# data[].attributes.body
Link

# data[].attributes.body
Materiale udarbejdet af Pernille Pind til Ordblinde Unge Talvanskeligheder

# data[].attributes.body
Link

# data[].attributes.attachment_link.title
Ordblind - også i matematik. Webniar 26.01.22.mp4

# data[].attributes.body
Hvilken betydning har ordene i en matematik opgave?

http://kortlink.dk/2bez7

# data[].attributes.attachment_link.description
matematik Gode ideer til at bruge GWfE til undervisningen i matematik

# data[].attributes.body
Skrivning i matematik

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
I matematik skal eleverne lære, at symboler og tegn repræsenterer noget. Det kan være en mængde, en regneoperation, et forhold eller en relation. Et symbol i matematik dækker altså over et helt ord eller et omfattende taleudtryk. Matematiksproget vil for eleverne være et sprog af 2. orden, som skal kobles med deres sprog af 1. orden, nemlig hverdagssproget. Det er centralt, at matematiklæreren hele tiden søger at skabe forbindelse mellem elevernes hverdagssprog og det matematiske sprog i klasserummet, så eleverne oplever at lytte til sproget samt at læse, skrive og samtale om sprogets symboler og tegn

Første trinforløb

I første trinforløb møder eleverne en række tal og symboler, som de gradvist skal blive fortrolige med. Der bør løbende foregå en mundtlig og en skriftlig bearbejdning af tal og symboler med brug af repræsentationer og konkrete materialer. Eleverne møder i dette trinforløb regnehistorier, der udtrykker små situationer fra hverdagen, som kan løses ved hjælp af matematik. Første udfordring kan være, at eleverne overhovedet lærer at identificere en regnehistorie. Eleverne skal på sigt kunne omsætte regnehistorier til regneudtryk og gå fra hverdagssprog til matematiksprog. Her er direkte arbejde med koblingen mellem sprog af 1. orden og sprog af 2. orden i spil. Nogle elever kan have glæde af at bruge lommeregner eller en simpel CAS-lommeregner.

Eksempel: Eleverne skal oversætte: Peter har 45 kr. Han vil købe en gave til sin mor, som koster 79 kr. Hvor mange penge mangler Peter?

Regnehistorien kan oversættes til: "Hvad skal jeg plusse 45 med for at få 79?" Den kan også tegnes som 45 + '= 79, og der kunne skrives 45 + mangler = 79 eller 45 + m = 79. Andre vil kunne skrive 79 - 45, men da eleverne ikke nødvendigvis ser denne situation som en subtraktionskontekst, vil det være en fin støtte at arbejde med simpel algebra, ikke som formel ligningsløsning, men som understøttelse af tænkningen.

Eleverne kan tegne deres egne symboler for det tal, de skal finde. Det er matematisk skrivning med symbolholdige udtryk, og symbolerne kan være andet end tal og regnetegn. Symbolerne kan være med til at repræsentere elevernes tænkning.

Andet trinforløb

I andet trinforløb er det naturligt at udvikle og udvide elevernes tekstbegreb i matematik. . Begrebet dækker over alt fra grafer, diagrammer, tegninger, matematisk symbolsprog, faktabokse til sammenhængende tekst. Eleverne skal både lære at læse, tolke/samtale om og selv udtrykke sig gennem de forskellige tekster, faget rummer. Det er væsentligt at bruge tid på de forskellige teksttyper og omtale dem som matematikholdige tekster, så eleverne tidligt lærer at tillægge disse teksttyper værdi. Her er den faglige skrivning i de forskellige teksttyper central. Dermed er det at udtrykke sig gennem grafer, symbolholdige udtryk, diagrammer og tabeller altså at betragte som skrivning i matematik.

Eksempel: Opgave: Vis selv resultatet af din undersøgelse i et diagram. Hvilket diagram er det bedste?

For at forstå forskellen på forskellige diagrammers virkemåde, er eleverne nødt til at fremstille diagrammer og undersøge: Hvad kan et cirkeldiagram i forhold til et søjlediagram og omvendt? Kun ved selv at skrive, kan eleverne få deres eget sprog om, hvordan diagrammerne virker, hvordan de kommunikerer et datasæt, og hvad der kan tolkes af diagrammerne.

Begrebet tekstopgaver folder sig for alvor ud i løbet af andet trinforløb, og eleverne skal lære at trække de relevante informationer ud af teksten, omsætte dem til et matematisk problem, som de skal løse, og kommunikere et svar.

Symboler, begreber og definitioner

I arbejdet med symbolholdige udtryk er det en god idé i både andet og tredje trinforløb at have fokus på symbolernes betydning, da flere symboler kan have flere betydninger. Bogstavers rolle kan eksempelvis variere i symbolholdige udtryk lige fra at være pladsholder for et bestemt tal, som det ses i en ligning, 2x + 3 = 5, til at være en variabel, der kan antage forskellige værdier som i udtrykket 2a+3, til at være et symbol for et bestemt tal, som det ses i brugen af π.

På samme måde har lighedstegnet vidt forskellige roller. Når eleverne bruger eksempelvis CAS-værktøjer til symbolholdige udtryk, vil de i flere situationer skulle vælge mellem forskellige lighedstegn, alt efter om de beregner, løser en ligning eller tildeler en værdi. Skrivning i matematik betyder altså nogle gange, at eleverne skal dvæle ved de enkelte symbolers betydning og udforske betydningen i deres skrivning.

Eksempel: Skriv et regneudtryk, som viser omkredsen af et rektangel, hvor længden er det dobbelte af bredden. Dit regneudtryk skal passe på alle rektangler, hvor længden er det dobbelt af bredden.

Eleverne kunne skrive: O=2b+b+2b+b eller O=6b. Hvis de antager, at bredden kaldes b. Der er mange mellemsvar, og nogle elever kan have brug for at starte med konkrete tal, for gradvist at arbejde med det algebraiske sprog. Der kan være gode samtaler på klassen om, hvad O og b betyder i regneudtrykket, og hvorfor de to eksempler oven for begge kan bruges og giver det samme: Hvad betyder lighedstegnet i regneudtrykket? Skal man regne noget ud mon? Hvad kan man regne ud?

Begreber og definitioner
I løbet af andet og tredje trinforløb vil elevernes begrebsverden i matematik blive udvidet i takt med, at de hele tiden møder nye områder af matematikken eller bygger oven på tidligere områder. Ved nye begreber skal eleverne møde mange repræsentationer for begreberne og få en masse erfaringer med de konkrete begreber. For at give et øjebliksbillede af elevernes tænkning om et begreb, kan der arbejdes med et begrebskort eller med at skrive egentlige definitioner på begreberne, hvilket kan indfange elevernes viden og forståelse.

At arbejde med egne begrebsdefinitioner kan være med til at udvikle elevernes indre stemme, deres sprog af 1. orden, så de får en klar bevidsthed om, hvordan de selv tænker om begreberne. Det kan være frugtbart at lade eleverne møde hinandens begrebsdefinitioner, og det leder frem mod, at eleverne på sigt kan møde de matematiske definitioner, der findes til mange begreber i faget. Sigtet er ikke at ensrette elevernes egne definitioner, men at få dem i spil og udfordret i undervisningen. Det kan betragtes som et lille pitstop, hvor eleverne skal samle tankerne og forsøge at strukturere dem mundtligt og skriftligt.

Tredje trinforløb

I dette trinforløb fylder arbejdet med faglig skrivning gradvist mere, da elevernes skrivning i matematik efterhånden kan og bør antage mange forskellige udtryk. Eleverne skal udvikle gode strategier for at angribe tekstopgaver eller skriftlige problemer, når de møder dem i matematik, for eksempel kan eleverne blive opmærksomme på signalord. Det er ord, som sender signaler om, hvilke former for svar, der forventes, eller hvad der skal til at for at løse opgaven. Signalord kan være:

Beregn - kalder typisk på en beregning, hvor der fremgår et eller andet regneudtryk.

Forklar - kalder på en skriftlig forklaring, som kan bygge på beregninger, tegninger, hvor der begrundes med noget matematik.

Undersøg - fortæller, at der muligvis ikke er en bestemt metode, som skal bruges, men at eleverne kan vælge mange forskellige metoder og på en eller anden måde dokumentere deres fremgangsmåde og resultat. Ofte vil der være brug for en form for konklusion på undersøgelsen.

Det kan være en fordel, hvis eleverne prøver både at arbejde med at lave gode svar på opgaver, der bruger bestemte signalord, og at eleverne finder på opgaver til hinanden, hvor de bruger bestemte signalord.
Eksempel: Hvis I har en figurfølge som herunder, hvilke opgaver kan I så stille til hinanden med følgende signalord: Hvor stort er? Beregn? Forklar? Undersøg?

# data[].attributes.attachment_link.title
Skrivning i matematik - GRUNDSKOLE | emu danmarks læringsportal

# data[].attributes.attachment_link.description
I matematik skal eleverne lære, at symboler og tegn repræsenterer noget. Det kan være en mængde, en regneoperation, et forhold eller en relation. Et symbol i matematik dækker altså over et helt ord eller et omfattende taleudtryk. Matematiksproget vil for eleverne være et sprog af 2.

# data[].attributes.body
MatematikFessor - FessorsForum

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Procesnotatet er tiltænkt elever på mellemtrinnet og i udskolingen. Procesnotatet er en notatteknik, der hjælper eleverne med at systematisere tekstbaserede matematikopgaver som f.eks. Læs-Tænk-Regn opgaver eller den matematiske problemløsning til 9. klassens prøve. Procesnotatet kan bruges individuelt til opgaveløsning eller alternativt i en hel klasse, som en måde hvorpå man kan arbejde med overblikket over en matematisk tekst, samt udtrykke sig med ord omkring sin matematiske proces. Eleverne kan arbejde sammen eller i makkerpar om at udfylde procesnotatet.

For at udnytte procesnotatets potentiale er det vigtigt, at eleverne bruger ord til at beskrive processerne. Det er selvfølgelig altid lærerens professionelle vurdering, om procesnotatet egner sig til en given matematisk tekst. Det bør aldrig i sig selv være et mål at udfylde procesnotatet, og eleverne bør ikke bruge det hver eneste gang, de skal løse en tekstbaseret matematikopgave - det vil blive for omfattende og tidskrævende. Pointen er, at eleverne internaliserer procesnotatets fremgangsmåde (eller dele heraf), så de af sig selv vil kunne skabe et overblik over en given matematisk tekst og benytte den fremgangsmåde, der er relevant.

Vi har udarbejdet to varianter af procesnotatet. Et simpelt procesnotat (procesnotat 1) ét, der indeholder overslag og vurdering af overslaget (procesnotat 2). Nedenfor vises en konkret LTR-opgave til 5. klasse ("Fessor i skole") et eksempel på udfyldning af procesnotat 1.

# data[].attributes.attachment_link.title
Hent materiale - procesnotater - FessorsForum

# data[].attributes.attachment_link.description
Procesnotatet er tiltænkt elever på mellemtrinnet og i udskolingen. Procesnotatet er en notatteknik, der hjælper eleverne med at systematisere tekstbaserede matematikopgaver som f.eks. Læs-Tænk-Regn opgaver eller den matematiske problemløsning til 9. klassens prøve. Procesnotatet kan bruges individuelt til opgaveløsning eller alternativt i en hel klasse, som en måde hvorpå man kan arbejde med overblikket over en matematisk tekst, samt udtrykke sig med ord omkring sin matematiske proces.

