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4ºB-GROUP 5 :Miranda Alonso , Fabián Quispe, Félix  Saavedra  y Pablo Manuel Contreras

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GROUP 7.4.B Alejandra Ramírez,Manuel Martín,Mario Galán y Paula Herranz

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GROUP 7.4.B Alejandra Ramírez,Manuel Martín,Mario Galán y Paula Herranz

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Today we pose a problem:
Four people enter an elevator that can carry a maximum of 380 kg. So that the overload alarm does not sound; you have to calculate the total weight. But, how much does each person weigh?
We know the following data:
Bob: He's the one who weighs the most. If everyone weighs what Bob weighs; the elevator would stop.
John: it's the lightest. The elevator could carry 5 like him.
Jane: weighs 14 kg less than Bob and only 6 kg less than Max.
Max: weighs 17 kg more than John.
The weights of Bob and John are multiples of five.
Can you resorve it?

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FROM B- GROUP 7: PAULA H, MARIO G, MANUEL M, ALEJANDRA R.

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FROM B- GROUP 7: PAULA H, MARIO G, MANUEL M, ALEJANDRA R.

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Emma Haruka Iwao, la programadora japonesa que ha roto el récord del número Pi - Google

Está presente en las ruedas de tu coche, en las tuberías por donde llega el agua a tu casa, en las botellas y los vasos, en el GPS, en la música... El número Pi es un número "mágico". Si bien normalmente lo redondeamos a unas pocas cifras decimales (hasta 3,141592 es bastante común), se trata de un número "irracional": tiene infinita cantidad de dígitos que se prolongan tras la coma, sin jamás repetir un mismo patrón.

Hasta ahora "solo se habían encontrado 22 billones de dígitos, una cantidad nada desdeñable. Sin embargo, este jueves 14 de marzo de 2019, Día Internacional del número Pi, se acaba de anunciar un nuevo récord: la programadora japonesa Emma Haruka Iwao ha descubierto 31 billones de cifras nuevas (concretamente 31.415.926.535.897 dígitos calculados). Es decir, más de 9 billones más. Y lo hizo con ayuda del servicio de programación en la nube de Google, compañía para la que trabaja Iwao.

Fascinada desde niña con el número Pi

"Me siento muy sorprendida", ha afirmado para la BBC Iwao sobre su logro. "Todavía estoy tratando de asimilar la realidad. Conseguir el récord mundial ha sido muy duro", ha asegurado la programadora, que espera poder ampliar su trabajo. Más aún porque el número Pi ha fascinado a esta mujer desde que era una niña, a los 12 años. "De pequeña, descargué un programa para calcular Pi en mi computador. En ese momento, los poseedores del récord mundial eran Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi, que son japoneses, por lo que fue muy fácil para mí mejorar en este ámbito en Japón".

Más tarde, cuando Iwao estaba en la universidad, uno de sus profesores fue precisamente Takahashi, uno de los dos hombres con el récord mundial en ese momento. "Cuando le dije que iba a comenzar este proyecto, él me aconsejó y compartió algunas estrategias técnicas conmigo", afirma.

Ha sido Google quien ha anunciado la noticia en su blog para conmemorar el Día de Pi. La compañía explica que el cálculo requirió 170 terabytes (TB) de datos (para comparación, 200.000 canciones ocupan aproximadamente un TB) y participaron 25 máquinas virtuales para completar el trabajo en 121 días.

Otros récords del número Pi

En 2010, Nicholas Sze usó la computación en la nube de Yahoo para calcular el dígito 2.000 billones de la secuencia de decimales del número Pi, determinando que era cero. Sin embargo, no calculó los dígitos intermedios.

Otro de los récords en torno al número Pi lo ostenta el indio Suresh Kumar Sharma, quien en 2015 recitó de memoria durante más de 24 horas un total de 70.030 decimales. De momento, nadie ha podido batir a Sharma, que fulminó la anterior marca, también de un compatriota suyo, que logró decir 70.000 cifras en 10 horas unos meses antes. Y la competición continúa, porque el alemán Frank Mertens está decidido a alcanzar la cima con el número Pi y el pasado mes de septiembre alcanzó los 15.320 números recitados en 3 horas y 16 minutos, colocándose el decimotercero del mundo.

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La mujer que acaba de pulverizar el récord del número Pi

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Está presente en las ruedas de tu coche, en las tuberías por donde llega el agua a tu casa, en las botellas y los vasos, en el GPS, en la música... El número Pi es un número "mágico".

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GROUP 3: PATRI S, NATALIA M, RUBEN C, KENZA M

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GROUP 3: Patricia S, Kenza M, Natalia M and Rubén C

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Los monos macacos comparten con los seres humanos el 97,5% de sus genes, un porcentaje que baja al 93% si se comparan las secuencias de ADN en común. Un parecido genético bastante similar al que guardan humanos y chimpancés, que hace unos seis millones de años se separaron evolutivamente de nuestros ancestros, frente a los 25 millones de años transcurridos desde que los macacos siguieron una evolución distinta.

La secuenciación de sus genomas ha mostrado científicamente un parecido que etólogos y neurobiólogos comprueban día tras día en sus laboratorios con los variados y cada vez más complejos experimentos de comportamiento a los que someten a estos animales. Cuanto más se observan, más sorprendentes son los resultados, como los obtenidos por un nuevo estudio que muestra habilidades aritméticas de los macacos hasta ahora desconocidas.

Anteriores investigaciones habían sugerido que las operaciones matemáticas no son exclusivas del hombre, sino resultado de los procesos evolutivos. Se comprobó, por ejemplo, que los macacos pueden aprender a contar, descartando así que la comprensión de conceptos numéricos dependa de la adquisición del lenguaje humano.

La nueva investigación, publicada esta semana en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences ( PNAS), demostró que cuando son entrenados a largo plazo, estos monos son capaces de sumar cifras y realizar cálculos sencillos para estimar qué cantidades son mayores, pues elegir la cifra mayor suponía que su recompensa también lo era.

"Diseñamos este experimento para explorar el papel del aprendizaje en la organización del cerebro. Ellos desarrollan regiones especializadas como hacemos nosotros en el lóbulo temporal", explica a EL MUNDO a través de un correo electrónico Margaret Livingstone, profesora de Neurobiología en la Facultad de Medicina de Harvard (EEUU).

El estudio se realizó con tres ejemplares adultos jóvenes de macacos Rhesus (Macaca mulatta). Estos animales han protagonizado todo tipo de estudios de comportamiento animal, como un experimento que reveló que eran capaces de reconocer su imagen en un espejo, y hasta han participado en misiones espaciales de la NASA y la agencia rusa en los años 50 y 60.

