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Con este problema aprendí a resolver un problema cotidiano en la industria alimentaria utilizando diversos métodos de resolución.

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Castillo Manzano Alejandro 18030893
Espejel Vera Jocelyn 18030917
Morales Cuenca Rubí 18030927
PE: Ingenieria en Industrias Alimentarias
2º Sem.

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590 ton de guarapo a la semana
25 ton de azúcar morena
25 ton de melaza
25 ton de azúcar blanca
25.65 ton de azúcar glass
1 ton de guarapo = 0.3 ton de azúcar morena y 0.1 ton de melaza
1 ton de azúcar morena = 0.8 ton de azúcar blanca
1 ton de azúcar blanca = 0.9 ton de azúcar glass

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Este ejercicio nos proporciona datos que no debemos ignorar, como son las cantidades de los tipos de azúcar que se deben entregar, y lo más importante que es lo que se realiza con qué.

1. Tenemos que la azúcar morena es la base de la azúcar blanca y glas y la definiremos con la letra Z.

2. A la azúcar blanca le asignaremos la letra X.

3. Y al azúcar glas la letra Y.

Ahora que ya sabemos el porcentaje de cada una tenemos que:

Z=80.4

Z-25=X

X-28.05=Y

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Producción de azúcares

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Resolución de problemas aplicando ecuaciones de primer grado | Matemática III

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Resolución de problemas aplicando ecuaciones de primer grado

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El Ingenio “Piloncillo” produce azúcar morena, azúcar blanca, azúcar glass y melaza, a partir de guarapo concentrado.

La empresa compra 590 toneladas semanales de ese guarapo, y se le contrata para entregar 25 toneladas semanales de azúcar morena, 25 de azúcar blanca, 25.65 de azúcar glass y 25 de melaza.  El proceso de producción comienza fabricando azúcar morena y melaza, a partir del guarapo. Una tonelada de guarapo concentrado produce 0.3 tonelada de azúcar morena y 0.1 tonelada de melaza. A continuación se produce el azúcar blanca procesando el azúcar morena. Se necesita 1 tonelada de azúcar morena para producir 0.8 tonelada de azúcar blanca. Por último, el azúcar glas se produce a partir de azúcar blanca mediante un proceso especial de molienda que tiene una eficiencia de producción de 95% (1 tonelada de azúcar blanca produce 0.95 tonelada de azúcar glass.

¿Cuánto se debe producir de cada tipo de azúcar y melaza?.

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El problema aquí es la producción de azúcar morena que satisfaga la producción de azúcar blanca que a su vez produce azúcar glas. La interrogante principal es, ¿que tanto de azúcar morena se debe producir para lograr entregar, 25 toneladas de azúcar morena, 25 de azúcar blanca y 25.65 de azúcar glas?
Teniendo esto en cuenta se deduce que se debe preparar 75% más de azúcar morena para producir el azúcar blanca que es al 50% y restándole un 25% que se utilizará para la producción de azúcar glas.
Ay que tener en cuenta que el otro 25 % pertenece a la melaza que produce la industria,

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Libro compendio de matemáticas puras y mistas (pág.150) en el cual muestran ejemplos del cómo se realizan ciertos problemas con datos establecidos e incógnitas por resolver.

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Compendio de matemáticas puras y mistas [sic], 1

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En esta sección se encuentra  el análisis de datos para obtener una respuesta  a la incógnita, como lo realize para obtener los resultados del problema principal.

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Ejercicios y problemas resueltos de regla de tres

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Ejercicios y problemas resueltos de regla de tres, regla de tres simple directa, inversa, compuesta. 1º de ESO, 2º de ESO.

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La resolución de este tipo de problemas contiene mucho lo que es la lógica y la comprensión de los datos que te están dando y pidiendo, sin embargo pienso que existen muchas maneras para resolver este problema, ya que por medio de la realización de este trabajo me pude percatar que mis compañeros de equipo escogieron el método de sistema de ecuaciones, pero yo opté por otro método, tal vez un poco más largo pero entendible para mi, ya que a la hora de resolver este problema me di cuenta que lo único que tenía que hacer era multiplicar y dividir los datos correctos para así obtener el resultado.

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En esta sección se muestran ejercicios con dificultad creciente, como en nuestro problema principal.

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3. Problemas Resueltos (Parte I)

Problema 1

Escribir algebraicamente las siguientes expresiones:

1. El doble de un número \(x\).

2. El triple de un número \(x\).

3. El doble de un número \(x\) más 5.

4. El cuadrado del triple de un número \(x\).

5. Las tres cuartas partes de un número \(x\).

1. El doble de un número se obtiene multiplicándolo por 2, por tanto, el doble de \(x\) es \(2x\).

2. El triple de un número se obtiene multiplicándolo por 3, por tanto, el triple de \(x\) es \(3x\).

3. El doble de \(x\) es \(2x\), por tanto, si le sumamos 5, tenemos \(2x+5\)

4. El triple de \(x\) es \(3x\), así que su cuadrado es

$$ (3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2 $$

Nota: hemos usado la propiedad de la potencia "la potencia de un producto es el producto de las potencias".