# data[].attributes.body
Fra https://www.matematikideer.dk/mellemtrin-4-6

# data[].attributes.body
7.-9. klasse - skriftlige opgaver

# data[].attributes.body
Pernille Pind

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
På denne side kan downloades gratis materialer, læseprøver på nogle af vores bøger og diverse vejledninger.
Er din institution udpeget til Copydan-registrering, så husk venligst at indberette vores materialer.
Undersøgelser med putlinger "Det (u)sagte"-kort
Et spil om begrebsudvikling i matematik.

Vejledning kan downloades her, og de enkelte kort downloades i matrixen

Grundlaget for kortene er skabt i Excel, og kan downloades her til evt. viderebearbejdning. Udvælg eller tilpas de kort du vil bruge, og brug fx brevfletning i Word til at formattere dem passende.
Hverdagsreferencer
Spil med fokus på subitizing og regruppering af små antal
Spilleregler
Papirfoldning - en matematisk undersøgelse
Undervisningsmateriale om papirfoldning Spilleplade Nogle udvalgte hverdagsreferencer Kattemaske-skabelon
Decimaltalsspil
Et spil for to deltagere. De to deltagere vælger sammen to primtal. Spillet drejer sig om at gætte på, hvad man skal gange det mindste tal med for at få det største. Begge spillere har fem gæt. Efter hvert gæt afslører hver spiller hvad de har gættet på, og man regner ud hvad resultatet af gættene er. Den spiller der er tættest på efter 1. gæt får 1 point, den spiller der er tættest på efter 2. gæt får 2 point og den spiller der er tættest på efter 3. gæt får 3 point osv. S pilleplade
RoS
Matematikpensum på specialskoler
Matematikpensum udvælges i praksis ud fra fælles mål, lærerbøgerne og traditioner. Særlig ift. specialundervisning er det både klogt og nødvendigt at stoppe op og overveje hvad der egentlig skal undervises i.Pernille har - i dette regneark - givet et bud på både hvad der skal undervises i, og hvad man godt kan springe over i specialundervisningen. I regnearket har vi også noteret et andet bud, som nogle lærere på en specialskole har valgt.
Quiz og byt med plus-regnestrategier
Talblindhed
En liste over tegn på, om et barn er talblind.

Eksempler på løsninger i GeoGebra:
Kvadrat
Ligesidet trekant
Vilkårlig trekant
Ikke-retvinklet, konveks firkant

Gennemgang af konstruktion af foldelinier i ikke-retvinklet, konveks firkant:
Konstruktion af den skrumpende firkant (40 Mb - PowerPoint)
Konstruktion af de sidste foldelinjer (63 Mb - PowerPoint)

Jeg tæller det hele.

Jeg tæller videre.

Jeg kan huske det udenad.

Jeg flytter én og laver et plus-par.

Jeg tænker på et plus-par og så én mere eller mindre.

10 års jubilæum
GeoGebrafiler til egne eksperimenter:
Den skrumpende firkant
Firkant

Fold og klip en kattemaske:

Læseprøver på nogle af vores bøger:
Figur 1 - print på begge sider af papiret.
Figur 2 - print på begge sider af papiret.

Regneark til opsummering af elevernes strategier - en del af RoS-materialet.
RoS/Test Plus første klasse
RoS/Test Plus anden klasse
RoS/Test Plus tredie klasse
RoS/Test Gange
RoS/Test Tekstopgave fjerde klasse (screeningstest)
RoS/Test Tekstopgave femte klasse (screeningstest)
RoS/Test Tekstopgave sjette klasse (screeningstest)
RoS/Test Tekstopgave (observationstest)
RoS/Test Tekstopgave fjerde klasse (screeningstest - elektronisk version)
RoS/Test Tekstopgave femte klasse (screeningstest - elektronisk version)
RoS/Test Tekstopgave sjette klasse (screeningstest - elektronisk version)

Download og print regnestykkekortene og klip dem ud enkeltvis. Giv hver elev et kort med et regnestykke, og bed dem gå rundt blandt hinanden. Når de møder en anden elev, forklarer de hende, hvilken strategi de vil vælge at bruge til at løse regnestykket på kortet, og lytter til den andens forklaring af hendes strategivalg. De bytter kort og går videre til en ny elev.

For at få højdespringerne med, er der også en række tomme kort, hvor eleverne selv kan skrive regnestykker, hvor de anvender nedenstående regnestrategier. F.eks. 25 + 26.

Vi har udvalgt regnestykkekort, som er særligt velegnede, når eleverne skal øve disse regnestrategier:

I anledning af vores 10 års jubilæum, producerede vi et lille jubilæumshæfte, hvor vi skrev lidt om firmaets historie og fortalte, hvordan vi valgte af feste en hel dag på matematisk.

Materialerne kan downloades her:
Jubilæumshæftet
Möbiusbånd og bagelsmatematik
MUS (matematiske udviklingssamtaler)
Trojaborglabyrint

Læseprøve fra En dag uden tal.
Læseprøve fra inspirationshæfte i Matematik for 0- til 3-årige.
Læseprøve på Modellering og estimering
Læseprøve på RoS/Kuffert Gange vejledningshæfte
Læseprøve på RoS/Kuffert Plus vejledningshæfte
Læseprøve på Åben og Undersøgende Matematik
Læseprøve på Matematik for alle Læseprøve på Du kan regne med dit barn Læseprøve på Gode grublere og sikre strategier Læseprøve på Læs selv om korttricks
Læseprøve på vores kogebog, Himmerigsmundfulde
Lærervejledning til Læs selv Matematik-serien fra 2005
Lærervejledning til Læs selv Matematik-serien fra 2002
Løsningshæfte til Læs selv Matematik-serien fra 2002

Juleaktiviteter

Eksemplarfremstilling af papirkopier/prints fra denne hjemmeside til undervisningsbrug på uddannelsesinstitutioner og intern administrativ brug er tilladt med en aftale med Copydan Tekst & Node. Eksemplarfremstillingen skal ske inden for de rammer der er nævnt i aftalen.

# data[].attributes.attachment_link.description
På denne side kan downloades gratis materialer, læseprøver på nogle af vores bøger og diverse vejledninger. Er din institution udpeget til Copydan-registrering, så husk venligst at indberette vores materialer. Putling Undersøgelser med putlinger "Det (u)sagte"-kort Et spil om begrebsudvikling i matematik. Vejledning kan downloades her, og de enkelte kort downloades i matrixen Tal Geometri Statistik...

# data[].attributes.body
Pernille Pind

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Undervisning i problemløsning

Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier"
Bogen kan købes i vores online-butik.
Formålet med denne bog er at give en hjælp til undervisning i det svære område problemløsning. Matematikundervisning har generelt stort fokus på færdigheder og begreber. Arbejdet med matematiske strategier er også særdeles vigtigt - og fokus for denne bog.

Problemløsningskompetencen er en central matematisk kompetence. En kompetence som ikke kun kan bruges til klassiske matematiske problemer, men også til problemer af mere sammensat og kompleks natur.

Det er svært at få fat i, hvad det egentlig er vi gør, når vi løser problemer. "Jeg gør det bare", "Det er forskelligt fra gang til gang", og "Det har jeg egentlig ikke tænkt over" er typiske svar fra folk, der har arbejdet med matematiske problemer. Det illustrerer, at problemløseren bliver optaget af selve problemet, mens metatænkningen - refleksionen over, hvordan man egentlig gør - tager man sig ikke tid til.

I denne bog ser vi på begge dele. I dette kapitel gennemgås en række problemløsningsstrategier fra de meget overordnede, som vi kalder vaner, over en generel metode til problemløsning, til en række forskellige strategier man kan vælge mellem i arbejdet med et konkret problem. Derefter gennemarbejdes 25 klassiske problemer med brug af en række forskellige problemløsningsstrategier, så man kan opleve dem i aktion.

Man må endelig ikke fristes til at tro, at arbejdet med problemløsningsstrategier kun er for dygtige elever. Tværtimod. Elever, som finder matematik vanskeligt, mangler i særlig høj grad disse generelle værktøjer. Og man lærer kun noget ved at prøve det, også selv om det er svært.

Hvad er en grubler

Vi har kaldt bogen "Gode grublere og sikre strategier". De problemer, vi præsenterer i bogen, skal næsten alle gruble over. Det tænder de fleste, men nogle elever bliver utrygge ved manglen på konkrete løsningsmetoder.

Når man arbejder med problemerne, befinder man sig altså i en problemløsningssituation og ikke i en opgavesituation, hvor det bare handler om at anvende en bestemt færdighed, og så er den opgave løst.

I min bog "Matematik for alle - håndbog i matematikundervisning" beskriver jeg aktiviteter i matematikundervisningen i forhold til graden af åbenhed, inddragelse af virkelighed og problemløsning. Det er vigtigt at bevæge sig rundt blandt disse aktiviteter og komme et stykke ud af alle tre akser, da virkeligheden udenfor skolen ligger langt ude af alle tre akser.

Grublere ligger højt oppe ad problemløsningsaksen. Grublere er typisk ikke ret langt ude på åbenhedsaksen. Og selvom grublere oftest er givet i en kontekst, så er den kontekst sjældent så virkelig, at man kan drage nytte af sine erfaringer fra virkeligheden.

Aktiviteter, hvor eleverne bevæger sig i ukendt territorium, for eksempel at arbejde med problemløsning, kræver støtte fra læreren. Læreren skal være tydelig omkring sine forventninger til eleverne. Ingen elever forventes at kunne løse grubleren umiddelbart. Formålet med arbejdet er, at alle skal prøve at arbejde med problemløsningsstrategier, hvor selve det at finde ud af, hvad man skal gøre, er pointen. Tit kan det også støtte den enkelte elev at tage fælles samtaler med elever, der arbejder med samme problem, hvor elevernes samlede viden er med til at løfte hver enkelt elev videre.

LOVPORT - en metode til problemløsning

Der findes en række forskellige metoder til problemløsning. Jeg har med succes arbejdet med nedenstående, som er inspireret af bogen "Teaching Mathematics to Middle School Students with Learning Difficulties".

Eleverne skal gennemgå nedenstående syv skridt, når de løser problemer.

L for "Læs"

Eleven skal læse teksten grundigt. Gerne læse den højt for en kammerat. Det centrale i dette skridt er, at man får taget fat i ord, man ikke forstår, får spurgt til dem, slået dem op eller lignende, så man er sikker på, at man forstår alle ord. Man skal være opmærksom på, om der er ord, der kan have flere betydninger, og hvor den matematiske betydning kan være anderledes end hverdagsbetydningen. Der kan også være ord, der er særlig vigtige, og som giver et hint til hvilken problemløsningsstrategi, man senere skal vælge.

Man kan strege nøgleordene i teksten under, så man på den måde får tydelig gjort det centrale.

O for "Omformuler"

Eleven skal nu omformulere teksten med sine egne ord. Hvis elever arbejder sammen i makkerpar, kan den ene læse højt, de kan sammen gå teksten igennem som beskrevet ovenfor, og den anden kan så omformulere teksten med sine egne ord. I dette skridt vil problemets staffage, historien, forhåbentlig blive nedtonet, hvorved det matematiske problem kommer til at stå tydeligere.

Efter læsning og omformulering har eleven forstået problemet i alle dets detaljer. Næste punkt - visualiser - hjælper eleven til at forstå problemet i dets helhed.

V for "Visualiser"

Eleven skal nu arbejde med at få dannet et mentalt billede af problemet - et billede, der griber hele problemet på en gang, og som kan rummes i elevens hoved. Mentale billeder kan hjælpes på vej ved at tegne et fysisk billede af problemet eller bygge problemet med konkrete materialer.