Gotas de agua y zumo como recompensa

Tenían entre cuatro y cinco años cuando comenzó su intensivo proceso de aprendizaje, que se prolongó durante tres años y consistió en sesiones individuales de dos a cuatro horas diarias, siete días por semana. En vez de trocitos de plátano, debido a la gran cantidad de repeticiones que hacían la recompensa fue ofrecerles gotas de líquido, que eran dispensadas una a una y mediante un intervalo marcado con una señal acústica, a través de un tubo de acero inoxidable. "Primero usamos agua y después, cuando estaban saciados, zumo para que tuvieran una mayor motivación".

Las clases se organizaron en diversas fases y los ejercicios se planteaban a través de una pantalla táctil, en la que se presentaban dos opciones a los monos. Los animales se familiarizaron con los números (tendían a elegir el más alto cuando les presentaban dos) y les enseñaron también a asociar 26 símbolos abstractos con diferentes recompensas.

Por ejemplo, un símbolo significaba 21 gotas y otro 19. Cuando se mostraban en la pantalla táctil dos símbolos, en el 90% de los casos tocaban el que les otorgaba mayor cantidad de gotas. Después, incorporaron al experimento parejas de símbolos, que mostraban en la pantalla como una opción frente a un símbolo individual o una pareja de un número+un símbolo. El número de gotas que recibía el mono era la suma de las dos cantidades representadas por los símbolos. En la mayor parte de los ensayos, optaron por la opción más ventajosa. Por ejemplo, si debían elegir entre un único símbolo que representa ocho gotas y la pareja 6+1, optaban por el primero. En otro caso, por ejemplo, optó por la pareja de símbolos abstractos que equivalían a 9+13 =22 , en lugar del símbolo cuyo valor estaba asociado a 19 gotas.

Cuando las dos opciones suponían una recompensa equivalente (por ejemplo, el número 9 frente representaba a la pareja de números 3+6, los monos solían elegir la pareja).

Este tipo de experimentos con animales se han llevado a cabo el pasado con otras especies. Ratas, palomas o ratones han mostrado ciertas habilidades aritméticas, aunque algunos científicos creen que simplemente aprendían las respuestas. En opinión de Livingstone, "los monos son más inteligentes". En su estudio, para evitar que los macacos memorizaran las respuestas, usó una gran cantidad de símbolos y combinaciones.

No es de extrañar que desde una facultad de Medicina se lleven a cabo este tipo de estudios con monos, pues el cerebro de estos parientes primates es una gran fuente de información para conocer mejor el nuestro. Livingstone, por su parte, ya tiene pensado su próximo experimento: "Queremos ver si pueden multiplicar", adelanta.

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Los monos macacos comparten con los seres humanos el 97,5% de sus genes, un porcentaje que baja al 93% si se comparan las secuencias de ADN en común. Un parecido genético bastante similar al que guardan humanos y chimpancés, que hace unos seis millones de años se separaron evolutivamente de nuestros ancestros, frente a los 25 millones de años transcurridos desde que los macacos siguieron una evolución distinta.

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A- GROUP 4: LUCÍA F, ANTONIO C,ALESSIA A, ALBA S,DIEGO J

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A- GROUP 4: LUCÍA F, ANTONIO C,ALESSIA A, ALBA S,DIEGO J

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Pedro wants to buy some shoes that cost € 97. Since he has no money, he asks his parents for money and promises that he will return them when he saves them. His father gives him € 50 and his mother gives him another € 50. In total € 100.

With the money that they have left him, he buys the shoes and the € 3 that he has left, he decides to give them back to his parents so that he owes them less money: he returns € 1 to his father, € 1 to his mother and another one to him. So you only owe € 49 to each one.

Pedro returns to do accounts and there is something that does not square: 49 euros that he owes his father, 49 euros that he owes his mother and 1 € that he has 99 € where is the missing euro?

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A- GROUP 4: LUCÍA F, ANTONIO C, ALESSIA A, ALBA S, DIEGO J

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A- GROUP 4: LUCÍA F, ANTONIO C, ALESSIA A, ALBA S, DIEGO J

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El número Pi - Adobe Stock

Alfonso Jesús Población
Actualizado: Noticias relacionadas
Otro año más llegamos al 14 de marzo. Quien le iba a decir al bueno de Larry Shaw (físico, artista y gestor de museos y exposiciones, fallecido en 2017) que aquella ocurrencia que tuvo en 1988 de relacionar los primeros dígitos de π con este día mientras trabajaba para el Exploratorium de San Francisco, iba a crecer a lo largo de todo el mundo de esta manera. En un principio simplemente tuvieron una mini-celebración entre el personal del centro, comiendo algunas tartas (pie, en inglés se pronuncia igual que π). Al año siguiente, extendieron la fiesta a todos los visitantes, y dada su aceptación, a todos los años desde entonces, incluso cuando el museo estuvo cerrado durante su mudanza. Por cierto, el Exploratorium está considerado uno de los museos de ciencia más importantes del mundo, pionero en la filosofía actual de la mayor parte de los actuales, de experimentar, observar y divertirse. En pocas palabras aprender ciencia y tecnología de un modo informal pero participativo.

La idea se extendió a lo largo del país (el congreso norteamericano declaró oficialmente en 2009 este día como Día Internacional de π) y del resto del mundo, con el objetivo más amplio de tratar de mostrar las matemáticas de un modo más accesible y divertido a partir de la excusa de que todo el mundo conoce la famosa constante ya que se introduce en los cursos más elementales de la enseñanza primaria en todo el mundo. En nuestro país, algunos profesores proponían por su cuenta diferentes actividades, hasta que hace tres años la RSME (Real Sociedad Matemática Española) y otras instituciones relacionadas con las matemáticas, decidieron sumarse a esta celebración proponiéndose montones de eventos (conferencias, concursos, y otras muchas propuestas en las que puede participarse de modo individual o por centros escolares). Paralelamente, blogs, páginas en internet, programas de radio y hasta la prensa escrita convencional han venido difundiendo aspectos relacionados con la historia, curiosidades, personajes relacionados con el número, resultados en donde aparece (que son legión), se han descrito referencias en películas y series de televisión, se han compuesto canciones, se han compuesto poemas, se han escrito relatos y hasta novelas, lo han utilizado en anuncios publicitarios, y, como no, pseudociencias y amantes de lo esotérico han tratado de sacar tajada también de esta universal popularidad. Y, en efecto, el numerito posee aspectos desconocidos, a los que, obviamente no se han asomado estos últimos porque entenderlos cuesta algo más que salir de noche con una grabadora a captar soniditos "extraños".

