigmeu, eles aumentam o número de notas "dee" e passam a gritar "chick-a-dee-dee-dee-dee". Aqui, o número de sons serve como uma estratégia ativa contra predadores.

Os grupos e o tamanho dos grupos também são importantes se os recursos não podem ser defendidos apenas por indivíduos - e a capacidade de avaliar o número de indivíduos em seu próprio grupo em relação à parte rival tem valor adaptativo claro.

Várias espécies de mamíferos foram investigadas na natureza, e todas têm em comum o fato de que a vantagem numérica determina o resultado dessas lutas.

Em um estudo pioneiro, a zoóloga Karen McComb e colegas da Universidade de Sussex investigaram o comportamento espontâneo de leoas no Parque Nacional do Serengeti quando estavam diante de intrusos.

Os autores exploraram o fato de que animais selvagens respondem a vocalizações tocadas por um alto-falante como se indivíduos reais estivessem presentes.

Quando o alto-falante tocava o som de um leão intruso, que representa uma ameaça, as leoas abordavam agressivamente o alto-falante, como se ele fosse o inimigo.

Neste estudo de reprodução acústica, os autores imitaram a intrusão hostil tocando o rugido de leoas desconhecidas para os residentes.

Duas condições foram apresentadas aos indivíduos: ou as gravações de leões "solteiros" rugindo ou de grupos de três fêmeas rugindo juntas.

Os pesquisadores estavam curiosos para ver se o número de atacantes e o número de defensores teriam impacto na estratégia do defensor.

Curiosamente, uma única mulher defensora estava muito hesitante em abordar as reproduções de um ou três intrusos. No entanto, três defensores prontamente se aproximaram do rugido de um único intruso, mas não do rugido de três intrusos juntos.

Obviamente, o risco de se machucar ao travar uma luta com três oponentes era um prenúncio.

Somente se o número de residentes fosse cinco ou mais é que as leoas se aproximavam dos rugidos dos três intrusos. Em outras palavras, as leoas decidem abordar os intrusos de forma agressiva apenas se elas os superarem - outro exemplo claro da capacidade de um animal de levar em consideração informações quantitativas.

Nossos primos mais próximos no reino animal, os chimpanzés, apresentam um padrão de comportamento muito parecido.

Usando uma abordagem de reprodução semelhante, Michael Wilson e colegas da Universidade de Harvard descobriram que os chimpanzés se comportavam como estrategistas militares.

Eles seguem intuitivamente as equações usadas pelas forças militares para calcular as forças relativas dos seus oponentes.

Em particular, os chimpanzés seguem as previsões feitas no modelo de combate da Lei de Lanchester Quadrática. Este modelo prevê que, em competições com vários indivíduos de cada lado, os chimpanzés desta população devem estar dispostos a entrar em uma competição apenas se superarem o lado oposto por um fator de pelo menos 1,5. E é exatamente isso que os chimpanzés selvagens fazem.

Sobreviver - do ponto de vista biológico - é um meio para se chegar a um fim, e o objetivo é a transmissão de genes.

Nos besouros da larva-da-farinha ( Tenebrio molitor), muitos machos acasalam com muitas fêmeas e a competição é intensa.

Portanto, um besouro macho sempre irá atrás de mais fêmeas para maximizar suas oportunidades de acasalamento.

Após o acasalamento, os machos até guardam as fêmeas por algum tempo para evitar futuros atos de acasalamento de outros machos. Quanto mais rivais um macho encontrar antes do acasalamento, mais tempo ele guardará a fêmea após o acasalamento.

É óbvio que tal comportamento desempenha um papel importante na reprodução e, portanto, tem um alto valor adaptativo.

Ser capaz de estimar quantidade melhorou a competitividade sexual dos machos. Isso pode, por sua vez, ser uma força motriz para uma estimativa de quantidade cognitiva mais sofisticada ao longo da evolução.

Pode-se pensar que tudo se ganha com uma cópula bem-sucedida.

Mas isso está longe de ser verdade para alguns animais, para os quais o verdadeiro prêmio é fertilizar um ovo. Uma vez que os parceiros de acasalamento individuais cumpram sua parte na peça, o esperma continua a competir pela fertilização do óvulo.

Já que a reprodução é de suma importância na biologia, a competição de espermas causa uma variedade de adaptações no nível comportamental.

Tanto em insetos quanto em vertebrados, a capacidade dos machos de estimar a magnitude da competição determina o tamanho e a composição da ejaculação.

No pseudoescorpião Cordylochernes scorpioides, por exemplo, é comum que vários machos copulem com uma única fêmea.

Obviamente, o primeiro macho tem as melhores chances de fertilizar o óvulo dessa fêmea, enquanto os machos a seguir têm chances cada vez menores de gerar filhos. No entanto, a produção de espermatozoides é cara, então a alocação de espermatozoides é pesada considerando as chances de fertilizar um óvulo.

Os machos cheiram o número de machos competidores que copularam com uma fêmea e se ajustam diminuindo progressivamente a alocação de esperma à medida que o número de diferentes pistas olfativas masculinas aumenta de zero para três.

Enquanto isso, algumas espécies de pássaros inventaram todo um arsenal de truques para se livrar do fardo da paternidade e permitir que outros façam esse trabalho.

Criar uma ninhada e criar filhotes são empreendimentos caros, afinal.

Eles se tornam parasitas de crias ao colocar seus ovos em ninhos de outras aves e deixar o hospedeiro fazer todo o trabalho duro de incubar os ovos e alimentar os filhotes.

Naturalmente, os potenciais anfitriões não estão satisfeitos e fazem de tudo para evitar serem explorados. E uma das estratégias de defesa que o hospedeiro potencial tem à sua disposição é o uso de pistas numéricas.

Os galeirões-americanos, por exemplo, enfiam ovos nos ninhos de seus vizinhos e esperam enganá-los para que eles criem os filhotes.

Claro, seus vizinhos tentam evitar serem explorados.

Um estudo no habitat natural dos galeirões sugere que potenciais hospedeiros galeirões podem contar seus próprios ovos, o que os ajuda a rejeitar ovos parasitas. Eles normalmente colocam uma ninhada de tamanho médio de seus próprios ovos e, posteriormente, rejeitam qualquer excesso de ovo parasita.

Portanto, os galeirões parecem avaliar o número de seus próprios ovos e ignorar quaisquer outros.

Um tipo ainda mais sofisticado de parasitismo de ninhada é encontrado em chupins (aves do gênero Molothrus), uma espécie de pássaro canoro que vive na América do Norte.

Nesta espécie, as fêmeas também depositam seus ovos nos ninhos de uma variedade de espécies hospedeiras, desde pássaros pequenos até os maiores, e elas precisam ser espertas para garantir que seus futuros filhotes tenham um futuro brilhante.

Ovos de chupim se abrem após exatamente 12 dias de incubação; se a incubação for de apenas 11 dias, os pintinhos não nascem. Portanto, não é por acaso que os tempos de incubação dos ovos dos hospedeiros mais comuns variam de 11 a 16 dias, com média de 12 dias.

As aves hospedeiras geralmente colocam um ovo por dia - uma vez que um dia se passa sem que nenhum ovo seja adicionado pelo hospedeiro ao ninho, o hospedeiro começa a incubação.

Isso significa que os pintinhos começam a se desenvolver nos ovos e o período começa a contar. Para uma fêmea de chupim, portanto, não é apenas importante encontrar um hospedeiro adequado, mas também determinar o momento exato para colocar o ovo.

Se a chupim botar seu ovo muito cedo no ninho hospedeiro, ela corre o risco de seu ovo ser descoberto e destruído. Mas se ela botar o ovo muito tarde, o tempo de incubação terá expirado antes que seu filhote de chupim possa chocar.

Experimentos de David J White e Grace Freed-Brown, da Universidade da Pensilvânia, sugerem que as fêmeas do chupim monitoram cuidadosamente a ninhada do hospedeiro para sincronizar seu parasitismo com a incubação de um hospedeiro em potencial.

As fêmeas do chupim ficam atentas aos ninhos hospedeiros nos quais o número de ovos aumentou desde sua primeira visita. Isso garante que o hospedeiro ainda está em processo de colocação de ovo e a incubação ainda não começou.

