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La posible demostración de la Conjetura de Riemman

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La posible demostración de la Conjetura de Riemman

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La “demostración” de la Conjetura de Riemman

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La “demostración” de la Conjetura de Riemman

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La sonda 'Gravity Probe-B' ha medido con máxima precisión el efecto del planeta Tierra en la curvatura del espacio-tiempo.

Una de las ideas más cautivadoras de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein es que la luz viaja a velocidad constante, describiendo trayectorias que minimizan la distancia entre puntos. Más sorprendente todavía es la conclusión de que el espacio y el tiempo deben curvarse para acomodar este fenómeno. ¿Qué significa esto? ¿Cómo son los espacios curvados? ¿Qué es la curvatura, y cómo se mide?

Dar una definición precisa de qué es la curvatura requiere de conceptos matemáticos avanzados, pero podemos describir la curvatura de manera cualitativa en algunas situaciones. Por ejemplo, cuando el espacio en cuestión es igual para todos los observadores (es decir, es homogéneo) y tiene la misma pinta en todas las direcciones ( isotrópico). Aunque esto no es cierto de manera local para nuestro universo -el Sistema Solar es muy diferente de una región vacía-, el principio cosmológicoafirma que estas propiedades se satisfacen a gran escala.

En estos espacios, la curvatura se mide por el defecto angular de triángulos. Si tenemos tres puntos en el espacio, que conectamos por los caminos más cortos entre ellos (ojo, estos pueden no ser líneas rectas, como ocurre en el caso de una esfera), se obtiene un triángulo con vértices en esos puntos. Para obtener el defecto angular calculamos la suma de los ángulos del triángulo y restamos 180º. El resultado (que puede ser positivo, negativo o cero) es proporcional al área del triángulo, y el cociente del defecto angular por el área es precisamente la curvatura del espacio.

Si la curvatura es cero, nos encontramos con la geometría euclídeaque estudiamos en la escuela, donde todos los triángulos tienen ángulos que suman 180º. A este tipo de espacios los llamamos espacios planos. Cuando la curvatura es positiva, los triángulos son más gordos que los triángulos euclídeos, como los que uno dibuja en una esfera. Por esta razón, este tipo de espacios se llaman esféricos; por supuesto, una esfera es un ejemplo de ellos. Finalmente, si la curvatura toma valores negativos , el triángulo es más fino que un triángulo euclídeo, como el que dibujaríamos en la superficie de una silla de montar, que recibe el nombre de paraboloide hiperbólico. Por esta razón, este tipo de espacios se llaman espacios hiperbólicos. Dar ejemplos de espacios hiperbólicos es más complicado, aunque podemos mencionar la pseudoesfera, que es la superficie que resulta de rotar la curva llamada tractriza lo largo de una recta.

La mayor parte de la evidencia experimental (basada en el análisis de la radiación de fondo) sugiere que el universo es plano a gran escala, con un margen de error razonablemente pequeño.

Visualizar la curvatura es más sencillo cuando observamos superficies -objetos de dos dimensiones- dentro del espacio tridimensional. En este caso, la curvatura mide cómo y cuánto, la superficie se retuerce en el espacio

Visualizar la curvatura es más sencillo cuando observamos superficies -objetos de dos dimensiones- dentro del espacio tridimensional. En este caso, la curvatura mide cómo y cuánto, la superficie se retuerce en el espacio. De manera más concreta, si la superficie tiene curvatura positiva, cada uno de sus puntos parece una cúpula; si la curvatura es cero, entonces la superficie parece una línea recta en al menos una dirección, como en el caso de un plano o un cilindro; finalmente, todo punto de una superficie de curvatura negativa es un punto de silla: cerca del punto, la superficie se curva "hacia arriba" en una dirección, y "hacia abajo" en otra, como ocurre cerca de los bordes de una hoja de kale.

En general, una superficie puede tener puntos de curvatura positiva, negativa y nula, como ocurre con la superficie de un dónut. Si imaginamos esta superficie apoyada en el suelo, los puntos del círculo interior tienen curvatura negativa; los del círculo exterior, curvatura positiva; y los de los círculos superior e inferior, curvatura cero.

Por supuesto, ser capaz de observar un objeto desde fuera ofrece un punto de vista inmejorable para describir su forma. En esta situación, la curvatura hace referencia a una cualidad extrínseca de la superficie, que describe su forma en función del espacio que la rodea. No podemos disponer de este punto de vista en el caso de nuestro universo, ya que no hay nada fuera de él. De esta manera, la curvatura se convierte en una cualidad intrínseca y ofrece información sobre la forma del espacio tal y como sería percibida por una persona que viviera en él, sin ningún conocimiento de un espacio exterior, como ocurre con el defecto angular.

El hecho de que ambos puntos de vista coinciden fue demostrado por uno de los padres de la geometría moderna, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1885), quien quedó tan impresionado por su descubrimiento que lo llamó Theorema Egregium (teorema notable).
Javier Aramayona Jeffrey F. Brock Edición y coordinación: Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas". Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT). es decano de ciencias de la Facultad de Artes y Ciencias y decano de Ingeniería y Ciencia Aplicada en la Universidad de Yale (EE UU), donde ocupa la Cátedra Zhao and Ji de Matemáticas. es científico titular en el Consejo Superior de Investigaciones Científicas y miembro del ICMAT.

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Una de las ideas más cautivadoras de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein es que la luz viaja a velocidad constante, describiendo trayectorias que minimizan la distancia entre puntos. Más sorprendente todavía es la conclusión de que el espacio y el tiempo deben curvarse para acomodar este fenómeno.

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ESTADÍSTICA Y ECONOMÍA.

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"Cualquier número natural se puede escribir como la suma de cuatro números naturales al cuadrado." - Lagrange, 1770. Me flipa.

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"Cualquier número natural se puede escribir como la suma de cuatro números naturales al cuadrado." - Lagrange, 1770. Me flipa. https://t.co/fe2f0w67Ss

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— Lemnismath (@Lemnismath) April 27, 2021

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"Cualquier número natural se puede escribir como la suma de cuatro números naturales al cuadrado." - Lagrange, 1770. Me flipa.

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Personas famosas que estudiaron matemáticas: literatura y cine — Cuaderno de Cultura Científica

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El día de Reyes de este año 2019, como todos los años, se concedía en Barcelona el Premio Nadal de novela, que la editorial Destino (ahora perteneciente al grupo Planeta) concede, desde el año 1944, a la mejor novela inédita. El ganador de esta 75ª edición era el escritor argentino Guillermo Martínez, por su novela Los crímenes de Alicia, una novela de intriga en la que dos matemáticos investigan una serie de crímenes relacionados con Lewis Carroll, el autor de Alicia en el País de las Maravillas.

El escritor Guillermo Martínez (Buenos Aires, 1962), que muchas personas conocerán por su novela Los crímenes de Oxford (2003), que fue llevada al cine por el director bilbaíno Alex de la Iglesia, y que es el autor de otras novelas como Acerca de Roderer (1993), La muerte lenta de Luciana B. (2007) o Yo también tuve una novia bisexual (2011), de libros de cuentos, como Infierno Grande (1989) o Una felicidad repulsiva (2013), de libros de ensayos como La fórmula de la inmortalidad (2005) y La razón literaria (2016), muchos de ellos galardonados con diferentes premios, y que colabora con diferentes diarios argentinos, como La Nación o Clarín, es matemático.

Guillermo Martínez, se licenció en matemáticas por la Universidad Nacional del Sur, en Bahía Blanca, en 1984, se doctoró en Buenos Aires en Lógica en 1992 y posteriormente completó estudios posdoctorales en Oxford. Como podemos observar igual que el protagonista de sus dos novelas de intriga. De hecho, también tiene ensayos sobre matemáticas, como los libros Borges y la matemática (2006) o Gödel para todos (2009), este junto al matemático Gustavo Piñeiro. Ha sido profesor de Lógica Matemática y Álgebra en la Universidad de Buenos Aires, aunque ahora está de excedencia, dedicado por completo a la literatura.

Al igual que el escritor Guillermo Martínez, muchas otras personas que han sido conocidas, o famosas, en el mundo de la literatura, el arte, la música, el cine, el deporte o incluso la política, también estudiaron matemáticas, o más aún, se iniciaron en el mundo de esta ciencia, ya sea en la investigación, la empresa o la enseñanza.

En esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica abrimos una pequeña serie dedicada a estas personas, que destacaron en otros ámbitos de la sociedad y la cultura, pero que se graduaron en matemáticas, e incluso realizaron un doctorado. Empezaremos, en la presente entrada, con la literatura y el cine.

Sin ir más lejos, el mencionado escritor inglés Lewis Carroll, autor de Alicia en el país de las maravillas, Alicia a través del espejo, Bruno y Silvia o La caza del Snark, entre otras, era también matemático. Trabajó en el campo de la lógica matemática, aunque publicó en muchos tópicos distintos. De hecho, Lewis Carroll era solo su seudónimo, y se llamaba realmente Charles Lutwidge Dogson (1832-1898).

Pero hay más ejemplos, algunos fueron Premio Nobel de Literatura, como el español José de Echegaray (1832-1916), conocido por su carrera literaria como dramaturgo y poeta que le valió el Premio Nobel de Literatura en 1904, convirtiéndose en el primer español en obtener un Premio Nobel, y también por su paso por la política, fue Ministro de Fomento (1869-1870 y 1872) y de Hacienda (1872-1873).

Sin embargo, el madrileño José de Echegaray era ingeniero y matemático. Realizó importantes contribuciones a las matemáticas y a la física, de hecho, según algunos autores es considerado el mejor matemático del siglo XIX. Algunas de sus obras científicas fueron: i) Cálculo de Variaciones (1858), que era un tema casi desconocido en España; ii) Problemas de Geometría plana (1865); iii) (1865), calificada de Problemas de Geometría analítica por el matemático Zoel García de Galdeano; iv) obra maestra (1867); v) (1867), exponiendo en el mismo la geometría de Chasles; vi) Teorías modernas de la Física (1868) , primera obra en España sobre este tema; vii) Introducción a la Geometría Superior (1868), breve ensayo sobre una ciencia que estaba naciendo entonces. Memoria sobre la teoría de los Determinantes Tratado elemental de Termodinámica

José de Echegaray fue presidente del Ateneo de Madrid (1888); director de la Real Academia Española (1896); senador vitalicio (1900) y dos veces presidente de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales (1894-1896 y 1901-1916); primer Presidente de la Sociedad Española de Física y Química, creada en 1903; catedrático de física matemática de la Universidad Central (1905); presidente de la sección de Matemáticas de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias (1908); y primer Presidente de la Sociedad Matemática Española (1911).

También fue premio Nobel de Literatura, en 1950, el inglés Bertrand Russell (1872-1970). Betrand Russell es conocido por ser uno de los más grandes filósofos del siglo XX, escritor, pacifista controvertido y singular que se opuso a prácticamente todas las guerras modernas, así como al uso y posesión de armas nucleares, aunque en ciertos momentos también defendió la guerra preventiva contra la URSS.

Sin embargo, Bertrand Russell estudió matemáticas en el Trinity College de Cambridge y destacó por su trabajo en lógica matemática, en particular, por su estudio de los fundamentos de las matemáticas. Su gran contribución, en la ciencia de Pitágoras, fue la indudablemente importante obra Principia Mathematica (1910-1913) con su profesor de Cambridge Alfred N. Whitehead (1861-1947), libro en tres volúmenes en donde a partir de ciertas nociones básicas de la lógica y la teoría de conjuntos se pretendía deducir la totalidad de las matemáticas, mostrando así el poder de los lenguajes formales. Un libro profundamente influyente e importante que contribuyó al desarrollo de la lógica, la teoría de conjuntos, la inteligencia artificial y la computación, y que causó un impacto importante en pensadores de la talla de David Hilbert, Ludwig Wittgenstein, que fue su estudiante, Alan Turing, Willard Van Orman Quine y Kurt Gödel.

Otro ejemplo de matemático que obtuvo el Premio Nobel de literatura, en 1970, es el ruso Aleksandr Solzhenitsyn (1918-2008), cuya obra más conocida es el ensayo Archipiélago Gulag (1973), en la que denuncia la represión política de la antigua Unión Soviética. Otras de sus obras son las novelas Un día en la vida de Iván Denísovich (1962), Pabellón del cáncer (1968) o Agosto de 1914 (1971).

Aleksandr Solzhenitsyn estudió matemáticas y física en la Universidad de Rostov. Se graduó en 1941. Poco antes se había casado con la matemática Natalia Dmitrievna Svetlova. Empezó a servir ese mismo año en el ejército soviético hasta 1945 en el cuerpo de transportes primero y más tarde de oficial artillero. Participó en la mayor batalla de tanques de la historia (Batalla de Kursk) y fue detenido en febrero de 1945 en el frente de Prusia Oriental, cerca de Königsberg (hoy Kaliningrado) poco antes de que empezara la ofensiva final del ejército soviético que acabaría en Berlín. Fue condenado a ocho años de trabajos forzados y a destierro perpetuo por las opiniones antiestalinistas que había escrito a un amigo. Lo encerraron en la Lubyanka y los primeros años de su cautiverio los pasó en varios campos de trabajo, gulags, hasta que gracias a sus conocimientos matemáticos fue a parar a un centro de investigación científica para presos políticos vigilado por la Seguridad del Estado; eso le inspiró su novela (1968). El primer círculo

Fue liberado en 1956 y empezó a trabajar como profesor de matemáticas, al tiempo que se dedicaba a escribir y a publicar sus novelas. Tras ser investigado y perseguido por la KGB, sería expulsado de la Unión Soviética en 1974.

Aunque no fue premio Nobel de literatura, Bram Stoker, el autor de la famosa novela Drácula (1897), también era matemático. El escritor irlandés Bram Stoker (1847-1912) se graduó en matemáticas en el Trinity College de Dublín en 1870 y, aunque parece ser que no era verdad, él empezó a decir con el tiempo que se " graduó con honores en matemáticas". Sin embargo, cediendo a los deseos paternos, Bram Stoker siguió la carrera de funcionario público en el Castillo de Dublín, entre 1870 y 1878. Aunque conseguiría su Master of Arts (posgrado) en 1875. En 1878 empezaría a trabajar como asistente del actor Sir Henry Inving y también como gerente del Lyceum Theatre, que pertenecía al mencionado actor.

Entre sus obras nos encontramos un cuento infantil titulado Cómo se volvió loco en número 7(que publicó la editorial Nivola en 2010 y la editorial Gadir en 2013).

Seguimos con más escritores famosos. El argentino Ernesto Sábato (1911-2011), autor de las célebres novelas El túnel (1948), Sobre héroes y tumbas (1961) o Abbadón el exterminador (1874), y también libros de ensayo como Uno y el Universo (1945), Hombres y engranajes (1951), o El escritor y sus fantasmas (1963), estudió físicas y matemáticas en la Universidad Nacional de La Plata, universidad en la que se doctoró en 1937 investigando en temas de física. Después obtuvo una beca para investigar sobre las radiaciones atómicas en el Laboratorio Curie, iría al MIT en 1939 y finalmente regresaría en 1940 a la Universidad Nacional de La Plata, donde trabajó como profesor. En 1943, tras una crisis existencial, abandonó definitivamente su carrera científica y se centró en la literatura y la pintura.

En poesía nos encontramos algunos poetas que son también matemáticos. El gran poeta chileno Nicanor Parra (1944-2018), creador de la antipoesía (en la entrada del Cuaderno de Cultura Científica Los números poéticos 2 [https://culturacientifica.com/2018/07/25/los-numeros-poeticos-2/] incluíamos algunos pequeños poemas relacionadas con las matemáticas), estudió matemáticas y ejerció de profesor de matemáticas. Aunque todos le conocemos como poeta, uno de los grandes de la poesía del siglo XX, tuvo una larga carrera científica.

En 1937 se graduó en matemáticas por la Universidad de Chile y empezó a trabajar como profesor, primero en el Liceo de Santiago, después como profesor de física y matemáticas en el Liceo de hombres de Chillán, de donde procedía él, y de nuevo en Santiago, tras el terremoto de Chillán, dando clases de física en un internado y de matemáticas en la Escuela de Artes y Oficios. Después, en 1943 consiguió una beca para hacer un posgrado en Mecánica Avanzada en la Universidad de Brown, en EEUU, y a su regreso a Chile, en 1946, se incorporó como profesor de Mecánica Racional en la Universidad de Chile. Posteriormente fue director de la Escuela de Ingeniería. En 1949 se fue a estudiar cosmología a la Universidad de Oxford (en Inglaterra).

Por supuesto que, durante todo ese tiempo, en paralelo, desarrolló una fructífera carrera literaria, que es la que lo hice conocido mundialmente. Las décadas de los años 1950 y 1960 se dedicó en cuerpo y alma a la literatura y el arte. Los primeros años de la década de 1970, fueron políticamente complicados en Chile. En 1973, tras el golpe de estado de Pinochet, entró a formar parte del Departamento de Estudios Humanísticos de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Chile. Y con el regreso de la democracia, abandonó completamente su carrera científica y docente.

El poema Pensamientos ...

O, por ejemplo, en el mundo del teatro tenemos al dramaturgo español Juan Mayorga, autor de magníficas obras teatrales como El chico de la última fila (2006), La tortuga de Darwin (2008), El cartógrafo (2009), Reikiavik (2012), El arte de la entrevista (2014), o Intensamente azules (2018), que hemos podido disfrutar últimamente en nuestros teatros. Además, recibió el Premio Nacional de Teatro en 2007, Premio Nacional de Literatura Dramática en 2013 y en 2018 fue elegido Miembro de la Real Academia Española, letra M.

Este dramaturgo madrileño se licenció, en 1988, en Matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid y en Filosofía en la UNED. A partir de 1994 y durante cinco años fue profesor de matemáticas en diferentes institutos de Madrid y Alcalá de Henares. Desde entonces su carrera se ha centrado fundamentalmente en el teatro, como autor y como docente, pero también fundando compañías teatrales y teatros. Aunque, en 1997 se doctoró, por la UNED, en Filosofía.

A pesar de todo, como él mismo dice, las matemáticas son para él una pasión que descubrió en la adolescencia y nunca me le han abandonado, las matemáticas le han formado como hombre, pero también le forman como dramaturgo. Más aún, podemos encontrar rastros de matemáticas en algunas de sus obras, por ejemplo, en El chico de la última fila o en Intensamente azules. De esta última:

Siete pasos después me he cruzado con un hombre que llevaba puestas unas gafas de nadar intensamente amarillas. Lo he seguido con discreción hasta un bar de nombre El Número i desde cuyo exterior he observado el interior. [...] "Este bar tiene forma de raíz cuadrada de menos uno", me he dicho [...]. En una pared del bar hay un retrato de Euler, inventor de los números imaginarios.

Bueno, hemos destacado algunos nombres dentro de la literatura, aunque hay más, como el novelista J. M. Coetzee, premio Nobel de Literatura en 2003, el escritor y guionista, por ejemplo, del programa de tv La bola de Cristal, Carlo Frabetti, el escritor Ricardo Gómez que escribe tanto literatura infantil y juvenil, como para adultos, el escritor de ciencia ficción Larry Niven, o la escritora Catherine Shaw (seudónimo de la matemática Leila Schneps) que ha escrito novelas de misterio relacionadas con las matemáticas como La incógnita Newton, entre otros.

Pero si pensamos en otros campos diferentes de la literatura y que podrían parecernos a priori más lejanos aún de las matemáticas, como puede ser el cine, ¿existirán también ejemplos de personas que se han hecho famosas dirigiendo o interpretando películas, pero que han estudiado matemáticas?

Danica McKellar se graduó, cum laude, en matemáticas por la Universidad de California, Los Ángeles (UCLA), en 1998, con 23 años (nació en 1975). Después empezó a investigar en matemáticas, llegando a publicar un artículo en el que se recoge el resultado conocido como " Teorema de Chayes-McKellar-Winn ".

También ha publicado, en los últimos años, libros infantiles, como Buenas noches números (2017), Diez mariposas mágicas (2018) o Bathtime, Mathtime (Hora del baño, hora de las matemáticas, 2018) y No abras este libro de matemáticas, sumas y restas, (2018).

La actriz estadounidense Teri Hatcher (California, 1964) que muchas personas conocerán por su papel en la serie Mujeres desesperadas y que tiene una larga carrera entre el cine y la televisión, entre las que destacan, en popularidad, la serie Louis y Clark, Las nuevas aventuras de Superman, o la película El mañana nunca muere, también está conectada con las matemáticas.

Teri Hatcher estudió los grados de matemáticas e ingeniería en De Danza College en Cupertino (California), al mismo tiempo que estudiaba actuación en el American Conservatory Theather.

La actriz, escritora, productora y creadora de series web estadounidense Felicia Day (Alabama, 1979), que actuó en series como Buffy cazavampiros, Eureka o Sobrenatural, entre otras, se graduó en matemáticas y música en la Universidad de Texas en Austin. En una entrevista afirmó que siempre había adorado las matemáticas, pero que no eran su carrera definitiva y, de hecho, nunca se dedicó a esta ciencia tras sus estudios.

También estudió Matemáticas en la Universidad de Chicago la actriz Morgan Saylor (Chicago, 1994), de la serie Homeland, en la cual interpreta a Dana Brody. En una entrevista cuenta una anécdota compartida por todas las personas que hemos estudiado matemáticas. Explica que muchas veces al salir con amigos y amigas le piden a ella que haga la cuenta, y explica que su respuesta suele ser " he estudiado matemáticas, no aritmética ".

La actriz estadounidense Jane Alexander (Boston, 1939), que ha actuado en películas míticas como Todos los hombres del presidente (1976), Kramer vs Kramer (1979), Brubaker (1980) o Las normas de la casa de la sidra (1999), entre muchas otras, además de muchísimas series de televisión y obras de teatro, por las que ha recibido varias nominaciones y premios Tony, se graduó en matemáticas y también en teatro en el Sarah Lawrence College de Bronxville, Nueva York.

En España, la actriz madrileña Sofía Nieto (Alcorcón, 1984), de las series Aquí no hay quien viva y La que se avecina, estudió matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid, y luego se especializó en probabilidad, área a la que pertenece su tesis doctoral.

El año 2011, Sofia Nieto presentó uno de los desafíos matemáticos que se publicaron en la página web del periódico El País para celebrar el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Aquí tenemos el desafío que presentó:

Desafío 32: Partículas en movimiento

Solución del desafío 32 (el video de la solución está en la columna de la derecha)

El director de cine Paul Verhoeven (Amsterdam, 1938), que se hizo famoso con películas como Robocop (1987), Desafío Total (1990), Instinto Básico (1992), El hombre sin sombra (2000), entre otras, se graduó por la Universidad de Leiden en Matemáticas y Física. Se unió a la armada neerlandesa y fue allí donde empezó a rodar y a hacer sus primeros documentales, luego entró en la televisión y ya no dejaría su carrera de director.

Y como es bien conocido, dentro del equipo de guionistas y productores de Los Simpson y Futurama, hay muchas personas que han estudiado matemáticas, física u otras ciencias. En particular: A) J. Stewart Burns: Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Harvard y Máster en Matemáticas por U.C. Berkeley. Productor y Guionista de Futurama (y de Los Simpsons desde 2002); B) Al Jean: Licenciada en Matemáticas por la Universidad de Harvard. Ha estado en el equipo de Los Simpsons desde el principio, aunque en la actualidad es Productora Ejecutiva y guionista de esta serie; C) Ken Keeler: Doctor en Matemática Aplicada por la Universidad de Harvard y Máster en Ingeniería Electrónica. Productor Ejecutivo y Guionista de Futurama, aunque antes había sido guionista para Los Simpsons.
Bibliografía
1.- Página web del escritor Guillermo Martínez

2.- Página de Wikipedia sobre José de Echegaray

3.- Página de Wikipedia de Bertrand Russell

4.- Página de Wikipedia de Aleksandr Solzhenitsyn

5.- Página de Wikipedia de Ernesto Sábato

6.- Jean Vallier, C'était Marguerite Duras: Tome 1, 1914-1945, Fayard, 2006.

7.- Página de Wikipedia de Nicanor Parra

8.- Página web de Juan Mayorga

9.- Página de Wikipedia de Danica McKellar

10.- Página de Wikipedia de Teri Hatcher

11.- Página de Wikipedia de Felicia Day

12.- Página de Wikipedia de Morgan Saylor

13.- Página de Wikipedia de Jane Alexander

14.- Página de Wikipedia de Paul Verhoeven

15.- Simon Singh, Los Simpson y las matemáticas, Ariel, 2013

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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Personas famosas que estudiaron matemáticas: literatura y cine

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El día de Reyes de este año 2019, como todos los años, se concedía en Barcelona el Premio Nadal de novela, que la editorial Destino (ahora perteneciente al grupo Planeta) concede, desde el año 1944, a la mejor novela inédita. El ganador de esta 75ª edición era el escritor argentino Guillermo Martínez, por su novela ...

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“Los algoritmos aumentan las desigualdades sociales”

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La matemática Cathy O'Neil ha dado la voz de alarma sobre cómo los algoritmos pueden empeorar la vida de las personas. O'Neil, doctora en Matemáticas por la Universidad de Harvard y postdoctorada en el departamento de Matemáticas del MIT, trabajó como analista cuantitativa para un destacado fondo de cobertura en medio de la crisis crediticia.

"La crisis financiera dejó bien claro que las matemáticas no solo estaban profundamente involucradas en los problemas del mundo, sino que además agravaban muchos de ellos. La crisis inmobiliaria, la ruina de grandes entidades financieras, el aumento del desempleo: todo esto había sido impulsado e inducido por matemáticas que blandían fórmulas mágicas", explica.

Lejos del solucionismo tecnológico, que pregona que los modelos matemáticos conducen a sociedades más igualitarias porque juzgan con las mismas reglas cualquier asunto, O'Neil alerta de que, en realidad, ocurre todo lo contrario.

En el libro Armas de destrucción matemática. Cómo el big data aumenta la desigualdad y amenaza la democracia (Capitán Swing, 2016), O'Neil señala que los algoritmos, incontestables, secretos y discriminatorios, dan forma a nuestro futuro como individuos y como sociedad. Sirven para calificar a profesores y estudiantes, conceder (o negar) préstamos, ordenar currículos, evaluar a los trabajadores, dirigir a los votantes, determinar horarios comerciales e incluso fijar condenas judiciales.

O'Neil visita por primera vez Barcelona para participar como conferenciante principal del festival The influencers, celebrado en el CCCB el pasado fin de semana. Hablamos con ella para reflexionar sobre los peligros del big data, los sesgos de los algoritmos y el impacto de los modelos predictivos.

¿Por qué afirma que los algoritmos son armas de destrucción matemática?

Los algoritmos sobre los que alerto son modelos matemáticos que cumplen tres requisitos. En primer lugar, son modelos incontestables. Les otorgamos el poder mágico de solucionar de manera justa cualquier problema que tenemos, desde encontrar la persona adecuada para un lugar de trabajo hasta ordenar la información que recibimos a través de las redes sociales. Segundo, son secretos. Desconocemos sobre qué reglas han sido construidos y a menudo no somos conscientes de que nos estamos sometiendo a su juicio. La transparencia importa, pero en estos casos siempre hay un "secreto industrial" que impide conocer el origen y la existencia de estos algoritmos. Tercero, son modelos injustos. Bajo ese secretismo los algoritmos suelen operar contra los intereses de las personas. Estas tres características hacen que los algoritmos no solucionen los problemas que tenemos, sino que los hagan peores

Usted trabajó como analista de big data para un importante fondo de cobertura en los años de la crisis, ¿qué papel tuvieron los algoritmos en ese contexto?

Las hipotecas subprime que se acumularon durante el auge inmobiliario no eran algoritmos defectuosos. Eran instrumentos financieros y tenían poco que ver con las matemáticas. Sin embargo, cuando los bancos empezaron a cargar las hipotecas basura en distintas clases de títulos para venderlas, sí que utilizaron modelos matemáticos, algoritmos. La internacionalización de la crisis se debió, en parte, a cómo las agencias de calificación manejaban los datos para hacer confiables unas hipotecas que no lo eran. Las agencias daban la triple A, el símbolo de mejor producto financiero, a hipotecas de clientes poco solventes, a sabiendas de lo que estaban haciendo y lo que ello podía representar para el sistema financiero. El poder de la informática moderna impulsó el fraude hasta una escala sin precedentes de la historia.

Alerta de que los algoritmos también están detrás de nuestra dieta informativa. Muchas personas acceden a las noticias a través de Facebook, ¿cuáles son los riesgos?

En primer lugar, el tipo de publicidad que hay en esas plataformas. La publicidad de las redes sociales, distribuida a través de un algoritmo, está hipersegmentada y se envía a partir de todos los datos que la empresa tiene sobre cada persona. Las tecnológicas, que registran nuestros patrones de navegación digital, saben todo sobre nosotros y nos ofrecen publicidad que apela a nuestras emociones. El algoritmo de Facebook, por otro lado, decide qué noticias nos muestra y en qué orden. Nos ofrece información que sabe que nos va a gustar y sobre la que haremos clic. Este fenómeno se conoce como "cámara de eco" y hace referencia a que las tecnológicas nos ofrecen la información que refuerza nuestras creencias.

Debemos ser responsables sobre nuestro comportamiento digital.

Sí, y debemos asumir que, aunque Facebook actuara de otra manera, hay algo en nuestra condición humana que nos empuja a tener ese comportamiento. Es más fácil moverse en un contexto que nos resulta cómodo que en uno que nos es hostil. Nosotros mismos compartimos cosas en Facebook porque nos gustaría que fueran verdad, no porqué lo sean. La tecnología facilita ese tipo de comportamiento.

Los medios de comunicación también buscan influir en los ciudadanos con determinados contenidos...

Los medios tradicionales, a través del gatekeeper, el periodista que filtraba y jerarquizaba la información, mantenía a raya las voces más extremas. Los algoritmos de las redes sociales, sin embargo, han amplificado estas voces. Además, una de las cosas más preocupantes de las tecnológicas es que tienen mucho poder, pero ninguna responsabilidad. Se esconden bajo una apariencia de neutralidad a pesar de tener una fuerte influencia en las democracias actuales.

Usted asegura que el sistema judicial estadounidense se basa en los algoritmos para calificar a los delincuentes y dictaminar condenas. ¿Qué consecuencias tienen los programas predictivos en el sistema judicial?

Los programas predictivos de delitos son la última moda en los departamentos policiales de los Estados Unidos. Estos programas procesan los datos históricos de delincuencia de una ciudad y realizan un cálculo para determinar los días y las horas en las que es más probable que se cometa un delito. Con presupuestos bajo mínimos en todo el país, los departamentos de policía patrullan los cuadrantes identificados como peligrosos en cada momento y publican índices de delincuencia a la baja. Las faltas leves son endémicas en muchos barrios empobrecidos. Este tipo de sistemas ponen el foco determinados delitos e invisibilizan otros, generando un mapa de la delincuencia que en realidad traza el rastro de la pobreza.

Se crea un bucle de retroalimentación pernicioso.

Sí, y las cárceles se llenan de pobres de color. En los Estados Unidos las condenas de cárcel impuestas a hombres de color son un 20% más largas que las impuestas a hombres blancos por delitos similares. Podríamos pensar que la utilización de modelos informatizados debería reducir la influencia de los prejuicios en las condenas y que contribuiría a que el trato sea imparcial. Esa es la esperanza que ha impulsado a más de una veintena de estados del país a recurrir a los llamados modelos de reincidencia, que ayudan a los jueces a evaluar el peligro que representa cada individuo.

Pero no es así.

Uno de los modelos más populares incluye algunas preguntas que es fácil imaginar que los reclusos de origen privilegiado contestarán de una manera y los de los barrios pobres de otra. Por ejemplo, cuestiones acerca de "la primera vez que tuvo trato con la policía" o si amigos y familiares tienen antecedentes penales. Las bases de datos que construyen los policías son incompletas y contienen sesgos que no favorecen a las minorías.

¿Y los jueces toman decisiones en función de esas bases de datos?

En algunos estados, estos datos se utilizan únicamente para identificar a los reclusos con puntuaciones de alto riesgo para incluirlos en programas de prevención de reincidencia. Aunque en otros, sirven para decidir condenas.

¿Cuál es el papel de los algoritmos en los procesos de selección de empleo?

Cada vez más empresas utilizan algoritmos para la selección de personal. Puede ocurrir que un candidato sea descartado por los datos que hay en la red sobre él. Kyle Behm, por ejemplo, es un estudiante de grado al que se le negó un trabajo en un supermercado basándose en unos datos que la empresa recogió de él en una prueba de personalidad. Fue descartado porque anteriormente había sido tratado en un hospital por trastorno bipolar. Su caso podría representar una violación de la ley estadounidense de discapacidades y está pendiente de juicio.

La semana pasada Amazon reconocía que un algoritmo interno utilizado para promover a sus trabajadores tenía sesgo por razones de género.

Sí, Amazon ha hecho algo que muy pocas compañías hacen: auditar sus propios algoritmos. En este proceso descubrieron que uno de ellos perpetuaba el sesgo de la industria tecnológica contra las mujeres. Una universidad de mujeres en la sección de educación de un currículum era un demérito automático. Por contra, la presencia de vocabulario típicamente masculino, como "ejecutivo", era un punto a favor. Lo que hace destacable el caso de Amazon es que descubrió el sesgo y decidió no usar el algoritmo. Eso es mucho más de lo que la mayoría de las empresas pueden decir.

En el terreno laboral, alerta también sobre el clopening. ¿De qué se trata?

Es un nuevo verbo que han inventado las grandes corporaciones en Estados Unidos y viene de close, cerrar, y open, abrir. Cada vez es más habitual que los trabajadores con salarios bajos en empresas como Starbucks y McDonald's tengan horarios irregulares como resultado de la economía de datos. El big data permite conocer los días de más actividad de una tienda e incluso las horas de mayor afluencia de clientes, y el análisis de datos se pone al servicio de la máxima optimización de la empresa al mismo tiempo que descuida la salud y la conciliación del trabajador que conoce los turnos casi sin previo aviso. El clopening es lo que hace un empleado que trabaja hasta el cierre por la noche en una tienda y vuelve unas horas más tarde, antes del amanecer, para abrir.

¿El problema está en los algoritmos o en los matemáticos e ingenieros que los diseñan?

El problema radica en las personas que los diseñan, sin duda. Y la mayoría de ellos cumplen un mismo prototipo: son hombres blancos de mediana edad que se han formado en universidades de élite de los Estados Unidos.

¿La solución pasa por educar a los futuros matemáticos e ingenieros para que no introduzcan tales sesgos en sus modelos matemáticos?

Sí, pero en Silicon Valley no interesa este discurso. Las grandes empresas tratan de fingir que tales problemas no existen, incluso cuando se duplican y triplican los algoritmos de reclutamiento, despido u otros recursos humanos, e incluso cuando venden o implementan algoritmos de crédito, seguros y publicidad. Las universidades tampoco están ofreciendo respuestas. La tecnología va demasiado rápido. La ética debería aplicarse en universidades y empresas, pero eso es algo que no se hace.

En los últimos años hemos visto que ingenieros de Facebook y Google han abandonado sus lugares de trabajo porque no estaban de acuerdo con los productos que estaban diseñando e implementando, y han fundado sus propias compañías. ¿Ve ahí algo de esperanza?

Está bien que empecemos a ser conscientes de los riesgos de cuantificarlo todo, pero soy escéptica con estos objetores de conciencia de Silicon Valley. Los trabajadores de Google también han alzado la voz por la participación de la empresa en un programa del Pentágono que utiliza la inteligencia artificial para interpretar mejor las imágenes captadas por drones que se utilizan en las guerras. El poder de estas personas y sus proyectos no es comparable, de momento, al de los gigantes tecnológicos.

¿Y qué hay sobre la regulación? ¿Hace falta crear nuevas normas o sería suficiente con aplicar las que hay?

Sería suficiente con aplicar la legislación existente, pero tampoco se hace. Las grandes corporaciones prefieren mirar hacia otro lado y negar los problemas. Este año hemos visto al fundador de Facebook, Mark Zuckerberg, mentir de manera descarada en el congreso de los Estados Unidos. Confío en que más casos como los de Facebook, Amazon o Google harán que legisladores y periodistas aten cabos acerca de lo que está pasando. Pero las matemáticas asustan porque se desconocen. Y por ello se les otorgan poderes mágicos. Es crucial entender que, bajo la apariencia de neutralidad de los algoritmos, hay decisiones morales que perpetúan y aumentan las desigualdades sociales.

¿Cómo imagina el futuro si no tomamos medidas para frenar el discurso del solucionismo tecnológico?

Podemos mirar a China para saber lo que vendrá. China utiliza el big data para conceder o denegar préstamos, pero también para puntuar a las personas en función de su ideología. Allí está surgiendo un complejo sistema de control y vigilancia que podría exportarse internacionalmente. China se encuentra en medio de una revolución digital y ya ha dejado claro que se trata de una prioridad estratégica nacional.

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"Los algoritmos aumentan las desigualdades sociales"

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La matemática Cathy O'Neil ha dado la voz de alarma sobre cómo los algoritmos pueden empeorar la vida de las personas. O'Neil, doctora en Matemáticas por la Universidad de Harvard y postdoctorada en el departamento de Matemáticas del MIT, trabajó como analista cuantitativa para un destacado fondo de cobertura en medio de la crisis crediticia.

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La paradoja de Russell y la evolución del pensamiento matemático.

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La paradoja de Russell y la evolución del pensamiento matemático.

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Qué es el último teorema de Fermat y por qué los matemáticos demoraron 3 siglos en resolverlo - BBC News Mundo

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Si no puedes ver el video haz clic aquí.

En 1637 el francés Pierre de Fermat escribió una conjetura en el margen de una página del libro "Los Elementos", de Euclides.

Esta anotación, en la que Fermat decía que no tenía espacio para desarrollar su maravillosa demostración, hizo que durante siglos los matemáticos más brillantes se devanaran los sesos para resolver un problema que se fue convirtiendo en un mito.

Hasta que que un hombre lo consiguió.

En este video te contamos la fascinante historia del último teorema de Fermat y del matemático que logró demostrarlo más de tres siglos después.

Investigación, guion y presentación: Ana Pais | Video y animaciones: Tere Lari.

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Qué es el último teorema de Fermat y por qué los matemáticos demoraron 3 siglos en resolverlo - BBC News Mundo

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El francés Pierre de Fermat dejó anotada en el margen de un libro una conjetura que hizo devanarse los sesos a los matemáticos durante siglos. En este video te contamos la fascinante historia de ese teorema y del matemático que logró demostrarlo más de 300 años después.

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Este generador de fractales se basa en el algoritmo iterativo de selección de puntos que expliqué en el tema anterior. Se trata de una aplicación cuyo funcionamiento básico es el mismo que el usado en el trazador de gráficas matemáticas, pero ahora al estar específicamente destinado a esta tarea resulta más eficiente.

Además podemos modificar las configuraciones de generación del fractal. La imagen es una captura de uno de los ejemplos incluidos en la aplicación, cuyo original es de 400×400 píxeles.

Declarar plano XY [x1,x2]×[y1,y2]
Bucle x=x1 hasta x=x2
    Bucle y=y1 hasta y=y2
        Bucle seleccionador de puntos
            Si (x,y) cumple la condición de selección
                Salir de este bucle
            Fin si
        Fin bucle
        Si completamos este bucle
            Pintar punto (x,y)
        Fin si
    Fin bucle
Fin bucle

Espero seguir mejorando algunos aspectos, como disminuir los tiempos de proceso para que se genere más rápidamente el fractal. De todas formas para un plano de 400×400 píxeles suponen un total de 160000 iteraciones de los bucles exteriores (resaltado en amarillo), a las que hay que sumar las de escape del bucle seleccionador (en verde). Por ejemplo, con un valor de escape 30 para el Conjunto Julia en (-0.75,0) obtenemos 1384204 iteraciones en total. En mi ordenador esto lleva unos 5 segundos con Chrome 17.0. El asunto estaría en reducir los tiempos de cálculo matemático y otros procesos como la gestión de colores.

Actualizaciones:

23 Julio 2017: Las medidas del canvas se adaptan al ancho del contenido, cualesquiera que sean esas medidas. Las medidas se ajustan también al redimensionar la ventana. Se incorporan iconos SVG. Se quitan todos los atributos de eventos en línea ( onclick, onchange, etc) y se adjudican eventos en la carga del módulo.

11 Octubre 2013: Adaptado para su visualización en dispositivos móviles que tiene un ancho menor de viewport y que soporten eventos de toque (touch events). Ahora el ancho del Canvas se fija en 600×600 píxeles si la pantalla es igual o mayor de ese ancho. En otro caso las medidas del Canvas se ajustan para que quepa en el ancho de pantalla.

30 Junio 2013: Modificaciones debido a un distinto comportamiento de Firefox 18-22 con el soporte transferable. Ver nota de soporte web workers transferable en Firefox 18-22. Las modificaciones afectan al script fractal.js en las funciones que envían y reciben del Worker getWorker() e iteraWorker(). En el worker fractal-worker.js también hay modificaciones comentadas.

14 Abril 2012: Incorporado Web Workers para una ejecución más rápida. Aunque en navegadores que no lo soporten aún puede ejecutarse sin esta opción. Ver más en HTML5 Web Workers. En Chrome 18.0 el Julia de muestra de 400×400 píxeles en (-0.75,0) se ejecuta SIN WORKER en unos 2.5 segundos y CON WORKER (incluyendo Transferable) en menos de 150 ms en promedio de ejecuciones en el mismo ordenador.

28 Marzo 2012: La nueva versión Chrome 18.0 incorpora mejoras en el renderizado de gráficos, especialmente para el elemento <canvas> en su contexto 2D. Esto beneficia al generador de fractales. Ver nota en blog de Chromium. Con chrome://gpu podemos acceder a las características de aceleración de gráficos del ordenador que son usadas por Chrome. Si la aceleración de gráficos por hardware no estuviera disponible, Chrome usará aceleración por software. En Chrome 18.0 el Julia de muestra de 400×400 píxeles en (-0.75,0) se ejecuta en unos 2.5 segundos en el mismo ordenador (que no tiene aceleración por hardware).

promedio de ejecuciones(la primera ejecución siempre tarda más tiempo, pero si volvemos a ejecutar otra vez el mismo fractal (botón 20 Marzo 2012: Probado por primera vez en Chrome 17.0, Firefox 11.0, Opera 11.61, Safari 5.1. En Chrome 17.0 el Julia de muestra de 400×400 píxeles en (-0.75,0) se ejecuta en unos 5 segundos en Ejecutar) los tiempos disminuyen) en un ordenador Intel Pentium 4, dual cuore, CPU 3.2GHz, RAM 1.5GB y Windows XP.

Algunas utilidades que se usan en esta aplicación y que explico en este sitio:

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Este generador de fractales se basa en el algoritmo iterativo de selección de puntos que expliqué en el tema anterior. Se trata de una aplicación cuyo funcionamiento básico es el mismo que el usado en el trazador de gráficas matemáticas, pero ahora al estar específicamente destinado a esta tarea resulta más eficiente.

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El enigma de los números primos: Del hueso de Ishango al problema del Milenio

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El papiro de Rhind-Ahmés muestra el uso de los números primos - Wikimedia Commons

Iván Blanco Chacón
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Afirmaba Leopold Kronecker, o al menos eso se le atribuye, que Dios hizo los números naturales y que todo lo demás es obra del hombre. Cierto o no, es innegable que los números, y entre ellos los primos, nos acompañan desde nuestros orígenes más remotos.

El hueso de Ishango - Wikimedia Commons

En efecto, el hueso de Ishango, un peroné de babuino datado en torno a 20000 a.C., contiene tres columnas de muescas que indican un primitivo sistema de numeración. Se ha señalado el uso de esta herramienta como método de conteo y que sus usuarios dispondrían de algún conocimiento de la multiplicación. También se ha sugerido su uso como calendario lunar de seis meses. En esta pieza, llama poderosamente la atención que la columna de la izquierda muestra los números 11, 13, 17 y 19, es decir, todos los números primos entre 10 y 20; una partición del número 60 (es decir, 11+13+17+19 = 60).

Desde entonces, los números primos fascinarán a generaciones de matemáticos hasta el punto de que diversas escuelas los han dotado de una aureola de misticismo. ¿Pero qué tienen estos números que tanto nos atraen y tanto nos desconciertan? En este artículo trataremos de dar algunas pistas sobre esta cuestión.

Los números primos en la matemática prehelénica

Si bien se puede argumentar que los números primos ya aparecen indirectamente en la tablilla mesopotámica Plimpton 322, datada en torno a 1800 a.C., es en Egipto y más concretamente en el papiro de Rhind (o de Ahmés, si hemos de atenernos a su autoría), donde se muestran de manera más evidente. Datado en torno a 1650 a.C., se trata de un compendio de 87 problemas resueltos de aritmética y geometría. Lo más relevante para nosotros es el tratamiento de las fracciones unitarias (aquellas de la forma 1/n), y en concreto el problema de expresar fracciones del tipo 2/n como suma de dos unitarias. Con admirable destreza, el escriba lo resuelve para los enteros impares entre 4 y 102, salvo en el caso en que n es primo, considerablemente más difícil, y en el que se conforma con expresarlo como suma de tres.

Pitágoras y Euclides

Sobre Pitágoras de Samos (¿569 a.C-475 a.C.?) se ha escrito mucho, aunque él nada escribió, o nada se conserva. Algunos historiadores han cuestionado su existencia, otros creen que realizó numerosos viajes, en particular por Egipto y Babilonia, donde se formó en las matemáticas y el pensamiento de la época.

Se sabe que los pitagóricos manejaban formalmente los números primos; Filolao de Crotona los llamaba números rectilíneos: aquellos que pensados como sucesiones de puntos no se pueden disponer en varias filas del mismo número de puntos cada una. En terminología de la época: número primo es aquél que no se puede medir por ningún otro.

También descubrieron los números perfectos. Un número perfecto es aquel que se puede expresar como suma de sus divisores propios, por ejemplo 6 = 1+2+3 o 28 = 1+2+4+7+14. La relación entre números perfectos y números primos, observada por Pitágoras, pero demostrada por Euclides unos 200 años después es la siguiente:

En el Siglo XVIII, Leonhard Euler demostraría el recíproco de esta afirmación, caracterizando completamente los números perfectos pares en términos de números primos. A día de hoy no se conoce ningún número perfecto impar.

Pero sin duda alguna es Euclides (325 a.C.-265 a.C.) la figura central de la matemática griega, cuyo tratado "Los Elementos" fue la principal fuente bibliográfica en la materia hasta bien entrado el Renacimiento. No examinaremos aquí la enorme relevancia que supone su obra en el pensamiento matemático (en el pensamiento, en general), sino que nos limitaremos a recoger tres de sus resultados sobre números primos. El primero, ya lo hemos mencionado, es el anterior teorema. El segundo, lo estudiamos en nuestra infancia y es la razón de que los números primos merecen ser llamados así, es decir, de que son, en algún sentido, los átomos de los números naturales:

Teorema fundamental de la aritmética (Euclides, Elementos VII, Proposiciones 30 y 31): Todo numero natural mayor que 1 se expresa como producto de números primos de manera única salvo el orden de los factores. Ejemplo:

Elementos, Euclides. Primera edición inglesa de 1570 - Wikimedia Commons

El tercero demuestra la infinitud del conjunto de los números primos y en el lenguaje de Euclides (a los griegos les horrorizaba el infinito; piénsese en las paradojas de Zenón de Elea) se lee así:

Teorema (Euclides, Elementos, Libro IX, Proposición 60) Los números primos son más que cualquier cantidad dada de ellos.

Demostración: Se prueba por reducción al absurdo, es decir, se supone que lo que se pretende demostrar es falso y mediante una serie de razonamientos válidos se llega a una contradicción, quedando demostrado el enunciado.

Ofrecemos al lector el siguiente problema, de resolución análoga al razonamiento anterior:

Problema: demostrar que existen infinitos números primos de la forma 4n + 3, con n > 0.

Si el lector intenta extender este argumento para probar que existen infinitos primos de la forma 4n+1, se encontrará con un escollo esencial (inténtelo). De hecho, esta cuestión permaneció abierta hasta que Pierre de Fermat, otro gran protagonista de nuestra historia, la resolvió en el S XVII.

...Hanc marginis exiguitas non caperet...

Pierre de Fermat (1601-1665), apodado el príncipe de los aficionados, fue un jurista francés que en sus ratos libres se entregaba a las matemáticas y la principal razón por la que ha pasado a la historia es por el enunciado del llamado "Último Teorema de Fermat", anotado por él mismo en un margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto, otro de los textos de referencia de la Antigüedad. Sin embargo, aquí solo nos centraremos en sus investigaciones sobre números primos.

Comenzamos por el siguiente resultado, que aparece sin demostración en una carta de Fermat a Frenicle de Blessy fechada en octubre de 1640.

Las cosas pueden incluso complicarse más y darse el caso de que un número compuesto sea pseudoprimo en todas las bases coprimas con él. A tales números se les llama pseudoprimos absolutos o números de Carmichael, de los que el más pequeño resulta ser 561. De estos números no se sabe casi nada, aunque se conjetura que existen infinitos.

El pequeño teorema de Fermat constituye mucho más que una curiosidad: al ser una condición necesaria permite descartar si un número candidato a ser primo lo es en realidad: lo descartamos como primo si no satisface la propiedad. Es decir, es un test de primalidad, algo de enorme interés en criptografía, al ser los números primos la base de diversos criptosistemas. Entre ellos destaca RSA, cimentado sobre una generalización debida a Euler del pequeño teorema de Fermat.

Volviendo a la cuestión de la infinitud del conjunto de primos de la forma 4n+1, ésta se desprende, ahora sí, por reducción al absurdo (dejamos los detalles al lector), del siguiente resultado que Fermat envió por carta a su amigo Marin Mersenne el 25 de diciembre de 1640.

Teorema de Navidad (Fermat). Todo número primo de la forma 4n+1 se expresa de manera única como suma de dos cuadrados perfectos. Así:

A propósito de Mersenne, debemos mencionar sus números homónimos, de cuyo estudio se ocuparon él y Fermat. Un número de Mersenne es aquél de la forma

Un poco de reflexión basta para convencerse de que si M_n es primo, hablamos entonces de un primo de Mersenne, entonces n ha de ser primo. Se conocen sólo 51 primos de Mersenne aunque se conjetura, de nuevo, que existen infinitos de ellos. El primo más grande conocido hasta la fecha es de Mersenne; se trata de M_82589933, con 24 millones de cifras.

Además de los números de Mersenne, se tienen los números de Fermat:

Fermat conjeturó que todos estos números eran primos, pero Euler, nuestro siguiente protagonista, factorizó F_5 = 4294967297 = 641 x 6700417 ya en el S. XVIII. Estos números presentan propiedades notables entre las que destacamos el siguiente resultado:

En este vídeo se explica la construcción del heptadecágono (polígono de 17 lados) paso a paso.

Orden y caos en los números primos

Si líneas arriba Euclides nos mostraba que existen infinitos números primos, veamos ahora que, con todo, estos son más escasos a medida que nos alejamos en la recta real.

En primer lugar, existen tramos de números enteros totalmente desprovistos de números primos y de longitud tan grande como se desee; en efecto, para todo n >1, los números n -1 números enteros que hay entre n! + 2 y n! + n son todos compuestos (recordemos que n! = 1.2.3....n).