Antes de nada, repasemos a modo de flash las características esenciales de π. Por definición es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (de ahí la formula escolar L = π d, en nuestro país más difundida por L = 2πr; la razón, no lo sé con seguridad, supongo que reside en que el área del círculo es A = π r^2, y parece más lógico referir ambas fórmulas a una misma magnitud, el radio, y no una al diámetro y otra al radio). Siendo por tanto una característica relacionada con figuras con curvatura, parece lógico que π esté presente en figuras como la elipse, la cicloide, o sólidos como el cono, el cilindro, la esfera, en definitiva, todo aquello que involucre de algún modo a circunferencias y círculos. Asimismo, funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.) en las que los ángulos se miden en radianes (un radián es la razón entre la longitud del arco que comprende una circunferencia y la longitud del radio; de nuevo aparece la circunferencia) también es lógico que incluyan a π. Cualquier fenómeno en el que aparezcan ondas (luz, sonido, calor, turbulencias, etc.) es descrito con funciones trigonométricas. Por tanto, la presencia en estos de π está garantizada. Hay por tanto pocas cosas en las que no esté esta constante. ¿Podemos pensar en alguna? ¿Quizá algo en los que sólo aparezcan líneas rectas o figuras sin curvatura alguna? Parece plausible.

En 1733 el conde de Buffon planteó un problema que consistía en determinar la probabilidad de que una aguja lanzada sobre un papel en el que haya dibujadas unas líneas paralelas separadas entre sí una distancia igual a la longitud de la aguja, cruce alguna de dichas líneas. En 1757 se resolvió y dicha probabilidad resultó ser igual a 2/π. Aparentemente parece extraña la presencia de π, pero cuando se trata de resolver, en seguida observamos que hay que cuantificar el ángulo que forma la aguja con las líneas dibujadas, y por tanto, hablando de ángulos, entendemos el porqué de la aparición de la constante. Sin embargo, y ahora que tenemos recientes dos entregas en esta sección sobre series numéricas infinitas, resulta que

¿No es extraño que la suma de las áreas de cuadrados de lados 1, ½, 1/3, ...., 1/n, es decir la suma

tenga algo que ver con π? Pero no es un caso aislado. En 1605 John Wallis demostró que

O la fórmula de John Machin publicada en 1706

Dígitos de Pi en el Palacio del Descubrimiento

con la que William Shanks obtuvo en 1873, calculados manualmente, 704 decimales de π. Esos dígitos se colocaron en el Palacio del Descubrimiento (Palais de la Découverte) de París, hoy Museo de la Ciencia, y rebautizada la sala donde está como sala de Pi. En 1944 se descubrió, ayudados ya por calculadoras electrónicas, que sólo los 527 primeros dígitos son correctos. Como vemos en la imagen, se han pintado a dos colores, cambiando cada diez dígitos, para que sea más sencilla su visualización. Aprovechando que el πsuerga pasa cerca, en la recientemente inaugurada Sala de Matemáticas del Museo de la Ciencia de Valladolid, 850 cifras significativas de π van recorriendo toda la sala, escapando por el techo las últimas hacia el tejado para dar a entender que continúan hasta el infinito. También se han destacado en otro color algunos que configuran combinaciones curiosas como capicúas, números de teléfono de la ciudad, el punto Feynman (seis nueves seguidos en la posición 762; ver la imagen adjunta), entre otros.

Punto Feynman

Se han deducido muchas series infinitas cuya suma tiene relación con π. Entre las más enigmáticas se encuentran las del genial Srinivasa Ramanujan, que las dedujo, no se sabe cómo, pero funcionan (después se han verificado). Él argumentaba que una deidad hindú a la que era devota su familia se las dictaba en sueños. Se puede uno imaginar la cara que pondría el no menos genial Godfrey Harold Hardy, su anfitrión en Cambridge, ante tales afirmaciones (Hardy era ateo convencido y activista), y, sobre todo, cómo defenderlo ante la comunidad matemática del momento (una historia fascinante recogida en parte en la película "El hombre que conocía el infinito"). Juzguen ustedes:

Esta expresión es la que utilizan muchos programas matemáticos para calcular decimales de π. Los matemáticos Peter y Jonathan Borwein han deducido un algoritmo iterativo más rápido (multiplica por cuatro, aproximadamente, los dígitos exactos de π en cada iteración) para hacerlo:

con valores iniciales a 0 = 6 - 4 sqrt(2), y 0 = sqrt(2) - 1. Llenaríamos varias páginas con expresiones matemáticas cuyo resultado es un valor relacionado con π (más series infinitas, fracciones continuas, productos infinitos, límites de sucesiones, etc.).

El número π es irracional, y por tanto tiene infinitos decimales no periódicos, por mucho que, cada cierto tiempo, aparezca algún "iluminado" que dice haber encontrado una periodicidad en los decimales. Desde el siglo XVIII hay una demostración matemática correcta, impecable, de su irracionalidad. Las matemáticas son la única creación humana en la que, encontrada una prueba correctamente hecha de un resultado, nadie nunca jamás podrá rebatirla. Las ciencias experimentales son empíricas, están condicionadas a la experimentación, a descubrir nuevos hechos que pueden hacer cambiar los modelos (por ejemplo, comportamientos físicos nuevos en un objeto celeste en Astronomía, o un nuevo elemento químico, o se mejora la tecnología que permite detectar nuevos aspectos del cuerpo humano en Medicina, etc.). Con las Matemáticas nunca va a suceder nada de esto (puede haber modificaciones en cuanto a un nuevo enfoque, una nueva teoría, etc., pero los resultados ya demostrados, van a permanecer siempre así, con la certeza de su veracidad), porque es una disciplina racionalista, basada en las deducciones lógicas y metódicas.

También es empírica, porque gracias a la potencia de los nuevos ordenadores, podemos hacer cálculos cada vez más complejos que pueden ayudarnos a descubrir demostraciones que de otro modo resulten mucho más difíciles de elaborar. Pero este es un aspecto más secundario, porque al final, exigimos que haya una demostración formal y general.

El número π es además trascendente. Esto significa que no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Hay números irracionales que no son trascendentes, como por ejemplo la raíz cuadrada de 2.

El epitafio de Ferdinand von Lindemann

Tiene infinitos decimales no periódicos también, pero es solución de la ecuación x^2 = 2. Por eso no es trascendente. En cambio, para π no existe ninguna ecuación cuya solución sea él. Si alguien piensa en la ecuación x - π = 0, no sirve, porque sus coeficientes no son todos números racionales. Este resultado lo probó en 1882 el matemático Ferdinand von Lindemann. En su epitafio (no es el único, hay bastantes) decidió incluir a π, como vemos en la imagen.

Algunos artículos y libros de divulgación y curiosidades matemáticas han especulado con la idea de que cualquier frase, fecha, libro, escrito o por escribir, se encuentra en π, porque como contiene infinitos dígitos, asignando a cada cifra una letra, por ejemplo, de acuerdo a su posición en el alfabeto (es decir, 1 = A, 2 = B, etc.), existirá alguna posición a partir de la cual se reproduzca todo textualmente. Dicho de otro modo, ¿todo está en π? Introduzcamos para ello un concepto nuevo, el de número normal.