Além disso, a chupim está procurando ninhos que contenham exatamente um ovo adicional por número de dias decorridos desde sua visita inicial.

Por exemplo, se a fêmea do chupim visitou um ninho no primeiro dia e encontrou um ovo hospedeiro no ninho, ela só depositará seu próprio ovo se o ninho hospedeiro contiver três ovos no terceiro dia.

Se o ninho contiver menos ovos adicionais do que o número de dias decorridos desde a última visita, ela sabe que a incubação já começou e é inútil para ela botar seu próprio ovo.

Isso é extremamente exigente do ponto de vista cognitivo, já que a fêmea do chupim precisa visitar um ninho ao longo de vários dias, lembrar-se do tamanho da ninhada de um dia para o outro, avaliar a mudança no número de ovos no ninho de uma visita anterior ao presente, avaliar o número de dias que se passaram e, em seguida, comparar esses valores para tomar a decisão de botar o ovo ou não.

Mas não é só isso. As mães-chupim também têm estratégias de reforço sinistras. Elas vigiam os ninhos onde colocam seus ovos.

Na tentativa de proteger seu ovo, elas agem como gangsters na máfia. Se a chupim descobre que seu ovo foi destruído ou removido do ninho do hospedeiro, ela revida destruindo os ovos do pássaro hospedeiro, bicando-os ou levando-os para fora do ninho e jogando-os no chão.

É melhor que os pássaros hospedeiros criem o filhote de chupim, ou então terão que pagar caro. Para os pais anfitriões, pode valer a pena passar por todo o trabalho de criar um filhote adotivo de um ponto de vista adaptativo.

O chupim é um exemplo surpreendente de como a evolução levou algumas espécies a permanecer no negócio de transmitir seus genes. As pressões de seleção existentes, sejam impostas pelo ambiente inanimado ou por outros animais, forçam as populações de espécies a manter ou aumentar as características adaptativas causadas por genes específicos.

Se avaliar os números ajuda nessa luta para sobreviver e reproduzir, certamente isso é apreciado e confiável.

Isso explica por que a competência numérica é tão difundida no reino animal: ela evoluiu porque foi descoberta por um ancestral comum anterior e passada a todos os descendentes, ou porque foi inventada em diferentes ramos da árvore da vida animal.

Independentemente de sua origem evolutiva, uma coisa é certa - a competência numérica é certamente um traço adaptativo.

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A surpreendente maneira como os animais compreendem os números - BBC News Brasil

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Uma das descobertas mais importantes das últimas décadas foi a de que a habilidade dos seres humanos de trabalhar com números está profundamente arraigada na ancestralidade biológica e não se baseia na nossa capacidade em usar a linguagem. Considerando a variedade de situações em que nós humanos usamos informações numéricas, a vida sem números é inconcebível.

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Episódio #024 - Frege e a Análise Lógica do Conceito de "Número"

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Listen to this episode from Número Imaginário on Spotify. O que é um número? Neste episódio falarei um pouco sobre a construção lógica do conceito de número realizada pelo matemático, lógico e filósofo Gottlob Frege..

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São Paulo - Quem prestou atenção nas aulas de matemática na escola deve se lembrar dos números primos. São aqueles divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos, como 2, 3, 5, 11 e 20.477. O último desses cinco algarismos até parece grande, mas há um projeto de pesquisa global dedicado a descobrir valores desse tipo cada vez maiores. E os participantes desse projeto conseguiram, no final de 2018, encontrar o novo maior número primo da história.

O chamado -1 (ou 2 multiplicado por si mesmo 82.589.933 de vezes, menos 1). Um ZIP ( M82589933 tem 24.862.048 de dígitos, 1,5 milhão a mais do que o recordista anterior, e é expresso simplesmente como 2^ 82,589,933 link) com o algarismo inteiro foi disponibilizado pelo Great Internet Mersenne Prime Search ( GIMPS), se estiver curioso.

O novo maior número primo da história é o 51º primo de Mersenne descoberto até agora. Esses algarismos levam o nome graças ao padre francês Marin Mersenne, um pioneiro na área que viveu entre 1588 e 1648. Ele é também a inspiração para o GIMPS mencionado acima, um projeto de pesquisa colaborativo criado em 1996 dedicado aos primos.

O grupo disponibiliza um software gratuito que, em resumo, faz contas para chegar a novos números primos gigantes. Voluntários podem baixá-lo e emprestar o poder de processamento de seus PCs para ajudar a agilizar o processo de descoberta. O M82589933 foi inclusive encontrado por um profissional de TI na Flórida que é voluntário há apenas quatro meses.

Depois de descoberto, ainda no começo de dezembro, o número foi verificado por outros membros do projeto no decorrer das duas semanas seguintes. Cálculos foram refeitos em três sistemas diferentes, até sair a comprovação: os matemáticos tinham realmente mais um número primo para chamar de "seu". Mas por que isso importa?

Para que pesquisar números primos?

"Essa é uma pergunta que aparece muito na matemática pura", disse a EXAME Augusto Teixeira, pesquisador do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). "Existem muitas áreas cujas descobertas às vezes não têm uma aplicação imediata, mas que continuam na ativa na esperança de que tudo se torne útil um dia." Foi assim que começou com esses algarismos quando as pesquisas em torno deles foram iniciadas.

Até que veio a criptografia e os números primos encontraram um "lar". Hoje, eles são aplicados diretamente nessa área, que é outra que parece distante, mas da qual dependem muitos processos que você certamente faz no dia a dia. Pagar uma conta na internet, por exemplo, não seria possível sem uma solução que protegesse as informações sensíveis - e por, consequência, sem esses algarismos tão peculiares.

Os números primos são a base do sistema de criptografia RSA, um dos mais importantes da história. Desenvolvido em 1978 pelo matemático Ron Rivest, o criptógrafo Adi Shamir e o cientista da computação Leonard Adleman, ele foi criado para proteger a transmissão de informações online.

O sistema usa uma combinação de duas chaves, uma pública e outra privada. Em resumo, a primeira, que pode ser divulgada à vontade, é usada para cifrar as informações, enquanto a segunda, sempre mantida em segredo, serve para decifrá-las.

Há toda uma série de operações matemáticas por trás da criação das duas chaves, mas, basicamente, a chave pública é o resultado da multiplicação de dois números primos enormes. Não estamos falando de milhões de dígitos, no entanto - 100, 200 ou 300 bastam. Mas para quebrar a proteção criada por essa chave, é preciso descobrir quais são os dois números originais. E é aí que mora a "magia" desses algarismos.

"Mágica" criptográfica

"Fazendo uma analogia, multiplicar dois números primos enormes é como quebrar um vaso", explicou o pesquisador Teixeira, do IMPA. É fácil de fazer, mas quase impossível de voltar atrás - quem já tentou juntar os cacos de uma porcelana quebrada vai entender bem. "Existem poucos métodos bons para desfazer a conta, e mesmo os melhores podem levar séculos para conseguir descobrir a senha do banco de uma pessoa."

Isso tem a ver com o teorema fundamental da matemática, que diz que qualquer algarismo inteiro é o produto da multiplicação de números primos. O site ExtremeTech cita dois bons exemplos em um artigo:

222 = 2 x 3 x 37

123.228.940 = 2 x 2 x 5 x 23 x 79 x 3391

Há métodos para fazer essas fatorações e descobrir os números primos por trás deles, mas eles não são bons quando os algarismos são gigantescos. O mesmo artigo do ExtremeTech diz que, com o mesmo método usado para "quebrar" um algarismo de sete dígitos, até mesmo um supercomputador pode levar séculos para fatorar outro de 500 dígitos. Por isso a criptografia baseada nisso é eficaz.

Mas não quer dizer que a segurança seja impenetrável. Pesquisadores conseguiram desmontar um número de 232 dígitos (768 bits) em um desafio da RSA usando uma rede de computadores, em 2010. Foi suficiente para que a empresa deixasse de lado as chaves daquele tamanho. Hoje, ela dá prioridade a algarismos maiores, de 1024 bits, 2048 bits e 4096 bits, sempre com mais de 309 dígitos.