5. La cuarta parte de \(x\) es

$$ \frac{1}{4} \cdot x = \frac{x}{4}$$

Por tanto, tres cuartas partes de \(x\) son

$$ 3\cdot \frac{x}{4} = \frac{3x}{4} $$

Problema 2

En cada caso, hallar el número que cumple:

1. El doble de \(x\) es \(2x\), luego obtenemos la ecuación
$$2x + 5 = 35$$
Resolvemos la ecuación:
$$2x = 35-5$$ $$2x = 30$$ $$x = \frac{30}{2}=15$$
Por tanto el número es el 15.

2. Sea \(x\) el número buscado, su consecutivo (el siguiente) se obtiene al sumarle 1. Como la suma de \(x\) y de su consecutivo debe ser 51, tenemos:
$$x + ( x + 1 ) = 51$$
Nota: hemos escrito el paréntesis para distinguir los números, pero no es necesario.

Resolvemos la ecuación:
$$2x +1 = 51$$ $$2x = 50$$ $$x = \frac{50}{2} = 25$$
Por tanto, el número es el 25.

1. El doble de \(x\) es \(2x\) y la mitad de \(x\) es \(x/2\).

La suma de \(x\), su doble, su mitad y 15 debe ser 99:

$$x + 2x + \frac{x}{2} + 15 = 99$$

Resolvemos la ecuación:

$$3x + \frac{x}{2} = 99-15$$

$$3x + \frac{x}{2} = 84$$

Tenemos que sumar fracciones:

$$\frac{6}{2}x + \frac{1}{2}x = 84$$

$$\frac{7}{2}x = 84$$

$$x = \frac{84\cdot 2}{7}=24$$

Por tanto el número buscado es 24.

2. La cuarta parte de \(x\) es \(x/4\). Por tanto, tenemos la ecuación
$$\frac{x}{4} = 15$$ $$x=15 \cdot 4 = 60$$
El número es el 60.

Problema 3

Marta tiene 15 años, que es la tercera parte de la edad de su madre. ¿Qué edad tiene la madre de Marta?

Llamamos \(x\) a la edad de la madre.

La tercera parte de la edad de la madre es \(x/3\).

Escribimos matemáticamente que la tercera parte de la edad de la madre (\(x/3\)) es la misma que la de Marta (es decir, 15):

$$\frac{x}{3} = 15$$

Resolvemos la ecuación:

$$x = 3\cdot 15$$

$$x = 45$$

Por tanto, la edad de la madre es \(x = 45\).

Problema 4

¿Cuánto mide una cuerda si su tercera cuarta parte mide 200 metros?

Sea \(x\) la longitud de la cuerda.

Sabemos que su tercera cuarta parte es 200, es decir

$$\frac{3x}{4} = 200$$

Resolvemos la ecuación:

$$\frac{3x}{4} = 200$$

$$3x = 4\cdot 200$$

$$x = \frac{4\cdot 200}{3} $$

$$x = 266.667\text{ metros} $$

Por tanto, la cuerda mide aproximadamente 266.667 metros.

Problema 5

Hallar tres números consecutivos cuya suma sea 219.

Como la suma de estos tres números es 219, tenemos la ecuación

$$ x + (x + 1) + (x + 2) = 219$$

Nota: Hemos escrito los paréntesis para que se distingan los 3 números consecutivos, pero no son necesarios.

Resolvemos la ecuación:

$$ x + (x + 1) + (x + 2) = 219$$ $$3x + 3 = 219$$ $$3x = 219-3$$ $$3x = 216$$ $$x = \frac{216}{3} = 72$$

El primer número es \(x = 72\).

Su consecutivo es \(x + 1 = 73\).

El consecutivo del anterior es \(x + 2 = 74\).

Por tanto, los tres números consecutivos que suman 219 son 72, 73 y 74.

Problema 6

Recorremos un camino de 1 km a una velocidad de 6 km/h. ¿Cuánto tardamos en llegar al destino?

Sabemos que el espacio recorrido es igual a la velocidad por el tiempo.

Sea \(x\) el tiempo:

$$\text{Espacio recorrido} = \text{velocidad}\cdot x $$

Sabemos que el espacio recorrido es 1km y la velocidad es 6km/h. Sustituimos en la ecuación:

$$ 1 = 6\cdot x$$

Calculamos \(x\):

$$ x = \frac{1}{6}$$

Tardamos \(x = 1/6 = 0.1667\) horas en llegar.