Un número normal es un número en el que todos sus dígitos están uniformemente distribuidos, es decir, todos los números de una cifra aparecen con la misma frecuencia, todas las parejas de dos cifras aparecen también con igual frecuencia, e igualmente con los de tres cifras, los de cuatro, etc. Y en cualquier base de numeración. En un número normal con infinitos decimales podremos por tanto encontrar cualquier secuencia finita de números, de cualquier longitud. Es decir, podríamos encontrar cualquier palabra, cualquier dato numérico: el día de tu cumpleaños, el de tu muerte, el nombre de tus futuros hijos, y ¿cualquier libro escrito o por escribir? Aunque teóricamente nada nos induce a pensar lo contrario, es poco probable, dado que, a partir de los millones de d ígitos ya conocidos, se observa que hay no hay estructura en la información, o sea que hay muchos dígitos que no representan nada, y nada indica que eso tenga que cambiar.

Lo que sí podemos, porque somos curiosos, es experimentar un poco. Tomemos los primeros 1200 decimales de π. ¿Con que frecuencia aparecen (en base diez)? No tenemos más que copiar los dígitos en un procesador de textos (en internet podemos encontraraplicaciones que nos dan miles de cifras de π sin dificultad), y utilizar la herramienta que tenga para contar el número de ceros, unos, etc. A mí me salen estos datos:

Pues da la impresión que, en efecto, todos los dígitos aparecen distribuidos de un modo uniforme. Pero la muestra es muy pequeña, para concluir nada. Prueben con más dígitos, cien mil, un millón, y calculen el porcentaje. Seguirá siendo una muestra no válida frente a infinito, pero no duden que el resultado no les dejará indiferentes. Por el momento, no se sabe si π es normal o no.

La conclusión a la que podemos llegar finalmente tras leer los párrafos anteriores es que es probable que π no lo contenga todo, pero está en todas partes. Incluso dentro de ti (tus ojos son esféricos, tu ADN es una doble hélice, tu corazón es una cardioide, tu riñón, tus pulmones, algunos de tus huesos, el caracol de tu oído, la vibración de tus cuerdas vocales, tu voz, la canción que cantas..., no se puede evitar).
¡¡¡Feliz Día de π!!!

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad deValladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la RSME. Temas

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Los misterios del número Pi aún sin resolver

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Alfonso Jesús Población Actualizado: Noticias relacionadas Otro año más llegamos al 14 de marzo. Quien le iba a decir al bueno de Larry Shaw (físico, artista y gestor de museos y exposiciones, fallecido en 2017) que aquella ocurrencia que tuvo en 1988 de relacionar los primeros dígitos de π con este día mientras trabajaba para el Exploratorium de San Francisco, iba a crecer a lo largo de todo el mundo de esta manera.

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A-GROUP 6 (MARÍA BORREGO, ALEJANDRO CÁCERES, JUAN DEMANS, LUCÍA HERNÁNDEZ)

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A-GROUP 6 (MARÍA BORREGO, ALEJANDRO CÁCERES, JUAN DEMANS, LUCÍA HERNÁNDEZ)

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The police are watching closely a den of a band of thieves, who have arranged some type of password to enter. They watch as one of them reaches the door and knocks. From the inside it says 8 and the person answers 4, response before which the door opens.
Another person arrives and they ask him for the number 14, to which he answers 7 and it also happens. One of the agents decides to try to infiltrate and approaches the door: from the inside they ask him for the number 6, to which he answers 3. However, he must retreat since not only do they not open the door but he starts to receive gunshots from the inside. What is the trick to guess the password and what error has the police committed?

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Un conjunto de ecuaciones, incógnitas y vectores pueblan una pizarra. Pixabay

Parte del trabajo de los investigadores (como miembros de comités editoriales de revistas científicas) es validar la producción de sus colegas. Los expertos en teoría de números, además, reciben peticiones para valorar decenas de demostraciones de grandes enigmas matemáticos, realizadas por personas ajenas al área. La aparente sencillez de los conceptos y del lenguaje de este campo (los números y las relaciones aritméticas) lo hacen especialmente atractivo a los matemáticos amateur. Una de las conjeturas que más veces hemos visto demostrada (nunca de forma correcta, así sigue siendo un problema abierto) es la de Goldbach.

Christian Goldbach la formuló en una carta dirigida a Leonhard Euler con fecha del 7 de junio de 1742. Se trata de un pintoresco y difícil problema aritmético, basado en la afirmación de que todo número par mayor que dos pueda ser obtenido como suma de dos números primos. Por ejemplo: 4 = 2+2, 6= 3+3, 8=3+5,..., 65568=31+65537. Parece sencillo, pero hacer esta descomposición con el número 1234567891234567890, o con otro que tenga cien cifras, o mil, o un millón, empieza a ser mucho más difícil. Más de dos siglos después nadie ha conseguido probar que esta propiedad sea cierta o falsa de manera general. En sus múltiples intentos, se han inventado diversos métodos ingeniosos, y analíticamente complicados, con los que se ha logrado demostrar versiones débiles de la conjetura, por ejemplo, que todo impar mayor que siete es la suma de tres primos, o que todo par es la suma de un primo y un casiprimo (un número que tiene, a lo más, dos factores primos).

Quienquiera que esté interesado en el problema puede, con cierto esfuerzo eso sí, hacerse con ese rico caudal de ideas para, entendiéndolas mejor o potenciándolas un poco, intentar ir más allá de lo conocido y, ¿por qué no?, resolverlo. Pero, en cualquier caso, el procedimiento establecido de comunicación de un hallazgo de esa naturaleza conlleva siempre la discusión entre los expertos antes de hacerlo público y salir a la palestra mediática.

Ocurre que la sencillez del enunciado induce a muchos aficionados a atacarlo a cuerpo gentil, sin una sólida base matemática. El resultado es que los departamentos de matemáticas del mundo y los consejos editoriales de nuestras revistas, se ven con mucha frecuencia expuestos a unos escritos sin demasiado fundamento en los que sus autores creen haber resuelto el enigma y aspiran al correspondiente trozo de gloria matemática. En la mayoría de los casos, basta con una simple ojeada para detectar la sinrazón del argumento, y la ingenuidad pretenciosa de los autores.

A este respecto, el medallista Fields Terence Tao, quien, a propósito, ha hecho avances significativos en la conjetura de Golbach, escribió una serie de características (que podríamos llamar el test de Tao) que tiene que cumplir un artículo para ser enviado a un referee profesional. Estas incluyen que el paper esté libre de errores evidentes (matemáticos y gramaticales); que esté escrito en un formato matemático profesional (no valen los textos en Word ni en Excel, ha de utilizarse un gestor de texto matemático, como el LaTeX); y que incluya referencias a la bibliografía relevante más reciente.

