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Tres obras sobre las matemáticas.

Agnelismarie G. Cruz Santana
Mate 203-2
Dr.José A. Otero

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Tres obras de matemáticas:

Los elementos de Euclides
El método de Arquímedes
La geometría de Descartes.

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Los elementos de Euclides

Libro de texto de Geometría más importante de la historia.

Título original

Elementos

Autor(a)(es)(as)
Euclides

Género

Ciencias puras

País

Alejandría

Elementos de Euclides. Los Elementos (en griego: Στοιχεῖα) es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría.

Los Elementos es considerado uno de los libros de texto más divulgados en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de 1000). Durante varios siglos, el quadrivium estaba incluido en el temario de los estudiantes universitarios, y se exigía el conocimiento de este texto. Aún hoy se utiliza por algunos educadores como introducción básica de la geometría.

En estos trece volúmenes Euclides recopila gran parte del saber matemático de su época, representados en el sistema axiomático conocido como Postulados de Euclides, los cuales de una forma sencilla y lógica dan lugar a la Geometría euclidiana.

Surgimiento

Los Elementos de Euclides es la obra matemática por excelencia, una compilación y sistematización de los conocimientos matemáticos de la Antigüedad y un clásico entre los clásicos . Euclides de Alejandría (c. 365-275 a.C), con precisión y elegancia, siguiendo las reglas de la lógica, compuso todo un cuerpo de proposiciones matemáticas a partir de un pequeño grupo previamente establecido de definiciones y axiomas.

Elementos está formado por trece libros, los seis primeros dedicados a la plana elemental, los tres siguientes a la teoría de los números, el décimo a los inconmensurables y los tres últimos a la geometría de los cuerpos sólidos.

Después de más de dos mil años no han perdido nada de su precisión ni de su vigencia, aunque algunos de sus axiomas no son exclusivos y es posible construir otros sistemas matemáticos y otras geometrías utilizando postulados diferentes. Es lo que ocurre con el célebre quinto postulado de Euclides, sobre rectas paralelas en la geometría plana, la renuncia del cual dio origen en el siglo XIX a las geometrías "no euclideanas" (no planas).

Principios fundamentales

En el primer libro, Euclides desarrolla 48 proposiciones a partir de 23 definiciones (como punto, línea y superficie), 5 postulados y 5 nociones comunes (axiomas). Entre estas proposiciones se encuentra una demostración del teorema de Pitágoras.

Las nociones comunes de Elementos son:

1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.

2. Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales.

3. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.

4. Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.

5. El todo es mayor que la parte.

Los postulados de Los Elementos son:

1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualquiera.

2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado puede ser interpretado como:

Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.

Estos principios básicos reflejan el interés de Euclides por la geometría constructiva, al igual que los matemáticos griegos y helenísticos contemporáneos.

A pesar de tratarse de un trabajo sobre geometría, el libro incluye resultados que hoy se pueden clasificar dentro de la teoría de los números. Euclides decide describir los resultados en teoría de números dentro de la geometría porque no pudo desarrollar una aproximación constructiva a la aritmética.

El contenido de los libros es el siguiente:

Libros 1 al 4 tratan sobre geometría plana.

Libros 5 al 10 tratan sobre razones y proporciones.

Libros 11 al 13 tratan sobre geometría de sólidos.

Referencias

Gray, Jeremy (1992). "La geometría euclidiana y el postulado de las paralelas". Ideas de espacio. Madrid: Mondadori España, S.A.. ISBN 84-397-1727-X.

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Los elementos de Euclides Libro de texto de Geometría más importante de la historia. Título original Elementos Autor(a)(es)(as) Euclides Género Ciencias puras País Alejandría Elementos de Euclides. Los Elementos (en griego: Στοιχεῖα) es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a.

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“Los Elementos” tienen trece volúmenes, en estos libros Euclides recopila gran parte del saber matemático de su época, representados en el sistema axiomático conocido como Postulados de Euclides, los cuales de una forma sencilla y lógica dan lugar a la Geometría euclidiana.

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2.- Si de una magnitud se quita otra magnitud sin que el centro de gravedad de la magnitud entera y el de la magnitud quitada sea un mismo punto, el centro de gravedad de la magnitud restante se halla en la prolongación de la recta que une los centros de gravedad de la magnitud entera y de la magnitud quitada, situado a una distancia cuya razón con la recta comprendida entre los centros de gravedad es la que guarda el peso de la magnitud que se ha quitado con el peso de la magnitud restante.

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Indagar por las fuentes que condujeron al Cálculo Diferencial e Integral significa entre otras cosas responder a la pregunta de cuál fue el aporte de los pensadores de la antigua Grecia al desarrollo de esta importante rama de la matemática.

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Arquímedes escribió en su libro sobre su método de descubrimiento, el método mecánico que se basa en la ley de palanca y muestra sus conclusiones en problemas sobre área y volúmenes.

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2021-04-04
Ciudad de México

Sin lugar a dudas, la obra La Geometría escrita por el matemático y filósofo René Descartes (1596 -1650), establece un antes y un después en el desarrollo matemático. Esta obra es parte de El discurso del método, publicado en 1629, bajo la idea de dirigir la razón, en busca de la verdad en la ciencia. Bajo esta idea filosófica busca establecer mecanismos para resolver algunos problemas geométricos que los griegos no fueron capaces de resolver, por ejemplo, la trisección de un ángulo, para ello evitó restringirse a la regla y el compás, como lo hacían los griegos por cuestiones metafísicas.

Desde el punto de vista matemático, la obra de René Descartes tenía dos características esenciales:

No hacia distinción entre números y cantidades, usando símbolos para representarlas indistintamente.

Uso del método analítico, es decir, descomponer el todo en sus partes y luego recomponerlo a partir de esas mismas partes.

Para Descartes, la geometría de Euclides restringe la imaginación al apoyarse en figuras, mientras que el álgebra es oscura al poseer un gran número de reglas, se propuso reducir los problemas geométricos a ecuaciones algebraicas. Constituyendo un cambio cualitativo en el estudio de la geometría.

La obra La Geometría consta de tres partes en 120 páginas:

Parte I. Círculos y rectas: Donde generaliza las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces para magnitudes, superando a los griegos, para ello introduce una unidad referencial, válido solo para un problema específico, introduce el método de planteo de ecuaciones e incorpora las coordenadas, y plantea por primera vez el concepto de lugar geométrico de los puntos del plano que cumplendeterminada propiedad.

Parte II. Líneas curvas:Analiza la naturaleza de las líneas curvas, escoge geométricamente aquellas curvas que admiten ecuación algebraica. No solo usa la regla y el compás, sino también aquellas construidas con cierto aparato articulado que permita expresarla a través de una ecuación. También encuentra normales y tangentes a una curva.

Parte III.Sobre construcción de problemas de sólidos y supersólidos: Aquí plantea la solución de las ecuaciones obtenidas en la Parte II,aborda la trisección del ángulo y la duplicación del cubo, que lo conlleva a una ecuación de tercer grado. Para resolver estas ecuaciones algebraicas plantea el Teorema Fundamental del Álgebra, sin demostrarlo, solo lo conjetura, porque le es útil para sus propósitos. En general establece reglas para combinar, factorizar, transformar y resolver ecuaciones, muy similarmente a los métodos actuales, aunque con ciertas limitantes notacionales, solo consideró soluciones positivas, a las soluciones negativas les llamaba "falsas".

La metodología pedagógica de esta obra, tuvo un alcance decisivo en el posterior desarrollo del cálculo diferencial e integral, otros grandes matemáticos como Pierre de Fermat, Bonaventura Cavalieri, John Wallis, Isaac Newton, Gottfried Leibniz etc., se beneficiaron de esta magnífica obra, para sus posteriores investigaciones.

Descartes, fundamentalmente era un filósofo racionalista, llegó a escribir otras obras importantes, en 1641 escribió Meditaciones de Filosofía, en 1644, Principios de Filosofía y en1649, Las pasiones del alma. Por sus ideas filosóficas, en general privilegiaba la razón por encima de la fe cristiana, fue perseguido, siempre vivió atemorizado, al enterarse de que Galileo casi muere en la hoguera, por defender sus ideas sobre la tierra.

Para estar alejado de las persecuciones acepta la invitación de Catalina I de Suecia para hacerse cargo de su educación. La reina tenía la costumbre de solicitarle las clases a las cinco a.m., en el frío intenso de Estocolmo, el cual terminó por causarle una neumonía, murió el 11 de febrero de 1650 a los 53 años. Existen algunas evidencias que establecen su muerte por envenenamiento con arsénico, como lo cuenta el holandés Johan Van Wullen en su libro El asesinato de Descartes. En 1676, su cuerpo fue exhumado, encontrándose el cadáver sin su cabeza, el cuerpo fue llevado a París. Posteriormente, el cráneo de Descartes fue encontrado y se conserva en el Museo del Hombre en París. En 1935 se llamó Descartes, en su honor, a un cráter lunar. Su ciudad natal también fue bautizada como Descartes.

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2021-04-04 Ciudad de México Sin lugar a dudas, la obra La Geometría escrita por el matemático y filósofo René Descartes (1596 -1650), establece un antes y un después en el desarrollo matemático. Esta obra es parte de El discurso del método, publicado en 1629, bajo la idea de dirigir la razón, en busca de la verdad en la ciencia.

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La obra “La geometría de Descartes” es parte de “El discurso del método” publicado en 1629, bajo la idea de dirigir razón y en busca de la verdad en la ciencia. Bajo esta idea filosófica, Descarte busca en establecer mecanismos para resolver algunos

problemas geométricos que los griegos no fueron capaces de resolver, por ejemplo, la trisección de un ángulo. Para esto, el  evitó restringirse a la regla y el compás, como lo hacían los griegos por cuestiones metafísicas.

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Biografía de Arquímedes, Descartes y Euclides

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Biografía de Arquímedes

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Arquímedes de Siracusa (en griego antiguo: Ἀρχιμήδης Arkhimḗdēs de αρχι archi (preeminencia, dominio) y Ημαδομαι emadomai (preocuparse), significaría: "el que se preocupa"; Siracusa (Sicilia), . 287 a. C.- ibidem, ca. 212 a. C.) fue un físico, ingeniero, inventor, astrónomo, filósofo y matemático griego. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de la Antigüedad. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Es reconocido por haber diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arquímedes llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos.​

Se considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y, en general, de toda la historia.​​ Usó el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número pi.​ También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.

Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa (214-212 a. C.), cuando fue asesinado por un soldado romano, a pesar de que existían órdenes de que no se le hiciese ningún daño.

A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes no fueron muy conocidos en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandría lo leyeron y lo citaron, pero la primera compilación integral de su obra no fue realizada hasta c. 530 d. C. por Isidoro de Mileto. Los comentarios de las obras de Arquímedes escritos por Eutocio en el las abrieron por primera vez a un público más amplio. Las relativamente pocas copias de trabajos escritos de Arquímedes que sobrevivieron a través de la Edad Media fueron una importante fuente de ideas durante el Renacimiento,​ mientras que el descubrimiento en 1906 de trabajos desconocidos de Arquímedes en el Palimpsesto de Arquímedes ha ayudado a comprender cómo obtuvo sus resultados matemáticos.​

Estatua de bronce de Arquímedes ubicada en el observatorio Archenhold en Berlín. Fue esculpida por Gerhard Thieme e inaugurada en 1972.

Hay pocos datos fiables sobre la vida de Arquímedes. Sin embargo, todas las fuentes coinciden en que era natural de Siracusa y que murió durante el desenlace del sitio de Siracusa. Arquímedes nació c. 287 a. C. en el puerto marítimo de Siracusa ( Sicilia, Italia), ciudad que en aquel tiempo era una colonia de la Magna Grecia. Conociendo la fecha de su muerte, la aproximada fecha de nacimiento está basada en una afirmación del historiador bizantino Juan Tzetzes, que afirmó​ que Arquímedes vivió hasta la edad de 75 años.​ Según una hipótesis de lectura basada en un pasaje corrupto de El contador de arena -cuyo título en griego es ψαμμίτης ( Psammites)-, Arquímedes menciona el nombre de su padre, Fidias, un astrónomo.​

Plutarco escribió en su obra Vidas paralelas ( Vida de Marcelo, 14, 7.) que Arquímedes estaba emparentado con el tirano Hierón II de Siracusa.​ Se sabe que un amigo de Arquímedes, Heráclides, escribió una biografía sobre él pero este libro no se conserva, perdiéndose así los detalles de su vida.​ Se desconoce, por ejemplo, si alguna vez se casó o tuvo hijos.

Entre los pocos datos ciertos sobre su vida, Diodoro Sículo aporta uno​ según el cual es posible que Arquímedes, durante su juventud, estudiase en Alejandría, en Egipto. El hecho de que Arquímedes se refiera en sus obras a científicos cuya actividad se desarrollaba en esa ciudad, abona la hipótesis: de hecho, Arquímedes se refiere a Conon de Samos como su amigo en Sobre la esfera y el cilindro, y dos de sus trabajos (El Método de los Teoremas Mecánicos y el Problema del Ganado) están dedicados a Eratóstenes de Cirene.​

Arquímedes murió c. 212 a. C. durante la segunda guerra púnica, cuando las fuerzas romanas al mando del general Marco Claudio Marcelo capturaron la ciudad de Siracusa después de un asedio de dos años de duración. Arquímedes se distinguió especialmente durante el sitio de Siracusa, en el que desarrolló armas para la defensa de la ciudad. Polibio,​ Plutarco,​ y Tito Livio ​ describen, precisamente, su labor en la defensa de la ciudad como ingeniero, desarrollando piezas de artillería y otros artefactos capaces de mantener a raya al enemigo. Plutarco, en sus relatos, llega a decir que los romanos se encontraban tan nerviosos con los inventos de Arquímedes que la aparición de cualquier viga o polea en las murallas de la ciudad era suficiente como para provocar el pánico entre los sitiadores.​

Cicerón y los magistrados descubriendo la tumba de Arquímedes en Siracusa, de Benjamin West (1797). Colección privada.

Arquímedes fue asesinado al final del asedio por un soldado romano, contraviniendo las órdenes del general romano, Marcelo, de respetar la vida del gran matemático griego.​​ Existen diversas versiones de la muerte de Arquímedes: Plutarco, en su relato, da hasta tres versiones diferentes. De acuerdo con su relato más popular, Arquímedes estaba contemplando un diagrama matemático cuando la ciudad fue tomada. Un soldado romano le ordenó ir a encontrarse con el general, pero Arquímedes hizo caso omiso a esto, diciendo que tenía que resolver antes el problema. El soldado, enfurecido ante la respuesta, mató a Arquímedes con su espada. Sin embargo, Plutarco también brinda otros dos relatos menos conocidos de la muerte de Arquímedes, el primero de los cuales sugiere que podría haber sido asesinado mientras intentaba rendirse ante un soldado romano, y mientras le pedía más tiempo para poder resolver un problema en el que estaba trabajando. De acuerdo con la tercera historia, Arquímedes portaba instrumentos matemáticos, y fue asesinado porque el soldado pensó que eran objetos valiosos. Tito Livio, por su parte, se limita a decir que Arquímedes estaba inclinado sobre unos dibujos que había trazado en el suelo cuando un soldado que desconocía quién era, lo mató. En cualquier caso, según todos los relatos, el general Marcelo se mostró furioso ante la muerte de Arquímedes, debido a que lo consideraba un valioso activo científico, y había ordenado previamente que no fuera herido.​

Una esfera tiene 2/3 exactos del volumen y de la superficie del cilindro que la circunscribe. Una esfera y un cilindro fueron colocados encima de la tumba de Arquímedes, cumpliendo con su voluntad.

Las últimas palabras atribuidas a Arquímedes fueron "No molestes mis círculos", en referencia a los círculos en el dibujo matemático que supuestamente estaba estudiando cuando lo interrumpió el soldado romano. La frase es a menudo citada en latín como Noli turbare circulos meos, pero no hay evidencia de que Arquímedes pronunciara esas palabras y no aparecen en los relatos de Plutarco.​

Cicerón describe la tumba de Arquímedes, que habría visitado, e indica que sobre ella se había colocado una esfera inscrita dentro de un cilindro.​ Arquímedes había probado que el volumen y el área de la esfera son dos tercios de los del cilindro que la inscribe, incluyendo sus bases, lo cual se consideró el más grande de sus descubrimientos matemáticos. En el año 75 a. C., 137 años después de su muerte, el orador romano Cicerón estaba sirviendo como cuestor en Sicilia y escuchó historias acerca de la tumba de Arquímedes, pero ninguno de los locales fue capaz de decirle dónde se encontraba exactamente. Finalmente, encontró la tumba cerca de la puerta de Agrigento en Siracusa, en una condición descuidada y poblada de arbustos. Cicerón limpió la tumba, y así fue capaz de ver la talla y leer algunos de los versos que se habían escrito en ella.​

Los relatos sobre Arquímedes fueron escritos por los historiadores de la antigua Roma mucho tiempo después de su muerte. El relato de Polibio sobre el asedio a Siracusa en su obra Historias (libro VIII) fue escrito alrededor de setenta años después de la muerte de Arquímedes, y fue usado como fuente de información por Plutarco y Tito Livio. Este relato ofrece poca información sobre Arquímedes como persona, y se enfoca en las máquinas de guerra que se decía que había construido para defender la ciudad.​​

La corona dorada

Es posible que Arquímedes empleara su principio de flotabilidad para determinar si la corona dorada era menos densa que el oro puro.

Una de las anécdotas más conocidas sobre Arquímedes cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular. De acuerdo con Vitruvio, Hierón II ordenó la fabricación de una nueva corona con forma de corona triunfal, y le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba hecha solo de oro o si, por el contrario, un orfebre deshonesto le había agregado pirita en su realización.​ Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla y convertirla en un cuerpo regular para calcular su masa y volumen, a partir de ahí, su densidad. Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en la bañera cuando entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría ser usado para determinar el volumen de la corona. Debido a que el agua no se puede comprimir,​ la corona, al ser sumergida, desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la corona por el volumen de agua desplazada se podría obtener la densidad de la corona. La densidad de la corona sería menor que la densidad del oro si otros metales menos densos le hubieran sido añadidos. Cuando Arquímedes, durante el baño, se dio cuenta del descubrimiento, se dice que salió corriendo desnudo por las calles, y que estaba tan emocionado por su hallazgo que olvidó vestirse. Según el relato, en la calle gritaba " ¡Eureka!" (en griego antiguo: "εὕρηκα" que significa "¡Lo he encontrado!").​

Sin embargo, la historia de la corona dorada no aparece en los trabajos conocidos de Arquímedes. Además, se ha dudado que el método que describe la historia fuera factible, debido a que habría requerido un nivel de exactitud extremo para medir el volumen de agua desplazada.​

En lugar de esto, Arquímedes podría haber buscado una solución en la que aplicaba el principio de la hidrostática conocido como el principio de Arquímedes, descrito en su tratado Sobre los cuerpos flotantes. Este principio plantea que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del fluido desalojado.​ Usando este principio, habría sido posible comparar la densidad de la corona dorada con la de oro puro al usar una balanza. Situando en un lado de la balanza la corona objeto de la investigación y en el otro una muestra de oro puro del mismo peso, se procedería a sumergir la balanza en el agua; si la corona tuviese menos densidad que el oro, desplazaría más agua debido a su mayor volumen y experimentaría un mayor empuje que la muestra de oro. Esta diferencia de flotabilidad inclinaría la balanza como corresponde. Galileo creía que este método era "probablemente el mismo que usó Arquímedes, debido a que, además de ser muy exacto, se basa en demostraciones descubiertas por el propio Arquímedes".​ Alrededor del año 1586, Galileo Galilei inventó una balanza hidrostática para pesar metales en aire y agua que aparentemente estaría inspirada en la obra de Arquímedes.​

El Siracusia y el tornillo de Arquímedes

El tornillo de Arquímedes puede elevar agua eficientemente

Una gran parte del trabajo de Arquímedes en el campo de la ingeniería surgió para satisfacer las necesidades de su ciudad natal, Siracusa. El escritor griego Ateneo de Náucratis cuenta que Hierón II encargó a Arquímedes el diseño de un enorme barco, el Siracusia, que construyó Arquias de Corinto bajo su supervisión.​ El barco podía ser usado para viajes lujosos, cargar suministros y como barco de guerra. Finalmente su nombre fue cambiado por el de Alejandría, cuando fue enviado como regalo, junto a un cargamento de grano, al rey Ptolomeo III de Egipto.