De tre første punkter (LOV) skal tilsammen give forståelsen af problemet. Det er helt i orden at bevæge sig lidt mellem skridtene frem og tilbage, men det er ikke i orden at undlade nogle af skridtene.

Ofte oplever eleverne, at hvis de har arbejdet grundigt med de tre første skridt, så falder problemløsningen så let, at de næste punkter håndteres nemt.

P for "Planlæg"

I planlægningsskridtet skal man til at se på de ni sikre strategier. Er der en af dem, der virker oplagt at tage fat på? Skal man have gang i to problemløsningsstrategier? Eller ...?

I nogle situationer kan man umiddelbart se hvilke færdigheder, der skal bruges for at løse problemet, og så er valget af problemløsningsstrategi overstået næsten før, det er startet.

Planlægningen er ofte det sværeste skridt at huske, for når nu problemet er forstået, vil eleverne bare til at løse det, og springer direkte til "regn". Hvis det går galt, skal eleverne tit tilbage til planlægningen.

O for "Overslag"

I dette skridt skal man give et gæt på løsningen eller formulere en hypotese om løsningen. Eller i hvert tilfælde en hypotese om i hvilken retning man forventer en løsning. I problemer, der har mere med virkeligheden at gøre, end grublere har, kan man her inddrage sine erfaringer fra hverdagen eller fra andre fag, men i grublere har man ikke så meget virkelighed at trække på, og ens gæt må baseres på erfaringer fra andre grublere eller lignende problemer.

R for "Regn"

Nu kan man endelig få lov til at udfører sin plan fra punkt P. I mange tilfælde skal man regne, men i andre tilfælde betyder ens plan, at man skal tegne, bygge, dramatisere eller noget helt andet.

Det er her, det afgørende slag med problemet står. Ofte opdager man nu, at man egentlig ikke har forstået problemet ordentligt, og man må tilbage til de første tre skridt igen. Hvorefter man også bliver nødt til at genoverveje planlægningen og genoverveje sit overslag.

Dette skridt kan godt kræve nogle ture rundt i de forudgående skridt.

T for "Tjek"

Selvom man er nået til en løsning, er man ikke helt færdig. Først skal man tjekke om løsningen passer med ens gæt. Stemmer gæt og løsning rimeligt sammen, ja så har man grund til at tro, at man er færdig. Stemmer de to ikke passende overens, må man til at overveje, om gættet var skævt, eller om man har løst problemet forkert. Og kan så spole baglæns og vurdere, om man har regnet/udført planen rigtigt og endelig genoverveje, om man egentlig har forstået problemet korrekt.

Og til allersidst kan man kontrollere, om løsningen er korrekt ved at prøve/regne/tegne efter.

Værdifulde vaner

Nogle strategier er så overordnede og nyttige i alt arbejde med matematik, at vi har valgt at kalde dem værdifulde vaner.

Vær systematisk

At være systematisk betyder, at man gennemgår mulighederne på en struktureret måde. Det er en god vane til megen problemløsning. Når man er systematisk, undgår man at prøve de samme løsningsmuligheder flere gange, og man er sikker på, at man kommer igennem alle relevante muligheder. Derudover betyder den systematiske tilgang, at man bedre kan overskue sine resultater undervejs, og eventuelt opdage mønstre som gør, at man kan komme løsningen nærmere hurtigere.

Strategierne "gæt og prøv efter" og "udtøm alle muligheder" baserer sig kraftigt på en god systematik.

God systematik kan ofte støttes af tabeller, skemaer eller tælletræer.

Brug notation

Notation er særlige symboler eller forkortelser. Brug af notation øger overskueligheden af mange problemer, fordi kompakt opskrivning helt konkret gør beskrivelsen af problemet mindre.

Notation er for eksempel brug af bogstaver i stedet for navne, brug af bogstaver i stedet for tal og brug af symboler. Man må gerne selv opfinde symbolerne, men man kan også bruge nogle af dem, der er opstået blandt videnskabsfolk gennem mange hundrede år. God notation kommer ikke af sig selv, men er noget man skal tænke over og prøve sig frem med. For eksempel skal man nødigt anvende samme bogstav for forskellige ting, og samtidig skal notationen være nem at huske.

Undersøg forskellige synsvinkler

Vanskelige problemer kan løses op ved at afprøve mange forskellige ideer til problemløsningen. Gode ideer opstår blandt andet ved at udnytte kendt viden i andre sammenhænge og ved at sammensætte metoder og viden fra forskellige fag.

Nogle gange kan man godt knokle sig igennem et problem ved hårdt arbejde, men havde man brugt mere tid på at tænke over alternative tilgange, havde der måske været en nemmere løsningsmetode. Andre problemer kan ikke løses med traditionelle metoder, men kræver en kreativ ide.

Kreativiteten kan støttes ved at lave mange forskellige repræsentationer af problemet: Forskellige formuleringer, forskellige former for notation, fysisk repræsentation eller dramatisering. Kun fantasien og kreativiteten sætter grænser. Kreativiteten kan blive hæmmet af vanetænkning og begrænsninger, som traditionelt findes.

Sikre strategier

Under planlægningsdelen af LOVPORT skal man vælge hvilke(n) strategi(er) man kan løse problemet med. Nedenfor beskrives ni strategier, som kan bruges i utallige situationer.

Reducer problemet

Start med at reducere problemet til et nemmere problem, og løs dette problem for derigennem at få ideer til, hvordan man kan løse det oprindelige problem. Mange problemer kan reduceres ved at bruge nemmere tal. Nemmere tal kan være små tal, tier-potenser (10, 100, ...) eller tal, som de øvrige går op i eller er delelig med. Andre problemer kan reduceres ved at reducere antallet af skridt.

Optrævling

Man starter bagfra og trævler problemet op ved at tage et skridt ad gangen og bruge delresultatet til næste skridt. Mange problemer, der er baseret på rekursion, altså det at gentage en procedure på sig selv, kan løses med optrævling.

Luk åbne problemer

Hvis der tilsyneladende mangler oplysninger, eller problemet er åbent eller generelt, kan man ofte tillade sig selv at finde på nogle af de manglende oplysninger. Derved lukker man problemet og gør det muligt at løse.

Når man selv kan finde på de manglende oplysninger, bør de vælges så udregningerne bliver nemme.

Opstil og løs ligninger

Problemers oplysninger og sammenhænge kan ofte samles i en eller flere ligninger. Man skal finde ud af, hvilke ubekendte man har, og hvordan de hænger sammen. Når ligningerne er stillet op, kan de løses med elektroniske hjælpemidler eller traditionelle ligningsløsningsmetoder.

Gæt og prøv efter

Man kan gætte på en løsning, og prøve om den giver den korrekte løsning. Nogle gange kan man gætte mange gange, og kvalificere sine gæt efterhånden som man indser, hvordan gættene skal justeres.

Man kan også starte problemløsningen med at gætte. Ved gæt og efterprøvning øges forståelsen af problemet. Når man kender problemet bedre, kan man skifte til mere direkte løsningsstrategier.

Vær konkret

Nogle problemer forstås bedre, hvis man dramatiserer problemet som et lille skuespil med aktører, replikker og konkrete materialer. Andre gange kan brug af konkrete materialer eller tegning hjælpe problemløsningen.

Nogle gange kan en bunke småsten være nyttige. Andre gange er det en fordel at have farver på, og så er centicubes bedre. Og andre gange er det en fordel at kunne vende materialet, og så er dominobrikker, spillekort eller tændstikker bedre.

Brug logik

I mange problemer skal man bruge den helt basale logiske regel, at et udsagn enten er sandt eller falsk - ikke begge dele. Det lyder banalt, men det er ikke altid lige let at gennemskue, om man kan udelukke det ene og dermed konkludere det andet.

Udtøm alle muligheder

Hvis problemet har et overskueligt antal løsningsmuligheder kan man finde alle de mulige løsninger og undersøge dem en for en.

Det kræver systematik og god orden at sikre sig, at man faktisk har alle de mulige løsninger med, inden man giver sig til at undersøge hver enkelt. Med regneark kan man håndtere selv ret store mængder mulige løsninger.

Et skridt ad gangen

I mange klassiske matematiske problemer er det muligt at starte forfra med startbetingelserne og så ved hjælp af matematik og logik deducere sig stille og roligt gennem problemet skridt for skridt: Hvis det her gælder, så medfører det, at det her gælder og så videre.

Differentieringsmuligheder

Som lærer er muligheden for at kunne lave undervisningsdifferentiering altid vigtig. Undervisningsdifferentiering kan blandt andet praktiseres ved at kunne lave flere variationer over det samme problem, så elever kan udfordres på forskellige niveauer.

Lettere variationer

Læreren kan lave lettere variationer af et problem. Læreren kan vælge at give denne lettere variant i stedet for den originale grubler til de elever, som man ved har behov for en mere tilgængelig version.

Man kan lave lettere varianter af et problem ved at bruge nemmere tal i problemet, reducere antallet af skridt, give flere oplysninger fra starten og/eller lukke de eventuelle åbninger, der er i problemet.

Løft af problemet

Der er også elever, der skal have ekstra udfordringer, efter de har løst det originale problem. Jeg kalder det at give problemet et matematisk løft.

Generelt kan man give problemer et matematisk løft ved at indsætte vanskeligere tal i problemet, tilføje yderligere skridt og/eller åbne problemet ved at fjerne oplysninger. Man kan også bede eleven om at finde andre løsninger eller finde en generel løsning på problemet.

Endelig kan man også give bolden op til elevens egne undersøgelser, hvor eleven selv rejser og besvarer spørgsmål. Det er det mest krævende løft, da eleven selv skal arbejde videre helt åbent og selv skal lære at lave de matematiske løft.

Eleverne skal huske på, at de selv skal svare på de nye spørgsmål, de stiller sig. Det er ikke nok at formulere nye spørgsmål eller forklare, hvordan de kan løses. Ofte er løsningen ikke så nem, som man forestiller sig.

Grublere i klassen

Det er en god ide at introducere LOVPORT før eleverne går i gang med at arbejde med grublerne. LOVPORT kan med fordel introduceres i forbindelse med løsning af tekstopgaver.

LOVPORT er velegnet til samarbejde (to og to eller i lidt større grupper), hvor eleverne skiftes til at læse højt og omformulere og derefter samarbejder om resten af punkterne. Når eleverne husker hinanden på, hvor de er nået til i LOVPORT, mindskes risikoen for at springe skridt over.

Man kan helt konkret udstyre hvert hold elever med et sæt LOVPORT brikker. Det er syv stykker karton på ca. 6 cm x 10 cm, hvor der på den ene side står bogstavet (fx L) og på den anden side står det ord, bogstavet står for (fx Læs). Eleverne skal lægge bogstavet op foran sig på bordet, når de arbejder med det aktuelle skridt. Efterhånden kommer der mere og mere af LOVPORT frem, og læreren kan på den måde se, hvor langt eleverne er. Man kan introducere de ni sikre problemløsningsstrategier, inden eleverne går i gang med at arbejde med grublerne. Det er en god ide at hænge skilte med de ni problemløsningsstrategier op i klassen, så eleverne konstant kan se på strategierne og er bevidst om dem. Det er også en god ide, at lade eleverne føre de ni forskellige strategier ind i deres personlige formelsamling, hvor de kan beskrive strategierne med deres egne ord og føje eksempler til, når de møder dem.