En segundo lugar, se puede demostrar que si denotamos por π(n) a la cantidad de números primos menores o iguales que n, el cociente π(n)/n tiende a 0 cuando n se hace grande, es decir, se puede entender que, si se escoge al azar un número entero en un intervalo grande, la probabilidad de que este sea primo resulta despreciable.

En tercer lugar, y ahora es donde no pocos lectores quedarán desconcertados, se tiene:

Teorema (postulado de Bertrand) Para todo n >2, siempre existe algún número primo p entre n y 2n. Por ejemplo, entre 10 y 20 tenemos el 11, entre 15 y 30 el 17, entre 26 y 52 el 29...

También se demuestra lo siguiente:

Teorema (Euler) La serie de los inversos de los números primos es divergente. En concreto, si denotamos por p_n el primo n-ésimo, la suma

crece arbitrariamente con orden log(log(n)).

Este resultado nos viene a decir que, si bien los números primos son escasos, no lo son tanto como, por ejemplo, los cuadrados perfectos:

En efecto: una serie infinita de términos positivos y que converja ha de estar formada por términos cada vez más y más próximos, lo que equivale a que sus inversos están cada vez más alejados. Los cuadrados perfectos son, en este sentido, más escasos que los primos. ¿No es sorprendente?

Y más aún: al igual que constatamos que existen intervalos de longitud arbitraria desprovistos de números primos, también observamos que hay primos cuya distancia es la mínima posible: 2. A tales primos, como el 5 y el 7, el 11 y el 13 o el 101 y el 103 se les conoce como primos gemelos.

Se conjetura que existen infinitos números primos gemelos. La mayoría de matemáticos creemos que la conjetura es cierta y, por ejemplo, en 1973, Jing Run Chen probó que existen infinitos primos p tales que p+2 es producto de, a lo sumo, dos factores.

Son sólo unos pocos hechos aparentemente contradictorios (sólo aparentemente) que hacen aún más codiciada la búsqueda del santo grial de la aritmética: ¿se puede describir la distribución de los números primos de manera eficiente, o al menos, arrojar algo de luz sobre ella?

Euler, Riemann y las funciones zeta.

En 1737, Leonhard Euler introdujo un objeto que supuso una revolución en el estudio de los números primos; objeto que sería posteriormente generalizado a otros objetos aritméticos, geométricos e incluso analíticos. Hablamos de la función zeta de Euler, definida, para números reales x>1, como:

La igualdad de la izquierda define la función, la de la derecha se demuestra usando a) el Teorema Fundamental de la Aritmética y b) la suma de la serie geométrica.

Una primera consecuencia de esta notabilísima igualdad es una nueva demostración, a cañonazos, de la infinitud de los números primos: en efecto, supongamos que sólo hubiese una cantidad finita de ellos; entonces el producto de la derecha sería finito. Pero entonces por la igualdad de la derecha, la expresión de la izquierda estaría definida en x =1; imposible pues la serie de los inversos de todos los números naturales es divergente.

Bernhard Riemann - Wikimedia Commons

Pero fue Bernhard Riemann (1826-1866) quien explotó en profundidad las propiedades de la función zeta, extendiendo su dominio, es decir su conjunto de definición, a todo el plano complejo salvo x=1. En su memoria de 1859 "Über die Anzahl der Primzahlem unter einer gegebenen Grösse" (Sobre el número de primos menores que una cantidad dada), Riemann usa las propiedades analíticas para expresar diversas transformaciones de la función zeta en términos de funciones aritméticas evaluadas sobre los números primos, formulando la siguiente observación, uno de los problemas matemáticos abiertos más resbaladizos y de solución más codiciada por la comunidad matemática, premiado con un millón de dólares por la fundación Clay:

Conjetura (Hipótesis de Riemann) Todos los zeros no triviales de la función zeta de Riemann tienen parte real igual a 1/2.

Numerosos resultados en teoría de números utilizan propiedades establecidas o conjeturales de la función zeta de Riemann; por ejemplo, Hadamard y De la Vallée-Pousin demostraron independientemente el Teorema de los Números Primos, que grosso modo establece que π(n) se aproxima razonablemente bien por n/log(n), de donde se deriva que el número primo n-ésimo puede aproximarse por nlog(n). Para ello utilizaron que la función zeta de Riemann no tiene zeros en cierta región vertical del semiplano superior. La validez de la hipótesis refinaría resultados ya probados, como el error de esta aproximación, y en suma, arrojaría luz sobre la errática distribución de los números primos.

Iván Blanco Chacón es profesor e investigador en la Universidad de Alcalá de Henares. El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). Ver los comentariosTemas

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El enigma de los números primos: Del hueso de Ishango al problema del Milenio

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Iván Blanco Chacón Guardar Noticias relacionadas Afirmaba Leopold Kronecker, o al menos eso se le atribuye, que Dios hizo los números naturales y que todo lo demás es obra del hombre. Cierto o no, es innegable que los números, y entre ellos los primos, nos acompañan desde nuestros orígenes más remotos.

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Nuevo récord de cálculo de decimales de pi - Gaussianos

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El pasado día 2 de agosto el ingeniero informático Shigeru Kondo y el estudiante (y gran programador) Alexander J. Yee han conseguido batir el récord de decimales del número

, dejándolo en 5 billones de decimales. Este cálculo les llevo 3 meses y con la cantidad de decimales obtenida casi doblan el récord anterior, que estaba en 2'7 billones de decimales.

Y sí debe ser un programador impresionante este Yee, ya que es el creador de y-cruncher, el programa que han utilizado para llegar a esta cifra de decimales y además tiene unos cuantos récords del mundo más en este sentido con otras constantes matemáticas.

En este enlace podéis ver el anuncio del récord y más información sobre el mismo.

La imagen la he sacado de aquí.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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En él encontrarás reseñas e información sobre los juegos de escape que hemos realizado y podrás dar tu opinión sobre ellos y tus propias sugerencias.

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Nuevo récord de cálculo de decimales de pi - Gaussianos

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El pasado día 2 de agosto el ingeniero informático Shigeru Kondo y el estudiante (y gran programador) Alexander J. Yee han conseguido batir el récord de decimales del número , dejándolo en 5 billones de decimales. Este cálculo les llevo 3 meses y con la cantidad de decimales obtenida casi doblan el récord anterior, que estaba en 2'7 billones de decimales.

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El secreto del logo de Apple y su relación con la secuencia de Fibonacci

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Cualquiera que haya intentado dibujar el conocido logo de Apple a mano alzada se habrá dado cuenta de que resulta extremadamente difícil hacerlo. ¿Hay algún tipo de secreto a la hora de replicarlo? Lo cierto es que en cierto modo sí lo hay. Se trata de la proporción áurea y su derivada que aplica la sucesión de Fibonacci para dibujar un logo de Apple perfecto.

Aplicando la sucesión de Fibonacci para dibujar un logo de Apple

En este video podemos ver cómo se crea un logo de Apple en apenas 71 segundos (está a cámara rápida). Nada más arrancar se muestran varios cuadrados apilados, que se utilizarán para crear círculos de distintos tamaños. Cada uno de estos cuadrados tienen un número asociado, que hace referencia al tamaño de cada cuadrado.

Si nos fijamos, la secuencia de tamaños es la siguiente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Ese es el mismo patrón descubierto por Fibonacci, donde un número es la suma resultante de los dos anteriores (1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, etc.). Una vez creados los siete círculos de diferentes tamaños, se utilizan de plantilla para colocarlos en varias posiciones.

De este modo, el mordisco de la manzana y las dos curvas de la parte superior, así como la hoja son círculos del mismo tamaño. Mientras que en la inferior serán de diferente. Los costados están formados por el mayor de todos. Utilizando los diferentes tamaños y posicionándolos en distintos sitios, podemos crear un logo de Apple perfecto.

Como puede verse, no es sencillo de hacer, pero una vez que conoces la proporción de Fibonacci, la tarea se vuelve mucho más fácil.

El número áureo y la secuencia de Fibonacci

El número áureo es un número irracional que se representa por la letra phi (φ). Euclides, matemático griego que vivió entre el siglo IV y III a. C., fue el primero en definirlo de esta manera:

Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.

Al número áureo se le llama de diversas formas, entre las que destacan número de Dios, razón dorada y divina proporción. Y es que esta proporción se encuentra en numerosos ejemplos de la naturaleza. La carcasa del nautilus, la distribución de las semillas en un girasol, la espiral de una galaxia o la forma de un huracán se han visto relacionados con la aplicación de esta proporción en la geometría.

Esto ha hecho que a lo largo de la historia se haya aplicado la proporción áurea en diversos campos. Desde la arquitectura a la pintura, pasando por la escultura y la música, se ha aplicado la proporción áurea o alguna de sus derivadas. En el campo del diseño también, donde encontramos como ejemplo innumerables logos de compañías que, como el logo de Apple, han decidido aplicar esta proporción divina en su imagen corporativa.

Imagen | Chris 73.

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El secreto del logo de Apple y su relación con la secuencia de Fibonacci

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Cualquiera que haya intentado dibujar el conocido logo de Apple a mano alzada se habrá dado cuenta de que resulta extremadamente difícil hacerlo. ¿Hay algún tipo de secreto a la hora de replicarlo? Lo cierto es que en cierto modo sí lo hay.

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Nuevo récord de cálculo de decimales de pi - Gaussianos

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El pasado día 2 de agosto el ingeniero informático Shigeru Kondo y el estudiante (y gran programador) Alexander J. Yee han conseguido batir el récord de decimales del número

, dejándolo en 5 billones de decimales. Este cálculo les llevo 3 meses y con la cantidad de decimales obtenida casi doblan el récord anterior, que estaba en 2'7 billones de decimales.

Y sí debe ser un programador impresionante este Yee, ya que es el creador de y-cruncher, el programa que han utilizado para llegar a esta cifra de decimales y además tiene unos cuantos récords del mundo más en este sentido con otras constantes matemáticas.

En este enlace podéis ver el anuncio del récord y más información sobre el mismo.

La imagen la he sacado de aquí.

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Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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Nuevo récord de cálculo de decimales de pi - Gaussianos

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El pasado día 2 de agosto el ingeniero informático Shigeru Kondo y el estudiante (y gran programador) Alexander J. Yee han conseguido batir el récord de decimales del número , dejándolo en 5 billones de decimales. Este cálculo les llevo 3 meses y con la cantidad de decimales obtenida casi doblan el récord anterior, que estaba en 2'7 billones de decimales.

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Grigori Perelman, el genio matemático que resolvió uno de los 7 problemas del milenio y se retiró del mundo - BBC News Mundo

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Hace más de una década, Grigori Perelman, uno de los grandes cerebros del siglo XXI, le dijo 'adiós' a su profesión y a la vida pública.
Ya para entonces era mundialmente famoso por resolver uno de los más difíciles enigmas matemáticos cuyos orígenes se remontaban al siglo XVIII.

La antigua ciudad prusiana Königsberg -hoy Kaliningrado, Rusia- tenía siete puentes, pues el río Pregel no sólo la atravesaba, sino que se bifurcaba creando una isla y dividiéndola en cuatro regiones.

A modo de juego para los intelectuales de la época, se formuló una pregunta que se convertiría en un célebre problema matemático:

¿ Es posible dar un paseo comenzando desde cualquiera de las cuatro regiones de Königsberg, cruzando todos los puentes una sola vez y regresando al mismo punto de partida?

Encontrar la solución resultó ser mucho más difícil de lo que parece.

Tres acertijos matemáticos y por qué es genial (y divertido) que los resuelvas

Eventualmente, en 1735, el gran matemático Leonhard Euler dio la respuesta: no era posible.

Para resolver el problema, dio un salto conceptual.

Se dio cuenta de que las distancias entre los puentes eran irrelevantes; lo que realmente importa ba e ra cómo estaban los puentes conectados entre sí.

Más fascinantes detalles sobre Leonhard Euler y la solución de ese enigma hace 300 años

La solución de Euler era importante porque no se aplicaba únicamente a la ciudad de Königsberg, sino también a todas las configuraciones que eran topológicamente iguales.

¿Topológicamente?

Esa solución al rompecabezas abrió las puertas a un nuevo tipo de geometría de posición: la topología.

Puede sonar muy ajeno, pero m uchos de nosotros nos beneficiamos de la topología todos los días.

Prácticamente todos los diseños de los mapas de metro del mundo se basan en principios topológicos, para comunicar claramente lo que los usuarios necesitan saber: cómo llegar a donde quieren ir.

Aunque la topología tuvo sus orígenes en los puentes de Königsberg, fue en manos del más famoso y respetado de los matemáticos de finales del siglo XIX, el francés Henri Poincaré, que el tema se convirtió en una nueva y poderosa manera de ver la forma.

A grandes rasgos

La principal idea detrás de la topología es que cuando se estudia un objeto, lo importante son sus propiedades, no el objeto en sí, y si dos objetos comparten las mismas propiedades, deben estudiarse, pues los resultados se escalarán a todos los objetos que comparten estas propiedades, llamados objetos homeomorfos.

Algunas personas se refieren a este importante campo de las matemáticas como 'geometría flexible' porque según él, dos formas son la misma si se puede transformar una en otra sin romperlas.

Entonces, por ejemplo, topológicamente una pelota de fútbol y una de rugby son equivalentes porque una puede transformarse en la otra.

Es por eso que se dice que un topólogo es una persona que no sabe cuál es la diferencia entre su taza de café y su dona.

Y es que, aunque suene raro, topológicamente una taza y una dona son iguales.

Pero, mientras que es posible deformar una dona para convertirla en una taza y viceversa, no hay manera de deformar una bola para transformarla en una dona porque no podemos crear el agujero de la dona sin cambiar las propiedades de la esfera.

El problema

Poincaré llegó a conocer todas las posibles superficies topológicas bidimensionales.

Además, desarrolló todas las formas posibles en las que podía envolver ese universo bidimensional plano.

Pero vivimos en un universo tridimensional, entonces, en 1904, se preguntó, ¿cuáles son todas las formas posibles que nuestro Universo puede tener?

Trató de encontrar la respuesta pero murió en 1912 sin lograrlo.

Ese problema topológico llevó a lo que se empezó a conocer como la conjetura (o hipótesis) de Poincaré, y quedó como un legado para futuras generaciones de matemáticos.

Simplemente no se pudo

Con el correr del siglo XX, legiones de matemáticos trataron de solucionar lo irresoluto.

70 años después de la muerte de Poincaré, la conjetura había sido resuelta para todas las otras dimensiones, menos para 3D.

A pesar de muchos intentos, el siglo terminó pero la incógnita persistió, y la conjetura de Poincaré fue incluida en la lista de los siete problemas matemáticos del milenio cuya resolución sería premiada con un millón de dólares por el Instituto Clay de Matemáticas de Massachusetts, EE.UU.

Dos años más tarde, el 11 del 11 de 2002, en el sitio web público arXiv apareció la primera de tres entregas de un escrito titulado "La fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas".

En su totalidad, el texto se extendía por 39 páginas y estaba firmado por Grisha Perelman.

Poco ortodoxo

Grigori "Grisha" Perelman había estado trabajando en el tema en su natal San Petersburgo, a donde había regresado en 1995 tras vivir unos años en Estados Unidos porque, según le dijo a un colega, se dio cuenta de que en Rusia trabajaba mejor.

No era un desconocido entre la comunidad matemática: en 1994 había probado la conjetura del Alma, la cual afirma que uno puede deducir las propiedades de un objeto matemático a partir de pequeñas regiones de estos objetos, llamados alma.

Después de eso, le ofrecieron cargos en algunas de las principales universidades del mundo, incluidas Stanford y Princeton, pero prefirió tomar un puesto de investigador en el Instituto Steklov en San Petersburgo, que pagaba menos de cien dólares al mes.

De su viaje a Estados Unidos se había llevado, según dijo, suficiente dinero para vivir bien.

Pero también se llevó una duda planteada por un matemático estadounidense al que admiraba: Richard Hamilton.

Flujos que no fluían

En 1982, Hamilton había publicado un artículo sobre una ecuación llamada el flujo de Ricci, con la cual sospechaba que se podía probar la conjetura de Poincaré.

Pero la tarea era extremadamente técnica y su ejecución, complicada.

En 1993, Perelman aceptó una beca de investigación Miller en la Universidad de California, Berkeley, y estando allá asistió a varias conferencias de Hamilton.

Al final de una de ellas, Hamilton le habló a Perelman sobre el mayor obstáculo que había encontrado al tratar de probar la conjetura, y el ruso le señaló que él había hecho un estudio que le podía servir para superarlo.

Pero Hamilton no le prestó atención.

Dos años más tarde, Perelman leyó un artículo de Hamilton en el que discutía algunas de sus ideas para probar la conjetura de Poincaré y notó que el matemático no había ningún progreso: estaba atascado.

Queriendo colaborar, Perelman le escribió una larga carta explicándole sus ideas, pero Hamilton nunca respondió.

Perelman tuvo que trabajar solo y lo que publicó en internet en 2002 fue el resultado de sus esfuerzos.

¡Lo logró!

La publicación de Perelman provocó un interés enorme entre los matemáticos.

Aunque ni en su título ni en ninguna parte aparecía una mención directa de Poincaré, cuatro años más tarde, emergió un consenso en la comunidad matemática: Perelman había probado la conjetura.

Si cuatro años parecen una eternidad, ten en cuenta que estamos hablando de matemáticas.

A diferencia de otros campos del conocimiento, en los que las teorías siempre pueden ser revisadas, la prueba de un teorema es definitiva, así que no sorprende que los al menos dos equipos de expertos que la examinaron se tomaran todo el tiempo necesario para verificar que no había brechas o errores significativos.

Además, los artículos no contenían explicaciones o digresiones, y su prueba era tan compleja que hasta para los expertos era difícil de entender.

Por eso, analizarla tomaba tiempo y dedicación: la explicación detallada hecha por uno de esos equipos de expertos que examinaron lo que Perelman presentó en 39 páginas ocupó 473 páginas.

El silencio del genio

Después de más de un siglo de intentos frustrados, la conjetura de un brillante matemático había sido probada por otro igual de genial, aunque más excéntrico.

El teórico ruso recibió una lluvia de ofertas -de honores, premios en dinero en efectivo y fondos para investigación, así como lucrativos cargos académicos en las universidades más distinguidas del planeta y giras mundiales dando conferencias- que, según todos los informes, consideró profundamente ofensivas.

" La monetización del logro es el máximo insulto a las matemáticas", afirmó.

Consecuentemente, rechazó todo, incluida la medalla Fields, el equivalente matemático a un premio Nobel, por "sus contribuciones a la geometría y sus ideas revolucionarias" que lo llevaron a su prueba sobresaliente, un premio de la Sociedad Matemática Europea y el millón de dólares que el Instituto Clay quería darle por solucionar uno de los problemas del milenio.

" Si la prueba es correcta, no necesita otro tipo de reconocimiento", explicó.

Luego dejó de hablar con los medios, anunció que dejaba su profesión y se retiró para vivir con su madre como un semirecluso en un modesto apartamento, del que dicen que sólo sale a comprar víveres y de vez en cuando asiste a la ópera y a conciertos de música clásica.

" No me interesa el dinero ni la fama; no quiero estar en exhibición como un animal en un zoológico", declaró.

Mientras que muchos lo tacharon de "loco", particularmente por rechazar el millón de dólares -hay hasta un libro que alega que sufre de una forma de autismo-, hay quienes consideran noble el hecho de que le emocione demostrar teoremas y no ganar premios.

En cualquier caso, lo lamentable -para el avance científico, al menos- es que, además de alejarse del mundanal ruido, parece que efectivamente abandonó las matemáticas por completo.
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Derechos de autor de la imagen BBC News Mundo BBC News Mundo

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Grigori Perelman, el genio matemático que resolvió uno de los 7 problemas del milenio y se retiró del mundo

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Sorprendió al mundo solucionando uno de los problemas matemáticos más famosos y más aún rechazando todos los premios que le quisieron dar por haberlo logrado. En un mundo en el que la fama y el dinero parecen ser lo más importante, provocó consternación por haberle dicho 'no' a ambos.

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El teorema de la bola peluda - Gaussianos

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El teorema de la bola peluda - Gaussianos

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Dos horas buceando entre mis apuntes de la carrera (ese es el tiempo que he tardado en encontrar este teorema) bien valen un artículo. Sí, sé que en internet hay información, pero para mí mis apuntes son enormemente valiosos y no quería dejar escapar la oportunidad de consultarlo en ellos.

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Los virus han dado el salto a la actualidad mundial debido a la pandemia de la enfermedad COVID-19 generada por el virus . Sin embargo, estos microorganismos de comportamiento y estructuras muy singulares han captado la atención de diferentes ciencias desde que la virología diese sus primeros pasos a finales del siglo XIX.

Los virus son partículas microscópicas de código genético (pueden contener ADN o ARN) envueltas en proteínas que no son capaces de reproducirse por sí mismas, sino que necesitan colonizar otra célula. Así se produce la infección. Detrás de este proceso hay un asombroso mecanismo de supervivencia que fascina a científicos que van desde biólogos, químicos y médicos, hasta ingenieros que buscan utilizar el potencial comunicador de los virus para desarrollar las baterías del futuro. ¿Dónde está el secreto de su poderoso mecanismo? Las matemáticas podrían ser la respuesta, o al menos una de las pistas principales.

La clave geométrica de los contagios

Dentro de un virus se producen uniones de macromoléculas que, vistas al microscopio, forman espectaculares arquitecturas moleculares. Cada virus, según su comportamiento, genera una estructura geométrica diferente que, por ende, condiciona su funcionamiento. ¿Son entonces las matemáticas una herramienta para frenar el mecanismo de propagación de un virus y no solo para predecir su modelo de contagio? La respuesta es sí.

En 1956 (tres años después de que se publicase su trabajo sobre la estructura de doble hélice del ADN), Francis Crick y James Watson fueron los primeros en intentar explicar la estructura de los virus y propusieron que, en efecto, siguen una simetría en la organización de la estructura de proteínas de su cápside (envoltura) por una cuestión de economía genética. Para que la construcción de la cápside sea lo más económica posible en cuanto a codificación genética, es preciso que utilice el mismo tipo de moléculas una y otra vez, siguiendo así un patrón geométrico que da lugar a una estructura poliedral. Tal y como plantearon los que serían ganadores del premio Nobel de Medicina en 1962 , un genoma viral solo puede incluir instrucciones para un número limitado de proteínas de cápside distintas , lo que garantiza la simetría.

Tensegridad: la solución arquitectónica del problema

Pero... si la es la que explica el origen de la estructura de los virus ¿cómo se entiende entonces que algunos tengan forma esférica? El biólogo estructural Donald Caspar y el bioquímico (que sería galardonado veinte años después con el Premio Nobel de Química por un trabajo de cristalografía) afinaron con su teoría geométrica lo que hasta entonces se conocía sobre la organización estructural de los virus inspirados precisamente por la arquitectura.

En 1962, en que sentaría las bases de la que ha pasado a la historia como la teoría CK (Caspar-Klug), los científicos incluían una foto de un edificio del arquitecto e inventor Richard Buckminster Fuller : una cápsula geodésica formada a partir del ensamblado de hexágonos y pentágonos divididos en triángulos. Este principio de unión por el cual los componentes aislados se comprimen dentro de una red tensada y continua se conoce como estructura de tensegridad (un término acuñado por el propio Fuller que deriva de la unión de las palabras tensión e integridad). Caspar y Klug propusieron que los virus esféricos en realidad se estructuran como cúpulas geodésicas o domos en miniatura, introduciendo así el concepto de la casi-equivalencia para predecir aproximadamente dónde se ubican las proteínas en la cubierta del virus.

Geometría que cura: una aliada en el diagnóstico de enfermedades

Investigadores de la Universidad de York y de la Universidad de San Diego han desarrollado un nuevo marco matemático que cambia la forma de entender la estructura de algunos virus, lo que abre la posibilidad de nuevas terapias antivirales. En un artículo publicado en la revista Nature Communications en 2019 , varios investigadores explicaban la que parece ser la pieza final del puzzle: los hilos pendientes de la teoría CK estarían resueltos por esta nueva conceptualización matemática que explicaría algunos problemas abiertos hasta la fecha en virología. Más de medio siglo después del planteamiento de la teoría de Caspar-Klug, la mejora en la capacidad técnica para obtener imágenes microscópicas ha revelado que muchas estructuras de virus no se ajustan a los planos propuestos en 1962. Los contenedores de proteínas de los virus se han desarrollado con diferentes arquitecturas icosaédricas (cuerpos geométricos de veinte caras) para proteger así su material genético. Esta nueva teoría demuestra que la casi-equivalencia de Caspar-Klug es parte de un conjunto más amplio de restricciones estructurales, lo que permite establecer por primera vez con total precisión cómo se colocan las proteínas en los contenedores icosaédricos que recubren la información genética de los virus. El análisis exacto de estas propiedades físicas de los virus permitirá conocer los puntos flacos de su estabilidad y comprender mejor cómo atacar los mecanismos de infección para desarrollar nuevas terapias antivirales, tal y como explica el profesor Reidun Twarock , uno de los autores del artículo.

Este singular cruce de conocimientos entre matemáticas, arquitectura y medicina hubiese sido imposible sin la excéntrica figura de Fuller. Una vez que se popularizó la estructura de sus cúpulas geodésicas, científicos y médicos pusieron el foco en las estructuras de tensegridad presentes en distintos materiales de la naturaleza. El propio Fuller participó en la construcción de un modelo del virus de la poliomielitis hecho con madera, una enfermedad que había costado la vida a su primera hija, Alexandra. A mediados de los años 80, una nueva familia de moléculas de carbono con la forma de un balón de fútbol fue descubierta y nombrada en honor a Fuller como .

Dory Gascueña para OpenMind

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Los virus han dado el salto a la actualidad mundial debido a la pandemia de la enfermedad COVID-19 generada por el virus . Sin embargo, estos microorganismos de comportamiento y estructuras muy singulares han captado la atención de diferentes ciencias desde que la virología diese sus primeros pasos a finales del siglo XIX.

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La banda de Möbius: cuánto juego da una sola cara - Gaussianos

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Introducción

La banda (o cinta) de Möbius (o Moebius) es una superficie con una sola cara y un solo borde que además es no orientable. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing.

Construcción de la banda de Möbius

Topológicamente hablando la banda de Möbius es un espacio topológico cociente. ¿Qué es eso? Pues más o menos es el resultado de aplicar una relación de equivalencia...

INCISO: Una relación de equivalencia es una forma de identificar elementos de un conjunto (cumpliendo ciertas propiedades), es decir, de agrupar los elementos de un conjunto en distintos subconjuntos (denominados clases de equivalencia) tal que en cada subconjunto cada par de elementos cumple la propiedad definida por la relación. Recomiendo este post de El Cedazo en el que se explica el tema con más detenimiento.

...sobre un conjunto (en este caso sobre un espacio topológico, pero no nos hace falta saber exactamente qué es eso). En este caso concreto el conjunto es el cuadrado y la relación de equivalencia es la siguiente:

Esta relación hace lo siguiente:

- Identifica los puntos del interior del cuadrado (los que no están en ningún borde) y los de los bordes superior e inferior consigo mismos, vamos, que los deja igual que están.

- Identifica los puntos del borde izquierdo con los del borde derecho de la siguiente forma: cada punto de la forma se identifica con el punto . Por ejemplo, el se identifica con el . En la figura de la derecha se puede ver esta forma de identificar estos puntos atendiendo al sentido de las flechas.

Para construir la banda de Möbius con Mathematica podemos utilizar el siguiente código:

a[s_]:={Cos[s],Sin[s],0};v={0,0,1};
X[t_,s_]:=(2t Cos[s/2]+1-Cos[s/2]) a[s]+(2t-1) Sin[s/2] v;
ParametricPlot3D[Evaluate[X[t,s]],{t,0.3,.7},{s,0,2 Pi},PlotPoints->30,Axes->False,Boxed->False]

quedando la siguiente figura:

¿Podemos construir esta superficie en la vida real? Sí, y además de forma muy sencilla:

Tomamos una tira de papel (en la definición hablamos de un cuadrado, pero vale cualquier rectángulo), la sujetamos por los extremos de forma que veamos una de sus caras, giramos uno de los extremos hasta que por ese lado veamos la cara que antes no veíamos y a continuación unimos los dos bordes que tenemos en las manos.

Algo así:

En la entrada del edificio de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Granada se puede contemplar una banda de Möbius colgada en una pared:

Y también pueden construirse con LEGO.

Y tan interesante es esta superficie que un gran divulgador como Clifford Pickover ha escrito un libro exclusivamente dedicado a ella, La banda de Möbius, que yo poseo y cuya portada es ésta:

Todavía no lo he leído, pero promete. Si alguien lo tiene y lo ha leído ya que nos cuente algo sobre él.

Propiedades

Como hemos dicho antes, la figura resultante es muy curiosa, tiene una forma algo extraña a primera vista. Como se ha comentado anteriormente, tiene una única cara y un único borde. ¿Cómo podemos comprobar eso? De forma muy sencilla:

Ponemos un dedo en un punto que no esté en el borde de la banda y lo deslizamos a lo largo de la misma. Vemos que así podemos llegar a cualquier otro punto. El caso del borde es el mismo: desde un punto del borde podemos llegar a cualquier otro punto situado también en él.

Un caso contrario a éste, por ejemplo, sería un cilindro hueco de altura . Tiene claramente dos bordes, el de arriba y el de abajo en la figura. Pero además tiene dos caras: la de dentro y la de fuera.

Curiosidades

La banda de Möbius es una superficie que da mucho juego a la hora de manipularla. Lo que vamos a ver ahora puede servir para que sorprendáis a vuestros amigos en algún momento propicio para este tipo de juegos:

1. Dibujemos con bolígrafo una línea en el centro de la banda y recortemos con unas tijeras por la misma. ¿Qué obtenemos?

2. Dibujemos dos líneas que dividan la banda en tres partes iguales y recortemos por una de ellas. ¿Qué obtenemos? ¿Y si cortamos despues por la otra línea?

3. Dibujemos ahora tres líneas que dividan a la banda en cuatro partes iguales y cortemos por cada una de ellas. ¿Qué obtenemos en cada caso?

Aplicaciones

Bueno, y ahora la pregunta del millón: ¿vale la banda de Möbius para algo en la vida real? Estoy seguro de que muchos de vosotros habéis respondido instantáneamente: NO. Pues estáis equivocados. Bueno, seamos serios, tampoco es que la banda de Möbius sea lo más útil que ha existido en toda la historia, pero alguna aplicación tiene. La que yo veo más clara es la siguiente:

Imaginaos la cadena de una bicicleta, o una correa de distribución, o cualquier cadena que realice un cierto recorrido. Imaginaos que la colocamos de forma, digamos, cilíndrica. ¿Qué ocurriría? Pues que siempre se desgastaría por el mismo sitio, ya que siempre rozaría en los apoyos por la misma cara. La colocamos ahora como una banda de Möbius. Así se desgasta por igual por toda su cara, es decir, conseguimos que el desgaste sea igual en todos los puntos del borde, obteniendo así una mayor duración y por tanto un ahorro.

Si conocéis alguna otra aplicación interesante no tenéis más que comentarla.

Algunos enlaces interesantes sobre el tema:
Hace más de tres años de que Gaussianos cambió de cara y, entre otras cosas, comenzamos a usar logo y favicon cuyo principal motivo es la banda de Möbius. Por ello era casi una obligación dedicarle un artículo a este curioso objeto matemático. Hoy es el día.

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La banda de Möbius: cuánto juego da una sola cara - Gaussianos

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La banda (o cinta) de Möbius (o Moebius) es una superficie con una sola cara y un solo borde que además es no orientable. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing . Topológicamente hablando la banda de Möbius es un espacio topológico cociente.

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Un modelo, un teorema e teoría de xogos contra o coronavirus

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A guerra contra o Covid-19 lóitase en moitas frontes. Entre as armas que achegan as matemáticas destacan tres: o modelo SIR, que realiza predicións como o previsible pico de contagios en España a principios de abril; o teorema de Bayes, que axuda a actualizar a probabilidade de que se estenda Covid-19 con novos datos; e a teoría de xogos, que nos fala de sacrificar o beneficio individual polo ben común para vencer a este inimigo invisible.

Desde que o novo coronavirus SARS-Cov-2 saíu de China e a enfermidade Covid-19 estendeuse polo mundo, os países aos que chegou a pandemia tomaron medidas drásticas para aplanar as súas curvas de infectados diarios, é dicir, baixar e atrasar o seu pico o máximo posible para que non colapsen os sistemas sanitarios.

Detrás desas gráficas hai modelos matemáticos que recollen as características dos brotes epidémicos e permiten realizar predicións. Sen dúbida un dos máis utilizados é o modelo SIR, cuxas siglas fan referencia ás tres curvas ou grupos de poboación implicados nunha epidemia: os susceptibles (S) de contraer a enfermidade, os infectados (I) e os recuperados (R).

SIR é un modelo moi flexible que permite ver como varía o número de persoas susceptibles de contaxio, as infectadas e as recuperadas, confirmando a importancia de aplanar a curva dos infectados

Nalgunhas versións os falecidos inclúense en R (aínda que resulte irónico) para facilitar os cálculos, pero na maioría saen do sistema, xa que as persoas poden morrer (tamén nacer e pódese considerar) estando en calquera dos tres grupos.

"A suma do número de susceptibles, recuperados, infectados e falecidos é constante en calquera instante de tempo e é igual á poboación inicial", explica a matemática Anabel Forte, da Universidade de Valencia, quen destaca a flexibilidade deste modelo de ecuacións diferenciais para entender como varía o número de persoas en cada categoría, así como o esforzo actual para aplanar unha das curvas: a de infectados.

Outro matemático, Manuel de León, do Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), lembra que SIR "é o modelo compartimental de Kermack-McKendrick, inspirado á súa vez no de Ronald Ross -que en 1911 modelizó a propagación da malaria-. A idea do modelo compartimental é dividir a poboación en compartimentos e ver como se pasa dun a outro, neste caso de S a I e logo a R".

"Unha cuestión relevante é o valor dos parámetros que incluímos nas ecuacións diferenciais, porque nunha epidemia nova como esta non os coñecemos a priori e ímolos a ir estimando", apunta De León, quen subliña a importancia dun dos parámetros: R0, que indica a media de infeccións que causa un individuo contaxiado.

"R0 calcúlase a partir dos parámetros do modelo e pode cambiarse se modificamos o noso comportamento", engade Forte, "e este número de persoas ás que alguén infectado vai contaxiar ten que ver coa virulencia da enfermidade e co número de contactos que mantemos". De aí a importancia de seguir as recomendacións higiénicosanitarias e o illamento que piden as autoridades.

Dependendo do R0, pódese aplanar a curva de infectados: "O ideal é que estea por baixo de 1 porque así, a epidemia irá desaparecendo por se soa", di a matemática. O R0 do coronavirus en circunstancias normais anda entre 1,5 e 2,5, que non é demasiado alto comparado co do sarampelo, por exemplo, que está entre 14 e 15. Pero iso non significa que non sexa perigoso. Só hai que acordarse de que o da gripe española foi de 2,1. O importante é reducilo".

Predicións para Galicia e España

Unha das extensións do modelo SIR é SEIR, un sistema de ecuacións onde se incorpora diferenciada a poboación exposta (E), aquelas persoas que incuban o virus sen mostrar síntomas. Un grupo de investigadores de universidades galegas e de Portugal utilizárono para modelizar a evolución da pandemia e axudar na toma de decisións.

Segundo un modelo desenvolvido en universidades galegas, o pico da epidemia alcanzarase en España previsiblemente a principios de abril

"Adaptandonos ás características propias de COVID-19, engadimos tres subpoblaciones (P de superpropagadores, A de infectados pero asintomáticos, H de hospitalizados) ao modelo, con parámetros axustados en función dos datos propios deste coronavirus desde que empezou en China", explica un dos autores, Juan José Nieto, da Universidade de Santiago de Compostela. "Mentres traballabamos co modelo, ao facerse público o 4 de marzo o primeiro positivo en Galicia, reparamos que o pico da epidemia produciríase ao redor da primeira semana de abril, feito que puxemos en coñecemento das nosas autoridades", sinala Nieto, e a predición pódese estender a toda España: "Dado que ese máximo pódese alcanzar aos 20-35 días do primeiro caso, o pico alcanzarase previsiblemente a principios de abril"

Outras ferramentas matemáticas

Ademais dos modelos epidemiolóxicos, outras ferramentas como as teorías e os teoremas matemáticos tamén teñen a súa aplicación nas predicións e circunstancias que rodean a esta pandemia.

Un exemplo é o teorema de Bayes, que describe a probabilidade dun suceso baseándose no coñecemento previo das condicións relacionadas con ese suceso. De León resúmeo así: "A información acerca dun determinado fenómeno tras a análise dos datos (distribución a posteriori), obtense actualizando os coñecementos previos (distribución a priori) cos novos datos (información que imos obtendo das mostras)".

O teorema de Bayes axuda a actualizar o noso coñecemento sobre a probabilidade de que se estendan enfermidades como COVID-19 a medida que se van tendo novos datos

O matemático ofrece un exemplo teórico do que a estatística bayesiana pode achegar: "En determinados casos podemos deducir que vacinar aos nenos é mellor solución que vacinar a toda a poboación, ou a un segmento da poboación por encima dunha certa idade, porque sexan os maiores transmisores desa enfermidade. Desta forma podemos ser máis eficaces en combater unha epidemia".

"O teorema de Bayes é unha ferramenta estatística que nos pode axudar a actualizar o noso coñecemento sobre a probabilidade de que se estendan enfermidades como Covid-19 a medida que se van tendo novos datos", apunta Forte.

A investigadora tamén destaca a importancia das matemáticas para fomentar actitudes positivas da xente fronte a esta crise sanitaria, como os ensinos da teoría de xogos, moi utilizada en economía, informática e outros campos para estudar como conseguir o maior beneficio en situacións de competitividade.

A teoría de xogos ensínanos que se me comporto ben, terei menos opcións de contaxiarme, e fálanos da solidariedade: reducir o beneficio individual en pos do ben común

Un dos problemas clásicos desta teoría é o dilema do prisioneiro, que en principio mostra que dous individuos poderían non cooperar, aínda que pareza que o mellor para ambos sexa facelo. Pero o dilema pódese expor de diversas formas e en distintos escenarios, con ganancias maiores ou menores para os participantes. Considerando, por exemplo, se se deben illar dous individuos asintomáticos contaxiados polo coronavirus, a opción na que gañamos todos é que ambos o fagan, non un só, como recolle en Twitter a matemática Clara Grima da Universidade de Sevilla.

A teoría de xogos foise incorporando aos modelos para ter en conta o comportamento social dos individuos, apunta De León, quen expón preguntas relacionadas con Covid-19: "Somos obedientes ás instrucións que nos dan a fin de reducir os contactos e as transmisións?, lavámonos as mans como nos aconsellan?, como inflúe a comunicación desde as autoridades e os medios de comunicación no noso comportamento? Pasa como en teoría de xogos: se me comporto ben, terei menos opcións de contaxiarme".

Pola súa banda, Forte conclúe: "Eu creo que a teoría de xogos aquí fálanos da solidariedade en varios sentidos. Aínda que a ti persoalmente amóleche, se todos quedámonos na casa axudamos a reducir o R0 e, por tanto, ao ben común. Pero tamén ten que ver coas compras nos supermercados. Se todos vamos como tolos a encher as despensas, haberá xente que o pase mal e non teña que comer. Trátase de reducir o beneficio individual en pos do ben común".

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Un modelo, un teorema e teoría de xogos contra o coronavirus

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A guerra contra o Covid-19 lóitase en moitas frontes. Entre as armas que achegan as matemáticas destacan tres: o modelo SIR, que realiza predicións como o previsible pico de contagios en España a principios de abril; o teorema de Bayes, que axuda a actualizar a probabilidade de que se estenda Covid-19 con novos datos; e a teoría de xogos, que nos fala de sacrificar o beneficio individual polo ben común para vencer a este inimigo invisible.

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CONTAGIO.

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Matemáticas para predecir la propagación del coronavirus | Ciencia | EL PAÍS

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Una mujer pasea por Pekín con una máscarilla para prevenir el contagio del coronavirus. WANG ZHAO AFP

Desde tiempo inmemorial la humanidad ha vivido sometida a la amenaza de las epidemias. El terror causado por la aparición inesperada de enfermedades graves, que se extienden de forma incontrolada y misteriosa entre una población indefensa ha sido descrito reiteradamente a lo largo de la historia, y ha dejado una huella imborrable en el imaginario colectivo. Actualmente, gracias al esfuerzo de profesionales de muy distintos campos es técnicamente posible organizar una respuesta sanitaria eficaz en un breve espacio de tiempo. Una de las herramientas clave para lograr este objetivo es la modelización matemática de los procesos contagiosos y en concreto, la formulación de indicadores fiables para evaluar su evolución temporal. Este tipo de indicadores son fundamentales para valorar el desarrollo de epidemias como la del coronavirus.

Un punto de partida para estudiar la propagación de epidemias lo constituyó el llamado modelo SIR (iniciales de Susceptibles, Infectados y Recuperados) formulado en 1927 por el médico militar Anderson Gray Mc Kendrick (1876-1943) y el químico William Ogilvy Kermack (1898- 1970). Este modelo estudia una población en la que puede desarrollarse una epidemia, dividida en tres grupos: 1) los individuos susceptibles de contraer la enfermedad, cuya población en el instante t representamos por S( t); 2) los infectados I( t) y 3) los recuperados R( t). En este último término se incluyen tanto los que superan la enfermedad como los que fallecen por su causa. Llamar recuperados a estos últimos puede ser considerado un rasgo de humor discutible, pero resulta cómodo para escribir el modelo en la forma más simple posible.

El objetivo del modelo es predecir la evolución temporal de cada una de estas poblaciones, para lo que sus autores recurrieron a un sistema de tres ecuaciones diferenciales. Cada una de ellas relaciona la cantidad existente en ese momento de miembros de cada tipo de población, de modo que el número de infectados aumenta por el contacto entre susceptibles e infectados, y disminuye al crecer el número de recuperados. Los parámetros del modelo varían según las características propias de la infección: tasa de contagio, duración del periodo de infección, tamaño de la población, etc.

El estudio de este sistema de ecuaciones permitió identificar un parámetro que ha resultado de gran ayuda para estimar la incidencia de una epidemia. Ese parámetro, que suele representarse con la notación R ₀ , tiene un alto valor predictivo . Por debajo de un valor crítico R ₀=1, el brote se encuentra en retirada, mientras que si R ₀>1 , la enfermedad se está extendiendo. R ₀ se define exclusivamente a partir de las propiedades del proceso, y admite una interpretación muy intuitiva: es el número medio de casos secundarios originados por el contagio de una sola persona al comienzo de la enfermedad. Este criterio es de aplicación general, sea cual sea la naturaleza concreta del proceso considerado, y por ello los modelos de contagio de última generación, muy distintos del formulado originalmente por Kermack y Mc Kendrick, siguen haciendo uso de indicadores similares a R 0, incluso manteniendo la misma nomenclatura y pueden utilizarse en situaciones como el reciente brote de coronavirus en China. Existen ya estimaciones del parámetro R₀ para este brote que proporcionan un valor de R ₀ superior a 2,24. Eso indicaría que en el momento del estudio la epidemia se estaba extendiendo.

Conviene tener en cuenta que los modelos matemáticos no son suficientes por si solos para valorar el origen y extensión de una epidemia. Como observa reiteradamente la Organización Mundial de la Salud (OMS), la recogida fiable, y el tratamiento adecuado de datos es fundamental para extraer conclusiones correctas. Entre otras cosas, son esos datos los que permiten estimar los valores que aparecen en la definición del parámetro R 0 , lo que a su vez permite valorar la evolución de un brote infeccioso.

Miguel A. Herrero es catedrático de Matemática Aplicada en la Universidad Complutense de Madrid y Académico Correspondiente de la Real Academia de Ciencias de España

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

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Matemáticas para predecir la propagación del coronavirus

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Desde tiempo inmemorial la humanidad ha vivido sometida a la amenaza de las epidemias. El terror causado por la aparición inesperada de enfermedades graves, que se extienden de forma incontrolada y misteriosa entre una población indefensa ha sido descrito reiteradamente a lo largo de la historia, y ha dejado una huella imborrable en el imaginario colectivo.

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Análisis matemático de los números premiados en la Lotería | Verne EL PAÍS

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Todos los agraciados tienen propiedades interesantes

¿Algún número no es bonito?. Eduardo Parra Europa Press

El sorteo de la Lotería de Navidad 2019 es el momento para los lugares comunes, que si el premio estaba muy repartido, que siempre nos quedará el Sorteo del Niño o que es el Día de la Salud. Es normal que hayamos elaborado muchas frases hechas, llevamos más de 200 repeticiones de este experimento que surgió como una forma de gravar a las clases medias para la construcción de hospitales. Sí, ese impuesto voluntario que pagan los que no saben de matemáticas - otro típico-tópico para los matemáticos-. Pero mi lugar común favorito es que el Gordo ha caído en un número bonito. Vamos a ver, ¿es que algún número no es bonito? ¿En serio?

El Gordo cayó este año -en el minuto 8 del sorteo, el segundo más madrugador de la historia- y fue para el 26590 [ puedes comprobar todos los números aquí]. Divisible por 2, por 5, por 2659, y por las combinaciones de éstos, además de por 1 y por sí mismo -como todos los números-. El gordo no es primo, como tampoco lo son los que lo hayan comprado, enhorabuena. Sí que es primo uno de los quintos premios que han salido poco después, como me informaba por twitter el español en Noruega Rafael Cobo:

Como los números de 5 cifras se utilizan típicamente en los códigos postales, he visto que no hay ninguna localidad en España que tenga el gordo como su código postal pero, por ejemplo, 26590 corresponde con una Ranchería en Allende, en el estado de Coahuila de Zaragoza, México.

El segundo premio, 10989, no hace falta buscarlo en la lista de los 9592 números primos menores de 100000, porque sus cifras sumadas dan 27, múltiplo de 9. Este segundo premio es, por tanto, múltiplo de 9. Pero si eso no te dice gran cosa podemos ver en el portal dedicado a algoritmos e inteligencia artificial Wolfram Alpha que es divisor de 999.999. Un millón menos uno.

El tercer premio ha caído en el 750, el número más bajo de los 13 premios "importantes" -permíteme, lector, que excluya las 1794 pedreas, que me llevarían más tiempo analizar-. Comparte con el segundo premio el tener el mismo número de divisores, 16. También es el que menos letras necesita para ser escrito en números romanos, 4.

El último premio en salir fue el 81610, uno de 8 quintos. Tiene la propiedad de ser el mayor de los números que han sido premiados en este sorteo, además de compartir con el gordo, con el 3º, 00750, y con el 41710, uno de los cuartos, la terminación 0, o sea que los cuatro son múltiplos de 10.

Un número que no ha resultado premiado, ni siquiera en las pedreas es el 1729. ¿Por qué destacarlo? Porque es la razón por la que ningún matemático dirá nunca que un número es aburrido. Se dice que fue lo que le dijo el matemático Godfrey Harold Hardy a Ramanujan cuando fue a visitarle en el hospital. "El taxi que me traía tenía un número la mar de aburrido, 1729". Ramanujan -también matemático- se incorporó indignado de la cama. "¿Cómo puedes decir eso? 1729 es el menor número que se puede expresar como suma de dos cubos de dos maneras diferentes".

Todos los números son bonitos e interesantes. Esta última afirmación puede, de hecho, demostrarse. Si piensas que hay números que no lo son, dime cuál es el primero de ellos. Ese número tendría la curiosa propiedad de ser el primer número "no interesante", ¿no lo hace ser bastante interesante?

Joseángel Murcia es matemático, autor del blog Tocamates y el libro Y me llevo una.

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Análisis matemático de los números premiados en la Lotería

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Todos los agraciados tienen propiedades interesantes El sorteo de la Lotería de Navidad 2019 es el momento para los lugares comunes, que si el premio estaba muy repartido, que siempre nos quedará el Sorteo del Niño o que es el Día de la Salud.

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Marithania Silvero: Una joven matemática refuta una conjetura de 30 años | Ciencia | EL PAÍS

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La matemática Marithania Silvero, en la Universidad de Sevilla. PACO PUENTES

Marithania Silvero aún no había nacido cuando Louis Kauffman ( Nueva York, 1945) planteó en 1983 la conjetura que establecía que dos familias de nudos matemáticos eran equivalentes. Silvero nació en Huelva en 1989, cuando la comunidad científica había aceptado la teoría del matemático norteamericano. En 2015, tres décadas después de que Kauffman planteara su conjetura y poco antes de un encuentro programado entre ambos científicos, Marithania Silvero refutó la teoría del maestro. El matemático no solo avaló la solución hallada por la onubense sino que ambos se han convertido en estrechos colaboradores. Su hallazgo ha sido reconocido con el premio de investigación Vicent Caselles, otorgado por la Real Sociedad Matemática Española y la Fundación BBVA.

A Silvero le gustan los desafíos desde niña. Su mejor pasatiempo eran los problemas y creció entusiasmada con el mundo de las matemáticas, ciencia en la que actualmente investiga y de la que es profesora en la Universidad de Huelva tras haber trabajado en otros centros de investigación de España, Polonia y Estados Unidos.

Un nudo de ocho cruzamientos. Stuart Jantzen

Su investigación se enmarca en la topología y, más concretamente, en la teoría de nudos, que la científica simplifica para hacerlo comprensible a partir de una cuerda con los extremos pegados. Los matemáticos estudian las transformaciones que pueden hacerse a esa cuerda, estirándola y cambiando su forma, pero sin cortarla. De estas transformaciones surgen propiedades y, atendiendo a distintas características, los nudos se agrupan en familias.

Louis Kauffman estableció en 1983 que dos de estas familias, la de nudos alternativos y la de pseudoalternantes, eran equivalentes. Hasta que Silvero comenzó su tesis, dirigida por los profesores Juan González-Meneses y Pedro González, y defendida en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla, al que pertenece como colaboradora. Marithania construyó un nudo pseudoalternante y, recurriendo al polinomio de Conway, descubrió que este nudo no podía ser alternativo, refutando así la conjetura de Kauffman.

Apasionada de la investigación pura, defiende la relevancia de la ciencia básica. "Los matemáticos estudiamos los nudos porque podemos definirlos y analizarlos para conocer sus propiedades", explica. La Teoría de Nudos tiene su origen, según explica la investigadora, en el intento de William Thomson, el físico y matemático conocido como Lord Kelvin, de clasificar los átomos según las trayectorias que describían las partículas que los forman. Aunque su teoría resultó no ser válida, la clasificación de nudos quedó como un problema matemático y surgió la rama de la teoría de nudos, que tiene aplicaciones en la química, la biología, la física y otras disciplinas.

Pero Marithania no se centra en las aplicaciones de los resultados, sino en los cimientos que después las hacen posibles. "Me gusta la investigación pura, la ciencia básica, que es la que se encarga de ampliar los límites del conocimiento. Si después mis resultados pueden ayudar a científicos de otros campos a resolver sus problemas, yo me alegraré, pero ese no es mi objetivo", afirma, aunque reconoce que esta parte, fundamental para establecer las bases de posteriores investigaciones, es menos visible.