Nota: el tiempo obtenido es en horas porque el dato de la velocidad del problema es en km/ h.

Pasamos de horas a minutos (multiplicando por 60):

$$ 0.1667\cdot 60 = 10.002 \text{ minutos}$$

En realidad, son exactamente 10 minutos, pero obtenemos 10.002 porque hemos aproximado el valor de 1/6.

Nota: no olvidemos comprobar las unidades de medida. Si, por ejemplo, el espacio recorrido fuese en metros, tendríamos que pasarlo a kilómetros (o cambiar la unidad de la velocidad).

Problema 7

Héctor guarda 25 euros en su hucha, lo que supone sumar una cuarta parte del dinero que ya había.

¿Cuánto dinero hay ahora en la hucha?

¿Cuánto dinero debería añadir a la hucha si quiere duplicar el dinero que había inicialmente?

Llamamos \(x\) al dinero que había inicialmente en la hucha

Los 25€ que guarda equivalen a la cuarta parte del dinero que había en la hucha, es decir, matemáticamente,

$$ 25 = \frac{x}{4}$$

La solución de la ecuación es

$$ x = 25\cdot 4 = 100$$

Por tanto, en la hucha había 100€ y ahora hay 125€:

$$ 100 + 25 = 125\text{ euros}$$

Para duplicar la cantidad inicial (100€) tiene que haber 200€ en la hucha. Como ahora mismo hay 125€, necesitaría añadir otros 75€:

$$ 200 - 125 = 75 $$

Problema 8

El padre de Ana tiene 4 años menos que su madre y la mitad de la edad de la madre es 19. ¿Qué edades tienen los padres de Ana? Además, si sabemos que el séxtuple de la edad de Ana es la suma de las edades sus padres, ¿cuál es su edad?

Llamamos \(x\) a la edad de la madre de Ana.

La mitad de la edad de la madre es 19, por tanto,

$$ \frac{x}{2} = 19$$

Resolviendo la ecuación, la edad de la madre es

$$x = 19\cdot 2 = 38$$

Como el padre de Ana tiene 4 años menos que la madre, su edad es 34 años:

$$ 38 - 4 = 34 $$

Luego el padre de Ana tiene 34 años y su madre tiene 38.

Ahora podemos llamar \(x\) a la edad de Ana (sin confundir con la \(x\) anterior). Tenemos:

Las edades de sus padres suman 72:

$$ 38 + 34 = 72$$

Como 6 veces la edad de Ana es 72,

$$ 6\cdot x = 72 $$

Luego la edad de Ana es

$$ x = \frac{72}{6} = 12 $$

Problema 9

Carmen tiene 16 años y sus dos hermanos pequeños tienen 2 y 3 años. ¿Cuántos años han de pasar para que el doble de la suma de las edades de los hermanos de Carmen sea la misma que la que tiene ella?

Llamamos \(x\) a los años que tienen que pasar para que se cumpla el enunciado del problema.

Cuando pasen estos \(x\) años:

El doble de la suma de los años de los hermanos ha de ser igual que la de Carmen:

$$2\cdot ( ( 2 + x )+( 3 + x ) ) = 16 + x$$

Obsérvese que el 2 multiplica a la suma de las edades de los hermanos. Es importante escribir dicha suma entre paréntesis.

Resolvemos la ecuación:

$$2\cdot ( ( 2 + x )+( 3 + x ) ) = 16 + x$$

Sumando dentro del paréntesis (sumando las edades de los hermanos), tenemos

$$2\cdot ( 2x + 5) = 16+x$$

Teniendo en cuenta que el 2 multiplica a los dos sumandos de dentro del paréntesis,

$$2\cdot 2x + 2\cdot 5 = 16+x$$

$$4x +10 = 16 + x$$

$$4x-x = 16-10$$

$$3x = 6$$

$$x = \frac{6}{3}=2$$

Es decir, tienen que pasar 2 años.

Problema 10

Hallar el número tal que si sumamos su mitad con su doble y su triple obtenemos 55.

Llamamos \(x\) al número que buscamos. Entonces,

Queremos que los 3 números anteriores sumen 55, así que la ecuación resultante es

$$\frac{x}{2} + 2x + 3x = 55$$

Resolvemos la ecuación:

$$\frac{x}{2} + 5x = 55$$

$$\frac{1}{2}\cdot x + \frac{10}{2}\cdot x = 55$$

$$\frac{11}{2}\cdot x = 55$$

$$x = \frac{55 \cdot 2}{11}=10$$

Por tanto, el número buscado es 10.