Man kan også undlade at gennemgå strategierne på forhånd og først samle op på elevernes egne problemløsningsstrategier for derefter supplere med de strategier, som eleverne ikke har brugt. Uanset om strategierne gennemgås på forhånd eller ej, er det vigtigt at samle op på problemløsningsstrategierne efter arbejdet med grublerne, det er netop det, der er pointen med arbejdet med grublere.

Selve grublerne kan præsenteres fælles, eventuelt på elektronisk whiteboard, hvorefter eleverne arbejder med grubleren. Efterhånden som eleverne bliver færdige, udfordres de hurtigste med matematiske løft. Når alle er nået gennem grubleren trækkes lod om, hvem der starter med at gennemgå sin måde at løse grubleren, og flere forskellige problemløsningsstrategier vises på tavlen og diskuteres. Husk eleverne på, at pointen er de forskellige problemløsningsstrategier i højere grad end selve løsningen.

Man kan også vælge, at eleverne arbejder med forskellige grublere. Eleverne er på denne måde mindre pressede af den konkurrencestemning, der kan opstå, når alle arbejder med den samme grubler. Opsamlingen af forskellige problemløsningsstrategier er vanskeligere her, da det kan være vanskeligt for læreren at have overblik over, hvornår alle har været igennem den samme grubler. Et fælles oversigtsskema kan lette dette overblik.

---

Mange tak til Inge Toft, Borremose Efterskole for illustrationer.

# data[].attributes.attachment_link.description
Undervisning i problemløsning Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i vores online-butik. Formålet med denne bog er at give en hjælp til undervisning i det svære område problemløsning. Matematikundervisning har generelt stort fokus på færdigheder og begreber. Arbejdet med matematiske strategier er også særdeles vigtigt - og fokus for...

# data[].attributes.body
Nogle elever har brug for en overskuelig struktur

# data[].attributes.body
Fra Bugfe.dk webinar

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Når jeg husker tilbage på min skoletid og skriftlighed i skolen, handlede det at skrive om danske stile eller rapporter i historie, biologi og geografi, men ikke om skriftlige opgaver i matematik. Undervisning i matematik havde fortrinsvis fokus på indlæring af basale kundskaber og færdigheder. I gymnasiet handlede den store opgave i matematik om at løse specielt udformede problemløsningsopgaver. Jeg husker ikke, at vi på noget tidspunkt blev bedt om at formulere os mere frit om og med matematik.

Sprogets indtog i matematikundervisningen

Men der er sket en del siden min egen skoletid, og efterhånden har skriftlighed og sproglighed holdt sit indtog i matematikundervisningen. Det understreges fx i vejledningen for matematik, hvor der står: "Sproglig udvikling skal indgå i arbejdet med alle mål. Sproglig udvikling har fokus på fire dimensioner af det talte og det skrevne sprog: Samtale, lytte, læse og skrive" ( EMU). Faglig læsning er blevet et særligt opmærksomhedspunkt i matematikfaget på mellemtrinnet.

Jeg oplever en stor interesse for faglig læsning, men når det kommer til faglig skrivning, er der ikke helt på samme måde fokus på, hvad, hvorfor og hvordan der kan skrives i matematikfaget, ud over det at skrive regnehistorier.

I denne klumme vil jeg derfor præsentere overvejelser over, hvad faglig skrivning er, hvorfor det kan være en god idé at skrive i og om matematik, og i forlængelse heraf vil jeg udpege tre indholdselementer i faglig skrivning.

Hvad er faglig skrivning?

Jeg anlægger en socialsemiotisk vinkel på faglig skrivning i matematik inspireret af Gunther Kress. I denne tænkning er det centrale begreb tegn, men ikke i en stringent lingvistisk form. Her fokuseres på alle former for tegn, uanset deres repræsentationsform. Det er et centralt træk ved tegn i et socialsemiotisk perspektiv, at tegn kan udtrykkes i et hvilket som helst medium. Så når jeg her taler om faglig skrivning, skal det forstås bredt gående fra konkrete aktiviteter over tegning til manipulation med matematiske symboler. Marit Høines skriver i sin bog Begynneropplæringen fra 1994, at mange af de udviklingsmønstre, man finder i elevernes sprog, er at finde i deres illustrationer. Illustrationerne afslører et budskab, og det er vigtigt, at læreren forstår dette budskab.

Hvorfor faglig skrivning?

Jeg mener, at det er muligt at pege på tre begrundelser for at skrive i og om matematik. Det drejer sig om faglig skrivning i relation til læsning, refleksion og evaluering.

Faglig skrivning og læsning

En lang forskningstradition arbejder ud fra antagelsen om, at læsning og skrivning er to sider af samme sag. Graham og Hebert (2010) argumenterer for, at undervisning i skrivning styrker elevernes læsekompetence. Det betyder, at læsning og skrivning i matematematik kan være til gensidig støtte. Når eleverne skriver i og om matematik, bliver de dygtigere til at læse i og om matematik og vice versa. Pointen er, at jo mere elever skriver og læser om problemstillinger af matematisk karakter, desto bedre bliver de til matematik. Når eleverne skriver i og om matematik, kan de støde på mange af de samme udfordringer, som de møder, når de læser matematik. Men selv om eleverne møder de samme problemstillinger, når de skriver matematik, så er faglig skrivning en vanskeligere opgave, fordi eleverne ud over at afkode og forstå en i forvejen formuleret tekst selv skal formulere og skabe teksten. De skal selv producere tekst om matematik.

Faglig skrivning og refleksion

Når eleven skriver, bliver tankeprocessen straks tilgængelig for refleksion, hvilket gør det muligt at forholde sig konkret til form og fagligt indhold. Parr og Falck-Ytter (1994) argumenterer for, at det at tænke og det at kunne formulere tanken er sammenfaldende. Når man skriver eller tegner sine tanker, bliver det tydeligt, hvad man ved og ikke ved. En skriftligt formuleret tanke hjælper med at holde orden i tankerækken og give den struktur. Boscolo og Mason (2001) hævder, at skriftlighed kan forbedre elevernes læring ved at fremme deres aktive videnskonstruktion, hvilket kræver, at eleverne producerer viden snarere end at de reproducerer viden. Denne kognitive udfordring fremmer udviklingen af refleksiv forståelse. Denne øgede refleksion, der foregår, når eleverne skriver i og om matematik, understøtter forståelsen og forbedrer lagringen af matematiske ideer og begreber i hukommelsen.

Faglig skrivning og evaluering

Faglig skrivning er ligeledes et godt evalueringsredskab, fordi den enkelte elev får mulighed for at blive bevidst om sin egen læring, samtidig med at den giver læreren den information om elevens aktuelle læring, der er nødvendig for at tilrette en undervisning. Da faglig skrivning ligesom al anden skrivning alt andet lige har en modtager, må den person, der forfatter teksten, sørge for, at formuleringerne er klare, og de faglige pointer er tydeligt formuleret. Læreren får dermed mulighed for at anvende faglig skrivning til at vurdere elevernes forståelser.

Hvordan faglig skrivning

Ud over de tre begrundelser ser jeg ligeledes tre indholdselementer i den faglige skrivning. Indholdet i den faglige skrivning knytter sig til henholdsvis:

Viden: Her er der fokus på elevernes forståelser af matematiske begreber, egenskaber og sammenhænge. Hvad forstår du ved...?

Processer: Her er der fokus på elevernes kunnen. Hvordan anvendes algoritmer og problemløsningsstrategier? Fortæl, hvad du gør, når...

Holdninger: Her er der fokus på elevernes attituder og oplevelser af matematik. Fortæl, hvordan du har det med...

De tre indholdselementer kan optræde i den samme tekst. Herunder følger et eksempel på faglig skrivning fra Christian, der går i 5. klasse. Han udtrykker både en viden og beskriver en proces.

Hvad ved jeg om brøker?
En brøk består af en tæller, en brøkstreg og en nævner. Når man vil plusse to brøker, finder man først fællesnævner ved at finde et tal, begge nævnere går op i, og ganger tæller og nævner med det. Så plusser man tællerne. Når man vil gange to brøker, giver man dem først fællesnævner - som før nævnt - og ganger tællerne.
I den sidste del af teksten, hvor Christian beskriver, hvordan man kan gange, er der højst sandsynlig ikke tale om en refleksiv skriveproces, men snarere en intuitiv proces. Men fastholdelse via skriftligheden giver mulighed for sammen med eleven at efterprøve gangeeksemplet. Er det rigtigt, at når man vil gange to brøker, giver man dem først fællesnævner og ganger tællerne? Måske kan det hjælpe med en illustration knyttet til en tekst?

Det følgende er et tænkt eksempel på, hvordan den videre faglige skrivning kunne forløbe. Skrivningen kan foregå selvstændigt eller i samarbejde med andre elever eller læreren. Eksemplet udpeger også, hvordan de tre indholdselementer kan se ud på skrift:

Viden: betyder: " En halv gang har jeg en tredjedel, man kan også sige, at jeg har det halve af en tredjedel."

Proces: " Først tager jeg en hel, så finder jeg en tredjedel og tager det halve. Jeg har prøvet at vise det på tegningen."

Holdning: "Jeg synes, det med brøker er svært. Det er nemmere bare at gøre det."

Afrunding

Jeg mener, at faglig skrivning i matematik styrker elevernes evne til problemløsning og deres begrebslæring, samtidig med at faglig skrivning støtter den faglige læsning i faget. Eleverne får mulighed for at udtrykke og fastholde ny viden med deres egne ord. De får endvidere mulighed for at organisere deres tænkning og dele deres forståelser og misopfattelser, så deres lærere får et grundlag for at evaluere deres matematiske kompetencer løbende. Faglig skrivning i matematik tjener altså flere formål og er derfor en aktivitet, der er værd at satse på som en integreret del af matematikundervisningen.

Man skal dog være opmærksom på, at det at skrive i og om matematik ikke er noget, eleverne bare lærer af sig selv. Hvis eleverne ikke bliver undervist i, hvordan man skriver matematiske tekster, og hvis de ikke får respons på deres arbejde, vil faglig skrivning i matematik sandsynligvis ikke have nogen effekt.

Men der hersker dog ingen tvivl om, at undervisningen i matematik allerede har ændret sig radikalt fra, da jeg gik i skole. Matematikfaget har i dag fokus på kompetencer som fx kommunikation, ræsonnement og tankegang, hvor sproget spiller en afgørende rolle. Matematik har udviklet sig til at være et fag, hvor eleverne med den rette undervisning kan skrive sig ind i faget for at forstå, reflektere og evaluere.

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Michael Wahl Andersen lektor ved Københavns Professionshøjskole

# data[].attributes.attachment_link.title
Faglig skrivning i matematik - hvad, hvorfor og hvordan

# data[].attributes.attachment_link.description
Når jeg husker tilbage på min skoletid og skriftlighed i skolen, handlede det at skrive om danske stile eller rapporter i historie, biologi og geografi, men ikke om skriftlige opgaver i matematik. Undervisning i matematik havde fortrinsvis fokus på indlæring af basale kundskaber og færdigheder. I gy...

# data[].attributes.body
AppWriter

# data[].attributes.attachment_link.title
AppWriter Cloud  Opret fagordslister fra forlag

# data[].attributes.body
MatematikFessor mellemtrin

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Hvad er Læs-Tænk-Regn

Læsning er ikke kun dansklærerens domæne mere, og i UVM's "Læseplan for faget matematik" står der da også under det tværgående emne "Sproglig udvikling":
"Det er centralt, at eleverne arbejder med, hvordan viden om fagteksters formål og struktur kan anvendes til udviklingen af læsestrategier. Dette gælder bl.a. hensigtsmæssige strategier til: Søgning, aflæsning og udvælgelse af relevant information fra såvel sammenhængende som ikkesammenhængende tekster."
(UVM,2015)

Her hos Matematikfessor vil vi selvfølgelig gerne støtte op om udviklingen, og vi har derfor udarbejdet et koncept, der hedder Læs-Tænk-Regn (LTR). Du finder LTR-opgaverne på Matematikfessors Lærerværelse under genvejen "PDF-opgaver".