Según cuenta, tuvo que establecer estos filtros para poner freno a la cantidad de artículos que recibía, como editor de la revista de la American Mathematical Society, sobre problemas abiertos famosos ( hipótesis de Riemann, conjetura de Goldbach, regularidad de las ecuaciones de Navier-Stokes, etc.), o sobre teoremas populares (el último teorema de Fermat, el teorema de los cuatro colores, teoremas de Cantor, Gödel...) Hay otras listas, como la del profesor de la Universidad de Texas Scott Aaronson (Diez señales que indican que una demostración matemática es errónea), que merece la pena considerar para evitar pérdidas de tiempo.

Mención aparte merecen las argumentaciones intencionadamente falsas. Un caso célebre fue el del físico matemático Alan Sokal, autor del libro " Imposturas intelectuales ". Sokal denunció el relativismo posmoderno en las ciencias sociales, después de poner en evidencia a una de las grandes revistas del campo, consiguiendo que publicaran un artículo "plagado de sinsentidos, siempre y cuando: a) Suene bien; y b) apoye los prejuicios ideológicos de los editores". Algunos de estos escritos, que mezclan las leyes de Boole, la axiomática de conjuntos, la hipótesis de Riemann y el problema de Goldbach, pudieran muy bien tratarse de una broma en la estela de Sokal.

Antonio Córdoba (UAM-ICMAT) y Ágata Timón (ICMAT)

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

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(Dicen que) han demostrado la conjetura de Goldbach. Otra vez

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Parte del trabajo de los investigadores (como miembros de comités editoriales de revistas científicas) es validar la producción de sus colegas. Los expertos en teoría de números, además, reciben peticiones para valorar decenas de demostraciones de grandes enigmas matemáticos, realizadas por personas ajenas al área.

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Tablilla con texto matemático del siglo XIV antes de Cristo. De Agostini GETTY IMAGES

Nuestra vida está construida hoy a base de ceros. La integración del cero como elemento matemático supuso el desarrollo fundamental del cálculo, la evolución de la física, la ingeniería y mucha de la tecnología moderna, gracias al sistema binario. Usado en diferentes procesos, es el pilar sobre el que se ha desarrollado algo tan básico y necesario hoy como la informática, Internet y las redes de comunicación global. Pero su uso, e incluso la concepción del mismo, no siempre fue del interés de la sociedad occidental.

Un estudio publicado por la Universidad de Oxford en 2017 situaba la primera huella del cero en un tratado matemático indio del siglo III. Tenía, eso sí, forma de punto. Explica el profesor Marcus du Sautoy: "La creación del cero como número por derecho propio, que evolucionó del símbolo del punto como marcador de posición encontrado en el manuscrito Bakhshila, fue uno de los mayores avances en la historia de las matemáticas. Ahora sabemos que fue a partir del siglo III cuando los matemáticos indios plantaron la semilla de la idea que luego se convertiría fundamental para el mundo moderno".

Este hallazgo confirma el interés que en el subcontinente indio ha habido por este número. Sirvan como ejemplo los astrónomos y matemáticos hindúes Aryabhata y Brahmagupta (nacidos en el 476 y 598, respectivamente), considerados los primeros en describir formalmente el sistema de valor decimal moderno y las reglas de uso del símbolo del cero. Otra muestra de este interés puede hallarse en el templo Chaturbhuj, dentro del fuerte de Gwalior -ciudadela construida en el siglo VIII en Madhya Pradesh- donde uno de sus muros luce, esculpido en piedra, el número 270: la representación del cero más antigua conocida.

Tan fascinante como el descubrimiento de su origen es el misterio de por qué el cero no fue utilizado antes en matemáticas. Su concepción fue anterior a que surgiese en el sur de Asia, pero no tenía el mismo uso. Cabe apuntar que en matemáticas es importante diferenciar entre el cero como marcador de posición y el cero numérico. En el primer caso, el símbolo marca la ausencia de. Un ejemplo: 502 no es 52. Mientras que en el segundo caso, el cero representa la ausencia de elementos: ganar 2 monedas y perder 2 monedas hace que el jugador se quede con 0. Sin monedas. Con nada.

Su uso como marcador de posición ha existido desde hace miles de años. Según Robert Kaplan, profesor en Harvard, el primer rastro documental de ello se remonta a hace 5.000 años con la civilización sumeria (también en la cultura maya de forma independiente). De la antigua Mesopotamia, relata Kaplan, el cero viajó al imperio de Babilonia y a India a través de los griegos (en cuya cultura hizo una aparición tardía y solo ocasional mientras que no hay rastro de él en los romanos). Desde India, hacia Oriente y Occidente, donde los mercaderes árabes lo trajeron. Tras muchas aventuras y oposiciones, el símbolo fue aceptado, el concepto floreció y el cero adquirió un significado mucho mayor que el de marcador de posición; porque ha jugado un papel vital en la matematización del mundo.

Aunque no son exactamente lo mismo, el cero matemático y la noción filosófica de la nada están estrechamente relacionadas. El doctor Peter Gobets, secretario de la Fundación ZerOrigIndia, organización holandesa que investiga los orígenes del dígito, explica en un artículo que "el cero matemático (shunya, en sánscrito) puede haber evolucionado de la filosofía y concepción de la nada o shunyata -la doctrina budista-hindú de vaciar la mente de impresiones y pensamientos-".

El vacío y la nada han tenido un papel fundamental en la concepción de los mitos que preceden a la creación del mundo en todas las civilizaciones. Pero su aceptación no es la misma en Oriente y Occidente. El reto que supone entender la noción del vacío queda reflejado en la Biblia (Job 28:4) cuando Dios pone a prueba una vez más las virtudes de su sufrido seguidor preguntándole: "¿Dónde estabas tú cuando yo fundaba la Tierra? Házmelo saber si tienes inteligencia". Incluso ahora, nuestras desarrolladas teorías físicas sobre el Big Bang tampoco consiguen aproximarnos filosófica y mentalmente al inicio último del vacío, aunque las matemáticas nos permitan generar números de la nada.

En Occidente, el discurso del existencialismo de mitad del siglo XX es el que más ha debatido sobre la nada y sus implicaciones vitales. Pero en ningún caso ha supuesto el acercamiento y, sobre todo, la aceptación que en Oriente se tiene de una idea tan abstracta y, a la vez, presente en nuestras vidas. Durante milenios, yoguis y sadhus (ascetas) del subcontinente indio han usado y usan la meditación para vaciar la mente de pensamientos terrenales fútiles con el objetivo de aceptar una vida finita y lo inabarcable de la existencia. Esta filosofía también ha quedado en su método científico, y así, mientras los matemáticos de la antigua India se obsesionaban con los números gigantescos contando hasta trillones, los griegos pararon hacia el 10.000.