Se dice que el Siracusia fue el barco más grande de la antigüedad clásica.​ Según Ateneo, era capaz de cargar 600 personas e incluía entre sus instalaciones jardines decorativos, un gimnasio y un templo dedicado a la diosa Afrodita. Debido a que un barco de esta envergadura dejaría pasar grandes cantidades de agua a través del casco, el tornillo de Arquímedes supuestamente fue inventado a fin de extraer el agua de la sentina. La máquina de Arquímedes era un mecanismo con una hoja con forma de tornillo dentro de un cilindro. Se hacía girar a mano, y también podía utilizarse para transferir agua desde masas de aguas bajas a canales de irrigación más altos. De hecho, el tornillo de Arquímedes sigue usándose hoy para bombear líquidos y sólidos semifluidos, como carbón, hielo y cereales. El tornillo de Arquímedes, tal como lo describió Marco Vitruvio en los tiempos de Roma, puede haber sido una mejora del tornillo de bombeo que fue usado para irrigar los jardines colgantes de Babilonia.​​

Polibio narra que la intervención de Arquímedes en el ataque romano a Siracusa fue decisiva, hasta el punto de que desbarató la esperanza romana de tomar la ciudad por asalto, teniendo que modificar su estrategia y pasar al asedio de larga duración, situación que duró ocho meses, hasta la caída definitiva de la ciudad. Entre los ingenios de que se valió para tal hazaña (catapultas, escorpiones y grúas) se encuentra una que es de su invención: la llamada manus ferrea. Los romanos acercaban todo lo que podían los barcos al muro para enganchar sus escaleras a las fortificaciones y poder acceder con sus tropas a las almenas. Entonces entraba en acción la garra, que consistía en un brazo semejante a una grúa del cual pendía un enorme gancho de metal. Cuando se dejaba caer la garra sobre un barco enemigo el brazo se balancearía en sentido ascendente, levantando la proa del barco fuera del agua y provocando una entrada del agua por la popa. Esto inutilizaba los ingenios enemigos y causaba confusión, pero no era lo único que hacía: mediante un sistema de polea y cadenas, dejaba caer súbitamente el barco provocando una escora que podía llevarlo al vuelco y al hundimiento.​​​ Ha habido experimentos modernos con la finalidad de probar la viabilidad de la garra, y en un documental del año 2005 titulado Superarmas del mundo antiguo ( Superweapons of the Ancient World) se construyó una versión de la garra y se concluyó que era un dispositivo factible.​​

Estampa que reproduce el uso de espejos ustorios en la defensa de la ciudad de Siracusa durante el asedio romano

Según la tradición, dentro de sus trabajos en la defensa de Siracusa, Arquímedes podría haber creado un sistema de espejos ustorios que reflejaban la luz solar concentrándola en los barcos enemigos y con la finalidad de incendiarlos. Sin embargo, las fuentes que recogen estos hechos son tardías, siendo la primera de ellas Galeno, ya en el .​ Luciano de Samosata, historiador también del siglo II, escribió que, durante el sitio de Siracusa (213-211 a. C.), Arquímedes repelió un ataque llevado a cabo por soldados romanos con fuego. Siglos más tarde, Antemio de Tralles menciona los espejos ustorios como arma utilizada por Arquímedes.​ El artefacto, que en ocasiones es denominado como el "rayo de calor de Arquímedes", habría servido para enfocar la luz solar en los barcos que se acercaban, haciendo que estos ardieran.

La credibilidad de esta historia ha sido objeto de debate desde el Renacimiento. René Descartes la rechazó como falsa, mientras que investigadores modernos han intentado recrear el efecto considerando para ello tan solo las capacidades técnicas de las que disponía Arquímedes.​ Se ha sugerido que una gran cantidad de escudos bien pulidos de bronce o cobre podrían haber sido utilizados como espejos, para así enfocar la luz solar hacia un solo barco. De este modo se habría podido utilizar el principio del reflector parabólico, en una manera similar a un horno solar.

Al contrario que Descartes, Georges-Louis Leclerc de Buffon, sí creía que la hazaña de Arquímedes era perfectamente posible. Para probarlo hizo una serie de experimentos y demostraciones, entre las que destaca una espectacular exhibición en los jardines reales, en 1747. Usando un dispositivo con 168 espejos planos de unos 40 centímetros consiguió que ardiera una pila de leña a una distancia de 60 metros. Concluyó que Arquímedes probablemente trabajó a una distancia de 30-45 metros cuando incendió las embarcaciones romanas.​

En 1973 el científico griego Ioannis Sakkas llevó a cabo una prueba del rayo de calor de Arquímedes. El experimento tuvo lugar en la base naval de Skaramangas, en las afueras de Atenas, y en esta ocasión se usaron 70 espejos, cada uno cubierto con una cubierta de cobre y con alrededor de 1,5 m de alto y 1 m de ancho. Los espejos se dirigieron contra una maqueta de madera contrachapada de un barco de guerra romano a una distancia de alrededor de 50 m. Cuando los espejos fueron enfocados con precisión, el barco ardió en llamas en cuestión de unos pocos segundos. La maqueta estaba pintada con una capa de betún, lo cual podría haber ayudado a la combustión.​

En octubre de 2005 un grupo de estudiantes del Instituto Tecnológico de Massachusetts llevó a cabo un experimento con 127 espejos cuadrados de 30 cm de lado enfocados en una maqueta de madera de un barco a una distancia de 30 m. Brotaron llamas en una parte del barco, pero únicamente después de que el cielo se despejara y de que el barco permaneciera inmóvil alrededor de diez minutos. Se concluyó que el arma era un mecanismo viable bajo estas condiciones. El grupo del instituto repitió el experimento para el show televisivo MythBusters (cazadores de mitos), usando un barco de pesca de madera como blanco, en San Francisco. Nuevamente hubo carbonización, además de una pequeña cantidad de llamas. Para prenderse fuego, la madera necesita alcanzar su punto de inflamabilidad, el cual ronda los 300 °C.​

Cuando los cazadores de mitos emitieron el experimento llevado a cabo en San Francisco en enero de 2006, la afirmación fue categorizada como falsa, debido a la duración del tiempo y el clima necesarios para la combustión. También señalaron que, debido a que Siracusa mira el mar hacia el Este, la flota romana debería haber atacado durante la mañana para una óptima reflexión de la luz por los espejos. Además, armas convencionales como flechas en llamas o catapultas hubieran sido una forma mucho más fácil de prender fuego un barco a cortas distancias.​

Otros descubrimientos e invenciones

Si bien Arquímedes no inventó la palanca, sí escribió la primera explicación rigurosa conocida del principio que entra en juego al accionarla. Según Pappus de Alejandría, debido a su trabajo sobre palancas comentó: "Denme un punto de apoyo y moveré el mundo" (en griego: δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω).​ Plutarco describe cómo Arquímedes diseñó el sistema de polipasto, permitiendo a los marineros usar el principio de palanca para levantar objetos que, de otro modo, hubieran sido demasiado pesados como para moverlos.​

También se le ha acreditado a Arquímedes haber aumentado el poder y la precisión de la catapulta, así como haber inventado el odómetro durante la primera guerra púnica. El odómetro fue descrito como un carro con un mecanismo de engranaje que tiraba una bola en un contenedor después de cada milla recorrida.​ Además, en el intento de medir la dimensión aparente del sol, utilizando una regla graduada, Arquímedes, para tratar de reducir la imprecisión de la medida, probó a medir el diámetro de la pupila del ojo humano. Utilizando ese dato en sus cálculos logró una estimación mejor del diámetro solar.​

Cicerón ( 106 a. C.- 43 a. C.) menciona a Arquímedes brevemente en su diálogo De re publica, en el cual describe una conversación ficticia en el año 129 a. C. Se dice que, después de la captura de Siracusa c. 212 a. C., el general Marco Claudio Marcelo llevó de vuelta a Roma dos mecanismos que se usaban como herramientas para estudios astronómicos, que mostraban los movimientos del Sol, la Luna y cinco planetas. Cicerón menciona mecanismos similares diseñados por Tales de Mileto y Eudoxo de Cnidos. El diálogo dice que Marcelo guardó uno de los mecanismos como su botín personal de Siracusa y donó el otro al Templo de la Virtud en Roma. De acuerdo a Cicerón, Cayo Sulpicio Galo hizo una demostración del mecanismo de Marcelo, y lo describió así:

Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione.

Cuando Galo movió el globo, ocurrió que la Luna siguió al Sol tantas vueltas en ese invento de bronce como en el cielo mismo, por lo que también en el cielo el globo solar llegó a tener ese mismo alejamiento, y la Luna llegó a esa posición en la cual estaba su sombra sobre la Tierra, cuando el Sol estaba en línea.​

Esta descripción corresponde a la de un planetario. Pappus de Alejandría dijo que Arquímedes había escrito un manuscrito (ahora perdido) acerca de la construcción de estos mecanismos que se titulaba Sobre hacer esferas. Investigaciones modernas en esta área se han centrado en el mecanismo de Antiquitera, otro mecanismo de la antigüedad clásica probablemente diseñado con el mismo propósito. Construir mecanismos de este tipo debería haber requerido un sofisticado conocimiento de engranajes diferenciales y se pensaba que esto iba más allá del alcance de la tecnología disponible en esos tiempos, pero el descubrimiento del mecanismo de Antiquitera en 1902 vino a confirmar que esta clase de artefactos eran conocidos por los antiguos griegos.​​

Si bien la faceta de inventor de Arquímedes es quizás la más popular, también realizó importantes contribuciones al campo de la matemática. Sobre el particular, Plutarco dijo de él que "tenía por innoble y ministerial toda ocupación en la mecánica y todo arte aplicado a nuestros usos, y ponía únicamente su deseo de sobresalir en aquellas cosas que llevan consigo lo bello y excelente, sin mezcla de nada servil, diversas y separadas de las demás".​

Arquímedes utilizó el método exhaustivo para conseguir el valor aproximado del número π.