Problema 11

Vicente se gasta 20 euros en un pantalón y una camisa. No sabe el precio de cada prenda, pero sí sabe que la camisa vale dos quintas partes de lo que vale el pantalón. ¿Cuánto vale el pantalón?

$$x + \frac{2}{5}\cdot x = 20$$

Resolvemos la ecuación:

$$\frac{5}{5}\cdot x + \frac{2}{5}\cdot x = 20$$

$$\frac{7}{5}\cdot x = 20$$

$$x = \frac{20 \cdot 5}{7} = \frac{100}{7}=14,2857$$

El pantalón vale 14,29€.

Problema 12

La diferencia entre dos números es 17. Se pide:

Calcular dichos números suponiendo que el doble del menor de ellos es 26.

Calcular dichos números suponiendo que 26 es el doble del mayor en lugar del doble del menor.

Nota: son dos problemas distintos para apreciar la importancia de plantear correctamente la ecuación.
Primera parte:
Llamamos \(x\) al número menor.

Como la diferencia entre los dos números es 17 y \(x\) es el menor de ellos, entonces el mayor es

$$ x + 17 $$

El doble del menor es 26, así que

$$ 2x = 26$$

Luego

$$ x = \frac{26}{2} = 13$$

Los números buscados son 13 y 30 porque

\(x = 13\) es el menor y

\(x + 17 = 13 + 17 = 30\) es el mayor.

Segunda parte:
Llamamos \(x\) al número mayor.

Como la diferencia entre los dos es 17, entonces el menor es

$$ x-17$$

El doble del mayor es 26, entonces,

$$ 2x = 26$$

Luego,

$$ x = \frac{26}{2} = 13$$

Los números buscados son 13 y -4 porque

\(x = 13\) es el mayor y

\(x - 17 = 13 - 17 = -4\) es el menor.

Problema 13

Hace 5 años la edad de Ernesto era el triple que la de su primo Juan, que tiene ahora 15 años. ¿Cuántos años han de pasar para que Juan tenga la edad actual de Ernesto?

Llamamos \(x\) a la edad actual de Ernesto. Entonces,

Resolvemos la ecuación:

$$x - 5 = 3\cdot 10$$

$$ x = 30 + 5 $$

Por tanto, \(x = 35\).

Hemos calculado \(x = 35\), que es la edad actual de Ernesto.

Como Juan tiene actualmente 15 años, han de pasar 20 años para que tenga la edad actual de Ernesto, ya que

$$ 15 + 20 = 35 $$

Problema 14

Tenemos tres peceras y 56 peces. Los tamaños de las peceras son pequeño, mediano y grande, siendo la pequeña la mitad de la mediana y la grande el doble. Como no tenemos ninguna preferencia en cuanto al reparto de los peces, decidimos que en cada una de ellas haya una cantidad de peces proporcional al tamaño de cada pecera. ¿Cuántos peces pondremos en cada pecera?

Sea \(x\) el número de peces en la pecera mediana. Entonces, para que haya proporcionalidad con el tamaño,

En la pecera pequeña debe haber \(x/2\) peces, porque es la mitad que la mediana.

En la pecer grande debe haber \(2x\) peces, porque es el doble que la mediana.

Ahora bien, como el total de peces es 56, tenemos la ecuación de primer grado

$$x + \frac{x}{2} + 2x = 56$$

Resolvemos:

$$3x + \frac{x}{2} = 56$$

Tenemos que sumar las fracciones:

$$\frac{6x}{2} + \frac{x}{2} = 56$$

$$\frac{7x}{2} = 56$$

La solución es

$$x = \frac{56\cdot 2}{7}= 16$$

Por tanto,

Peces en la pequeña: \(16/2=8\).

Peces en la mediana: \(16\).

Peces en la grande: \(2·16=32\).

Problema 15

Queremos repartir 510 caramelos entre un grupo de 3 niños, de tal forma que dos de ellos tengan la mitad de los caramelos pero que uno de estos dos tenga la mitad de caramelos que el otro. ¿Cuántos caramelos tendrá cada niño?

La cantidad de caramelos de dos de ellos es la mitad del total, con lo que el otro niño tendrá la otra mitad, es decir, el tercer niño tendrá 510/2 = 255 caramelos.

Ahora quedan los 255 caramelos a repartir entre los dos primeros.

$$ x + \frac{x}{2} = 255$$

Sumamos las fracciones para resolver la ecuación:

$$ x + \frac{x}{2} = 255$$

$$ \frac{2x}{2} + \frac{x}{2} = 255$$

$$ \frac{3x}{2} = 255 $$

$$ x = \frac{255\cdot 2}{3} = 170$$

Por tanto, uno de los niños tiene \(x = 170\) caramelos y el otro tiene \(x /2 = 170/2 = 85\).

La cantidad de caramelos que tiene cada niño es: 255, 170 y 85.

Problema 16

La tercera parte de las cucharas de la casa estaban en el lavaplatos y las restantes en el cajón. Pero la mitad de las cucharas del cajón, que son 15, se llevan a la mesa. ¿Cuántas cucharas hay en el lavaplatos?

