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formulario disequazioni di II grado

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Costruiamo il grafico considerando la base 2: infatti quando la base e' maggiore di 1 tutte le curve ottenute con qualunque base hanno le stesse caratteristiche: in fondo alla pagina hai un esempio

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tangente

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Vuol dire che mando la tangente da A alla circonferenza e contemporaneamente prolungo il raggio OP finche' si incontrano in T. AT tg

Definizione della tangente di un angolo

La tangente di viene definita come rapporto del segmento di tangente in A alla circonferenza intercettato dal prolungamento del raggio OP con il raggio OA della circonferenza
Considero poi il rapporto fra AT ed il raggio
tg = ------- = AT

OA
Per semplicita' consideriamo la circonferenza trigonometrica (cioe' di raggio 1) quindi possiamo dire che la tangente di alfa corrisponde al segmento AT

Valori di tg

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Vuol dire che mando la tangente da A alla circonferenza e contemporaneamente prolungo il raggio OP finche' si incontrano in T.

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cosinusoide

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Caratteristiche della funzione y = cos x

Vediamo nei particolari le caratteristiche della cosinusoide:

La funzione nell'origine vale 1

e' una funzione limitata: tutti i valori della funzione sono compresi nella striscia orizzontale di piano compresa tra -1 ed 1

La funzione e' periodica di periodo 2
cioe' dopo un intervallo lungo 2 si ripete

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Caratteristiche della funzione y = cos x Vediamo nei particolari le caratteristiche della cosinusoide: La funzione nell'origine vale 1 e' una funzione limitata: tutti i valori della funzione sono compresi nella striscia orizzontale di piano compresa tra -1 ed 1 La funzione e' periodica di periodo 2 cioe' dopo un intervallo lungo 2 si ripete

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sinusoide

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Caratteristiche della funzione y = sen x

Vediamo nei particolari le caratteristiche della sinusoide:

La funzione nell'origine vale 0

e' una funzione limitata: tutti i valori della funzione sono compresi nella striscia orizzontale di piano compresa tra -1 ed 1

La funzione e' periodica di periodo 2
cioe' dopo un intervallo lungo 2 si ripete

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Caratteristiche della funzione y = sen x Vediamo nei particolari le caratteristiche della sinusoide: La funzione nell'origine vale 0 e' una funzione limitata: tutti i valori della funzione sono compresi nella striscia orizzontale di piano compresa tra -1 ed 1 La funzione e' periodica di periodo 2 cioe' dopo un intervallo lungo 2 si ripete

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tangentoide

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Caratteristiche della funzione y = tg x

Vediamo nei particolari le caratteristiche della tangentoide:

La funzione nell'origine vale 0

E' una funzione sempre crescente

nei punti multipli dispari di /2 (cioe' /2 ; 3 /2 ; 5 /2 ; .....) la funzione e' illimitata

La funzione e' periodica di periodo
cioe' dopo un intervallo lungo la funzione assume gli stessi valori

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Caratteristiche della funzione y = tg x Vediamo nei particolari le caratteristiche della tangentoide: La funzione nell'origine vale 0 E' una funzione sempre crescente nei punti multipli dispari di /2 (cioe' /2 ; 3/2 ; 5/2 ; .....)

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II relazione fondamentale

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Seconda relazione fondamentale

E' una relazione fra il seno ed il coseno con la tangente Consideriamo una circonferenza trigonometrica (cioe' di raggio 1) e su di essa prendiamo un punto P cui corrisponda l'angolo alfa
Consideriamo la tangente corrispondente AT
I triangoli OAT ed OHP sono simili per il primo criterio di similitudine (2 angoli uguali: uno in comune e l'altro retto) quindi posso scrivere la proporzione

AT : PH = AO : OH
Prodotto dei medi uguale al prodotto degli estremi
AT · OH = PH · AO
sostituisco i valori
tang · cos = sen · 1
e ricavando la tangente ho la seconda relazione fondamentale
sen
tang = ---------
cos