Arquímedes fue capaz de utilizar los infinitesimales de forma similar al moderno cálculo integral. A través de la reducción al absurdo ( reductio ad absurdum), era capaz de resolver problemas mediante aproximaciones con determinado grado de precisión, especificando los límites entre los cuales se encontraba la respuesta correcta. Esta técnica recibe el nombre de método exhaustivo, y fue el sistema que utilizó para aproximar el valor del número π. Para ello, dibujó un polígono regular inscrito y otro circunscrito a una misma circunferencia, de manera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las áreas de los dos polígonos. A medida que se incrementa el número de lados del polígono la diferencia se acorta, y se obtiene una aproximación más exacta. Partiendo de polígonos de 96 lados cada uno, Arquímedes calculó que el valor de π debía encontrarse entre 3 (aproximadamente 3,1408) y 3 (aproximadamente 3,1429), lo cual es consistente con el valor real de π. También demostró que el área del círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo. En su obra Sobre la esfera y el cilindro, Arquímedes postula que cualquier magnitud, sumada a sí misma suficiente número de veces, puede exceder cualquier otra magnitud dada, postulado que es conocido como la propiedad arquimediana de los números reales.​

En su obra sobre la Medición del círculo, Arquímedes ofrece un intervalo para el valor de la raíz cuadrada de 3 de entre (aproximadamente 1,7320261) y (aproximadamente 1,7320512). El valor real se ubica aproximadamente en 1,7320508, por lo que la estimación de Arquímedes resultó ser muy exacta. Sin embargo, introdujo este resultado en su obra sin explicación de qué método había utilizado para obtenerlo.

Arquímedes demostró que el área del segmento parabólico de la figura superior es igual a 4/3 de la del triángulo inscrito de la figura inferior.

En su obra sobre La cuadratura de la parábola, Arquímedes probó que el área definida por una parábola y una línea recta equivalía exactamente a el área del correspondiente triángulo inscrito, tal y como se puede observar en la figura de la derecha. Para obtener ese resultado, desarrolló una serie geométrica infinita con una razón común de :

El primer término de esta suma equivale al área del triángulo, el segundo sería la suma de las áreas de los dos triángulos inscritos en las dos áreas delimitadas por el triángulo y la parábola, y así sucesivamente. Esta prueba utiliza una variación de la serie infinita + + + + ..., cuya suma se demuestra que equivale a .

En otra de sus obras Arquímedes se enfrentó al reto de intentar calcular el número de granos de arena que podía contener el universo. Para hacerlo, desafió la idea de que el número de granos fuera tan grande como para poder ser contados. Escribió:

Existen algunos, Rey Gelón, que creen que el número de granos de arena es infinito en multitud; y cuando me refiero a la arena me refiero no solo a la que existe en Siracusa y el resto de Sicilia sino también la que se puede encontrar en cualquier región, ya sea habitada o deshabitada.

Para poder afrontar el problema, Arquímedes diseñó un sistema de cálculo basado en la miríada. Se trata de una palabra que procede del griego μυριάς ( murias) y que servía para hacer referencia al número 10 000. Propuso un sistema en el que se utilizaba una potencia de una miríada de miríadas (100 millones) y concluía que el número de granos de arena necesarios para llenar el universo sería de 8×10 ⁶³.​

Las obras de Arquímedes fueron originalmente escritas en griego dórico, el dialecto hablado en la antigua Siracusa.​

El trabajo escrito de Arquímedes no se ha conservado tan bien como el de Euclides, y siete de sus tratados solo se conocen a través de referencias hechas por otros autores. Pappus de Alejandría, por ejemplo, menciona Sobre hacer esferas y otro trabajo sobre poliedros, mientras que Teón de Alejandría cita un comentario sobre la refracción de una obra perdida titulada Catoptrica.​ Durante su vida, Arquímedes difundió los resultados de su trabajo a través de la correspondencia que mantenía con los matemáticos de Alejandría. Los escritos de Arquímedes fueron recolectados por el arquitecto bizantino Isidoro de Mileto ( c. 530 d. C.), mientras que los comentarios sobre los trabajos de Arquímedes escritos por Eutocio en el ayudaron a difundir su trabajo a un público más amplio. La obra de Arquímedes fue traducida al árabe por Thábit ibn Qurra (836-901 d. C.), y al latín por Gerardo de Cremona ( c. 1114-1187 d. C.). Durante el Renacimiento, en 1544, el Editio Princeps (Primera edición) fue publicado por Johann Herwagen en Basilea, con la obra de Arquímedes en griego y latín.​

Trabajos conservados

Se cuenta que Arquímedes dijo sobre la palanca: "Denme un punto de apoyo y moveré el mundo"

Sobre el equilibrio de los planos

En dos volúmenes

El primer libro consta de quince proposiciones con siete axiomas, mientras que el segundo consta de diez proposiciones. En esta obra, Arquímedes explica la ley de la palanca, afirmando lo siguiente:

Las magnitudes están en equilibrio a distancias recíprocamente proporcionales a sus pesos.

Arquímedes usa los principios derivados para calcular las áreas y los centros de gravedad de varias figuras geométricas, incluyendo triángulos, paralelogramos y parábolas.​

Sobre la medida de un círculo

Se trata de una obra corta, consistente en tres proposiciones. Está escrito en forma de una carta a Dositeo de Pelusio, un alumno de Conón de Samos. En la proposición II, Arquímedes muestra que el valor del número π (Pi) es mayor que 223/71 y menor que 22/7. Esta cifra fue utilizada como aproximación de π a lo largo de la Edad Media e incluso aún hoy se utiliza cuando se requiere de una cifra aproximada.

Sobre las espirales

Esta obra, compuesta de 28 proposiciones, también está dirigida a Dositeo. El tratado define lo que hoy se conoce como la espiral de Arquímedes. Esta espiral representa el lugar geométrico en el que se ubican los puntos correspondientes a las posiciones de un punto que es desplazado hacia afuera desde un punto fijo con una velocidad constante y a lo largo de una línea que rota con una velocidad angular constante. En coordenadas polares, (r, θ) la elipse puede definirse a través de la ecuación

:

siendo a y b números reales. Este es uno de los primeros ejemplos en los que un matemático griego define una curva mecánica (una curva trazada por un punto en movimiento).

Sobre la esfera y el cilindro

Dos volúmenes

En este tratado, dirigido también a Dositeo, Arquímedes llega a la conclusión matemática de la que estaría más orgulloso, esto es, la relación entre una esfera y un cilindro circunscrito con la misma altura y diámetro. El volumen es para la esfera, y para el cilindro. El área de la superficie es para la esfera, y para el cilindro (incluyendo sus dos bases), donde es el radio de la esfera y del cilindro. La esfera tiene un área y un volumen equivalentes a dos tercios de los del cilindro. A pedido del propio Arquímedes, se colocaron sobre su tumba las esculturas de estos dos cuerpos geométricos.

Sobre los conoides y esferoides

Este es un trabajo en 32 proposiciones y también dirigido a Dositeo en el que Arquímedes calcula las áreas y los volúmenes de las secciones de conos, esferas y paraboloides.

Sobre los cuerpos flotantes

En dos volúmenes

En la primera parte de este tratado, Arquímedes explica la ley del equilibrio de los líquidos, y prueba que el agua adopta una forma esférica alrededor de un centro de gravedad. Esto puede haber sido un intento de explicar las teorías de astrónomos griegos contemporáneos, como Eratóstenes, que afirmaban que la tierra es esférica. Los líquidos descritos por Arquímedes no son auto-gravitatorios, debido a que él asume la existencia de un punto hacia el cual caen todas las cosas, del cual deriva la forma esférica.

En la segunda parte, Arquímedes calcula las posiciones de equilibrio de las secciones de los paraboloides. Esto fue, probablemente, una idealización de las formas de los cascos de los barcos. Algunas de sus secciones flotan con la base bajo el agua y la parte superior sobre el agua, de una manera similar a como flotan los icebergs. Arquímedes define en su obra el principio de flotabilidad de la siguiente manera:

Todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de líquido desalojado.

La cuadratura de la parábola

En este trabajo de 24 proposiciones, dirigido a Dositeo, Arquímedes prueba a través de dos métodos distintos que el área cercada por una parábola y una línea recta es 4/3 multiplicado por el área de un triángulo de igual base y altura. Obtiene este resultado calculando el valor de una serie geométrica que suma al infinito con el radio 1/4.

Ostomachion

En esta obra, cuyo tratado más completo que lo describe se encontró dentro del Palimpsesto de Arquímedes, Arquímedes presenta un rompecabezas de disección similar a un tangram. Arquímedes calcula las áreas de 14 piezas que pueden ser ensambladas para formar un cuadrado. Una investigación publicada en 2003 por Reviel Netz de la Universidad de Stanford argumentaba que Arquímedes estaba intentando determinar en cuántas formas se podía ensamblar las piezas para formar un cuadrado. Según Netz, las piezas pueden formar un cuadrado de 17 152 maneras distintas.​ El número de disposiciones se reduce a 536 cuando se excluyen las soluciones que son equivalentes por rotación y reflexión.​ Este puzle representa un ejemplo temprano de un problema de combinatoria.

El origen del nombre del puzle es incierto; se ha sugerido que puede haber surgido de la palabra griega para garganta, stómakhos (στόμαχος).​ Ausonio se refiere al puzle como Ostomachion, una palabra griega compuesta por las raíces ὀστέον (osteon, 'hueso') y μάχη (machē, 'lucha'). El puzle es también conocido como el Loculus de Arquímedes o como la Caja de Arquímedes.​

El problema del ganado de Arquímedes

Esta obra fue descubierta por Gotthold Ephraim Lessing en un manuscrito griego consistente en un poema de 44 líneas, en la Herzog August Library en Wolfenbüttel, Alemania, en 1773. Está dirigida a Eratóstenes y a los matemáticos de Alejandría y, en ella, Arquímedes los reta a contar el número de reses en la Manada del Sol, resolviendo un número de ecuaciones diofánticas simultáneas. Hay una versión más difícil del problema en la cual se requiere que algunas de las respuestas sean números cuadrados. Esta versión del problema fue resuelta por primera vez por A. Amthor en 1880,​ y la respuesta es un número muy grande, aproximadamente 7,760271×10²⁰⁶⁵⁴⁴.​

El contador de arena

En este tratado, Arquímedes cuenta el número de granos de arena que entrarían en el universo. Este libro menciona la teoría heliocéntrica del sistema solar propuesta por Aristarco de Samos, e ideas contemporáneas acerca del tamaño de la Tierra y las distancias de varios cuerpos celestes. Usando un sistema de números basado en la capacidad de la miríada, Arquímedes concluye que el número de granos de arena que se requerirían para llenar el universo sería de 8×10⁶³, en notación moderna. La carta introductoria afirma que el padre de Arquímedes era un astrónomo llamado Fidias. El contador de arena o Psammites es la única obra superviviente de Arquímedes en la que se trata su visión de la astronomía.​

El método de teoremas mecánicos

Este tratado, que se consideraba perdido, fue reencontrado gracias al descubrimiento del Palimpsesto de Arquímedes en 1906. En esta obra, Arquímedes emplea el cálculo infinitesimal, y muestra cómo el método de fraccionar una figura en un número infinito de partes infinitamente pequeñas puede ser usado para calcular su área o volumen. Arquímedes pudo haber considerado que este método carecía del suficiente rigor formal, por lo que utilizó también el método exhaustivo para llegar a los resultados. Al igual que El problema del ganado, El método de teoremas mecánicos fue escrito en forma de una carta dirigida a Eratóstenes de Alejandría.