El escritor Devdutt Pattanaik hace una de las mejores representaciones de la distinta percepción e importancia que tienen el infinito y la nada en las filosofías oriental y occidental. En Olympus (2016) establece paralelismos entre la mitología hindú y la de la Grecia clásica, legado de Alejandro Magno tras sus campañas por el subcontinente indio. El autor parte de una interpretación de la anécdota entre el guerrero heleno y el filósofo Diógenes de Sinope. La leyenda cuenta que Alejandro, ya rey de Macedonia, henchido ante su destino como el conquistador más grande de la historia, preguntó si Diógenes necesitaba algo del hombre más poderoso del mundo. El creador del cinismo, encerrado en la barrica desde la que renunciaba a toda posesión material, contestó: "Sí. Muévete, que me tapas el sol".

Como otros autores modernos, Pattanaik utiliza esta conocida parábola del encuentro entre Alejandro y Diógenes para fabular cómo pudo haber sido la interacción del primero con los habitantes de las tierras del Indo en el siglo IV antes de Cristo. Porque según acreditan clásicos como el propio Plutarco en Vidas paralelas, Alejandro Magno conoció a algunos de los pensadores indios durante su larga guerra con el rey Poros, en lo que es hoy frontera entre Pakistán e India. Estos desarropados ascetas, que consideraban comida y ropa elementos superfluos que impedían la pureza de la meditación, pasarían a la historia como gimnosofistas (del griego sofistas desnudos); germen del cinismo filosófico y ascendientes de los yoguis y sadhus de la India actual. Así, Pattanaik imagina la conversación entre el rey macedonio y un gimnosofista para ilustrar el primer (des)encuentro entre la civilización occidental europea y la oriental hindú.

- ¿Qué haces?-, preguntó Alejandro Magno al hombre que, desnudo sobre una roca, contemplaba el cielo con la mirada perdida.

-Estoy experimentando la nada-, contestó este ante la perplejidad del único hombre destinado a dominarlo todo. -¿Qué haces tú?-, le preguntó el gimnosofista.

-Estoy conquistando el mundo-, respondió el gran Alejandro.

Ambos, guerrero y pensador, rieron a carcajadas ante lo absurdo de la empresa de su interlocutor. El todo y la nada.

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Nuestra vida está construida hoy a base de ceros. La integración del cero como elemento matemático supuso el desarrollo fundamental del cálculo, la evolución de la física, la ingeniería y mucha de la tecnología moderna, gracias al sistema binario.

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From A-Group5(Raquel,AnNa,Mario and Samuel).

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From B - Daniel, Sara, Alejandro A, Marina

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Who owns the fish?
4B:Alejandra, Ana, Gabriel and Manuel.

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An athlete is able to jump forever. However, everytime she jumps she gets a bit more tired, and every jump goes 1/2 as far as her prior jump. Now, for her very first jump, she goes 1/2 of a foot.
On her 2nd jump, she goes 1/4 of a foot, and so on and so forth. The beginning of her journey is shown in the gif below. How many jumps does it take for her to travel one foot?
4c: María, Patricia, Claudia, Paula

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Use the balls above to replace the white balls, but you can’t repeat any ball.

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Use the balls above to replace the white balls, but you can’t repeat any ball.

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A: Manuel, Paco, Nerea and Sandra.

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Científicos enseñan a las abejas a sumar y restar

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Los investigadores han descubierto que las abejas pueden hacer matemáticas básicas - RMIT University

El cerebro de las abejas recolectoras de miel tiene un millón de neuronas, una cantidad que, a priori, puede parecer grande. Aunque si se compara con los 100.000 millones de neuronas que tiene el ser humano puede quedar algo escasa. Sin embargo, a pesar de su tamaño, los científicos han descubierto que el diminuto cerebro de este insecto es capaz de entender conceptos tan abstractos como el de cero u operaciones aritméticas básicas como la suma o la resta, cuestiones que nosotros tardamos en aprender años (o que incluso muchas culturas ni contemplaron). ¿Puede que en cuestión de cerebro no importe tanto el tamaño?

Hace unos meses un estudio revelaba que las abejas de miel eran capaces de entender la idea que representa el número cero, una noción que no solo es básica para las matemáticas contemporáneas y en infinidad de avances tecnológicos, sino que también es un concepto que los niños no aprenden hasta los cuatro años, cuando comienzan a comprender que "nada" puede ser una cantidad numérica. De hecho, algunas civilizaciones humanas no llegaron siquiera a desarrollar esta idea.

Ahora, los científicos han querido dar un paso más allá y comprobar si las abejas también son capaces de realizar operaciones aritméticas básicas como la suma y la resta. Y según investigadores australianos y franceses que acaban de publicar sus conclusiones en la revista " Science Advances ", pueden.

Combinar la memoria a corto y largo plazo

Resolver problemas de matemáticas requiere un nivel sofisticado de cognición, porque involucra por un lado el manejo de números concretos en el momento y aplicar las reglas aprendidas antes de la suma y la resta; es decir, la memoria a largo plazo para acordarse de las "normas" que rigen las operaciones aritméticas además de aplicarlas a números concretos en el momento. "Necesitas poder mantener las reglas sobre la suma y la resta en tu memoria a largo plazo, mientras manipulas mentalmente un conjunto de números dados en tu memoria a corto plazo", explica Adrian Dyer, profesor asociado de la Universidad RMIT de Melbourne (Australia), que lidera la investigación.

Así, el experimento consistió en enseñar a las abejas a reconocer los colores como representaciones simbólicas para la suma y la resta, para después usar esta información para resolver problemas aritméticos. Scarlett Howard, investigadora de doctorado en el laboratorio de detección digital Bio Inspired (BIDS-Lab) del RMIT, "entrenó" a las abejas en un laberinto en forma de Y. Los insectos recibían una recompensa dulce si escogían el camino correcto y otra amarga si erraban.

Un laberinto bifurcado con sumas y restas

Al entrar, se les mostraba un conjunto de elementos que variaban de tamaño entre una y cinco formas. Así mismo, éstas tenían un color azul, que se relacionaba con la suma; o un color amarillo, cuyo significado era resta. Después de esto se encontraban una bifurcación para elegir entre dos opciones: una incorrecta que mostraba un número de figuras erróneo; y otra que reflejaba la respuesta correcta, con una figura más o menos en función del color que tuviera la imagen inicial. Por ejemplo, si aparecían tres círculos azules en la entrada, la abeja tenía que escoger en la bifurcación el camino que reflejase cuatro puntos (3+1). La solución correcta se fue cambiando aleatoriamente para que las abejas no escogieran siempre el mismo camino.