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Seconda relazione fondamentale E' una relazione fra il seno ed il coseno con la tangente Consideriamo una circonferenza trigonometrica (cioe' di raggio 1) e su di essa prendiamo un punto P cui corrisponda l'angolo alfa Consideriamo la tangente corrispondente AT I triangoli OAT ed OHP sono simili per il primo

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Come visto nella parte dedicata alle definizione delle funzioni goniometriche

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Partiamo dalla seconda relazione fondamentale sen sen sen tang cos cos 1 1

tang = --------- 2
tang 2 = 1- cos
1 - cos 2 2 cos 2 2 + tang 2 2 (1 + tang 2
cos 2 = ------------
cos = ----------------
(1 + tang 2 )

1 + tang 2 ) = 1 cos 2 = 1 = 1 - cos 2
tang 2 = ------------
cos 2 2
sostituendo ottengo 2 = ---------
cos 2
cos
Elevo tutto al quadrato

Per la prima relazione fondamentale so che

Faccio il minimo comune multiplo

Devo risolvere rispetto al coseno:

esplicito il coseno

ricavo il coseno

Applico la radice ed ottengo la formula finale

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La verifica si farà lunedì.... buon fine settimana a tutti

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Consideriamo un cerchio trigonometrico. P=(cos α , sen α ) PQ = √[(cos α -cos β ) (cos α -cos β ) cos

cos ( - )

Consideriamo l'angolo α nel terzo quadrante e l'angolo β nel secondo quadrante tali che la loro differenza, ( α - β), sia un angolo del primo quadrante.

Il punto P sia il punto sulla circonferenza che corrisponde ad α, Q il punto che corrisponde a
Q=(cos β , sen β )
S=( cos( α - β ) , sen( α - β ) )
A=( 1,0 )
L'arco PQ sara'uguale all'arco AS perche' gli angoli al centro sono entrambe uguali ad (α - β) quindi avremo che anche per le corde β e S il punto che corrisponde ad ( α - [(cos α - cos β ) ² + (sen α - sen β ) ²]
AS = ² + (sen α - sen β ) ²] = √{( [cos ( α - β )] - 1) ² + [sen ( α - β )] ²} ( [cos ( α - β ) - 1] ² + [sen ( α - β ) - 0] ² + (sen α - sen β ) ² = ( [cos α - β ] - 1) ² + [sen α - β )] ² ²) ² α + cos ² β -2cos α cos β + sen ² α + sen ² β -2 sen α sen β = ²(angolo) + sen ²(angolo) = 1 , quindi
= cos ² (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen ² (α - β) β); inoltre sia A l'origine degli archi; le coordinate cartesiane di tali punti saranno:

PQ = AS
applicando la formula per la distanza fra due punti nel piano per calcolare sia PQ che AS avremo
il -0 potevo tralasciarlo
uguaglio le due espressioni

Eseguiamo i calcoli: io faccio tutti i passaggi, tu puoi abbreviare
tolgo le radici prima e dopo l'uguale

Eseguo i quadrati

Per la prima relazione fondamentale so che
cos

1 + 1 -2cos α cos β -2 sen α sen β = 1 + 1 - 2 cos (α - β)

gli 1 si eliminano essendo di segno uguale da parti opposte dell'uguale

-2 cos α cos β -2 sen α sen β = - 2 cos (α - β)

sposto i termini dalla parte dell'uguale dove sono positivi

2 cos (α - β) = 2 cos α cos β + 2 sen α sen β

divido tutto per 2 ed ottengo la prima formula

cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β

La dimostrazione e' piuttosto pesante, pero' e' l'unica forma che si basa su una dimostrazione geometrica: le altre dimostrazioni saranno tutte algebriche e molto piu' semplici

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Consideriamo un cerchio trigonometrico. P=(cos α , sen α ) PQ = √[(cos α -cos β ) (cos α -cos β ) cos cos ( - ) Consideriamo l'angolo α nel terzo quadrante e l'angolo β nel secondo quadrante tali che la loro differenza, ( α - β), sia un angolo del primo quadrante.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Per determinate la formula per cos ( cos ( = cos = cos

cos ( + )

