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Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del mismo plano llamada directriz.
🎬https://youtu.be/mn7p7z8ulHM
🎬https://youtu.be/UK8jlNdaT4M

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Amplificación de fracciones - Universo Formulas

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Amplificación de fracciones. Ejercicios. La amplificación de una fracción es multiplicar sus términos por un número para obtener una fracción equivalente.

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Posiciones relativas de una cónica y una recta

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Posiciones relativas de una cónica y una recta. Apuntes, conceptos, definiciones, fórmulas, teoría, ejemplos, ejercicios resueltos. 4º de ESO, 1º de Bachillerato.

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Tablas Matemáticas de David: Secciones Cónicas

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Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del mismo plano llamada directriz.

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Amplificación de fracciones - Universo Formulas

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Amplificación de fracciones. Ejercicios. La amplificación de una fracción es multiplicar sus términos por un número para obtener una fracción equivalente.

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Hipérbola: definición, ecuaciones, elementos y gráfica [Guía paso a paso con ejercicios]

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Hipérbola: definición, ecuacion ordinaria, ecuación general. Elementos: focos, vértices, asíntotas. Ejercicios para el lector y ejercicios resueltos.

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▪️La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.
▪️La elipse es una curva plana, simple y cerrada.

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a u 2 y la segunda porb 2 , sumamos estos resultados y aplicamos la fórmula fundamental de la trigonometría. Cuando el parámetro recorre los valores del intervalo [0, 2 p ] el punto P recorre toda la elipse.

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gravitacion universal y campo gravitatorio

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princpio de pascal y presion hidroestatica

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Mediatriz: recta perpendicular a un segmento que se traza en su punto medio.

▶️https://youtu.be/TDHVvexdyYs

Bisectriz: semirrecta que parte del vértice de un ángulo y lo divide en dos partes.

▶️https://youtu.be/9mxavzDneR8

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Definimos una traslación como una isometría del plano euclídeo caracterizada por un vector $$\vec{u}$$, al que a cada punto $$A$$ del plano le hace correspo...

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PROBLEMAS MÉTRICOS. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA🧠

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PROBLEMAS MÉTRICOS. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA🧠

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Problemas métricos, cáculo del simétrico del punto, proyección ortogonal, áreas y volúmenes, ejercicios resueltos, ejemplos, 2º de Bachillerato.

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Dos rectas en el plano pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.

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Posiciones relativas de dos rectas II - Vitutor

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Posiciones relativas de dos rectas, ejercicios resueltos, ejemplos, ejercicios resueltos, ejemplos, 2º de Bachillerato.

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a recta o la línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos.

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Ecuacion de la recta SECUNDARIA (4ºESO) geometria plana

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En geometría un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o propiedades geométricas.

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Lugar geométrico - Wikipedia, la enciclopedia libre

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El lugar geométrico de los puntos que equidistan a otros dos puntos fijos y es una recta o eje de simetría de dichos dos puntos. Si los dos puntos son los dos extremos de un segmento , dicha recta o lugar geométricos, es llamada mediatriz y que es la recta que interseca perpendicularmente a en su punto medio.

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🎬https://youtu.be/6ABR37--Yr4

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EL PRODUCTO ESCALAR. ÁLCULO DE DISTANCIAS Y ÁNGULOS ➿

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EL PRODUCTO ESCALAR. ÁLCULO DE DISTANCIAS Y ÁNGULOS ➿

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1. Producto escalar de vectores

Es imprescindible para poder estudiar las distancias y ángulos entre rectas y planos, definir previamente el producto escalar de vectores. En todo lo que sigue a continuación vamos a trabajar con bases ortonormales, para facilitar las cosas.

1.1 Módulo de un vector.

Módulo de un vector es su longitud. Para calcularla a partir de sus coordenadas se puede hacer aplicando dos veces el teorema de Pitágoras.

Si un vector u tiene coordenadas (u₁, u₂, u₃) respecto a una base ortonormal, tiene de módulo:

Desde aquí tienes acceso a un applet para calcular el módulo de un vector.

Propiedades del módulo:
1. El módulo del vector nulo es cero y el vector nulo es el único vector cuyo módulo es cero.
2. Donde K es un número cualquiera y u es un vector cualquiera.

3. . Para cualquier pareja de vectores.

1.2 Producto escalar de vectores.

El producto escalar de dos vectores tiene como resultado un número que se calcula según la siguiente expresión:

Propiedades del producto escalar:
1. El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo

2. Se puede calcular el coseno del ángulo que forman dos vectores según la expresión:

3. Si u y v son vectores no nulos, se tiene que u es perpendicular a v si y solo si su producto escalar es cero.
4. Conmutativa :

5. Asociativa: ( K · u) · v = K · ( u · v)

6. Distributiva del producto escalar respecto de la suma: u · ( v + w) = u · v + u · w

Expresión analítica del producto escalar:
Si las coordenadas de u y de v son respectivamente (u ₁, u₂, u₃) y (v₁, v₂, v₃) respecto a una base ortonormal, su producto escalar adopta la siguiente expresión:

u · v = u 1 · v ₁ + u 2 · v 2 + u 3 · v ₃

Desdeaquí tienes acceso a un applet para calcular el producto escalar de dos vectores

Para el estudio de ángulos entre rectas, entre planos y entre rectas y planos necesitamos un vector que caracterice fácilmente la dirección de cada uno de ellos. En la recta tenemos el vector de dirección. En el plano el vector perpendicular al mismo.