Howard se percató de que al principio las abejas tomaban las decisiones al azar. Pero tras entre 4 y 7 horas de aprendizaje y más de 100 pruebas, las abejas captaron que el azul significaba +1 y el amarillo -1, escogiendo cada vez el camino adecuado en la bifurcación. "Nuestra investigación muestra por primera vez que un cerebro tan pequeño como el de las abejas es capaz de realizar operaciones aritméticas simples como sumar y restar un elemento de un grupo", explica Jair García, coautor del estudio. "Hasta hace muy poco se pensaba que para hacer este tipo de operaciones se necesitaban cerebros relativamente grandes. Nuestro resultado abre nuevos campos de investigación sobre la cognición numérica en animales invertebrados, y muy posiblemente sirva de modelo para pensar en nuevas maneras para incorporar interacciones entre la memoria a corto y largo plazo", señala.

Otros animales que saben matemáticas

No son los primeros animales, aparte del ser humano, capaces de comprender operaciones aritméticas sencillas: algunos primates, aves e incluso arañas pueden sumar y restar. Ahora se suman a la lista las abejas. "Nuestros hallazgos sugieren que la cognición numérica avanzada puede encontrarse mucho más ampliamente en la naturaleza entre animales no humanos de lo que se sospechaba anteriormente", afirma Dyer.

Y esta no sería la única implicación, sino que también podría servir de referencia para aplicarse en tecnología. " Si las matemáticas no requieren un cerebro masivo, también podría haber nuevas formas de incorporar las interacciones de las reglas a largo plazo y la memoria de trabajo en los diseños para mejorar el rápido aprendizaje de nuevos problemas por parte de la inteligencia artificial", sentencia el investigador.

Muchas especies pueden entender la diferencia entre cantidades y usar esto para forrajear, tomar decisiones y resolver problemas. Pero la cognición numérica, como el número exacto y las operaciones aritméticas, requiere un nivel de procesamiento más sofisticado. En palabras de Howard: "Nuestros hallazgos muestran que la comprensión compleja de los símbolos matemáticos como lenguaje es algo que muchos cerebros probablemente pueden lograr, y ayuda a explicar cómo muchas culturas humanas desarrollaron de forma independiente las habilidades numéricas".

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Científicos enseñan a las abejas a sumar y restar

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El cerebro de las abejas recolectoras de miel tiene un millón de neuronas, una cantidad que, a priori, puede parecer grande. Aunque si se compara con los 100.000 millones de neuronas que tiene el ser humano puede quedar algo escasa.

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Maria Agnesi, en un grabado de 1836. Wikimedia Commons.

En la Europa de la Ilustración (siglo XVIII - principios del XIX) las tertulias entre personalidades destacadas de la ciencia y la cultura fueron articuladoras de la vida social de la nobleza y de la burguesía. Allí, intelectuales de la época, tanto hombres como mujeres, intercambiaban conocimientos y opiniones sobre diversos temas, desde filosóficos y literarios a científicos o políticos. En la casa de Pietro Agnesi y su familia, en Milán, estas citas eran frecuentes. El hombre, un comerciante de seda, según unos; profesor de universidad, según otros, se casó tres veces y llegó a tener veintiún hijos, todos bien formados y asiduos participantes de tales encuentros. Su hija mayor, Maria Agnesi (Milán, Italia, 1718-1799), podía hablar, desde una edad muy temprana, sobre filosofía, teología, idiomas, ciencias y, en concreto, matemáticas, disciplina a la que acabaría dedicándose.

Agnesi, nacida el 16 de mayo de 1718, fue una niña prodigio. A los nueve años disertaba en latín sobre el derecho de la mujer a estudiar ciencias, y a los 17 escribió una crítica, no publicada, sobre el Traité analytique des sections coniques (tratado sobre las cónicas) del matemático francés Guillaume François de L'Hôpital. A los 21, tras el rechazo de su padre a que se ordenara como monja y desperdiciara, según él, su talento, decidió dedicarse por completo a las matemáticas. Su padre le proporcionó los mejores mentores posibles. Entre ellos estuvo el monje Ramiro Rampinelli, profesor universitario y clave en el desarrollo del análisis, álgebra y física de la época, quien la puso en contacto con la familia de matemáticos Riccati (Jacopo, padre de Vincenzo y Giordano, es conocido por la ecuación diferencial de Riccati), entre otros.

Agnesi estudió la obra de importantes matemáticos como Pierre de Fermat, Isaac Newton, Leonhard Euler o Gottfried Leibniz, y con treinta años publicó su famoso libro Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana (1748), con el que, inicialmente, quería enseñar matemáticas a sus hermanos pequeños. Aquel texto, con descripciones claras y atractivas, y numerosos ejemplos, se convirtió en el primer manual sobre cálculo diferencial e integral y se empleó durante más de cincuenta años en escuelas de diversos países europeos. El principal atractivo de la obra residía en su capacidad para analizar y relacionar las diferentes investigaciones en cálculo que se habían estudiado hasta la fecha, en especial las de Newton y Leibniz, proporcionado así un material didáctico único hasta el momento.

En este texto aparecía la curva diferencial conocida durante años como "bruja de Agnesi" (y no " curva de Agnesi "), por un error en la traducción del italiano al inglés. Aunque ya había sido estudiada por otros matemáticos como Guido Grandi (quien le puso su nombre original, versiera), Fermat, Leibniz y Newton, el traductor se la atribuyó a Agnesi.

Curva de Agnesi. Fuente: GeoGebra

Esta curva cumple ciertas propiedades curiosas: el área entre la bruja y su asíntota (dada por la recta y=0) es cuatro veces el área del círculo fijo dado, y el volumen de revolución de la bruja, si se toma como eje su asíntota, es tres veces el volumen de la esfera obtenida al rotar sobre el mismo eje la circunferencia dada. Más allá de esto, en la actualidad esta curva es empleada en estadística para estudiar fenómenos atmosféricos y relieves topográficos y también para proporcionar contraejemplos en teoría de la probabilidad, ya que se asocia directamente a la distribución de Cauchy. Asimismo, se utiliza para el estudio de la generación de las ondas de los océanos o las creadas en la atmósfera. También aparece en el estudio de los periodos de sequías. En física ayuda a describir la resonancia de los cuerpos.

Gracias a la obra de Agnesi, estos resultados se conocieron en todo el continente europeo. Aquella obra la convirtió en la primera mujer con una reputación propia dentro del mundo de las matemáticas. También debido al éxito de su publicación, el Papa Benedicto XIV le concedió en 1750 una cátedra de Matemáticas, Filosofía natural y Física en la Universidad de Bolonia. Sin embargo, se considera un título honorífico; Agnesi no llegó a tomar posesión del cargo porque tras la muerte de su padre, y con tan solo 34 años, decidió consagrar su vida a la religión católica y a realizar obras de caridad. Pese a ello, se la considera la primera catedrática de matemáticas de Europa. Murió un 9 de enero de 1799 en Milán.