Futuro nebuloso

A evolução do poder de processamento dos computadores pode fazer com que, no futuro (ainda que distante), mesmo as chaves maiores possam ser quebradas. O principal risco mora nos computadores quânticos, que ainda estão engatinhando, mas que prometem uma revolução na computação.

Há quem diga que adotar algarismos cada vez maiores para gerar chaves virtuais possa manter a criptografia baseada em números primos útil. Eventualmente, ainda que em um futuro muito distante, isso pode dar uma aplicação prática ao 51º primo de Marsenne descoberto agora e também aos recordistas anteriores.

Mas Teixeira, o pesquisador do IMPA, acredita que a computação quântica um dia seja capaz de fatorar mesmo os maiores números primos com facilidade. Não quer dizer que ficaremos inseguros: há outros métodos eficazes para proteger informações, como a criptografia por curvas elípticas já usada atualmente. Só que isso pode comprometer a aplicação dos algarismos primos na segurança, o que levaria às pesquisas acerca deles novamente a um período de "hibernação". Mas só até encontrarmos outro uso para eles.

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Por que a descoberta do maior número primo da história importa? | Exame

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Pesquisadores descobriram um número primo de 24.862.048 dígitos - e a criptografia agradece

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Neste vídeo apresentamos o algoritmo da divisão, ou algorítmo de Euclides, em Z com exemplos e aplicação.

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Crédito, Andrew Sutherland

Legenda da foto,

'Descobrir finalmente a solução para k=42 é muito gratificante; e, em certo sentido, confirma que tudo vai bem no mundo da matemática', afirma Andrew Sutherland, do MIT

Foram meses testando fórmulas matemáticas, sem indício algum de que o esforço daria frutos.

Por isso, quando os matemáticos Andrew Sutherland e Andrew Booker finalmente encontraram a resposta para o problema, o que sentiram foi uma verdadeira "explosão de emoção".

A questão sobre a qual se debruçavam não era nada fácil. Há 65 anos, matemáticos de todo o mundo tentavam resolver o quebra-cabeças da soma de três parcelas elevadas ao cubo que teria como resultado o número mais difícil de ser alcançado para essa equação: o 42.

Ou, dito de outra maneira, a pergunta-chave era: existem mesmo três cubos cuja soma seja 42?

Algoritmo inteligente

Este problema - estabelecido pela primeira vez em 1954 na Universidade Cambridge, na Inglaterra, e conhecido como a "Equação diofantina x³+y³+z³=k" - desafiou os matemáticos a encontrar soluções para os números de 1 a 100.

Quando formada por algarismos pequenos, uma equação como essa é mais fácil de resolver: por exemplo, o 29 poderia ser escrito como 3³+1³+1³. Por outro lado, há outros números que são insolúveis, como o 32.

Crédito, Getty Images

Legenda da foto,

O enigma da soma de três cubos foi estabelecida pela primeira vez em 1954 na Universidade de Cambridge, na Inglaterra

Nos últimos anos, utilizando diversas técnicas e supercomputadores, todos os números foram resolvidos (ou, para alguns, definiu-se que não havia solução, como o 32), com exceção de dois números: o 33 e o 42.

O matemático Andrew Booker, da Universidade Bristol, então, criou um algoritmo inteligente que, depois de passar semanas rodando em seu supercomputador, em março deste ano encontrou a solução para o 33.

Mas o número 42 tinha um outro nível de complexidade. Quando quis resolvê-lo, Booker percebeu que seu supercomputador não tinha capacidade suficiente para uma tarefa dessa magnitude.

Ele, então, entrou em contato com seu amigo Andrew Sutherland, um dos principais pesquisadores do departamento de matemática do Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), nos Estados Unidos.

Um parêntese: o número 42 tem significado especial para os fanáticos da saga de ficção-científica Guia do Mochileiro das Galáxias, de Douglas Adams, porque essa é a resposta dada por um supercomputador à pergunta sobre "o sentido da vida, o universo e tudo mais".

Fanático pela obra de Adams, o matemático Sutherland considerou a proposta do colega Booker irresistível. "Fiquei emocionado quando Andy pediu que eu me unisse a ele neste projeto", afirmou o pesquisador do MIT.

'Computador global' trouxe a solução

O segredo por trás da solução do problema se chama Charity Engine, uma espécie de "computador global" que aproveita a potência de mais de 400 mil computadores domésticos do mundo todo.

A cada um desses computadores, os matemáticos deram uma determinada faixa de possibilidades - ou, como nomearam, um "d" (parâmetro que determina um conjunto relativamente pequeno de possibilidades para x, y, z). A partir daí, os cálculos começaram.

Crédito, Andrew Sutherland

Legenda da foto,

Este arquivo de gráficos vetoriais representa os tempos de cálculo para cada um dos mais de 400 mil computadores utilizados para executar a solução

Depois de meses de trabalhos de adequação dos códigos, o Charity Engine enviou a Booker e Sutherland, finalmente, um muito esperado e-mail, com a almejada solução - que, atestou o supercomputador, é a seguinte: 42 = -80538738812075974³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³.

"Minha primeira reação foi de choque. Com certeza, esperávamos encontrar uma solução. Mas, depois de centenas de milhares de informes que não traziam resultado, e de várias semanas de ajustes dos parâmetros, de checagens e rechecagens do código, quando veio a solução foi realmente uma grande surpresa", explicou Sutherland.

Ao receber a solução, relembrou o matemático, ele sentiu-se tão eufórico que, ainda de pijamas, correu escada acima para contar à esposa. "Encontrar finalmente a tão esperada solução para o problema k=42 é muito gratificante. E, em certo sentido, confirma que tudo está bem no mundo das matemáticas", resumiu.

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Após 65 anos, matemáticos finalmente solucionam 'enigma da soma dos três cubos' - BBC News Brasil

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Existem três números ao cubo cuja soma seja 42? Depois de mais de seis décadas sem solução, o enigma que intrigava matemáticos e entusiastas da teoria dos números por fim terminou

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A história desconhecida das 6 matemáticas que programaram 1º supercomputador - BBC News Brasil

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Contribuição de mulheres na história da computação foi ignorada por anos, até que historiadora resolveu escrever livro sobre assunto.

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A compreensão do conceito de função, segundo Bergeron e Herscovics1, se dá em quatro níveis:
compreensão intuitiva, matematização inicial, abstração e formalização.

Esta atividade se propõe a trabalhar no nível de formalização, promovendo o uso da linguagem simbólica e da notação de função. Como recurso didático utilizaremos inicialmente um jogo denominado Corrida de Obstáculos.

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Função - Promover a compreensão da linguagem formal algébrica no estudo de funções.

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A compreensão do conceito de função, segundo Bergeron e Herscovics1, se dá em quatro níveis: compreensão intuitiva, matematização inicial, abstração e formalização. Esta atividade se propõe a trabalhar no nível de formalização, promovendo o uso da linguagem simbólica e da notação de função.

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Funções com o Winplot | Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

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Este é um vídeo introdutório de funções com o Winplot, que pode ser usado com os alunos do Ensino Fundamental II.

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Sinopse

Uma jovem recebe um belo amuleto de presente de um amigo que explica algumas propriedades do quadrado mágico que o amuleto ostenta.

Conteúdos

Progressão Aritmética

propriedade comutativa da soma

Simetria

Quadrado Mágico

valor médio

Objetivos

1. Apresentar os quadrados mágicos, suas propriedades e curiosidades;

2. Trabalhar noções de equivalência algébrica e simetrias;

3. Utilizar raciocínio matemático e métodos algébricos para obter a constante mágica.

Créditos

Autores

conteudo Samuel Rocha de Oliveira
roteiro Fábio Camarneiro
guia Waldeci Ribeiro do Nascimento, Gilberto José Soares, Samuel Rocha de Oliveira

Revisores

conteudo Adolfo Maia Jr.
roteiro Frederico Gualberto de Souza, Sarah Yakhni
guia
graficos_formulas Raphael Garcia

09/12/2011

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Guia do professor

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Aqui você pode baixar o vídeo e o seu respectivo Guia do Professor com alguns aprofundamentos de conteúdo e sugestões de atividades que podem ser utilizadas antes ou depois a exibição do vídeo.