+ ) cerchiamo di riportarlo alla formula che gia' conosciamo: cos ( - )

+ ) = cos [ - (- )] =

in questo modo applico la formula gia' trovata ai due angoli e (- cos (- ) + sen sen (- ) = )
cos - sen sen

ricordando le formule per gli archi opposti

quindi la formula cercata e'

cos ( + ) = cos cos - sen sen

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Per determinate la formula per cos ( cos ( = cos = cos cos ( + ) + ) cerchiamo di riportarlo alla formula che gia' conosciamo: cos ( - ) + ) = cos [- (-)] = in questo modo applico la formula gia' trovata ai due angoli e (- cos (-) + sen sen (-) =) cos - sen sen ricordando le formule per gli archi opposti quindi la formula cercata e' cos ( + ) = cos cos - sen sen

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Tabella di riepilogo per le formule di addizione e sottrazione per seno e coseno

le formule sono state riordinate mettendo prima la somma poi la differenza Vista l'importanza delle formule ribadisco il fatto che sarebbe bene saperle "a memoria"

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Tabella di riepilogo per le formule di addizione e sottrazione per seno e coseno le formule sono state riordinate mettendo prima la somma poi la differenza Vista l'importanza delle formule ribadisco il fatto che sarebbe bene saperle "a memoria"

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formula duplicazione seno

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Partiamo dalla formula sen ( sen (

Formula di duplicazione per il seno

+ ) = sen cos + cos sen

poniamo = + ) = sen cos + cos sen cioe' mettiamo al posto di nella formula

sommo i termini simili ed ottengo la formula finale

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Partiamo dalla formula sen ( sen ( Formula di duplicazione per il seno + ) = sen cos + cos sen poniamo = + ) = sen cos + cos sen cioe' mettiamo al posto di nella formula sommo i termini simili ed ottengo la formula finale

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formula duplicazione coseno

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Partiamo dalla formula cos ( cos (

Formula di duplicazione per il coseno

+ ) = cos cos - sen sen

poniamo = + ) = cos cos - sen sen cioe' mettiamo al posto di nella formula

sommo i termini simili e ai prodotti uguali sostituisco il quadrato

# data[].attributes.attachment_link.description
Partiamo dalla formula cos ( cos ( Formula di duplicazione per il coseno + ) = cos cos - sen sen poniamo = + ) = cos cos - sen sen cioe' mettiamo al posto di nella formula sommo i termini simili e ai prodotti uguali sostituisco il quadrato

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altre formule di duplicazione del coseno

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Dalla formula finale e' possibile, riferendosi alla cos cos cos cos 2 sen sen cos 2 cos 2

Formule equivalenti per la duplicazione del coseno

prima relazione fondamentale, ricavare un paio di formule che ci saranno utili in futuro: cioe' trovare la formula di duplicazione del coseno espressa tutta in seno oppure espressa tutto in coseno dell'angolo. Partiamo dalla formula ottenuta Prima formula

2 + sen 2 2 = 1 - sen ² = 1 - sen ² - sen Seconda formula ² 2 2 = 1 - cos ² = cos ² - ( 1 - cos = cos ² - 1 + cos ² ² ) ² = 1
Sapendo che

ricavo

sostituisco nella formula di partenza

ottengo la prima formula

cos 2 = 1 - 2sen ²

stavolta ricavo

sostituisco nella formula di partenza

faccio cadere la parentesi

ottengo la seconda formula

cos 2 = 2cos ² - 1

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formule quivalenti per la duplicazione del coseno

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Dalla formula finale e' possibile, riferendosi alla cos cos cos cos 2 sen sen cos 2 cos 2 Formule equivalenti per la duplicazione del coseno prima relazione fondamentale, ricavare un paio di formule che ci saranno utili in futuro: cioe' trovare la formula di duplicazione del coseno espressa tutta in seno oppure espressa tutto in coseno dell'angolo.

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Formule di bisezione

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Per cortesia girate gli esercizi a tutti e con responsabilità procedere poi vi farò sapere come fare per il controllo

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Per le prossime volte controllate pure il registro elettronico