Llamamos \(x\) al número total de cucharas de la casa. Entonces:

Resolvemos la ecuación:

$$ \frac{2x}{3} = 30 $$

$$ 2x = 3\cdot 30 $$

$$ 2x = 90 $$

$$ x = \frac{90}{2} = 45$$

Por tanto, en la casa hay un total de 45 cucharas, de las cuales hay:

Problema 17

Una tienda vende en dos días la tercera parte de sus productos. Al día siguiente recibe del almacén la mitad de la cantidad de los productos vendidos, que son 15 unidades. ¿Cuántas unidades vendió en los dos primeros días? ¿Cuántas unidades hay en la tienda después de abastecerla?

Nota: hemos multiplicado por 1/2 la fracción para obtener su mitad. No olvidemos que la multiplicación de fracciones se calcula multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{3} = \frac{1\cdot x}{2\cdot 3} = \frac{x}{6}$$

Resolvemos la ecuación que tenemos:

$$ \frac{x}{6} = 15$$

$$ x = 15 \cdot 6 = 90$$

En la tienda había 90 productos.

En los dos primeros días se venden

$$\frac{x}{3} = \frac{90}{3} = 30$$

La cantidad después de la venta y del abastecimiento es: 90 - 30 + 15 = 75 productos.

Problema 18

Juan tiene 400 euros y Rosa tiene 350. Ambos se compran el mismo libro. Después de la compra, a Rosa le quedan cinco sextas partes del dinero que le queda a Juan.

Calcular el precio del libro.

Llamamos \(x\) al precio del libro, que obviamente es el mismo para Juan y para Rosa. Entonces,

Dinero que le queda a Juan: \(400 - x\)

Dinero que le queda a Rosa: \(350 - x\)

El dinero que le queda a Rosa es 5/6 del que le queda a Juan, por tanto,

$$ 350 - x = \frac{5}{6}\cdot ( 400 - x )$$

Pasamos el 6 del denominador multiplicando al otro lado y resolvemos:

$$ 6\cdot (350 - x) = 5 \cdot ( 400 - x )$$

Nota: no olvidemos que el número de delante del paréntesis multiplica a todos los sumandos que contiene.

$$ 6\cdot 350 - 6\cdot x = 5 \cdot ( 400 - x )$$ $$ 2100 - 6x = 5\cdot (400-x) $$ $$ 2100 - 6x = 2000 -5x $$ $$ 2100 - 2000 = 6x -5x$$ $$ 100 = x$$

Por tanto, el precio del libro es \(x = 100\) euros.

Problema 19

Ester tiene el triple de dinero que Ana y la mitad que Héctor. Héctor les da a Ana y a Ester 25 euros a cada una. Ahora Ester tiene la misma cantidad que Héctor. ¿Cuánto dinero tenía cada uno al principio? ¿Y después?

Una vez se realiza el reparto:

Tras el reparto, sabemos que Ester tiene la misma cantidad que Héctor, con lo que

$$ 3x + 25 = 6x - 50$$

Resolvemos la sencilla ecuación:

$$ 3x + 25 = 6x - 50$$

$$ 50 + 25 = 6x - 3x$$

$$ 75 = 3x$$

$$ x = \frac{75}{3} = 25$$

Calculamos el dinero que tenía y tiene cada uno de ellos sustituyendo \(x = 25\):
Inicialmente tenían: Después del reparto:
Problema 20

En una casa, el depósito de agua se encuentra al 2/7 de su capacidad. Se duchan tres personas: el primero en ducharse consume una quinta parte de la cantidad del depósito; el segundo, una tercera parte de la cantidad que queda; y el tercero, tres cuartas partes de la cantidad del primero.

¿Cuál es la capacidad del depósito y la cantidad de agua que consumen los dos primeros si sabemos que el tercero consume 10 litros al ducharse?

Llamamos \(x\) a la capacidad del depósito (en litros).

Antes de ducharse, el depósito se encuentra al 2/7, es decir, hay

$$\frac{2}{7}\cdot x \text{ litros}$$

El primero consume 1/5 del agua que hay en el depósito, es decir, consume

$$\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7}x = \frac{2}{35}x$$

Como el primero consume 1/5 (un quinto) de \(2x/7\), después de ducharse éste quedan 4/5 (cuatro quintos) de \(2x/7\):

$$\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{7}x = \frac{8}{35}x$$

El segundo en ducharse consume la tercera parte de lo que queda, esto es, consume

$$\frac{1}{3} \cdot \frac{8}{35}x = \frac{8}{105}x$$

El tercero consume 3/4 de lo que consume el primero, es decir, consume

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{35}x = \frac{6}{140}x =\frac{3}{70}x$$

Sabiendo que el tercero consume 10L, tenemos la siguiente ecuación:

$$\frac{3}{70}x = 10$$

Cuya solución es:

$$x = \frac{700}{3} \simeq 233.33 $$

Una vez calculada \(x\) ya podemos contestar a las preguntas:

Problema 21

¿Cuánto se tarda en recorrer una distancia de 10km a una velocidad de 40km/h?