Silvero refutó la conjetura de Kauffman con un contraejemplo, algo que es ella en el mundo de la ciencia española si se tiene en cuenta que el último informe PISA nos suspende en matemáticas. Ella atribuye su trayectoria al apoyo constante que encontró en su familia, profesores y amigos. Por eso defiende la importancia de la docencia, de que los maestros amen la materia que imparten y transmitan ese sentimiento a los alumnos. "Creo que una de las causas de los resultados de PISA podría ser el hecho de que, en los institutos, las matemáticas no estén siendo enseñadas por matemáticos. Profesionales de otros campos pueden tener los conocimientos, pero es muy difícil que puedan despertar y transmitir un interés y una pasión por las matemáticas que ellos mismos no tienen".

También se siente afortunada al no haber encontrado los obstáculos que limitan el acceso de las mujeres a las carreras de ciencias. Sus estancias en el extranjero, su dedicación a la investigación y su carrera han contado siempre con el respaldo de su familia y profesores. "No he sentido un trato diferente al de mis compañeros, pero sí es verdad que conozco a compañeras que han tenido otras experiencias", resume para admitir que su mundo no es ajeno a los prejuicios comunes en la sociedad. "Cuando digo que soy matemática, a veces me dicen: 'No lo pareces'. Entonces yo les pregunto, ¿qué aspecto tiene una matemática?", lamenta ante la persistencia de estereotipos e ideas preconcebidas.

Silvero también admite la ausencia de modelos actuales que orienten a las jóvenes hacia el mundo de la ciencia. Cree que no valen figuras decimonónicas porque las niñas y adolescentes no se identifican con ellas. De hecho, reconoce que no tuvo un modelo claro al que seguir, que lo construyó a partir de las actitudes de aquellos que le transmitían la pasión por la ciencia a la que se ha dedicado. Y, para solventarlo, participará en el próximo encuentro de la asociación internacional Greenlight For Girls (G4G) para promover las carreras científicas entre las escolares.

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Una joven matemática refuta una conjetura establecida hace 30 años

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Marithania Silvero aún no había nacido cuando Louis Kauffman ( Nueva York, 1945) planteó en 1983 la conjetura que establecía que dos familias de nudos matemáticos eran equivalentes. Silvero nació en Huelva en 1989, cuando la comunidad científica había aceptado la teoría del matemático norteamericano.

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El olvidado matemático de Valladolid cuyo trabajo fue «decisivo» para derrotar a Hitler

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Faustino Antonio Camazón, en París, en 1953 - Archivo Familiar

Tuvieron que pasar más de veinte años para que saliera a la luz la forma en que los aliados habían descubierto el sistema de comunicaciones encriptadas que los nazis utilizaron en la Segunda Guerra Mundial: el famoso código Enigma. La primera mención fue hecha en 1967 por el militar polaco Władysław Kozaczuk en "Battle for Secrets". A este le siguieron otros libros como el del jefe del servicio de información del Ejército francés, George Bertrand ("Enigma, el mayor enigma de la guerra 1939-1945"); el de un miembro de la inteligencia británica, Frederick W. Winterbotham ("The Ultra Secret"), y las sucesivas menciones que hizo en sus obra, durante la década de los 70, el historiador húngaro Ladislas Farago.

En ninguno de ellos, sin embargo, se daba el nombre de Faustino Antonio Camazón, el jefe de los siete matemáticos españoles que conformaban el conocido como " Equipo D ", que trabajó junto a los también matemáticos y criptógrafos Marian Rejewski y Alan Turing para descifrar los mensajes de Enigma. Una labor que el mismo presidente de Estados Unidos, Dwight D. Eisenhower, aseguró años después que había sido "decisiva" para derrotar a la Alemania nazi. ​

En el libro de Bertrand, publicado en 1973, se citaba a este Equipo D. El autor explicaba que este estaba integrado, efectivamente, por españoles exiliados procedentes del servicio secreto de la República ("cinco oficiales y dos comisarios") y que estaba dirigido por un tal "Camazón", aunque no se daban los nombres ni más datos para poder identificarle. En la obra "Enigma" de Kozaczuk, sin embargo, el historiador polaco se limitaba a indicar el apellido "Camazone", que otros expertos creyeron que se trataba de una mala transcripción de su apellido verdadero, como "Camacho", por ejemplo.

"Un tal Camazón"

La identidad del matemático vallisoletano permaneció oculta hasta bien entrado el siglo XXI. Ni siquiera su familia, que estaba al tanto de algunas de las batallas del abuelo Faustino en la Guerra Civil y en la Segunda Guerra mundial, supieron hasta veinte años después de su muerte en Jaca (Huesca), en 1982, que la labor de este había sido fundamental para acabar con Hitler. Y que su papel estaba a la altura del considerado padre de la informática, Alan Turing, del que se han hecho películas en Hollywood.

Una máquina electromecánica de cifrado rotativo similar a la comercial Enigma D

La primera pista en España de nuestro matemático la comenzó a seguir el profesor de Física de la Universidad de Granada, Arturo Quirantes, después de leer el libro " Criptografía y Seguridad en Computadores ", de Manuel Lucena, en el que se le mencionada brevemente: "Los polacos pusieron en conocimiento de los servicios secretos británico y francés sus progresos, esperando poder establecer una colaboración para seguir descifrando los mensajes germanos, pero la invasión de Polonia [en 1939] era inminente. Tras destruir todas las pruebas que pudieran indicar al Ejército alemán el éxito polaco frente a Enigma, el equipo de Rejewski huyó precipitadamente, transportando lo que pudieron salvar en varios camiones. Tras pasar por Rumanía e Italia y quemar todos los camiones por el camino, excepto uno, llegaron a París. Allí colaboraron con un equipo de siete españoles expertos en criptografía, liderados por un tal Camazon. Cuando al año siguiente Alemania invadió Francia el nuevo equipo tuvo que huir a África, y posteriormente en Montpellier, donde reanudaron sus reanudaron sus trabajos. En 1942, la entrada alemana en Vichy forzó a los matemáticos a escapar de nuevo, los polacos a España (donde murió Rozycki), y los españoles a África, donde se perdió definitivamente su pista".

A Quirantes le entró curiosidad y escribió en la revista " Enigma " algún artículo en el que, "por desgracia, los detalles no abundan. No es para menos. Fuera de alguna referencia fugaz en algún que otro libro, no se sabía nada del asunto", escribía. En mayo de 2006, un concejal del ayuntamiento de Sabiñánigo contactó con este profesor después de que su asociación Círculo Republicano del Alto Gállego hubiera recibido la visita de una persona llamada Luis Ballarín, que aseguraba ser sobrino del famoso criptoanalista español, al que había reconocido por una fotografía del famoso equipo de matemáticos. Después de aquello llegaron otros artículos -como el del profesor ibicenco José Ramón Soler en la revista "Cryptologia" en 2013, donde desvelaba datos desconocidos de Camazón y aportaba la probable identidad de los otros seis españoles- y hasta el reciente documental "Equipo D: Los códigos olvidados", de Jorge Laplace, proyectado en la última Seminci.

La Guerra Civil

El discreto y humilde matemático murió, pues, sin desvelar su crucial participación en la Segunda Guerra Mundial. En un reciente entrevista publicada por "El Heraldo de Aragón", Ballarín contaba las charlas de niño que tuvo con su tío Faustino, durante sus largas excursiones por el campo, sin darle entonces la importancia que este tenía. "Cuando vino en 1968 a Jaca aquí no se sabía lo que era la criptografía. No le di importancia, pero me contó muchas cosas. Tenía mucha documentación. Hablaba del sistema polialfabético a través del que unas letras sustituían a otras. Decía que les costó mucho descifrarlo", recordaba en este diario.

Camazón había nacido en Valladolid en 1901 y estudiado matemáticas en Madrid, a donde llegó enviado por sus padres, para ver si enderezaban su conducta, después de que este huyera como polizón en un barco a Colombia con tan solo 12 años. En la capital pronto aprendió francés, inglés y alemán y se convirtió en un alumno aventajado para su edad, destacando por su destreza para los números. También acudía a las tertulias en el Café Chinitas y hasta Santiago Ramón y Cajal lo menciona de pasada en sus memorias.

Ya de mayor entró en la Policía Criminal de Madrid, donde se especializó en criptografía para pasar después al servicio secreto español y servir durante las guerras coloniales españolas en África. Allí añadió un nuevo idioma a su currículo: el árabe. En la Guerra Civil ocupó un alto cargo policial del Gobierno republicano y conoció a su esposa en Barcelona, María Cadena, una enfermera de Matidero (Huesca) que trabajaba en un hospital. Cuando parecía que la victoria de Franco era solo cuestión de tiempo y los nazis, incluso, ya habían enviado la primera máquinas Enigma a España para empezar a enviar mensajes encriptados, Camazón se exilió a Francia y fue a parara a un campo de concentración del sur, como tantos otros españoles

La Segunda Guerra Mundial

Se creo que fue el oficial galo Gustave Bertrand, el mismo que se encargó de reclutar a un grupo de destacados matemáticos, el que fue a buscar a Camazón al campo de concentración del sur de Francia para que le ayudara a reorganizar el servicio de inteligencia en el puesto de escucha conocido como PC Bruno [Poste de Commandement Bruno]. Al parecer, se habían conocido años antes en África, pero es ahora cuando empieza la lucha del vallisoletano contra los nazis, en un equipo formado por quince polacos, nueve franceses y siete españoles que hicieron la vida imposible a Hitler y sus secuaces, aunque estos al principio no lo supieran.

Con este nombre operaron desde octubre de 1939 hasta que la firma del armisticio entre Francia y Alemania en junio de 1940, en que lo cambiaron por PC Cadix. Y estableciendo turnos para aumentar el rendimiento, descifraron numerosos mensajes del Ejército nazi en los que se informaba de importantes operaciones a las que los Aliados podían anticiparse. Los cinco oficiales y los dos policías republicanos, con Camazón a la cabeza, se integraron perfectamente en el equipo de Bertrand, donde Marian Rejewski, Jerzy Różycki y Henryk Zygalski, los polacos que había descifrado primero el código generado por la mítica máquina Enigma, eran los responsables.

El Equipo D estuvo en París hasta que Hitler invadió Francia el 24 de junio de 1940, fecha en la que se fue enviado a Argelia para trabajar en un ambiente tranquilo y en el anonimato durante los siguientes años. Entre medias hubo algún traslado ocasional al sur de Francia, momento en el cual se pierde el rastro a Camazón. Lo que parece claro es que siguió trabajando en las tareas de criptoanálisis junto a los servicios secretos ingleses y estadounidenses e, incluso, según el relato de su sobrino, asistió a la liberación de algunos de varios campos de exterminio.

Tras la guerra

Cuando se anunció el fin de la guerra en septiembre de 1945, los servicios secretos de Estados Unidos se percataron de que Camazón era una perla del espionaje e intentaron reclutarlo, pero se negó, convencido de que Francia se había portado muy bien con él. Por eso aceptó otra oferta en el Deuxième Bureau del Ministerio de Asuntos Exteriores como experto en Latinoamérica y España. Aunque no está claro del todo, se cree que no se dedicó tan sólo a labores criptográficas.

En Francia pasó las siguientes dos décadas, hasta que se jubiló en 1968 y regresó con su mujer a España, convencido de que ya no iba a sufrir represalias por parte del Gobierno franquista. Primero fueron a Pau y finalmente se instalaron en Jaca, donde recibe visitas de varios generales deseosos de conocer su experiencia en la Segunda Guerra Mundial. Pero aquella ya era para él viejas historias que no comparte con facilidad. Allí permaneció tranquilo, entre paseos con su sobrino Luis, hasta su muerte el 19 de octubre de 1982.

En 1939, cuando estalló la Segunda Guerra Mundial, Estigma era la tecnología punta de los alemanes para la protección de sus comunicaciones militares. Nadie duda hoy de que gracias Turing, Camazón y el resto de compañeros criptoanalistas, gran cantidad de la información nazi acabó en manos de los aliados. A veces incluso una o dos horas después de que se hubiera emitido. Por eso muchos historiadores estiman que esta operación masiva de criptoanálisis acortó la guerra en Europa nada menos que entre dos y cuatro años.

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El olvidado matemático de Valladolid cuyo trabajo fue "decisivo" para derrotar a Hitler

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La identidad de Faustino Antonio Camazón, jefe de los siete criptógrafos españoles que trabajaron junto a Alan Turing para descifrar el código Enigma de los nazis, no se conoció hasta más de medio siglo después de terminar la Segunda Guerra Mundial

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¿Para qué sirven realmente los logaritmos?

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John Napier, el primer matemático en definir los logaritmos

Alfonso J. Población
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Hace ya algunos meses, estando de albergue con nuestros hijos, un grupo de padres nos encontrábamos paseando entre montañas (un lugar tan bueno como cualquier otro), y charlando con uno de ellos, me acabó preguntando (suele pasar) sobre la necesidad de que los chicos tengan que estudiar "tantas" matemáticas. Por supuesto, le argumenté que en realidad no son tantas y es más que sería conveniente que aprendieran algunas más, o por lo menos, en algunos temas, con un enfoque en el que se constate su relevancia en nuestra vida cotidiana. Entonces me preguntó por, según su calificativo, los "dichosos" logaritmos, que él en particular no llegó nunca a saber para qué servían. Aunque traté de hacerle ver algunas de sus aplicaciones, evidentemente no era el lugar más adecuado para entrar en muchas profundidades, ni para ponerme a dar una clase, pero volví a constatar el gran desconocimiento y desconexión que los padres tienen del currículo escolar de sus hijos (hablamos de matemáticas, pero probablemente esta situación es trasladable a otras asignaturas).

Y este hombre, al menos se lo plantea, porque estoy convencido que a otros muchos (probablemente la mayoría) lo que aprenden sus hijos les importa más bien poco, fenómeno que se agudiza al pasar a la educación secundaria (en primaria, parece que estamos más concienciados de lo que van a aprender, seguramente porque son pequeños y aún no nos han cansado mucho). Por otro lado, en mi última entrada, hablé de algoritmos diferentes al clásico para multiplicar números grandes, así que el recuerdo con el que he empezado me viene de perlas para enlazar ambas cosas, por lo que hoy hablaremos de los logaritmos (no confundir algoritmo con logaritmo; no sé por qué hay confusión: tampoco es lo mismo mejillones y,..., canelones, ¿no? Aunque ahora que me fijo, antes de la terminación "ritmo" están las mismas letras, pero en otro orden; curioso).

Fugaz repaso histórico

A partir del siglo XVI los cálculos que se necesitaban hacer empezaban a ser de números grandes. El perfeccionamiento en las técnicas de navegación, las investigaciones en Astronomía, el cálculo de préstamos e intereses en la floreciente actividad económica, fueron los principales temas que requerían largas multiplicaciones, divisiones, etc. Por supuesto aún no existían calculadoras (aunque también empezaba a haber intentos). Y hacer los cálculos resultaba tedioso y podían cometerse errores, pero eran imprescindibles. Así que algunos matemáticos y científicos comenzaron a pensar sobre cómo facilitar esas cuentas.

Según indican los estudiosos de la Historia de las Matemáticas, ya Arquímedes se había planteado algo en esta dirección (recordemos que Arquímedes es del siglo III a. C. y que fue un gran solucionador de cuestiones prácticas, por lo que necesitaba también efectuar abundantes cálculos). Comparando una progresión aritmética (primera fila de la tabla adjunta, n) con una geométrica (segunda fila de la tabla, 2^n), se dio cuenta de que para multiplicar 128 por 512, en realidad no tenía más que sumar los valores de n de los que provienen (es decir, 7 + 9 = 16), y luego ir al lugar donde esté ese valor, que resulta ser 65536 (que es el producto de los dos números indicados). Obviamente necesita la tabla en cuestión, y que los números que necesita multiplicar estén en la tabla.

Para cualquier lector actual que haya entendido algo de la enseñanza primaria, esto no es más que una conocida propiedad de las potencias, aquella de que "para multiplicar potencias de la misma base, basta sumar los exponentes":

Pero, ¿cómo hago para multiplicar cualquier par de números? ¿Es que todos están en alguna tabla? ¿Y si dos números están en tablas diferentes? Afortunadamente, estamos en el siglo XXI (no cojan aún el móvil, la calculadora o el ordenador, no hagan trampa aún, que eso vendrá después) y el conocimiento matemático ha crecido mucho y bien. Gracias a eso podemos utilizar el concepto de función.

Ese 2^n de antes, únicamente tomaba valores enteros para el exponente n (1, 2, 3, ...), es decir, si lo llevamos a una gráfica, sólo tenía unos "pocos" valores (pocos entrecomillado, porque son infinitos). Pero ¿qué ocurre? Sólo aparecen tres puntos rojos (tres valores), porque el siguiente, 2^4 = 16, se nos sale de la gráfica. Los valores crecen potencialmente, muy rápido, y no "caben" en la escala que ponemos. Podemos hacer más pequeña esa escala, pero da igual, sólo veríamos un par de puntos más a lo sumo. Esto es importante para entender una de las aplicaciones de los logaritmos que comentaremos más adelante.

Como decía, gracias a la noción de función, podemos extender los valores del exponente a "más" n's. Ampliar el dominio, que decimos los matemáticos, y en vez de que n sea sólo válida para números enteros, que lo sea para números reales. Para diferenciarlo, introducimos una letra diferente, la x. Y así aparece la función f(x) = 2^x, cuya representación gráfica es ahora la señalada en color azul (he dejado los tres valores de antes, para que se vea que hemos "extendido" los posibles valores).

Obsérvese a partir de la gráfica que ahora se recorren en el eje vertical (eje de ordenadas) todos los pasibles valores de cero a infinito (ese es el conjunto imagen de la función), y no sólo el 2, el 4, el 8, etc. De modo que, si queremos buscar el 13, por ejemplo, sobre el eje OY, hay un valor en el eje OX (eje de abscisas) cuya imagen mediante la función es precisamente 13. Matemáticamente esos valores se encuentran mediante la función inversa, que es, en efecto la que suponen, la función logaritmo. En este caso como la base de la función potencial era el 2, el logaritmo es el logaritmo en base 2. Si hubiéramos dibujado la función 10^x, su inversa sería el logaritmo en base 10 (también llamado logaritmo decimal). En general, resulta por tanto que

En la siguiente gráfica vemos en negro la función potencial 2^x, en rojo su inversa, la función logaritmo en base 2, y en azul la bisectriz del primer y tercer cuadrante, y = x. La inversa de cualquier función, de existir, SIEMPRE es SIMÉTRICA respecto de esa bisectriz con la función de partida. Es decir, si doblamos por la línea azul, tienen que coincidir ambas funciones.

Fíjense que la gráfica roja, la logarítmica, sólo existe desde cero a infinito (o sea, que su dominio, su campo de existencia, son esos valores). No se puede por tanto intentar calcular el logaritmo de un número negativo, es una burrada. Por supuesto estoy hablando cuando trabajamos con números REALES, que alguien veo por ahí ya queriendo ponerme verde porque si trabajamos con números complejos sí es posible.

Por supuesto fueron muchas las personas involucradas en el desarrollo de todo esto que resumimos aquí en pocas líneas, y mucho el tiempo empleado. Entre ellos destacamos a Jobst Bürgi, John Napier y Henry Briggs, los dos últimos responsables además de confeccionar tablas numéricas con los valores de los logaritmos en diferentes bases. Seguro que muchos de ustedes recuerdan un librito que tenían que comprar además del de matemáticas en la escuela, las famosas tablas de logaritmos, una de cuyas últimas ediciones aparece en la imagen adjunta. Otro día les cuento cómo se confeccionaban dichas tablas, ahora veamos porqué fueron tan importantes.

Multiplicaciones de números grandes

Después de la idea teórica, bajemos a lo concreto. Supongan que necesitan multiplicar 2828 x 5257 (la idea sirve para números tan grandes como se quieran, pero les pongo un ejemplo no muy grande por abreviar), sin hacer la multiplicación, es decir, mediante una suma, que es más rápido y sencillo. Recordemos las propiedades elementales de los logaritmos, válidas en cualquier base a positiva:

Emplearemos la primera de esas igualdades para multiplicar xy (x es el 2828, e y el 5257 en nuestro caso). Tomamos la tabla de logaritmos que tengamos más a mano (en base 2, base 3, base 10, neperianos, da igual). La primera que he encontrado es la que ven de logaritmos decimales, es decir, en base 10. Vean que sólo tenemos los valores de los logaritmos entre 10 y 54, pero da lo mismo, nos sirve. Necesitamos saber el

Como los valores están entre 10 y 54, lo que vamos a hacer es buscar en la tabla

En dicha tabla vamos a obtener la parte decimal. La parte entera la tenemos que saber, porque, si entendieron la explicación inicial, comprenderán fácilmente que

Por tanto, como 28 está entre 10 y 100, la parte entera del logaritmo decimal será un 1. Vamos con los decimales. En la tabla nos colocamos en la fila del 28. Vamos hasta la columna del 2 (porque el tercer dígito de 2828 es el 2). Allí pone 4502. Seguimos a la parte de la tabla que pone Partes Proporcionales, y anotamos el valor de la columna del 8 (porque el cuarto dígito de nuestro número es un 8). Pone un 12. Lo ven, ¿verdad? Ahora sumamos 4502 + 12, dándonos 4514. Pues bien, entonces

Vamos con el 5257. Necesitamos calcular

Como la tabla sólo nos llega hasta el 54, calculamos

Procediendo como antes, se obtiene

Ahora, según la primera propiedad,

Finalmente nos toca "quitar" el logaritmo con la operación inversa, es decir, calcular 10^3.1722 (a esto se le llamaba obtener el antilogaritmo). Pero lo hacemos de nuevo (como entonces) con la misma hoja de la tabla que venimos utilizando. La parte entera es un 3, es decir que el número está entre mil y diez mil. Buscamos en la tabla el valor más cercano a 1722. Vemos que es 1703 que se encuentra en la fila del 14 columna 8. En esa misma línea, vayamos a las partes proporcionales. ¿Cuánto nos falta para llegar a 1722? Una simple resta, nos dice que 1722 - 1703 = 19. El valor más cercano es la columna del 6 en la que aparece un 18. Juntando todos esos valores, obtenemos 1486. Y resulta que 28.28 x 52.57 = 1486.6796. Y por tanto 2828 x 5257 = 14866796 (corremos la coma cuatro lugares, porque 2828 = 28.28 x 10^2, y 5257 = 52.57 x 10^2, y ya saben 10^2 x 10^2 = 10^4).

Defraudados, ¿verdad? Todo esto para obtener sólo los cuatro primeros dígitos de un número de ocho cifras. A ver señores, que sólo hemos utilizado una hoja de todo un libro de tablas, y además de sólo cuatro dígitos significativos. ¿Qué esperaban? Milagros a Lourdes (si son creyentes, claro). Por eso las tablas realmente útiles del siglo XVII y posteriores incluían al menos seis cifras significativas y con valores lo más altos posibles. Observen la portada de este libro de los años cincuenta: ¡¡del 1 al 20000!!

Pero esto no acaba aquí. Los logaritmos dan mucho más juego, como ya les contaré en próximas entregas. Para entonces les propongo que piensen en lo siguiente.

Reto 1: Sabiendo lo que da la multiplicación que hemos utilizado de ejemplo, y únicamente con la hoja que hemos utilizado, ¿se les ocurre algún modo de mejorar esas cuatro cifras y obtener con precisión alguna más?

Reto 2: ¿Sería posible calcular el producto o la división de cualquier par de números solamente con esta hoja? En caso contrario, dar un contraejemplo.
Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.

Temas

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¿Para qué sirven realmente los logaritmos?

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Alfonso J. Población Guardar Hace ya algunos meses, estando de albergue con nuestros hijos, un grupo de padres nos encontrábamos paseando entre montañas (un lugar tan bueno como cualquier otro), y charlando con uno de ellos, me acabó preguntando (suele pasar) sobre la necesidad de que los chicos tengan que estudiar "tantas" matemáticas.

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La banda de Möbius: cuánto juego da una sola cara - Gaussianos

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Introducción

La banda (o cinta) de Möbius (o Moebius) es una superficie con una sola cara y un solo borde que además es no orientable. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing.

Construcción de la banda de Möbius

Topológicamente hablando la banda de Möbius es un espacio topológico cociente. ¿Qué es eso? Pues más o menos es el resultado de aplicar una relación de equivalencia...

INCISO: Una relación de equivalencia es una forma de identificar elementos de un conjunto (cumpliendo ciertas propiedades), es decir, de agrupar los elementos de un conjunto en distintos subconjuntos (denominados clases de equivalencia) tal que en cada subconjunto cada par de elementos cumple la propiedad definida por la relación. Recomiendo este post de El Cedazo en el que se explica el tema con más detenimiento.

...sobre un conjunto (en este caso sobre un espacio topológico, pero no nos hace falta saber exactamente qué es eso). En este caso concreto el conjunto es el cuadrado y la relación de equivalencia es la siguiente:

Esta relación hace lo siguiente:

- Identifica los puntos del interior del cuadrado (los que no están en ningún borde) y los de los bordes superior e inferior consigo mismos, vamos, que los deja igual que están.

- Identifica los puntos del borde izquierdo con los del borde derecho de la siguiente forma: cada punto de la forma se identifica con el punto . Por ejemplo, el se identifica con el . En la figura de la derecha se puede ver esta forma de identificar estos puntos atendiendo al sentido de las flechas.

Para construir la banda de Möbius con Mathematica podemos utilizar el siguiente código:

a[s_]:={Cos[s],Sin[s],0};v={0,0,1};
X[t_,s_]:=(2t Cos[s/2]+1-Cos[s/2]) a[s]+(2t-1) Sin[s/2] v;
ParametricPlot3D[Evaluate[X[t,s]],{t,0.3,.7},{s,0,2 Pi},PlotPoints->30,Axes->False,Boxed->False]

quedando la siguiente figura:

¿Podemos construir esta superficie en la vida real? Sí, y además de forma muy sencilla:

Tomamos una tira de papel (en la definición hablamos de un cuadrado, pero vale cualquier rectángulo), la sujetamos por los extremos de forma que veamos una de sus caras, giramos uno de los extremos hasta que por ese lado veamos la cara que antes no veíamos y a continuación unimos los dos bordes que tenemos en las manos.

Algo así:

En la entrada del edificio de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Granada se puede contemplar una banda de Möbius colgada en una pared:

Y también pueden construirse con LEGO.

Y tan interesante es esta superficie que un gran divulgador como Clifford Pickover ha escrito un libro exclusivamente dedicado a ella, La banda de Möbius, que yo poseo y cuya portada es ésta:

Todavía no lo he leído, pero promete. Si alguien lo tiene y lo ha leído ya que nos cuente algo sobre él.

Propiedades

Como hemos dicho antes, la figura resultante es muy curiosa, tiene una forma algo extraña a primera vista. Como se ha comentado anteriormente, tiene una única cara y un único borde. ¿Cómo podemos comprobar eso? De forma muy sencilla:

Ponemos un dedo en un punto que no esté en el borde de la banda y lo deslizamos a lo largo de la misma. Vemos que así podemos llegar a cualquier otro punto. El caso del borde es el mismo: desde un punto del borde podemos llegar a cualquier otro punto situado también en él.

Un caso contrario a éste, por ejemplo, sería un cilindro hueco de altura . Tiene claramente dos bordes, el de arriba y el de abajo en la figura. Pero además tiene dos caras: la de dentro y la de fuera.

Curiosidades

La banda de Möbius es una superficie que da mucho juego a la hora de manipularla. Lo que vamos a ver ahora puede servir para que sorprendáis a vuestros amigos en algún momento propicio para este tipo de juegos:

1. Dibujemos con bolígrafo una línea en el centro de la banda y recortemos con unas tijeras por la misma. ¿Qué obtenemos?

2. Dibujemos dos líneas que dividan la banda en tres partes iguales y recortemos por una de ellas. ¿Qué obtenemos? ¿Y si cortamos despues por la otra línea?

3. Dibujemos ahora tres líneas que dividan a la banda en cuatro partes iguales y cortemos por cada una de ellas. ¿Qué obtenemos en cada caso?

Aplicaciones

Bueno, y ahora la pregunta del millón: ¿vale la banda de Möbius para algo en la vida real? Estoy seguro de que muchos de vosotros habéis respondido instantáneamente: NO. Pues estáis equivocados. Bueno, seamos serios, tampoco es que la banda de Möbius sea lo más útil que ha existido en toda la historia, pero alguna aplicación tiene. La que yo veo más clara es la siguiente:

Imaginaos la cadena de una bicicleta, o una correa de distribución, o cualquier cadena que realice un cierto recorrido. Imaginaos que la colocamos de forma, digamos, cilíndrica. ¿Qué ocurriría? Pues que siempre se desgastaría por el mismo sitio, ya que siempre rozaría en los apoyos por la misma cara. La colocamos ahora como una banda de Möbius. Así se desgasta por igual por toda su cara, es decir, conseguimos que el desgaste sea igual en todos los puntos del borde, obteniendo así una mayor duración y por tanto un ahorro.

Si conocéis alguna otra aplicación interesante no tenéis más que comentarla.

Algunos enlaces interesantes sobre el tema:
Hace más de tres años de que Gaussianos cambió de cara y, entre otras cosas, comenzamos a usar logo y favicon cuyo principal motivo es la banda de Möbius. Por ello era casi una obligación dedicarle un artículo a este curioso objeto matemático. Hoy es el día.

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La banda de Möbius: cuánto juego da una sola cara - Gaussianos

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La banda (o cinta) de Möbius (o Moebius) es una superficie con una sola cara y un solo borde que además es no orientable. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing . Topológicamente hablando la banda de Möbius es un espacio topológico cociente.

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Números primos gemelos, parientes y sexis (2) — Cuaderno de Cultura Científica

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En mi anterior entrada de la sección Matemoción de Cuaderno de Cultura Científica, titulada Números primos gemelos, parientes y sexis (1), estuvimos hablando de los números primos gemelos, que son aquellas parejas de números primos que están lo más cerca que pueden estar dos números primos, excepto el 2 y el 3, con solo un número par entre ellos, (, p + 2), así como de algunas familias de números primos relacionadas con los gemelos, como son los trillizos, cuatrillizos, quintillizos, etc.

En esta entrada, vamos a considerar otras familias de números primos, que también generalizan, en otro sentido, a los números primos gemelos, como son los números primos parientes y sexis.

Pero primero vayamos con un poquito de historia. Como puede leerse en el artículo A note on the Origin of the Twin Prime Conjecture (Nota sobre el origen de la conjetura de los números primos gemelos), del historiador de las matemáticas estadounidense William Dunham, en 1849 el matemático francés y oficial de artillería Alphonse de Polignac (1826-1863), un personaje prácticamente desconocido, publicó el artículo Recherches Nouvelles sur les Nombres Premiers ( Nuevas investigaciones sobre números primos), en la revista Comptes rendus de la Academia de Ciencia Francesa, en la que afirmaba lo siguiente (aunque lo presentó como un teorema, era más bien una conjetura).

Conjetura de Polignac: para cada número natural k, existen infinitos números primos p, tales que ( p + 2 k) también es primo.

Observemos que para k = 1, es la conjetura de los números primos gemelos.

El siguiente protagonista de esta historia es el matemático inglés James Whitbread Lee Glaisher (1848 - 1928), profesor del Trinity College de Cambridge y que tuvo una reconocida carrera dentro de la matemática y la ciencia británicas. En 1879, publicó en la revista Messenger of Mathematics, de la que fue editor durante 56 años, el artículo An Enumeration of Prime-Pairs (Enumeración de pares primos), en la que estudiaba lo que llamó "pares primos", que eran números primos "separados por un solo número" (lo que conocemos como números primos gemelos). Contó la cantidad de "pares primos" que había hasta un millón, dos millones, etcétera, con el objetivo de analizar la distribución de estos. Y afirmó " Hay poca o ninguna duda de que el número de pares primos es ilimitado; pero sería interesante, aunque probablemente no sencillo, demostrarlo ". Es decir, la conjetura de los números primos gemelos.

Aunque fue el matemático alemán Paul Stäckel (1862 - 1919), quien acuñó el término "números primos gemelos", en alemán Primzahl-Zwillinge, en un artículo de 1916. Poco después el matemático francés Viggo Brun, utilizaría ese mismo término en francés, en su artículo de 1919 (véase a entrada Números primos gemelos, parientes y sexis (1)), y acabó convirtiéndose en el término utilizado para ese concepto.

Sobre la conjetura de los números primos gemelos ya estuvimos hablando en la primera parte de esta serie, Números primos gemelos, parientes y sexis (primera parte) [https://culturacientifica.com/2019/09/04/numeros-primos-gemelos-parientes-y-sexis-1/]. En esta entrada vamos a analizar las otras parejas de números primos que aborda la conjetura de Polignac, en particular, los números primos parientes ( k = 2) y sexis ( k = 3).

Si los números primos gemelos son aquellas parejas de números primos tales que la diferencia entre ellos es 2 ( k = 1), es decir, parejas de primos ( p, p + 2), se van a llamar números primos parientes ("cousin" en inglés) a las parejas de números primos con una diferencia entre ellos de 4 ( k = 2), luego de la forma ( p, p + 4), como (3, 7), (7, 11) o (13, 17).

Las parejas de números primos parientes menores de 500 son (véase la sucesión A023200 de la enciclopedia online de números enteros):

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (463, 467), (487, 491), (499, 503).

La pareja de números primos parientes más grande conocida, a día de hoy, fue obtenida en 2009, y está formada por los números ( p, p + 4), tal que

para N = 587.502 x 9.001#, donde 9.001# denota el primorial de 9.001, que definiremos a continuación, que tiene 11.594 dígitos.

El primorial de un número n, que se denota n#, es una especie de factorial del número (véase Buscando lagunas de números no primos) que se define como el producto de todos los números primos menores, o iguales, que ese número n. Así, si tomamos el número primo 23, entonces 23# = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 = 223.092.870 o para el número 39 se tiene que 39# = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 = 7.420.738.134.810.

Para los números primos parientes existe un resultado análogo al teorema de Brun para números primos gemelos, es decir, la suma de los recíprocos de los números primos parientes (salvo la pareja 3 y 7)

también es convergente, y su límite es el número B ₄, conocido como constante de Brun para números primos parientes, que tiene un valor aproximado de 1,1970449 (véase el artículo On the Twin and Cousin Primes, de Marek Wolf).

Nos podemos interesar ahora por las ternas de números primos parientes, como (3, 7, 11). Pero resulta que esa es la única terna de números primos parientes que existe, puesto que si tenemos una terna de números primos de la forma ( p, p + 4, p + 8), necesariamente uno de ellos es divisible por 3. Esto es fácil de probar. Si escribimos p de la forma p = 3 n + r, donde r = 0, 1 ó 2, entonces la terna anterior es de la forma ( p = 3 n + r, p + 4 = 3 ( n + 1) + r + 1, p + 8 = 3 ( n + 2) + r + 2), luego si r = 0, el primer número de la terna es divisible por 3, si r = 1, lo es el tercero y si r = 2, lo es el segundo.

La siguiente familia de números primos, relacionada con la conjetura de Polignac, que nos interesa, son los números primos sexis. Estos son parejas de números primos de la forma ( p, p + 6), es decir, la diferencia entre ellos es 6 ( k = 3), como (5, 11), (7, 13) o (11, 17). Su nombre se debe a que la palabra en latín para el número "seis" es "sex" (de hecho, los diez primeros números, en latín, son unus, duo, tres, quattuor, quinque, sex, septem, octo, novem, decem).

Las parejas de números primos sexis menores de 500 son (véase la sucesión A023201):

(5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), (53, 59), (61, 67), (67, 73), (73, 79), (83, 89), (97, 103), (101, 107), (103, 109), (107, 113), (131, 137), (151, 157), (157, 163), (167, 173), (173, 179), (191, 197), (193, 199), (223, 229), (227, 233), (233, 239), (251, 257), (257, 263), (263, 269), (271, 277), (277, 283), (307, 313), (311, 317), (331, 337), (347, 353), (353, 359), (367, 373), (373, 379), (383, 389), (433, 439), (443, 449), (457, 463) y (461, 467).

Además, la pareja de números primos sexis más grande conocida, a día de hoy, es la pareja ( p, p + 6), tal que

con 31.002 dígitos, que fue encontrada por S. Batalov, en abril de 2019.

Algunas parejas de números primos sexis forman parte de grupos de tres primos muy próximos, como (5, 7, 11) o (7, 11, 13), lo que en la anterior entrada denominados números primos trillizos, los cuales son de la forma ( p, p + 2, p + 6) o ( p, p + 4, p + 6). Por lo tanto, en cada terna de números primos trillizos, hay una pareja de números primos gemelos, ( p, p + 2) o ( p + 4, p + 6), una pareja de números primos parientes, ( p +2, p + 6) o ( p, p + 4), y una pareja de números primos sexis, ( p, p + 6). Por ejemplo, en la terna de números primos trillizos (67, 71, 73), 71 y 73 son gemelos, 67 y 71 parientes, y 67 y 73 sexis.

A diferencia de lo que ocurría con los números primos parientes, que no pueden ir en grupos de tres, ahora se pueden considerar ternas de números primos sexis como (7, 13, 19), (17, 23, 29) o (31, 37, 43), formadas por tres números primos sexis consecutivos, ( p, p + 6, p + 12), tal que el siguiente p + 18 no es primo, pero podría serlo el anterior p - 6, y que llamaremos tripletes, o tríos, de números primos sexis.

Más aún, se pueden considerar cuartetos de números primos sexis, formados por cuatro números primos sexis consecutivos, de la forma ( p, p + 6, p + 12, p + 18), como (5, 11, 17, 23), (11, 17, 23, 29) o (41, 47, 53, 59). Curiosamente, salvo para el primer cuarteto, el primer número primo de cualquier cuarteto de números primos sexis termina en 1, como podemos observar en los primeros términos de la sucesión A023271, que está formada por los primeros primos de los cuartetos de números primos sexis: 5, 11, 41, 61, 251, 601, 641, 1091, 1481, 1601, 1741, 1861, 2371, 2671, 3301, 3911, 4001, 5101, ...

Sin embargo, no existen quintetos de números primos sexis, salvo (5, 11, 17, 23, 29), puesto que dados cinco números con una deferencia de seis entre ellos ( p, p + 6, p + 12, p + 18, p + 24), entonces uno de ellos debe ser divisible por 5, para lo cual basta escribir p de la forma p = 5 n + r, para r = 0, 1, 2, 3 ó 4.

Además de las parejas de números primos gemelos, parientes y sexis, se pueden estudiar otras parejas de números primos ( p, p + 2 k), para k mayor que 3, relacionadas con la conjetura de Polignac. Parejas de números primos cuya distancia entre ellos sea 8 ( k = 4), como (3, 11), (5, 13), (11, 17), (23, 31) o (29, 37), cuya distancia sea 10 ( k = 5), como (3, 13), (7, 17), (13, 23), (19, 29) o (31, 41), cuya distancia sea 12 ( k = 6), como (5, 17), (7, 19), (11, 23), (17, 29) o (19, 31), o mayores distancias aún.

1.- William Dunham, A Note on the Origin of the Twin Prime Conjecture , Notices of the ICCM, vol. 1, n. 1, pp. 63-65, 2013.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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Números primos gemelos, parientes y sexis (2)

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En mi anterior entrada de la sección Matemoción de Cuaderno de Cultura Científica, titulada Números primos gemelos, parientes y sexis (1), estuvimos hablando de los números primos gemelos, que son aquellas parejas de números primos que están lo más cerca que pueden estar dos números primos, excepto el 2 y el 3, con solo un ...

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Los fractales, entre las matemáticas y el arte

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El romanescu sigue patrones fractales - Archivo

Pedro Gargantilla
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La naturaleza no deja de seducirnos, ¿qué tienen en común el romananescu, las plumas de un pavo real, los helechos y un copo de nieve? Son tres ejemplos de fractales naturales, en los cuales su estructura básica, aparentemente irregular y fragmentada, se repite a diferentes escalas.

Desde el origen de la humanidad el Homo sapiens es un cazador de patrones, desde cromáticos hasta sonoros, pasando por espaciales, temporales y, como no, geométricos. La doble acción de descubrir y concebir este tipo de secuencias representa por sí misma una ventaja adaptativa.

Cuando una porción es idéntica al todo

El término fractal es relativamente joven, todavía no ha cumplido cincuenta años, fue en 1975 cuando el matemático Benoit B Mandelbrot lo acuñó a partir del latín "fractus" -roto o fragmentado- para designar un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas.

En otras palabras, a pesar de que nos alejemos o nos aproximemos siempre contemplaremos la misma estructura, es decir, existe una estructura geométrica recursiva.

Además de esta característica es preciso que en los fractales haya autosimilitud, bien sea exacta o estadística, y un algoritmo que los pueda definir.

Ecuaciones de iteración

La geometría fractal o de la naturaleza no sólo encierra una belleza en sí misma, sino que atesora los cimientos del orden y de la regularidad. En este sentido está emparentada con la sucesión de Fibonacci.

Esta geometría, llamada por algunos " divina", ya fue evidenciada por filósofos y matemáticos de la antigüedad, como Platón o Pitágoras, que la distinguieron claramente de la geometría más "matemática" y medible.

Los fractales aportan una complejidad extra a las figuras irregulares, una dimensión adicional a la clásica representación tridimensional. Fueron los científicos de la naturaleza los primeros en evidenciar que las matemáticas lejos de ser grises y aburridas esconden una ecuación que se repite hasta la saciedad -en cascada- y a la cual denominamos iteración.

Iteración es un vocablo que deriva del latín " iteratio " con el que se describe el acto y consecuencia de reiterar o repetir, entendiendo como tal desarrollar de forma repetida una acción o pronunciar nuevamente una palabra.

Las matemáticas en el arte

Aunque no seamos conscientes, estamos rodeados de fractales modernos y la mayoría son relativamente fáciles de reproducir. Probablemente, los más famosos sean el conjunto de Mandelbrot -la representación de una sucesión cuadrática a partir de un número complejo cualquiera- y el triángulo Sierpinski o la curva del dragón.

Un ojo entrenado no tendrá dificultades para descubrir la existencia de fractales en el arte, desde las mandalas hasta el arte islámico o azteca, pasando por la pintura surrealista de Dalí o la abstracta de Pollock.

Pero este tipo de patrones no sólo se limita al mundo del diseño artístico y pictórico, también podemos encontrar frecuencias fractales en el sonido de una catarata, en la música de Bach o el golpeteo que producen las olas del mar.

Bach subyugó las matemáticas a la estética musical, se ha dicho que sus composiciones están muy próximas a la perfección matemática y que en algunas de ellas hay acertijos matemáticos.

Para comprender la esencia de esta composición hay que tener en cuenta que el compositor alemán compuso sus piezas musicales en base a la fuga y el canon, dos elementos musicales que se basan en la repetición de melodías a diferentes escalas o velocidad. La fuga y el canon no son otra cosa que fractales musicales, iteraciones armoniosas. Aquí radica la belleza musical de Cello Suite No. 3 de Bach.
Pedro Gargantilla es médico internista del Hospital de El Escorial (Madrid) y autor de varios libros de divulgación

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Los fractales, entre las matemáticas y el arte

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Pedro Gargantilla Guardar La naturaleza no deja de seducirnos, ¿qué tienen en común el romananescu, las plumas de un pavo real, los helechos y un copo de nieve? Son tres ejemplos de fractales naturales, en los cuales su estructura básica, aparentemente irregular y fragmentada, se repite a diferentes escalas.

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Las matemáticas detrás del sistema electoral: ¿por qué el voto de un madrileño vale menos?

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Fernando Blasco
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Aunque los líderes políticos ya se han puesto en "modo campaña" creemos que todavía los lectores no están suficientemente saturados de elecciones como para leer esta sección del ABCdario de las matemáticas. Nos vamos a ceñir únicamente a cifras, datos y matemáticas. Con ellos, que cada uno haga lo que le parezca. Algunos otros números, relacionados con la cita que tendremos el 10 de noviembre, pueden consultarse en este mismo medio.

La verdad, es complicado para un matemático adentrarse en este mundo. No nos asustan los números pero sí las normativas. En nuestra ciencia se establece una serie de axiomas y, conforme a ellos, se desarrolla la teoría. Cuando he acudido a las fuentes para leer la ley electoral y escribir este artículo he visto que aparece una gran multitud de modificaciones a la Ley Orgánica 5/1985, de 19 de Junio, del régimen electoral general, que puede consultarse aquí.

El número de diputados

Hay que elegir 350 diputados, pero eso no lo dice la Constitución que, en su artículo 68, apartado 1 dice: "El Congreso se compone de un mínimo de 300 y un máximo de 400 Diputados, elegidos por sufragio universal, libre, igual, directo y secreto, en los términos que establezca la ley". Es en la Ley Orgánica 5/1985, del 19 de junio, a la que nos referíamos antes, donde se establece el número de diputados que compone el Congreso. El artículo ciento sesenta y dos, apartado 1 textualmente dice: "El Congreso está formado por trescientos cincuenta Diputados". He ahí que el legislador hizo la media aritmética de los límites superior e inferior previstos en la Constitución. En efecto: 350=(300+400)/2.

Los diputados se reparten según las circunscripciones electorales, que se corresponden con las provincias, más las ciudades autónomas de Ceuta y Melilla. El legislador otorgó, de salida, dos diputados a cada circunscripción electoral (uno a cada una de las ciudades autónomas) asignando de este modo 102 diputados y quedándonos 248 por repartir. Para hacer este reparto se utiliza una ley de repartos proporcionales que, por otra parte, tiene bastante sentido: se utiliza la población de cada provincia y esos 248 diputados se reparten proporcionalmente a la población. La población de cada provincia es una función que varía con el tiempo y, por ello, se debe fijar el momento en el que se hace el cálculo.

Personas censadas

Todas estas cuentas se hacen con referencia a el 1 de enero del año en el que se celebran las elecciones. Por tanto, en las elecciones del 10 de noviembre cada provincia elegirá al mismo número de representantes que eligió el 26 de abril.

Reconozco que esto me había sorprendido: la ley obliga que en cada convocatoria electoral se publique el número de diputados que corresponde a cada circunscripción y por ello pensaba que se calcularía con el último censo disponible antes de la convocatoria de elecciones. Además, se usa el número de personas censadas en la provincia, y no el número de persona con derecho al voto. Estos datos tuve que mirarlos porque, al escribir el artículo, me puse a echar cuentas y no me cuadraba lo que me resultaba con lo que tenía que ser. Y ese es motivo para preocuparse. En matemáticas esto ocurre frecuentemente y lo que se hace siempre es buscar el error y, en efecto, estaba allí: yo usaba cifras de censo electoral y, de acuerdo a la ley, debía utilizar cifras de población. De ahí la importancia de siempre tener un buen axioma.

El cálculo es sencillo: multiplicar la población de cada provincia por 248, dividir entre 46.722.980, que es la población de España y quedarnos con la parte entera de esa operación (es decir, olvidarnos de los decimales, porque no vamos a considerar medio diputado o un tercio de diputado, pero tampoco debemos borrar estos decimales porque después vamos a tener que recurrir a ellos).

Por ejemplo, en el caso de Albacete, con una población de 388.786 habitantes, la operación es

388.786 x 248 / 46.722.980 = 2,063629674305877

Por lo que a Albacete le corresponden 2 diputados en este reparto.

A lo mejor el lector se entretiene poniendo todos estos números en una hoja de cálculo y haciendo sus propias operaciones. Los datos se pueden obtener del Instituto Nacional de Estadística.

Cuando uno termina este proceso para las 53 circunscripciones se habrá dado cuenta de que ha repartido 219 de los 248 diputados que tenía que repartir, es decir, que aún nos queda asignar 29 diputados. Lo que se hace en este caso es ordenar de mayor a menor las partes decimales que habíamos suprimido y daremos un diputado más a las 29 provincias que están en los 29 primeros puestos de esa ordenación. Tiene sentido, ¿no?

Así, el total de diputados se consigue sumando los 2 que se dan "porque sí" (en realidad porque lo manda la ley), los que se han obtenido al calcular la parte entera de la operación anterior y, en el caso de que el decimal suprimido sea "grande", un diputado más. El reparto es el siguiente:

Soria, sin diputados

Hasta aquí, lo que hay. A partir de estos datos podríamos pensar en política-ficción o generar otras realidades posibles. Por ejemplo, ¿qué pasaría si no se "regalasen" dos diputados a cada provincia y se repartiesen proporcionalmente los 350 diputados? Soria, Ceuta y Melilla se quedarían sin diputados mientras que Madrid aumentaría a 50 diputados.

Problemas van a aparecer siempre: con el modelo actual el voto de un madrileño vale menos que el de un turolense: en las elecciones de abril de 2019 cada escaño en Madrid "costó" 102.222 votos, mientras que cada uno de los tres escaños de Teruel se consiguió con unos 26.027 votos. ¿Valen todos los votos igual? Por otra parte, si se hiciera el reparto proporcional puro, los votos de Soria, Ceuta y Melilla se tirarían. La forma matemática de expresar eso sería afirmando que "un diputado en Soria costaría infinitos votos".

Con circunscripción única las cosas cambiarían. La verdad que no tiene sentido que una persona que viva en Madrid se presente como diputado por la lista de Alicante, o que alguien de Guadalajara haya sido diputado por Almería. Pero es lo legal y hay que aceptarlo. Hagamos otra vez "política-ficción" y pensemos en una circunscripción electoral única con 350 diputados. Tras eliminar los partidos con menos del 3% de los votos el arco parlamentario quedaría muy cambiado (pero tampoco se habría podido llegar a acuerdos).
Con los datos de abril de 2019 resultaría esto:
PSOE 123 7.480.755 28,68% 112

PP 66 4.356.023 16,7 % 65

Cs 57 4.136.600 15,86% 62

UP 42 3.732.929 14,31% 56

VOX 24 2.677.173 10,26% 40

ERC- SOBIRANISTES 15 1.015.355 3,89% 15

Y otro problema es el del voto. Muchos estarán pensando si acudirán o no a las urnas en la próxima cita. Por ese motivo quizás convenga conocer algunos detalles numéricos sobre cómo se cuenta nuestra participación, puesto que el reparto de diputados a los diferentes partidos políticos dentro de cada circunscripción electoral importan tanto los votos emitidos como los válidamente emitidos. Y estos números no coinciden.

El voto nulo

Si una persona hace un voto nulo (por ejemplo escribiendo en la papeleta algo a mano, metiendo dos papeletas en el sobre, poniendo una papeleta que está rota, ...) figurará en las estadísticas de votantes (no se abstiene, es decir, no se queda en casa) pero su voto no es válidamente emitido. No se tendrá en cuenta ahí. Por el contrario, quien entrega un sobre vacío sí está votando válidamente e influye en un detalle que a veces olvidamos: solo se repartirán diputados los partidos o coaliciones que obtengan al menos un 3% de los votos válidamente emitidos en su circunscripción (y ahí cuentan los votos en blanco).

Hasta aquí alguna de las cuentas que hemos hecho. Si los lectores quieren podemos seguir jugando con los números y hablando de situaciones posibles. Pero creemos interesante que el lector puede jugar con una hoja de cálculo y trabajar con esos números.