O vídeo de apresentação está no formato leve do YouTube, mas o vídeo original em formato mpg é de boa resolução e tem aproximadamente 100 Mb, portanto recomendamos que se faça primeiro o download para o seu computador e depois seja feita a visualização com, por exemplo, o software VLC. O Pacote completo é um arquivo comprimido (zip) com o vídeo em mpg e o Guia do Professor em pdf.

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Amuleto mágico - Coleção de recursos educacionais - Matemática multimídia

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Uma jovem recebe um belo amuleto de presente de um amigo que explica algumas propriedades do quadrado mágico que o amuleto ostenta. Progressão Aritmética propriedade comutativa da soma Simetria Quadrado Mágico valor médio Apresentar os quadrados mágicos, suas propriedades e curiosidades; Trabalhar noções de equivalência algébrica e simetrias; Utilizar raciocínio matemático e métodos algébricos para obter a constante mágica.

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Você se lembra de ter que memorizar tabelas de tempos e fatos de divisão na escola primária? Que tal aprender a resolver equações de adição e subtração de um, dois e três dígitos e resolver uma quantidade infinita de problemas práticos? O estudo das quatro operações básicas - adição, subtração, multiplicação e divisão - são exemplos de operações binárias, e o estudo das operações binárias forma a base sobre a qual a álgebra abstrata é construída. Então, o que é uma operação binária?

Para definir formalmente uma operação binária, precisamos primeiro falar sobre conjuntos. Um é uma coleção de objetos, onde os objetos não estão em nenhuma ordem particular e não há repetições. Pense em um conjunto como uma caixa matemática; coisas são simplesmente jogadas na caixa em nenhuma ordem específica, mas podemos descrever o que há nela. Normalmente denotamos conjuntos com letras maiúsculas, como S. Ao longo desta lição, frequentemente usaremos S para denotar um conjunto arbitrário. Freqüentemente, chamamos as coisas da caixa de elementos, que podem incluir números, palavras, funções ou até mesmo gatos, se quisermos ficar realmente malucos.

pega dois elementos de um conjunto S e produz um terceiro elemento, também do conjunto S. Pense em uma operação binária como uma máquina matemática que pega duas entradas e produz uma saída. As entradas e saídas são sempre do mesmo conjunto S. Em geral, a ordem das entradas é importante: vejamos alguns exemplos de operações binárias.

Adição, subtração, outro

Considere as operações binárias de adição e subtração, as primeiras que aprendemos na escola primária. Quando usamos a operação binária de adição, podemos pegar dois números inteiros, como 1 e 2, e adicioná-los, assim: 1 + 2 = 3. Neste exemplo, 1 é a primeira entrada, 2 a segunda entrada e 3 a saída. Da mesma forma, podemos subtrair: 2 - 1 = 1; neste exemplo, 2 é a primeira entrada, 1 a segunda entrada e 1 a saída.

Outras Operações Binárias

Multiplicação e divisão também são operações binárias. Se você já trabalhou com matrizes, a adição e multiplicação de matrizes são outros exemplos de operações binárias. A composição de funções é outro exemplo amplamente estudado na álgebra abstrata.

Classificação de operações binárias

Uma vez que existem tantas operações binárias, muitas das quais podem ter aparência bastante desagradável, como o diamante que definimos acima, gostamos de classificá-las de acordo com suas propriedades, especificamente operações comutativas e associativas. Ao falar sobre essas operações, usaremos um asterisco (∗) para representar qualquer operação binária arbitrária, assim como as variáveis ​​são freqüentemente usadas para representar números arbitrários.

Como toda operação binária está associada a um conjunto, podemos dizer que a operação binária e esse conjunto formam uma . Representamos a estrutura binária escrevendo os símbolos entre parênteses: (S, ∗). Então, por exemplo, usando Z para representar os inteiros, dizemos que (Z, +) é uma estrutura binária.

Para que um conjunto e uma operação formem uma estrutura binária, a operação precisa ser sobre o conjunto. Em outras palavras, se usarmos a operação binária para combinar dois elementos de um conjunto, o resultado ainda deve estar no conjunto. Tome, por exemplo, os números naturais, também conhecidos como todos os inteiros maiores que zero. Freqüentemente representamos os números naturais usando N.

A adição é fechada sobre este conjunto, mas a subtração não, pois temos exemplos como 3 - 4 = −1. Os números 3 e 4 são números naturais, mas a saída, -1, não é. Portanto, a subtração não é fechada sobre os números naturais e (N, -) forma uma estrutura binária. Uma operação também pode falhar ao ser fechada por não fornecer uma saída para duas entradas fornecidas: por exemplo, 3 ÷ 0 é indefinido, o que significa que não podemos formar uma estrutura binária com os inteiros e a divisão.

é uma forma de combinar elementos ou números de um determinado conjunto. Um é uma coleção de objetos, onde os objetos não estão em nenhuma ordem particular e não há repetições. A operação pode ser se a ordem em que combinamos os elementos do conjunto não importa e se podemos mover os parênteses ao combinar três elementos em uma determinada ordem. Se uma operação binária for sobre um conjunto, essa operação junto com o conjunto formará uma

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Operação binária e estrutura binária: conjuntos padrão em álgebra abstrata - Estudyando

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Operações Binárias Você se lembra de ter que memorizar tabelas de tempos e fatos de divisão na escola primária? Que tal aprender a resolver equações de adição e subtração de um, dois e três dígitos e resolver uma quantidade infinita de problemas práticos? O estudo das quatro operações básicas - adição, subtração, multiplicação e divisão [...]

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Dalia Ventura

BBC News Mundo

Crédito, Getty Images

"Os dedos da donzela iam e vinham em uma nebulosa de movimentos incompreensíveis, como pequenos vermes em uma nascente de água borbulhante."

Foi assim que o escritor romano do século 5 Marciano Capela imaginava a dama da Aritmética, uma "mulher de extraordinária beleza, que possuía a majestade de uma antiguidade nobilíssima", em "De Nuptiis", obra em que personificou as sete artes liberais.

Essa dança que Aritmética executava com as mãos era a arte complexa e altamente valorizada de contar nos dedos.

Na prática, aquela mesma habilidade que você aprendeu quando era pequeno e que provavelmente ainda usa de vez em quando, embora talvez de forma mais discreta.

A grande diferença é que enquanto hoje muitos de nós não contam além de 10, no passado apenas com os dedos das mãos se contava até 9.999 (e podia chegar até 1 milhão, colocando as mãos em certas formas em diferentes partes do corpo)

"Este sistema foi usado desde os tempos romanos até a Idade Média (séculos 11 a 13) em toda a Europa", Seb Falk, autor do livro "The Light Ages" ( ou "A Idade da Luz", em tradução livre para o português) e especialista em história medieval.

O Venerável

A melhor descrição que temos dessa habilidade mágica aparece em um livro intitulado De temporum ratione ou "Na contagem do tempo", escrito no início do século 8 por um monge que vivia em um dos cantos mais remotos do mundo.

De um mosteiro em Jarrow, no nordeste da Inglaterra, ele criou obras que lançaram luz sobre a civilização ocidental, tornou-se um estudioso de renome internacional e, finalmente, um santo - São Beda, o Venerável.

De temporum ratione foi o primeiro tratado abrangente sobre um assunto que era de grande preocupação até a reforma gregoriana em 1582: a ciência do cálculo do tempo e a arte da construção do calendário.

"A base do calendário cristão era a Páscoa. Essa data tinha que ser identificada meses, ou anos, antes, e isso desencadeou grandes debates do Atlântico a Alexandria."

Se essa data importante fosse o domingo após a primeira lua cheia ou o equinócio, ela teria que ser fixada com antecedência - já que muitos outros festivais cristãos dependem dela -, para isso eles tiveram que combinar o ciclo solar - a Terra girando em torno do Sol, embora para eles, era o Sol que girava em torno da Terra - o ciclo lunar e os dias da semana.