Sabemos que el espacio recorrido es la velocidad por el tiempo, es decir,

$$ e = v\cdot t $$

Los datos que tenemos son

distancia o espacio recorrido: \( e = 10 \text{ km}\).

velocidad: \( v = 40 \text{ km/h}\).

Nota: obsérvese que las unidades del espacio coinciden en ambos daots ( km y km/h). Al aplicar la fórmula, el tiempo será en horas (porque la velocidad es en km/ h).

Como tenemos las mismas unidades (en kilómetros), sólo tenemos que sustituir en la ecuación y despejar la \(t\), que estará dada en horas.

Sustituimos en la ecuación \( e = v \cdot t\):

$$ 10 = 40\cdot t$$

Resolvemos la ecuación:

$$ t= \frac{10}{40} =\frac{1}{4} = 0.25\text{ h}$$

Podemos pasar el tiempo a minutos multiplicándolo por 60:

$$ t = 0.25\cdot 60 = 15 \text{ min}$$

Consejo: podemos escribir las unidades en la propia ecuación y tratarlas como factores de la misma. Así, cuando tenemos una gran cantidad y variedad de unidades, es más fácil saber cuál es la unidad del resultado. En este problema tendríamos:

$$10\text{ km} = \frac{40\text{ km}}{\text{h}}\cdot t $$

Despejamos la \(t\):

$$ t = \frac{10\text{ km}}{40\text{ km}} \text{ h}$$

Y ahora, como \(km\) está "multiplicando" en el numerador y en el denominador, los podemos anular:

$$ t = \frac{10}{40}\text{ h} = \frac{1}{4}\text{ h} = 0.25\text{ h} = 15\text{ min}$$

Problema 22

¿Cuántos minutos se tarda en recorrer una distancia de 108km a una velocidad de 120m/h?

De nuevo, el espacio o la distancia recorrida es la velocidad por el tiempo, es decir,

$$ e = v\cdot t $$

Como queremos saber el tiempo, \(t\), vamos a despejar la \(t\) antes de sustituir los datos en la fórmula:

$$ e = v\cdot t \ \rightarrow \ t =\frac{e}{v} $$

Tenemos los datos

Distancia: \(e = 108 \text{ km}\)

Velocidad: \( v = 120 \text{ m/h}\)

Tenemos las unidades de distancia en kilómetros (en la \(e\)) y en metros (en la \(v\)), así que tenemos que pasarlas a la misma unidad. Escribiremos la velocidad en km/min para que coincidan. De este modo tenemos km en ambos datos y, además, obtendremos el tiempo en minutos.

$$ v = \frac{120m}{h} = \frac{120:1000km}{1\cdot 60min} $$

Nota: hemos dividido por 1000 para pasar de metros a kilómetros y multiplicado por 60 para pasar de horas a minutos. Haciendo los cálculos:

$$ v = \frac{0.12 km}{60min} = 0.002 km/min$$

Ahora, sustituimos los datos y obtenemos el tiempo

$$ t = \frac{e}{v} = \frac{108km}{0.002km/min} = \frac{108}{0.002} \ min = 54000\ min $$

Nota: como min está "dividiendo" en el denominador, pasa "multiplicando" en el numerador; km desaparece porque está "multiplicando" en el numerador y en el denominador.

Nota 2: el resultado del problema obtenido es muy alto porque 120m/h es una velocidad muy lenta. Por ejemplo, las personas caminamos a unos 5.000m/h (ó 5km/h), lo cual es más de 41 veces más rápido que la velocidad de este problema.

Problema 23

¿Cuántos kilómetros se recorren si se circula a una velocidad constante de 5m/s durante dos horas?

Usaremos la misma fórmula:

$$ e = v\cdot t $$

Conocemos los datos

Velocidad: \( v = 5\text{ m/s}\)

Tiempo: \( t = 2\text{ h}\)

Tenemos distintas unidades de tiempo (horas y metros), así que pasamos el tiempo a segundos:

$$ t=2\text{ h} = 2\cdot 60\text{ min} =$$ $$ = 120\text{ min} = 120\cdot 60\text{ s} =7200\text{ s} $$

No pasamos todavía los 5m a km para no trabajar con decimales.

Finalmente, sustituimos en la ecuación y pasamos el resultado a kilómetros:

$$ e = v\cdot t $$ $$e = \frac{5\text{ m}}{\text{s}} \cdot 7200\text{ s} = 36000\text{ m} =36\text{ km}$$

Por tanto, se recorren 36km si se circula a una velocidad de 5m/s durante 2h.