No hemos hablado de Victor d'Hondt, un matemático, abogado, profesor universitario, jurista y político que ideó en 1878 una fórmula para realizar repartos proporcionales y que se utiliza en España. Sin embargo su idea no era original: el tercer presidente americano Thomas Jefferson ideó en 1792 un procedimiento de repartos proporcionales que arroja exactamente los mismos resultados que el sistema d'Hondt, aunque utilizando un algoritmo diferente.

Fernando Blasco es profesor de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Madrid, miembro de la Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) y miembro del Comité de Sensibilización Pública de la Sociedad Matemática Europea. El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME. Temas

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Las matemáticas detrás del sistema electoral: ¿por qué el voto de un madrileño vale menos?

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Fernando Blasco Guardar Noticias relacionadas Aunque los líderes políticos ya se han puesto en "modo campaña" creemos que todavía los lectores no están suficientemente saturados de elecciones como para leer esta sección del ABCdario de las matemáticas. Nos vamos a ceñir únicamente a cifras, datos y matemáticas.

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Las simetrías ocultas de la tabla de multiplicar

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Hace unos meses, buscando material para mi último libro (Los secretos de la multiplicación, Catarata, 2019), encontré un interesante artículo del profesor de francés argelino Zoheir Barka, que es un apasionado de las matemáticas, titulado Las simetrías ocultas de la tabla de multiplicar. En este artículo vamos a iniciar un pequeño paseo por algunas de ellas.

La idea de Zoheir Barka es crear diferentes patrones geométricos planos de color sobre la tabla de multiplicar, de tamaños variables, asociando colores a los múltiplos de algunos números. Por lo tanto, el punto de partida es una tabla de multiplicar cuadrada o rectangular, con un cierto número de filas y columnas, en función de las necesidades estéticas del patrón que se quiere realizar.

La siguiente imagen es una tabla de multiplicar normal, con los productos de los diez primeros números, del 1 al 10, a la que se ha añadido además los productos por cero, es decir, todo ceros, por lo que resulta una retícula cuadrada con 11 filas y 11 columnas.

Una vez que disponemos de la tabla de multiplicar, del tamaño que se considere oportuno, se trata de colorear cada celda en función de si el número de la celda es, o no, múltiplo de un número o de alguno de los números seleccionados.

El caso más sencillo sería dar color a los múltiplos de un número, por ejemplo el 2, y dejar sin color, o utilizar otro distinto, a los que no son múltiplos de 2. Obtenemos así el siguiente patrón, que es muy sencillo.

Es evidente que, si tomamos los múltiplos de un número primo como el 2, pero también el 3, el 5 y el 7, los patrones serán sencillos enrejados, como el anterior, pero con zonas cuadradas blancas, o sin colorear, más grandes aún. Para el 2 las zonas blancas eran sencillas celdas, para el 3 serían cuadrados de 2 x 2 celdas, para el 5 cuadrados de 4 x 4 celdas, y así para el resto de los números primos.

Es decir, se crea un patrón simétrico en el que se están repitiendo, en horizontal y vertical, bloques básicos de tamaño igual al número cuyos múltiplos se están considerando. A continuación, vemos los bloques básicos para 2, 3 y 5.

Pero si consideramos los múltiplos de números no primos, como el número 4, cuyo divisor no trivial es 2 (4 = 2 x 2), o el número 6, cuyos divisores no triviales son el 2 y el 3 (6 = 2 x 3), la estructura se complica un poco más, como vemos a continuación.

Por motivos estéticos podríamos llamar la "zona básica" de cada ejemplo a la cuadrícula de tamaño (n + 1) x (n + 1) si estamos considerando los múltiplos del número n, que consiste en añadir al bloque básico la siguientes fila y columna, cuyas celdas tienen color (ya que son los primeros múltiplos del número n) y que cierran los bloques básicos.

Así las zonas básicas de los casos en los que se consideran los múltiplos de los números 4, 6 y 10, que son producto de dos primos (iguales o distintos), son las siguientes.

Y si el número considerado es múltiplo de más números primos (iguales o distintos), como el 12, que es igual al producto 2 x 2 x 3, se complica un poco más el entramado. Veámoslo.

Otro ejemplo es el siguiente, en el que se muestra la zona básica del número 30, que es igual al producto 2 x 3 x 5.

Como vemos la estructura se enriquece en función de la cantidad de números primos que generan el número cuyos múltiplos se están coloreando.

El siguiente paso natural, que es el que considera también Zoheir Barka en su artículo, es considerar los múltiplos de dos o más números, utilizando tantos colores como números. Empecemos con los múltiplos de 2 y de 3, los números más pequeños posibles para los que esto tiene sentido, y coloreemos los múltiplos de 2 en verde y los múltiplos de 3 en azul. Aquí se nos plantea una duda, qué hacer con los números que son múltiplos de los dos, luego múltiplos de 6. Tendríamos tres opciones, que se mantenga el color del múltiplo mayor, que en este caso es el 3 (azul),

que se mantenga el color del múltiplo menor, que en este ejemplo es el 2 (verde),

o incluso, utilizar otro color para los múltiplos de 6 = 2 x 3, que en la siguiente imagen utilizamos el amarillo.

Veamos ahora un ejemplo en el que uno de los dos números no es primo, por ejemplo, 4 = 2 x 2, pero los números primos que lo componen, 2 (dos veces), no son el otro número primo, 3. En este caso, las zonas básicas que se repiten en las tres opciones son las de las siguientes imágenes. En cada uno de los casos hemos añadido a la versión con números, una sin números, que nos permite apreciar mejor el patrón geométrico que se genera.

El siguiente es un ejemplo de dos números que comparten un número primo, como los números 6 y 9, para los que el 3 es divisor de ambos. Mostramos las zonas básicas en los casos en los que prima, en el primero, el color del número 9 y, en el segundo, el color del número 6.

Para terminar, tomamos un ejemplo en el que uno de los números es múltiplo del otro. Por ejemplo, los números 6 y 12.

Para generar los anteriores patrones simétricos se han utilizado números pequeños. Con números más grandes, que posean más números primos en su descomposición en factores, las estructuras serán más ricas, aunque también con bloques básicos más grandes y se necesitará mucho más espacio para representarlos.

Por ejemplo, para los números 10 y 12 el bloque básico es una cuadrícula de tamaño 60 x 60, ya que 60 es el mínimo común múltiplo de 10 y 12. La siguiente vuelta de tuerca sería utilizar más números y colores.

Las simetrías ocultas de la tabla de multiplicar constituyen una actividad lúdica y didáctica que enlaza las matemáticas con el arte. Más aún, constituyen una interesante herramienta de creación artística.

Una versión de este artículo fue publicada originalmente en el Cuaderno de Cultura Científica, una publicación de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU.

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Las simetrías ocultas de la tabla de multiplicar

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Hace unos meses, buscando material para mi último libro (Los secretos de la multiplicación , Catarata, 2019), encontré un interesante artículo del profesor de francés argelino Zoheir Barka, que es un apasionado de las matemáticas, titulado Las simetrías ocultas de la tabla de multiplicar .

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Para medir el arco de meridiano.

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Los viajeros de la expedición para medir el arco del meridiano

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LOS VIAJEROS DE LA EXPEDICIÓN PARA MEDIR EL ARCO DEL MERIDIANO: Testimonios bibliográficos en la Biblioteca Histórica de la Universidad Complutense

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Series que te acercan a las matemáticas | Ciencia | EL PAÍS

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Una escena de 'Futurama'.

Hay series de televisión que ayudan a popularizar la ciencia. En un artículo de The Guardian se afirmaba que el espectacular incremento en las matriculaciones en asignaturas de física en las universidades de Reino Unido se debía, entre otros factores, a la popularidad de series como The Big Bang Theory. Otras series como The Simpsons también están plagadas de referencias matemáticas, posiblemente introducidas por los numerosos físicos y matemáticos que hay entre sus guionistas y productores.

Parte de esos mismos profesionales son también los creadores de la serie Futurama. Esta ficción está ambientada en el siglo XXXI, lo que ofrece a los guionistas más libertad para incluir referencias que romperían demasiadas convenciones en otro contexto. Algunas de estas referencias son muy sutiles, como objetos que aparecen en segundo plano en las tramas: cervezas embotelladas en botellas de Klein (un tipo de superficie no orientable) o un par de archivadores en un armario marcados con las letras P y NP, que hace referencia a un famosísimo problema en matemáticas aún sin resolver.

Sin embargo, otras referencias son explícitas y centrales en los capítulos. Por ejemplo, en un episodio se celebra una carrera entre naves espaciales sobre en una cinta de Möbius, y luego los personajes colapsan a dos dimensiones y viajan por un mundo plano conociendo a sus habitantes, en una clara referencia a la novela satírica escrita por Edwin Abbott en 1884, que parodiaba a la sociedad victoriana de la época Flatland: a romance of many dimensions.

Los guionistas fueron aún más allá en el décimo capítulo de la sexta temporada de la serie, llamado El prisionero de Benda. En este capítulo varios personajes emplean una máquina intercambiadora de mentes para poder usar los cuerpos de otra persona. Tras el primer intercambio, descubren que dos cuerpos que ya han intercambiado mentes una vez entre sí no pueden volver a hacerlo, lo que convierte la trama del capítulo en un sofisticado problema de teoría de grupos de permutaciones.

Según avanza el capítulo las cosas se complican, y tras siete intercambios de mente, hay nueve personajes que tienen su mente en un cuerpo distinto. La restricción hace que sea imposible reordenar las mentes usando a una persona extra que devuelva una a una las mentes a su sitio.

Para resolver esta situación los personajes tienen que emplear un teorema original que creó un guionista de la serie con el propósito específico de resolver la trama argumental. Muestra del buen hacer matemático, el teorema se presenta junto con una demostración correcta de manera explícita en el capítulo. Y se ejemplifica tanto la problemática de la que surge, como la solución que se le da. El capítulo no contiene solo una alusión a un resultado o hecho científico, contiene entera la construcción de una teoría original. Esta afirmación ahora se conoce como el teorema de inversión de Keeler o teorema de Futurama. Aunque no parece que se llegara a publicar en una revista cientifica, sí que hay referencias al tema en otros artículos científicos.

El guionista del capítulo, llamado Ken Keeler, se doctoró en matemáticas aplicadas en la Universidad de Harvard. Y gracias a este capítulo ganó el premio Writers Guild of America Award for Outstanding Writing in Animation, que de hecho, ya había recibido por el guion del vigésimo capítulo de la tercera temporada de Futurama también.

David X. Cohen, físico y guionista de la serie, decía en una entrevista a la American Physical Society que por regla general procuraban que el entretenimiento fuese el propósito principal de la serie, por encima de la precisión científica, aunque admitía que le preocupaba que Futurama presentase ciencia incorrecta. Pero la contribución de Futurama va más allá de unas cuantas bromas que entienden las personas con estudios especializados en ciencias, ha mostrado al público general (a su manera) cómo es el proceso y los métodos que se emplean en matemáticas.

Ignacio del Amo es matemático y miembro de la Oficina de Comunicación del ICMAT.

es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT).

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Hay series de televisión que ayudan a popularizar la ciencia. En un artículo de The Guardian se afirmaba que el espectacular incremento en las matriculaciones en asignaturas de física en las universidades de Reino Unido se debía, entre otros factores, a la popularidad de series como The Big Bang Theory.

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¿Lennon o McCartney? Las matemáticas resuelven la duda - BBVA Aprendemos juntos : BBVA Aprendemos juntos

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¿Lennon o McCartney? Las matemáticas resuelven la duda

Keith Devlin

Keith Devlin

· Matemático

Es uno de los mayores divulgadores de matemáticas del mundo.
Keith Devlin asegura que las matemáticas del siglo XXI se basan en la creatividad: "La mayoría de la gente sigue pensando que las matemáticas son solo fórmulas y cálculos, pero eso ahora lo hacen las máquinas". Y añade: "La mente humana no debe aspirar a convertirse en una calculadora". Para Devlin, el problema es que se sigue enseñando solo la parte aburrida. Pero no se explica a los alumnos cómo son las matemáticas apasionantes, aquellas que se basan en el análisis y la creatividad: "Es como cocinar. Si te limitas a seguir una receta paso a paso, como en una fórmula, nunca llegas a disfrutar de la parte divertida de la cocina, en la que puedes experimentar". Keith Devlin es autor de más de una treintena de libros de divulgación. Este matemático y profesor, es además cofundador del 'Instituto de Investigación Avanzada de Ciencias humanas y tecnologías' de la Universidad de Stanford. Su investigación se centra en el uso de diferentes medios para enseñar matemáticas al público general. También es el creador de la red de investigación 'Stanford mediaX' y de 'BrainQuake', una compañía que crea videojuegos para facilitar el aprendizaje de las matemáticas.

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Las matemáticas del siglo XXI son pura creatividad

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¿Lennon o McCartney? Las matemáticas resuelven la duda

La curiosa relación entre las matemáticas y 'Juego de tronos'

Keith Devlin

Es uno de los mayores divulgadores de matemáticas del mundo.
Keith Devlin asegura que las matemáticas del siglo XXI se basan en la creatividad: "La mayoría de la gente sigue pensando que las matemáticas son solo fórmulas y cálculos, pero eso ahora lo hacen las máquinas". Y añade: "La mente humana no debe aspirar a convertirse en una calculadora". Para Devlin, el problema es que se sigue enseñando solo la parte aburrida. Pero no se explica a los alumnos cómo son las matemáticas apasionantes, aquellas que se basan en el análisis y la creatividad: "Es como cocinar. Si te limitas a seguir una receta paso a paso, como en una fórmula, nunca llegas a disfrutar de la parte divertida de la cocina, en la que puedes experimentar". Keith Devlin es autor de más de una treintena de libros de divulgación. Este matemático y profesor, es además cofundador del 'Instituto de Investigación Avanzada de Ciencias humanas y tecnologías' de la Universidad de Stanford. Su investigación se centra en el uso de diferentes medios para enseñar matemáticas al público general. También es el creador de la red de investigación 'Stanford mediaX' y de 'BrainQuake', una compañía que crea videojuegos para facilitar el aprendizaje de las matemáticas.

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¿Lennon o McCartney? Las matemáticas resuelven la duda

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Generated with Avocode. Path Generated with Avocode. Rectangle Copy Rectangle Icon : Pause Rectangle Rectangle Copy Keith Devlin Es uno de los mayores divulgadores de matemáticas del mundo. Keith Devlin asegura que las matemáticas del siglo XXI se basan en la creatividad: "La mayoría de la gente sigue pensando que las matemáticas son solo fórmulas y cálculos, pero eso ahora lo hacen las máquinas".

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Matemáticas viguesas para saber antes de operar qué dispositivo se adapta mejor

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Matemáticas viguesas para saber antes de operar qué dispositivo se adapta mejor

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Marcos Loureiro García ha diseñado un modelo matemático capaz de predecir qué dispositivo concreto se ajusta más a las necesidades de una persona

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Cómo averiguar el número de pelos en las cabezas de los madrileños por el principio del palomar

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Paseantes por el centro de Madrid - Adobe Stock

Alfonso J. Población
Actualizado:
Una de las cosas que hace de las matemáticas una disciplina modélica, veraz y, (esta es una apreciación subjetiva personal) apasionante, es la obligación imprescindible de que cualquier afirmación o resultado que se realice vaya acompañado de una demostración. Por supuesto, que además sea correcta e irrefutable, porque si no, no serviría para nada. Cualquier artículo matemático debe tener esa prueba; si no, los matemáticos ni se molestan en leerlo. Vamos, que no pierden ni medio segundo, que la vida tiene muchas cosas interesantes que hacer para perder el tiempo leyendo tonterías (y entre esas cosas interesantes está el no hacer absolutamente nada, que es más provechoso que leer tonterías, como digo).

Obviamente si la demostración es muy sencilla o elemental, el autor lo indica y no hace falta que la incluya (lo cual hace que muchos lectores que no tengan cierto nivel en el campo al que pertenezca el escrito, y eso puede incluir grandes matemáticos expertos en otras ramas, pero no en esa, se queden a dos velas). No está de más recordar que, cuando un resultado matemático se ha demostrado correctamente, queda automáticamente inmortalizado por los siglos de los siglos: jamás nadie podrá echarlo abajo. El teorema de Pitágoras, demostrado hace siglos, seguirá siendo válido eternamente, aquí y en los posibles millones de mundos que puedan existir. No sucede esto con ninguna otra disciplina que yo sepa, ni siquiera científica. No porque éstas no sean rigurosas, que lo son y mucho, sino porque, al ser experimentales, siempre están condicionadas por un nuevo descubrimiento (la aparición de un nuevo objeto celeste, un nuevo elemento químico, una nueva especie animal, un fenómeno físico desconocido, etc.).

Pueden formularse nuevas teorías que amplíen las conocidas, que las mejoren, pero esas deben ser también verificadas y comprobadas, y nunca podrán echar por tierra nada que ya pasó ese trámite. Una de las razones por las que yo elegí estudiar matemáticas (hay otras menos filosóficas también) es esa: no quiero aprender nada que en el futuro no sirva para nada, o algo que sea mentira, o que me engañe nada ni nadie (algo a lo que en la vida cotidiana parece que a nadie le importa demasiado, y no sigo por ahí que luego me dicen que esto no debe ser un artículo de opinión).

Si les cuento esto es porque pretendo no sólo transmitir aspectos técnicos de las matemáticas (que todos sabemos cómo son porque todos hemos ido a la escuela), sino también ayudar a entender su filosofía, que tienen detrás, porqué se centran en unas cosas y no en otras, particularidades que no se enseñan salvo que uno lea los textos adecuados o viva cómo se trabaja matemáticamente. Creo que un ABCdario de las matemáticas debe tener también algo de esto, y por eso de vez en cuando lo incorporo.

A pesar de esa gran virtud de las demostraciones matemáticas, éstas son también la mayor de las pesadillas de los estudiantes, o de los neófitos en la materia. Algunas, no podemos negarlo, son muy complicadas de entender o asimilar, lo que también nos ayuda a valorar las grandes mentes que ha dado (y seguirá haciendo) la humanidad, y seguramente (me vuelvo a desviar) lo animales que estamos siendo permitiendo que todo este maravilloso mundo se vaya al garete (y no lo duden, ahí nos dirigimos) por primar intereses espúreos y de beneficio (para algunos) más inmediato.

Sobre las demostraciones falta una última característica, muy valorada por los matemáticos, pero que, si no se logra, tampoco nos volvemos locos: la elegancia. Esta idea sublima una demostración a la categoría de arte. ¿Y cómo sabemos si una demostración es elegante? Créanme, nada más verla, se nota. Quizá algún día nos metamos con esto del estilo de las demostraciones, pero hoy por hoy quedémonos en que, no todas las demostraciones son iguales (un ejemplo rápido de prueba que personalmente me parece elegante es la de Euclides de que existen infinitos números primos, por ejemplo, pero pueden discrepar, si no están de acuerdo).

"Discurso del método", primera edición de 1637

Precisamente Euclides es quien pone las bases en sus Elementos a lo que son las demostraciones en matemáticas. Posteriormente René Descartes consolidará en su Discurso del método (1637; en la imagen portada de la primera edición) lo que es el rigor en los desarrollos de las demostraciones. Hablando de este gran filósofo y matemático (nadie lo va a negar), es de justicia decir (en otras cosas porque nos concierne bastante de cerca) que existen fundamentadas controversias sobre si Descartes fue el primero o no en establecer las ideas del Discurso o se pudo basar en lo escrito por otros pensadores, concretamente por dos españoles, Francisco Sánchez, apodado el Escéptico, y el medinense Gómez Pereira. Pero como todo, depende de quienes escriban la Historia, y los españoles nunca estuvimos bien considerados en el pasado respecto a la ciencia, por motivos diversos, uno de los no menos relevantes es la escasez de trabajos en esta área del conocimiento (las cosas han mejorado mucho desde el siglo XIX, aunque los gobiernos se sigan empeñando en apoyarla poco, y me sigo metiendo en camisa de once varas, pero es que las hay; si no las hubiera, no cabría opción de meterse en ellas).

Palomas en sus palomares - Wikipedia

El principio del palomar

Dicho lo cual, vamos a hablar de una de las técnicas más habituales de demostración en matemáticas (hay varias: quizá la más conocida sea la reducción al absurdo, o la inducción, o la búsqueda de un contraejemplo, o la deducción, pero hay más) y que, a pesar de su extremada simplicidad, da bastante juego si aprendemos a aplicarla correctamente. Me refiero al principio del palomar. Puede parecer una denominación peculiar, pero es que es de esos resultados que se presta perfectamente a un entendimiento universal. Este principio viene a decir que, si tenemos n palomares y m palomas, siendo m > n (o sea que hay más palomas que palomares), y todas ellas se recogen a dormir en ellos, entonces en algún palomar hay más de una paloma. Parece de Perogrullo, ¿verdad?, pero esta evidencia permite hacer demostraciones inesperadas. Por ejemplo, una cuestión que Miguel de Guzmán recoge en varios de sus escritos, entre ellos su entretenido libro Cuentos con cuentas (1984):

"En cualquier momento hay en Madrid más de 20 personas con exactamente el mismo número de pelos en su cabellera"

¿Cómo demostrar esta afirmación? El mismo lo indica: "hazte un palomar con 150.000 agujeros, número de pelos que como mucho soporta un mortal en su cabeza, y vete metiendo a cada madrileño en el agujero correspondiente a su número de pelos". Está claro, ¿no? Como en Madrid hay más de 3 millones de habitantes, seguro que en alguno de los 150.000 huecos hay más de 20 personas.

Pero el principio es aplicable en resultados no tan evidentes. Profundicemos un poco. El resultado suele aplicarse a cuestiones de teoría de números. Veamos un ejemplo de tipo geométrico:

En el dibujo se ha representado en azul el cuadrado de lado dos unidades. Dentro he colocado cinco puntos (las palomas) al azar en color rojo. A continuación, he dividido el cuadrado en cuatro cuadrados más pequeños a la mitad de cada lado (los palomares). Son cuadrados de lado una unidad obviamente y hay cuatro.

Por tanto, en alguno debe haber, por el principio del palomar, más de un punto (en este caso hay dos puntos en dos de los cuadraditos pequeños, uno en otro y ninguno en el cuarto).

Queremos probar que al menos una pareja se encuentra a una distancia menor que raíz cuadrada de dos (puede haber más, pero se trata de demostrar que por lo menos una pareja está a esa distancia). Entonces nos ponemos en el peor de los casos, es decir colocamos los puntos a la distancia lo más alejada posible. Esa es la marcada por la diagonal de los cuadraditos pequeños, que por el teorema de Pitágoras (tenemos un triángulo rectángulo isósceles de catetos una unidad cada uno), resulta ser:

Así que, si en el peor de los casos, los puntos de cualquiera de los cuadraditos pequeños, están como mucho, a distancia raíz cuadrada de dos, el resto lo estarán a menor, con lo que se ha probado el enunciado propuesto.

Un grupo de ejercicios en los que da buenos resultados el principio del palomar son aquellos que tienen que ver con reuniones. Por ejemplo:

"Probar que, en cualquier reunión de 6 personas, siempre hay o tres personas que se conocen entre ellas o tres que no se conocen"

Para demostrar esta afirmación que puede parecer chocante a simple vista, valgámonos de nuevo de un pequeño dibujo. Representemos sobre un círculo seis puntos, y unámoslos mediante un segmento dos a dos (en efecto, como en un grafo) de rojo (indicando que esas dos personas no se conocen), o de verde (indicando con ello que sí se conocen).

Cuando tres de ellos aparezcan unidos por un triángulo con sus tres lados de un solo color (rojo o verde), entonces habrá quedado probado que hay tres personas que o se conocen, o no se conocen. Pues bien, aunque tratemos de evitarlo, siempre va a aparecer un triángulo con todos sus lados de un mismo color (otro enunciado diferente de la misma cuestión, nuevamente de tipo geométrico). Vamos a razonar, a partir de la imagen adjunta, tratando de que no se cumpla el enunciado, a ver qué sucede.

Como son seis personas (numeradas del 1 al 6; en lo sucesivo los designaré sólo con los números), hay 5 posibles segmentos que los unan de dos en dos. Por tanto, aplicando el principio del palomar, hay al menos tres segmentos del mismo color. Razonemos a partir de una cualquiera de las personas, por ejemplo, la 1. Supongamos que esos tres segmentos de color rojo (no se conocen) para 1 son 1 - 3, 1 - 4 y 1 - 5 (los dibujados). Ahora puede ocurrir:

I.- Si 3 - 4 fuera rojo, el resultado estaría probado porque el triángulo 1 - 3 - 4 es del mismo color, y entonces habríamos encontrado tres personas que no se conocen.

II.- Si 3 - 4 es verde y 4 - 5 rojo, también habríamos acabado porque 1 - 4 - 5 es rojo.

III.- Si 4 - 5 es verde y 3 - 5 rojo, habríamos terminado porque 1 - 3 - 5 es rojo.

IV.- Si 3 - 5 es verde, entonces 3 - 4 - 5 es verde, y tendríamos tres personas que se conocen.

La historia del principio del palomar

El principio del palomar fue establecido por el alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1834 (el que logró definir de forma precisa el concepto de función, entre otros logros), y es aplicable a muchas otras disciplinas aparte de las propiamente matemáticas. En informática, por ejemplo, es frecuente.

Con mucha frecuencia el número de posibles valores que pueden tomar los elementos de un vector supera el número de sus índices, produciéndose una colisión en una tabla hash. O en la compresión de archivos mediante algoritmos sin pérdida. Una rama más específica de las matemáticas, la teoría de Ramsey, también utiliza este principio (el problema de la fiesta, similar al descrito de la reunión de las seis personas es del tipo de cuestiones que contempla).

Recomendación para el verano

Una última recomendación de cara al verano, periodo en el que lo normal es tener más tiempo libre, y a veces hasta hay momentos de aburrimiento (que también son saludables, yo creo). A los que gusten de resolver enigmas y otras cuestiones no demasiado complicadas (esto es subjetivo, obviamente), cada verano propongo en DivulgaMAT (portal de divulgación de la RSME) un concurso cinéfilo-matemático.

Este es el enlace. Se trata de conjugar matemáticas y otras disciplinas usualmente "confinadas" en las llamadas "humanidades" (ya saben que no comparto esa distinción ciencias vs letras, porque la cultura, para mí, es única y no tiene apartados estancos, aunque algunos se empeñen en endosárselos), de modo que hay cuestiones de ambos tipos en torno al descubrimiento de alguna película que hay que descubrir. El objetivo es pasar algún rato agradable, y aprender algo si fuera posible. Espero que sea de su agrado.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME. Temas

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Cómo averiguar el número de pelos en las cabezas de los madrileños por el principio del palomar

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Alfonso J. Población Actualizado: Una de las cosas que hace de las matemáticas una disciplina modélica, veraz y, (esta es una apreciación subjetiva personal) apasionante, es la obligación imprescindible de que cualquier afirmación o resultado que se realice vaya acompañado de una demostración.

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En estas pginas vamos a descubrir como se usan matemticas para estudiar restos seos, como se aplica el concepto de la "Ley de Benford" para descubrir fraudes fiscales y tambin resolveremos una bsqueda de un sospechoso huido convirtindolo en un problema matemtico.

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Ohio es el "estado testigo" de las elecciones estadounidenses, ya que sus ciudadanos suelen ser los que más se aproximan a los resultados en el conjunto del país. A principios de los 80, el PSOE eligió Betanzos como uno de los ohios para predecir los resultados de las elecciones generales, una estrategia que también empleó el PP de Fraga durante años.

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Los enigmas escondidos en el retrato del matemático Luca Pacioli

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Cuadro titulado "Retrato de Luca Pacioli con alumno", situado en el Museo Nacional de Capodimonte (Nápoles) - Jacopo de'Barbari

PEDRO GARGANTILLA
Actualizado: Noticias relacionadas
En el Museo Nacional de Capodimonte (Nápoles) se encuentra un cuadro titulado "Retrato de Luca Pacioli con alumno", la obra más representada en los libros de historia de las matemáticas. En él aparece el famoso matemático Luca Pacioli (1445-1517).

La obra se atribuye al pintor Nicolo Barbari (1445-1516) -discípulo de Alberto Durero-, aunque hay estudiosos que afirman que pudo salir del taller de Leonardo da Vinci (1452-1519), por aquel entonces amigo personal del insigne matemático.

El fráter matemático

Pacioli hizo votos de castidad y pobreza como fraile franciscano en 1472, por ese motivo en el cuadro aparece ataviado con el hábito de la orden. El pintor lo representa señalando con un pizarrín, una construcción geométrica, en cuyo centro aparece el nombre de Euclides.

Es precisamente este detalle el que ha aventurado a algunos expertos a defender la teoría que toda la composición es en sí misma la solución a uno de los enunciados de este matemático.

La mano izquierda de Pacioli descansa sobre un libro abierto, probablemente una copia del siglo XIII de "Elementos", de Euclides. A la derecha aparece otro libro, de canto, en donde aparecen las iniciales del matemático. Probablemente, se trate de "Summa", su obra más prestigiosa y la gran enciclopedia matemática del siglo XV.

En "Summa" se describe por vez primera el método de la doble entrada -debe y ha de haber-, por lo que Pacioli es considerado el padre de la contabilidad moderna.

Sobre el libro "Summa" aparece un dodecaedro ejecutado en madera, el quinto sólido platónico, al que se le asignaba la quinta esencia -el éter- la sustancia que formaba el cielo. Hay que tener presente que en la época que se pintó este cuadro había una gran pasión por este elemento, ya que era la base de numerosas teorías matemáticas.

Una extraña figura geométrica

En la esquina superior izquierda aparece representado un rombicuboctaedro de cristal, lleno de agua hasta la mitad y suspendido de un hilo. Esta figura es un sólido convexo formado por veintiséis caras y que simbolizaba la pureza y la intemporalidad.

Sobre la mesa hay, además, una esponja, un compás, una tiza, un transportador de ángulos ... que dan un cierto aire de misterio a la composición y, de forma metafórica, sirve al Pacioli de tarjeta de presentación.

En cuanto a la composición, es posible que el pintor lo representase en mitad de una clase y el que aparece a su izquierda sea simplemente el "eterno estudiante". Algunos defienden que el alumno es el duque Guidobaldo da Montefeltro, un personaje de noble porte que mantiene fija la mirada hacia el espectador, ajeno a lo que sucede a su alrededor.

En 1493, mientras impartía clases de matemáticas en la Universidad de Padua, su orden le amonestó por relajarse en sus funciones religiosas y extralimitarse en su pasión matemática. Le castigaron a abandonar las aulas universitarias.

Pacioli no tuvo más remedio que trasladarse a Asís, ya que pesaba sobre él la amenaza de excomunión. El exilio forzado se prolongó durante dos interminables años, hasta que el papa Julio II le permitió retornar a sus actividades académicas.

- M. Jara

Pedro Gargantilla es médico internista del Hospital de El Escorial (Madrid) y autor de varios libros de divulgación.
Temas

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Los enigmas escondidos en el retrato del matemático Luca Pacioli

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PEDRO GARGANTILLA Actualizado: Noticias relacionadas En el Museo Nacional de Capodimonte (Nápoles) se encuentra un cuadro titulado "Retrato de Luca Pacioli con alumno", la obra más representada en los libros de historia de las matemáticas. En él aparece el famoso matemático Luca Pacioli (1445-1517).

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Este robot de Toyota tiene más éxito encestando triples que un jugador profesional

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Quizás lo único que nos quedaba por ver es un jugador robot de baloncesto que es capaz de encestar tres puntos incluso con un porcentaje mayor que algunos jugadores profesionales.

Este robot de Toyota Motor Corporation de nombre Cue 3, es capaz de visualizar una imagen tridimensional de donde se encuentra la canasta utilizando los sensores por todo su torso, para después ir ajustando el resto de sus extremidades como codos y rodillas para dar el impulso necesario a la pelota y encestar con éxito.

Este robot mide 2,07 cm y en su presentación pública fue capaz de encestar cinco de los ocho tiros de tres puntos de los que dispuso, en un porcentaje bastante notable pero inferior a lo que sus creadores creen que puede acabar encestando de manera habitual.

AP Photo/Yuri Kageyama

A pesar de que en el día de su presentación el robot no estaba en su mejor momento para encestar triples, sí que se trata de una versión mejorada del mismo robot que se presentó hace dos años y que era capaz de encestar tiros libres con aún mayor precisión.

Si bien es un robot con un diseño algo extraño con una cubierta exterior que se parece a la de un armadillo, los ingenieros señalan que solo estaban tratando de " evitar el aspecto metálico y blanco que se ve a menudo en los robots".

Este robot te dobla y te cuelga la ropa, aunque es demasiado lento

Ya estamos acostumbrados a robots que realizan distintas tareas laborales, en principio para hacer la vida de los trabajadores humanos mejor, pero este robot no tiene un uso mayor que el del entretenimiento. No obstante desde Toyota se comenta que la creación de este robot se debe simplemente para elevar la moral de todos los ingenieros con inventos poco comunes.

Imagen de portada | AP Photo/Yuri Kageyama

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Este robot de Toyota tiene más éxito encestando triples que un jugador profesional

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Quizás lo único que nos quedaba por ver es un jugador robot de baloncesto que es capaz de encestar tres puntos incluso con un porcentaje mayor que algunos jugadores profesionales.

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Vídeo: Por qué el 277.777.788.888.899 es un número extraordinario, según un matemático

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Por qué el 277.777.788.888.899 es un número extraordinario, según un matemático

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Un vídeo viral subido al canal de Numberphile explica un fenómeno muy curioso: no existe ningún dígito como este

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La conjetura de Steinberg es…¡falsa! | Gaussianos

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La teoría de grafos es una de las ramas de las matemáticas que más movimiento está teniendo en los últimos años, en lo que se refiere a investigación y a aplicaciones a problemas "reales".

Dentro de la teoría de grafos, los problemas relacionados con coloración de grafos tienen gran interés dentro de los especialistas de esta rama.

Y dentro de los problemas de coloración de grafos, la conjetura de Steinberg ha sido uno de los problemas abiertos que más han interesado a los estudiosos en la materia.

Bien, pues (parece ser que) tenemos resultado para este problema: la conjetura de Steinberg es falsa. En lo que sigue, vamos a dar una idea sobre qué es eso de la coloración de grafos y hablaremos de esta interesante conjetura.

Aunque en Gaussianos ya hemos hablado en otra ocasiones sobre grafos, no está mal recordar algo sobre ellos. Un grafo es un conjunto (distinto del vacío) de puntos, llamados vértices, y un conjunto de líneas , llamadas aristas, cada una de las cuales une dos de sus vértices. Si dos vértices están unidos con al menos una arista, se dice que dichos vértices están conectados.

Un grafo plano es un grafo que puede dibujarse en un plano con la condición de que dos aristas cualesquiera no se cortan en ningún punto que no sea un vértice. En la siguiente imagen podéis ver un grafo plano y uno que no lo es (de hecho es el famoso grafo de Kuratowski ):

Un ciclo en un grafo es una sucesión de vértices en la que cada vértice de la lista está conectado con el siguiente y donde no hay vértices repetidos (excepto el primero y el último). Vamos, lo que todos esperaríamos que fuera un ciclo. La longitud de un ciclo es el número de vértices distintos (equivalentemente, el número de aristas) que contiene. Un ciclo de longitud n se suele denominar n-ciclo. Aquí tenéis dos ciclos, uno de longitud 3 (el verde) y otro de longitud 5 (el rojo):

Una coloración de un grafo es una asignación de etiquetas ( colores) a los vértices de dicho grafo de manera que dos vértices conectados tengan distinto color. Si el número de etiquetas es pequeño, suelen usarse colores para etiquetar los vértices. Si este número es grande, suelen usarse números enteros positivos: . Si en la coloración se usan colores, se dice que tenemos una -coloración. Aquí tenéis como ejemplo una 3-coloración del grafo anterior:

The Three Color Problem

Ya tenemos todo lo necesario para introducir el tema principal de esta entrada. La cuestión central de toda esta historia es el coloreado de mapas. El resultado más conocido en relación con esto, como muchos ya sabréis, es el famosísimo teorema de los cuatro colores, demostrado por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976.

La primera noticia que se tiene sobre la coloración de mapas con tres colores es un paper de Arthur Cayley de 1879. Ese mismo año, Alfred Kempe también lo trata en su trabajo sobre el teorema de los cuatro colores (que, por cierto, contenía una demostración incorrecta de este resultado); y, más adelante, Percy Heawood también habla de él en sendos trabajos que datan de 1890 y 1898, respectivamente.

Pero es en 1958 cuando el Three Color Problem pasa a tener entidad de problema propio gracias a Herbert Grötzsch, siendo Oystein Ore en 1967 quien lo elevó a los altares. Recomiendo el paper The state of the Three Color Problem [Annals of Discrete Mathematics, 55, 21 1-248 (1993)], de Richard Steinberg, a quienes estén interesados en más datos relacionados con la historia de este problema.

El Three Color Problem pregunta, básicamente, lo siguiente:

¿Bajo qué condiciones pueden ser coloreadas las regiones de un mapa plano con tres colores de manera que no haya dos regiones con frontera común que tengan asignado el mismo color?

Como cada región de un mapa puede interpretarse como un vértice y la frontera común de dos regiones puede asociarse con una arista, un problema de coloreado de mapas puede interpretarse como un problema de coloreado de grafos.

Y por ahí va la cosa, por coloreado de grafos. En 1976, el propio Richard Steinberg establece la conjetura que actualmente lleva su nombre:

Conjetura de Steinberg:

Todo grafo plano que no contenga ni 4-ciclos ni 5-ciclos es 3-coloreable.

Es decir, si un grafo no tiene ciclos de longitud 4 ni ciclos de longitud 5, entonces pueden colorearse sus vértices con 3 colores de manera que no haya vértices conectados que compartan color.

Hasta hace poco, había habido acercamientos a dicha conjetura. Posiblemente, el más interesante surgió a partir de una sugerencia del gran Paul Erdős. Erdős sugirió buscar si existía una constante que cumpliera que todo grafo sin ciclos de longitud era 3-coloreable. Borodin, Glebov, Raspaud y Salavatipour, mejorando resultados anteriores, demostraron en Planar graphs without cycles of length from 4 to 7 are 3-colorable [J. Combin. Theory Ser. B 93 (2005), 303-331] que .

Y más o menos en este punto es en el que estábamos...hasta hace bien poquito (en julio de 2006, se publicaba una supuesta demostración de la veracidad de la conjetura de Steinberg que no fue aceptada como correcta). En abril de este año 2016, Vincent Cohen-Addad, Michael Hebdige, Daniel Král, Zhentao Li y Esteban Salgado ha demostrado que la conjetura de Steinberg es falsa. En su trabajo Steinberg's Conjecture is False, construyen un contraejemplo para dicha conjetura. Es decir, construyen un grafo plano que no contiene ni 4-ciclos ni 5-ciclos y que no es 3-coloreable. Para ello, comienzan construyendo un grafo (arriba a la izquierda en la imagen) con ciertas propiedades; a partir de él construyen un segundo grafo (arriba a la derecha); y para finalizar construyen un grafo (abajo) a partir de este último que cumple que no tiene ni 4-ciclos ni 5-ciclos y que además no es 3-coloreable:

En el paper que acabo de enlazar podéis ver la demostración de este hecho.

Bien, la conjetura de Steinberg es falsa, problema resuelto. Pero el Three Color Problem sigue abierto, todavía no sabemos si ese cuya búsqueda sugirió Erdős es 7 ó 6. Estaremos atentos a futuras novedades.

Fuentes y enlaces relacionados:

Esta entrada participa en la Edición 7.5 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Series Divergentes.

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La teoría de grafos es una de las ramas de las matemáticas que más movimiento está teniendo en los últimos años, en lo que se refiere a investigación y a aplicaciones a problemas "reales".

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El endiablado logaritmo por el que el Reino de León perdió Castilla

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Sancho I perdió Castilla por una enorme deuda - Archivo

Pedro Gargantilla
Actualizado:
Los algoritmos están de moda y ejercen una tiranía silenciosa en nuestras vidas: son los que determinan la jerarquía de los contenidos informáticos o la publicación de determinadas imágenes. Pero, a pesar de lo que nos quieren hacer creer Google o Facebook, el vocablo "algoritmo" no es nuevo. Apareció a mediados del siglo IX, cuando un matemático árabe - Mohammed Ibn Musa-al-Khwarizmi- desarrolló fórmulas que posibilitaban solucionar ecuaciones con un número limitado de procesos.

Para ser sinceros a la verdad, este científico tampoco diseñó el primer algoritmo, estos ya existían desde tiempo atrás, si bien fue el primero en utilizarlo en la resolución de problemas matemáticos.

Para este tipo de viejos problemas matemáticos a veces se emplea de forma inexplicable el término logaritmo como sinónimo de algoritmo cuando no guardan ninguna relación entre sí. Un logaritmo se puede definir, básicamente, como una operación matemática inversa a elevar un número a una potencia. Por ejemplo, si elevamos dos al cubo obtenemos ocho, la operación inversa sería el logaritmo de ocho en base dos, que nos proporcionaría el exponente, en este caso cuatro.

Todo empezó con un celemín de trigo

Una leyenda explica cómo, por culpa de un logaritmo, Castilla consiguió la independencia del reino de León. Todo comenzó a finales del siglo X, cuando el conde castellano Fernán González acudió a las Cortes leonesas con un caballo y un azor, animales que fueron de agrado del rey leonés Sancho I. Tanto le gustó al soberano que quiso comprárselos al noble.

Fernán González para evitar ofender al monarca no aceptó la propuesta y se ofreció a regalárselos. Pero Sancho I se negó rotundamente porque no quería privarle de aquellos animales sin satisfacerle de alguna forma. Al final, decidieron fijar un precio insignificante por la compra: un celemín de trigo.

El rey le daría esa cantidad a cambio del azor y del caballo, pero con una condición, que sería la "letra pequeña" del contrato: la cantidad se duplicaría por cada día de demora que hubiese en el pago. Es decir, al día siguiente la deuda se elevaría a dos celemines, cuatro al tercer día, ocho al cuarto y así sucesivamente.

En aquella época un celemín era una medida de peso que equivalía, aproximadamente, a cuatro o cinco kilogramos, es decir, una cifra irrisoria, por lo que el rey leonés se olvidó inmediatamente de la deuda contraída.

Siete años después, Fernán González suspendió sin avisar y de forma inexplicable, al menos aparentemente, sus tributos anuales al monarca, por considerar que el que estaba en deuda a partir de ese momento era el rey con el condado de Castilla y no a la inversa.

El rey que no sabía de logaritmos

Cuando el monarca solicitó una explicación, el conde recurrió a un sencillo cálculo matemático. Los días que habían transcurrido desde que se inició la deuda del celemín eran el resultado de multiplicar 7 por 365, cuyo resultado es 2.555.

En otras palabras, había que calcular el valor del término 2556 de una progresión geométrica de razón 2 y cuyo término inicial es 1: 2x2x2x2x2x2... hasta tener 2555 veces el número 2.

Esa cantidad se puede resolver mediante un cálculo logarítmico: log (10) (2x255) = 2555 x log (10) x 2= 2555 x 0,30103 = 769,13. Esto equivale a 1,3489 multiplicado por un uno seguido de 769 ceros.

Aproximadamente, en un kilómetro cuadrado se pueden obtener un máximo de 45.000 a 50.000 celemines anuales de trigo. Si el reino de León en aquella época tenía una extensión de 80.000 kilómetros cuadrados, y toda su extensión fuese sembrada de trigo, se podrían cosechar unos 4.000 millones de celemines de trigo. En definitiva, no había suficiente cantidad de trigo en todo el reino leonés.

Al final, el rey leonés no tuvo más remedio que rendirse a las evidencias, en este caso matemáticas, y conceder la independencia a Castilla para poder hacer frente a la deuda contraída con el conde castellano.

- M. Jara

Pedro Gargantilla es médico internista del Hospital de El Escorial (Madrid) y autor de varios libros de divulgación Temas

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El endiablado logaritmo por el que el Reino de León perdió Castilla

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Pedro Gargantilla Actualizado: Los algoritmos están de moda y ejercen una tiranía silenciosa en nuestras vidas: son los que determinan la jerarquía de los contenidos informáticos o la publicación de determinadas imágenes. Pero, a pesar de lo que nos quieren hacer creer Google o Facebook, el vocablo "algoritmo" no es nuevo.

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El asesinato cometido para ocultar un descubrimiento matemático "peligroso" - BBC News Mundo

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Fuente de la imagen, Getty Images

Cuentan que una mañana de mediados del siglo VI a.C. un hombre fue tirado por la borda al mar abierto frente a la costa de Grecia.

El desafortunado se llamaba Hipaso de Metaponto y era matemático, teórico de la música y filósofo presocrático.

Fue abandonado a su suerte, y su suerte no podía ser otra que la muerte.

Como ocurre a menudo con conocimientos del mundo antiguo, hay quienes dan por sentado que eso sucedió, mientras que otros lo cuestionan.

Nadie ha podido comprobar aún si esa parte de la historia es cierta.

Pero la otra parte es la más interesante: la razón por la que hubieran querido matarlo.

Y es que pocos asesinatos tienen un móvil tan asombroso como el descubrimiento de la inconmensurabilidad y de la irracionalidad, matemáticamente hablando.

Una estrella de la antigüedad

Esta historia comienza con una de las celebridades de la antigua Grecia, Pitágoras de Samos (c. 580-c. 500 a.C.), a quien se le atribuye el inicio de la transformación de las matemáticas de una herramienta para la contabilidad en una ciencia analítica.

Aunque hay quienes lo refutarían.

Pitágoras es, de hecho, un personaje polémico. Como no dejó escritos matemáticos, muchos se ha preguntado si realmente hizo lo que se dice (incluyendo algunos de sus teoremas).

De lo que sí hay evidencia es de fundó una escuela, aunque sus enseñanzas se consideraban sospechosas y sus seguidores, extraños.

Una característica inusual en el mundo antiguo es que aceptaban mujeres.

Los pitagóricos

Las escuelas de pitagóricos se asemejaban más a una secta, pues no sólo compartían conocimiento.

Los estudiantes llevaban una vida estructurada de estudio y ejercicio, inspirados en una filosofía basada en las matemáticas.

Los primeros pitagóricos eran de clase media alta y políticamente activos.

Formaron una elite moral que se esforzó por perfeccionar su forma física en esta vida para obtener la inmortalidad en la siguiente.

Según los pitagóricos, para liberar el alma y lograr la inmortalidad, el cuerpo mortal tenía que ser rigurosamente disciplinado de manera que se mantuviera moralmente puro y libre de la naturaleza básica.

De no lograrse, el alma se reencarnaría repetidamente, o "transmigraría", hasta que se liberara por mérito acumulado.

Los pitagóricos también creían en el cosmos, que en ese momento se refería a una idea de un orden perfecto y una belleza en todo el Universo.

Aunque probablemente creían en el politeísmo griego clásico, tenían fe en una divinidad superior, que estaba sobre todas las demás.

Tenían una serie de tabúes, que incluían la carne y la habas, y vivían de acuerdo con una serie de reglas que regían todos los aspectos de la vida.

Triángulos y cuadrados

Otra cosa es cierta: Pitágoras es sinónimo de entender las propiedades de los triángulos rectángulos, algo que eludió a los egipcios y los babilonios.

El teorema de Pitágoras establece que si se toma un triángulo rectángulo y se hacen cuadrados en todos los lados, el área del cuadrado más grande es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados más pequeños.

En otras palabras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Es un teorema que ilustra una de las características de las matemáticas griegas: en vez de depender solamente de los números, apelaban a hermosos argumentos en geometría.

Melódico

Aunque muchos descubrimientos que se le acreditaron han sido impugnados, hay una teoría matemática que aún se le atribuye y tiene que ver con la música.

Cuentan que al pasar por una herrería un día, Pitágoras oyó las notas producidas por los golpes en los yunques y notó que sonaban en perfecta armonía.

Al buscar una explicación racional para entender esa cualidad tan cautivadora, recurrió a las matemáticas y descubrió que los intervalos entre las notas musicales armoniosas siempre se presentaban en proporciones de números enteros.

Se cuenta que Pitágoras estaba tan emocionado con el descubrimiento que llegó a la conclusión de que todo el Universo se había construido a partir de números.

Todo es un número

Su doctrina de que "todas las cosas son números" fue importante para la historia de la filosofía y la ciencia.

Quería decir que la esencia y la estructura de todas las cosas se pueden determinar al encontrar las relaciones numéricas que las expresan.

Originalmente, se trataba de una generalización amplia basada en observaciones como...

que las mismas armonías pueden producirse con diferentes instrumentos por medio de las mismas relaciones numéricas -1: 2, 2: 3, 3: 4 - en extensiones unidimensionales;

que existen ciertas regularidades en los movimientos de los cuerpos celestes;

que la forma de un triángulo está determinada por la relación de las longitudes de sus lados.

Pero los seguidores de Pitágoras intentaron aplicar sus principios en todas partes con mayor precisión.

Al intentarlo, se toparon con un desafío inquietante a esta visión del mundo, que surgió de sus propias filas e involucró el teorema de Pitágoras.

La amenaza

Uno de los miembros más prestigiosos de la Escuela pitagórica era precisamente Hipaso, aquel al que habíamos dejado ahogándose en las aguas del Mar Mediterráneo al principio de esta historia.

Sin ninguna mala intención, Hipaso se dispuso a encontrar la longitud de la diagonal de un triángulo rectángulo con dos lados que miden una unidad.

Quizás una ilustración nos ayude a calcular: he aquí un cuadrado y cada uno de sus lados tiene 1 unidad de longitud.

¿Cuánto mide la diagonal del cuadrado?

Gracias al teorema de Pitágoras, podemos calcular el cuadrado de la longitud del lado más largo de un triángulo rectángulo agregando los cuadrados de los otros dos lados.

Entonces la longitud de la diagonal al cuadrado es (1 × 1) + (1 × 1) = 2, así que la longitud de la diagonal es √2. Es decir, el número que multiplicado por sí mismo da 2.

¿Pero cuál es ese número?

La raíz cuadrada de 2 no es 1 porque 1 x 1 es 1.

Y no es 2, porque 2 x 2 es 4.

Algo que los babilonios habían grabado en la tableta de Yale, aunque no lo habían comprendido.

Ese algo era un número irracional, (como π, el número de Euler y el número áureo o phi).

Fue uno de los descubrimientos más fundamentales de la historia de la ciencia: el lado y la diagonal de figuras simples como el cuadrado y el pentágono regular son inconmensurables, es decir, su relación cuantitativa no puede ser expresada como una relación de enteros.

El secreto

Esos números irracionales no encajaban con la visión del mundo pitagórica.

Es más, el descubrimiento amenazaba con destruir la base misma de la filosofía pitagórica.

Implicaba que los seguidores del famoso filósofo y matemático ya no eran poseedores de una verdad: el dogma de que todo posee su medida era falso y el poder que le habían asignado a números, también.

Si los números naturales, que para los pitagóricos constituían la esencia de la realidad, no siempre servían para hallar la medida de las cosas, tampoco eran el camino para conquistar un saber divino.

Los comentaristas griegos cuentan que Pitágoras hizo que su escuela jurara no revelar el descubrimiento.

Sin embargo, Hipaso insistía en divulgar la naturaleza de lo conmensurable y lo inconmensurable, el conocimiento de los "peligrosos" números irracionales.

Ese habría sido el móvil del presunto crimen: silenciarlo.