El Libro de Lemmas o Liber Assumptorum es un tratado de quince proposiciones sobre la naturaleza de los círculos. La copia más antigua del texto está escrita en árabe. Los estudiosos Thomas Heath y Marshall Clagett argumentaron que no pudo haber sido escrito por Arquímedes en esa versión, debido a que él mismo aparece citado en el texto, lo cual sugiere que fue modificado por otro autor. El Lemmas puede estar basado en una obra más antigua, ahora perdida, escrita por Arquímedes.​

También se ha dicho que Arquímedes ya conocía la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo sabiendo la medida de sus lados.​ Sin embargo, la primera referencia fiable de la fórmula viene dada por Herón de Alejandría en el siglo I d. C.​

El Palimpsesto de Arquímedes

"Stomachion" es un puzle de disección en el Palimpsesto de Arquímedes

El palimpsesto de Arquímedes es una de las principales fuentes a partir de las cuales se conoce la obra de Arquímedes. En 1906, el profesor Johan Ludvig Heiberg visitó Constantinopla y examinó un pergamino de piel de cabra de 174 páginas con oraciones escritas en el siglo XIII . Descubrió que se trataba de un palimpsesto, un documento con texto que ha sido sobreescrito encima de una obra anterior borrada. Los palimpsestos se creaban mediante el raspado de la tinta de obras existentes para luego reutilizar el material sobre el que estaban impresas, lo cual era una práctica común en la Edad Media debido a que la vitela era cara. Las obras más viejas que se podían encontrar en el palimpsesto fueron identificadas por los académicos como copias del de tratados de Arquímedes que anteriormente eran desconocidos.​ El pergamino pasó cientos de años en la biblioteca de un monasterio de Constantinopla, antes de ser vendido a un coleccionista privado en la década de 1920. El 29 de octubre de 1998 fue vendido en una subasta a un comprador anónimo por dos millones de dólares en Christie's, Nueva York.​ El palimpsesto contiene siete tratados, incluyendo la única copia hasta entonces conocida de la obra Sobre los cuerpos flotantes en el original en griego. Es también la única fuente de El método de los teoremas mecánicos, al que se refirió Suidas y que se creyó perdido para siempre. Stomachion también fue descubierto en el palimpsesto, con un análisis más completo del puzle que el que se podía encontrar en textos anteriores.

El palimpsesto está guardado en el Walters Art Museum en Baltimore, Maryland, donde ha pasado por diversas pruebas modernas, incluyendo el uso de luz ultravioleta y de rayos X para leer el texto sobrescrito.​

Los tratados que contiene el Palimpsesto de Arquímedes son: Sobre el equilibrio de los planos, Sobre las espirales, Medida de un círculo, Sobre la esfera y el cilindro, Sobre los cuerpos flotantes, El método de los teoremas mecánicos y Stomachion.

La Medalla Fields representa un retrato de Arquímedes

En 1935 se decide en su honor llamar " Arquímedes" a un cráter lunar (29.7° N, 4.0° W) ubicado en la zona oriental del Mare Imbrium.​​ También llevan su nombre la cordillera lunar " Montes de Arquímedes" (25.3° N, 4.6° W) y el asteroide (3600) Arquímedes ( 3600 Archimedes).​

La Medalla Fields, galardón otorgado a los logros matemáticos más destacados, lleva un retrato de Arquímedes, junto con su prueba acerca de la relación matemática entre las áreas y volúmenes de la esfera y el cilindro. La inscripción alrededor de la cabeza de Arquímedes es una cita atribuida a él, que dice en latín Transire suum pectus mundoque potiri ("Superarse uno mismo y dominar el mundo").​

Arquímedes ha aparecido en emisiones de sellos de Alemania del Este (1973), Grecia (1983), Italia (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982), y España (1963).​

La exclamación " ¡Eureka!", atribuida a Arquímedes, es el lema del estado de California. En este caso, sin embargo, la palabra hace referencia al momento del descubrimiento de oro cerca de Sutter's Mill en 1848, que desató la fiebre del oro en California.​

Arquímedes y alguno de sus inventos defensivos aparecen en la película Indiana Jones y el dial del destino, durante el Sitio de Siracusa.

1. En el prefacio de Sobre las espirales, dirigido a Dositeo de Pelusio, Arquímedes dice que "muchos años han pasado desde la muerte de Conon". Conon de Samos vivió c. 280-220 a. C., lo que sugiere que Arquímedes puede haber sido más viejo cuando escribió algunos de sus trabajos.

2. Los tratados de Arquímedes que solo se conocen a través de referencias de otros autores son: Sobre hacer esferas y una obra sobre poliedros mencionada por Papus de Alejandría; Catoptrica, una obra sobre óptica mencionada por Teón de Alejandría; Principios, dirigido a Zeuxippos, que explicaba el sistema numérico usado en El contador de arena; Sobre balanzas y palancas; Sobre los centros de gravedad; Sobre el calendario. De las obras de Arquímedes, Heath, T. L. da la siguiente teoría acerca del orden en que fueron escritas: Sobre el equilibrio de los planos I, La cuadratura de la parábola, Sobre el equilibrio de los planos II, Sobre la esfera y el cilindro I, II, Sobre las espirales, Sobre los conoides y esferoides, Sobre los cuerpos flotantess I, II, Sobre la medida de un círculo, El contador de arena.

3. Boyer, Carl Benjamin A History of Mathematics (1991) ISBN 0-471-54397-7 "Estudiosos árabes nos informan que la familiar fórmula del área de un triángulo en cuanto a las medidas de sus tres lados, usualmente conocida como la fórmula de Herón -k = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), donde s es el semiperímetro- era conocida por Arquímedes varios siglos antes de que Herón naciera. Los estudiosos árabes también atribuyen a Arquímedes el 'teorema del acorde roto' ... Según los árabes, Arquímedes dio varias pruebas de dicho teorema".

Arquímedes. Eutocio (2005). Tratados I. Comentarios. Madrid: Editorial Gredos. ISBN 978-84-249-2757-8.

- (2009). Tratados II. Madrid: Editorial Gredos. ISBN 978-84-249-3596-2.

VV. AA. (1887). Diccionario Enciclopédico Hispano-Americano. Montaner y Simón Editores.

Torrija Herrera, Rosalina (2007). Arquímedes. Alrededor del círculo. Nivola. ISBN 978-84-96566-65-1.

1. Calinger, Ronald (1999). A Contextual History of Mathematics. Prentice-Hall. pp. 150. . "Shortly after Euclid, compiler of the definitive textbook, came Archimedes of Syracuse (ca. 287-212 B.C.), the most original and profound mathematician of antiquity. "

2. "Archimedes - The Palimpsest". Walters Art Museum. Archivado desde el original el 16 de octubre de 2007.

3. O'Connor, J. J.; Robertson,, E. F. (mcs. st-andrews. ac. uk/Biographies/Archimedes. html "Archimedes of Syracuse". University of St Andrews. enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).

4. Goldsworthy, Adrian. "10". La caída de Cartago (marzo de 2008 edición). Barcelona: Ed. Ariel. pp. 308-309. .

5. Tito Livio (Tomo XXIV, 34, 2) introduce a Arquímedes como "... un observador sin par del cielo y de los astros, pero más extraordinario aún como inventor y constructor de máquinas de guerra...".

6. Dalley, Stephanie; Oleson, John Peter. "Sennacherib, Archimedes, and the Water Screw: The Context of Invention in the Ancient World". Technology and Culture Volume 44, Number 1, January 2003 (PDF).

7. John Wesley. "A Compendium of Natural Philosophy (1810) Chapter XII, Burning Glasses.". Online text at Wesley Center for Applied Theology. Archivado desde el original el 12 de octubre de 2007.

8. Meinel, Aden B. (1982). "1". Aplicaciones de la energía solar. Editorial Reverté, S.A. p. 3. .

9. "Archimedes' Weapon". . 26 de noviembre de 1973. Archivado desde el original el 4 de febrero de 2011.

10. Wilson, Nigel Guy Encyclopedia of Ancient Greece, pág. 77. ISBN 0-7945-0225-3 (2006). En Google Books.

11. Kolata, Gina (14 de diciembre de 2003). "In Archimedes' Puzzle, a New Eureka Moment". The New York Times.

12. "Traducción al inglés de El contador de arena (The Sand Reckoner)". University of Waterloo. Archivado desde el original el 11 de agosto de 2007.

13. Bogomolny, Alexander. "Archimedes' Book of Lemmas". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (en inglés).

14. "Rare work by Archimedes sells for $2 million". CNN. 29 de octubre de 1998. Archivado desde el original el 16 de mayo de 2008.

15. Ficha del cráter lunar "Archimedes", Gazeteer of Planetary Nomenclature Enlace consultado el 10 de agosto de 2015.

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Arquímedes - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Arquímedes de Siracusa (en griego antiguo: Ἀρχιμήδης Arkhimḗdēs de αρχι archi (preeminencia, dominio) y Ημαδομαι emadomai (preocuparse), significaría: "el que se preocupa"; Siracusa (Sicilia), . 287 a. C.- ibidem, ca. 212 a. C.) fue un físico, ingeniero, inventor, astrónomo, filósofo y matemático griego.

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Arquímedes (287 A.C- 213 A.C) es considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad. Es reconocido por haber diseñado innovadores máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes. También ayudó la fundación de la explicación del principio de  la palanca.

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René Descartes (1596-1650) es considerado el padre de la geometría analítica y la filosofía moderna. Es asociado con los ejes cartesianos en geometría, con la iatromecánica y la fisiología mecanicista en medicina.