Hensigten med LTR-opgaverne er, at eleverne skal udvikle deres kompetencer inden for faglig læsning af matematiske tekster ved at lære at benytte hensigtsmæssige læsestrategier samt at være aktive i læreprocessen.
Herudover vil vi også med LTR til mellemtrinnet tilgodese, at eleverne skal kunne (jf. Færdighedsmål efter 6. kl.):

mundtligt og skriftligt kommunikere varieret med og om matematik.

anvende fagord og begreber mundtligt og skriftligt.

Opgavernes opbygning

På mellemtrinnet (4.-6. klasse) består LTR af en række tekstopgaver, der hver afsluttes med et spørgsmål angivet i kursiv. Eleverne skal læse teksten (evt. med hjælp fra læreren), og målet er, at de selv skal kunne uddrage de nødvendige informationer for at kunne svare på det matematiske spørgsmål, der stilles. Der er selvfølgelig forskellige måder, hvorpå man kan stille regnestykket op i kladdehæfte.

Procesnotat

For nogle elever kan det være vanskeligt at uddrage opgavens problemstilling samt holde styr på en mængde andre informationer undervejs. Et procesnotat er en notatteknik, der kan hjælpe disse elever gennem tekststykkerne. Et procesnotat kan derudover også bruges i hele klassen som en måde, hvorpå man kan arbejde med overblikket over en matematisk tekst, samt udtrykke sig med ord omkring sin matematiske proces. Eleverne kan arbejde sammen eller i makkerpar om at udfylde procesnotatet.

Vi har udarbejdet to varianter af procesnotatet. Et simpelt procesnotat samt ét, der indeholder overslag og vurdering af overslaget .

For at udnytte procesnotatets potentiale er det vigtigt, at eleverne bruger ord til at beskrive processerne. Det er selvfølgelig altid lærerens professionelle vurdering, om procesnotatet egner sig til en given matematisk tekst. Det bør aldrig i sig selv være et mål at udfylde procesnotatet, og eleverne bør ikke bruge det hver eneste gang, de skal løse en LTR - det vil blive for omfattende og tidskrævende. Pointen er, at eleverne internaliserer procesnotatets fremgangsmåde (eller dele heraf), så de af sig selv vil kunne skabe et overblik over en given matematisk tekst og benytte den fremgangsmåde, der er relevant. Man kan vælge at bruge procesnotatet i arbejdet med LTR, men det kan også bruges i andre sammenhænge med andre matematiske tekster.

Problem
(Hvad er spørgsmålet)

Hvor meget skal Fessor betale for hele sit indkøb?

Oplysninger
(Hvad ved jeg i forvejen)

Der er en skoletaske til 499 kr.
En lineal 32 kr.
Farveblyanter til 20 kr.
5 blyanter á 3 kr.
2 mapper á 6 kr.
En blyantspidser til 15 kr.

Tegning

Løsningsstrategi
(Hvad gør jeg)

Jeg starter med at regne ud, hvor meget jeg skal betale for blyanter og mapper. 5 gange 3 og 2 gange 6. Og så plusser jeg det med alle de andre tal.

Udregning
5 · 3 = 15
2 · 6 = 12
499 + 32 + 20 + 15 + 12 + 15 = 593 kr.

Resultat
(Skrives med et ord)

Fessor skal betale 593 kr for hele sit indkøb.

Matematik-ordbog

Matematik-ordbogen er tiltænkt elever på mellemtrinnet og i udskolingen. Udgangspunktet for matematik-ordbogen er opbygning af ordforråd inden for matematiske fagudtryk, begreber og symboler. I UVM's læseplan for faget matematik (under det tværgående emne "Sproglig udvikling") er området beskrevet således:
"I matematik er det vigtigt, at eleverne udvikler et præcist fagsprog og lærer centrale fagord og begreber i faget, f.eks. addition, radius og areal. Undervisningen skal have fokus på, at eleverne skal kunne adskille hverdagssprog fra fag sprog, herunder fokus på førfaglige ord og hverdagsbegreber, som har en specifik betydning i matematik f.eks. forhold, sider og at skære. Eleverne skal også arbejde med ordforståelsesstrategier til selvstændig tilegnelse af nye fagord og begreber, udnyttelse af konteksten til forståelse af ord samt opslag i analoge og digitale opslagsværker.
(UVM,2o15)

Vedrørende opbygning af ordforråd inden for matematiske fagudtryk, begreber og symboler har vi valgt at understøtte tilegnelsen i form af arbejde med en matematik-ordbog. Ordbogen findes som print på FessorsForum, hvor du også har fundet denne folder. I kan vælge at lave én fælles matematik-ordbog i klassen som I hænger op, eller at eleverne laver hver deres egen. Matematik-ordbogen kan både bruges som før- og efterlæsningsstrategi.

I matematik-ordbogen bearbejdes 4 forskellige typer ord/begreber/symboler. Det er vigtigt, at du som lærer skelner mellem de forskellige.

1. Ord, der peger på regnearter (f.eks "tilsammen", "tilbage", "dele" osv.)

2. Hverdagsord der optræder som matematikord (f.eks "bestem", "skære", "side" osv.)

3. Særlige fagord og begreber (f.eks. "tabel", "retvinklet", "mellemregning" osv.)

4. Matematiske symboler (f.eks. cm2, %, > osv.)

Siderne i ordbogen er enkeltsider, og I kan derfor sammensætte jeres ordbog, så den passer til netop jeres klasse. På mellemtrinnet vil der kunne arbejdes med alle fire sider, mens udskolingen kan få gavn af at fokusere på "Særlige fagord og begreber" samt "Matematiske symboler".

I kan vælge at lave én fælles matematik-ordbog i klassen som I hænger op, eller at eleverne laver hver deres egen. Matematik-ordbogen kan både bruges som før- og efterlæsningsstrategi.

Nedenfor kan du se, hvordan matematik-ordbogens delelementer ser ud. Vi har givet flere eksempler til dig som lærer, hvor eleverne kun får ét eksempel på udfyldning.

Ord der pege på regnearter

Hverdagsord der optræder som matematikord

Særlige fagord og begreber

Symbol

Hvad betyder det?

Tegn el. skriv en opgave eller forklaring til ordet

Diameter

En lige linje, der går fra kant til kant gennem en cirkels centrum.

Rumfang

Størrelsen af et rum inde i f.eks. en kasse.
Formlen er l · b · h
Svaret skal være noget med kubik.

Kassen er 8 cm · 2 cm · 10 cm = 160 cm3

Sum

Når man lægger tal sammen.

Hvad er summen af 8,6og 2?
8+6+2 = 16
Svar = 16

Brøkdel

Når man tager en del af noget. Når nogen har ret i hvad de siger.

En 4. del af 100 skrives sådan:
¼ af 100 = 25

Særlige fagord og begreber

Kvadratcentimeter

Det kan bruges når man skal skrive et areal af noget.

%

Procent

Det betyder hundrededel.
Man kan f.eks. bruge det, når man skal regne rabat.

Hvordan kan du bruge Læs-Tænk-Regn

I LTR-opgaverne er det essentielt, at eleverne forstår teksten, før de kan omsætte den til et regnestykke. Matematikfessor foreslår derfor denne fremgangsmåde ved brug af LTR-opgaverne:

1. Forberedelse

Læs opgaven og facitarket og tag stilling til, om et eller flere ord skal bearbejdes i matematik-ordbogen. Tag også stilling til om eleverne skal arbejde alene, i par eller i grupper. Overvej om alle eller dele af klassen kan have gavn af at arbejde med et procesnotat.

2. Før-læsning

Hvis I bruger matematik-ordbogen som før-læsningsaktivitet kan du på forhånd have plukket relevante ord ud, som I kan skrive i ordbogen, inden i begynder selve arbejdet med opgaven. Dette skærper elevernes opmærksomhed omkring det matematiske sprog, samt aktiverer og bygger videre på elevernes forforståelse.

Præsentér for eleverne på hvilken måde du gerne vil have, at de skal stille regnestykkerne op, eller om du ønsker, at de kun arbejder i procesnotatet.

Som en før-læsnings aktivitet kan I desuden bruge de lektioner (forklarings-videoer), der ligger tilgængeligt på Matematikfessor.dk. De ligger der, hvor du downloader LTR-opgaverne. Hvis du vil sikre dig, at eleverne kan regnemetoden, der bliver brugt i en given LTR-opgave kan du give lektionen (forklarings-videoen) for, og de kan efterfølgende teste sig selv i Test-Dig-Selv - 5 skarpe. Du kan også give opgavesæt for, der omhandler samme matematiske emner som de LTR-opgaver, I skal arbejde med.

3. Under-læsning

Eleverne læser opgaven, tænker, og skriver regnestykkerne ned i kladdehæftet eller i procesnotatet. De kan arbejde alene, eller i grupper, hvor de kan udveksle idéer og valg af regnemetode, samt træne evnen til at udtrykke sig mundtligt omkring matematikken. Nedenfor kommer forslag til arbejdsmetoder:

3a.) Cooperative Learning variationer

Chef-sekretær Elevernearbejder i par. Den ene påtager sig stillingen som chef, den anden som sekretær. Sekretæren starter med at læse teksten højt. Chefen forklarer derefter hvordan opgaven skal løses (men uden at skrive ned).

Team-par-soloTeam: Eleverne er 4 personer i et team. De får lidt tid til at arbejde sammen om at løse den første opgave. Læreren giver herefter løsningen og forklarer udregningen. Hvis opgaven er løst korrekt går eleverne til par-arbejde. Hvis ikke, løser de også næste opgave som team.
Par: Team-medlemmerne danner to par inden for teamet og løser næste opgave i par. Hvis det lykkes at løse opgaven, går de over til solo. Hvis ikke, går de tilbage til at arbejde i teamet.
Solo: Hver elev løser næste opgave alene. Hvis det ikke lykkes, går de tilbage til pararbejde.

3b. Læse-løb

Forberedelse: Ca. 10 tekststykker fra Læs-Tænk-Regn klippes ud, nummereres og hænges op rundt omkring i klassen, på gangen eller i et fællesrum. Tekststykkerne må gerne gemmes lidt væk f.eks under et bord, tæt på gulvet eller højt oppe på væggen så eleverne skal lede efter dem. Eleverne inddeles nu i par og bedes medbringe et stykke papir, en blyant og et viskelæder.Aktiviteten: Nu sendes eleverne på jagt. Når eleverne finder en opgave, skal de skrive nummeret på opgaven på deres papir, læse opgaven, løse den og skrive facit ud for opgavenummeret. De går herefter på jagt efter en ny opgave. Så- dan fortsættes indtil de har løst alle opgaverne. Når eleverne er færdige går de i klassen, hvor I gennemgår opgaverne i plenum.Differentiering: Du kan hænge nogle ekstra LTR tekststykker op fra en anden LTR, evt. i en anden farve, til de hurtige elever. Du kan blande tekststykker fra forskellige klassetrin og derved differentiere niveauet

4. Efter læsning

Efterlæsnings-aktiviteter kan tage mange andre former end den traditionelle klassegennemgang. Her kommer 4 bud på efterbehandling af LTR-opgaverne:

4a) Kend dit fagord

Eleverne arbejder i par. Elev A trækker et af dagens fagord fra en bunke, og læser det højt for elev B. Eleverne finder sammen ud af hvilken en side det skal stå på i ordbogen (er det: "ord, der peger på regnearter", "hverdagsord der optræder som matematikord", "særligt fagord eller begreb" eller "matematisk symbol"). Elev B forklarer, hvad der skal skrives i de forskellige felter. Begge skriver ned.