Probablemente nunca sabremos si ese realmente fue el final de la historia de Hipaso de Metaponto.

Lo que sí sabemos es que no lo fue para los números irracionales.

No obstante, la historia sí sugiere un final: el de la sacralización del saber.

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El asesinato cometido para ocultar un descubrimiento matemático "peligroso" - BBC News Mundo

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Cuentan que una mañana de mediados del siglo VI a.C. un hombre fue tirado por la borda al mar abierto frente a la costa de Grecia. El desafortunado se llamaba Hipaso de Metaponto y era matemático, teórico de la música y filósofo presocrático.

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Personas famosas que estudiaron matemáticas: literatura y cine — Cuaderno de Cultura Científica

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El día de Reyes de este año 2019, como todos los años, se concedía en Barcelona el Premio Nadal de novela, que la editorial Destino (ahora perteneciente al grupo Planeta) concede, desde el año 1944, a la mejor novela inédita. El ganador de esta 75ª edición era el escritor argentino Guillermo Martínez, por su novela Los crímenes de Alicia, una novela de intriga en la que dos matemáticos investigan una serie de crímenes relacionados con Lewis Carroll, el autor de Alicia en el País de las Maravillas.

El escritor Guillermo Martínez (Buenos Aires, 1962), que muchas personas conocerán por su novela Los crímenes de Oxford (2003), que fue llevada al cine por el director bilbaíno Alex de la Iglesia, y que es el autor de otras novelas como Acerca de Roderer (1993), La muerte lenta de Luciana B. (2007) o Yo también tuve una novia bisexual (2011), de libros de cuentos, como Infierno Grande (1989) o Una felicidad repulsiva (2013), de libros de ensayos como La fórmula de la inmortalidad (2005) y La razón literaria (2016), muchos de ellos galardonados con diferentes premios, y que colabora con diferentes diarios argentinos, como La Nación o Clarín, es matemático.

Guillermo Martínez, se licenció en matemáticas por la Universidad Nacional del Sur, en Bahía Blanca, en 1984, se doctoró en Buenos Aires en Lógica en 1992 y posteriormente completó estudios posdoctorales en Oxford. Como podemos observar igual que el protagonista de sus dos novelas de intriga. De hecho, también tiene ensayos sobre matemáticas, como los libros Borges y la matemática (2006) o Gödel para todos (2009), este junto al matemático Gustavo Piñeiro. Ha sido profesor de Lógica Matemática y Álgebra en la Universidad de Buenos Aires, aunque ahora está de excedencia, dedicado por completo a la literatura.

Al igual que el escritor Guillermo Martínez, muchas otras personas que han sido conocidas, o famosas, en el mundo de la literatura, el arte, la música, el cine, el deporte o incluso la política, también estudiaron matemáticas, o más aún, se iniciaron en el mundo de esta ciencia, ya sea en la investigación, la empresa o la enseñanza.

En esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica abrimos una pequeña serie dedicada a estas personas, que destacaron en otros ámbitos de la sociedad y la cultura, pero que se graduaron en matemáticas, e incluso realizaron un doctorado. Empezaremos, en la presente entrada, con la literatura y el cine.

Sin ir más lejos, el mencionado escritor inglés Lewis Carroll, autor de Alicia en el país de las maravillas, Alicia a través del espejo, Bruno y Silvia o La caza del Snark, entre otras, era también matemático. Trabajó en el campo de la lógica matemática, aunque publicó en muchos tópicos distintos. De hecho, Lewis Carroll era solo su seudónimo, y se llamaba realmente Charles Lutwidge Dogson (1832-1898).

Pero hay más ejemplos, algunos fueron Premio Nobel de Literatura, como el español José de Echegaray (1832-1916), conocido por su carrera literaria como dramaturgo y poeta que le valió el Premio Nobel de Literatura en 1904, convirtiéndose en el primer español en obtener un Premio Nobel, y también por su paso por la política, fue Ministro de Fomento (1869-1870 y 1872) y de Hacienda (1872-1873).

Sin embargo, el madrileño José de Echegaray era ingeniero y matemático. Realizó importantes contribuciones a las matemáticas y a la física, de hecho, según algunos autores es considerado el mejor matemático del siglo XIX. Algunas de sus obras científicas fueron: i) Cálculo de Variaciones (1858), que era un tema casi desconocido en España; ii) Problemas de Geometría plana (1865); iii) (1865), calificada de Problemas de Geometría analítica por el matemático Zoel García de Galdeano; iv) obra maestra (1867); v) (1867), exponiendo en el mismo la geometría de Chasles; vi) Teorías modernas de la Física (1868) , primera obra en España sobre este tema; vii) Introducción a la Geometría Superior (1868), breve ensayo sobre una ciencia que estaba naciendo entonces. Memoria sobre la teoría de los Determinantes Tratado elemental de Termodinámica

José de Echegaray fue presidente del Ateneo de Madrid (1888); director de la Real Academia Española (1896); senador vitalicio (1900) y dos veces presidente de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales (1894-1896 y 1901-1916); primer Presidente de la Sociedad Española de Física y Química, creada en 1903; catedrático de física matemática de la Universidad Central (1905); presidente de la sección de Matemáticas de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias (1908); y primer Presidente de la Sociedad Matemática Española (1911).

También fue premio Nobel de Literatura, en 1950, el inglés Bertrand Russell (1872-1970). Betrand Russell es conocido por ser uno de los más grandes filósofos del siglo XX, escritor, pacifista controvertido y singular que se opuso a prácticamente todas las guerras modernas, así como al uso y posesión de armas nucleares, aunque en ciertos momentos también defendió la guerra preventiva contra la URSS.

Sin embargo, Bertrand Russell estudió matemáticas en el Trinity College de Cambridge y destacó por su trabajo en lógica matemática, en particular, por su estudio de los fundamentos de las matemáticas. Su gran contribución, en la ciencia de Pitágoras, fue la indudablemente importante obra Principia Mathematica (1910-1913) con su profesor de Cambridge Alfred N. Whitehead (1861-1947), libro en tres volúmenes en donde a partir de ciertas nociones básicas de la lógica y la teoría de conjuntos se pretendía deducir la totalidad de las matemáticas, mostrando así el poder de los lenguajes formales. Un libro profundamente influyente e importante que contribuyó al desarrollo de la lógica, la teoría de conjuntos, la inteligencia artificial y la computación, y que causó un impacto importante en pensadores de la talla de David Hilbert, Ludwig Wittgenstein, que fue su estudiante, Alan Turing, Willard Van Orman Quine y Kurt Gödel.

Otro ejemplo de matemático que obtuvo el Premio Nobel de literatura, en 1970, es el ruso Aleksandr Solzhenitsyn (1918-2008), cuya obra más conocida es el ensayo Archipiélago Gulag (1973), en la que denuncia la represión política de la antigua Unión Soviética. Otras de sus obras son las novelas Un día en la vida de Iván Denísovich (1962), Pabellón del cáncer (1968) o Agosto de 1914 (1971).

Aleksandr Solzhenitsyn estudió matemáticas y física en la Universidad de Rostov. Se graduó en 1941. Poco antes se había casado con la matemática Natalia Dmitrievna Svetlova. Empezó a servir ese mismo año en el ejército soviético hasta 1945 en el cuerpo de transportes primero y más tarde de oficial artillero. Participó en la mayor batalla de tanques de la historia (Batalla de Kursk) y fue detenido en febrero de 1945 en el frente de Prusia Oriental, cerca de Königsberg (hoy Kaliningrado) poco antes de que empezara la ofensiva final del ejército soviético que acabaría en Berlín. Fue condenado a ocho años de trabajos forzados y a destierro perpetuo por las opiniones antiestalinistas que había escrito a un amigo. Lo encerraron en la Lubyanka y los primeros años de su cautiverio los pasó en varios campos de trabajo, gulags, hasta que gracias a sus conocimientos matemáticos fue a parar a un centro de investigación científica para presos políticos vigilado por la Seguridad del Estado; eso le inspiró su novela (1968). El primer círculo

Fue liberado en 1956 y empezó a trabajar como profesor de matemáticas, al tiempo que se dedicaba a escribir y a publicar sus novelas. Tras ser investigado y perseguido por la KGB, sería expulsado de la Unión Soviética en 1974.

Aunque no fue premio Nobel de literatura, Bram Stoker, el autor de la famosa novela Drácula (1897), también era matemático. El escritor irlandés Bram Stoker (1847-1912) se graduó en matemáticas en el Trinity College de Dublín en 1870 y, aunque parece ser que no era verdad, él empezó a decir con el tiempo que se " graduó con honores en matemáticas". Sin embargo, cediendo a los deseos paternos, Bram Stoker siguió la carrera de funcionario público en el Castillo de Dublín, entre 1870 y 1878. Aunque conseguiría su Master of Arts (posgrado) en 1875. En 1878 empezaría a trabajar como asistente del actor Sir Henry Inving y también como gerente del Lyceum Theatre, que pertenecía al mencionado actor.

Entre sus obras nos encontramos un cuento infantil titulado Cómo se volvió loco en número 7(que publicó la editorial Nivola en 2010 y la editorial Gadir en 2013).

Seguimos con más escritores famosos. El argentino Ernesto Sábato (1911-2011), autor de las célebres novelas El túnel (1948), Sobre héroes y tumbas (1961) o Abbadón el exterminador (1874), y también libros de ensayo como Uno y el Universo (1945), Hombres y engranajes (1951), o El escritor y sus fantasmas (1963), estudió físicas y matemáticas en la Universidad Nacional de La Plata, universidad en la que se doctoró en 1937 investigando en temas de física. Después obtuvo una beca para investigar sobre las radiaciones atómicas en el Laboratorio Curie, iría al MIT en 1939 y finalmente regresaría en 1940 a la Universidad Nacional de La Plata, donde trabajó como profesor. En 1943, tras una crisis existencial, abandonó definitivamente su carrera científica y se centró en la literatura y la pintura.

En poesía nos encontramos algunos poetas que son también matemáticos. El gran poeta chileno Nicanor Parra (1944-2018), creador de la antipoesía (en la entrada del Cuaderno de Cultura Científica Los números poéticos 2 [https://culturacientifica.com/2018/07/25/los-numeros-poeticos-2/] incluíamos algunos pequeños poemas relacionadas con las matemáticas), estudió matemáticas y ejerció de profesor de matemáticas. Aunque todos le conocemos como poeta, uno de los grandes de la poesía del siglo XX, tuvo una larga carrera científica.

En 1937 se graduó en matemáticas por la Universidad de Chile y empezó a trabajar como profesor, primero en el Liceo de Santiago, después como profesor de física y matemáticas en el Liceo de hombres de Chillán, de donde procedía él, y de nuevo en Santiago, tras el terremoto de Chillán, dando clases de física en un internado y de matemáticas en la Escuela de Artes y Oficios. Después, en 1943 consiguió una beca para hacer un posgrado en Mecánica Avanzada en la Universidad de Brown, en EEUU, y a su regreso a Chile, en 1946, se incorporó como profesor de Mecánica Racional en la Universidad de Chile. Posteriormente fue director de la Escuela de Ingeniería. En 1949 se fue a estudiar cosmología a la Universidad de Oxford (en Inglaterra).

Por supuesto que, durante todo ese tiempo, en paralelo, desarrolló una fructífera carrera literaria, que es la que lo hice conocido mundialmente. Las décadas de los años 1950 y 1960 se dedicó en cuerpo y alma a la literatura y el arte. Los primeros años de la década de 1970, fueron políticamente complicados en Chile. En 1973, tras el golpe de estado de Pinochet, entró a formar parte del Departamento de Estudios Humanísticos de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Chile. Y con el regreso de la democracia, abandonó completamente su carrera científica y docente.

El poema Pensamientos ...

O, por ejemplo, en el mundo del teatro tenemos al dramaturgo español Juan Mayorga, autor de magníficas obras teatrales como El chico de la última fila (2006), La tortuga de Darwin (2008), El cartógrafo (2009), Reikiavik (2012), El arte de la entrevista (2014), o Intensamente azules (2018), que hemos podido disfrutar últimamente en nuestros teatros. Además, recibió el Premio Nacional de Teatro en 2007, Premio Nacional de Literatura Dramática en 2013 y en 2018 fue elegido Miembro de la Real Academia Española, letra M.

Este dramaturgo madrileño se licenció, en 1988, en Matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid y en Filosofía en la UNED. A partir de 1994 y durante cinco años fue profesor de matemáticas en diferentes institutos de Madrid y Alcalá de Henares. Desde entonces su carrera se ha centrado fundamentalmente en el teatro, como autor y como docente, pero también fundando compañías teatrales y teatros. Aunque, en 1997 se doctoró, por la UNED, en Filosofía.

A pesar de todo, como él mismo dice, las matemáticas son para él una pasión que descubrió en la adolescencia y nunca me le han abandonado, las matemáticas le han formado como hombre, pero también le forman como dramaturgo. Más aún, podemos encontrar rastros de matemáticas en algunas de sus obras, por ejemplo, en El chico de la última fila o en Intensamente azules. De esta última:

Siete pasos después me he cruzado con un hombre que llevaba puestas unas gafas de nadar intensamente amarillas. Lo he seguido con discreción hasta un bar de nombre El Número i desde cuyo exterior he observado el interior. [...] "Este bar tiene forma de raíz cuadrada de menos uno", me he dicho [...]. En una pared del bar hay un retrato de Euler, inventor de los números imaginarios.

Bueno, hemos destacado algunos nombres dentro de la literatura, aunque hay más, como el novelista J. M. Coetzee, premio Nobel de Literatura en 2003, el escritor y guionista, por ejemplo, del programa de tv La bola de Cristal, Carlo Frabetti, el escritor Ricardo Gómez que escribe tanto literatura infantil y juvenil, como para adultos, el escritor de ciencia ficción Larry Niven, o la escritora Catherine Shaw (seudónimo de la matemática Leila Schneps) que ha escrito novelas de misterio relacionadas con las matemáticas como La incógnita Newton, entre otros.

Pero si pensamos en otros campos diferentes de la literatura y que podrían parecernos a priori más lejanos aún de las matemáticas, como puede ser el cine, ¿existirán también ejemplos de personas que se han hecho famosas dirigiendo o interpretando películas, pero que han estudiado matemáticas?

Danica McKellar se graduó, cum laude, en matemáticas por la Universidad de California, Los Ángeles (UCLA), en 1998, con 23 años (nació en 1975). Después empezó a investigar en matemáticas, llegando a publicar un artículo en el que se recoge el resultado conocido como " Teorema de Chayes-McKellar-Winn ".

También ha publicado, en los últimos años, libros infantiles, como Buenas noches números (2017), Diez mariposas mágicas (2018) o Bathtime, Mathtime (Hora del baño, hora de las matemáticas, 2018) y No abras este libro de matemáticas, sumas y restas, (2018).

La actriz estadounidense Teri Hatcher (California, 1964) que muchas personas conocerán por su papel en la serie Mujeres desesperadas y que tiene una larga carrera entre el cine y la televisión, entre las que destacan, en popularidad, la serie Louis y Clark, Las nuevas aventuras de Superman, o la película El mañana nunca muere, también está conectada con las matemáticas.

Teri Hatcher estudió los grados de matemáticas e ingeniería en De Danza College en Cupertino (California), al mismo tiempo que estudiaba actuación en el American Conservatory Theather.

La actriz, escritora, productora y creadora de series web estadounidense Felicia Day (Alabama, 1979), que actuó en series como Buffy cazavampiros, Eureka o Sobrenatural, entre otras, se graduó en matemáticas y música en la Universidad de Texas en Austin. En una entrevista afirmó que siempre había adorado las matemáticas, pero que no eran su carrera definitiva y, de hecho, nunca se dedicó a esta ciencia tras sus estudios.

También estudió Matemáticas en la Universidad de Chicago la actriz Morgan Saylor (Chicago, 1994), de la serie Homeland, en la cual interpreta a Dana Brody. En una entrevista cuenta una anécdota compartida por todas las personas que hemos estudiado matemáticas. Explica que muchas veces al salir con amigos y amigas le piden a ella que haga la cuenta, y explica que su respuesta suele ser " he estudiado matemáticas, no aritmética ".

La actriz estadounidense Jane Alexander (Boston, 1939), que ha actuado en películas míticas como Todos los hombres del presidente (1976), Kramer vs Kramer (1979), Brubaker (1980) o Las normas de la casa de la sidra (1999), entre muchas otras, además de muchísimas series de televisión y obras de teatro, por las que ha recibido varias nominaciones y premios Tony, se graduó en matemáticas y también en teatro en el Sarah Lawrence College de Bronxville, Nueva York.

En España, la actriz madrileña Sofía Nieto (Alcorcón, 1984), de las series Aquí no hay quien viva y La que se avecina, estudió matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid, y luego se especializó en probabilidad, área a la que pertenece su tesis doctoral.

El año 2011, Sofia Nieto presentó uno de los desafíos matemáticos que se publicaron en la página web del periódico El País para celebrar el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Aquí tenemos el desafío que presentó:

Desafío 32: Partículas en movimiento

Solución del desafío 32 (el video de la solución está en la columna de la derecha)

El director de cine Paul Verhoeven (Amsterdam, 1938), que se hizo famoso con películas como Robocop (1987), Desafío Total (1990), Instinto Básico (1992), El hombre sin sombra (2000), entre otras, se graduó por la Universidad de Leiden en Matemáticas y Física. Se unió a la armada neerlandesa y fue allí donde empezó a rodar y a hacer sus primeros documentales, luego entró en la televisión y ya no dejaría su carrera de director.

Y como es bien conocido, dentro del equipo de guionistas y productores de Los Simpson y Futurama, hay muchas personas que han estudiado matemáticas, física u otras ciencias. En particular: A) J. Stewart Burns: Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Harvard y Máster en Matemáticas por U.C. Berkeley. Productor y Guionista de Futurama (y de Los Simpsons desde 2002); B) Al Jean: Licenciada en Matemáticas por la Universidad de Harvard. Ha estado en el equipo de Los Simpsons desde el principio, aunque en la actualidad es Productora Ejecutiva y guionista de esta serie; C) Ken Keeler: Doctor en Matemática Aplicada por la Universidad de Harvard y Máster en Ingeniería Electrónica. Productor Ejecutivo y Guionista de Futurama, aunque antes había sido guionista para Los Simpsons.
Bibliografía
1.- Página web del escritor Guillermo Martínez

2.- Página de Wikipedia sobre José de Echegaray

3.- Página de Wikipedia de Bertrand Russell

4.- Página de Wikipedia de Aleksandr Solzhenitsyn

5.- Página de Wikipedia de Ernesto Sábato

6.- Jean Vallier, C'était Marguerite Duras: Tome 1, 1914-1945, Fayard, 2006.

7.- Página de Wikipedia de Nicanor Parra

8.- Página web de Juan Mayorga

9.- Página de Wikipedia de Danica McKellar

10.- Página de Wikipedia de Teri Hatcher

11.- Página de Wikipedia de Felicia Day

12.- Página de Wikipedia de Morgan Saylor

13.- Página de Wikipedia de Jane Alexander

14.- Página de Wikipedia de Paul Verhoeven

15.- Simon Singh, Los Simpson y las matemáticas, Ariel, 2013

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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Personas famosas que estudiaron matemáticas: literatura y cine

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El día de Reyes de este año 2019, como todos los años, se concedía en Barcelona el Premio Nadal de novela, que la editorial Destino (ahora perteneciente al grupo Planeta) concede, desde el año 1944, a la mejor novela inédita. El ganador de esta 75ª edición era el escritor argentino Guillermo Martínez, por su novela ...

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Pia Maria Nalli, matemática | Efemérides | Mujeres con ciencia

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La matemática Pia Maria Nalli (1886-1964) nació un 10 de febrero.

Sus intereses en matemáticas abarcan temas que van desde la geometría algebraica hasta el análisis funcional y el análisis tensorial.

Tuvo que luchar contra la discriminación de las mujeres en el sistema de contratación en la universidad italiana; una calle en Roma lleva su nombre.

Fue conferenciante invitada en el International Congress of Mathematicians de 1928.

Más información

Edición realizada por Marta Macho Stadler

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Pia Maria Nalli, matemática | Efemérides | Mujeres con ciencia

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La matemática Pia Maria Nalli (1886-1964) nació un 10 de febrero. Sus intereses en matemáticas abarcan temas que van desde la geometría algebraica hasta el análisis funcional y el análisis tensorial. Tuvo que luchar contra la discriminación de las mujeres en el sistema de contratación en la universidad italiana; una calle en Roma lleva su nombre.

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El comportamiento secreto de los números primos en espiral

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Detalle de la espiral de Sacks de números primos - Wikipedia

Pedro Alegría

Actualizado: Noticias relacionadas
Al empezar el nuevo año, los frikis de las matemáticas augurábamos que iba a tratarse de un año feliz. La razón es que existe el concepto matemático (de origen desconocido) de número feliz: si se reemplaza un número por la suma de los cuadrados de sus cifras y se repite el proceso de forma sucesiva con el número obtenido hasta llegar a un bucle sin salida, cuando el proceso termina en 1, el número inicial (y, por supuesto, todos los obtenidos en el camino) es feliz. Ahora bien, como

2² + 0² + 1² + 9² = 86; 8² + 6² = 100; 1² + 0² + 0² = 1,

el número 2019 es feliz y, por extensión, este año será feliz. En la entrada de este ABCdario correspondiente al 8 de enero, Fernando Corbalán nos detallaba las características y propiedades de los números felices.

En otra dirección se orientaban los que nos deseaban un año afortunado, nuevamente apelando al concepto de número afortunado (concepto introducido en 1955 por Verna Gardiner, R. Lazarus, Nicholas Metropolis y Stanislaw Ulam para la revista Mathematics Magazine), cuya definición es completamente diferente. Para obtener los números afortunados, escribimos una lista con todos los números naturales

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

A continuación, nos quedamos con el primero de la lista, el 1 que será el primero de los afortunados, y tachamos de dos en dos a partir del segundo de la lista. Nos queda una nueva lista de números:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...

Nuevamente, nos quedamos con el 3, que es el primero de los no tachados y nuestro segundo número afortunado, y tachamos de tres en tres (el 5, el 11, el 17, ...) los números de la nueva lista. Nos quedan ahora los números

1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, ...

Como el primer número no tachado es ahora el 7, se van tachando de siete en siete los números de la nueva lista, y así sucesivamente. El resultado final será una selección de números no tachados, llamados precisamente números afortunados, entre los cuales está el 2019, el cual ocupa la posición 278. No habrá que esperar mucho tiempo hasta el próximo año que sea número afortunado, que es el 2023.

Este método de eliminación para destacar un conjunto especial de números nos recuerda a la famosa criba de Eratóstenes, procedimiento establecido por el astrónomo Eratóstenes de Cirene, allá por el siglo -3, con el que se obtienen todos los números primos hasta una posición determinada (que depende de nuestra paciencia y el tamaño de nuestra hoja de papel). De hecho, se ha comprobado que los números afortunados comparten algunas propiedades con los números primos, lo que nos da alguna esperanza en una mejor comprensión de estos números tan esquivos.

El eterno problema de destacar a los números primos entre sus colegas compuestos parece no tener solución, lo cual no impide que la comunidad matemática desista de su empeño en desentrañarlo.

Algunos intentos clásicos de obtención de fórmulas algebraicas no pudieron prosperar, ya que Christian Goldbach probó en 1752 que ningún polinomio con coeficientes enteros da como resultado un número primo para todos sus valores enteros. Son bastante conocidas algunas fórmulas sencillas, a la vez que curiosas, con las que se pueden obtener algunas colecciones de números primos. Un ejemplo muy popular es el polinomio de Euler n² + n + 41, que da como resultado un total de 40 números primos diferentes al sustituir el valor de n por 0, 1, 2, ..., 39. Ya no vale si n = 40, porque 40² + 40 + 41 = 41². Un poco mejor es el polinomio 36n² - 810 n + 2753, con el que se obtienen 45 números primos diferentes desde n = 0 hasta n = 44.

El ya citado matemático polaco Stanislaw Ulam (1909-1984) da nombre a una nueva distribución de los números naturales en forma de espiral, mediante la cual aparecen misteriosamente representados los números primos. En esta imagen se muestra la forma de construir la espiral de Ulam con los cien primeros números.

Espiral de Ulam con los cien primeros números naturales

¿Dónde están los números primos (los que están sombreados) en esta espiral? Con pocos números no hay demasiada información, así que vamos a ampliar la imagen hasta los mil primeros números.

Espiral de Ulam con los mil primeros números naturales

Sin ser del todo precisos -ya sabemos que los números primos son muy esquivos-, se puede observar una mayor concentración de números primos en determinadas líneas horizontales, verticales y diagonales de este esquema. Lógicamente, esta curiosidad no le llega a la suela de los zapatos al famoso teorema del número primo, que proporciona una fórmula para estimar la proporción de números primos con respecto al de los números naturales para cantidades muy grandes. Sin embargo, tiene otras cualidades que agradan a científicos y artistas. Por ejemplo, la mayoría de los números primos que se obtienen dando valores al polinomio de Euler ya citado tienen una disposición muy especial pues forman dos líneas oblicuas como la que se observa en la imagen. De hecho, algunos cambios de variable con este polinomio dan lugar a otros polinomios que contienen los números primos de ciertas diagonales de la espiral de Ulam.

Disposición en la espiral de Ulam de los primos del poliniomio de Euler

¿Y esto interesa a los artistas? No solo interesa sino que inspira. La artista vasca Esther Ferrer realizó una serie de obras basadas en la espiral de Ulam, bajo el título "Poema de los números primos", y puedes pisar una de las más espectaculares (un cuadrado de 20 metros de lado) si paseas por el parque del Prado de Vitoria.

Detalle de la obra de Esther Ferrer en el parque del Prado de Vitoria

Como podría esperarse, esta línea de trabajo iniciada por Eratóstenes no se detiene aquí: en 1994, Robert Sacks propuso situar a los números naturales formando una espiral de Arquímedes, lo que se conoce como la espiral de Sacks. ¿Qué descubrió? Que hay ciertas curvas que contienen también gran cantidad de números primos. ¿Ratifica esto que estos números tienen de verdad algún comportamiento secreto que no somos capaces de desvelar? El pulso continúa y la gloria está reservada para las mentes que logren encontrar alguna respuesta.

Espiral de Sacks con los cien primeros números naturales

Pedro Alegría es profesor de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME). Temas

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El comportamiento secreto de los números primos en espiral

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Pedro Alegría Actualizado: Noticias relacionadas Al empezar el nuevo año, los frikis de las matemáticas augurábamos que iba a tratarse de un año feliz.

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Un algoritmo completa la misteriosa ‘Sinfonía inacabada’ de Schubert | Cultura | EL PAÍS

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Franz Schubert es un perpetuo enigma. Murió joven, a los 31 años, pero más que desgastarse en una vida intensa, como tantos otros músicos, se fue consumiendo en cierta melancolía solitaria de cafés como desahogo a su total entrega a la creación. "El Estado debería ocuparse de mí", le escribió a un amigo, para dar cuenta de su devoción al trabajo. Y si corrieran estos tiempos, quizás lo hiciera la compañía tecnológica Huawei, que ha diseñado mediante algoritmo e inteligencia artificial el remate de su Sinfonía número ocho, conocida como la Inacabada. Hacía la penúltima en su catálogo de obras orquestales. En la Viena romántica de principios del XIX, Schubert llegó a crear nueve.

Durante años ha habido todo tipo de teorías sobre si el autor llegó a terminar esta obra concebida para la Sociedad Musical de Graz, pero alguien, tal vez algún amigo, perdió la parte final. Sin embargo, para cuando quedó claro que Schubert, simplemente, nunca llegó a completarla, la Inacabada ya se había convertido en la obra para orquesta más misteriosa e interpretada de su autor.

Así, bajo el cúmulo de polémicas que ha suscitado, su influjo simbólico aparece de nuevo para ser presa ahora de la inteligencia artificial. Huawei presenta este lunes -en una audición privada en el Cadogan Hall de Londres, en interpretación de la English Session Orchestra bajo la dirección de Julian Gallant- su versión de la pieza, que ya ha dado que hablar antes de su estreno.

En una nota, la compañía asegura que la versión ha sido creada mediante el uso de un modelo de inteligencia artificial que se beneficia directamente de la tecnología de procesamiento neuronal que aplica en sus móviles. A partir del timbre, el tono y el compás del primer y segundo movimiento conservados, el modelo generó una melodía para los inexistentes o extraviados tercero y cuarto previstos. Posteriormente, Huawei trabajó con el compositor Lucas Cantor para fijar una partitura orquestal de la melodía en la línea que presumiblemente buscaba entonces Schubert.

El compositor español José María Sánchez-Verdú nos sitúa en contexto: "Desde los años sesenta se están haciendo este tipo de trabajos. Ya en EE UU, con los primeros ordenadores, se ponen en práctica. Sustituir la mente y la creatividad de un compositor mediante procesos algorítmicos desarrollados por una máquina es enormemente antiguo", afirma.

Tampoco valen maniobras de distracción: "Todo entra dentro del ámbito publicitario, lanzar noticias tecnológicas y, además, a partir de grandes nombres y obras de la cultura europea, como es ahora Schubert". Hay abundantes intentos previos al de la tecnológica china: "Existen varias versiones desarrolladas por compositores en los últimos veinte años sobre esta sinfonía. Yo personalmente no encuentro ningún estímulo e interés por estas propuestas", comenta Sánchez-Verdú.

Para este creador de referencia en el mundo, la mente y la fantasía humana juegan con muchos más aspectos de los que pueda desarrollar cualquier programa informático. "En términos estadísticos, de algoritmos y posibilidades, se podrán crear este tipo de trabajos y de forma correcta. Sin embargo, los aspectos estéticos, sociales, personales y otros muchos, como lo original, lo sorpresivo, lo audaz, lo imperfecto, lo psicológico y psiquiátrico, el mismo concepto de error como herramienta..., todos estos aspectos son consustanciales a la mente de un creador, no de una máquina".

A Fabián Panisello, también compositor y responsable del grupo Plural Ensamble, el experimento no le parece apropiado: "No ya por razones éticas, sino porque un creador puede dar un salto cualitativo en cualquier momento. Es algo imprevisible para ningún tipo de inteligencia artificial. La intuición de un compositor domina datos y metadatos fundamentales cara a los recursos que requiere su trabajo. Lo demás es mera forma y apariencia...", comenta el músico, que acaba de estrenar en España su obra Les rois mages antes de presentarla este año en Niza, Viena, Múnich, Basilea y Tel Aviv.

Para Lucía Marín, directora de orquesta, "resulta un buen gancho para acercar la tecnología al arte. Un interesante experimento", asegura. "Que una compañía tecnológica plantee y resuelva un ejercicio acrobático de dichas características me parece una heroicidad y atrevimiento intelectual que nos da cuenta de hacia dónde nos dirigimos. Pero no olvidemos que queda carente de lo esencial: el alma. La música, en su esencia, pretende hacernos trascender hacia todas esas ideas infinitas de lo intangible que, como decía el Principito, son invisibles a los ojos", añade.

Cuando Marín trabaja una partitura le fluyen las preguntas: "¿Cuál es el ulterior motivo por el que un compositor se ve arrastrado por la fuerza irrefrenable de escribir, qué siente? Tardo mucho tiempo en contestarme, a veces años. Al final, toda obra de arte sale del corazón para llegar al corazón, me suelo responder. Artificial significa que no está concebido por el ser humano, que no pertenece a la naturaleza, que, por tanto, carece de vida", confiesa.

Gustavo Gimeno, director de orquesta y titular de la Filarmónica de Luxemburgo, tampoco ve objeto a la iniciativa: "¿Para qué? Sinceramente, no me suscita ningún interés... Me parece un sinsentido... La composición me resulta maravillosa tal y como es, igual que la Novena sinfonía de Bruckner, incompleta así mismo por otras razones. Schubert vivió lo suficiente como para haberla acabado y no lo hizo. ¿Quiénes somos nosotros para completar un trabajo de, en este caso, uno de los músicos más sensibles, refinados y originales de la historia?".

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Un algoritmo completa la misteriosa 'Sinfonía inacabada' de Schubert

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Franz Schubert es un perpetuo enigma. Murió joven, a los 31 años, pero más que desgastarse en una vida intensa, como tantos otros músicos, se fue consumiendo en cierta melancolía solitaria de cafés como desahogo a su total entrega a la creación.

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Falacias matemáticas: algunos razonamientos incorrectos pero persuasivos – El blog de Dimates

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El término falacia matemática se emplea normalmente para designar un razonamiento erróneo pero con la apariencia de raciocinio correcto, es decir, persuasivo o engañoso. En particular, algunas falacias matemáticas han llegado a cautivar la atención del gran público por lograr "probar" (evidentemente de forma errónea), a través de unos pocos pasos, igualdades imposibles del tipo 0=1 o 1=2.

En esta entrada veremos algunos ejemplos significativos de falacias en las que el razonamiento erróneo se debe a una mala o inadecuada interpretación de alguno de los elementos o definiciones que entran en juego (lo que lleva implícito a su vez una falta de rigor matemático), y otras en los que el motivo es un procedimiento erróneo de cálculo.

¿0=1? Observemos con atención
En esta primera falacia matemática que os muestro en la imagen que viene a continuación, la expresión inicial en la que aparece el símbolo de la integral acompañado de la función1/(x ln x) nos lleva aparentemente a "probar" que 0=1. Por tanto, el tópico principal de esta falacia es el cálculo de primitivas.

La clave está en el hecho de que estamos trabajando con el concepto de integral indefinida. Una inspección inicial nos puede llevar a pensar varios hechos:

-Por ejemplo, conviene inicialmente notar que se puede calcular una primitiva de forma inmediata, ya que la expresión del integrando (recordemos, 1/(x ln x)) responde a la forma f'(x)/f(x), con f(x)=ln x, pero eso no elimina la posibilidad de poder en principio utilizar integración por partes...

-Además, para que tenga sentido calcular primitivas de la función 1/(x lnx) se supone ya desde el principio que trabajamos en el dominio de dicha función, es decir, en el conjunto {x en R: x>0, x≠1}. Por ejemplo, podemos suponer que, sin pérdida de generalidad, se trabaja en un intervalo [a,b] incluido en (0,1) o incluido en (1,∞), y que se pretende calcular primitivas de dicha función en un intervalo de esa forma. Así que el motivo de llegar a una contradicción no pasa por la ausencia de las condiciones habituales que se han de verificar para, por ejemplo, poder aplicar la integración por partes, ya que en efecto las funciones elementales que entran en juego satisfacen en dichos intervalos las condiciones de integrabilidad, e incluso sus derivadas son también integrables.

Os muestro a continuación la explicación que escribí sobre la contradicción obtenida anteriormente (conviene también mencionar que en muchos textos y foros en los que se ha hecho alusión a falacias de este tipo se suelen omitir estas explicaciones).

¿2=1? Observemos con atención
En esta segunda falacia son las reglas básicas del álgebra y las operaciones con expresiones algebraicas las que entran en juego.

La razón de que lleguemos en este caso al absurdo 2=1 viene dada por el hecho de que x=y implica que x-y=0, por lo que al multiplicar y dividir por (x-y) estamos infringiendo las reglas básicas. En efecto, existen muchas falacias similares que se basan en multiplicar o dividir por un término que resulta ser idénticamente igual a 0.

¿0≥1? Observemos con atención

Esta tercera falacia también involucra las reglas básicas propias de las desigualdades. Recordemos que si 1<2, entonces (-1)·1=-1>(-1)·2=-2, esto es, hemos de cambiar la desigualdad cuando multiplicamos por un número negativo.

La cuarta y quinta falacia involucra a la unidad imaginaria i, símbolo introducido en la literatura por Leonhard Euler (recordemos que i^2=-1), y nos lleva a "demostrar" que 1=-1. Observemos con atención

En ambos casos, la problemática está relacionada con el hecho de que no hay ninguna regla en el caso complejo que nos asegure que la raíz del producto (o del cociente) sea el producto de raíces (o el cociente de raíces). Si trabajáramos con números positivos, esta propiedad sí que sabemos que es cierta, pero en general no lo es.

Evidentemente estos casos son bastante llamativos debido a que se llega a igualdades imposibles que nos llevan de inmediato a la necesidad de comprobar cada uno de los pasos que se han utilizado en el razonamiento en cuestión. Esto muestra de nuevo la importancia del rigor y la especificación en el quehacer matemático.
Os animo a utilizar estas falacias como estrategia de motivación en vuestras tareas docentes.
Escrito por Juan Matías Sepulcre
PD: Esta entrada forma parte del Carnaval de Matemáticas que en esta octagésima edición, denominada 9.4 Regla y compás está organizada por Miguel Ángel Morales Medina a través de su blog Gaussianos

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Falacias matemáticas: algunos razonamientos incorrectos pero persuasivos

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El término falacia matemática se emplea normalmente para designar un razonamiento erróneo pero con la apariencia de raciocinio correcto, es decir, persuasivo o engañoso. En particular, algunas falacias matemáticas han llegado a cautivar la atención del gran público por lograr "probar" (evidentemente de forma errónea), a través de unos pocos pasos, igualdades imposibles del tipo 0=1 o 1=2.

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chronological list of important mathematicians

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List of Important Mathematicians - The Story of Mathematics

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The Story of Mathematics - List of Important Mathematicians

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Por qué 2019 es un número feliz, según las matemáticas

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2019 es un número feliz Fotolia

Fernando Corbalán

Actualizado: Noticias relacionadas
Con el nuevo año recién comenzado, por seguir la tradición, en estos días nos deseamos felicidad muchas veces. Incluso lo haremos alguna otra vez ya avanzado el mes a aquellas personas que todavía no hayamos visto. Así pues, lo decimos de nuevo: ¡Feliz 2019!

Pero como estamos refiriéndonos a las matemáticas hay que decir que con ¡Feliz 2019! estamos señalando algo obvio, porque el número 2019 es en sí mismo un número feliz. La existencia de los números felices no es muy conocida (no es como los primos, los perfectos o los amigos, a los que nos referimos con frecuencia). Pero por la condición de 2019 como un número feliz este comienzo de año es un buen momento para conocerlos.

Se dice que un número es feliz cuando cumple que si sumamos los cuadrados de sus dígitos y seguimos el proceso con los resultados de esas sumas que vamos obteniendo en cada paso, el resultado final, cuando llegamos a una suma con un solo dígito, es 1.

Haciendo el proceso con 2019 tenemos

2019: 2² + 0² + 1² + 9² = 4 + 1 + 81 = 86

86: 8² + 6² = 64 + 36 = 100

100: 1² + 0² + 0² = 1

Luego podemos afirmar que 2019 es feliz como número como decíamos un poco más arriba. Y podemos fijarnos un poco en los números felices.

Existencia de números felices

¿Hay muchos números felices? ¿Cuáles son los años anteriores que coincidieron con números felices? Porque tanto en la vida como en los números la felicidad es difícil, quizá en los números no tanto, aunque tampoco abunde. Mirando los años desde el inicio de nuestra era, el 2019 es el que hace el 301 en la lista de los años felices. El anterior número feliz fue el 2008, que como era múltiplo de 4, fue también bisiesto. Esa coincidencia de ser feliz y bisiesto en más complicada (este año por ejemplo no lo es): sólo se ha dado 82 veces y la vez anterior fue en un año bien recordado en nuestro país, el 1992.

O sea que en los dos años felices anteriores hubo acontecimientos públicos relevantes en nuestro país (todos los fastos del 92, y la Expo de Zaragoza en 2008), pero a la vez fueron el inicio de crisis económicas. En este año no hay previsto ningún evento de ese tipo (por lo que a ver si no nos lleva a otra crisis).

¿Tendremos que esperar mucho para llegar a otro año feliz? Si exigimos que sea también año bisiesto habrá que esperar hasta el 2036. Si somos más conformistas y nos fijamos solo en la felicidad, habrá que esperar menos: el próximo año feliz será el 2026. Y en medio todavía habrá otro: 2030.

Como vemos son solo relativamente frecuentes los años felices. Pero hace casi siglo y medio hubo tres años seguidos: 1880,1881 y 1882.

Desde el punto de vista numérico, ¿hay alguna otra cosa especial en 2019? Lo primero es mirar si 2019 es primo, y aunque tiene a primera vista pinta de serlo, la realidad es que no lo es, porque 2019 = 3*673. ¿Hay algún número feliz que sea también primo, puesto que 2019 no lo es? La respuesta es afirmativa y además con números bien pequeños: 13, 31, 79 y 97 son los primeros.

Propiedades de los números felices

La primera pregunta que aparece siempre relativa a cualquier tipo de número es si la sucesión de naturales que la cumple se acaba, si existe algún número que es el mayor que la satisface. En el caso de los números felices es obvio que no se acaba, porque si tenemos un número feliz cualquiera, añadiéndole ceros es cualquier lugar (excepto por supuesto a la izquierda) se obtiene otro número feliz. Así, como 2019 es un número feliz, también lo serán, por ejemplo

20019, 20109, 20190, 201900,....

Y en particular la unidad seguida de cualquier número de ceros (es decir, los números de la forma 10^n para cualquier valor de n) es un número feliz. También lo son todos los números del tipo 10^n + 3 y 10^n + 9 para n>0.

Pero no solo eso, sino que si reordenamos el orden de las cifras de un número feliz tenemos otro número feliz. A partir de 2019 son también felices

9012, 9021, 9120, 9210, 9102, 9201, 9210

Por tanto hay infinitos números felices y también infinitos números primos. Lo que no se sabe es si hay infinitos primos felices, sigue siendo un problema abierto.

Hay una clasificación de los números según la cual un número es perfecto cuando es igual a la suma de sus divisores propios (distintos de él); abundante cuando es mayor que esa suma y escaso cuando es menor. En el caso del año que empezamos a recorrer, como 2019 = 3*673, sus divisores propios son 1, 3 y 673, cuya suma es 677, menor que 2019. Estamos ante un año que, como número, es escaso; no hay que echar las campanas al vuelo.

También 2008 es un número escaso, pero no se piense que siempre los felices lo son, porque 1992, también feliz, es abundante.

Y de cualquier forma más vale no tomarse muy en serio el asunto de relacionar la felicidad del número con la del año (aunque algo de eso hemos hecho), porque nuestra numeración de los mismos es una convención. Por ejemplo, para los árabes corre el año 1440 (que no es un número feliz) y para los judíos es el año 5779 (que tampoco es feliz).

Ya sabemos que la perfección es escasa, solo se conocen 48 números perfectos. ¿Alguno de esos son además felices? Pues la respuesta es afirmativa, puesto que tres de esos números son felices: 28, 496 y 8128 (como se puede comprobar con facilidad porque se llega a 1 con rapidez).

O sea que si como terminaba 'Con faldas y a lo loco', la famosa película de Wilder, 'Nadie es perfecto', en el terreno de los números se puede ser feliz y perfecto. Hay muy pocos, pero se puede lograr. Pero en este 2019 feliz y escaso, como la felicidad es un concepto complicado, yo deseo a todos los lectores, un recorrido que sea placentero, solidario, saludable, con preguntas, con alguna respuesta y con los ingredientes que más les gusten. Y las matemáticas, que tanto ayudan en todos esos aspectos, ya irán apareciendo cada semana en este ABCdario de las matemáticas.

Fernando Corbalán. Universidad de Zaragoza. Miembro de la Comisión de divulgación de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la RSME. Temas

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Por qué 2019 es un número feliz, según las matemáticas

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Fernando Corbalán Actualizado: Noticias relacionadas Con el nuevo año recién comenzado, por seguir la tradición, en estos días nos deseamos felicidad muchas veces. Incluso lo haremos alguna otra vez ya avanzado el mes a aquellas personas que todavía no hayamos visto. Así pues, lo decimos de nuevo: ¡Feliz 2019!

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'An exceedingly well-informed report,' said the General. 'You have given yourself the trouble to go into matters thoroughly, I see. That is one of the secrets of success in life.'

Professor R. Smullyan in his book 5000 B.C. and Other Philosophical Fantasies tells of an experiment he ran in one of his geometry classes. He drew a right triangle on the board with squares on the hypotenuse and legs and observed the fact the the square on the hypotenuse had a larger area than either of the other two squares. Then he asked, "Suppose these three squares were made of beaten gold, and you were offered either the one large square or the two small squares. Which would you choose?" Interestingly enough, about half the class opted for the one large square and half for the two small squares. Both groups were equally amazed when told that it would make no difference.

The Pythagorean (or Pythagoras') Theorem is the statement that the sum of (the areas of) the two small squares equals (the area of) the big one.

In algebraic terms, a² + b² = c² where c is the hypotenuse while a and b are the legs of the triangle.

The theorem is of fundamental importance in Euclidean Geometry where it serves as a basis for the definition of distance between two points. It's so basic and well known that, I believe, anyone who took geometry classes in high school couldn't fail to remember it long after other math notions got thoroughly forgotten.

Below is a collection of 118 approaches to proving the theorem. Many of the proofs are accompanied by interactive Java illustrations.

Remark

1. The statement of the Theorem was discovered on a Babylonian tablet circa 1900-1600 B.C. Whether Pythagoras (c.560-c.480 B.C.) or someone else from his School was the first to discover its proof can't be claimed with any degree of credibility. Euclid's (c 300 B.C.) Elements furnish the first and, later, the standard reference in Geometry. In fact Euclid supplied two very different proofs: the Proposition I.47 (First Book, Proposition 47) and VI.31. The Theorem is reversible which means that its converse is also true. The converse states that a triangle whose sides satisfy a² + b² = c² is necessarily right angled. Euclid was the first (I.48) to mention and prove this fact.

2. W. Dunham [Mathematical Universe] cites a book The Pythagorean Proposition by an early 20th century professor Elisha Scott Loomis. The book is a collection of 367 proofs of the Pythagorean Theorem and has been republished by NCTM in 1968. In the Foreword, the author rightly asserts that the number of algebraic proofs is limitless as is also the number of geometric proofs, but that the proposition admits no trigonometric proof. Curiously, nowhere in the book does Loomis mention Euclid's VI.31 even when offering it and the variants as algebraic proofs 1 and 93 or as geometric proof 230.

In all likelihood, Loomis drew inspiration from a series of short articles in The American Mathematical Monthly published by B. F. Yanney and J. A. Calderhead in 1896-1899. Counting possible variations in calculations derived from the same geometric configurations, the potential number of proofs there grew into thousands. For example, the authors counted 45 proofs based on the diagram of proof #6 and virtually as many based on the diagram of #19 below. I'll give an example of their approach in proof #56. (In all, there were 100 "shorthand" proofs.)

I must admit that, concerning the existence of a trigonometric proof, I have been siding with with Elisha Loomis until very recently, i.e., until I was informed of Proof #84. Actually, for some people it came as a surprise that anybody could doubt the existence of trigonometric proofs, so more of them have eventaully found their way to these pages.

In trigonometric terms, the Pythagorean theorem asserts that in a triangle ABC, the equality sin²A + sin²B = 1 is equivalent to the angle at C being right. A more symmetric assertion is that ΔABC is right iff sin²A + sin²B + sin²C = 2. By the sine law, the latter is equivalent to a² + b² + c² = 2d², where d is the diameter of the circumcircle. Another form of the same property is cos²A + cos²B + cos²C = 1 which I like even more.

3. Pythagorean Theorem generalizes to spaces of higher dimensions. Some of the generalizations are far from obvious. Pythagorean theorem serves as the basis of the Euclidean distance formula.

4. Larry Hoehn came up with a plane generalization which is related to the law of cosines but is shorter and looks nicer.

5. The Theorem whose formulation leads to the notion of Euclidean distance and Euclidean and Hilbert spaces, plays an important role in Mathematics as a whole. There is a small collection of rather elementray facts whose proof may be based on the Pythagorean Theorem. There is a more recent page with a list of properties of the Euclidian diagram for I.47.

6. Wherever all three sides of a right triangle are integers, their lengths form a Pythagorean triple (or Pythagorean numbers). There is a general formula for obtaining all such numbers.

7. My first math droodle was also related to the Pythagorean theorem. Unlike a proof without words, a droodle may suggest a statement, not just a proof.

8. Several false proofs of the theorem have also been published. I have collected a few in a separate page. It is better to learn from mistakes of others than to commit one's own.

9. It is known that the Pythagorean Theorem is Equivalent to Parallel Postulate.

10. The Pythagorean configuration is known under many names, the Bride's Chair being probably the most popular. Besides the statement of the Pythagorean theorem, Bride's chair has many interesting properties, many quite elementary.

11. The late Professor Edsger W. Dijkstra found an absolutely stunning generalization of the Pythagorean theorem. If, in a triangle, angles α, β, γ lie opposite the sides of length a, b, c, then
(EWD)

sign(α + β - γ) = sign(a² + b² - c²),

where sign(t) is the signum function:

sign(t)

= -1, for t < 0,

sign(0)

= 0,

sign(t)

= 1, for t > 0.

The theorem this page is devoted to is treated as "If γ = p/2, then a² + b² = c²." Dijkstra deservedly finds (EWD) more symmetric and more informative. Absence of transcendental quantities (p) is judged to be an additional advantage. Dijkstra's proof is included as Proof 78 and is covered in more detail on a separate page.

12. The most famous of right-angled triangles, the one with dimensions 3:4:5, has been sighted in Gothic Art and can be obtained by paper folding. Rather inadvertently, it pops up in several Sangaku problems.

13. Perhaps not surprisingly, the Pythagorean theorem is a consequence of various physical laws and is encountered in several mechanical phenomena.

Proof #1

This is probably the most famous of all proofs of the Pythagorean proposition. It's the first of Euclid's two proofs (I.47). The underlying configuration became known under a variety of names, the Bride's Chair likely being the most popular.

The proof has been illustrated by an award winning Java applet written by Jim Morey. I include it on a separate page with Jim's kind permission. The proof below is a somewhat shortened version of the original Euclidean proof as it appears in Sir Thomas Heath's translation.

First of all, ΔABF = ΔAEC by SAS. This is because, AE = AB, AF = AC, and

∠BAF = ∠BAC + ∠CAF = ∠CAB + ∠BAE = ∠CAE.

ΔABF has base AF and the altitude from B equal to AC. Its area therefore equals half that of square on the side AC. On the other hand, ΔAEC has AE and the altitude from C equal to AM, where M is the point of intersection of AB with the line CL parallel to AE. Thus the area of ΔAEC equals half that of the rectangle AELM. Which says that the area AC² of the square on side AC equals the area of the rectangle AELM.

Similarly, the area BC² of the square on side BC equals that of rectangle BMLD. Finally, the two rectangles AELM and BMLD make up the square on the hypotenuse AB.

The configuration at hand admits numerous variations. B. F. Yanney and J. A. Calderhead ( Am Math Monthly, v.4, n 6/7, (1987), 168-170 published several proofs based on the following diagrams

Some properties of this configuration has been proved on the Bride's Chair and others at the special Properties of the Figures in Euclid I.47 page.

Proof #2

We start with two squares with sides a and b, respectively, placed side by side. The total area of the two squares is a²+b².

The construction did not start with a triangle but now we draw two of them, both with sides a and b and hypotenuse c. Note that the segment common to the two squares has been removed. At this point we therefore have two triangles and a strange looking shape.

As a last step, we rotate the triangles 90°, each around its top vertex. The right one is rotated clockwise whereas the left triangle is rotated counterclockwise. Obviously the resulting shape is a square with the side c and area c². This proof appears in a dynamic incarnation.