Problema 24

En un maratón de 45 km, el ganador corrió a una velocidad media de 16 km/h mientras que el último clasificado lo hizo a 7.5 km/h. ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar a la meta cada uno de ellos?

Usaremos la forma que venimos usando en los problemas anteriores:

$$ e = v\cdot t $$

Como queremos saber el tiempo, \(t\), vamos a despejar la \(t\) antes de sustituir los datos en la ecuación:

$$ e = v\cdot t \ \rightarrow \ t =\frac{e}{v} $$

Sustituimos los datos para el ganador:

$$ t= \frac{45\text{ km}}{16\text{ km/h}} = 2.81\text{ h} \simeq 2\text{ h}\ 48\text{ min} $$

Para escribir el tiempo en horas y en minutos hemos realizado las siguientes operaciones:

$$2.81\text{ h} = 2\text{ h} +0.81\text{ h} =$$ $$= 2\text{ h} + 0.81\cdot 60\text{ min} \simeq 2\text{ h}\ 48\text{ min}$$

Sustituimos los datos para el último clasificado:

$$ t= \frac{45\text{ km}}{7.5\text{ km/h}} = 6\text{ h}$$

Por tanto, el primer clasificado tardó 2h y 48min y el último tardó 6h.

Problema 25

La distancia entre las ciudades A y B es de 50 km. A la misma hora, salen un camión de la ciudad A a 60 km/h y un ciclista de la ciudad B a 25 km/h. Se desea calcular cuánto tardarán en encontrarse si ambos vehículos circulan por la misma carretera pero en sentido opuesto.

Tenemos los siguientes datos iniciales:

Cuando los dos vehículos se encuentran, el camión ha recorrido una distancia mayor que el ciclista (ya que su velocidad es mayor). Como no conocemos esta distancia, la llamaremos \(x\). Asimismo, el ciclista habrá recorrido \(50-x \text{ km}\).

El esquema del problema es el siguiente:

A los datos iniciales tenemos que añadir el espacio recorrido por el camión

$$ e_c=x $$

y el recorrido por la bicicleta

$$ e_b = 50-x$$

Los tiempos son los mismos ya que ambos salen en el mismo instante:

$$ t_c = t_b $$

Sustituimos en la ecuación los datos del camión:

$$ e_c=v_c \cdot t_c $$

$$ x=60\cdot t_c $$

$$ t_c = \frac{x}{60}$$

Por otro lado, si sustituimos los datos de la bicicleta tenemos

$$ e_b=v_b \cdot t_b $$

$$ 50-x=25\cdot t_b $$

$$ t_b = \frac{50-x}{25}$$

Pero, como ya hemos dicho anteriormente, los tiempos son el mismo para ambos vehículos y, por tanto, podemos igualarlos obteniendo así una ecuación de primer grado:

$$ t_c = t_b $$

$$ \frac{x}{60} = \frac{50-x}{25} $$

Resolvemos la ecuación:

$$ 25x = 3000 - 60x$$

$$ 85x = 3000$$

$$ x = \frac{3000}{85} \simeq 35.3$$

Por tanto, cuando se encuentran, el camión ha recorrido unos 35.3 km y el ciclista 50 - 35.3 = 14.7 km.

Como queremos saber el tiempo, sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones que tenemos:

$$ t_c = \frac{x}{60} =$$ $$ = \frac{35.3\text{ km}}{60\text{ km/h}} \simeq 0.59\text{ h} = 35.4\text{ min}$$
Problema para pensar
Encontrar el mayor y el menor número positivo de tres cifras en los que la segunda cifra es el triple de la primera y la tercera el cuádruple de la primera.

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PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO: EJERCICIOS RESUELTOS: ESO

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Problemas cuya resolución requiere el planteamiento de una ecuación de primer grado. Problemas de hallar números, calcular edades, calcular velocidad y distancia recorrida, demostraciones de números pares, impares y consecutivos.

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Primero analice los datos otorgados
Después observe las incógnitas de lo que tenía que buscar
Posteriormente procedí a realizar reglas de tres, con la finalidad de encontrar cuantas toneladas de “x” azúcar se producen con “x” cantidad de materia prima (garapo) otorgado.
Siendo mis resultados los siguientes:
A la semana se producen
7.5 ton de azúcar morena
6 ton de azúcar blanca
5.8482 ton de azúcar glass
2.5 ton de melaza
(Este método no lo utilice por sistemas de ecuaciones, ya que mi idea para la resolución de este problema fue utilizar la lógica  por medio de operaciones comunes).

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SISTEMAS DE ECUACIONES - LOS 3 MÉTODOS EXPLICADOS!