4b) Film en forklaring

Eleverne tager udgangspunkt i en bestemt regneart eller en bestemt LTR-opgave, og skal nu omsætte den til en forklarings-video. Man kan vise dem i klassen, eller for en yngre klasse som introduktion til et emne. De kan også gemmes, hvis klassen har et fælles drev, så de kan bruge videoerne som opslagsværk.

4c) Lav en tegneserie

Lad eleverne omsætte LTR-opgaverne til en lille tegneserie. Et krav til opgaven kan være, at eleverne skal sørge for at have resultaterne på de forskellige stykker med i illustrationerne. Hvis resultatet af en opgave f.eks. viser, at Fessor skal købe 8 frøposer for at dække sin græsplæne, så skal det selvfølgelig illustreres i tegneserien. Du kan også lade eleverne lave deres egen LTR-opgave først, f.eks med 3 spørgsmål, der herefter skal illustreres i en tegneserie.

4d) Regnehistorier Eleverne

kan eventuelt producere deres egne regnehistorier (altså tekstbaserede matematikstykker) med facit. Her er det sproglige niveau og stavning ikke så vigtigt. Nogle af historierne kan læses op i klassen, som I fællesskab kan nå frem til en regnemetode. I kan derudover sætte hele klassens regnehistorier sammen til en bog.

Den passive elev

Hvis (eller rettere når) du støder på en elev, der spørger "hvad skal man i den her opgave" er det ikke altid det hjælper, at læse teksten én gang til. Eleven kan må- ske godt læse teksten højt, men aner ikke hvad han/hun skal stille op derefter. Da formålet med LTR er, at eleverne skal udvikle kompetencer inden for faglig læsning af matematiske tekster, bliver de nødt til at arbejde med at benytte hensigtsmæssige strategier og være aktive i læreprocessen. Du skal derfor ikke blot omformulere opgaven for eleven, men gå i dialog om opgaven med spørgsmål som: "Prøv at fortælle med dine egne ord, hvad der står." "Hvor står spørgsmålet henne?" "Hvad får du at vide?" "Hvad kan du tegne til denne opgave?" Når eleven bruger sine egne ord til at formulere sig, har han/hun mulighed for at danne indre billeder af problemstillingen og dernæst vælge en løsningsstrategi, der er hensigtsmæssig.

# data[].attributes.attachment_link.title
Hent materiale - Læs-Tænk-Regn - Mellemtrinnet - FessorsForum

# data[].attributes.attachment_link.description
Læsning er ikke kun dansklærerens domæne mere, og i UVM's "Læseplan for faget matematik" står der da også under det tværgående emne "Sproglig udvikling": "Det er centralt, at eleverne arbejder med, hvordan viden om fagteksters formål og struktur kan anvendes til udviklingen af læsestrategier. Dette gælder bl.a.

# data[].attributes.body
Læse- og skrivevanskeligheder i matematik

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Matematikundervisning indeholder tekst. I faget får man ny viden og informationer fra tekst, man bearbejder viden og informationer med tekst, og man udtrykker sin matematiske viden gennem tekst og alt det kan volde store problemer for eleven i læse- og skrivevanskeligheder.

I artiklen får matematiklæreren et bud på, hvordan han eller hun kan skabe et miljø i matematikundervisningen, der tilgodeser mange matematikudfordringer.

Ordblindhed

Min elev er ikke ordblind, men har alligevel svært ved matematik

Det er ikke muligt at lave generelle retningslinjer for, hvad der præcist kan løse det enkelte problemfelt, for kombinationen af vanskeligheder har også betydning. Heldigvis kan eleven næsten altid fortælle dig om de vanskeligheder, eleven oplever. Din opgave er så at foreslå og afprøve forskellige værktøjer og teknikker sammen med eleven.
Der er dog ingen tvivl om, at det kan være en stor mundfuld for matematiklæreren at lave denne udforskning sammen med eleven, men prøv lidt ad gangen og vær systematisk, sådan at du kan huske, hvad der er afprøvet og hvad der havde god effekt.
Ud over de nævnte teknologier er der en række gode metoder eller teknikker, der kan forbedre læringsmiljøet for de udfordrede elever. Her følger en række fif som du kan afprøve.

Gør meget ud ord og begreber, forklar, vis og samtal om ordene. Illustrationer og fysiske oplevelser hjælper eleverne til bedre at kunne huske ord og begreber.

Når du laver fælles undervisning, er det en god ide at bruge tavlen flittigt. Fasthold de vigtigste informationer på tavlen. Skriv tal, stikord, symboler og tegn tændstiksmænd og tidslinjer.

Når du laver matematikopgaver på tavlen, så væn dig til at tænke højt. Vis eleverne hvordan og hvorfor du tænker som du gør. Dette giver eleverne et indblik i de ræsonnementer og refleksioner der foregår i matematikfaget. Inddrag eleverne, så de øver sig i at tænke med.

Vis den struktur og rækkefølge der ligger i opgaven så præcist som du kan. Når eleverne forstår hvad opgaven kræver, kan de øve sig, blive bedre og opnå automatisering.

Lav huskesedler og huskeregler sammen med eleverne. Tag dem frem senere, når der opstår lignende opgaver. Vær opmærksom på, at eleverne ikke altid vil være klar over, hvilken huskeregel der skal i anvendelse, og i de tilfælde, vil du være nødt til at guide eleverne.

Når du giver individuel hjælp, er det en god ide at medbringe en blok. På blokken viser du hvordan, samt noterer og tegner hjælpen for eleven. Når du går videre til næste elev eller gruppe, efterlader du noten hos eleven.

Elever i matematikvanskeligheder føler det ofte som en lettelse, hvis de kan arbejde uden brug af skriftsproget. Overvej derfor om du nogle gange kan afløse skriftsproget med illustrationer, lydfiler, fotos, film eller fysiske aktiviteter.

Tænk over de eksempler du giver eleverne og brug i høj grad eksempler fra dagligdagen, og anvend de ting I har i klasseværelset. Hvis du gerne vil bruge et eksempel, hvor der fx indgår noget muligt ukendt fx et sted som savannen, så sørg for, at du samtidig viser et billede af savannen. Dermed spekulerer eleven ikke over hvad savannen er, og kan i stedet bruge sin energi på matematikken.

Mange elever har glæde af gentagelser, men gentagelserne kan komme til at fylde meget i undervisningen. Nogle gange så meget at undervisningen kommer til at stå i stampe. Derfor kan det virke befriende for læreren, eleven og de øvrige klassekammerater, hvis man har et filmbibliotek med vigtig læring. Her kan eleverne efter behov genopleve tidligere læring uden at det er til gene for resten af klassen. Filmene virker bedst, når det er læreren og eleverne selv, der har lavet filmene.

Når man er i læringsvanskeligheder, tager alting mere tid. Derfor er det vigtigt at give eleven tid til at tænke, svare eller udføre sit arbejde. Hvis eleven ikke når til ende i sine tanker eller arbejde, udebliver en stor del af læringen og eleven vil stå tilbage med en masse afbrudte forløb eller tanker som ikke kan samles til et hele. Husk også at når noget er svært er det hårdt arbejde. Derfor skal du sørge for at indlægge små pauser i din undervisning mindst hver 20. minut. Indimellem kan du også sige: Jeg giver jer lige et minut til at omstille jer til næste trin eller opgave.

Det er vigtigt, at du som underviser tager ansvaret for læringen og anvendelsen af teknologier. Gå i dialog med eleverne og find i fællesskab ud af, hvordan opgaven kan blive løst.

Endelig er det vigtigt at eleverne føler sig set og hørt. Sørg for at du viser interesse for eleven og elevens vanskeligheder. Spørg eleven når du er i tvivl og vær positiv og opmuntrende.

Rom blev ikke bygget på en dag. Print nedenstående lister og begynd der, hvor du synes, det er lettest og giver bedst mening.

Tjeklister til matematiklæreren

Kreditering

Artiklen er skrevet af Margit Gade, Skolelærer og PD i specialpædagogik/læsevanskeligheder.
Margitgade.dk

Illustrationer TegneBjarne,

Litteraturhenvisninger

# data[].attributes.attachment_link.title
Læse- og skrivevanskeligheder og matematik - EUD | emu danmarks læringsportal

# data[].attributes.attachment_link.description
Matematikundervisning indeholder tekst. I faget får man ny viden og informationer fra tekst, man bearbejder viden og informationer med tekst, og man udtrykker sin matematiske viden gennem tekst og alt det kan volde store problemer for eleven i læse- og skrivevanskeligheder.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Når man underviser tosprogede, kan det være fristende at tænke, at først må de have lært noget dansk, så kan vi bagefter begynde at lære dem noget fag. Det går ikke. Man kan ikke vente med at give tosprogede elever anden undervisning end dansk indtil de læser, taler og skriver flydende dansk og - endnu vigtigere - sproget kan slet ikke skilles fra faget. Det sprog vi bruger i matematik er dansk, men en særlig slags dansk, der hører til matematikfaget og skal læres som en del af matematikfaget. Selv som matematiklærere skal vi altså også tænke på os selv som undervisere i dansk - matematik-dansk.

Denne artikel handler om at beskrive noget af dette særlige matematiksprog, forklare hvordan det er forskelligt fra hverdagens dansk og give nogle tips til, hvad man som lærer kan gøre for at lette forståelsen.

Den sprogfattige indskoling

Alle danske matematikbogsystemer er enige om en ting: Det skrevne danske ord hører ikke hjemme i en matematikbog før i 4. klasse, og derefter regner man med at eleverne kan læse hvad som helst.

Det er slående at betragte bogssystemerne ud fra denne vinkel. Der er næsten ikke et skrevet dansk ord i matematikbøgerne fra 0.-3. klasse, men derimod masser af tal, symboler og tegninger. Fra starten af 4. klasse skifter matematikbøgerne totalt karakter. Det er nu tekst der dominerer i bøgerne, og meget færre regnestykker og tegninger.

Derudover går bøgerne fra at være engangsbøger til at være flergangsbøger. Eleverne i 0.-3. klasse skal således heller ikke skrive ret meget og da slet ikke tekst. De skal typisk kun skrive tal på nogle linjer. Fra 4. klasse skal eleverne bruge et hæfte til at skrive svarene i, og mange af opgaverne er stillet så der forventes lidt tilhørende tekst i svaret. Lidt karikeret regner vi altså med at eleverne lærer at læse og skrive matematik i løbet af sommerferien mellem 3. og 4. klasse.

Det er således ikke så underligt, at rigtig mange elever, her i blandt en stor del tosprogede, pludselig får problemer med matematik i 4. klasse. Det er simpelthen et nyt fag der møder dem efter sommerferien. Mange lærere ved godt at det skyldes at eleverne ikke kan læse teksten i matematikbogen godt nok, men nogle drager den forkerte konklusion. De giver teksten skylden for børnenes problemer og mener at disse børn bør have en matematikundervisning uden tekst. Men vi kan ikke have en matematikundervisning uden tekst - kun med symbol regnestykker. For det første skal vi jo kunne tale om faget for at kunne lære det. Kun gennem sproget kan elever og lærer kommunikere om faget, så sproget er nødvendig for en vilkårlig læreproces. Derudover er matematikfaget i dagens Danmark et anvendelsesfag. Målet med matematikundervisningen er, at eleverne kan anvende faget, og fagets anvendelser kræver i høj grad et sprog.