(A variant of this proof is found in an extant manuscript by Thâbit ibn Qurra located in the library of Aya Sofya Musium in Turkey, registered under the number 4832. [R. Shloming, Thâbit ibn Qurra and the Pythagorean Theorem, Mathematics Teacher 63 (Oct., 1970), 519-528]. ibn Qurra's diagram is similar to that in proof #27. The proof itself starts with noting the presence of four equal right triangles surrounding a strangely looking shape as in the current proof #2. These four triangles correspond in pairs to the starting and ending positions of the rotated triangles in the current proof. This same configuration could be observed in a proof by tessellation.)

Proof #3

Now we start with four copies of the same triangle. Three of these have been rotated 90°, 180°, and 270°, respectively. Each has area ab/2. Let's put them together without additional rotations so that they form a square with side c.

The square has a square hole with the side (a - b). Summing up its area (a - b)² and 2 ab, the area of the four triangles (4· ab/2), we get

Proof #4

The fourth approach starts with the same four triangles, except that, this time, they combine to form a square with the side (a + b) and a hole with the side c. We can compute the area of the big square in two ways. Thus

simplifying which we get the needed identity.

A proof which combines this with proof #3 is credited to the 12th century Hindu mathematician Bhaskara (Bhaskara II):

Nelsen (p. 4) gives Bhaskara credit also for proof #3.

Here we add the two identities

which gives

The latter needs only be divided by 2. This is the algebraic proof # 36 in Loomis' collection. Its variant, specifically applied to the 3-4-5 triangle, has featured in the Chinese classic Chou Pei Suan Ching dated somewhere between 300 BC and 200 AD and which Loomis refers to as proof 253.

Proof #5

This proof, discovered by President J. A. Garfield in 1876 [ Pappas], is a variation on the previous one. But this time we draw no squares at all. The key now is the formula for the area of a trapezoid - half sum of the bases times the altitude - Looking at the picture another way, this also can be computed as the sum of areas of the three triangles - As before, simplifications yielda² + b² = c². (There is more to that story.)

Two copies of the same trapezoid can be combined in two ways by attaching them along the slanted side of the trapezoid. One leads to the proof #4, the other to proof #52.

Another development is due to Tony Foster: it also invokes an image of trapezoid but under in a different light.

Proof #6

We start with the original right triangle, now denoted ABC, and need only one additional construct - the altitude AD. The triangles ABC, DBA, and DAC are similar which leads to two ratios:

AB/BC = BD/AB and AC/BC = DC/AC.

Written another way these become

AB·AB = BD·BC and AC·AC = DC·BC

Summing up we get

In a little different form, this proof appeared in the Mathematics Magazine, 33 (March, 1950), p. 210, in the Mathematical Quickies section, see Mathematical Quickies, by C. W. Trigg.

Taking AB = a, AC = b, BC = c and denoting BD = x, we obtain as above

a² = cx and b² = c(c - x),

which perhaps more transparently leads to the same identity.

In a private correspondence, Dr. France Dacar, Ljubljana, Slovenia, has suggested that the diagram on the right may serve two purposes. First, it gives an additional graphical representation to the present proof #6. In addition, it highlights the relation of the latter to proof #1.

R. M. Mentock has observed that a little trick makes the proof more succinct. In the common notations, c = b cos A + a cos B. But, from the original triangle, it's easy to see that cos A = b/c and cos B = a/c so c = b (b/c) + a (a/c). This variant immediately brings up a question: are we getting in this manner a trigonometric proof? I do not think so, although a trigonometric function (cosine) makes here a prominent appearance. The ratio of two lengths in a figure is a shape property meaning that it remains fixed in passing between similar figures, i.e., figures of the same shape. That a particular ratio used in the proof happened to play a sufficiently important role in trigonometry and, more generally, in mathematics, so as to deserve a special notation of its own, does not cause the proof to depend on that notation. (However, check Proof 84 where trigonometric identities are used in a significant way.)

Michael Brozinsky came up with a variant of the proof that I believe could be properly referred to as lipogrammatic.

Finally, it must be mentioned that the configuration exploited in this proof is just a specific case of the one from the next proof - Euclid's second and less known proof of the Pythagorean proposition. A separate page is devoted to a proof by the similarity argument.

Proof #7

The next proof is taken verbatim from Euclid VI.31 in translation by Sir Thomas L. Heath. The great G. Polya analyzes it in his Induction and Analogy in Mathematics (II.5) which is a recommended reading to students and teachers of Mathematics.
In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle.
Let ABC be a right-angled triangle having the angle BAC right; I say that the figure on BC is equal to the similar and similarly described figures on BA, AC.

Let AD be drawn perpendicular. Then since, in the right-angled triangle ABC, AD has been drawn from the right angle at A perpendicular to the base BC, the triangles ABD, ADC adjoining the perpendicular are similar both to the whole ABC and to one another [VI.8].

And, since ABC is similar to ABD, therefore, as CB is to BA so is AB to BD [VI.Def.1].

And, since three straight lines are proportional, as the first is to the third, so is the figure on the first to the similar and similarly described figure on the second [VI.19]. Therefore, as CB is to BD, so is the figure on CB to the similar and similarly described figure on BA.

For the same reason also, as BC is to CD, so is the figure on BC to that on CA; so that, in addition, as BC is to BD, DC, so is the figure on BC to the similar and similarly described figures on BA, AC.

But BC is equal to BD, DC; therefore the figure on BC is also equal to the similar and similarly described figures on BA, AC.

Therefore etc. Q.E.D.

Confession

I got a real appreciation of this proof only after reading the book by Polya I mentioned above. I hope that a Java applet will help you get to the bottom of this remarkable proof. Note that the statement actually proven is much more general than the theorem as it's generally known. ( Another discussion looks at VI.31 from a little different angle.)

John Arioni came up with a beautiful illustration that also sheds light on the proof #8.

Proof #8

Playing with the applet that demonstrates the Euclid's proof (#7), I have discovered another one which, although ugly, serves the purpose nonetheless.

Thus starting with the triangle 1 we add three more in the way suggested in proof #7: similar and similarly described triangles 2, 3, and 4. Deriving a couple of ratios as was done in proof #6 we arrive at the side lengths as depicted on the diagram. Now, it's possible to look at the final shape in two ways:

as a union of the rectangle (1 + 3 + 4) and the triangle 2, or

as a union of the rectangle (1 + 2) and two triangles 3 and 4.

Equating the areas leads to

ab/c · (a² + b²)/c + ab/2 = ab + (ab/c · a²/c + ab/c · b²/c)/2

Simplifying we get

ab/c · (a² + b²)/c/2 = ab/2, or (a² + b²)/c² = 1

Remark

In hindsight, there is a simpler proof. Look at the rectangle (1 + 3 + 4). Its long side is, on one hand, plain c, while, on the other hand, it's a²/c + b²/c and we again have the same identity.

Vladimir Nikolin from Serbia supplied a beautiful illustration:

Proof #9

Another proof stems from a rearrangement of rigid pieces, much like proof #2. It makes the algebraic part of proof #4 completely redundant. There is nothing much one can add to the two pictures.

(My sincere thanks go to Monty Phister for the kind permission to use the graphics.)

Loomis (pp. 49-50) mentions that the proof "was devised by Maurice Laisnez, a high school boy, in the Junior-Senior High School of South Bend, Ind., and sent to me, May 16, 1939, by his class teacher, Wilson Thornton."

The proof has been published by Rufus Isaac in Mathematics Magazine, Vol. 48 (1975), p. 198.

A slightly different rearragement leads to a hinged dissection illustrated by a Java applet.

R. B. Nelsen reproduces the proof with a remark "based on the one from Zhou bi suan jing, a Chinese document dating from approximately 200 BC." Sir Thomas L. Heath mentions it in his commentary (1908) on Euclid I.47 without attribution but with a reference to two other contemporary commentators.

Professor Xiaolin Zhong of UCLA came up with a version packed into a single square. "The proof is obvious by simply moving $\Delta ABH$ and $\Delta BCD$ into $\Delta HGF$ and $\Delta FED,$ respectively."

Proof #10

This and the next 3 proofs came from [].

The triangles in Proof #3 may be rearranged in yet another way that makes the Pythagorean identity obvious.

(A more elucidating diagram on the right was kindly sent to me by Monty Phister. The proof admits a hinged dissection illustrated by a Java applet.)

The first two pieces may be combined into one. The result appear in a 1830 book Sanpo Shinsyo - New Mathematics - by Chiba Tanehide (1775-1849), [H. Fukagawa, A. Rothman, Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, 2008, p. 83].

Proof #11

Draw a circle with radius c and a right triangle with sides a and b as shown. In this situation, one may apply any of a few well known facts. For example, in the diagram three points F, G, H located on the circle form another right triangle with the altitude FK of length a. Its hypotenuse GH is split in two pieces: (c + b) and (c - b). So, as in Proof #6, we get a² = (c + b)(c - b) = c² - b².

[ Loomis, #53] attributes this construction to the great Leibniz, but lengthens the proof about threefold with meandering and misguided derivations.

B. F. Yanney and J. A. Calderhead ( Am Math Monthly, v.3, n. 12 (1896), 299-300) offer a somewhat different route. Imagine FK is extended to the second intersection F' with the circle. Then, by the Intersecting Chords theorem, FK·KF' = GK·KH, with the same implication.

More recently, Daniel J. Hardisky, arrived at the proof by a different route. Construct two isosceles triangles $ABD$ and $ABE,$ with $D$ and $E$ on $AC$ on both sides of $A.$ Then note that $\angle DBE$ is right.

This argument is reminescent of a characterization of right triangles discussed elsewhere.

Proof #12

This proof is a variation on #1, one of the original Euclid's proofs. In parts 1,2, and 3, the two small squares are sheared towards each other such that the total shaded area remains unchanged (and equal to a²+b².) In part 3, the length of the vertical portion of the shaded area's border is exactly c because the two leftover triangles are copies of the original one. This means one may slide down the shaded area as in part 4. From here the Pythagorean Theorem follows easily.

(This proof can be found in H. Eves, In Mathematical Circles, MAA, 2002, pp. 74-75)

Proof #13

In the diagram there is several similar triangles (abc, a'b'c', a'x, and b'y.) We successively have

y/b = b'/c, x/a = a'/c, cy + cx = aa' + bb'.

And, finally, cc' = aa' + bb'. This is very much like Proof #6 but the result is more general.

Proof #14

This proof by H.E. Dudeney (1917) starts by cutting the square on the larger side into four parts that are then combined with the smaller one to form the square built on the hypotenuse.

Greg Frederickson from Purdue University, the author of a truly illuminating book, Dissections: Plane & Fancy (Cambridge University Press, 1997), pointed out the historical inaccuracy:

You attributed proof #14 to H.E. Dudeney (1917), but it was actually published earlier (1872) by Henry Perigal, a London stockbroker. A different dissection proof appeared much earlier, given by the Arabian mathematician/astronomer Thâbit in the tenth century. I have included details about these and other dissections proofs (including proofs of the Law of Cosines) in my recent book "Dissections: Plane & Fancy", Cambridge University Press, 1997. You might enjoy the web page for the book:

http://www.cs.purdue.edu/homes/gnf/book.html

Sincerely,
Greg Frederickson

Bill Casselman from the University of British Columbia seconds Greg's information. Mine came from Proofs Without Words by R.B.Nelsen (MAA, 1993).

The proof has a dynamic version.

Proof #15

A variant of the basic proof has been sent to me by Miquel Plens, a high school student from Catalonia. Miquel considers the overlap of eight squares on the three sides of a right triangle and the leftover pieces. I placed his submission on a separate page.

Proof #16

This proof is ascribed to Leonardo da Vinci (1452-1519) [ Eves]. Quadrilaterals ABHI, JHBC, ADGC, and EDGF are all equal. (This follows from the observation that the angle ABH is 45°. This is so because ABC is right-angled, thus center O of the square ACJI lies on the circle circumscribing triangle ABC. Obviously, angle ABO is 45°.) Now, Area(ABHI) + Area(JHBC) = Area(ADGC) + Area(EDGF). Each sum contains two areas of triangles equal to ABC (IJH or BEF) removing which one obtains the Pythagorean Theorem.

David King modifies the argument somewhat

The side lengths of the hexagons are identical. The angles at P (right angle + angle between a & c) are identical. The angles at Q (right angle + angle between b & c) are identical. Therefore all four quadrilaterals are identical, and, therefore, the hexagons have the same area.

Proof #17

This proof appears in the Book IV of Mathematical Collection by Pappus of Alexandria (ca A.D. 300) [ Eves, Pappas]. It generalizes the Pythagorean Theorem in two ways: the triangle ABC is not required to be right-angled and the shapes built on its sides are arbitrary parallelograms instead of squares. Thus build parallelograms CADE and CBFG on sides AC and, respectively, BC. Let DE and FG meet in H and draw AL and BM parallel and equal to HC. Then Area(ABML) = Area(CADE) + Area(CBFG). Indeed, with the sheering transformation already used in proofs #1 and #12, Area(CADE) = Area(CAUH) = Area(SLAR) and also Area(CBFG) = Area(CBVH) = Area(SMBR). Now, just add up what's equal.

A dynamic illustration is available elsewhere.

Proof #18

This is another generalization that does not require right angles. It's due to Thâbit ibn Qurra (836-901) [ Eves]. If angles CAB, AC'B and AB'C are equal then AC² + AB² = BC(CB' + BC'). Indeed, triangles ABC, AC'B and AB'C are similar. Thus we have AB/BC' = BC/AB and AC/CB' = BC/AC which immediately leads to the required identity. In case the angle A is right, the theorem reduces to the Pythagorean proposition and proof #6.

The same diagram is exploited in a different way by E. W. Dijkstra who concentrates on comparison of BC with the sum CB' + BC'.

Proof #19

This proof is a variation on #6. On the small side AB add a right-angled triangle ABD similar to ABC. Then, naturally, DBC is similar to the other two. From Area(ABD) + Area(ABC) = Area(DBC), AD = AB²/AC and BD = AB·BC/AC we derive(AB²/AC)·AB + AB·AC = (AB·BC/AC)·BC. Dividing by AB/AC leads to AB² + AC² = BC².

Proof #20

This one is a cross between #7 and #19. Construct triangles ABC', BCA', and ACB' similar to ABC, as in the diagram. By construction, ΔABC = ΔA'BC. In addition, triangles ABB' and ABC' are also equal. Thus we conclude that Area(A'BC) + Area(AB'C) = Area(ABC'). From the similarity of triangles we get as before B'C = AC²/BC and BC' = AC·AB/BC. Putting it all together yields AC·BC + (AC²/BC)·AC = AB·(AC·AB/BC) which is the same as

BC² + AC² = AB².

Proof #21

The following is an excerpt from a letter by Dr. Scott Brodie from the Mount Sinai School of Medicine, NY who sent me a couple of proofs of the theorem proper and its generalization to the Law of Cosines:

The first proof I merely pass on from the excellent discussion in the Project Mathematics series, based on Ptolemy's theorem on quadrilaterals inscribed in a circle: for such quadrilaterals, the sum of the products of the lengths of the opposite sides, taken in pairs equals the product of the lengths of the two diagonals. For the case of a rectangle, this reduces immediately to a² + b² = c².

Proof #22

Here is the second proof from Dr. Scott Brodie's letter.

We take as known a Power of a Point theorem: If a point is taken exterior to a circle, and from the point a segment is drawn tangent to the circle and another segment (a secant) is drawn which cuts the circle in two distinct points, then the square of the length of the tangent is equal to the product of the distance along the secant from the external point to the nearer point of intersection with the circle and the distance along the secant to the farther point of intersection with the circle.

Let ABC be a right triangle, with the right angle at C. Draw the altitude from C to the hypotenuse; let P denote the foot of this altitude. Then since CPB is right, the point P lies on the circle with diameter BC; and since CPA is right, the point P lies on the circle with diameter AC. Therefore the intersection of the two circles on the legs BC, CA of the original right triangle coincides with P, and in particular, lies on AB. Denote by x and y the lengths of segments BP and PA, respectively, and, as usual let a, b, c denote the lengths of the sides of ABC opposite the angles A, B, C respectively. Then,

Since angle C is right, BC is tangent to the circle with diameter CA, and the Power of a Point theorem states that a² = xc; similarly, AC is tangent to the circle with diameter BC, and Adding, we find Q.E.D.

Dr. Brodie also created a Geometer's SketchPad file to illustrate this proof.

(This proof has been published as number XXIV in a collection of proofs by B. F. Yanney and J. A. Calderhead in Am Math Monthly, v. 4, n. 1 (1897), pp. 11-12.)

Proof #23

Proof #24

[ Swetz] ascribes this proof to abu' l'Hasan Thâbit ibn Qurra Marwân al'Harrani (826-901). It's the second of the proofs given by Thâbit ibn Qurra. The first one is essentially the #2 above.

The proof resembles part 3 from proof #12. ΔABC = ΔFLC = ΔFMC = ΔBED = ΔAGH = ΔFGE. On one hand, the area of the shape ABDFH equals AC² + BC² + Area(ΔABC + ΔFMC + ΔFLC). On the other hand, Area(ABDFH) = AB² + Area(ΔBED + ΔFGE + ΔAGH).

Thâbit ibn Qurra's admits a natural generalization to a proof of the Law of Cosines.

A dynamic illustration of ibn Qurra's proof is also available.

This is an "unfolded" variant of the above proof. Two pentagonal regions - the red and the blue - are obviously equal and leave the same area upon removal of three equal triangles from each.

The proof is popularized by Monty Phister, author of the inimitable Gnarly Math CD-ROM.

Floor van Lamoen has gracefully pointed me to an earlier source. Eduard Douwes Dekker, one of the most famous Dutch authors, published in 1888 under the pseudonym of Multatuli a proof accompanied by the following diagram.

Scott Brodie pointed to the obvious relation of this proof to # 9. It is the same configuration but short of one triangle.

Proof #25

B.F.Yanney (1903, [ Swetz]) gave a proof using the "shearing argument" also employed in the Proofs #1 and #12. Successively, areas of LMOA, LKCA, and ACDE (which is AC²) are equal as are the areas of HMOB, HKCB, and HKDF (which is BC²). BC = DF. Thus AC² + BC² = Area(LMOA) + Area(HMOB) = Area(ABHL) = AB².

Proof #26

This proof I discovered at the site maintained by Bill Casselman where it is presented by a Java applet.

With all the above proofs, this one must be simple. Similar triangles like in proofs #6 or #13.

Proof #27

The same pieces as in proof #26 may be rearranged in yet another manner.

This dissection is often attributed to the 17 th century Dutch mathematician Frans van Schooten. [ Frederickson, p. 35] considers it as a hinged variant of one by ibn Qurra, see the note in parentheses following proof #2. Dr. France Dacar from Slovenia has pointed out that this same diagram is easily explained with a tessellation in proof #15. As a matter of fact, it may be better explained by a different tessellation. (I thank Douglas Rogers for setting this straight for me.)

The configuration at hand admits numerous variations. B. F. Yanney and J. A. Calderhead ( Am Math Monthly, v. 6, n. 2 (1899), 33-34) published several proofs based on the following diagrams (multiple proofs per diagram at that)

Proof #28

Melissa Running from MathForum has kindly sent me a link (that since disappeared) to a page by Donald B. Wagner, an expert on history of science and technology in China. Dr. Wagner appeared to have reconstructed a proof by Liu Hui (third century AD). However (see below), there are serious doubts to the authorship of the proof.

Elisha Loomis cites this as the geometric proof #28 with the following comment:

1. Benjir von Gutheil, oberlehrer at Nurnberg, Germany, produced the above proof. He died in the trenches in France, 1914. So wrote J. Adams, August 1933.

2. Let us call it the B. von Gutheil World War Proof.

Judging by the Sweet Land movie, such forgiving attitude towards a German colleague may not have been common at the time close to the WWI. It might have been even more guarded in the 1930s during the rise to power of the nazis in Germany.

(I thank D. Rogers for bringing the reference to Loomis' collection to my attention. He also expressed a reservation as regard the attribution of the proof to Liu Hui and traced its early appearance to Karl Julius Walther Lietzmann's Geometrische aufgabensamming Ausgabe B: fuer Realanstalten, published in Leipzig by Teubner in 1916. Interestingly, the proof has not been included in Lietzmann's earlier Der Pythagoreische Lehrsatz published in 1912.)

Proof #29

A mechanical proof of the theorem deserves a page of its own.

Pertinent to that proof is a page "Extra-geometric" proofs of the Pythagorean Theorem by Scott Brodie

Proof #30

This proof I found in R. Nelsen's sequel Proofs Without Words II. (It's due to Poo-sung Park and was originally published in Mathematics Magazine, Dec 1999). Starting with one of the sides of a right triangle, construct 4 congruent right isosceles triangles with hypotenuses of any subsequent two perpendicular and apices away from the given triangle. The hypotenuse of the first of these triangles (in red in the diagram) should coincide with one of the sides.

The apices of the isosceles triangles form a square with the side equal to the hypotenuse of the given triangle. The hypotenuses of those triangles cut the sides of the square at their midpoints. So that there appear to be 4 pairs of equal triangles (one of the pairs is in green). One of the triangles in the pair is inside the square, the other is outside. Let the sides of the original triangle be a, b, c (hypotenuse). If the first isosceles triangle was built on side b, then each has area b²/4. We obtain

a² + 4b²/4 = c²

There's a dynamic illustration and another diagram that shows how to dissect two smaller squares and rearrange them into the big one.

This diagram also has a dynamic variant.

Proof #31

Given right ΔABC, let, as usual, denote the lengths of sides BC, AC and that of the hypotenuse as a, b, and c, respectively. Erect squares on sides BC and AC as on the diagram. According to SAS, triangles ABC and PCQ are equal, so that ∠QPC = ∠A. Let M be the midpoint of the hypotenuse. Denote the intersection of MC and PQ as R. Let's show that MR PQ.

The median to the hypotenuse equals half of the latter. Therefore, ΔCMB is isosceles and ∠MBC = ∠MCB. But we also have ∠PCR = ∠MCB. From here and ∠QPC = ∠A it follows that angle CRP is right, or MR PQ.

With these preliminaries we turn to triangles MCP and MCQ. We evaluate their areas in two different ways:

One one hand, the altitude from M to PC equals AC/2 = b/2. But also PC = b. Therefore, Area(ΔMCP) = b²/4. On the other hand, Area(ΔMCP) = CM·PR/2 = c·PR/4. Similarly, Area(ΔMCQ) = a²/4 and also Area(ΔMCQ) = CM·RQ/2 = c·RQ/4.

We may sum up the two identities: a²/4 + b²/4 = c·PR/4 + c·RQ/4, or a²/4 + b²/4 = c·c/4.

(My gratitude goes to Floor van Lamoen who brought this proof to my attention. It appeared in Pythagoras - a dutch math magazine for schoolkids - in the December 1998 issue, in an article by Bruno Ernst. The proof is attributed to an American High School student from 1938 by the name of Ann Condit. The proof is included as the geometric proof 68 in Loomis' collection, p. 140.)

Proof #32

Let ABC and DEF be two congruent right triangles such that B lies on DE and A, F, C, E are collinear. BC = EF = a, AC = DF = b, AB = DE = c. Obviously, AB DE. Compute the area of ΔADE in two different ways.

Area(ΔADE) = AB·DE/2 = c²/2 and also Area(ΔADE) = DF·AE/2 = b·AE/2. AE = AC + CE = b + CE. CE can be found from similar triangles BCE and DFE: CE = BC·FE/DF = a·a/b. Putting things together we obtain

c²/2 = b(b + a²/b)/2

(This proof is a simplification of one of the proofs by Michelle Watkins, a student at the University of North Florida, that appeared in Math Spectrum 1997/98, v30, n3, 53-54.)

Douglas Rogers observed that the same diagram can be treated differently:

Proof 32 can be tidied up a bit further, along the lines of the later proofs added more recently, and so avoiding similar triangles.

Of course, ADE is a triangle on base DE with height AB, so of area cc/2.

But it can be dissected into the triangle FEB and the quadrilateral ADBF. The former has base FE and height BC, so area aa/2. The latter in turn consists of two triangles back to back on base DF with combined heights AC, so area bb/2. An alternative dissection sees triangle ADE as consisting of triangle ADC and triangle CDE, which, in turn, consists of two triangles back to back on base BC, with combined heights EF.

The next two proofs have accompanied the following message from Shai Simonson, Professor at Stonehill College in Cambridge, MA:

Greetings,

I was enjoying looking through your site, and stumbled on the long list of Pyth Theorem Proofs.

In my course "The History of Mathematical Ingenuity" I use two proofs that use an inscribed circle in a right triangle. Each proof uses two diagrams, and each is a different geometric view of a single algebraic proof that I discovered many years ago and published in a letter to Mathematics Teacher.

The two geometric proofs require no words, but do require a little thought.

Best wishes,

Shai

Proof #33

Proof #34

Proof #35

Cracked Domino - a proof by Mario Pacek (aka Pakoslaw Gwizdalski) - also requires some thought.

The proof sent via email was accompanied by the following message:

This new, extraordinary and extremely elegant proof of quite probably the most fundamental theorem in mathematics (hands down winner with respect to the # of proofs 367?) is superior to all known to science including the Chinese and James A. Garfield's (20th US president), because it is direct, does not involve any formulas and even preschoolers can get it. Quite probably it is identical to the lost original one - but who can prove that? Not in the Guinness Book of Records yet!

Proof #36

This proof is due to J. E. Böttcher and has been quoted by Nelsen ( Proofs Without Words II, p. 6).

I think cracking this proof without words is a good exercise for middle or high school geometry class.

S. K. Stein, (Mathematics: The Man-Made Universe, Dover, 1999, p. 74) gives a slightly different dissection.

Both variants have a dynamic version. There is another, especially illuminating illustration of Böttcher's decomposition.

Proof #37

An applet by David King that demonstrates this proof has been placed on a separate page.

Proof #38

This proof was also communicated to me by David King. Squares and 2 triangles combine to produce two hexagon of equal area, which might have been established as in Proof #9. However, both hexagons tessellate the plane.

For every hexagon in the left tessellation there is a hexagon in the right tessellation. Both tessellations have the same lattice structure which is demonstrated by an applet. The Pythagorean theorem is proven after two triangles are removed from each of the hexagons.

Proof #39

(By J. Barry Sutton, The Math Gazette, v 86, n 505, March 2002, p72.)

Let in ΔABC, angle C = 90°. As usual, AB = c, AC = b, BC = a. Define points D and E on AB so that AD = AE = b.

By construction, C lies on the circle with center A and radius b. Angle DCE subtends its diameter and thus is right: DCE = 90°. It follows that BCD = ACE. Since ΔACE is isosceles, CEA = ACE.

Triangles DBC and EBC share DBC. In addition, BCD = BEC. Therefore, triangles DBC and EBC are similar. We have BC/BE = BD/BC, or

a / (c + b) = (c - b) / a.

And finally

a² = c² - b²,
a² + b² = c².

The diagram reminds one of Thâbit ibn Qurra's proof. But the two are quite different. However, this is exactly proof 14 from Elisha Loomis' collection. Furthermore, Loomis provides two earlier references from 1925 and 1905. With the circle centered at A drawn, Loomis repeats the proof as 82 (with references from 1887, 1880, 1859, 1792) and also lists (as proof 89) a symmetric version of the above:

For the right triangle ABC, with right angle at C, extend AB in both directions so that AE = AC = b and BG = BC = a. As above we now have triangles DBC and EBC similar. In addition, triangles AFC and ACG are also similar, which results in two identities:

a² = c² - b², and
b² = c² - a².

Instead of using either of the identities directly, Loomis adds the two:

2(a² + b²) = 2c²,

which appears as both graphical and algebraic overkill.

Proof #40

This one is by Michael Hardy from University of Toledo and was published in The Mathematical Intelligencer in 1988. It must be taken with a grain of salt.

Let ABC be a right triangle with hypotenuse BC. Denote AC = x and BC = y. Then, as C moves along the line AC, x changes and so does y. Assume x changed by a small amount dx. Then y changed by a small amount dy. The triangle CDE may be approximately considered right. Assuming it is, it shares one angle (D) with triangle ABD, and is therefore similar to the latter. This leads to the proportion x/y = dy/dx, or a (separable) differential equation

y·dy - x·dx = 0,

which after integration gives y² - x² = const. The value of the constant is determined from the initial condition for x = 0. Since y(0) = a, y² = x² + a² for all x.

It is easy to take an issue with this proof. What does it mean for a triangle to be approximately right? I can offer the following explanation. Triangles ABC and ABD are right by construction. We have, AB² + AC² = BC² and also AB² + AD² = BD², by the Pythagorean theorem. In terms of x and y, the theorem appears as

which, after subtraction, gives

y·dy - x·dx = (dx² - dy²)/2.

For small dx and dy, dx² and dy² are even smaller and might be neglected, leading to the approximate y·dy - x·dx = 0.

The trick in Michael's vignette is in skipping the issue of approximation. But can one really justify the derivation without relying on the Pythagorean theorem in the first place? Regardless, I find it very much to my enjoyment to have the ubiquitous equation y·dy - x·dx = 0 placed in that geometric context.

An amplified, but apparently independent, version of this proof has been published by Mike Staring ( Mathematics Magazine, V. 69, n. 1 (Feb., 1996), 45-46).

Assuming Δx > 0 and detecting similar triangles,

Δf / Δx = CQ/CD > CP/CD = CA/CB = x/f(x).

But also,

Δf / Δx = SD/CD < RD/CD = AD/BD = (x + Δx) / (f(x) + Δf) < x/f(x) + Δx/f(x).

Passing to the limit as Δx tends to 0⁺, we get

df / dx = x / f(x).

The case of Δx < 0 is treated similarly. Now, solving the differential equation we get

The constant c is found from the boundary condition f(0) = b: c = b². And the proof is complete.

Proof #41

Create 3 scaled copies of the triangle with sides a, b, c by multiplying it by a, b, and c in turn. Put together, the three similar triangles thus obtained to form a rectangle whose upper side is a² + b², whereas the lower side is c².

For additional details and modifications see a separate page.

Proof #42

The proof is based on the same diagram as #33 [ Pritchard, p. 226-227].

Area of a triangle is obviously rp, where r is the inradius and p = (a + b + c)/2 the semiperimeter of the triangle. From the diagram, the hypothenuse c = (a - r) + (b - r), or r = p - c. The area of the triangle then is computed in two ways:

p(p - c) = ab/2,

which is equivalent to

(a + b + c)(a + b - c) = 2ab,

or

(a + b)² - c² = 2ab.

And finally

a² + b² - c² = 0.

The proof is due to Jack Oliver, and was originally published in Mathematical Gazette 81 (March 1997), p 117-118.

Maciej Maderek informed me that the same proof appeared in a Polish 1988 edition of Sladami Pitagorasa by Szczepan Jelenski:

Jelenski attributes the proof to Möllmann without mentioning a source or a date.

John F. Rigby made a relevant observation in 1996 (WALMATO Conference, University of Wales, Gergynog, 1996). His notations are clear from the diagram.

Computing the area of the triangle in two way gives (r+x)(r+y)=r(2r+2x+2y), which could be simplified to

r² + rx + ry = xy

which is transformed into (r+x)² + (r+y)² = (x+y)² by adding x² + y² to both sides.

Proof #43

By Larry Hoehn [ Pritchard, p. 229, and Math Gazette].

Apply the Power of a Point theorem to the diagram above where the side a serves as a tangent to a circle of radius b: (c - b)(c + b) = a². The result follows immediately.

(The configuration here is essentially the same as in proof #39. The invocation of the Power of a Point theorem may be regarded as a shortcut to the argument in proof #39. Also, this is exactly proof XVI by B. F. Yanney and J. A. Calderhead, Am Math Monthly, v.3, n. 12 (1896), 299-300.)

John Molokach suggested a modification based on the following diagram:

From the similarity of triangles, a/b = (b + c)/d, so that d = b(b + c)/a. The quadrilateral on the left is a kite with sides b and d and area 2bd/2 = bd. Adding to this the area of the small triangle (ab/2) we obtain the area of the big triangle - (b + c)d/2:

bd + ab/2 = (b + c)d/2

which simplifies to

ab/2 = (c - b)d/2, or ab = (c - b)d.

Now using the formula for d:

ab = (c - b)d = (c - b)(c + b)b/a.

Dividing by b and multiplying by a gives a² = c² - b². This variant comes very close to Proof #82, but with a different motivation.

Finally, the argument shows that the area of an annulus (ring) bounded by circles of radii b and c > b; is exactly πa² where a² = c² - b². a is a half length of the tangent to the inner circle enclosed within the outer circle.

Proof #44

The following proof related to #39, have been submitted by Adam Rose (Sept. 23, 2004.)

Start with two identical right triangles: ABC and AFE, A the intersection of BE and CF. Mark D on AB and G on extension of AF, such that

BC = BD = FG (= EF).

(For further notations refer to the above diagram.) ΔBCD is isosceles. Therefore, Since angle C is right,

Since ∠AFE is exterior to ΔEFG, ∠AFE = ∠FEG + ∠FGE. But ΔEFG is also isosceles. Thus

∠AGE = ∠FGE = α/2.

We now have two lines, CD and EG, crossed by CG with two alternate interior angles, ACD and AGE, equal. Therefore, CD||EG. Triangles ACD and AGE are similar, and AD/AC = AE/AG:

b/(c - a) = (c + a)/b,

and the Pythagorean theorem follows.

Proof #45

This proof is due to Douglas Rogers who came upon it in the course of his investigation into the history of Chinese mathematics.

a Liu Hui identity (see also Mathematics in China)

a + b = c + d,

where d is the diameter of the circle inscribed into a right triangle with sides a and b and hypotenuse c. Based on that and rearranging the pieces in two ways supplies another proof without words of the Pythagorean theorem:

Proof #46

This proof is due to Tao Tong ( Mathematics Teacher, Feb., 1994, Reader Reflections). I learned of it through the good services of Douglas Rogers who also brought to my attention Proofs #47, #48 and #49. In spirit, the proof resembles the proof #32.

Let ABC and BED be equal right triangles, with E on AB. We are going to evaluate the area of ΔABD in two ways:

Area(ΔABD) = BD·AF/2 = DE·AB/2.

Using the notations as indicated in the diagram we get c(c - x)/2 = b·b/2. x = CF can be found by noting the similarity (BD AC) of triangles BFC and ABC:

x = a²/c.

The two formulas easily combine into the Pythagorean identity.

Proof #47

This proof which is due to a high school student John Kawamura was report by Chris Davis, his geometry teacher at Head-Rouce School, Oakland, CA (Mathematics Teacher, Apr., 2005, p. 518.)

The configuration is virtually identical to that of Proof #46, but this time we are interested in the area of the quadrilateral ABCD. Both of its perpendicular diagonals have length c, so that its area equals c²/2. On the other hand,

Multiplying by 2 yields the desired result.

Proof #48

(W. J. Dobbs, The Mathematical Gazette, 8 (1915-1916), p. 268.)

In the diagram, two right triangles - ABC and ADE - are equal and E is located on AB. As in President Garfield's proof, we evaluate the area of a trapezoid ABCD in two ways:

where, as in the proof #47, c·c is the product of the two perpendicular diagonals of the quadrilateral AECD. On the other hand,

Combining the two we get c²/2 = a²/2 + b²/2, or, after multiplication by 2, c² = a² + b².

Proof #49

In the previous proof we may proceed a little differently. Complete a square on sides AB and AD of the two triangles. Its area is, on one hand, b² and, on the other,

which amounts to the same identity as before.

Douglas Rogers who observed the relationship between the proofs 46-49 also remarked that a square could have been drawn on the smaller legs of the two triangles if the second triangle is drawn in the "bottom" position as in proofs 46 and 47. In this case, we will again evaluate the area of the quadrilateral ABCD in two ways. With a reference to the second of the diagrams above,

as was desired.

Proof #50

The area of the big square KLMN is b². The square is split into 4 triangles and one quadrilateral:

It's not an interesting derivation, but it shows that, when confronted with a task of simplifying algebraic expressions, multiplying through all terms as to remove all parentheses may not be the best strategy. In this case, however, there is even a better strategy that avoids lengthy computations altogether. On Douglas Rogers' suggestion, complete each of the four triangles to an appropriate rectangle:

The four rectangles always cut off a square of size a, so that their total area is b² - a². Thus we can finish the proof as in the other proofs of this series:

b² = c²/2 + (b² - a²)/2.

Proof #51

(W. J. Dobbs, The Mathematical Gazette, 7 (1913-1914), p. 168.)

This one comes courtesy of Douglas Rogers from his extensive collection. As in Proof #2, the triangle is rotated 90 degrees around one of its corners, such that the angle between the hypotenuses in two positions is right. The resulting shape of area b² is then dissected into two right triangles with side lengths (c, c) and (b - a, a + b) and areas c²/2 and (b - a)(a + b)/2 = (b² - a²)/2:

b² = c²/2 + (b² - a²)/2.

J. Elliott adds a wrinkle to the proof by turning around one of the triangles:

Again, the area can be computed in two ways:

ab/2 + ab/2 + b(b - a) = c²/2 + (b - a)(b + a)/2,

which reduces to

b² = c²/2 + (b² - a²)/2,

and ultimately to the Pythagorean identity.

Proof #52

This proof, discovered by a high school student, Jamie deLemos ( The Mathematics Teacher, 88 (1995), p. 79.), has been quoted by Larry Hoehn ( The Mathematics Teacher, 90 (1997), pp. 438-441.)

On one hand, the area of the trapezoid equals

(2a + 2b)/2·(a + b)

and on the other,

2a·b/2 + 2b·a/2 + 2·c²/2.

Equating the two gives a² + b² = c².

The proof is closely related to President Garfield's proof.

Proof #53

Larry Hoehn also published the following proof ( The Mathematics Teacher, 88 (1995), p. 168.):

Extend the leg AC of the right triangle ABC to D so that AD = AB = c, as in the diagram. At D draw a perpendicular to CD. At A draw a bisector of the angle BAD. Let the two lines meet in E. Finally, let EF be perpendicular to CF.

By this construction, triangles ABE and ADE share side AE, have other two sides equal: AD = AB, as well as the angles formed by those sides: ∠BAE = ∠DAE. Therefore, triangles ABE and ADE are congruent by SAS. From here, angle ABE is right.

It then follows that in right triangles ABC and BEF angles ABC and EBF add up to 90°. Thus

∠ABC = ∠BEF and ∠BAC = ∠EBF.

The two triangles are similar, so that

x/a = u/b = y/c.

But, EF = CD, or x = b + c, which in combination with the above proportion gives

u = b(b + c)/a and y = c(b + c)/a.

On the other hand, y = u + a, which leads to

c(b + c)/a = b(b + c)/a + a,

which is easily simplified to c² = a² + b².

Proof #54k

Later ( The Mathematics Teacher, 90 (1997), pp. 438-441.) Larry Hoehn took a second look at his proof and produced a generic one, or rather a whole 1-parameter family of proofs, which, for various values of the parameter, included his older proof as well as #41. Below I offer a simplified variant inspired by Larry's work.

To reproduce the essential point of proof #53, i.e. having a right angled triangle ABE and another BEF, the latter being similar to ΔABC, we may simply place ΔBEF with sides ka, kb, kc, for some k, as shown in the diagram. For the diagram to make sense we should restrict k so that ka ≥ b. (This insures that D does not go below A.)

Now, the area of the rectangle CDEF can be computed directly as the product of its sides ka and (kb + a), or as the sum of areas of triangles BEF, ABE, ABC, and ADE. Thus we get

ka·(kb + a) = ka·kb/2 + kc·c/2 + ab/2 + (kb + a)·(ka - b)/2,

which after simplification reduces to

a² = c²/2 + a²/2 - b²/2,

which is just one step short of the Pythagorean proposition.

The proof works for any value of k satisfying k ≥ b/a. In particular, for k = b/a we get proof #41. Further, k = (b + c)/a leads to proof #53. Of course, we would get the same result by representing the area of the trapezoid AEFB in two ways. For k = 1, this would lead to President Garfield's proof.

Obviously, dealing with a trapezoid is less restrictive and works for any positive value of k.

Proof #55

The following generalization of the Pythagorean theorem is due to W. J. Hazard ( Am Math Monthly, v 36, n 1, 1929, 32-34). The proof is a slight simplification of the published one.

Let parallelogram ABCD inscribed into parallelogram MNPQ is shown on the left. Draw BK||MQ and AS||MN. Let the two intersect in Y. Then

Area(ABCD) = Area(QAYK) + Area(BNSY).

A reference to Proof #9 shows that this is a true generalization of the Pythagorean theorem. The diagram of Proof #9 is obtained when both parallelograms become squares.

The proof proceeds in 4 steps. First, extend the lines as shown below.

(There is a dynamic version of the proof.)

Proof #56

More than a hundred years ago The American Mathematical Monthly published a series of short notes listing great many proofs of the Pythagorean theorem. The authors, B. F. Yanney and J. A. Calderhead, went an extra mile counting and classifying proofs of various flavors. This and the next proof which are numbers V and VI from their collection ( Am Math Monthly, v.3, n. 4 (1896), 110-113) give a sample of their thoroughness. Based on the diagram below they counted as many as 4864 different proofs. I placed a sample of their work on a separate page.

Proof #57

Treating the triangle a little differently, now extending its sides instead of crossing them, B. F. Yanney and J. A. Calderhead came up with essentially the same diagram:

Following the method they employed in the previous proof, they again counted 4864 distinct proofs of the Pythagorean proposition.

Proof #58

(B. F. Yanney and J. A. Calderhead, Am Math Monthly, v.3, n. 6/7 (1896), 169-171, #VII)

Let ABC be right angled at C. Produce BC making BD = AB. Join AD. From E, the midpoint of CD, draw a perpendicular meeting AD at F. Join BF. DADC is similar to DBFE. Hence.

AC/BE = CD/EF.

But CD = BD - BC = AB - BC. Using this

and EF = AC/2. So that

AC·AC/2 = (AB - BC)·(AB + BC)/2,

which of course leads to AB² = AC² + BC².

(As we've seen in proof 56, Yanney and Calderhead are fond of exploiting a configuration in as many ways as possible. Concerning the diagram of the present proof, they note that triangles BDF, BFE, and FDE are similar, which allows them to derive a multitude of proportions between various elements of the configuration. They refer to their approach in proof 56 to suggest that here too there are great many proofs based on the same diagram. They leave the actual counting to the reader.)

Proof #59

(B. F. Yanney and J. A. Calderhead, Am Math Monthly, v.3, n. 12 (1896), 299-300, #XVII)

Let ABC be right angled at C and let BC = a be the shortest of the two legs. With C as a center and a as a radius describe a circle. Let D be the intersection of AC with the circle, and H the other one obtained by producing AC beyond C, E the intersection of AB with the circle. Draw CL perpendicular to AB. L is the midpoint of BE.

By the Intersecting Chords theorem,

AH·AD = AB·AE.

In other words,

(b + a)(b - a) = c(c - 2·BL).

Now, the right triangles ABC and BCL share an angle at B and are, therefore, similar, wherefrom

BL/BC = BC/AB,

so that BL = a²/c. Combining all together we see that

b² - a² = c(c - 2a²/c)

and ultimately the Pythagorean identity.

Remark

Note that the proof fails for an isosceles right triangle. To accommodate this case, the authors suggest to make use of the usual method of the theory of limits. I am not at all certain what is the "usual method" that the authors had in mind. Perhaps, it is best to subject this case to Socratic reasoning which is simple and does not require the theory of limits. If the case is exceptional anyway, why not to treat it as such.

Proof #60

(B. F. Yanney and J. A. Calderhead, Am Math Monthly, v.3, n. 12 (1896), 299-300, #XVIII)

The idea is the same as before ( proof #59), but now the circle has the radius b, the length of the longer leg. Having the sides produced as in the diagram, we get

AB·BK = BJ·BF,

or

c·BK = (b - a)(b + a).

BK, which is AK - c, can be found from the similarity of triangles ABC and AKH: AK = 2b²/c.

Note that, similar to the previous proof, this one, too, does not work in case of the isosceles triangle.

Proof #61

(B. F. Yanney and J. A. Calderhead, Am Math Monthly, v.3, n. 12 (1896), 299-300, #XIX)

This is a third in the family of proofs that invoke the Intersecting Chords theorem. The radius of the circle equals now the altitude from the right angle C. Unlike in the other two proofs, there are now no exceptional cases. Referring to the diagram,

AD² = AH·AE = b² - CD²,
BD² = BK·BL = a² - CD²,
2AD·BD = 2CD².

Adding the three yields the Pythagorean identity.

Proof #62

Area(BCK) : Area(ACK) : Area(ABK) = a² : b² : c².

Next, in a right triangle, the symmedian point is the midpoint of the altitude to the hypotenuse. If, therefore, the angle at C is right and CH is the altitude (and also the symmedian) in question, AK serves as a median of ΔACH and BK as a median of ΔBCH. Recollect now that a median cuts a triangle into two of equal areas. Thus,

Area(ACK) = Area(AKH) and
Area(BCK) = Area(BKH).

But

so that indeed k·c² = k·a² + k·b², for some k > 0; and the Pythagorean identity follows.

Floor also suggested a different approach to exploiting the properties of the symmedian point. Note that the symmedian point is the center of gravity of three weights on A, B and C of magnitudes a², b² and c² respectively. In the right triangle, the foot of the altitude from C is the center of gravity of the weights on B and C. The fact that the symmedian point is the midpoint of this altitude now shows that a² + b² = c².

Proof #63

This is another proof by Floor van Lamoen; Floor has been led to the proof via Bottema's theorem. However, the theorem is not actually needed to carry out the proof.

In the figure, M is the center of square ABA'B'. Triangle AB'C' is a rotation of triangle ABC. So we see that B' lies on C'B''. Similarly, A' lies on A''C''. Both AA'' and BB'' equal a + b. Thus the distance from M to A''C'' as well as to B'C' is equal to (a + b)/2. This gives

But also:

This yields a²/4 + b²/4 = c²/4 and the Pythagorean theorem.

The basic configuration has been exploited by B. F. Yanney and J. A. Calderhead ( Am Math Monthly, v.4, n 10, (1987), 250-251) to produce several proofs based on the following diagrams

None of their proofs made use of the centrality of point M.

Proof #64

FH divides the square ABCD of side a + b into two equal quadrilaterals, ABFH and CDHF. The former consists of two equal triangles with area ab/2, and an isosceles right triangle with area c²/2. The latter is composed of two isosceles right triangles: one of area a²/2, the other b²/2, and a right triangle whose area (by the introductory remark) equals ab! Removing equal areas from the two quadrilaterals, we are left with the identity of areas: a²/2 + b²/2 = c²/2.

The idea of Socrates' proof that the area of an isosceles right triangle with hypotenuse k equals k²/4, has been used before, albeit implicitly. For example, Loomis, #67 (with a reference to the 1778 edition of E. Fourrey's Curiosities Geometrique [Loomis' spelling]) relies on the following diagram:

Triangle ABC is right at C, while ABD is right isosceles. (Point D is the midpoint of the semicircle with diameter AB, so that CD is the bisector of the right angle ACB.) AA' and BB' are perpendicular to CD, and AA'CE and BB'CF are squares; in particular EF ⊥ CD.

Triangles AA'D and DB'B (having equal hypotenuses and complementary angles at D) are congruent. It follows that AA' = B'D = A'C = CE = AE. And similar for the segments equal to B'C. Further, CD = B'C + B'D = CF + CE = EF.

On the other hand,

Thus the two quadrilateral have the same area and ΔABC as the intersection. Removing ΔABC we see that

Area(ADB) = Area(ACE) + Area(BCF).

The proof reduces to Socrates' case, as the latter identity is equivalent to c²/4 = a²/4 + b²/4.

More recently, Bùi Quang Tuån came up with a different argument:

From the above, Area(BA'D) = Area(BB'C) and Area(AA'D) = Area(AB'C). Also, Area(AA'B) = Area(AA'B'), for AA'||BB'. It thus follows that Area(ABD) = Area(AA'C) + Area(BB'C), with the same consequences.

Proof #65

This and the following proof are also due to Floor van Lamoen. Both a based on the following lemma, which appears to generalize the Pythagorean theorem: Form squares on the sides of the orthodiagonal quadrilateral. The squares fall into two pairs of opposite squares. Then the sum of the areas of the squares in two pairs are equal.

For the proof now imagine two adjacent vertices of the quadrilateral closing in towards the point of intersection of the diagonals. In the limit, the quadrilateral will become a right triangle and one of the squares shrink to a point. Of the remaining three squares two will add up to the third.

Proof #66

( Floor van Lamoen). The lemma from Proof 65 can be used in a different way:

Let there be two squares: APBM c and C ₁M cC ₂Q with a common vertex M c. Rotation through 90° in the positive direction around M c moves C ₁M c into C ₂M c and BM c into AM c. This implies that ΔBM cC ₁ rotates into ΔAM cC ₂ so that AC ₂ and BC ₁ are orthogonal. Quadrilateral ABC ₂C ₁ is thus orthodiagonal and the lemma applies: the red and blue squares add up to the same area. The important point to note is that the sum of the areas of the original squares APBM c and C ₁M cC ₂ Q is half this quantity.

Now assume the configurations is such that M c coincides with the point of intersection of the diagonals. Because of the resulting symmetry, the red squares are equal. Therefore, the areas of APBM c and C ₁M cC ₂ Q add up to that of a red square!

(There is a dynamic illustration of this argument.)

Proof #67

This proof was sent to me by a 14 year old Sina Shiehyan from Sabzevar, Iran. The circumcircle aside, the combination of triangles is exactly the same as in S. Brodie's subcase of Euclid's VI.31. However, Brodie's approach if made explicit would require argument different from the one employed by Sina. So, I believe that her derivation well qualifies as an individual proof.

From the endpoints of the hypotenuse AB drop perpendiculars AP and BK to the tangent to the circumcircle of ΔABC at point C. Since OC is also perpendicular to the tangent, C is the midpoint of KP. It follows that

Therefore, Area(ABC) is also Area(ABKP)/2. So that

Area(ACP) + Area(BCK) = Area(ABC)

Now all three triangles are similar (as being right and having equal angles), their areas therefore related as the squares of their hypotenuses, which are b, a, and c respectively. And the theorem follows.

I have placed the original Sina's derivation on a separate page.

Proof #68

Proof #69

Several proofs that employ practically the same configuration

wonderfully exploit distinct tools to achieve the goal. This is a question of what one sees in this diagram. Below are several variants that differ by a view point and, as such, lead to different derivations.

I placed some of them in a separate page.

Proof #70

Extend the altitude CH to the hypotenuse to D: CD = AB and consider the area of the orthodiagonal quadrilateral ACBD (similar to proofs 47- 49.) On one hand, its area equals half the product of its diagonals: c²/2. On the other, it's the sum of areas of two triangles, ACD and BCD. Drop the perpendiculars DE and DF to AC and BC. Rectangle CEDF is has sides equal DE and DF equal to AC and BC, respectively, because for example ΔCDE = ΔABC as both are right, have equal hypotenuse and angles. It follows that

Area(CDA) = b² and
Area(CDB) = a²

so that indeed c²/2 = a²/2 + b²/2.

This is proof 20 from Loomis' collection. In proof 29, CH is extended upwards to D so that again CD = AB. Again the area of quadrilateral ACBD is evaluated in two ways in exactly same manner.