"É um sistema complicado, mas, de modo geral, os astrônomos descobriram que em 19 anos o ciclo se repetiria e a lua nova ocorreria no mesmo dia, então eles tiveram que calcular onde estavam naquele ciclo de 19 anos.

"Beda escreveu De temporum ratione para explicar como fazê-lo. Representando o sistema solar em duas mãos e o lunar em apenas uma, o método tornou possível chegar à data correta da Páscoa em questão de segundos. Não foi à toa que seu manual enciclopédico foi impresso e copiado por centenas de anos."

E naquele livro que mostra como as mãos, esses dispositivos portáteis por excelência, funcionam como computadores, Beda também descreveu como contar até 9.999.

"Assim como, quando escrevemos, temos uma coluna para as unidades, outra para as dezenas, as centenas e os milhares, eles dedicaram o dedo mínimo, anelar e médio da mão esquerda às unidades e o indicador e polegar às dezenas; na mão direita, o polegar e o indicador indicavam as centenas e os outros três dedos, os milhares.

"Diferentes combinações desses dedos em diferentes posições permitiram representar todos esses números."

Muito complicado?

Beda ainda dá dicas para aprender a contar: dizer os números em voz alta, enquanto ensina as mãos a se acostumar com gestos que às vezes são difíceis de replicar, até que você os memorize.

Uma vez destro, você também pode usar suas mãos para adicionar, subtrair, multiplicar, basicamente, como um ábaco.

E o Venerável também sugere usá-lo para brincar e se divertir.

"Era um código, uma linguagem gestual, que se usava nos mercados - como o que as corretoras usam - porque era uma forma eficiente de comunicar em meio ao barulho e à distância", explica Falk.

"Mas quem o usava mais eram os monges, não só para se comunicar nos mosteiros, onde o silêncio é precioso, mas também usavam as mãos para memorizar textos filosóficos e fórmulas matemáticas."

Em caso de emergência

A contagem com os dedos também serviu de código, em que os números foram substituídos por letras -a = 1; b = 2 ...-, algo útil mesmo em situações perigosas.

"Por exemplo, se você quiser alertar um amigo que está entre traidores para ser cauteloso, mostre-lhe com os dedos 3, 1, 20, 19, 5 e 1, 7, 5 ; nessa ordem, as letras representam caute age (agir com cautela). Pode ser redigido, se necessário, com um maior grau de sigilo", explica Beda em De temporum ratione.

Mas esse código manual também foi valioso para o estudo de algo muito precioso na vida monástica: a música.

"A música era estudada de uma forma muito científica; para os monges era uma ciência matemática. Eles pensavam constantemente na relação entre as diferentes harmonias, nas relações aritméticas entre as diferentes notas da escala musical.

"Para esse tipo de filósofos, tudo estava relacionado, tudo havia sido criado por Deus por algum motivo, e aquele da 'harmonia das esferas' e da 'música universal' não era uma metáfora".

Esta antiga teoria de origem pitagórica postulava que o Universo era governado de acordo com proporções numéricas harmoniosas e que o movimento dos corpos celestes seguia proporções musicais.

"Os planetas tocavam uma espécie de música criada pela velocidade com que giravam, que era como uma frequência: quanto mais alta a frequência, mais alta a nota.

"Para lembrar as diferentes notas musicais e configurações de harmonias, eles usaram as mãos."

Naquela época, vale lembrar que a memória era uma ferramenta indispensável.

"O material de escrita era muito caro, os livros escassos e muito valorizados."

E estes últimos ainda são preciosos, sobretudo aqueles como o venerável Beda que nos permite imaginar aquela dança manual científica e por vezes lúdica que durante séculos serviu da contagem à evocação da melodia cósmica.

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A criativa maneira como se contava até 9.999 nos dedos na Idade Média - BBC News Brasil

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Desde os tempos da Roma Antiga até a Idade Média, as pessoas usavam as mãos não apenas para contar grandes quantidades, mas também para calcular coisas muito importantes.

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Ana Pais (@_anapais)

Da BBC News Mundo

Crédito, GETTY

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Um gugol é 1 seguido de 100 zeros; termo inspirou nome do mecanismo de pesquisa do Google

10. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000.

Não precisa contar: trata-se de um número 1 seguido de 100 zeros - ou, como preferem os matemáticos, 10 elevado a 100 (10^100). O gugol é tão grande que supera a quantidade de átomos que existem no Universo (estima-se hoje que eles seriam em torno de 10 elevado a 80 - ou 10^80).

Em 1937, durante uma conferência, o matemático americano Edward Kasner disse que "para a maioria das pessoas, o número é tão grande que é infinito, tão grande que não se pode nomeá-lo ou falar dele".

"Portanto, falarei dele. Direi a vocês exatamente o que ele é", acrescentou Kasner na ocasião.

Foi ele próprio quem criou o termo gugol, palavra que mais tarde serviria de inspiração para uma das marcas mais valiosas e influentes do planeta: Google.

Como professor da Universidade de Columbia, nos Estados Unidos, Kasner buscava explicar conceitos matemáticos complexos e gerar interesse pela ciência.

O matemático "queria chamar atenção para números enormes por meio de seus significados e quantidades", explica à BBC News Mundo, o serviço de notícias em espanhol da BBC, o matemático Javier Aramayona, pesquisador do Instituto de Ciências Matemáticas (ICMAT) da Espanha.

Crédito, Domínio público

Legenda da foto,

Edward Kasner teve ideia de batizar um número 'enorme' e pediu ao sobrinho de 9 anos para batizá-lo

Para isso, ele inventou um nome atraente para um destes números grandes - particularmente, o 1 seguido de 100 zeros.

Na virada dos anos 20 para os anos 30, Kasner recorreu à ajuda de seu sobrinho Milton Sirotta, de 9 anos, e pediu que ele batizasse o número. A única condição era que ele tivesse muitas letras "o" para representar a sequência de zeros.

Milton não só cunhou o termo gugol ("googol" em inglês), como também gugolplex ("googolplex"), que se refere a um 1 seguido de uma quantidade gugol de zeros. O termo também se popularizou.

Sem uso prático

"Os nomes servem simplesmente para que possamos nos referir de forma concisa ao que representam", diz Aramayona.

Após lembrar que existem infinitos números naturais (1, 2, 3, 4...), o matemático explica que há certos números "enormes" que são conhecidos por nomes específicos porque estão associados a problemas concretos.

Um exemplo é o número de Shannon (um 1 seguido de 120 zeros), que "surge ao se estudar a complexidade do xadrez", ou seja, na estimativa da quantidade de partidas possíveis que o jogo oferece.

Se por um lado o nome gugol provou seu objetivo de divulgação e segue conhecido 100 anos depois, por outro, Aramayona explica que ele "não tem uma utilidade prática concreta".

Em sua opinião, "possivelmente, grande parte da fama do termo gugol se deve ao fato de ele ter servido de inspiração para o nome Google".

Crédito, NASA/JPL-CALTECH

Legenda da foto,

'Estimativa atual do número total de átomos no universo é 10 elevado a 80', diz matemático Javier Aramayona

De Backrub a Google

"A história do Google começa em 1995, na Universidade Stanford", narra a página oficial do buscador, que se tornou um império tecnológico, comercial e de comunicações.

Foi lá que Larry Page e Sergey Brin se conheceram e, alguns anos depois, "trabalhando em seus quartos, criaram um mecanismo de pesquisa que usava links para determinar a importância de páginas individuais na rede mundial de computadores" - o qual eles chamaram de Backrub.

"Depois, o Backrub passou a se chamar Google", diz a empresa. "O nome era um jogo de palavras com a expressão matemática usada para o número 1 seguido de 100 zeros, e refletia com precisão a missão de Larry e Sergey de 'organizar as informações do mundo e as tornar universalmente acessíveis e úteis'", diz o texto.

Até alguns anos atrás, a biografia corporativa dizia também que o jogo de palavras refletia sua "missão de organizar a vasta quantidade de informações aparentemente infinitas disponível na web".