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Para poder resolver este tipo de problemas es necesario tener conocimiento en los tipos de métodos que existen, así como los métodos algebraicos de despeje y/o el planteamiento de ecuaciones lineales.

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Ejercicios resueltos del método de Gauss - Vitutor

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Ejercicios resueltos del método de Gauss, clasificar y resolver sistemas de ecuaciones lineales, Bachillerato.

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ELIMINACION DE GAUSS - SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES - EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS - BACHILLER

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Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante eliminación de Gauss.

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Tutorial para la solución de sistemas de ecuaciones 4 incognitas

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Gracias a las investigaciones realizadas pude identificar que es un sistema de ecuaciones y algunos de sus tipos de métodos para la solución de los mismos, algunos de ellos como el método de igualación, Gauss, y Gauss Jordan.

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En primer lugar se tendría que hacer la identificación de los datos, posteriormente se plantea la o las ecuaciones con los datos antes mencionados, cabe destacar  que en este caso son 4.
se solucionan, con los distintos  métodos que aplican para ellos, por ejemplo el método de igualación.

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En este video nos muestran la resolución de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas, si buscamos tres datos está sería la más probable a utilizar, además de ser por el método de eliminación.

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 3×3 - Ejercicio 1

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En este vídeo se nos presenta un problema se ecuaciones lineales que tenemos que convertir de lenguaje común a algebraico.
El video nos indica cómo resolverlo.

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Problema 1 con SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2×2

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Gracias a esta asignación pude recordar cómo realizar un sistema de escuciones lineales y la forma de resolverlo, aplicar la regla de tres y a por consecuencia gracias a la investigación aprender nuevos conceptos que desconocía.

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En esta página se encuentra una aplicación para resolver sistemas de ecuaciones lineales por los distintos métodos:

1. Sustitución

2. Igualación

3. Reducción

4. Determinantes (regla de Cramer)

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¿Quieres aprender a resolver sistemas de ecuaciones? ¿Quieres conocer el desarrollo completo paso por paso?

Matemáticas Ecuaciones es una aplicación simple e intuitiva para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante los siguientes métodos:

El autor de la aplicación se nos comparte lo siguiente:

Soy profesor de informática y desarrollo aplicaciones móviles. He desarrollado una aplicación llamada "Matemáticas Ecuaciones ". Su utilidad principal es resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas por varios métodos. Su punto fuerte es que la aplicación explica los métodos paso a paso hasta obtener la solución final. También se puede representar gráficamente la solución en un sistema de ejes cartesianos.

FUNCIONES PRINCIPALES
- Introducción intuitiva del sistema de ecuaciones con un panel de vista previa antes de la resolución del sistema
- Descripción paso a paso del proceso completo de resolución desde el inicio hasta la obtención de la solución
- Descripción teórica de cada uno de los métodos
- Representación gráfica de la solución en un sistema de ejes cartesianos. Se puede apreciar el punto exacto de la intersección a la vez que se puede deslizar el panel para moverse por cualquier parte de la gráfica.
Un punto a destacar es que la aplicación está optimizada para tablets
Aquí podemos ver un pequeño video que muestra su uso

Estudiantes, en cualquier nivel académico.

Profesores, para introducirlo en sus métodos de enseñanza.

Cualquier persona con interés en el maravilloso mundo de las matemáticas.

AVISO
Los métodos de Sustitución, Reducción y Determinante están disponibles con cargo adicional

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Aplicación para resolver sistemas de ecuaciones (para Android)

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¿Quieres aprender a resolver sistemas de ecuaciones? ¿Quieres conocer el desarrollo completo paso por paso? Matemáticas Ecuaciones es una aplicación simple e intuitiva para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante los siguientes métodos: El autor de la aplicación se nos comparte lo siguiente: Soy profesor de informática y desarrollo aplicaciones móviles.

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Para este problema es fácil utilizar la regla de tres aún que también es viable por ecuaciones lineales.
En este ejercicio se determino que la producción de azúcar morena debería abastecer para la producción de azúcar blanca y glas que se deriva de la blanca.
Gracias a esto los resultados obtenidos son los siguientes:
80.4 toneladas de azúcar morena, 25 toneladas para entregar y 59.30 para hacer azúcar blanca.
De azúcar blanca se necesitan 59.30 toneladas, de las cuales, 25 son para entregar y el resto es para producir azúcar glas.
La industria tambien produce melaza que son 25 toneladas.

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Este archivo muestra la forma de realizar sistemas de ecuaciones lineales así como los conceptos básicos necesarios para su entendimiento.

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Al igual que cuando resuelves sistemas de dos ecuaciones, hay tres posibles resultados para la solución de un sistema de tres variables. Estudiemos esto visualmente, aunque no graficaremos estas ecuaciones.