Eleverne skal lære at læse og forstå sproget i matematik. Generelt er lærebøgerne ikke særlig bevidste om denne side af matematiklæringen, hvilket fordrer en højere bevidsthed fra lærerens side.

Før-faglige begreber

Jørgen Gimbel, der er lektor ved Danmarks Pædagogiske Universitet, lavede i 1995 en lille undersøgelse af tyrkiske elever ordforråd i orienteringsfagene. Undersøgelsen var ikke stor, men resultaterne er ganske bemærkelsesværdige.

I Jørgen Gimbels undersøgelse indgik 16 tyrkisktalende 5. klasses elever og 16 danske elever. Eleverne blev mundtligt og skriftligt præsenteret for 50 før-faglige ord fra lærebøger i orienteringsfagene (geografi, biologi og historie). Eleverne skulle så forklare ordene, på et sprog af eget valg.

Disse 50 før-faglige ord var udvalgt på en måde, som meget godt illustrerer hvad før-faglige ord egentlig er for nogle. Jørgen Gimbel have udvalgt 90 højfrekvente ord fra de omtalte lærebøger. Disse 90 ord blev så præsenteret for 3 erfarne orienteringsfagslærere, som afmærkede, hvilke ord de ville forklare i klassen. De afmærkede ord blev så udeladt og tilbage var 50 ord. De højfrekvente ord, som lærerne ville forklare i klassen kan siges at være fagord, de resterende højfrekvente ord, som de ikke ville forklare, kan siges at være før-faglige ord. Før-faglige ord er altså ord som ofte anvendes i faget, men som antages at være kendte for eleverne fra tidligere erfaringer. Der var meget stor forskel på de danske og tyrkiske elevers kendskab til disse ord. I gennemsnit kendte de tyrkiske elever 15 af ordene (min. 3, max. 37), mens de danske elever i gennemsnit kendte 42 (min. 35, max. 47).

Ikke nok med at de danske elever kendte langt flere ord, de var også bedre til at gætte betydningen af de ord de ikke kendte. For eksempel havde nogle tyrkiske elever følgende fejltolkning: 'Landbrug' - er det ikke en bro? Mens en typisk dansk fejl er 'Landbrug' - er det ikke noget med ude på landet? De tyrkiske elever gætter altså primært ud fra lyden af ordet (det fonetiske), mens de danske børn ofte gætter på noget, der betydningsmæssigt er i nærheden. Og et gæt ud fra en fonetisk fortolkning er ofte helt forkert.

Strategier til at forstå ukendte ord og udtryk

Som det også illustreres i Gimbels undersøgelse, så bruger vi nogle gættestrategier, når vi møder et ord, vi ikke kender. Der er to grundlæggende forskellige sæt af strategier: Holistiske strategier og analytiske strategier.

Det holistiske sæt af strategier handler om at have viden om verden og bruge den, så den kontekst ordet indgår i kan hjælpe en til at gætte på ordets betydning.

De analytiske strategier handler om at bruge sit kendskab til ordenes udtale (fonetik), hvilke vendinger ordet ofte indgår i (ideomatik), stavemåde (ortografi), hvilken ordklasse ordet tilhører osv. Begge typer af strategier er nyttige, da de supplerer hinanden.

Som lærer skal man eksplicit undervise i disse forskellige strategier, så eleverne kan lære at anvende dem. Jo flere strategier man har at gøre med, jo bedre!

Det særlige ved matematikkens sprog

Jeg vil fremhæve fire områder, hvor matematikkens sprog adskiller sig fra hverdagssprog

Brug af uklart subjekt

Logik i sproget

Brug af spørgesætninger

Ord med forskellig betydning i matematik- og hverdagssproget

Brug af uklart subjekt

I både mundtlig og skriftlig matematik har vi en tilbøjelighed til at bruge formuleringer, hvor subjektet er uklart, dvs det er uklart hvem der laver hvad:

I matematik bruges ofte passivformen af verberne læse, skrive og kalde.

"Nogle tal kan læses på hovedet f. eks. 69 og 81" (Matematik i fjerde, Gyldendal) og "En linie der forbinder to hjørner i en polygon kaldes en diagonal." (Faktor 8-9 Begrebsbog, Malling Beck).

De elever, der ikke er sikre i matematiksproget, kan tænke: "Hvem kalder hvad?"

Der er også udbredt brug af ordene man og vi.

"Sådan finder man midten på en perspektivisk tegning" (Matematiktak for syvende klasse, Alinea)

"I eksemplet fra før, skulle vi løse ligningerne" (Faktor 8-9 Begrebsbog, Malling Beck)

De elever, der ikke er sikre i matematiksproget, kan tænke: "Skulle vi løse ligningerne, eller var det dem læreren løste på tavlen?"

Endelig bruges bydeform af verber, fx skriv, beregn, find og tegn

"Tegn en udfoldning af en terning med sidelængden 5 cm." (Matematiktak for syvende klasse, Alinea)

De elever, der ikke er sikre i matematiksproget, kan tænke: "Hvem er det der skal tegne?

Det er ikke for at forvirre læseren, at der anvendes uklart subjekt i matematik. Matematik er i sin natur hævet over det subjektive. Det giver ingen mening at skrive: "Kurt kalder en linie der forbinder to hjørner i en polygon for en diagonal". Pointen er jo, at det ikke bare er Kurt der kalder det en diagonal, men "alle". Et definitionstungt fag som matematik vil bruge uklart subjekt, da der ikke er fokus på hvem der definerer, men fokus på definitionen.

Det er en pædagogisk god ide at undersøge og motivere definitioner og finde deres historie. Dette kan netop være med til at hive matematikken ned til os dødelige og vise at matematikken ikke er faldet fra himlen direkte ned i matematikbøgerne, men er skabt af mennesker.

Eleverne skal lære at læse og forstå de særlige konstruktioner med uklar subjekt, da det er en integreret og uløselig del af matematikkens sprog.

Logik i sproget

Matematik og logik hænger sammen. Matematikkens sprog er præget af logik, og det kan være alt afgørende at have styr på den logiske sammenhæng i et matematisk udsagn. For eksempel er det rigtigt at "alle kvadrater er rektangler" hvorimod det er helt forkert at "alle rektangler er kvadrater". I hverdagssproget har sådanne fine nuancer ofte ingen betydning, vi ved godt hvad den anden mener, og derfor er det ikke gennem hverdagens erfaringer at man bliver god til at se de logiske nuancer i sproget. Det skal man bl.a. lære i matematiktimerne.

"Hvad sker der, når man ganger med hele hundreder?" (Matematik i fjerde, Gyldendal)

Hvad", når " er en logisk forbindelse, der ofte anvendes i matematik. Den sprogligt usikre elev risikerer kun at opfange, at hun skal gange med hundrede.

"Undersøg, om det for rektangler gælder, at når omkredsen bliver større, så bliver arealet også større" (Zenit 8, Gyldendal)

Når, så er en udgave af den klassiske matematiske implikation Hvis - så. Eleverne skal lære at genkende en årsagssammenhæng, når den præsenteres i sproget. I opgaven er det årsagssammenhængen der skal undersøges, der skal ikke bare beregnes areal og omkreds af en række rektangler.

Brug af spørgesætninger

Matematikundervisning er domineret af opgaver, og mange opgaver er formuleret som spørgsmål. Man skal altså være god til at læse spørgesætninger, for at være god til at løse matematikopgaver. Heldigvis er mange af vore spørgesætninger nemme at kende, de starter nemlig med hv-ord som hvor, hvilken, hvad. Man skal dog lære at skelne mellem hvor, når ordet står alene og handler om placering og hvor mange eller hvor stor, som handler om antal eller størrelse.

Matematikopgaver kan også være skrevet med vanskeligere spørge-formuleringer, hvor man starter med et forholdsord: "I hvilke af" eller "på hvor mange måder".

"Ved hvilken vindretninger kan skibet sejle over 8 knob?" (fsa Problemløsningsdel maj-juni 2006)

Disse spørgsmål ville ofte kunne gøres lettere tilgængelige ved at dele dem op i to:

"Skibet kan sejle over 8 knob ved nogle bestemte vindretninger. Hvilke vindretninger er det?"

Ord med forskellig betydning i matematik- og hverdagssproget

I matematik er der en del ord, som har en anden betydning i matematikken end de har i hverdagssproget. Det er for eksempel ordene forhold, funktion, rod og potens.

De to sidste ord er så anderledes i hverdagssproget at eleverne nok selv skal gøre opmærksomme på det og grine af dem. Men de to første ( forhold og funktion) er eleverne ikke så bevidste om fra hverdagen. Mange lærere er heller ikke rigtig opmærksomme på, at disse ord lever to forskellige liv i henholdsvis matematikken og hverdagen. I hverdagen er forhold noget ens forældre har til hinanden (eller til en anden!) og funktion er noget tændrøret har på ens knallert (tændrøret har den funktion at den laver en gnist som antænder benzindampene). I matematik har to tal eller størrelser et forhold til hinanden, forholdet er den ene divideret med den anden, og der er forskel på forholdet mellem 5 og 10 og på forholdet mellem 10 og 5.

I ligningen y=2x+3 er y en funktion af x

Som matematiklærer skal man være bevidst om de ord der har forskellige betydninger i matematikkens sprog og i hverdagssproget, og man skal undervise eksplicit i begge betydningerne. Mange gange hænger de to betydninger sammen et sted langt ude, og det kan være sjovt at lede efter sammenhængen.

Temaer i matematikundervisningen

Mange lærebøger er i dag bygget op omkring temaer hvori matematikken introduceres. Et eksempel er Danmarks Skove (Matematiktak for fjerde klasse, Alinea) hvori begrebet procent bruges for første gang. Skal eleverne lære noget nyt matematik, er det en god ide at vælge en kontekst, som er kendt for eleverne. Man skal ikke bilde sig selv ind at eleverne både lige kan lære noget om løvtræer og nåletræer samtidig med at de lærer procentbegrebet. Hvis begge dele er nyt for dem, der er en overhængende risiko for at de ikke rigtig lærer nogen af delene.

Mange vælger ofte temaer som eleverne interesserer sig for, når de vil starte et nyt emne i matematik. For disse lærere er argumentet ofte motivation, det er simpelthen sjovere for eleverne når de arbejder med noget der interesserer dem. Nu har disse lærere et argument mere: et velkendt tema er ikke blot motiverende, det er understøttende for læringen.

Dette betyder ikke, at man aldrig kan arbejde med temaer i matematik, som eleverne ikke kender på forhånd. Men når man gør det, så skal det matematik der indgår være velkendt og den matematikfaglige pointe ikke være at introducere ny matematik, men at arbejde med kendt matematik i anvendelse.

Forslag for fremtiden

Løsningen på problemet med elever der ikke har så nemt ved at forstå sproget i matematikken, er ikke mindre sprog i matematik, men mere sprog i matematik og ikke mindst mere eksplicit fokus på sprog i matematikundervisningen.

Nogle forslag til hvordan man kan rette mere eksplicit fokus på sproget i matematikundervisningen er brug af begrebskort, regnehistorier, ordindsætning og skærmleg.