Diferentemente do que alguns pensam, o best-seller Google (editora Dell), de David A. Vise e Mark Malseed, conta que os criadores não soletraram o nome do número de Kasner de maneira diferente para diferenciá-lo ou torná-lo mais exclusivo.

A grafia teria sido resultado de um simples erro.

Já a sede da empresa em Mountain View, no Estado americano da Califórnia, é chamada Googleplex. A escolha é justificada como um uso lúdico dos termos "gugolplex" e "complex", em referência ao complexo de edifícios.

Apesar de ter um nome atraente e de referências como o número de átomos no Universo ou o de informações disponíveis na web, dimensionar um número tão grande quanto o gugol pode ser difícil.

Foi isso que o designer holandês Daniel de Bruin se propôs fazer ao comemorar seu "um bilhão de segundos de vida", completado em 1º de março, exatamente às 14h52.

No "aniversário", De Bruin apresentou uma máquina que exibe o gugol.

"A máquina é composta por 200 engrenagens, das quais 100 têm 100 dentes e as outras 100, 10 dentes", explica.

"As engrenagens são conectadas de forma que, quando a primeira marcha gira, a segunda gira 1/10 de uma rotação. Em outras palavras, é dez vezes mais lenta", acrescenta.

A terceira engrenagem gira dez vezes mais devagar que a segunda; portanto, a primeira marcha deve girar 100 vezes para girar a terceira. E assim sucessivamente.

Em outras palavras, explica, "para que a última engrenagem rode uma só vez vez, a primeira terá que girar um gugol de vezes".

O vídeo de apresentação tem mais de 900 mil visualizações no YouTube e outras 230 mil no Instagram.

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O que é o número gugol, que inspirou o Google - BBC News Brasil

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Ele foi criado no início do século passado e é tão grande que supera a quantidade de átomos que existem no universo; hoje, é um dos termos mais falados no mundo.

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Margarita Rodríguez*

BBC News Mundo

Crédito, Getty Images

Legenda da foto,

Enigma chamou a atenção de diversos matemáticos reconhecidos

Imagine que seu tão esperado aumento de salário depende de você fazer apenas uma coisa.

Sua chefe está organizando um congresso e confirmou a presença de sete grandes especialistas que vão debater entre si em mesas redondas. E ela pede a você que cada mesa tenha apenas três debatedores.

Até aqui, tudo bem, certo? Já está visualizando sua conta bancária?

Mas, durante a conversa com os debatedores, você descobre um detalhe: eles são os melhores nas suas áreas, mas não se dão bem entre si - e cada um, à sua maneira, impõe uma condição:

"Posso participar das mesas como for necessário, mas quero estar presente com cada um dos outros seis convidados apenas uma vez, nem mais, nem menos."

Parece difícil, mas não se desespere.

O que a sua chefe está pedindo é muito semelhante à questão formulada pelo matemático britânico Thomas Kirkman em 1850 - conhecida como problema das colegiais.

Com a ajuda do professor de matemática Raúl Ibáñez, da Universidade do País Basco, na Espanha, vamos te contar do que se trata.

"O problema das colegiais fascina as pessoas há muito tempo. Parece um quebra-cabeça, um enigma, mas tem aspectos muito profundos por trás dele", afirma Ibáñez, que é divulgador científico e autor de diversos livros e artigos sobre matemática. Um de seus livros dedica um capítulo a esse problema.

"Parece fácil, mas é intrinsecamente muito complicado, e sua resolução nem sempre é simples", afirma o professor.

Teoria de grupos

Kirkman nasceu em Manchester, na Inglaterra, em 1806.

Um professor observou na escola que ele tinha potencial para ser aceito na Universidade de Cambridge, mas seu pai tinha outros planos.

"Thomas foi obrigado a abandonar a escola aos 14 anos e ir trabalhar no escritório do pai", conforme contam, em uma breve biografia, os professores John Joseph O'Connor e Edmund Frederick Robertson, da Universidade de St. Andrews, no Reino Unido.

"Depois de nove anos trabalhando no escritório, Thomas contrariou os desejos do pai e entrou para o Trinity College de Dublin, na Irlanda, para estudar matemática, filosofia, os clássicos e ciências, a fim de obter uma licenciatura", dizem os professores.

Em 1835, Kirkman voltou para a Inglaterra e, quatro anos depois, se tornou vigário de uma paróquia da Igreja Anglicana, ocupando o cargo por 52 anos. Casou-se e teve três filhos.

Como indicou Robin Wilson, professor emérito de matemática pura da Open University, no Reino Unido, no artigo The Early History of Block Designs ("A história inicial dos desenhos de blocos", em tradução livre), os deveres paroquiais de Kirkman "ocupavam pouco do seu tempo".

Por isso, o reverendo "concentrava muitos esforços nas suas pesquisas matemáticas, especialmente em temas de álgebra e análise combinatória".

Em 1846, Kirkman apresentou seu primeiro artigo, com o título On a Problem in Combinations ("Sobre um problema de combinações", em tradução livre). Ele foi publicado em 1847, na revista Cambridge and Dublin Mathematical Journal.

O artigo é considerado pioneiro do sistema triplo de Steiner, vários anos antes da sua apresentação pelo geômetra suíço Jakob Steiner (1796-1863), considerado um dos mais importantes do século 19.

"Talvez esses sistemas triplos devessem ter sido chamados sistemas de Kirkman, já que ele foi o primeiro a publicá-los", afirma Ibáñez.

Ao longo da sua carreira, Kirkman aprofundou-se na teoria de grupos e deixou importantes contribuições para a análise combinatória.

Matemática recreativa

Kirkman publicou o problema das colegiais na revista The Lady's and Gentleman's Diary, dedicada a questões matemáticas, enigmas e poesia.

Era um quebra-cabeça, uma recreação matemática, apresentada desta forma:

"Quinze jovens estudantes saem para passear todos os dias da semana, de segunda a domingo, de forma ordenada, formando cinco filas de três colegiais cada uma. Como devemos organizá-las todos os dias da semana para que nenhuma dupla de colegiais compartilhe a mesma fila por mais de um dia?"

Esta abordagem chamou a atenção de diversos matemáticos reconhecidos, entre eles o britânico Arthur Cayley (1821-1895), que publicou rapidamente uma solução. Kirkman apresentaria outra e, a partir de então, surgiriam diversas resoluções.

Kirkman idealizou o problema das colegiais exatamente enquanto escrevia seu artigo sobre os sistemas triplos.

"Temos n elementos, 1, 2, 3 até n, e a ideia é criar coleções de três números deste conjunto, chamadas de blocos, de forma que cada par de elementos apareça exatamente em um trio", explica Ibáñez.

O que Kirkman pede no seu problema é que, para 15 pessoas ou elementos, possamos desenvolver um sistema triplo separado em sete grupos (um para cada dia da semana), de forma que, em cada um deles, estejam todos os elementos - no caso, as colegiais.

Os quadrados de Room

Cayley é considerado um dos fundadores da escola britânica de matemática pura, que surgiu no século 19.

Em 1850, ele decidiu prestar atenção ao problema das 15 colegiais e chegou a uma solução por meio do que hoje é conhecido como quadrados de Room - que viriam a ser documentados pelo matemático australiano Thomas Gerald Room (1902-1986).

O professor explica que, em um quadrado de Room, temos n+1 símbolos.

Imagine 8 números, de 1 a 8.

Como escolhemos oito símbolos, fazemos uma tabela de 7x7: sete linhas e sete colunas.

Mas é preciso atender a três condições:

Cada quadrado está vazio ou tem um par de números. Por exemplo, um quadrado pode ter 35, outro pode ter 86, outro pode ter o 13 ou não ter nada.

Cada símbolo aparece uma única vez em cada linha e em cada coluna. Se pegarmos uma linha, por exemplo, o 1 aparecerá em um dos quadrados, o 2 em outro e assim até o 8. Nas colunas, ocorre a mesma coisa, mas aparecerão formando um par de números.

Cada par não ordenado de símbolos aparece uma única vez. O par 12, por exemplo, aparece uma única vez em toda a tabela, o 13 aparece uma única vez, e assim até o final, até o par 78.