Proof #71

Let D and E be points on the hypotenuse AB such that BD = BC and AE = AC. Let AD = x, DE = y, BE = z. Then AC = x + y, BC = y + z, AB = x + y + z. The Pythagorean theorem is then equivalent to the algebraic identity

(y + z)² + (x + y)² = (x + y + z)².

Which simplifies to

y² = 2xz.

To see that the latter is true calculate the power of point A with respect to circle B(C), i.e. the circle centered at B and passing through C, in two ways: first, as the square of the tangent AC and then as the product AD·AL:

(x + y)² = x(x + 2(y + z)),

which also simplifies to y² = 2xz.

This is algebraic proof 101 from Loomis' collection. Its dynamic version is available separately.

Proof #72

This is geometric proof #25 from E. S. Loomis' collection, for which he credits an earlier publication by J. Versluys (1914). The proof is virtually self-explanatory and the addition of a few lines shows a way of making it formal.

Michel Lasvergnas came up with an even more ransparent rearrangement (on the right below):

These two are obtained from each other by rotating each of the squares 180° around its center.

A dynamic version is also available.

Proof #73

This proof is by weininjieda from Yingkou, China who plans to become a teacher of mathematics, Chinese and history. It was included as algebraic proof #50 in E. S. Loomis' collection, for which he refers to an earlier publication by J. Versluys (1914), where the proof is credited to Cecil Hawkins (1909) of England.

Let CE = BC = a, CD = AC = b, F is the intersection of DE and AB.

ΔCED = ΔABC, hence DE = AB = c. Since, AC BD and BE AD, ED AB, as the third altitude in ΔABD. Now from

Area(ΔABD) = Area(ΔABE) + Area(ΔACD) + Area(ΔBCE)

we obtain

c(c + EF) = EF·c + b² + a²,

which implies the Pythagorean identity.

Proof #74

The following proof by dissection is due to the 10 th century Persian mathematician and astronomer Abul Wafa (Abu'l-Wafa and also Abu al-Wafa) al-Buzjani. Two equal squares are easily combined into a bigger square in a way known yet to Socrates. Abul Wafa method works if the squares are different. The squares are placed to share a corner and two sidelines. They are cut and reassembled as shown. The dissection of the big square is almost the same as by Liu Hui. However, the smaller square is cut entirely differently. The decomposition of the resulting square is practically the same as that in Proof #3.

A dynamic version is also available.

Proof #75

The idea is simple enough: Heron's formula applies to the isosceles triangle depicted in the diagram below.

Proof #76

Inexplicably Loomis makes a faulty introduction to the construction starting with the wrong division of the hypotenuse. However, it is not difficult to surmise that the point that makes the construction work is the foot of the right angle bisector.

A dynamic illustration is available on a separate page.

Proof #77

More specifically,

Combining these with the fact that ΔKPS = ΔANB, we immediately get the Pythagorean proposition.

(A dynamic illustration is available on a separate page.)

Proof #78

This proof is by the distinguished Dutch mathematician E. W. Dijkstra (1930 - 2002). The proof itself is, like Proof #18, a generalization of Proof #6 and is based on the same diagram. Both proofs reduce to a variant of Euclid VI.31 for right triangles (with the right angle at C). The proof aside, Dijkstra also found a remarkably fresh viewpoint on the essence of the theorem itself:

If, in a triangle, angles α, β, γ lie opposite the sides of length a, b, c, then

sign(α + β - γ) = sign(a² + b² - c²),

where sign(t) is the signum function.

As in Proof #18, Dijkstra forms two triangles ACL and BCN similar to the base ΔABC:

BCN = CAB and
ACL = CBA

so that ACB = ALC = BNC. The details and a dynamic illustration are found in a separate page.

Proof #79

There are several proofs on this page that make use of the Intersecting Chords theorem, notably proofs ## 59, 60, and 61, where the circle to whose chords the theorem applied had the radius equal to the short leg of ΔABC, the long leg and the altitude from the right angle, respectively. Loomis' book lists these among its collection of algebraic proofs along with several others that derive the Pythagorean theorem by means of the Intersecting Chords theorem applied to chords in a fanciful variety of circles added to ΔABC. Alexandre Wajnberg from Unité de Recherches sur l'Enseignement des Mathématiques, Université Libre de Bruxelles came up with a variant that appears to fill an omission in this series of proofs. The construction also looks simpler and more natural than any listed by Loomis. What a surprise!

For the details, see a separate page.

Proof #80

A proof based on the diagram below has been published in a letter to Mathematics Teacher (v. 87, n. 1, January 1994) by J. Grossman. The proof has been discovered by a pupil of his David Houston, an eighth grader at the time.

I am grateful to Professor Grossman for bringing the proof to my attention. The proof and a discussion appear in a separate page, but its essence is as follows.

Assume two copies of the right triangle with legs a and b and hypotenuse c are placed back to back as shown in the left diagram. The isosceles triangle so formed has the area S = c² sin(θ) / 2. In the right diagram, two copies of the same triangle are joined at the right angle and embedded into a rectangle with one side equal c. Each of the triangles has the area equal to half the area of half the rectangle, implying that the areas of the remaining isosceles triangles also add up to half the area of the rectangle, i.e., the area of the isosceles triangle in the left diagram. The sum of the areas of the two smaller isosceles triangles equals

for, sin(π - θ) = sin(θ). Since the two areas are equal and sin(θ) ≠ 0, for a non-degenerate triangle, a² + b² = c².

Is this a trigonometric proof?

Luc Gheysens from Flanders (Belgium) came up with a modification based on the following diagram

The complete discussion can be found on a separate page.

Proof #81

Philip Voets, an 18 years old law student from Holland sent me a proof he found a few years earlier. The proof is a combination of shearing employed in a number of other proofs and the decomposition of a right triangle by the altitude from the right angle into two similar pieces also used several times before. However, the accompanying diagram does not appear among the many in Loomis' book.

Given ΔABC with the right angle at A, construct a square BCHI and shear it into the parallelogram BCJK, with K on the extension of AB. Add IL perpendicular to AK. By the construction,

Area(BCJK) = Area(BCHI) = c².

On the other hand, the area of the parallelogram BCJK equals the product of the base BK and the altitude CA. In the right triangles BIK and BIL, BI = BC = c and ∠IBL = ∠ACB = β, making the two respectively similar and equal to ΔABC. ΔIKL is then also similar to ΔABC, and we find BL = b and LK = a²/b. So that

We see that c² = Area(BCJK) = a² + b² completing the proof.

Proof #82

This proof has been published in the American Mathematical Monthly (v. 116, n. 8, 2009, October 2009, p. 687), with an Editor's note: Although this proof does not appear to be widely known, it is a rediscovery of a proof that first appeared in print in [ Loomis, pp. 26-27]. The proof has been submitted by Sang Woo Ryoo, student, Carlisle High School, Carlisle, PA.

Loomis takes credit for the proof, although Monthly's editor traces its origin to a 1896 paper by B. F. Yanney and J. A. Calderhead ( Monthly, v. 3, p. 65-67.)

Draw AD, the angle bisector of angle A, and DE perpendicular to AB. Let, as usual, AB = c, BC = a, and AC = b. Let CD = DE = x. Then BD = a - x and BE = c - b. Triangles ABC and DBE are similar, leading to x/(a - x) = b/c, or x = ab/(b + c). But also (c - b)/x = a/b, implying c - b = ax/b = a²/(b + c). Which leads to (c - b)(c + b) = a² and the Pythagorean identity.

Proof #83

α + β > γ

a² + b² > c².

The details can be found on a separate page.

Proof #84

Elisha Loomis, myself and no doubt many others believed and still believe that no trigonometric proof of the Pythagorean theorem is possible. This belief stemmed from the assumption that any such proof would rely on the most fundamental of trigonometric identities sin²α + cos²α = 1 is nothing but a reformulation of the Pythagorean theorem proper. Now, Jason Zimba showed that the theorem can be derived from the subtraction formulas for sine and cosine without a recourse to sin²α + cos²α = 1. I happily admit to being in the wrong.

Jason Zimba's proof appears on a separate page.

Proof #85

Bùi Quang Tuån found a way to derive the Pythagorean Theorem from the Broken Chord Theorem.

For the details, see a separate page.

Proof #86

Bùi Quang Tuån also showed a way to derive the Pythagorean Theorem from Bottema's Theorem.

For the details, see a separate page.

Proof #87

John Molokach came up with a proof of the Pythagorean theorem based on the following diagram:

If any proof deserves to be called algebraic this one does. For the details, see a separate page.

Proof #88

Stuart Anderson gave another derivation of the Pythagorean theorem from the Broken Chord Theorem. The proof is illustrated by the inscribed (and a little distorted) Star of David:

Proof #89

John Molokach, a devoted Pythagorean, found what he called a Parallelogram proof of the theorem. It is based on the following diagram:

For the details, see a separate page.

Proof #90

John has also committed an unspeakable heresy by devising a proof based on solving a differential equation. After a prolonged deliberation between Alexander Givental of Berkeley, Wayne Bishop of California State University, John and me, it was decided that the proof contains no vicious circle as was initially expected by every one.

For the details, see a separate page.

Proof #91

John Molokach also observed that the Pythagorean theorem follows from Gauss' Shoelace Formula:

For the details, see a separate page.

Proof #92

A proof due to Gaetano Speranza is based on the following diagram

For the details and an interactive illustration, see a separate page.

Proof #93

Giorgio Ferrarese from University of Torino, Italy, has observed that Perigal's proof - praised for the symmetry of the dissection of the square on the longer leg of a right triangle - admits further symmetric treatment. His proof is based on the following diagram

For the details, see a separate page.

Proof #94

It so happens that the derivative of the right-hand of Heron's formula with respect to one of the side length vanishes when the other two sides are perpendicular. Moreover, by equating the derivative to zero one directly arrives at the Pythagorean formula.

The details could be found on a separate page.

Proof #95

A proof by Bùi Quang Tuån is based on the construction illustrated below:

The details could be found on a separate page.

Proof #96

John Molokach started with the following diagram

from which he derived two proofs. The details could be found on a separate page.

Proof #97

When I already began thinking that there won't be any essentially new proofs coming; to my surprise, Edgardo Alandete from Colombia came up with a pretty basic, straightforward proof by dissection. I add it as a "proof without words":

Proof #98

John Molokach came up with another proof, a proof without words based on the following diagram:

For a short explanation, see a separate page.

John also managed to derive the theorem from an identity with binomial coefficients by squaring the Maclaurin series of sine and cosine.

Proof #99

Daniel Hardisky has posted the following proof as a dissection puzzle. This is how I pass this on:

You can print the graphics, cut the pieces, and try putting them together to form a bigger square. The solution is on a separate page.

Proof #100

John Arioni has posted a proof where the Pythagorean identity emerges at the limit of a convergent geometric series. Here's a hint:

The details can be found on a separate page.

Proof #101

This is actually a generalization of the Pythagorean theorem. It was posted by Dao Thanh Oai (Vietnam).

Let CH c and BH b be two altitudes nn ΔABC.

Then

The Pythagorean theorem is obtained when the angle at A is 90°. I placed a simple proof into a separate file.

Proof #102

This proof has been communicated to me by Marcelo Brafman (Israel). E. Loomis may have probably characterized it as being of the algebraic variety but I have not found anything similar in the whole of his book.

The proof is based on the following diagram:

You may want to figure out by yourself what is it about. An explanation can be found elsewhere.

Proof #103

Tony Foster, III, submitted a number of proofs that made use of a property of trapezoids which has been established in the proof of the Carpets Theorem.

One of the proofs, e.g., is based on the following diagram:

Importantly, the two blue triangle in the diagram have the same area. A little more details, along with other proofs, can be found on a separate page.

Proof #104

Here's a proof by an elegant dissection due to A. G. Samosvat.

A dynamic illustration is available on a separate page.

Proof #105

A complete derivation can be found on a separate page.

Proof #106

Bùi Quang Tuån has discovered an elegant lemma from which one easily derives the Pythagorean theorem:

$A,$ $B,$ $C,$ $D$ are concyclic points on a circle $(O)$ and $AC$ perpendicular with $BD.$ Denote $[X]$ the area of shape $X.$ Then $\displaystyle\frac{[AED] + [BEC]}{2} = [AOB].$

The proof of the lemma and the derivation of the Pythagorean theorem could be found on a separate page.

Proof #107

Tran Quang Hung found an extention of the Pythagorean theorem:

In $\Delta ABC,$ $AD,$ $BE,$ $CF$ are the altitudes. Triangles $BCX,$ $CEY,$ and $BFZ$ outside $\Delta ABC.$

Denote $[X]$ the area of shape $X.$ Then $[\Delta BCX]=[\Delta ACY]+[\Delta ABZ].$

This is a true generalization of the Pythagorean theorem which is obtained when angle at $A$ is right. The proof of the statement could be found on a separate page.

Tran Quang Hung's construction has inspired two offshots: Proofs 107' and 107'':

Proof #107'

In acute $\Delta ABC,$ $AD,$ $BE,$ $CF$ are the altitudes, $r$ an arbitrary real number. Outside $\Delta ABC$ draw line $aa$ parallel to $BC$ at distance $rBC;$ line $bb$ parallel to $AC$ at distance $rCE;$ line $cc$ parallel to $AB$ at distance $rBF.$ Let $X\in aa,$ $Y\in bb,$ $Z\in cc.$

Denote $[X]$ the area of shape $X.$ Then $[\Delta BCX]=[\Delta ACY]+[\Delta ABZ].$

Proof #107''

In acute $\Delta ABC,$ $AD,$ $BE,$ $CF$ are the altitudes. Construct squares $BCX_{1}X_{2},$ $BFZZ_1,$ and $CEYY_1$ outside $\Delta ABC.$ Let rectangles $ABZ_{1}Z_2$ and $ACY_{1}Y_{2}$ circumscribe the latter two.

Denote $[X]$ the area of shape $X.$ Then $[BCX_{1}X_{2}]=[ACY_{1}Y_{2}]+[ABZ_{1}Z_2].$

The proof of the statement could be found on a separate page.

Proof #108

Another generalization by Tran Quang Hung is even more curious. It is illustrated by the following diagram:

The proof of the statement could be found on a separate page.

Proofs #109-110

Nuno Luzia from Universidade Federal do Rio de Janeiro came up with two proofs based on the half-angle formulas

$\displaystyle \cos\theta=\cos^2 \frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}$ and
$\displaystyle \cos\theta=1-2\sin^2 \frac{\theta}{2}.$

which he derives without invoking the Pythagorean theorem. Two more trigonometric proofs. The etails are in a separate page.

Proofs #111

Nuno Luzia has also found a proof that make use of analytic geometry. In the diagram,

$h$ is found as the length of the perpendicular bisector to the hypotenuse till its intersection with the $x$-axis. The etails are in a separate page.

Proofs #112

John Molokach has derived the Pythagorean identity in the trigonomatric form by cleverly manipulating the double argument formulas. The details can be found in a separate file.

Proofs #113

John also came up with a simple proof of the Pythagorean theorem based on the following diagram:

A few details have been placed into a separate page.

Proofs #114

Bùi Quang Tuán, to obtain the Pythagorean theorem, computed the area of a specia equilateral in two ways:

This is reminiscent of proofs 46, 47, 48, 49, 50. A simple derivation has been placed into a separate page.

Proofs #115

The proof is by Nileon M. Dimalaluan, Jr. and is based on the following diagram

The details are in a separate file.

Proofs #116

Here's a proof without words from the latest Roger Nelsen's book. The proof is due to Nam Go Heo.

Proofs #117

The proof is by Andrés Navas and is based on the following diagram

The details are in a separate file.

Proofs #118

The proof is by Burkard Polster and Marty Ross and is based on the following diagram

The details are in a separate file.

Proofs #119

The proof without words by John Molokach starts with the following diagram

The details are in a separate file.

Proofs #120

The proof without words by Tony Foster starts with the following diagram

The details are in a separate file.

Proofs #121

This unconventional proof may be done with a little of calculus or without; I find it strickingly charming. The proof (by Andrew Stacey) is based on the following diagram

The details are in a separate file.

Proofs #122

A proof by contradiction.

The details are in a separate file.

References

On Internet

1. Pythagoras' Theorem, by Bill Casselman, The University of British Columbia.

2. Eric's Treasure Trove features more than 10 proofs

3. A proof of the Pythagorean Theorem by Liu Hui (third century AD)
An interesting page from which I borrowed Proof #28

Copyright © 1966-2016 Alexander Bogomolny

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'An exceedingly well-informed report,' said the General. 'You have given yourself the trouble to go into matters thoroughly, I see. That is one of the secrets of success in life.' Professor R. Smullyan in his book 5000 B.C. and Other Philosophical Fantasies tells of an experiment he ran in one of his geometry classes.

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Inténtalo...

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Mujeres y matemáticas - Real Sociedad Matemática Española

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La Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) ha aprobado la creación del Noticiário, bajo la dirección de Daniel Gonçalves (@UFSC ,Brasil) e inspirado en el #BoletínRSME. #BoletinRSME https://t.co/MnCPrloCe8

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El caso del viajante | Investigación y Ciencia | Investigación y Ciencia

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¿Es inútil intentar calcular la ruta más corta para visitar un gran número de ciudades? No solo una buena ruta, sino la más corta de todas. Este ejercicio, uno de los retos matemáticos más antiguos, se denomina el problema del viajante (PV).
Hallar un método que resolviera con rapidez todos los casos del PV constituiría un impresionante avance para las matemáticas. Mediante la teoría de la complejidad, este método nos permitiría solucionar cualquier problema de computación para el que las respuestas pudieran ser verificadas con facilidad. Sin embargo, muchos matemáticos consideran que esto es imposible.
Supongamos que le facilitan la localización de 100.000 ciudades. ¿Es imposible encontrar la ruta más corta? No estamos preguntando por la solución a todos los casos particulares del PV, sino al camino más rápido entre todos esos puntos.
Para enfrentarte al reto, lo mejor es seguir el consejo del viejo entrenador de béisbol Yogi Berra: "Cuando encuentres una bifurcación en la carretera, tómala". La programación lineal nos permite hacer justamente eso: asignar fracciones a las carreteras que unen pares de ciudades en lugar de decidir al momento si tomar una carretera o no. En este modelo, no hay ningún problema en enviar medio vendedor por cada uno de los ramales. El proceso comienza con la condición de que, para cada ciudad, las fracciones asignadas a las carreteras de llegada y de salida sumen uno. Después se añaden otras condiciones, que implican la suma de las fracciones asignadas a cada vía. Al final, la programación lineal nos indica la mejor solución para cada una y, por tanto, el recorrido más corto posible.
Debo añadir que 100.000 ciudades no es un reto hipotético. Los cálculos actuales se están ajustando para un conjunto de 100.000 puntos creado por Robert Bosch, de la Universidad de Oberlin, en el que la ruta recorre un dibujo de la Mona Lisa. Puede que no consigamos resolver todos los ejemplos del PV, pero las nuevas ideas pueden ampliar los límites actuales de lo que es resoluble.
A grandes rasgos, la teoría de la complejidad sugiere que el alcance de las técnicas generales de cálculo en la ciencia y en otros campos es limitado. ¿Cuáles son estos límites y en qué medida restringen nuestra búsqueda de conocimientos? De eso trata la investigación del PV.

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¿Es inútil intentar calcular la ruta más corta para visitar un gran número de ciudades? No solo una buena ruta, sino la más corta de todas. Este ejercicio, uno de los retos matemáticos más antiguos, se denomina el problema del viajante (PV).

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La web que muestra cómo todo número natural es la suma de tres números capicúas | Microsiervos (Ciencia)

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La web que muestra cómo todo número natural es la suma de tres números capicúas

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Me encontré en Numberphile con un vídeo explicativo de la curiosidad aquella que comentamos hace tiempo acerca de que todo número natural es la suma de tres números capicúas - algo para lo que consiguieron una brillante demostración Javier Cilleruelo, Florian...

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1 millón de dólares de premio...

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Año 2000, el Clay Mathematica Instituteanuncia los denominados como Millennium Priz, una colección de siete de los problemas matemáticos más importantes que permanecían sin resolver. Ahora, 18 años después, sólo se ha resuelto uno. Se ofrece un millón de dólares por cada uno de los problemas.

El dinero que está en juego es un reflejo de la importancia los problemas. Además, aquellos que lo resuelvan deben proporcionar, no sólo una solución rigurosa, sino obviamente, revisada por pares como certificación del logro.

En el año 2006, la llamada Conjetura de Poincaré se resolvió (único de los siete). Fue el matemático ruso, Grigori Perelman, quién dio con la solución. Curiosamente, el matemático rechazó la Medalla Fields (considerada el mayor honor al que puede aspirar un matemático) y al dinero, ya que según Perelman, " no quiero convertirme en una mascota para el mundo de las matemáticas".

Sin embargo, no todo el mundo es como el señor Perelman, y para aquellos que busquen la gloria (y el dinero), todavía existen otros seis problemas sin solución: P vs NP, la conjetura de Hodge, la hipótesis de Riemann, la existencia de Yang-Mills y del salto de masa, las ecuaciones de Navier-Stokes y por último, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Suerte a los participantes.[ Wikipedia, Clay Mathematics Institute]

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Se ofrece 1 millón de dólares por cada uno de estos seis problemas matemáticos que llevan 18 años sin solución

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Año 2000, el Clay Mathematica Institute anuncia los denominados como Millennium Priz, una colección de siete de los problemas matemáticos más importantes que permanecían sin resolver. Ahora, 18 años después, sólo se ha resuelto uno. Se ofrece un millón de dólares por cada uno de los problemas.

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¿Donde están los números primos?

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Entre los próximos días 23 y 28 de septiembre se celebrará el Heidelberg Laureate Forum 2018 en la ciudad alemana de Heidelberg, y, según el abstract de su ponencia, Michael Atiyah presentará allí una demostración de la hipótesis de Riemann. Sí, Michael Atiyah. Y sí, de la hipótesis de Riemann. Y en 45 minutos.

He tenido conocimiento de esta noticia esta misma tarde a través de la cuenta oficial de Twitter del Heidelberg Laureate Forum:

Is Sir Michael Atiyah giving lecture on Monday Sept. 25 @ #HLF18? Yes.
Will he presenenting a proof of the Riemann Hypothesis? Yes, that is what his abstract says. pic.twitter.com/v1dJhUUUEk

- Heidelberg Laureate Forum (@HLForum) 20 de septiembre de 2018

En una de las respuesta a dicho tuit se puede ver el abstract de la ponencia de Atiyah al que aludía en el primer párrafo de este artículo:

La hipótesis de Riemann pasa por ser, posiblemente, el problema matemático no resuelto más importante de la actualidad (sí, tengo pendiente escribir un artículo sobre ella...). Básicamente, dice lo siguiente:

tiene parte real igual a .

La hipótesis de Riemann tiene bastante importancia en sí misma, pero además es tremendamente relevante por la cantidad de conjeturas y problemas sin resolver que están relacionados con ella y que comienzan con un "Supongamos que la hipótesis de Riemann es cierta..."

Por otra parte, Michael Atiyah no es un cualquiera, de hecho es uno de los grandes. No en vano, ha recibido a lo largo de su vida los dos premios de matemáticas más importantes que existen: la medalla Fields en 1966 y el premio Abel en 2004. Escribí algo sobre él en Michael Atiyah, uno de los más grandes matemáticos de nuestra era.

El hecho de que el anuncio de esta demostración venga firmado por alguien como Atiyah le da credibilidad al asunto, pero, como es natural, hay cierto recelo. La hipótesis de Riemann es uno de los problemas contra el que más se han estrellado matemáticos de toda formación y condición. Dejando de lado los intentos fallidos provenientes de amateurs, hay bastantes casos conocidos de matemáticos con cierto prestigio que no han conseguido ganarle la batalla al problema o que han publicado demostraciones erróneas del mismo. El caso del matemático nigeriano Opeyemi Enoch es uno de los últimos que llegó a los medios de comunicación, aunque posiblemente el más sangrante sea el de Louis de Branges, que no ha conseguido la ansiada prueba después de publicar varios intentos. Otro intento interesante, aunque también fallido, fue el de Xian-Jin Li, que curiosamente (o no) realizó la tesis doctoral bajo la dirección de Louis de Branges. Francis nos habló sobre él en esta entrada.

De todas maneras, tendremos que estar atentos. Según la web del Heidelberg Laureate Forum, el momento será el próximo lunes 24 de septiembre a las 9:45, (entiendo que) hora de Alemania. Según han informado por Twitter, la conferencia podrá seguirse en directo por streaming a través de la web del HLF y después se colgará en su canal de Youtube.

¿Se cargará Atiyah el problema matemático actual más importante? ¿Asistiremos a un nuevo gatillazo matemático relacionado con la hipótesis de Riemann? El 24 de septiembre comenzaremos a saberlo.

La imagen principal de Michael Atiyah está tomada de aquí.

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Michael Atiyah podría presentar el próximo lunes una demostración de la hipótesis de Riemann

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Entre los próximos días 23 y 28 de septiembre se celebrará el Heidelberg Laureate Forum 2018 en la ciudad alemana de Heidelberg, y, según el abstract de su ponencia, Michael Atiyah presentará allí una demostración de la hipótesis de Riemann. Sí, Michael Atiyah. Y sí, de la hipótesis de Riemann.

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“Los que entienden matemáticas controlan el mundo” | Cultura | EL PAÍS

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Marcus du Sautoy en la Fundación Telefónica durante la entrevista. KIKE PARA

Un bocadillo de tebeo en la camiseta de Marcus du Sautoy (Londres, 1965) lee "Yo no sé nada". No es cierto: Du Sautoy ocupa una cátedra de matemáticas en la Universidad de Oxford (Reino Unido) y la cátedra Simonyi para el Entendimiento Público de la Ciencia, un puesto del que relevó al etólogo Richard Dawkins en 2008. El matemático, escritor y divulgador científico está en Madrid para presentar su nuevo libro Lo que no podemos saber, publicado en castellano por la editorial Acantilado.

La camiseta no es una casualidad. Aunque el bocadillo sale de la boca del personaje ficticio Jon Nieve, de Juego de Tronos, Du Sautoy lo ha elegido para llamar la atención a su propia ignorancia. A pesar de sus inmensos conocimientos, este es un científico al que no le da miedo admitir, y afrontar, lo desconocido. El paradójico enunciado recuerda a una cita del físico John Archibald Wheeler: "Vivimos en una isla en un mar desconocido. Según crece la isla de conocimiento, también lo hace el litoral de ignorancia."

Pregunta: Cuanto más se sabe, más se cuestiona. ¿Es lo mismo cierto para el conocimiento colectivo? ¿O según avanza la ciencia, disminuye lo que no conocemos?

Respuesta: Todo depende de la imagen que se use. Hay una sensación de que el conocimiento es como una hidra griega: cortas una cabeza y aparecen dos más. Esta imagen del conocimiento es un círculo: según crece el círculo, el borde, que representa la frontera con lo que desconocemos, también parece agrandarse. Pero hay otra imagen, que es una esfera: cuanto más explores la superficie de una esfera, menor es el área que desconoces. Yo creo que la física nos está dando la sensación de que estamos cartografiando la esfera y convergiendo en lo que llamamos una teoría del todo. Hay una sensación de que quizá lleguemos al punto en que, colectivamente, nuestro conocimiento sea suficiente como para que tengamos la historia de cómo funciona el universo. Pero no lo sabemos.

P: Habla de cartografiar el conocimiento como si fuera algo que ya existe, esperando ser descubierto. Si los extraterrestres hicieran ciencia, ¿llegarían a las mismas leyes físicas, tendrían las mismas matemáticas?

R: Creo que las matemáticas son únicas. Yo soy un platónico en el fondo, supongo que porque soy matemático. Como humanos, puede que estemos limitados en las disciplinas que podemos explorar, estudiar y entender; tenemos limitaciones por nuestra cultura, nuestra anatomía. Pero sí creo en un mundo platónico subyacente que todos observamos por una mirilla, y un extraterrestre tendrá otra mirilla.

P: En su libro menciona conocimientos que nunca podremos alcanzar por su propia naturaleza. ¿Son preguntas que los humanos no podemos responder, o es que no tienen respuesta?

R: No es que no tengan respuesta, pero la respuesta no se puede alcanzar por procesos finitos. Una pregunta que no tiene respuesta no es interesante. Por poner un ejemplo tangible: ¿es el universo finito o infinito? Eso tiene respuesta. Asumimos que es infinito, pero hay un límite a lo que conocemos porque la información viaja a la velocidad de la luz y el universo nació hace 13.800 millones de años. Estamos en una burbuja, y da igual lo inteligentes que seamos, lo complejos, o cuántos ordenadores usemos, no hay forma de que nos pueda llegar información más allá de los bordes de la burbuja. Creo que ese es un buen ejemplo de una limitación intrínseca acerca del conocimiento que el universo físico impone sobre cualquier ser que quiera conocerlo.

P: Ahí es donde entra en juego la religión para mucha gente, incluidos los científicos. ¿Cree que son compatibles la ciencia y la religión?

R: Uno de los problemas de la religión es lingüístico, la inhabilidad de definir a qué nos referimos con ciertos términos. Por eso en el libro me guío por el teólogo Herbet McCabe y digo: "definamos Dios como todo aquello que no podemos conocer." En ese sentido, mientras existan límites al conocimiento, sí son compatibles la ciencia y la religión. Creo que a eso se refieren muchos científicos religiosos; dicen "yo no sé de dónde ha salido esto, lo voy a llamar Dios, el creador, pero lo que crea sigue leyes que puedo estudiar como científico". Es lo que llamamos ser deísta. Creo que el verdadero problema de compatibilidad es para los teístas: ellos creen que su dios está actuando en el mundo. Creo que es una tensión interesante que merece la pena explorar, y por eso quise dar más matices que los que daba Richard Dawkins en este debate.

P: Se distancia de la postura de Dawkins con respecto a la religión. ¿Cree que él sobrepasó alguna raya cuando ocupaba la cátedra para el Entendimiento Público de la Ciencia?

R: No. Richard [Dawkins] siempre ha tenido cuidado de usar la ciencia como su herramienta de argumentación. De esa forma centró la atención de la gente en los motivos por los que creemos en la evolución, por qué sabemos que es una teoría robusta que sobrevive a la crítica. Creo que tuvo su momento y su lugar, pero la postura de Richard ha polarizado el debate, y a mí me gustaría tener un debate más sutil, con más matices, pasado ese momento importante de la publicación de El espejismo de Dios.

P: ¿Qué papel tiene como catedrático para el Entendimiento Público de la Ciencia de Oxford?

R: Yo me considero un embajador. La ciencia es como un superpoder: tiene tanto impacto en el resto de la sociedad... es como un continente enorme. Y sin embargo, muchas crisis políticas de la ciencia, como la polémica de los organismos modificados genéticamente o de la investigación con células madre, surgieron porque el público no las entendía. Por eso creo que es muy importante que los científicos se suban al plató e involucren a la sociedad. Lo que quiero hacer es tender puentes y crear diálogo, para entender por qué a la gente le preocupan los organismos modificados genéticamente. Si los científicos somos proactivos, podemos atender a los miedos innecesarios que puedan surgir sobre el impacto de la ciencia.

P: Habla de diálogo y de involucrar a la sociedad, no del "entendimiento público de la ciencia" del que se hablaba hace unos años. ¿Es una frase anticuada y condescendiente?

R: Sí, yo creo que sí lo es. Me parece que es muy de vieja escuela. Pero la cátedra se creó en los años noventa, cuando se tenía la visión de "nosotros, los científicos, os damos las respuestas y vosotros nos escucháis". Estoy intentando implementar una versión moderna a mi papel, el título suena anticuado.

P: De todas las ciencias, la gente siente una fascinación especial por su disciplina, las matemáticas, a pesar de ser una de las asignaturas más odiadas en los colegios. ¿Por qué?

R: Creo que es porque, una vez tras otra, nos damos cuenta de que las matemáticas subyacen todo lo demás. Para entender cualquier ciencia hacen falta las matemáticas: son el mejor idioma, el lenguaje de la naturaleza. Y creo que la gente entiende, cuando lee sobre las matemáticas, que son un idioma muy poderoso y que los que lo entienden controlan el mundo. Si se pregunta "¿quiénes son las potencias de este mundo ahora?", no son los jefes de naciones, son los jefes de empresas como Google, Facebook y Apple. Son gente que sabe matemáticas. Los creadores de Google, Sergei Brin y Larry Page, son dos geeks que entendieron que las matemáticas nos permiten navegar una red complejísima. Creo que la gente se da cuenta de que los numerati, los que tienen las matemáticas, tienen poder.

La tragedia es que parece que en la educación nos timan. Y es un problema de todos los sistemas educativos, no solo en España. Cuando llegamos a secundaria, las asignaturas se vuelven estancas. Hay clase de matemáticas, luego de música, luego de historia, pero no hacemos las conexiones entre ellas. Cuando hacemos matemáticas no entendemos que son la base de la música. La gente no se da cuenta de que las matemáticas tienen una historia. Hubo un momento en el que no teníamos el cero, y a alguien se le ocurrió el concepto del cero. La forma de abordar el problema educativo es contextualizar las matemáticas.

P: Ha llamado a las matemáticas "el lenguaje de la naturaleza". ¿Considera que existen fuera de la mente humana?

R: Sí. Y lo que es más, diría que el motivo por el que vemos matemáticas en todas partes es porque somos una manifestación física de las matemáticas. El universo es una pieza matemática. A menudo, la gente quiere respuesta a la pregunta ¿quién creó todo esto? Llaman al creador Dios, porque no saben qué llamarlo. Einstein usa el término así. Mis hijos siempre me dicen: "Hay un problema, ¿quién creó al creador?". Necesitamos algo que exista fuera del tiempo y que no necesite creación: las matemáticas son el dios que todos buscamos. Pero es normal que diga eso, soy matemático.

Bruno Martín forma parte del proyecto europeo , que aborda el estudio de neutrinos, materia oscura y física más allá del modelo estándar (H2020-MSCA-ITN-2015//674896-Elusives).

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"Los que entienden matemáticas controlan el mundo"

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Un bocadillo de tebeo en la camiseta de Marcus du Sautoy (Londres, 1965) lee "Yo no sé nada". No es cierto: Du Sautoy ocupa una cátedra de matemáticas en la Universidad de Oxford (Reino Unido) y la cátedra Simonyi para el Entendimiento Público de la Ciencia, un puesto del que relevó al etólogo Richard Dawkins en 2008.

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Grigori Perelman fue premiado por el Instituto Clay al resolver la conjetura de Poincaré

Los coches que zumban por las carreteras que atraviesan de lado a lado el barrio y el trasiego de trenes y metros ponen la banda sonora. Allí -con ese telón gris e industrial de fondo- nació en 1965 el expresidente Dmitri Medvédev, cuando la ciudad aún llevaba el nombre del líder de la revolución de 1917.

El matemático que renunciaba a los premios

El 8 de marzo de 2010 el Clay Mathematics Institute anunció que otorgaría a Perelman el primero de los galardones reservados para quienes resolviesen alguno de los siete Problemas del Milenio. Con el premio, el instituto pretendía distinguir al sabio de Kupchino por haber despachado la conjetura de Poincaré -ahora teorema, gracias a las aportaciones de Perelman-, un reto que traía de cabeza a los matemáticos desde 1904.

El galardón suponía una distinción internacional dotada con un millón de dólares

Antes de renunciar al millón de dólares, Perelman se había negado a aceptar otros galardones

Años antes, en 2006, Perelman había renunciado a la Medalla Fields, el considerado como Nobel de las Matemáticas. Sus logros con la conjetura de Poincaré llevaron a la Unión Matemática Internacional (IMU, en sus siglas en inglés) a escogerlo para el célebre galardón, que ese año se concedía en Madrid. Para asombro de sus colegas -muchos suspirarían todas sus vidas por alzarse con la presea- el ruso rechazó el premio. No era la primera vez que lo hacía. En 1996 ya había declinado una distinción que la Sociedad Matemática Europea destina a jóvenes talentos. Cuando sus directivos le comunicaron que era un firme candidato, Perelman se negó a aceptar el galardón. Incluso amenazó con montar un escándalo si no reculaban.

La reacción de Perelman

El aislamiento del matemático ruso se intensificó a partir de 1996, cuando dejó de responder a sus compañeros

"Lo tengo todo, no necesito el dinero", farfulló a los periodistas

El director del Instituto Clay se equivocó

Durante los meses siguientes el instituto -y a buen seguro San Petersburgo y Rusia entera- vivieron pendientes del estrafalario matemático. ¿Se mantendría firme? Un millón de dólares era una recompensa muy jugosa. ¿Cambiaría Perelman de postura? A principios de junio -poco antes de la Clay Research Conference de París en la que se preveía otorgar el galardón-, el presidente del instituto, , aún confiaba en que el sabio de Kupchino cambiase de parecer. "El señor Perelman se lo está pensando todavía. Probablemente está decidiendo en qué momento resultará más conveniente para él aceptar el premio. Aún no ha dado su respuesta final", apuntaba Carson.

Perelman no quería "estar en exposición como un animal en un zoológico"

Con algunos reporteros Perelman incluso fue más explícito. En una entrevista concedida a Alexandr Zabrovski y de la que se hacía eco en 2011 el diario ruso Komsomólskaya Pravda, el matemático aseguraba saber "cómo manejar el Universo y llenar los vacíos".

Ni los ruegos del Instituto Clay, ni la carta de una organización benéfica surtieron efecto

Grisha, el matemático soviético

¿Quién es Grigori Perelman, Grisha, como firma él... O al menos firmaba mientras estuvo en el circuito académico? El hombre que desenmarañaría el reto lanzado por Poincaré en 1904 nació en 1966 en San Petersburgo, cuando la ciudad aparecía aún en los mapas como Leningrado. Durante su infancia pocas pistas apuntaban a que terminaría convirtiéndose en uno de los grandes genios de las matemáticas del siglo XXI: era bueno con los números, pero no el mejor; y sobre todo tenía raíces judías, un punto de partida nada favorable en la Unión Soviética.

Grigori Perelman firmaba sus trabajos como Grisha mientras estaba en el circuito académico

Años después iniciaría su lenta travesía hacia el aislamiento hasta casi desaparecer. Su regreso al circuito académico lo hizo al más puro estilo de los genios: el 2 de noviembre de 2002 colgó en ArXiv -una web en la que los investigadores suelen publicar trabajos antes de su aparición en grandes revistas- un artículo en el que afirmaba haber demostrado la conjetura de Geometrización.

Un equipo chino intentó apropiarse de su labor con el argumento de que el ruso solo había sugerido el camino a seguir

En 2003 colgó la segunda parte y meses después, en julio de 2004, la tercera. El autor comunicó su publicación a algunos colegas, como el matemático Mike Anderson. Según recoge Rodrigo Fernández en un perfil publicado en 2010 por , de niño Perelman era reacio a realizar cálculos sobre el papel. Las ideas las cocinaba a fuego lento en su prodigiosa cabeza hasta que -ya maduras- las plasmaba por escrito. En 2002 hizo algo parecido con su trabajo sobre la conjetura de Poincaré.

Algunos medios apuntan que Perelman intenta ahora demostrar de forma matemática la existencia de Dios

Por fin, el niño sana, crece y es fuerte y hermoso; pero te lo quieren robar y te lo secuestran. Para Grisha fue como un secuestro cuando trataron de apropiarse del resultado de su trabajo. No pudo aceptar que un teorema pudiera ser comprado, vendido o robado", explicaba Serguéi Rukshín a El País. Otras voces inciden en su desencanto hacia el circuito académico de las matemáticas.

Más de una década y media después de asombrar al mundo con su genio, Perelman mantiene su encierro de asceta. Recluido en su apartamento de Kupchino, con la barba y el cabello desarreglados y la ropa remendada, evita convertirse en lo que él mismo llegó a tildar como "un mono de feria" mediático. Aunque se dijo que había abandonado los números y las fórmulas, en 2010 algunos medios titularon que estaba embarcado en otro reto: la demostración matemática de la existencia de Dios. De sus años de joven competidor soviético solo conserva su gusto por la . De niño Perelman tocaba el violín. Hoy dicen que no es difícil encontrarlo en el gallinero del Teatro Mariínski, disfrutando de la buena ópera acomodado en las butacas más baratas.

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Grigori Perelman, el matemático que renunció a un millón de dólares

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Grigori Perelman fue premiado por el Instituto Clay al resolver la conjetura de Poincaré Los coches que zumban por las carreteras que atraviesan de lado a lado el barrio y el trasiego de trenes y metros ponen la banda sonora.

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Niños en una clase de geometría.

Este año, al igual que los anteriores, el doble grado en Matemáticas y Física será, posiblemente, la carrera con la nota de corte más alta en España. En 2017 aparecía la primera en el listado de mayores notas de corte (se requería un 13,667, sobre 14, para cursarla en la Universidad Complutense (UCM)). En distintas universidades, este doble grado ocupa siete de los diez primeros puestos (también aparece Ingeniería Informática y Matemáticas en la UCM). Sin duda, el grado en Matemáticas y sus diversas combinaciones han experimentado un incremento de demanda en los últimos años. Parece que, tras años siendo una asignatura denostada, los jóvenes ahora sí quieren estudiar matemáticas. ¿A qué se debe esta tendencia?

El mercado de trabajo tiene algo que decir: Matemáticas es hoy una de las carreras con menos paro, como constatan multitud de estudios y de . Los matemáticos tienen la capacidad de resolver problemas (aunque no estén relacionados directamente con su ámbito de trabajo) y esta cualidad es precisamente una de las más valoradas en el ámbito laboral. Además, estamos viviendo una cuarta revolución industrial, la de Internet y las tecnologías de la información, en la que las matemáticas son clave. Es especialmente relevante la ciencia de datos, que permite extraer información útil de los registros que generamos, a través de herramientas estadísticas y machine learning, sobre las que se basan los algoritmos modernos.

En estos dos últimos años, la humanidad ha producido una mayor cantidad de datos que en toda la historia pasada. No obstante, la verdadera revolución está en la posibilidad de aprovecharlos para mejorar nuestras vidas. Por ejemplo, se están creando automóviles que, analizando los datos de su entorno, son capaces de conducir de forma autónoma, lo que revolucionará el transporte en pocos años. En el ámbito sanitario, los algoritmos comienzan a ser capaces de tomar decisiones de diagnóstico e interpretar radiografías, superando incluso el rendimiento de los humanos en estas tareas. También se está avanzando en la detección del fraude, gracias a máquinas capaces de localizar patrones en el comportamiento de los defraudadores. Y una cosa queda clara: el aprovechamiento de estos datos para conseguir mejoras de este tipo requiere de la matemática para crear algoritmos que, a partir de la tecnología informática, sean capaces de lograr sus objetivos.

Parece que la empresa está preparada para la llegada de las matemáticas, existe una amplia demanda de estos perfiles, y un gran número de estudiantes deseosos de ocupar estos puestos, pero, una vez llegados a la universidad, ¿responde la formación académica a estas demandas sociales? ¿Qué interacción debe haber entre universidad y empresa? ¿Cómo pueden conseguir los jóvenes matemáticos moldear su formación a las demandas del futuro? A partir de estas preguntas surgió la red BYMAT, con el propósito de empoderar a la comunidad de jóvenes matemáticos y fomentar el apoyo mutuo para enfrentar todos estos retos. La red nació del primer Congreso BYMAT, que se celebró en el ICMAT del 7 al 9 de mayo de 2018 con la colaboración exclusiva de la Fundación BBVA. Por primera vez se reunieron casi 200 jóvenes de todo el mundo, la mayoría estudiantes de doctorado en matemáticas y campos afines, para compartir su trabajo y sus inquietudes acerca de las matemáticas. A pesar de sus modestos orígenes (los organizadores pretendían propiciar un encuentro informal entre los estudiantes de doctorado en matemáticas a nivel nacional), la acogida ha sido excepcional, y la red BYMAT ya abarca a la comunidad internacional de jóvenes matemáticos, que busca fomentar la interdisciplinariedad, la interacción universidad-empresa, el papel de la mujer en la ciencia y la divulgación científica.

Parece claro que las matemáticas, y los matemáticos, cada vez van a tener más peso en el desarrollo de nuestras vidas. Es el momento para reflexionar y tomar las riendas de su papel en esta sociedad de la cuarta revolución industrial, puesto que son el futuro, y el Estado que no invierta en ellas se quedará atrás.

Ángela Capel, Jesús Ocáriz, Roi Naveiro y Patricia Contreras son estudiantes predoctorales del ICMAT y fundadores de la red BYMAT. Ágata Timón es responsable de comunicación del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

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Ángela Capel, Jesús Ocáriz, Roi Naveiro y Patricia Contreras

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¿Cómo se ha convertido Matemáticas en la carrera universitaria más popular?

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Este año, al igual que los anteriores, el doble grado en Matemáticas y Física será, posiblemente, la carrera con la nota de corte más alta en España. En 2017 aparecía la primera en el listado de mayores notas de corte (se requería un 13,667, sobre 14, para cursarla en la Universidad Complutense (UCM)).

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"La idea de que a algunos se nos dan bien las matemáticas y a otros no es un mito que impregna la sociedad occidental". Así, sin medias tintas lo explica Jo Boaler, especialista en educación matemática de la Universidad de Stanford. Ella y su equipo de investigación llevan años sorprendido sobre cómo es posible que la idea de que hay "gente de ciencias" y "gente de letras" está tan extendida. Sobre todo, porque no es verdad.

La realidad, nos dice Boaler, es que "la neurociencia [...] muestra que las matemáticas son un tema como todos los demás: se aprende con trabajo duro y práctica ". No se trata de negar las diferencias individuales, sencillamente se trata de darnos cuenta de que las principales barreras que nos separan de las matemáticas (o del pensamiento abstracto en general) nos las ponemos nosotros mismos.

Odiar las matemáticas sobre todas las cosas

La idea central de Boaler tampoco no es nueva. En su famosa charla TED ya defendía que "lo que creemos sobre nosotros mismos tiene un gran impacto sobre lo que aprendemos y sobre cómo lo aprendemos". Más allá de las polémicas de los últimos años, esto es algo que sobre lo que hay bastante consenso entre psicólogos y educadores. La cuestión ahora era saber qué definía las creencias sobre nosotros mismos.

En general, los seres humanos somos bastante buenos estimando cosas. Por ejemplo, el peso percibido de las personas se corresponde con sorprendente precisión con el peso real de las personas (y eso que podría haber tendencias al autoengaño). También somos buenos estimando el consumo de sal incluso cuando no tenemos información directa sobre la cantidad de sal que tienen los productos que consumimos según una investigación en la que yo mismo estoy colaborando. Visto esto, lo lógico sería pensar que la gente que piensa que "lo suyo no son las matemáticas" tienen buenas razones para pensarlo.

Así es, de hecho. La mayor parte de personas que piensan que son malos en matemáticas, son malos en matemáticas. Sin embargo, Boaler sostiene que eso es producto de una profecía autocumplida. No es que haya muchos adultos que odien las matemáticas porque se les dan mal, es que se les dan mal porque las odian.

Va más allá. Según su teoría, son los padres y los maestros con " ansiedad matemática" los que acaban transmitiendo esos sentimientos a sus hijos y estudiantes. Luego, esa ansiedad y ese mal rollo se encargan del resto. hay investigaciones que analizan el papel de los padres en esto (y descartan el origen genético).

Por decirlo de otra manera, Boaler piensa que las personas acaban convenciéndose de que no pueden con ello, de que las matemáticas son superiores a sus fuerzas y eso las saca del juego. Por eso, en su último estudio, Boaler analiza qué pasa cuando los maestros se enfrentan finalmente a los miedos de los alumnos.

Contra los prejuicios e ideas preconcebidas

El equipo de Boaler diseñó una intervención educativa que no solo desmontaba la idea de que existen "persona de ciencias" de forma innata, sino que daba instrumentos efectivos a los profesores para enseñar matemáticas y reducir la ansiedad de sus alumnos ante ellas.

Consiguieron que unos cuarenta profesores aplicaran esta metodología en clase y, posteriormente, entrevistaron tanto a maestros como a alumnos y compararon los resultados de los exámenes oficiales. Estos mismos resultados mostraban que el método parecía efectivo.

Según las estimaciones del equipo, los estudiantes que aprendían sin ideas preconcebidas sobre su capacidad adelantaban al resto de estudiantes. Los resultados muestran un adelanto de tres meses y medio con respecto a la media. Y, en el caso de los estudiantes más retrasados y clases de refuerzo, ese adelanto podía llegar a cinco meses.

No hay duda de que el estudio es pequeño y que esta lógica, llevada al extremo, puede acabar generando más problemas de los que soluciona. Pero esto ocurre, normalmente, porque no nos tomamos en serio la educación. Nos parecería una barbaridad que los médicos usaran métodos no avalados científicamente, pero nos parece normal que lo hagan los profesores. De ahí que estemos casi a oscuras en una de las tareas más importantes de una sociedad, la educación.

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El mito de que no se te dan bien las matemáticas: la neurociencia lucha por acabar con una de las ideas más extendidas del mundo

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"La idea de que a algunos se nos dan bien las matemáticas y a otros no es un mito que impregna la sociedad occidental". Así, sin medias tintas lo explica Jo Boaler, especialista en educación matemática de la Universidad de Stan...

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Triaquisoctaedro.

Nos preguntábamos la semana pasada por la relación entre los balones de fútbol y los sólidos arquimedianos; reproduzco, al respecto, el comentario de nuestro "usuario destacado" Carlos Gaceo: "Los balones actuales de fútbol están conformados por un conjunto de 12 pentágonos y 20 hexágonos regulares, que ocupan el 86.74% del volumen que ocuparía una esfera perfecta circunscrita al balón. Sin embargo, existe una figura geométrica llamada rombicosidodecaedro que se aproxima aún más a la forma esférica. Está formada por 20 triángulos equiláteros, 30 cuadrados y 12 pentágonos regulares, teniendo un total de 62 caras. De esta manera el balón ocuparía un 94.33% del volumen de la esfera circunscrita". (Hay que tener en cuenta, además, que al hinchar el balón sus caras se curvan ligeramente, con lo que a efectos prácticos se convierte en una esfera).

El conjunto de 12 pentágonos y 20 hexágonos regulares es un icosaedro truncado (pues se puede obtener truncando los vértices de un icosaedro) y, al igual que el rombicosidodecaedro, es un sólido arquimediano.

Los duales de los sólidos arquimedianos son los sólidos de Catalan (recordemos que los vértices del dual de un poliedro son los puntos medios de las caras del poliedro original), denominados así en honor del gran matemático belga Eugène Catalan, que los describió a mediados del siglo XIX.

Las caras de los sólidos de Catalan no son polígonos regulares, pero son todas iguales. Y puesto que, como vimos, hay 13 sólidos arquimedianos, sus duales, los sólidos catalanianos, también son 13:

Triaquistetraedro (12 caras y 8 vértices)

Rombododecaedro (12 caras y 14 vértices)

Triaquisoctaedro (24 caras y 14 vértices)

Tetraquishexaedro (24 caras y 14 vértices)

Icositetraedro deltoidal (24 caras y 26 vértices)

Hexaquisoctaedro (48 caras y 26 vértices)

Triacontaedro rómbico (30 caras y 32 vártices)

Triaquisicosaedro (60 caras y 32 vértices)

Pentaquisdodecaedro (60 caras y 32 vártices)

Hexecontaedro deltoidal (60 caras y 62 vértices)

Hexaquisicosaedro (120 caras y 62 vértices)

Icositetraedro pentagonal (24 caras y 38 vértices)

Hexecontaedro pentagonal (60 caras y 92 vértices)

¿De qué sólido arquimediano es el dual cada uno de ellos? Propongo a mis sagaces lectoras/es este instructivo juego de emparejamientos.