2.1 Medida de ángulos

La fórmula:

nos permite calcular el coseno del menor ángulo que forman las direcciones dadas por dos vectores . A partir de ésta, con toda sencillez, podemos obtener el ángulo que forman dos rectas, dos planos o una recta y un plano, siempre que conozcamos los vectores característicos de cada uno de ellos.

Desde aquítienes acceso a un applet para calcular ángulos.

a) Para rectas r y r' con direcciones d y d', respectivamente:

cos ( r, r') = | cos ( d, d')|

b) Para dos planos p y q con direcciones perpendiculares n y n', respectivamente:

cos ( p, q) = | cos ( n, n')|

c) Para una recta r con dirección d y un plano p con dirección perpendicular n:

cos ( r, p) = | sen ( d, n)|

2.2. Aplicaciones a la perpendicularidad y al paralelismo

Como consecuencia de las anteriores expresiones se obtienen las siguientes propiedades:
Una recta con dirección d es perpendicular a un plano con vector normal n si los vectores d y n son paralelos, es decir si sus coordenadas son proporcionales.
Una recta con dirección d es paralela (o está contenida en ) un plano con vector normal n si d y n son perpendiculares, es decir, si:
d1 · n₁ + d2 · n2 + d3 · n₃ = 0

Dos planos con vectores perpendiculares n y n' son paralelos o perpendiculares si lo son, respectivamente, n y n'.

3. Distancia entre puntos, rectas y planos

3.1 Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos P(x₁, y₁, z₁) y P'(x₂, y₂, z₂) es evidentemente, el módulo del vector que los une:

Desde aquí tienes acceso a un applet para calcular distancias entre puntos.

3.2 Distancia de un punto a una recta

Se llama distancia de un punto P a una recta r a la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta. Es la distancia del punto P a su proyección P', sobre la recta r.
La distancia se puede calcular por dos métodos.

1º En primer lugar debemos hallar el plano p, perpendicular a r que pasa por P. La intersección de p y r es el punto P' buscado, y con él se calcula la distancia.

2º De la recta conocemos un punto R y su dirección, d. El área del paralelogramo de lados d y PR la podemos calcular con el módulo del producto vectorial. Si el área del paralelogramo la dividimos por su base | d | obtenemos su altura.

Desdeaquí tienes acceso a un applet para calcular la distancia de un punto a una recta.

3.3 Distancia de un punto a un plano

Como en el caso anterior podemos localizar el punto del plano que esté a menos distancia del punto dado. La distancia del punto al plano viene dada por la distancia entre esos dos puntos.
Si el punto P tinte coordenadas (x ₀, y ₀, z ₀) y el plano tiene ecuación p: ax + by + cz + d = 0, la distancia viene dada por la siguiente expresión:

Desdeaquí tienes acceso a un applet para calcular la distancia de un punto a un plano.

3.4 Distancia entre dos rectas

Según la posición relativa que tengan estas dos rectas nos encontramos con las siguientes situaciones:

3.5 Distancia de una recta a un plano

Si la recta y el plano se cortan, la distancia es cero.
Si no se cortan es porque la recta está contenida en el plano (y la distancia es cero) o bien porque ambos son paralelos y por tanto la distancia se puede obtener calculando la distancia de un punto cualquiera de la recta al plano.

3.6 Distancia entre dos planos

Si los dos planos se cortan la distancia es cero.
Si son paralelos, la distancia viene dada por la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro plano.

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Es imprescindible para poder estudiar las distancias y ángulos entre rectas y planos, definir previamente el producto escalar de vectores. En todo lo que sigue a continuación vamos a trabajar con bases ortonormales, para facilitar las cosas. Módulo de un vector es su longitud.

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Una base de un espacio vectorial es ortogonal cuando los vectores que la forman son perpendiculares dos a dos.

Una base de un espacio vectorial es ortonormal cuando es una base ortogonal y sus vectores son unitarios.

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Decimos que $$B=\{\vec{u},\vec{v}\}$$ es una base ortogonal si los vectores que la forman son perpendiculares entre si. Es decir, $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ f...

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El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

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El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen .

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Un vector es un término que significa “que conduce”. Es un agente que transporta algo de un lugar a otro. Puede utilizarse para representar una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo, dirección y sentido

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Calculación del vector dado en las coordenadas cartesianas de sus puntos inicial y final.

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Calculación del vector dado en las coordenadas cartesianas de sus puntos inicial y final.