O que Cayley fez foi usar esse tipo de quadrado de Room e combiná-lo com os sistemas triplos, que Kirkman já estava estudando, para chegar a uma solução para o problema das colegiais.

Cayley distribuiu as 15 estudantes da seguinte forma: ele indicou as sete primeiras com letras de "a" até "g", e as outras oito com números, de 1 a 8.

Os números servem para formar um quadrado de Room, conforme ilustrado acima, e as letras para fazer sistemas triplos de ordem sete, como este:

Esses trios são colocados à esquerda do quadrado de Room, desta forma:

A solução

A partir dessa estrutura, surge uma solução.

Vamos transpor o quadro para as 15 colegiais e os sete dias em que elas saem para passear.

Mas antes, vamos dar nomes às letras e aos números da tabela de Cayley:

a=Ana

b=Bia

c=Carol

d=Diana

e=Emma

f=Fany

g=Gina

1=Maria

2=Katy

3=Yeny

4=Lola

5=Sofia

6=Gabi

7=Pili

8=Yoli

A solução vem do quadrado de letras e números mais acima. Cada linha desse quadrado nos fornece os grupos de três estudantes de cada um dos sete dias da semana.

Ou seja, na segunda-feira é abc, d35, e17, f82 e g64. A solução, com nossas estudantes, seria esta:

Seu dispositivoSeu dispositivo não consegue visualizar esta imagem

A arte da análise combinatória

Tanto Kirkman quanto Cayley "sabiam que havia algo profundo por trás desse problema e, por isso, dedicaram-se a ele".

"A análise combinatória é a arte de selecionar ou ordenar os elementos de um certo conjunto" - e isso é precisamente o que Cayley nos mostra com sua solução. O problema das colegiais é de organização.

"As estudantes e como agrupá-las para ir ao colégio em cada dia são uma metáfora de estrutura matemática, na verdade, combinatória, que pode ser usada em muitos outros aspectos da nossa vida", afirma Ibáñez.

"Este é o motivo pelo qual a matemática é abstrata - para que ela seja uma ferramenta que possa ser utilizada em contextos muito diferentes, como a física, biologia, química ou medicina."

Segundo ele, a matemática que intervém no problema das colegiais é parte de todo um ramo que é fundamental na teoria de códigos e criptografia, planejamento, geometria, projetos de experimentos estatísticos, teoria da computação e redes de comunicação.

"Tudo o que surge da tentativa de solucionar um quebra-cabeça acabou se convertendo em duas teorias matemáticas: os sistemas triplos de Steiner e a teoria de desenho de blocos, ambas com muitas aplicações práticas", afirma Ibáñez.

Isso acontece porque a matemática "não se contenta" com solucionar o problema.

"Em alguns casos, como este, ela também observa quantas formas distintas de solução existem. E, para o problema das colegiais de Kirkman, demonstrou-se, no início do século 20, que havia 80 soluções distintas."

O problema que gera mais problemas

As colegiais também fizeram surgir novos problemas.

"Outra prática habitual na ciência de Pitágoras é expor o problema de forma mais geral", diz Ibáñez.

"Por isso, o problema das colegiais foi proposto para grupos com outras quantidades de estudantes."

A solução para todos os casos só chegou em 1968, quando os matemáticos Ray-Chaudhuri e R. M. Wilson publicaram a "solução completa para o caso geral".

Ainda assim, o problema continua em aberto, pois os sistemas triplos de Steiner ou, de forma mais geral, o desenho de blocos são um ramo "muito ativo" da matemática.

"Um quebra-cabeça como este, que, em princípio, era uma questão pequena, tornou-se uma teoria com centenas de problemas abertos, pesquisas, artigos e livros", afirma Ibáñez.

E, enquanto tentavam resolvê-lo, muitos matemáticos usaram e desenvolveram técnicas diferentes.

O matemático americano Martin Gardner, por exemplo, publicou na revista Scientific American uma solução geométrica para o problema das colegiais: um círculo, com números e triângulos sobre ele, que oferece uma resposta diferente à medida que é girado.

Voltando à questão que poderia te dar o desejado aumento de salário, a resposta é designar um número para cada um dos convidados e criar um sistema triplo, que levará, por exemplo, a sete mesas:

E, se você quiser agradecer a alguém pelo merecido aumento de salário, sem dúvida os agradecimentos vão para Thomas Kirkman e, claro, para o professor Ibáñez.

* Gráficos: Manuella Bonomi e Ana Lucía González

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Colegiais de Kirkman: o problema que fascina matemáticos há 172 anos - BBC News Brasil

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Em 1850, um reverendo inglês publicou um problema que se tornou um dos clássicos da matemática recreativa. 'Parece um quebra-cabeças, um enigma, mas por trás há aspectos muito profundos', diz estudioso.

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ÁLGEBRA - TÁBUA DE UMA OPERAÇÃO: Operações - Leis de Composição Internas. Questão 148.

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IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada

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Al-Khwarizmi, o homem que simplificou a multiplicação - IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada

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Trabalho de matemático foi divulgado pelo italiano Leonardo Fibonacci

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História da Matemática, Tópicos - História da Álgebra

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O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente, ao ano de 1650 a.C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por Alexander Henry Rhind, na cidade de Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de problemas relacionados à Matemática.

Os gregos deram grande importância ao desenvolvimento da Geometria, realizando e relatando inúmeras descobertas importantes para a Matemática, mas na parte que abrangia a álgebra, foi Diofanto de Alexandria que contribuiu de forma satisfatória na elaboração de conceitos teóricos e práticos para a solução de equações.
Diofanto foi considerado o principal algebrista grego, há de se comentar que ele nasceu na cidade de Alexandria localizada no Egito, mais foi educado na cidade grega de Atenas. As equações eram resolvidas com o auxílio de símbolos que expressavam o valor desconhecido. Observe o seguinte problema:

"Aha, seu total, e sua sétima parte, resulta 19".

Note que a expressão Aha indica o valor desconhecido, atualmente esse problema seria escrito com o auxílio de letras, as mais comuns x, y e z. Veja a representação do problema utilizando letras: x + x/7 = 19.

"Qual o valor de Aha, sabendo aha mais um oitavo de aha resulta 9?"

x + x/8 = 9

Na lápide do túmulo de Diofanto foi escrito uma equação que relata sua vida, e o seu resultado revela a idade que tinha quando faleceu.

"Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um dozeavo da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu seu filho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer". De acordo com esse enigma, Diofanto teria 84 anos.

Os estudos relacionados às equações estabeleceram métodos resolutivos para as equações do 1º grau, 2º grau, 3º grau, 4º grau e nas maiores ou iguais ao grau 5. A álgebra é considerada peça fundamental na Matemática moderna, contribuindo na elaboração e resolução de cálculos complexos. As inúmeras aplicações estão presentes em praticamente todos os estudos relacionados ao desenvolvimento humano, como Engenharia, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Urbanismo, Transportes, Contabilidade, Economia, Administração, Informática entre outros.

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Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva

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História das equações. Importância da história das equações - Mundo Educação

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O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente, ao ano de 1650 a.C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por Alexander Henry Rhind, na cidade de Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de problemas relacionados à Matemática.

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Emmy Noether, a matemática alemã que criou teorema base da álgebra moderna (Foto: Wikimedia Commons)

A matemática alemã Emmy Noether foi mais uma dentre tantas outras mulheres cientistas que nunca receberam o devido reconhecimento. Seu Teorema de Noether foi o pioneiro da álgebra moderna ao explicar a conservação de grandezas físicas usando simetrias das leis da natureza.

Parece complexo? Até o físico Albert Einstein se impressionou com a cientista, escrevendo uma carta ao New York Times na ocasião de sua morte na qual disse: "no julgamento dos matemáticos vivos mais competentes, a senhora Noether foi um dos gênios criativos matemáticos mais significantes produzidos desde que a educação superior para as mulheres começou". O reconhecimento, porém, nunca foi oficial. Em todos os 18 anos que lecionou na Alemanha, nunca foi paga pelo trabalho.