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Pintura idealizada de Euclides.

Euclides (en griego Εὐκλείδης, Eukleidēs, latín Euclīdēs) fue un matemático y geómetra griego (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.).​ Se le conoce como "el padre de la geometría".​ Desarrolló su trabajo en Alejandría ( antiguo Egipto) en tiempos de Ptolomeo I Sóter ( 323 - 283 a. C.),​ y fundó la escuela de matemáticas de la ciudad.​

Su obra más famosa fue una compilación expositiva, sistemática y demostrada en trece libros de los conocimientos matemáticos existentes en su época denominada , considerada a menudo como el manual, tratado o libro de texto de más éxito en la historia de las matemáticas.​​ En ellos se deducen racionalmente las propiedades de los objetos geométricos y de los números naturales a partir de solo un pequeño conjunto de axiomas.​ Esta obra, uno de los más antiguos tratados conocidos que presentan de manera sistemática y con demostraciones un amplio conjunto de teoremas sobre la geometría y la aritmética teórica, ha conocido centenares de ediciones en todas las lenguas, y sus temas forman parte del fundamento de la enseñanza de las matemáticas en el nivel de la secundaria en numerosos países. Del nombre de su redactor Euclides derivan también el algoritmo de Euclides, la geometría euclidiana (y las no euclidianas) y la división euclidiana. Otras obras suyas versan sobre perspectiva, secciones cónicas, geometría esférica y teoría de números.

Su vida es poco conocida. Y, aunque vivió en Alejandría (ciudad situada al norte de Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I; ciertos autores árabes afirman que Euclides nació en Tiro y vivió en Damasco.​ El problema es que no existe ninguna fuente directa sobre la vida de Euclides: no se dispone de ninguna carta ni de ninguna indicación autobiográfica (ni siquiera en forma de prefacio a una obra), ni de ningún documento oficial, ni tampoco de una mísera alusión por parte de alguno de sus contemporáneos. Como resume el historiador de matemáticas Peter Schreiber, "sobre la vida de Euclides, ni un solo hecho seguro es conocido".​ Y, aunque existen otros datos, son estos poco fiables.

Lo que se conoce es que era hijo de un tal Naucrates, y se barajan tres hipótesis:

1. Euclides fue un matemático histórico que escribió los Elementos y otras obras atribuidas a él.

2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.

3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría que tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Mégara, que había vivido unos cien años antes.

Es posible que Euclides estudiara en la Academia de Platón y allí aprendiera las bases de sus conocimientos.​

Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, que vivió alrededor del 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos.​ Dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de información sobre la historia de la matemática griega. Así sabemos, por ejemplo, que Euclides reunió aportes de Eudoxo de Cnido en relación con la teoría de la proporción, y de Teeteto sobre los poliedros regulares.​

Precisamente el escrito más antiguo conocido en relación con la vida de Euclides aparece en un resumen sobre historia de la geometría escrito en el siglo V de la nuestra era por el filósofo neoplatoniano Proclo, comentarista del primer libro de los Elementos. Proclo no ofrece él mismo ninguna fuente para sus indicaciones. Dice solo: "Habiendo reunido sus Elementos, [Euclides] tiene concertados muchos [...] y evoca, en irrefutables demostraciones, lo que sus predecesores habían enseñado de una manera relajada. Este hombre vivió, por otro lado, bajo Ptolomeo I, puesto que Arquímedes [...] menciona a Euclides. Euclides es, pues, más reciente que los discípulos de Platón, pero más antiguo que Arquímedes y Eratóstenes ".​

Si se admite la cronología dada por Proclo, Euclides vivió en el lapso que media entre Platón y Arquímedes y fue contemporáneo de Ptolomeo I, aproximadamente hacia el 300 antes de nuestra era.

Representación de Euclides

Ningún documento desdice ni contradice estas pocas frases, pero tampoco las confirma verdaderamente. La mención directa de Euclides en las obras de Arquímedes viene de un pasaje considerado como dudoso.​

Arquímedes hace referencia a algunos resultados de los Elementos, y un óstraco, encontrado en la isla Elefantina y datado del III a. C. trata de figuras estudiadas en el libro XIII de los Elementos, como el decágono y el icosaedro, pero sin reproducir exactamente los enunciados euclidianos; podrían, pues, provenir de fuentes anteriores a Euclides.​ La fecha aproximada del 300 antes de nuestra era es, aun así, juzgada compatible con el análisis del contenido de la obra euclidiana y es la que adoptan los historiadores de las matemáticas.​​​​

Por otro lado, una alusión del matemático del siglo IV de nuestra era Papo de Alejandría sugiere que alumnos de Euclides habrían enseñado en Alejandría.​ Algunos autores han asociado sobre esta base a Euclides con el Museion de Alejandría; pero no figura en ningún documento oficial.​ El calificativo a menudo asociado a Euclides en la antigüedad es simplemente Stoitxeiotes, "el autor de los Elementos".​

Varias anécdotas circulan a propósito de Euclides, pero, como aparecen también referidas a otros matemáticos, no son consideradas como reales: por ejemplo, aquella famosa explicada por Proclo según la cual Euclides habría respondido a Ptolemeo -quien deseaba un camino más fácil que las de los Elementos para aprender matemáticas- que "no había caminos reales en geometría"; una variante de la misma anécdota también se atribuye a Menecmo y a Alejandro el Grande.​ Igualmente, desde la antigüedad tardía, fueron añadidos varios detalles a los relatos de la vida de Euclides, sin fuentes nuevas y a menudo de manera contradictoria. Algunos autores hacen nacer a Euclides en Tiro, por ejemplo; otros, en Gela; se le atribuyen varias genealogías y mecenas particulares, así como diferentes fechas de nacimiento y de muerte para respetar las reglas del género o para favorecer algunas interpretaciones. Todas estas historias fueron refutadas.​​​ En la Edad Media, y también a comienzos del Renacimiento, el matemático Euclides es a menudo confundido con un filósofo contemporáneo de Platón, Euclides de Megara.​​

Fragmento de los Elementos de Euclides, escrito en papiro, hallado en el yacimiento de Oxirrinco (Oxyrhynchus), Egipto.

Las menciones a obras atribuidas a Euclides figuran en varios autores, en particular en la Colección matemática de Papo y en el Comentario a los Elementos de Euclides debido a Proclo.​​​ Solo ha llegado a nuestros días una parte de estas obras.

Data, Sobre las divisiones, Catóptrica, Fenómenos del cielo y Óptica. Por fuentes árabes, se le atribuyen a Euclides varios tratados sobre mecánica. Sobre lo pesado y lo ligero contiene, en nueve definiciones y cinco proposiciones, las nociones aristotélicas sobre el movimiento de los cuerpos y el concepto de gravedad específica. Sobre el equilibrio trata la teoría de la palanca, también de forma axiomática, con una definición, dos axiomas y cuatro proposiciones. Un tercer fragmento sobre los círculos descritos por los extremos de una palanca móvil contiene cuatro proposiciones. Estas tres obras se complementan de tal manera la unas con las otras que se ha sugerido que son remanentes de un único tratado de Mecánica escrito por Euclides.

Su obra es una de las producciones científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el ámbito académico de entonces. Los Elementos no eran, como se piensa a veces, un compendio de todos los conocimientos geométricos, sino más bien un texto introductorio que cubría toda la matemática elemental, es decir la aritmética, la geometría sintética y el álgebra.

Los Elementos están divididos en trece libros o capítulos, de los cuales la primera media docena son sobre geometría plana elemental, los tres siguientes sobre teoría de números, el libro X Sobre los inconmensurables (esto es, sobre los números irracionales, probablmente una refundición de Teéteto), y los tres últimos principalmente sobre geometría de sólidos.

En los libros dedicados a geometría, partiendo únicamente de cinco postulados, se presenta de manera formal el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Probablemente ninguno de los resultados de los Elementos haya sido demostrado por primera vez por Euclides, pero la organización del material y su exposición sin duda alguna se deben a él. De hecho, hay mucha evidencia de que Euclides usara libros de texto anteriores cuando escribía los Elementos, ya que presenta un gran número de definiciones que no son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide. Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:

En los libros VII, VIII y IX de los Elementos se estudia la teoría de la divisibilidad. Considera la conexión entre los números perfectos y los primos de Mersenne (conocida como el teorema de Euclides-Euler), la infinitud de los números primos ( Teorema de Euclides), el lema de Euclides sobre la factorización (que conduce al teorema fundamental de la aritmética sobre la unicidad de las factorizaciones de los primos) y el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor de dos números.

La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en las matemáticas. Inspirada por la armonía de la presentación de Euclides, en el se formuló la teoría ptolemaica del universo, según la cual la Tierra es el centro del universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, es decir, circunferencias y combinaciones de circunferencias. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tiene ni anchura ni grosor, solamente longitud; que una superficie no tiene grueso, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión o magnitud nula o cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tiene dimensión dos: ancho y largo. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres: largo, ancho y alto. Euclides intentó resumir todo el saber matemático en su libro Los elementos. La geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el .

De los axiomas de partida, solamente el de las líneas paralelas parecía menos evidente. Diversos matemáticos intentaron sin éxito prescindir de dicho axioma intentándolo deducir del resto de loa axiomas y presentarlo como un teorema, sin lograrlo.

Finalmente, algunos autores crearon geometrías nuevas basándose en invalidar o sustituir el axioma de las paralelas, dando origen a las " geometrías no euclidianas". Dichas geometrías (la geometría elíptica y la geometría hiperbólica) tienen como característica principal que al cambiar el axioma de las paralelas los ángulos de un triángulo ya no suman 180 grados: la primera suma más, y la segunda menos.

Euclides.