Laura Moreno Iraola es miembro de la Unidad de Comunicación y Divulgación del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT).

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Maria Agnesi, la gran matemática de la Ilustración

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En la Europa de la Ilustración (siglo XVIII - principios del XIX) las tertulias entre personalidades destacadas de la ciencia y la cultura fueron articuladoras de la vida social de la nobleza y de la burguesía. Allí, intelectuales de la época, tanto hombres como mujeres, intercambiaban conocimientos y opiniones sobre diversos temas, desde filosóficos y literarios a científicos o políticos.

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Hilbert's Infinite Hotel - 60-Second Adventures in Thought (4/6)

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Math riddle

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Matemáticas para proteger la democracia

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El presidente de EE UU, Donald Trump, en una imagen de archivo tomada durante la cumbre de la OTAN del pasado mes de julio. Geert Vanden Wijngaert AP

La democracia es considerada el sistema político que más voz y poder otorga a los ciudadanos. En palabras del premio Nobel Octavio Paz, "sin democracia, la libertad es una quimera". Sin embargo, a veces esa herramienta puede verse manipulada sin que la ciudadanía se dé cuenta. Esto es lo que ocurre a veces con una técnica política conocida como gerrymandering. Pero las matemáticas permiten detectarlo.

En las elecciones legislativas de Estados Unidos, como las que tuvieron lugar el pasado 6 de noviembre, cada estado se divide en tantos distritos electorales como miembros para la Cámara de Representantes le sean asignados, y cada distrito elige como representante al candidato que obtiene la mayoría de votos. Cada diez años, el gobierno de un estado puede modificar a su antojo el diseño de esas circunscripciones electorales: esta es la táctica del gerrymandering. "Hay casos en los que se ha utilizado para propiciar avances sociales y garantizar la representatividad de minorías raciales, pero su intención habitual es obtener beneficios políticos", indica Carmen Méndez, coordinadora del máster de Estudios Americanos de la Universidad Complutense de Madrid.

Aunque el término gerrymandering se inventó en EE. UU., el fenómeno también "puede darse de forma excepcional en otros países como Francia e Italia", indica Méndez. Sin embargo, en España no: "Las fronteras de los distritos electorales están basadas en un diseño provincial de la Constitución de 1978 y no se pueden modificar para las elecciones generales ni para otras votaciones".

En los países en los que se aplica, esta estrategia puede cambiar considerablemente el resultado. Imaginemos un estado compuesto por 25 personas que debe elegir a cinco representantes entre dos partidos: el verde y el azul. El 60 % de la población vota al verde y, el 40 %, al azul. En la primera imagen, el trazo de los cinco distritos electorales hace que el partido verde obtenga tres representantes y el partido azul dos, siendo el número de representantes de cada partido proporcional al voto. Sin embargo, en el segundo diseño el partido verde se lleva los cinco representantes y en el tercer ejemplo solo dos, a pesar de tener la mayoría. "El partido en el poder puede beneficiarse del rediseño de las fronteras electorales y conseguir que el voto se concentre a su favor. Los otros partidos y sus votantes salen perjudicados", explica Méndez.

Gráfico ficticio que ejemplifica tres maneras de trazar distritos electorales y conseguir diferentes resultados en las votaciones.

En situaciones reales es complicado determinar si esta estrategia se ha utilizado de forma fraudulenta. En el ejemplo anterior se observa que el trazado no tiene ni siquiera por qué tener una forma sospechosa para favorecer a un partido (como sucede en el segundo gráfico). ¿Cómo saberlo entonces? El grupo de matemáticos Quantifying Gerrymandering de la Universidad de Duke (EE. UU.) ha desarrollado técnicas que intentan proteger la democracia. "Utilizando algoritmos de muestreo estadístico, simulamos miles de posibles mapas con diferentes dibujos de distritos que cumplen criterios de distribución neutrales, teniendo en cuenta la geografía y las opiniones políticas", explica el investigador principal del proyecto, Jonathan Mattingly. Concretamente, "usamos los llamados métodos de Monte Carlo basados en cadenas de Markov, que fueron desarrollados como parte del proyecto Manhattan", detalla el también investigador del grupo Gregory Herschlag.

Aplicando a estos mapas las votaciones históricas a lo largo de los años, obtienen un rango típico de resultados electorales que pueden usar para comparar cualquier otro mapa. "Si un cierto diseño se encuentra en un extremo atípico del conjunto, podemos concluir que se trata de manipulación partidista", aclara Herschlag.

Precisamente, el grupo se encontró con que "los mapas de distritos de Carolina del Norte de las elecciones legislativas de 2012 y 2016 tenían dentro de nuestra distribución valores estadísticos altamente atípicos ", indica Mattingly. El Partido Demócrata obtuvo, respectivamente, cuatro y tres de los 13 representantes totales, "un resultado que solo se daba en menos del 1% de los mapas simulados". También había características sospechosas, como distritos sobrecargados de votantes demócratas y lo contrario. "Simplemente cambiando el trazado, los demócratas podían pasar a tener nueve representantes; la elección variaba enormemente sin modificar ni un solo voto", añade el matemático. En los comicios de este año, el resultado ha vuelto a ser tres contra diez.

División de los distritos de Carolina del Norte para las elecciones legislativas en Estados Unidos de 2013 hasta 2016. Departamento del Interior de Estados Unidos.

El descubrimiento llevó a Mattingly a testificar como experto ante el tribunal de Carolina del Norte en el Common Cause v. Rucho. "Los jueces concluyeron que el caso era extremo e inconstitucional. Ahora está por ver si la Corte Suprema de los Estados Unidos comparte este punto de vista", explica Mattingly.

Méndez afirma que los modelos matemáticos facilitan determinar si esta práctica debería ser legal o no, "ya que en el terreno político en ocasiones se utiliza una retórica conectada con lo emocional y los derechos individuales, que dificulta una visión de conjunto". Los investigadores de Duke lo tienen claro: "Las matemáticas pueden ayudar a terminar con el gerrymandering porque solo una comprensión profunda del problema puede hacerlo".

Juan José Marín es investigador del ICMAT. Patricia Ruiz Guevara es matemática por la Universidad de Murcia y periodista científica.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

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investigadores de la universidad de duke

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La democracia es considerada el sistema político que más voz y poder otorga a los ciudadanos. En palabras del premio Nobel Octavio Paz, "sin democracia, la libertad es una quimera". Sin embargo, a veces esa herramienta puede verse manipulada sin que la ciudadanía se dé cuenta.

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if you solve one of these problems ... $ 1,000,000

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http://www.claymath.org/millennium-problems