Conheça a vida e carreira de Emmy Noether:

Vontade de estudar
Nascida em 23 de março de 1882, em Erlangen, na Alemanha, Noether era de uma família classe média judia. Seu pai, um matemático, incentivou-a a estudar, e ela se qualificou como professora de línguas em 1900. No mesmo ano, descobriu que mulheres poderiam frequentar aulas na universidade local, mas sem se matricular. Quando as mulheres finalmente puderam receber diplomas universitários, ela se formou e começou a lecionar na instituição - sem ser paga, claro.

Convite para a Universidade de Gottingen
A partir de 1913, Noether publicou trabalhos sobre a aplicação prática dos métodos do matemático David Hilbert, que desenvolveu um novo conjunto de axiomas para a geometria. Em 1915, foi convidada pelo próprio Hilbert para integrar seu time na Universidade de Gottingen, na Alemanha. A instituição, porém, se recusou a permitir que ela fosse empregada como uma professora júnior, citando o fato de ser mulher. "Não vejo por que o sexo da candidata é relevante, afinal isso é uma instituição acadêmica, não uma casa de banhos", Hilbert teria dito, em uma frase que se tornou célebre.

Reconhecimento somente entre os pares
Não demorou para que Noether começasse a se destacar. Além de estudar mais a fundo a recém-publicada Teoria da Relatividade de Einstein, a matemática iniciou o desenvolvimento de seu teorema.

O teorema
Se hoje entendemos as órbitas dos planetas ou podemos ampliar a busca pelo Bóson de Higgs, é muito graças ao Teorema de Noether. Ela descobriu a relação entre simetria e conservação, revelando que se um objeto ou um sistema na natureza têm simetria - ou seja, a capacidade de permanecer igual mesmo depois de submetido a mudanças - há correspondência na lei de conservação, como a conservação da energia.

Perseguição nazista
Em 1933, quando Adolf Hitler chegou ao poder da Alemanha, ele ordenou que todos os funcionários judeus fossem demitidos. Noether não só perdeu o "emprego", como se sentiu ameaçada pelo regime nazista que se consolidava. Mudou-se para os Estados Unidos, onde foi contratada para lecionar na Bryn Mawr College como professora visitante. Mas os anos de paz duraram pouco. Em 1935, após uma complicação em uma cirurgia para a retirada de um cisto no ovário, ela faleceu.

Lugar de mulher é na Ciência (Foto: Divulgação)

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Emmy Noether, a matemática que criou teorema base da álgebra moderna

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Alemã era considerada pelo físico Albert Einstein a mais importante matemática de sua época - mas nunca recebeu o devido reconhecimento pelo seu trabalho

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Grupos. Aplicacao binária. Tabelas de operações binárias e grupos. Isomorfismo de grupos.

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A propriedade do elemento neutro da multiplicação refere que qualquer número multiplicado por 1 mantém a sua identidade. Por outras palavras, qualquer número multiplicado por 1 fica igual. A razão pela qual o número fica igual é que a multiplicação por 1 significa que se tem 1 cópia do número. Por exemplo, 32x1=32. Produzido pela Fundação Altice Portugal a partir do original da Khan Academy e Monterey Institute for Technology and Education.

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1 é o elemento neutro para a multiplicação (vídeo) | Khan Academy

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Aprende conteúdos de Matemática, Informática, Economia, Física, Química, Biologia, Medicina, Finanças, História e muito mais. A Khan Academy é uma organização sem fins lucrativos com a missão de proporcionar uma educação gratuita e rigorosa para todos, estejam onde estiverem.

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Manish Pandey

Newsbeat reporter

Crédito, Neelakantha Bhanu Prakash / Getty Images

Aos 20 anos, ele ganhou o primeiro ouro da Índia em campeonatos mundiais de cálculo mental.

Ele diz que a matemática é um "grande esporte mental" e que a missão final dele é "erradicar a fobia da matemática".

Bhanu - como é conhecido - "pensa em números o tempo todo" e agora é a calculadora humana mais rápida do mundo.

Ele compara a matemática mental à corrida, dizendo que ninguém questiona as pessoas que correm rápido, mas sempre há questões em torno da matemática mental.

"Comemoramos quando alguém como Usain Bolt corre 100 metros em 9,8 segundos", disse ele à BBC Radio 1 Newsbeat, "mas não questionamos qual é o sentido de correr tão rápido em um mundo com carros e aviões."

"Trata-se de inspirar as pessoas de que seu corpo pode fazer algo inimaginável - e é o mesmo com cálculos e matemática."

'Mantém seu cérebro ativo'

Você pode pensar que ele nasceu um gênio da matemática, mas esse não é o caso de Bhanu.

Foi um acidente quando ele tinha cinco anos que o deixou acamado com um traumatismo craniano por um ano que desencadeou sua incrível jornada matemática.

"Disseram aos meus pais que eu poderia ter problemas cognitivos."

"Então, eu fiz cálculos matemáticos mentais para sobreviver, para manter meu cérebro ativo." Pode-se dizer que Neelakantha Bhanu Prakash está para a matemática assim como Usain Bolt está para a corrida.

Crédito, Neelakantha Bhanu Prakash

Legenda da foto,

Bhanu tem ajudado as pessoas na Índia rural a se conectarem com a matemática durante o confinamento

Ele conta que, vindo de uma família de classe média na Índia, o objetivo geralmente é se contentar com um bom emprego ou abrir um negócio, e não entrar em um nicho como a matemática.

Mas, por conta de seu talento com os números, Bhanu está prestes a se formar em matemática.

'Um grande esporte mental'

Como a maioria dos competidores de elite, Bhanu atribui seu sucesso à preparação.

Não é tão simples se sentar em uma mesa e estudar. Em vez disso, ele vê como um "grande esporte mental".

"Eu me preparei não apenas para ser um matemático rápido, mas também um pensador rápido."

Mais jovem, Bhanu treinava de seis a sete horas por dia além da escola.

Mas desde que ganhou campeonatos e bateu recordes, ele não "treina formalmente" tanto assim todos os dias.

Em vez disso, ele segue a "prática não estruturada em que fico pensando em números o tempo todo".

"Eu pratico com música alta, conversando com pessoas, jogando críquete, porque é quando seu cérebro está sendo treinado para fazer várias coisas ao mesmo tempo."

Ele demonstra isso recitando a tabuada do 48 durante esta entrevista.

"Vou apenas adicionando os números de táxis que passam por mim. Se estou falando com alguém, vou apenas contar quantas vezes ela pisca - por mais assustador que possa parecer - isso mantém o cérebro funcionando."

'É sobre inspirar pessoas'

Para Bhanu, o objetivo não é apenas manter a quebra de recordes - embora ele também goste de fazer isso.

"Os recordes e cálculos são apenas uma metáfora para dizer que o mundo precisa de matemáticos. E a matemática deve ser divertida para dizermos que esse é um assunto que amamos."

A missão final dele é "erradicar a fobia de matemática", já que ele diz que muitas pessoas têm medo de números.

"O medo influencia as carreiras que elas seguem e isso significa que elas não seguem matemática."

Ele diz que os matemáticos são conhecidos por serem "nerds e geeks", mas competir em um cenário internacional significa que ele tem o dever de promover a matemática como algo agradável.

Com quatro recordes mundiais e várias outras conquistas, a família de Bhanu está "obviamente muito orgulhosa" dele.

Ele credita a família dele por encorajá-lo e fazê-lo manter os pés no chão.

"Depois que ganhei meu primeiro campeonato internacional, meu tio sugeriu que eu tentasse ser mais rápido do que qualquer pessoa até hoje.

"Nunca imaginei que me tornaria a calculadora humana mais rápida."

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Indiano que teve traumatismo craniano é eleito 'calculadora humana' mais rápida do mundo - BBC News Brasil

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Neelakantha Bhanu Prakash ganhou o primeiro ouro da Índia no campeonato mundial de cálculo mental.

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ÁLGEBRA - TÁBUA DE UMA OPERAÇÃO: Operações - Leis de Composição Internas. Questão 148.

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(02.2 Álgebra) Operação Binária Estrela Exercício Resolvido Tábua de Números

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Elementos de Álgebra - Estruturas algébricas: o que são?

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Matemática - Aula 7 - Álgebra: uma introdução - Parte 1