Las Data ( Δεδομένα) es la única otra obra de Euclides que trata de geometría y de la cual se posee una versión en griego (está, por ejemplo, en el manuscrito del X descubierto por François Peyrard).​ También es descrito en detalle en el libro VII de la Colección matemática de Papo, el "Tesoro del análisis", muy relacionado con los primeros cuatro libros de los Elementos. Trata del tipo de información usada en los problemas geométricos, y de su naturaleza. Las Data se sitúan en el marco de la geometría plana y son consideradas por los historiadores como un complemento o apéndice de los Elementos, bajo una forma más adecuada o didáctica para analizar problemas.​​ La obra contiene 15 definiciones, y explica lo que significa un objeto geométrico, en posición, en forma, en tamaño, y 94 teoremas. Estos explican que, si se dan algunos elementos de una figura, otras relaciones o elementos pueden ser determinados.​

Esta obra ( Περὶ διαιρέσεων Βιβλίον) es descrita en el Comentario de Proclo, pero se ha perdido en su lengua original griega; hay trozos en latín ( De divisionibus), pero sobre todo se conserva un manuscrito en árabe descubierto en el XIX que contiene 36 proposiciones, cuatro de las cuales son demostradas.​

Se ocupa de la división de figuras geométricas en dos o más partes iguales o en partes de proporciones dadas. Es similar a una obra del siglo III d. C. de Herón de Alejandría. En esta obra trata de construir rectas que dividen figuras dadas en proporciones y formas dadas. Por ejemplo,​ se pide, dado un triángulo y un punto interior al triángulo, construir una recta pasando por el punto y cortando el triángulo en dos figuras de igual superficie; o, dado un círculo, construir dos rectas paralelas, de forma que la porción del círculo que limitan haga un tercio de la superficie del círculo.

Sobre errores ( Περὶ Ψευδαρίων) es un texto sobre las falacias y defectos posibles en el razonamiento; es una obra perdida, conocida solo por la descripción que ofrece Proclo. Según este, la obra tenía como objetivo acostumbrar a los principiantes a detectar los razonamientos falsos, en particular los que imitan a los razonamientos deductivos y tienen, pues, la apariencia de la verdad. Daba ejemplos de paralogismos.​

Los Cuatro libros sobre secciones cónicas ( Κωνικῶν Βιβλία) se han perdido. Fue un trabajo sobre secciones cónicas que fue luego ampliado por Apolonio de Perge en un libro famoso sobre este mismo tema. Es probable que los primeros cuatro libros de la obra de Apolonio provinieran directamente de Euclides. Según Papo, "Apolonio, habiendo completado los Cuatro libros de cónicas de Euclides, y habiendo añadido cuatro más, dejó ocho volúmenes de Cónicas". Las Cónicas de Apolonio rápidamente sustituyeron a la obra original y, en la época de Papo, el trabajo de Euclides ya se había perdido.​

Tres libros de porismas ( Πορισμάτων Βιβλία) podría haber sido una ampliación de su trabajo en las secciones cónicas, pero no se acaba de saber de cierto el significado del título, pues además la obra se ha perdido. Se evoca, sin embargo, en dos pasajes de Proclo y, sobre todo, es objeto de una larga presentación en el libro VII de la Colección de Papo, el "Tesoro del análisis", como un ejemplo significativo y de gran alcance del enfoque analítico. La palabra porisma tiene varios usos: según Papo, designaría aquí un enunciado de tipo intermediario entre los teoremas y los problemas. La obra de Euclides habría contenido 171 enunciados de este tipo y 38 lemas. Pappos da ejemplos como "si, a partir de dos puntos dados, se trazan rectos que intersecten en una recta dada, y si una de estas talla sobre una recta dada un segmento, el otro hará el mismo sobre otra recta, con una relación fijada entre los dos segmentos cortados.​" Interpretar el sentido exacto de qué es un porisma y restituir finalmente todo o parte de los enunciados de la obra de Euclides a partir de las informaciones dejadas por Papo ha ocupado a numerosos matemáticos; las tentativas más conocidas son las de Pierre Fermat en el XVII y de Robert Simson en el XVIII, y, sobre todo, la de Michel Chasles en el XIX. Si la reconstitución de Chasles no ha sido tomada seriamente como tal por los historiadores actuales, por lo menos ha dado la ocasión al matemático de desarrollar la noción de relación anharmónica.​

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β' trataba sobre los lugares geométricos sobre superficies o lugares geométricos que eran estos mismos superficies. En una interpretación posterior, se tiene la hipótesis que la obra podría haber tratado de superficies cuádricas. Se trata también de una obra perdida en dos libros, mencionada en el Tesoro del análisis de Papo. Las indicaciones dadas en Proclo o Papo sobre estos lugares de Euclides son ambiguas y lo que se cuestionaba exactamente en la obra no es conocido. En la tradición de las matemáticas griegas antiguas, los "lugares" son conjuntos de puntos que verifican una propiedad dada. Estos conjuntos son a menudo líneas rectas o secciones cónicas, pero también pueden ser superficies planas, por ejemplo. La mayoría de los historiadores estiman que los lugares de Euclides podrían tratar sobre superficies de revolución, esferas, conos o cilindros.​

Fenómenos o Apariencias del cielo o simplemente Fenomena (# Φαινόμενα) es un tratado sobre la Astronomía de posición, que se conserva en griego. Es bastante similar a una obra de Autólico ( Sobre la noción de la esfera) y habla sobre la aplicación de la geometría de la esfera a la astronomía. Ha sobrevivido en griego en varias versiones manuscritas, la más antigua de las cuales data del X. Este texto explica lo que se denomina "pequeña astronomía" por contraste con los temas tratados en la Gran composición (el de Ptolomeo).​ Contiene 18 proposiciones y está cerca de las obras conservadas sobre el mismo tema de Autólico de Pitane.​

Óptica ( Ὀπτικά) es el tratado griego más antiguo que se conserva, en varias versiones, consagrado a problemas que ahora llamaríamos de perspectiva. Aparentemente destinado a ser utilizado en Astronomía, adopta la forma expositiva de los Elementos: es una continuación de 58 proposiciones de las cuales la prueba descansa sobre definiciones y postulados enunciados en los principios del texto. En sus definiciones, Euclides sigue la tradición platónica, que afirma que la visión es causada por rayos que emanan del ojo. Euclides describe la medida aparente de un objeto en relación con su distancia del ojo, e investiga las formas aparentes de cilindros y conos cuando son vistos desde diferentes perspectivas.

Euclides muestra que las tallas aparentes de objetos iguales no son proporcionales a su distancia de nuestro ojo (proposición 8).​​ Explica, por ejemplo, nuestra visión de una esfera (y otras superficies simples): el ojo ve una superficie inferior en mitad de la esfera, una proporción todavía más pequeña en la medida que la esfera es cercana, incluso si la superficie ver parece más grande, y el contorno del que es visto es un círculo. Detalla igualmente, según las posiciones del ojo y del objeto, de qué forma nos aparece un círculo.​ El tratado, en particular, contradice una opinión defendida en algunas escuelas de pensamiento, según la cual el tamaño real de los objetos (en particular de los cuerpos celestes) es su tamaño aparente, la que es vista.​

Papo consideró que estos resultados eran importantes en astronomía e incluyó la Óptica de Euclides, junto con sus Fenómenos, en un compendio de obras menores que había que estudiar antes del Almagesto de Claudio Ptolomeo.

Proclo atribuye a Euclides un Tratado de música ( Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), que, como la Astronomía, en forma de teoría de la música, aplicando proporciones, figura entre las ciencias matemáticas. Dos pequeños escritos han sido conservados en griego y han sido incluidos en ediciones antiguas de Euclides, pero su adjudicación es incierta, así como sus posibles vínculos con los Elementos. Los dos escritos (una Sección del canon sobre los intervalos musicales y una Introducción armónica) son, por otro lado, considerados como contradictorios, y el segundo, al menos, es ahora considerado por los especialistas cómo de otro autor.​

Obras falsamente atribuidas a Euclides

Euclides, 1703

Catóptricos ( Κατοητρικά) trata sobre la teoría matemática de los espejos, en particular de las imágenes formadas en espejos cóncavos planos y esféricos. Su atribución a Euclides es dudosa; su autor podría haber sido Teón de Alejandría. Aparece en el texto de Euclides sobre óptica y en el Comentario de Proclo. Es ahora considerado como perdido, y, en particular Catóptricos, durante mucho tiempo publicada como continuación de la Óptica en ediciones antiguas, ya no es atribuida a Euclides y se considera como una compilación más tardía.​

Euclides también es mencionado como autor de fragmentos en relación con la mecánica, específicamente en textos sobre la palanca y la balanza en algunos manuscritos en latín o en árabe. Pero esta adjudicación es ahora considerada como dudosa.​

La primera edición de la época moderna de las obras de Euclides en griego fue la de David Gregory en Oxford (1703), con una traducción en latín. François Peyrard hizo una edición trilingüe en 3 volúmenes (griego, latín y francés) de los Elementos y de Fecha (es decir, de todos los textos de Euclides de matemáticas puras conocidos en griego) en París (1814-1818).

La edición de referencia de Euclides en griego continúa siendo la de Heiberg y Menge, en 1883: Heiberg; Menge (1883). Teubner, ed. Euclidis opera omnia. Leipzig.

Incluye una traducción en latín junto al texto griego y contiene todos los escritos conocidos (incluyendo los de adjudicación dudosa), así como varios comentarios por autores antiguos.

Véase también

Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,

Otras referencias

Todo sobre Euclides - Página en español

Bibliografía

Sobre Euclides

Euclides: División del canon.
Texto francés, con anotaciones en este idioma, en el sitio de Philippe Remacle.

Euclides: Tres cánones armónicos.
Texto francés, con anotaciones en este idioma, en el sitio de Ph. Remacle.

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Euclides - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Euclides (en griego Εὐκλείδης, Eukleidēs, latín Euclīdēs) fue un matemático y geómetra griego (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.).​ Se le conoce como "el padre de la geometría".​ Desarrolló su trabajo en Alejandría ( antiguo Egipto) en tiempos de Ptolomeo I Sóter ( 323 - 283 a.

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Euclides (325 A.C- 256 A.C)  es conocido como el “padre de la geometría” es posible que estudio en la Academia de Plantón donde aprendió las bases de sus conocimientos. Su obra “Elementos” es una de las obras más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el ámbito académico de entonces.

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Aspectos más importantes de las obras

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Los elementos de Euclides se considera uno de los libros de texto más exitosos e influyentes de la historia de las humanidad. Fue uno de los primeros trabajos de las matemáticas que se imprimieron y se estima que está en el segundo lugar después de la Biblia en términos de ediciones publicadas desde la primera imprenta, en 1482.

Los elementos es un tratado matemático consistente de 13 libros, los cuales se atribuyen al antiguo matemático griego Euclides. Es una colección de definiciones, postulados, proposiciones (teoremas y sus construcciones), así como las pruebas matemáticas de las proposiciones. Los Elementos es probablemente el documento más importante que ha sobrevivido al tiempo. Ha probado ser un instrumento en el desarrollo de la lógica y la ciencia moderna.