Begrebskort light

Lad eleverne lave begrebskort i deres egne hæfter og til at hænge op i klassen. Plakater med begrebskort hængt op i klassen er en god måde at få gjort matematikordene tydelige. Og så kan man jo altid glæde sig over den skjulte indlæring der sker, når eleverne sidder og keder sig i tysktimerne og falder i staver med blikket fæstnet på et begrebskort om procent. Plakater med begrebskort er en god ide lige fra skolestarten.

Jeg kalder disse for begrebskort light, da den sædvanlige brug af begrebskort kræver en hierarkisk ordning af begreberne med pil på relationerne mellem begreberne og med beskrivelse af relationerne på forbindelseslinjerne. Det er svært at gøre rigtigt i matematik, det fungerer langt bedre indenfor de naturvidenskabelige fag.

Begrebskort kan også bruges til evaluering, hvor eleverne for eksempel bliver bedt om at tegne et begrebskort over procent. Eleven viser eleven om han har et rigt eller sparsomt sæt af begreber i tilknytning til begrebet. Begreberne "udenom", som eleverne selv sætter på, er hun ikke nødvendigvis i stand til at anvende i alle situationerne. Men alene det, at begreberne ringer en klokke viser lærere at der er noget at bygge videre på hos eleven.

Regnehistorier

Arbejdet med regnehistorier og de mange forskellige tankegange bag de fire regningsarter er en måde at sætte fokus på sproget i tekstopgaverne.

Gudrun Malmer har kategoriseret alverdens regnehistorier i Räkna med kreativitet, Ekelunds Forlag AB, 1990.

Jeg har selv skrevet om disse kategorier i Begynderundervisningens didaktik, Alinea, 2005

Man kan evaluere elevernes forståelse af begreberne bag de fire regningsarter ved at lade eleverne tegne eller lave regnehistorier til konkrete regnestykker. På denne måde viser eleverne hvilke billeder/historier de selv knytter til den konkrete regneoperation.

Ordindsætning

Man laver en række sætninger med fagordog/eller før-faglige begreber, piller disse fagord og før-faglige ord ud igen og sætter i en ordliste. Elevernes opgaver er så at sætte de rigtige ord fra ordlisten ind på de tomme pladser i sætningerne.

Et eksempel:
Ordliste
til sammen

mangler

forskellen

op til
Opgaver
35 og 57 giver 92 __________.

_________ mellem 98 og 11 er 87.

Fra 27 ________100 er der 73.

Hvis du har 73, ________ du 27 for at have 100.

Skærmleg

Sæt en skærm op mellem to personer. Den ene bygger/tegner noget, og forklarer, så den anden kan gøre det samme. Skærmen løftes og man sammenligner.
Man kan fx bruge duploklodser, almindelige legoklodser, centicubes, sømbræt.
Skærmleg er en rigtig god måde at sætte fokus på specielt de før-faglige begreber, da man næsten ikke kan undgå at komme til at bruge eller mangle ord til at beskrive ovenpå, ved siden af, til højre for, midt på osv.
Jeg har hentet stor inspiration til denne artikel fra "Sproget - Kan man regne med" Et speciale af Tina Pedersen og Maria Ellehuus, Århus Universitet 2005

# data[].attributes.attachment_link.title
Matematik-dansk - et særligt sprog - Pind og Bjerre

# data[].attributes.attachment_link.description
Matematik-dansk er et helt særligt sprog. Pernille fortæller hvordan.

# data[].attributes.body
Fra Farsø efterskole

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
1 Ordblind i matematikundervisningen I denne boble vil vi kigge på, hvilken betydning ordblindhed har for elevernes læringsmuligheder i matematik. Herunder hvordan vi lærere kan hjælpe og støtte eleverne med forskellige værktøjer.

2 Program - Hvem er jeg? - De 6 overordnede områder - Hvad har vi er af erfaringer på F-E? - Anbefalinger fra Pernille Pind? - Hvad er jeres erfaringer og gode idéer?

3 Rikke Kirk Uddannet lærer i 2004 Lærer på Aars skole ½ år Lærer på Nørholm Skole i 11 år Lærer på FE i 2 år, underviser i dansk, matematik, idræt, tysk, madkundskab og håndbold Jeg brænder begge for: - At skabe succes for vores elever - At give eleverne et FEDT efterskoleophold - At se eleverne som normale, men med brug for hjælpemidler - At få eleverne til at se sig selv som medspillere i vores verden i stedet for iagttagere

4 6 overordnede områder

5 MATEMATIKKENS SPROG

6 Læsning og sprog (Jeppe Bundsgaards læseformel) Læseforståelse = (Forlæsning + Aflæsning + Medlæsning) * Ordforståelse * Tekstforståelse * Senarieforståelse * Kontekst * Læseform * Eget projekt Forlæsning: Idé om teksten inden man læser den. Aflæsning: Læsning af skrifttegn, ordbilleder og layout. Medlæsning: Læse billeder og andre udtryk, som begrænser de mulige tolkninger. Ordforståelse: Ord betyder noget forskelligt, afhængig af sammenhængen. Er man i stand til at gå ind i ordenes arkæologi og afkode tilhørsforhold og sammenhænge? Tekstforståelse: Det at kunne se ordene som udtryk for en given genre. Scenarieforståelse: At kunne skabe sig et forestillingsbillede af indholdet. Kontekst: At forbinde tekstens indhold med kommunikationssituationen. Læseform: Opmærksomhed på at læse en tekst på en måde, som passer til projektet og tekstens indhold. Eget projekt: Man læser en tekst for at gøre noget med den - hvor motiveret er man for at læse, hvilke positive og negative oplevelser har man med i rygsækken af at læse en given tekst.

7 Brug de rigtige læseprofiler

8 Undersøgelse af ordkendskab

9 Undersøgelse af ordkendskab

10 Hvad gør vi... cl øvelser - quiz og byt - fang en makker - begrebskort visualisering af ord (se næste)

11 KONKRETISERING OG VISUALISERING

12 Neurologen A.R. Damasio: Billeder er sandsynligvis hovedindholdet i vores tanker, uanset hvilken sansemodalitet, de er genereret i. De fleste af de ord, vi anvender, eksisterer som auditive eller visuelle billeder i vores bevidsthed.

13 - Brug konkrete materialer - Brug situationer fra hverdagen - Gør det muligt for eleverne at tegne opgaverne - Vis mange indgange til emnerne - Få jeres matematik op på væggene - Lav jeres egen formelsamling - Lav åbne opgaver med mange forskellige løsningsmuligheder Tegn og Regn Farsø Efterskole Konkretisering og visualisering

14 Konkretisering og Visualisering

15 HJÆLPEMIDLER

16 Læs langt Læs kort Læs dybt Matematikbanken Hjælpemidler

18 Regneregler app

19 KOMMUNIKATION I MATEMATIK

20 Æble Mønt Bog Hockeybold Gæt Målt Forskel OPGAVE: HVAD VEJER TINGENE?

21 Forklar figur for andre Kommunikation

22 STILLADSERING I MATEMATIK

23 Stilladsering Pernille Pind Michael Wahl

25 HUSKMAT - vores egen formelsamling Det gode eksempel fx vha små videoer Stilladsering

26 Præsentation - brug sheets

27 MINDSET I MATEMATIK

28 Et growth mindset kan lære og aflæres. - Hjernen er en muskel, der skal trænes - Ros for proces og indsats - Rollemodeller er vigtige - Italesætte, at det er vigtigt at øve sig - egne erfaringer. - Hvad har du lært, mens du arbejdede? - Hvad kan du nu, som du ikke kunne før? - Vil du se godt ud, eller vil du blive bedre? - Hvilke fejl har du begået i dag, som du kan lære af? - Hvad gør du næste gang, du står i denne situation? Inspiration: Marianne Jørgensen, N. Kochs skole Mindset i matematik

29 6 råd til arbejdet med mindset i matematik: 1. Åbne opgaverne for forskellige metoder, genveje og udregningsmuligheder 2. Lav undersøgende opgaver fx. i stedet for find arealet af 12*4 rektangel - spørg: Hvor mange rektangler kan du finde med arealet 24? 3. Vis problemet før metoden 4. Tilføj noget visuelt, som øger forståelsen af problemet 5. Brug opgaver, der kan løses på mange forskellige niveauer 6. Lad eleverne forklare og overbevise: fx. overbevis dig selv, en ven - en skeptiker. Inspiration: Mathematical mindsets af Jo Boaler insp. Carol Dweck Mindset i matematik

30 Pernille Pind

31 - Lad være med at bruge 7 og 8, når nyt indlæres: Brug 1, 2, 3, 5 og Talblindetest - start Opfind andre ord for det svære fx 72, så sig 7 og 2 eller syvtito - Gæt og mål: Gæt og vægt: æble, svamp, mønt, bog: Tættest på, referencer - Kroge at hænge viden på. - start med at gætte på 1 million. Give nye referencer. - Lad eleverne skrive og tale om tanker og følelser om matematik. - Undervis elever i begreber mere end i færdigheder. - Undervis mere åbent og undersøgende, med færre rigtig/ forkert opgaver. - Lad eleverne stille spørgsmål - Mindre fokus på fart. Matematik er ikke en sport. Matematik må gerne tage tid og fordybelse. Pernille Pinds anbefalinger

32 De store elever 1. Tælleri: Drop fokus på det - brug lommeregner. 2. Tal: Reducer antallet af cifre. Undgå 7 og 8. Fokus på 1,2 og Hverdagsviden - Skolen. Åbne opgaver. 4. Faglige huller - Fokus på udvalgte begreber og udvalgte færdigheder. 5. Hverdagsopfattelser - Frem i lyset. Fx gange = større, division = mindre 6. Før-faglige begreber - Mundtlighed. Lav egen skriftlig lærebog. 7. Tekstopgaver - mundtlighed. Tegninger. Lav egne regnehistorier. Løs tekstopgaver. LOVPORT. Kraftig fokus på oversættelse til regnestykker. 8. Regnemetoder - Alternative, enkle. Mundtlighed, Lommeregner. Tabeller på papir. Åbne opgaver. (Almindelig, vanskelig, smart) Pernille Pinds anbefalinger

33 Hvad er jeres gode erfaringer - lad os høre dem - et spil - en leg - en opgave - en øvelse - en app - et program -. Fortæl om noget I oplever virker Erfaringer

# data[].attributes.attachment_link.title
Ordblind i matematikundervisningen - PDF Gratis download

# data[].attributes.attachment_link.description
1 Ordblind i matematikundervisningen I denne boble vil vi kigge på, hvilken betydning ordblindhed har for elevernes læringsmuligheder i matematik. Herunder hvordan vi lærere kan hjælpe og støtte eleverne med forskellige værktøjer. 2 Program - Hvem er jeg? - De 6 overordnede områder - Hvad har vi er af erfaringer på F-E?

# data[].attributes.body
Fra Farsø efterskole https://f-e.dk/diplomopgaver/

# data[].attributes.attachment_link.title
Ordblindes sprog i matematik - Farsø efterskole

# data[].attributes.body
Link

# data[].attributes.attachment_link.title
Problemløsningstrategi - FØR_UNDER_EFTER - FP9

# data[].attributes.headline
Tidsplan og tjekliste til eleverne til skriftlig matematik

# data[].attributes.subject
Tidsplan og tjekliste til eleverne til skriftlig matematik

# data[].attributes.body
https://sites.google.com/wizkids.dk/appwriter-afgangsprver/matematik?authuser=0

# data[].attributes.headline
Skabelon til prøven med hjælpemidler giver overblik

# data[].attributes.subject
Skabelon til prøven med hjælpemidler giver overblik

# data[].attributes.body
Link