Los Elementos, en un contexto histórico, han demostrado ser de enorme influencia en muchas de las áreas de la ciencia. Científicos como Nicolás Copérnico, Johannes Kepler, Galileo Galilei y Sir Isaac Newton, fueron influenciados por Los Elementos, los cuales aplicaron su conocimiento a sus respectivos trabajos. Matemáticos y filósofos, como Thomas Hobbes, Baruch Spinoza, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell, han intentado crear sus propios elementos fundamentales para sus respectivas disciplinas.
El smartphone con Android más pequeño del mundo llega a Kickstarter
Considerando la importancia de este texto, los creadores de esta campaña de crowdfunding en Kickstarter, han decidido hacer una edición moderna, de manera tal que sea mucho más atractiva a los estudiantes e interesados en las matemáticas. Así, Oliver Byrne, quien era un ingeniero británico, decidió re-escribir los seis primeros libros de los Elementos de Euclides usando un lenguaje nuevo e innovador. Transformó las referencias geométricas tediosas a conceptos visuales.

El resultado de esto fue una publicación avanzada en muchos sentidos a su tiempo. Una referencia que ha sobrevivido muchas veces en la última década. Sin embargo, como hemos dicho, Byrne solamente re-escribió los seis primeros libros solamente, de los trece que hay en total.

No está claro por qué Oliver Byrne dejó el trabajo en el sexto libro, pero es claro que los primeros seis libros de Euclides tienen solamente temas geométricos. Los libros siguientes tratan de la aritmética, de temas mixtos, los cuales se complica traducirlos a un lenguaje visual. Por lo que se decidió aceptar el reto y tratar de retomar la labor de Byrne de forma que le diese una nueva forma a todos los libros. Se contrató entonces a un equipo de matemáticos expertos, profesores de universidad y post doctorales para concluir el trabajo de Byrne y completar así todos los libros de Euclides.

Además, se ha buscado darle un toque minimalista, haciendo que los Elementos de Euclides sea toda una experiencia nueva para quienes lo adquieran. Eso es al menos lo que buscan los autores de este trabajo. Se espera que con los trece libros terminados, nacerá una publicación única: un libro que no existía antes y que difícilmente se vuelva a desarrollar, debido al gran esfuerzo y cantidad de trabajo que se necesita.
Kickstarter suspende campaña fraudulenta para la adopción de bebés
Por eso mismo se ha lanzado la campaña de Kickstarter, la cual pretende además, hacer que el proyecto se concluya en el menor tiempo posible si se logra conseguir los fondos los cuales, sea dicho de paso, ya se han alcanzado al momento de escribir esto.

El libro tiene un formato de 20 x 27 cms en pasta dura. El precio, una vez que termine la campaña de Kickstarter, será de 200 euros por lo que es una buena idea colaborar porque así podrán hacerse de esta edición por un precio más económico (unos 150 euros sería el precio a pagar mínimo si se apoya la campaña).

Referencias: Kickstarter

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Los elementos de Euclides, un libro clásico, ahora en Kickstarter

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Los elementos de Euclides se considera uno de los libros de texto más exitosos e influyentes de la historia de las humanidad. Fue uno de los primeros trabajos de las matemáticas que se imprimieron y se estima que está en el segundo lugar después de la Biblia en términos de ediciones publicadas desde la primera imprenta, en 1482.

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Unos de los aspectos más importantes del trato matemático que consiste en 13 libros, “Los Elementos” son las colecciones de definiciones matemáticos, postulados, proposiciones y pruebas matemáticas de las proposiciones.

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1. RESUMEN

Arquímedes fue un matemático e inventor griego del siglo III a. C. conocido principalmente por:

- Ser uno de los matemáticos más importantes de la historia.

- Realizar avances de enorme relevancia en el campo de las matemáticas, la física y la ingeniería.

- Diseñar armas militares revolucionarias para la defensa de su ciudad natal: Siracusa.

2. BIOGRAFÍA RESUMIDA DE ARQUÍMEDES

Arquímedes nació en el año el 287 a. C. en Siracusa (actual Sicilia, Italia; por aquel entonces parte de la Magna Grecia).

Hijo de un astrónomo, Fidias, Arquímedes seguramente adquirió su interés científico desde una temprana edad.

Su juventud la pasó en Alejandría (actual Egipto), vanguardia de la cultura y el conocimiento de aquella época; pero vivió la mayor parte de su vida en Siracusa, dedicado a la investigación de principios matemáticos y al diseño de artilugios militares.

Entre los principales hallazgos de su prolífico legado destacan:

El descubrimiento del ahora denominado "principio de Arquímedes".

Definir la ley de la Palanca (de ahí su famoso "dadme un punto de apoyo y moveré el mundo").

Ser el precursor del cálculo integral y diferencial con el uso de infinitesimales (18 siglos antes de Newton y Leibniz).

Realizar una aproximación realmente precisa del número pi a través de métodos geométricos (π ≈ 0,1408-0,1428).

Calcular el área bajo el arco de una parábola a través del uso de infinitesimales.

Demostrar que el volumen de una esfera es dos tercios el volumen del cilindro que la circunscribe.

Inventar el tornillo de Arquímedes.

Diseñar armas y métodos de defensa militares innovadores como el rayo de calor, con el que supuestamente prendía fuego a los barcos enemigos a través de un juego de espejos cóncavos. (*) Aunque siempre se ha entendido como un mito, estudiantes del MIT han conseguido replicar este hallazgo. Más información [AQUÍ].

Fue tal el ingenio y el legado de Arquímedes, que el propio emperador de la república romana Marco Claudio Marcelo (enemigo natural en la guerra), ordenó no hacerle ningún daño. Desafortunadamente, uno de sus soldados, contraviniendo sus órdenes (se desconoce el motivo), acabó con la vida del genio y polímata griego una tarde del año 212 a. C. cuando este contaba con 75 años de edad.

3. DOCUMENTAL SOBRE LA VIDA DE ARQUÍMEDES

4. MÁS INFORMACIÓN Y REFERENCIAS

UNED - Universidad Nacional de Educación a Distancia (2010). Arquímedes. El genio de Siracusa. Documental disponible [AQUÍ].

Wikipedia.org (2018). Arquímedes. Disponible [AQUÍ].

Wikipedia.org (2018). Archimedes. Texto en inglés. Disponible [AQUÍ].

Crilly, T. (2009). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Editorial Ariel. Libro no disponible en línea.

Massachusetts Institute of Technology (2009). Archimedes Death Ray: Testing with MythBusters. Texto en inglés. Disponible [AQUÍ].

Wikiquote.org (2018). Citas y frases célebres de Arquímedes. Disponible [AQUÍ].

Domenico Fetti (1620). Retrato de Arquímedes. Imagen obtenida en Wikimedia Commons. Disponible [AQUÍ].

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¿Quién fue Arquímedes? ¿Qué hizo? (Resumen) - Saber es práctico

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Arquímedes fue un matemático e inventor griego del siglo III a. C. conocido principalmente por: - Ser uno de los matemáticos más importantes de la historia. - Realizar avances de enorme relevancia en el campo de las matemáticas, la física y la ingeniería. - Diseñar armas militares revolucionarias para la defensa de su ciudad natal: Siracusa.

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Un aspecto importante de “El Método” de Arquímedes sería la ley de la palanca. Arquímedes enunció la ley de  la palanca como “La potencia por su brazo es igual a la resistencia por el suyo”.

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Descartes fue un filósofo, matemático y físico francés. Se le considera el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna.

René Descartes nació en Turena, Francia, el 31 de marzo de 1596 y murió en Estocolmo, Suecia, el 11 de febrero de 1650. Su nombre sería Renatus Cartesius en su forma latinizada. De su apellido "Cartesius" se deriva el adjetivo cartesiano que se aplica en matemáticas en referencia, por ejemplo, a los planos, ejes o coordenadas.

René Descartes es reconocido como uno de los principales personajes de la revolución científica que se desarrolló durante los siglos XVI y XVII como continuación y herencia del Renacimiento. Es el primer científico con elevada capacidad filosófica cuya visión está profundamente afectada por la nueva física y la nueva astronomía.

Después de viajar por gran parte de Europa, se instaló en los Países Bajos, dónde desarrollaría sus objetivos filosóficos y científicos. De esta forma, en el año 1637 publico su famoso "Discurso del método" en el que Descartes propuso una duda metódica que trataba de someter a juicio todos los conocimientos existentes en la época.

Con su Discurso del Método se apartó claramente de la escolástica enseñada hasta entonces en las universidades europeas. Así, con una gran simplicidad, ya que se compone tan solo de cuatro normas, trató de romper con el razonamiento escolástico, basándose en el modelo matemático, con el que intento poner fin al silogismo aristotélico que se mantuvo y desarrolló durante toda la Edad Media.

Descartes formulo su famoso principio " cogito ergo sum" (pienso, luego existo) que se configuró como uno de los principales elementos del racionalismo occidental.

A partir de aquí formuló el conocido "método cartesiano", que consiste en la descomposición de problemas complejos en partes más sencillas hasta conseguir los elementos básicos que se presentan a la razón de forma evidente. A partir de estas partes se puede reconstruir todo el complejo.

En el campo de la física, Descartes ha sido considerado como el padre del mecanicismo, mientras que, en las matemáticas, lo es de la geometría analítica. También ha sido asociado en geometría con los conocidos como ejes cartesianos, con la iatromecánica y la fisiología mecanicista en el campo de la medicina, y con el dualismo filosófico mente - cuerpo y el dualismo metafísico materia - espíritu, considerándose a Descartes como el iniciador de la filosofía racionalista moderna.

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René Descartes, padre de la geometría analítica y la filosofía moderna

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Descartes fue un filósofo, matemático y físico francés. Se le considera el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna. René Descartes nació en Turena, Francia, el 31 de marzo de 1596 y murió en Estocolmo, Suecia, el 11 de febrero de 1650. Su nombre sería Renatus Cartesius en su forma latinizada.

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Un aspecto importante de “La geometría de Descarte” sería como relacionó por primera vez  nociones del álgebra con objetos geométricos, dando lugar a la aparición de la geometría analítica o cartesiana.

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En conclusión, estos tres libros ayudaron a formar la matemática que nosotros estudiamos hoy en día. Ayudaron a crear fórmulas y definiciones que todavía usamos hoy cuando estudiamos la matemática.