Números de Catalan

Pero Eugène Catalan, más que por sus sólidos, es conocido por sus números. Hay varias vías para llegar a los números de Catalan, y una de ellas consiste en ver de cuántas maneras distintas se puede dividir en triángulos un polígono convexo mediante diagonales que no se corten entre sí.

Un triángulo ya está dividido en triángulos de la única manera posible, por lo que le corresponde el 1.

Un cuadrilátero convexo se puede dividir en dos triángulos trazando una de sus diagonales o la otra, o sea, de 2 maneras distintas.

Un pentágono convexo se puede dividir de 5 formas distintas.

Y un hexágono, ¿de cuántas formas distintas se puede dividir en triángulos mediante diagonales que no se cortan?

En el caso del heptágono, las posibilidades son 42, y en el del octógono, 132.

Una vez hallado el término que falta en la secuencia 1, 2, 5, x, 42, 132... ¿puedes decir qué pauta sigue? O lo que es lo mismo: ¿cuál es la fórmula general que, para un polígono convexo de n lados, nos da el número de triángulos en que podemos dividirlo mediante diagonales que no se cortan?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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Nos preguntábamos la semana pasada por la relación entre los balones de fútbol y los sólidos arquimedianos; reproduzco, al respecto, el comentario de nuestro "usuario destacado" Carlos Gaceo: "Los balones actuales de fútbol están conformados por un conjunto de 12 pentágonos y 20 hexágonos regulares, que ocupan el 86.74% del volumen que ocuparía una esfera perfecta circunscrita al balón.

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Los problemas tienen distintos niveles de complejidad - Fotolia

Alfonso J. Población

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Seguramente todos hemos oído alguna vez ese chascarrillo acerca de "¿Por qué se suicidó el profesor de matemáticas? Respuesta: porque tenía muchos problemas". En efecto, una de las ocupaciones más relevantes de los matemáticos es tratar de resolver problemas. Y aquí deberíamos explicar qué se entiende por "problemas", porque no es lo que normalmente la gente asume como tales. Las personas con hijos en edad escolar, o aquellos que tengan aún en mente su paso por la enseñanza básica y el instituto, recordarán entre los deberes para casa, una retahíla de cuestiones para hacer sobre el tema que tocara. En el colegio, cuentas, muchas cuentas, y "problemas" de patas de gallinas y otros animales, trenes que se cruzan en algún sitio, grifos que llenan estanques mientras por otro lado hay sumideros que lo vacían, y medida de áreas y volúmenes de figuras de lo más variopinto.

Algoritmo para optener la raíz cuadrada- Wikipedia

Por supuesto todo eso no son las ocupaciones a las que se dedican los matemáticos que investigan. Ni siquiera eso son "problemas", sino ejercicios rutinarios para verificar si se han comprendido algunos conceptos, si se sabe aplicar ciertas fórmulas o si se ha adquirido la destreza suficiente para poner en práctica un determinado algoritmo (cadena de operaciones, no exclusivamente aritméticas, que nos llevan a un determinado fin: la base de la programación en informática; en un momento volveremos sobre este concepto).

Entre los ejercicios, tampoco todos son del mismo nivel de dificultad. Diferentes autores han establecido clasificaciones que miden esa dificultad de acuerdo a distintos enfoques. Sin profundizar demasiado, por no alargarnos innecesariamente, digamos grosso modo que, en un nivel básico, nivel de reproducción, atendiendo a la denominación establecida por el Programa Internacional de Evaluación de los Alumnos (conocido por su acrónimo PISA, elaborado por la OCDE) para las tareas a efectuar en el aula con los alumnos, encontraríamos aquellas cuestiones en las que no es necesario hacer esfuerzo mental ninguno. Simplemente se aplica una determinada fórmula o concepto explicado en clase de forma mecánica. Por ejemplo, calcular el máximo común divisor de una serie de números, o resolver una ecuación de segundo grado, en la que a lo más nos dan desordenados sus términos.

Particularmente me gusta más decir nivel 0, no en sentido peyorativo, sino como indicador de punto de partida, lo mínimamente exigible a un alumno para comprobar si ha entendido lo que se le ha explicado.

Un escalón por encima tendríamos tareas en las que haya que interpretar la información que tenemos, identificar y saber escoger elementos matemáticos conocidos para aplicarlos en la resolución, pero que no se nos explicitan de forma evidente. Sería un nivel de relación o conexión (nivel 1). Algo así como lo que haría un fontanero o un albañil cuando se encuentra con una avería en un domicilio: observa la situación, detecta el posible problema, y selecciona las herramientas más adecuadas para solucionarlo. No utiliza un martillo para atornillar, por ejemplo, o unas tenazas para clavar una punta (salvo que como MacGyver no tenga nada mejor a mano, obviamente, pero no hablamos de casos límite). En nuestras clases estamos (mal)acostumbrados a utilizar exclusivamente ejercicios mecánicos como tarea para lograr adquirir este nivel de competencia matemática, pero es un error (bajo mi personal punto de vista; obviamente todo es opinable, pero luego se nos aburre el personal: lógico). Existen otro tipo de actividades, en las que hay que enfrentarse a un desafío real y concreto, existen juegos en los que hay que desarrollar y poner en práctica una estrategia, etc. A este nivel deberíamos aspirar a que todo alumno que pase por nuestras aulas llegue, un ciudadano que, en un futuro, sepa cómo aplicar las tres cositas que ha aprendido sobre porcentajes, por ejemplo, para que no le epate cualquiera que se presente en su casa ofreciéndole mejores coeficientes en el término variable del gas durante un cierto periodo de tiempo (meses de verano) que luego cuando ya se nos ha olvidado se modifica (invierno) precisamente cuando más consumimos (son varias y diferentes las tomaduras de pelo, y a veces, bastante sofisticadas, como para tomarse en serio echar un tiempo a hacer algún cálculo), o cómo elegir la oferta del producto telefónico que más nos conviene. Y ojo, en las situaciones reales, hay datos irrelevantes. Hay que saber cuál tomar y cuál no. Pero, ¿cómo se ponen los alumnos cuando en un ejercicio propuesto hay datos que no hay que utilizar porque sobran? ¡¡Ah, no, eso es ir a pillar!! Si no sirve que no se dé el dato, que nos confunden. Bueno, pues luego, volviendo atrás, no será capaz de decidir si coger la tenaza, el martillo o el destornillador (o sea, Pitágoras, Tales, o una sencilla regla de tres).

Finalmente, en un nivel 2, nos encontramos con tareas y ejercicios en los que hay que dar un paso más, y utilizar nuestras neuronas de un modo más creativo; en éstas es necesario tomar alguna decisión. Lo denominan nivel de reflexión, y con él adquirido, seríamos capaces de justificar, argumentar porque así y no de otro modo, demostrar con corrección, etc. Los típicos ejercicios popularmente conocidos como "de idea feliz", aunque por supuesto, tendríamos muchos grados para baremar el grado de intensidad y profundidad de la lucecita que se ha encendido para llegar a la resolución final. Serían los ejercicios como los que se proponen en las olimpiadas matemáticas, algunos bastante difíciles, aptos para aquellos que ya tienen claro que su futuro va a estar en una carrera de tipo científico. Ejercicios en los que profesores muy competentes pueden tener incluso dificultades para resolverlos, o directamente no ser capaces de hacerlo. Entre paréntesis, una de las, a mi juicio, mayores y mejores bajadas de humos al personal que existen es precisamente poder comprobar cómo un chaval de quince años puede resolver una cuestión que el más eminente catedrático universitario haya sido incapaz siquiera de vislumbrar (¿recuerdan la escena en 'El indomable Will Hunting'?). No ocurre constantemente, pero tampoco es raro. Una de las grandezas, insisto, a mi juicio, de las matemáticas y las ciencias en general. Ni que decir tiene que, si miramos a nuestro alrededor, a mucha gente tipo "usted no sabe con quién está hablando" le vendría de perillas como cura de humildad. ¿Será quizá ésta otra de las cosas impopulares de las matemáticas?

Bien, pues después de todo este prólogo, decir que los problemas a los que se enfrenta un matemático investigador están muy alejados aún de todos estos niveles. Un investigador en matemáticas tiene que desarrollar, demostrar, e idear, métodos y procedimientos quizá no existentes, que quizá no le lleven a ningún lado después de años de trabajo (pero muy importante, le sirven al resto de matemáticos posteriores que trabajen en ese problema para no repetir el mismo error de enfocar el asunto por ese camino) para tratar de lograr el objetivo de resolver el problema al que se enfrenta. Se han planteado muchas analogías para tratar de hacer entender a los demás cómo es enfrentarse a estos retos y cómo transmitir la satisfacción obtenida cuando se ha logrado el objetivo (en muy contadas ocasiones, por cierto; el que lo logra puede considerarse un verdadero héroe, una persona única, de un valor medible no con un millón de dólares, sino con nada que exista de tipo material). Algo así como alcanzar una cima jamás pisada por otra persona, o como abrir camino en un paraje inaccesible, o como poder iluminar un lugar en el que sólo nos podemos desplazar a tientas, sin ver absolutamente nada.

El nivel de los problemas

Teniendo en cuenta la naturaleza de este tipo de problemas, no es de extrañar que se haya baremado también el nivel de complejidad de dichos problemas. Una forma de hacerlo es tratar de estimar de algún modo el esfuerzo necesario para llegar a la solución. Tradicionalmente, y es una idea que han recogido las ciencias de la computación, consideramos un problema resuelto siempre que hemos encontrado un algoritmo, un procedimiento, para conseguirlo. Es un modo seguramente un tanto burdo o injusto (porque hay otros muchos factores a tener en cuenta), pero es un punto de partida que posteriormente podemos afinar. Y comprobar si dicho algoritmo es eficiente. Para considerarlo como tal, no sólo debemos considerar si con él se llega a la solución, sino si lo hace en un tiempo de ejecución relativamente aceptable. Si el tamaño de los cálculos crece "razonablemente" al aumentar el de los datos con los que trabajar, se puede considerar un procedimiento eficiente. Por ejemplo, si el número de pasos necesarios es proporcional a una potencia fija (el cuadrado, el cubo, en general x n , siendo x el tamaño de los datos de entrada). En ese caso, se dice que el problema es de clase P (tiempo de ejecución polinómico).

Sumar dos números de longitud k, por ejemplo, requiere de un tiempo para hacerlo proporcional a esa longitud. Se simboliza por O(k); multiplicar en cambio dos números de longitud distinta, k, l, con k>l, seria de orden O(k²) con el algoritmo que todos conocemos de la multiplicación (existen otros algoritmos que reducen ese tiempo de ejecución). En resumen, un problema es de tipo P cuando se puede resolver, porque conocemos un algoritmo que lo hace, en tiempo polinómico. Hay otros factores a tener en cuenta, como cuánta memoria es necesaria, etc., pero no lo liaremos más, al menos en esta ocasión.

Si el tamaño de los cálculos crece excesivamente (por ejemplo, exponencialmente), se considera que el algoritmo no es eficiente y el problema se cataloga como difícil. Esta idea no es del todo satisfactoria para evaluar la complejidad de un problema porque requeriría ver si cualquier algoritmo desarrollado para la solución es eficiente (y tendrían que incluirse los ya desarrollados, y los que en un futuro otros hicieran, y eso, es obviamente, imposible de saber). Así pues, la tarea de baremar la dificultad de un problema no es en absoluto trivial, y podría cambiar en un futuro.

Dentro de estos "problemas difíciles" hay varias subdivisiones, pero hoy sólo mencionaremos la clase NP. Serían aquello problemas que a día de hoy no podemos resolver (porque no hemos encontrado aún un algoritmo, etc., etc., etc.), pero para los que, conocida una solución particular, podríamos verificar que es correcta, que resuelve el problema, en tiempo polinómico. Hay cientos de problemas NP a día de hoy; por ejemplo, el famoso problema del viajante (al que dedicaremos una reseña algún día), el de la mochila (en una mochila de capacidad limitada, qué objetos seleccionar para llevar como necesarios, teniendo en cuenta que todos no caben), o el del buscaminas (podemos encontrar la solución de una situación concreta, pero no conocemos un algoritmo general que resuelva cualquier posición inicial).

Evidentemente todo problema P es NP (si se puede resolver con un algoritmo de forma general, se puede verificar cualquier solución particular), pero uno de los problemas del milenio (esos cuya recompensa es de un millón de dólares USA) es precisamente resolver la cuestión complementaria:

¿Es todo problema NP también un problema P, en cuyo caso P = NP? En otros términos, ¿será posible siempre encontrar un algoritmo eficiente que resuelva cualquier problema, o hay problemas para los que no existe algoritmo alguno que los resuelva? Casi, casi, un tema de futurología (¿cómo vamos a saber qué algoritmos se van a desarrollar en el futuro?). Por eso es tan complicado.

Lo que desde luego no es nada complicado, y es entretenido, es tratar de resolver las cuestiones planteadas para este verano en el XIV Concurso sobre Cine y Matemáticas del portal DivulgaMAT, y que un año más propone quien les habla. Uno de los objetivos es tratar de descubrir la película enigma de la que tratan las cuestiones, y volverla a ver (suele ser un clásico). No ganarán un millón de dólares, pero sí puede que algún libro interesante, y la satisfacción de encontrar la respuesta entre cientos de participantes, que es impagable. Este año es más sencilla que en otras ocasiones, así que anímense, y feliz verano a todos.

Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la RSME. El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). Temas

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Otro millón de dólares te espera: ¿Es P = NP?

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Alfonso J. Población Actualizado: Noticias relacionadas Seguramente todos hemos oído alguna vez ese chascarrillo acerca de "¿Por qué se suicidó el profesor de matemáticas? Respuesta: porque tenía muchos problemas". En efecto, una de las ocupaciones más relevantes de los matemáticos es tratar de resolver problemas.

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Algoritmo es la palabra tecnológica de moda: los algoritmos hacen esto y aquello, conocen nuestras pasiones más íntimas, van a copar nuestros trabajos, se disponen a destruir la sociedad y el mundo... En el lenguaje cotidiano se hace referencia a ellos como si fueran genios malvados, demiurgos traviesos o el espinazo de megacorporaciones sin escrúpulos. En realidad, un algoritmo es algo más sencillo, un mecanismo ciego y sin voluntad, pero que, como veremos, sí está cambiando el mundo de forma definitiva y merece la máxima atención, no se nos vaya a ir el asunto de las manos.

¿Qué es un algoritmo? Simplemente una serie de instrucciones sencillas que se llevan a cabo para solventar un problema. La regla de multiplicar que aprendimos en el colegio y que permite sacar el producto de dos números de varias cifras, con papel y lápiz, es un sencillo algoritmo. Pero podemos dar una definición algo más rigurosa:

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"Conjunto de reglas que, aplicada sistemáticamente a unos datos de entrada apropiados, resuelven un problema en un numero finito de pasos elementales", según enuncia el profesor de la Facultad de Informática de la Universidad Complutense Ricardo Peña Marí, autor a la sazón del libro De Euclides a Java, la historia de los algoritmos y de los lenguajes de programación (Nívola). "Es importante notar que el algoritmo tiene que ser finito y que ejecuta las instrucciones de manera sistemática, es decir, que es ciego ante lo que está haciendo, y que los pasos con los que opera son elementales", comenta el profesor.

Así, un algoritmo podría ser una receta de cocina o las instrucciones para fabricar un avión de papel a partir de un folio. Los algoritmos tienen una entrada ( input) y una salida ( output), entre ambas están las instrucciones: la entrada podría ser la carne picada, el tomate, las láminas de pasta y la salida la lasaña perfectamente gratinada. "Aunque en estas tareas muchas veces influye la habilidad de las personas que las realizan: no es lo mismo una receta de cocina preparada por un gran chef, que incluso puede mejorarla, que por un principiante", matiza Miguel Toro, catedrático del Departamento de Lenguajes y Sistemas Informáticos de la Universidad de Sevilla. En realidad, los algoritmos recogen operaciones tan sencillas que pueden ser realizadas con éxito por cualquiera. Incluso por las máquinas. He aquí el quid de la cuestión.

Algoritmos + computadoras = revolución

Porque aunque los algoritmos existen por lo menos desde los tiempos de los babilonios, con la llegada de los ordenadores tomaron mucho más protagonismo. La unión de máquinas y algoritmos es lo que está cambiando el mundo. El matemático británico Alan Turing, famoso por haber reventado la máquina Enigma de mensajes cifrados de los nazis y por haberse suicidado mordiendo una manzana envenenada tras sufrir una dura persecución debido a su condición homosexual, fue de los primeros que relacionó algoritmo y ordenadores. De hecho, fue de los primeros que imaginó un ordenador tal y como los conocemos. Incluso llegó a pensar que las máquinas podrían pensar, y hasta escribir poemas de amor.

La Máquina de Turing no es una máquina que exista en el mundo físico, sino un constructo mental. Consiste en una cinta infinita sobre la que se van haciendo operaciones repetitivas hasta dar soluciones, viene a ser una definición informática del algoritmo y un ordenador, el primero, conceptualizado: "En esencia, es el precursor de los ordenadores: tiene una memoria, unas instrucciones (un programa), unas operaciones elementales, una entrada y una salida", explica el profesor Peña. Lo más interesante es que es una máquina universal, que puede llevar a cabo cualquier programa que se le ordene. Dentro de los problemas del mundo hay de dos tipos: los que puede resolver una Máquina de Turing (llamados computables) y los que no (los no computables), igual que vemos en el mundo real tareas que pueden realizar las máquinas (cada vez más) y otras que solo pueden realizar los humanos. Todos los ordenadores, tablets, smartphones, etc, que conocemos son máquinas de Turing.

"En definitiva, el trabajo de los programadores informáticos consiste en traducir los problemas del mundo a un lenguaje que una máquina pueda entender", afirma Peña. Es decir, en algoritmos que la máquina maneje: para ello hay que picar realidad en pequeños problemas en sucesión y poner a la computadora a la tarea. Un programa de ordenador es un algoritmo escrito en un lenguaje de programación que al final acaba convertido en miles de sencillas operaciones que se realizan con corrientes eléctricas en el procesador, corrientes representadas por los famosos unos y ceros, los dígitos que caracterizan lo digital. Cuando jugamos a un videojuego en tres dimensiones, o miramos Facebook, o utilizamos un procesador de textos, en realidad la máquina está realizando numerosas operaciones con pequeñas corrientes eléctricas, sin saber que de todo eso sale Lara Croft con dos pistolas. La clave es que son muchas operaciones a la vez: un ordenador de 4 gigahertzios puede hacer 4.000 millones operaciones en solo un segundo. En esencia, esto son los algoritmos y esto es la informática.

A pesar de la longevidad de los algoritmos, y de la ya madurez de las computadoras, la palabra algoritmo se ha puesto de moda en los últimos años. ¿A qué se debe? "Los ordenadores pueden calcular mucho más rápido que un cerebro humano y desde la aparición de internet hay un salto y se están llegando a cosas que parecían imposibles", dice Miguel Toro. Por ejemplo, en disciplinas en plena ebullición como el big data o la inteligencia artificial.

"Los algoritmos se usan para predecir resultados electorales, conocer nuestros gustos y el mundo del trabajo se va algoritmizando: las diferentes tareas se convierten en algoritmos y se automatiza el trabajo", explica el catedrático. Las únicas tareas no algoritmizables, por el momento, son las relacionadas con la creatividad y las emociones humanas, esa es nuestra ventaja. Aunque se suele argumentar que la Revolución Tecnológica creará nuevos puestos de trabajo, Toro cree que nunca serán tantos como los empleos destruidos y que se concentrarán en personas y países con la suficiente preparación. "Por eso una idea que parecía propia de la izquierda, como la renta básica universal, está siendo propuesta hasta por Bill Gates y experimentada en lugares como California o Finlandia. Es necesario que haya consumidores para que el sistema económico no colapse".

Uno de los ejemplos más llamativos de cómo pueden funcionar los algoritmos sin la supervisión humana es el del llamado Flash Crack de 6 de mayo de 2010. En la Bolsa los algoritmos trabajan realizando transacciones a velocidades inimaginables para un cerebro humano, en cuestión de microsegundos, para conseguir la máxima rentabilidad. Es el High Frecuency Trading. Ese día de 2010, la interacción de las operaciones de los algoritmos produjo un desplome de 1.000 puntos, en torno a un 9%, sin explicación aparente, que se recuperó a los pocos minutos, pero que dio una idea de los problemas que se pueden originar. "Casos como estos ocurren cuando los algoritmos se ponen a competir y nadie tiene la imagen del proceso completo, lo que se llama decoherencia", explica Toro, "por eso los algoritmos deben funcionar bajo supervisión humana".

"Nadie se pone de acuerdo en lo que pasó en la Bolsa, nadie dio la orden, nadie quería eso, nadie tenía realmente control sobre lo que realmente pasaba", dice Kevin Slavin, profesor del MIT Media Lab, en su célebre charla TED Cómo los algoritmos configuran nuestro mundo. Otro caso interesante es el del manual The making of a fly, de Peter Lawrence, que trata sobre la genética de moscas como la Drosophila melanogaster, muy utilizada en laboratorios biológicos. Lo extraño de este libro, por lo demás muy normal, es que, en 2011, su precio en Amazon alcanzó primero la cifra de 1.700 millones dólares para luego subir, unas horas más tarde, a casi 23.700 millones dólares (más gastos de envío). Todo se debía a el funcionamiento de un algoritmo que fijaba los precios de manera automática. "Nadie compraba ni vendía nada, ¿qué pasaba?", dice Slavin. "Tanto aquí como en Wall Street vemos cómo algoritmos en conflicto, trabados entre sí, crean bucles sin ningún tipo de supervisión humana".

Pese a todo, hay algoritmos que ya forman parte de consejos de empresas. Es el caso de VITAL, que desde mayo de 2014 ocupa uno de los cinco sillones directivos de Deep Knowlegde Ventures, una empresa de capital riesgo de Hong Kong especializada en medicina regenerativa. El algoritmo recomienda inversiones después de analizar enormes cantidades de datos y ensayos clínicos. Tiene derecho a voto en la cúpula de esa corporación. Como señala el historiador Yuval Harari en su libro Homo Deus, breve historia del mañana (Debate), "VITAL ha adquirido uno de los vicios de los directores generales: el nepotismo. Ha recomendado invertir en compañías que conceden más autoridad a los algoritmos". Según señala Harari, puede que llegue el día en que, cuando los algoritmos se hagan dueños del mercado laboral, la riqueza quede concentrada en una "élite de algoritmos todopoderosos (...) los algoritmos podrían no solo dirigir empresas sino ser sus propietarios. En la actualidad, la ley humana ya reconoce entidades intersubjetivas, como empresas y naciones, como personas legales ". Si entidades como Toyota o Argentina, que no tienen cuerpo ni mente, pueden poseer tierras y dinero, demandar y ser demandadas, ¿por qué no un algoritmo?, se pregunta el autor.

Tal vez el algoritmo más famoso del mundo, después del de la multiplicación, sea el de Google, creado en 1998 y llamado PageRank. Su éxito revolucionario consistió en que rastreaba la web y daba resultados de búsqueda ordenados por su importancia. "El PageRank original medía la importancia de una web por la cantidad de webs que estaban enlazadas a ella", dice Andrés Leonardo Martínez Ortiz (también conocido por el acrónimo ALMO), manager del Grupo de Desarrolladores de Google, y esa fue la clave de su éxito. Desde entonces, según relata ALMO, el algoritmo ha ido evolucionando hasta tener en cuenta en sus resultados al usuario (no es lo mismo ser un adulto que un niño, o buscar en Madrid que en Silicon Valley), ofrecer mapas, imágenes, corregir la ortografía de la búsqueda o entender cuándo en la caja de búsqueda se escribe una pregunta. Y darle respuesta.

"En los cambios que se realizan en el algoritmo se involucra a la industria, por el impacto que pueda tener, y se prueban con un pool de usuarios", explica el ingeniero. El problema es que en los algoritmos grandes a menudo aparecen sesgos. "Un algoritmo no es una caja negra y sus resultados no se deben asumir sin cuestionarlos", dice ALMO. "Cuando se perciba una situación anómala es preciso denunciarla a la compañía para que la analice".

Porque, aunque a veces lo parezcan, los algoritmos no son entes autónomos, sino que detrás hay personas. Así que algunas asociaciones de programadores e ingenieros informáticos, como la Association for Computing Machinery (ACM) o el Institute for Electrical and Electronic Engineers (IEEE) (de las que ALMO forma parte) ya han desarrollado un código ético para evitar algunos de los problemas que pueda acarrear la tecnología. "Debido a su posición en el desarrollo de sistemas software, los ingenieros tienen suficientes oportunidades para causar beneficio o generar daño, para permitir a otros causar beneficio o generar daño, o para influenciar a otros a causar beneficio o generar daño", se lee en su preámbulo. Por eso, el primer punto de sus principios dice: "Los ingenieros de software actuarán de manera coherente con el interés social".

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En realidad, ¿qué [...] es exactamente un algoritmo?

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Algoritmo es la palabra tecnológica de moda: los algoritmos hacen esto y aquello, conocen nuestras pasiones más íntimas, van a copar nuestros trabajos, se disponen a destruir la sociedad y el mundo... En el lenguaje cotidiano se hace referencia a ellos como si fueran genios malvados, demiurgos traviesos o el espinazo de megacorporaciones sin escrúpulos.

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En realidad, ¿qué [...] es exactamente un algoritmo?

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14 de marzo, Día de Pi

El número pi, representado con la decimosexta letra del alfabeto griego (π) y que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro, es una de las constantes matemáticas más comunes en las ecuaciones de la física, junto al número e.

"Pi es fascinante por su continua aparición y por su historia, ¡al principio no se sabía calcular!", exclama Clara Grima

Hace 30 años que el físico estadounidense Larry Shaw bautizo al 14 de marzo (3/14 según escribirían los británicos) como Día de Pi, ya que la fecha coincide con las tres primeras cifras de esta proporción de infinitos decimales (3,141592...).

"Aunque escribamos todas las cifras de Pi sobre un papel, nunca habrá suficiente espacio para registrarlas al completo", explicaba en una entrevista a Sinc Daniel Tammet, escritor británico que consiguió recitar sin fallos 22.000 decimales de este número y autor del libro La poesía de los números.

Según Clara Grima, presidenta de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME), cualquier número es interesante. Aún así, el número pi sigue fascinando a los matemáticos al tratarse de una proporción que aparece al medir los círculos, pero también en problemas clásicos de probabilidad geométrica como la aguja de Buffon. "Es un número fascinante por su aparición en gran cantidad de experimentos y por su historia, ¡al principio no se sabía calcular!", exclama Grima.

Sin π no soy nada

Por segundo año consecutivo, Clara Grima participa en la organización del certamen Sin π no soy nada, un concurso de proyectos creativos ideado por la RSME en los que pi es el principal protagonista. Gracias a sus tres modalidades, participan alumnos de cualquier nivel educativo: los niños de primaria dibujan cómics, los de secundaria escriben relatos y los jóvenes de Bachillerato compiten a través de la edición de vídeos. Además, también existen categorías para docentes y artistas de todas las edades.

"Necesitamos matemáticos, pero también ingenieros, biólogos, físicos, médicos...", reclama Grima. El objetivo de Sin π no soy nada es dar un empujón a la vocación científica tecnológica. Por ello, el concurso no tiene nada que ver con problemas matemáticos, sino con la creatividad de los participantes.

"Lo que queremos es que hablen de pi, no importa si es el nombre de un personaje o si el protagonista odia las matemáticas pero lleva esta letra en la camiseta, es irrelevante. Así todos los niños que no tienen interés en acudir a una olimpiada matemática, por ejemplo, estarán relacionando esta ciencia con algo que les gusta hacer", explica la experta.

Hay muchas otras anécdotas que se relacionan con el número pi. Recordamos algunas de ellas en su día grande.

En la gran pantalla...

Pi es la clave cómica en el cortometraje Pipas, dirigido por Manuela Moreno y nominado en 2014 al Goya al Mejor Corto de Ficción.

El hombre que conocía el infinito cuenta la historia del matemático indio Srinivasa Ramanujan antes de ser admitido en la Universidad de Cambridge. Haciendo frente a prejuicios raciales y en el contexto de la Primera Guerra Mundial, el protagonista se convierte en todo un experto en la ciencia de los números. Jesús Guillera, matemático español, trabaja sobre las fórmulas de pi que guardan paralelismos con los de Ramanu jan.

"Los decimales de pi se van obteniendo por grupo. Lo más importante de las fórmulas para obtenerlos no es su función, sino que forman una nueva familia para la que no se tiene explicación sobre su existencia", explicaba a Sinc Guillera.

... y en la no tan grande

Hasta en la serie de animación Los Simpson se simpatiza con este número, aterrando a la comunidad científica de Springfield con una simple afirmación: pi es 3.

Una difusa verdad científica por decreto

En 1888, el médico Edward Johnston Goodin, de Indiana, proclamó un supuesto descubrimiento en el que conseguía cuadrar los círculos y demostraba, según sus cálculos, que pi era en realidad 3,2. El 5 de febrero del mismo año el proyecto fue aprobado por unanimidad en la cámara de Representantes de Indiana, con 67 votos a favor y ninguno en contra.

M zero, la enorme máquina para ampliar la cifra

A principios de los noventa, los hermanos David y Gregory Chudnovsky fabricaron una máquina a la que bautizaron M zero y que les permitió batir el récord mundial del momento sobre el cálculo de pi, con más de 2.000 millones de decimales. Por problemas con la Universidad de Columbia, en la que trabajaban ambos, la hazaña se logró en su propio apartamento, en Nueva York.

El Edificio Costillares del IETcc, un guiño a las matemáticas

En 1951 y bajo la supervisión de Eduardo Torroja, ingeniero de caminos y director del Instituto de Ciencias de la Construcción Eduardo Torroja (IETcc, en Madrid), los arquitectos Manuel Barbero y Gonzalo Echegaray proyectaron la sede de esta organización, el Edificio Costillares. Su planta presenta una forma poco habitual: π, la decimosexta letra del alfabeto griego. Conviene recordar que el padre del ingeniero, Eduardo Torroja y Caballé, fue un importante matemático y geómetra.

El día pi por excelencia

El 14 de marzo a de 2015 a las 9 horas, 26 minutos y 53 segundos de la mañana, fue el día 3.14.15 9:26:53, la primera vez que este día internacional llegaba a los 9 decimales. Sin embargo, el record lo sostiene la primavera de 1592, a las 6:53:58, con 12 dígitos.

Pi World Ranking List: recitando decimales infinitos

El 21 de octubre de 2015, Suresh Kumar Sharma, un joven de Jaipur (India), pronunció 70.030 de los decimales de esta proporción matemática. Con tan solo 21 años, ocupó el primer puesto en la Pi World Ranking List: la lista que recoge los datos de las 1256 personas que más cifras de pi han recitado.

Y el récord de las computadoras

En la actualidad, el récord en la obtención de decimales de este peculiar número recae en el experto en computación y físico de partículas suizo Peter Trueb. En noviembre de 2016, Trueb encontró 22.459.157.718.361 números posteriores al punto decimal completamente verificados.

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SINC Servicio de Información y Noticias Científicas

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Por qué pi es el número más especial de las matemáticas

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En la geometría, los péndulos, la probabilidad, los calendarios, las series infinitas e incluso en el número Tau, su gran rival, además de en el cine, la música, los cómics y los concursos. Estos son solo algunos de los ámbitos en los que aparece π, la constante que continúa fascinando a los matemáticos.

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"Hace aproximadamente un par de años, una vez concluida la cena familiar, se disponía una de mis hijas a apagar uno de los focos de la lámpara del comedor, de 16 bujías de intensidad, para dejar sólo tres de los cinco que formaban los vértices de un triángulo equilátero, del que el centro era el primero; aunque por esta vez se le ocurrió preguntarme si prefería apagar el del centro o los otros tres". En esta escena cotidiana y doméstica, el matemático coruñés de relieve internacional Juan Jacobo Durán Loriga (1854-1911) situaba uno de sus hallazgos más famosos.

El científico coruñés trataba de encontrar el lugar geométrico de los puntos del plano que reciben la misma luz de los tres primeros focos que del foco central. Al plasmarlo gráficamente, obtuvo una curva de forma semejante a un trébol. Es lo que se vino en llamar la curva de Durán Loriga, que acaparó la atención de algunos colegas extranjeros de su tiempo.

La denominación científica era mucho más prosaica y enrevesada: "Cuártica de clase 12 y género 3, bitangente a la recta del infinito en los puntos cíclicos, con 24 puntos de inflexión y 24 tangentes dobles!. Ahí es nada. La cuestión es que en ese momento, la teoría de cuárticas estaba aún en pañales y Durán Loriga se había adelantado a colegas como Euler, Plüker o Zeuthen.

El cuadro familiar descrito por el matemático, cuando su hija tuvo dudas al disponerse a apagar dos bombillas de la lámpara, formaba parte de su discurso de entrada en la Real Academia Galega, y que no pudo llegar a leer porque la muerte le sorprendió en plena madurez científica, cuando tenía sólo 57 años.

El geómetra del triángulo, lo llamó Ricardo Moreno Castillo, estudioso de su obra, y así tituló un artículo en el Álbum da Ciencia dedicado al matemático coruñés, cuyo campo de investigación predilecto fue precisamente ese, la geometría del triángulo, aunque otros de sus ámbitos de estudio fue el de la geometría algebraica.

Del prestigio de Durán Loriga informa la abundante correspondencia que ha dejado con reputados colegas tanto españoles como extranjeros: Charles Hermite, Ernesto Cesaro, Brocard, Lemoine o Longchamps. También habla de su consideración científica los libros que le dedicaron sus autores y que componen su importante biblioteca, además de los numerosos artículos escritos para publicaciones especializadas de distintos países, y que redactaba en sus respectivas lenguas. Perteneció a numerosas instituciones científicas españolas y extranjeras.

Se relacionó con matemáticos tan célebres como Henri Poincaré o Charles Hermite, con los que tenía ocasión de coincidir en los congresos internacionales a los que acudía. Igualmente son indicativos de su prestigio la numerosa literatura científica que legó y el número de autores que se ocuparon -y se siguen ocupando- de su obra científica.

Una conferencia suya, Una conversación sobre Matemáticas, pronunciada en las Navidades de 1904 en el Circo de Artesanos y organizada por la Academia de Bellas Artes, obtuvo gran repercusión. En ella, Durán Loriga hizo un alegato a favor de las mujeres matemáticas -cuestión que debió de causar como mínimo extrañeza en aquel tiempo y que le hizo quedar como todo un feminista- entre las que citó a la marquesa de Châtelet, Marie-Sophie Germain, Maria Gaetana Agnesi y a Sofia Kovalewska.

Cuatro años después, clamaba en un congreso en Zaragoza por la enseñanza de la matemática: "... si desde muy antiguo no hay verdaderos matemáticos en España es porque no se ha procurado que los haya; porque los planes de enseñanza han sido siempre fatales, no se ha estimulado a los que se dedican a esta clase de estudios, no se ha comprendido, en fin, la importancia que tiene esta Ciencia".

Durán Loriga reclamó un plan general de enseñanza para las matemáticas y puso el acento en la necesidad de que se mantuviese en los institutos el conocimiento del latín y del griego, tan necesarios para la Ciencia, puesto buena parte del vocabulario científico es en esas dos lenguas antiguas.

Durán Loriga estaba llamado a las armas, siguiendo la tradición familiar (los Durán, marinos, y los Loriga, artilleros). Se impusieron las matemáticas, a las que consagró años de estudio y renunció a la cátedra de Mecánica que le habían ofrecido. Dejó la Artillería y fundó una academia para preparar a los alumnos al ingreso en el Ejército y en las escuelas de ingeniería y arquitectura.

Desde hace un siglo, el ilustre matemático tiene una calle en la ciudad. En 1918, la rúa, aunque en pleno centro, se abría a duras penas entre humildes casuchas que tuvieron que ser demolidas en aras de una vía de comunicación "higiénica, cómoda y bella" y a la altura del homenajeado.

Hubo planes fastuosos para esa calle, de edificios con pórticos y pasajes cubiertos, a la manera de las grandes capitales europeas, pero se desecharon porque exigían grandes expropiaciones y las que se estaban llevando a cabo ya habían ocasionado suficientes problemas con los vecinos. El Ayuntamiento optó por la solución conjunta planteada por los arquitectos Pedro Mariño, Antonio Tenreiro y Pelegrín Estellés, y la aprobó en 1926 con Manuel Casás al frente de la alcaldía.

Sin embargo, del proyecto inicial, sólo se llevo a término el edificio de Hacienda, hoy sede del CGAI y del archivo y biblioteca municipales, de traza neobarroca y la urbanización de la rúa no se pudo completar hasta 1970. Y la calle Durán Loriga quedó como quedó.

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Ecuaciones diferenciales en el mecanismo del botijo.

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Hace casi tres décadas, dos profesores de Química de la Universidad Politécnica de Madrid desarrollaron un modelo matemático para cuantificar la capacidad refrigeradora de este cántaro milenario.

Desde que el mundo es mundo, el botijo tiene una fama que no se merece. Este cántaro de barro poroso, con el vientre abultado, un asa en la parte superior, una boca y un pitorro, lleva lidiando cientos de años con un refrán-"más simple que el mecanismo de un botijo"- que lo ningunea y lo desprecia a partes iguales. Pero no. Esta obra magna de ingeniería rudimentaria es cualquier cosa menos un artefacto simple. Más bien, se trata del primer ejemplo de lo que podríamos denominar como "el I+D de la refrigeración".

Lo demostraron hace casi 30 años Gabriel Pinto y José Ignacio Zubizarreta, dos profesores de Química de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM) que desarrollaron un modelo matemático para explicar su funcionamiento. El resultado gráfico de aquel ingenioso experimento sigue fascinando a día de hoy.

Más simple que el mecanismo de un botijo. pic.twitter.com/TZxrUVQaF6
- Mahtan (@Crowshield__) 26 de noviembre de 2017

Corría el verano de 1990. Pinto era por aquel entonces un joven profesor de la Escuela de Ingeniería Industrial de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM). Un día, revisando unos exámenes se paró en una frase:"Explicar por qué se enfría el agua en un botijo". "Tras leer aquello, estuve dándole vueltas al asunto, hablando con más gente en la facultad y, para mi sorpresa, la cosa no quedaba clara del todo. Había personas que decían que el botijo enfriaba el agua y otras, en cambio, que no. Que simplemente la mantenía fresca".

El catedrático sabía que, en ambientes secos, el agua contenida en recipientes cerámicos como los botijos se enfría gracias al efecto térmico que se produce al evaporarse a través de sus poros. "El funcionamiento se conoce desde hace mucho tiempo. Es el mismo proceso físico que se produce con la sudoración en nuestro cuerpo, que aparte de eliminar toxinas sirve para refrescarnos". Aun así, decidió acudir al Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, por si había lugar a dudas. Pero no. La definición de la RAE era meridianamente clara:"Vasija de barro poroso que se usa para refrescar el agua".

Sin embargo, había algo que nadie había hecho hasta la fecha: cuantificar la capacidad de enfriamiento que tenía este objeto milenario. "Con los medios que teníamos entonces busqué en la literatura científica algún artículo en el que se explicase cuantitativamente cuánto enfriaba. Yo pensé que alguien lo habría estudiado, pero no encontré nada", rememora.

Pinto se puso entonces manos a la obra. Compró un botijo, lo llevó al laboratorio y empezó a experimentar con él mientras hacía su tesis doctoral. Llenó el recipiente de agua, le puso un termómetro en la boca y lo metió dentro de una estufa. El botijo, con 3,2 litros de agua en su interior, fue sometido a una temperatura constante de 39 grados y a un ambiente con humedad relativa del 42%. Cada cierto tiempo, el profesor acudía a la estufa para medir la masa total del botijo y evaluar la temperatura del agua. Así comprobó que, con las condiciones que había diseñado, el agua se enfriaba unos 15 grados tras siete horas. A partir de ese momento, el agua empezaba a calentarse debido a la cantidad de agua que se había evaporado.

El quid de la cuestión

Mientras que realizaba el experimento, este químico fue desarrollando un modelo matemático para explicar el proceso físico. Sin embargo, se encontró con un problema. "Con mis conocimientos, no terminaba de amoldar la termodinámica a los datos experimentales. Mis resultados decían que el agua se enfriaba indefinidamente y esto es algo que no ocurre en la realidad".

El profesor había tenido en cuenta la humedad del aire, la temperatura de la superficie del agua, el área de la superficie del botijo, el volumen del recipiente... Pero había algo que fallaba constantemente. Algún tiempo después, otro profesor de Química de la UPM con un mayor conocimiento en termodinámica, José Ignacio Zubizarreta, se interesó por el experimento. "Fue él quien dio con el quid de la cuestión casi cuatro años después. No había tenido en cuenta la temperatura de bulbo húmedo, un parámetro termodinámico que marca el máximo que se puede enfriar un líquido por evaporación".

El resultado del trabajo realizado por Pinto y Zubizarreta son dos complejas ecuaciones diferenciales -una de ellas kilométrica- que sirven para calcular la capacidad de enfriamiento del botijo y, de paso, para tirar por tierra la "simpleza" del mecanismo del famoso recipiente de barro. " Las matemáticas que se requieren para resolver estas ecuaciones son bastante avanzadas y se enseñan en los últimos cursos de Ingeniería", reconoce el profesor.

El hallazgo, tras las pertinentes revisiones, fue publicado en 1995 en la revista estadounidenseChemical Engineering Education, la única del mundo dedicada a la enseñanza de la ingeniería química. Los autores tuvieron que ingeniárselas para explicar en el artículo lo que era un botijo. De hecho, el título An ancient method for cooling water explained by means of mass and heat transfer( Un método antiguo para el enfriamiento de agua explicado por medio de transferencia de masa y calor), es una suerte de traducción aproximada a un objeto intraducible. "Cuando he ido a otros países he tenido que explicar cómo se bebe en un botijo porque no lo conocen", comenta.

Desde entonces, la fórmula del botijo se ha popularizado allende los mares y ha sido referenciada en multitud de trabajos. En 2015, sin ir mucho más lejos, dos profesores de la Universidad de Valladolid, Andrés Martínez de Azagra y Jorge del Río publicaron un artículo científico en el que se detalla el mapa mundial de potenciales áreas de uso del botijo. Pinto ha llegado a encontrarse a alumnos en la facultad con camisetas en las que aparecían las ecuaciones debajo del conocidísimo refrán.

"Menos mal que cuando salió esto no había internet", bromea desde el otro lado del teléfono. El catedrático reconoce que hay quien se tomó el tema a cachondeo. Sin embargo, para él fue la primera incursión en temas de"ciencia y vida cotidiana", en los que ahonda habitualmente, y un bonito ejemplo que demuestra que la ciencia -esta vez de forma compleja- puede llegar a explicar una tecnología tan rudimentaria como un botijo.

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El mecanismo del botijo: la fórmula matemática española que desmontó el refrán

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Hace casi tres décadas, dos profesores de Química de la Universidad Politécnica de Madrid desarrollaron un modelo matemático para cuantificar la capacidad refrigeradora de este cántaro milenario. Desde que el mundo es mundo, el botijo tiene una fama que no se merece.

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Polinomios para construir edificios seguros.

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Polinomios para construir edificios seguros.

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Casas dañadas en Joquicingo, México, tras el terremoto de esta semana. MARIO VAZQUEZ AFP

Empiezan las clases, y los estudiantes se enfrentan un año más a las matemáticas escolares. Dentro del álgebra que se estudia en el instituto un lugar destacado lo tienen los polinomios. ¿ Qué es un polinomio? ¿Cuál es su grado? ¿Para qué valores de las variables el polinomio vale cero (estos puntos se llaman raíces del polinomio)? En la escuela se aprende muchísima teoría, pero pocas aplicaciones prácticas. Sin embargo, el estudio de polinomios, y en concreto, la obtención de sus raíces, se aplica en numerosos campos y, aunque son objetos sencillos de describir, muchos investigadores en todo el mundo trabajan en su cómputo.

Podemos encontrar las raíces de polinomios en las teclas de un piano. Al pulsar una tecla se activa un martillo que golpea una cuerda que vibra a determinada frecuencia (velocidad), que es la que define la nota. Esta frecuencia es un número, y, de hecho, es la raíz de un polinomio que se define a partir de las características de la cuerda. Esto mismo sucede en cualquier instrumento, y a cualquier objeto que vibra.

Cuando un terremoto sacude un edificio, lo hace vibrar; también cuando un avión se encuentra con turbulencias. Además de emitir una nota, se produce un efecto llamado resonancia, que puede llegar a ser destructivo. Así sucedió con el puente de Tacoma Narrows en 1940. Un fuerte viento sopló a la velocidad justa (la frecuencia de resonancia del puente), haciendo que el puente se agitara fuertemente, aunque es posible que no fuera la causa final de su colapso. Actualmente las estructuras están diseñadas para que sus notas de resonancia sean difíciles de reproducir en la naturaleza, por lo que este tipo de fenómenos son muy poco probables. Los ingenieros utilizan, de esta manera, el cálculo de raíces de polinomios.

Otra aplicación muy común es la optimización. Esta técnica matemática permite usar de forma eficiente recursos escasos como el tiempo, la energía o el dinero, siguiendo determinados objetivos. Las compañías la emplean, por ejemplo, para decidir si es mejor gastar más dinero en contratar más empleados, remodelar la oficina, comprar más productos que luego se vayan a vender, o dejarlo en el banco. Para poder establecer la estrategia óptima se resuelven, con ayuda de un ordenador, una serie de ecuaciones que reflejan cuanta inversión y cuanto beneficio se asocia a cada acción. Las estrategias óptimas se corresponden habitualmente con las raíces de las ecuaciones escritas.

Sin embargo, el cálculo de las raíces no es siempre sencillo, y los matemáticos llevan siglos dedicados a este problema. Hay dos resultados clave sobre ello. El primero es el Teorema Fundamental del Álgebra, que establece que todo polinomio de grado n (el mayor de los exponentes de la variable) tiene n raíces, algunas de ellas pueden ser múltiples, en el mundo de los números complejos. De esta manera, sabemos exactamente cuántas raíces debemos buscar. El segundo resultado es el llamado Teorema de Abel, que afirma que no hay una fórmula general, que implique únicamente las operaciones básicas, para obtener las raíces de los polinomios de grado cinco o mayor. Esto significa que en general, a partir de grado cinco, no es posible calcular las raíces de forma exacta mediante una fórmula de este tipo, solo aproximaciones.

Lo cierto es que en las aplicaciones los polinomios suelen tener grados mucho mayor que cinco, por lo que se deben emplear aproximaciones, que han de ser lo suficientemente buenas. Ya los babilónicos hacían aproximaciones mediantes métodos simples e ingeniosos. Sin embargo, tuvieron que pasar miles de años para que Isaac Newton desarrollara la primera fórmula para aproximar raíces de polinomios de cualquier grado. Newton lo propuso en 1669, y hasta la década de 1960 siguió vigente, debido a su simplicidad y eficacia. Entonces, después de la Segunda Guerra Mundial, la proliferación de los ordenadores supuso un cambio drástico. Los cálculos tediosos requeridos para las aproximaciones se pudieron automatizar y ejecutar en una breve fracción de tiempo. Con esta nueva tecnología nació una nueva área de investigación conocida como análisis numérico, cuyo objetivo inicial era diseñar programas de ordenador para calcular aproximaciones de las raíces de polinomios.

En la segunda mitad del siglo XX, el análisis numérico siguió creciendo, y fueron apareciendo diferentes fórmulas para calcular raíces de polinomios. La mayoría se obtenía a partir de viejas ideas, como la de Newton, convenientemente modificadas para poder ser resueltas de forma eficiente con un ordenador. Cada método tiene sus pros y sus contras. Por ejemplo, el método de Frobenius de matrices compañeras da muy buenas aproximaciones pero supone más trabajo de computación que otras técnicas, y la situación empeora cuando crece el grado del polinomio. Matemáticos e ingenieros se dieron cuenta de que podría mejorarse el método utilizando ciertas características de los polinomios. Yo trabajé, junto a otros matemáticos, para proponer un perfeccionamiento que disminuye significativamente el tiempo de cálculo y mejora la precisión, que ha sido reconocido como uno de los mejores métodos para calcular raíces de polinomios por la Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada estadounidense. Gracias a estos avances conseguimos métodos cada vez más sencillos y eficaces para calcular las raíces de los polinomios y, con ellas, entre otras cosas, diseñar mejores edificios y obtener mejores soluciones para la distribución de recursos.

Jared Aurentz es investigador postdoctoral Severo Ochoa en el ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

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Polinomios para construir edificios seguros

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Empiezan las clases, y los estudiantes se enfrentan un año más a las matemáticas escolares. Dentro del álgebra que se estudia en el instituto un lugar destacado lo tienen los polinomios. ¿ Qué es un polinomio? ¿Cuál es su grado? ¿Para qué valores de las variables el polinomio vale cero (estos puntos se llaman raíces del polinomio)?

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La historia se ha encargado de esconderlas. Es el momento de que ocupen su lugar. Desde Marie Curie hasta Rosalind Franklin pasando por Valentina Tereshkova, Cecilia Payne o Vera Rubin entre otras.

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El mayor número Primo de MARSENNE. (hasta ahora...;-)

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El mayor número Primo de MARSENNE. (hasta ahora...;-)

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Comienzo del número primo más largo conocido hasta la fecha. GIMPS

Un ingeniero eléctrico estadounidense de 51 años, Jonathan Pace, ha descubierto el número primo más largo conocido hasta la fecha, con más de 23 millones de cifras, según ha anunciado su equipo en un comunicado. Los números primos son aquellos que solo se pueden dividir por sí mismos y por la unidad, como 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... Están considerados los átomos de las matemáticas, sus ladrillos indivisibles, ya que cualquier número entero se puede descomponer como el producto de unos primos. Por ejemplo, 12 es 3 x 2 x 2, descompuesto en primos.

El número hallado por Pace pertenece a una familia especial de números primos, la de los primos de Mersenne. Responden a la forma 2 n - 1. Por ejemplo, 2 ² - 1 = 3, así que 3 es el primer primo de Mersenne. En el año 1588, el matemático italiano Pietro Cataldi demostró que 2 ¹⁷ - 1 = 131.071, el mayor primo de Mersenne hasta entonces. En todos estos siglos, la humanidad solo había encontrado 49 primos de esta familia. El detectado ahora por Pace es el quincuagésimo. Se obtiene con la fórmula 2 77.232.917 - 1 y tiene 23.249.425 cifras, casi un millón más que el anterior récord, obtenido hace dos años.

La búsqueda de estos primos gigantescos no es un mero pasatiempo, según explica Manuel de León, director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en Madrid. El algoritmo criptográfico RSA, que se utiliza para garantizar la seguridad del intercambio de información en la web, está basado en esta descomposición de números enteros en números primos. Cuanto más grandes sean estos, más difícil será romper el código. Las transacciones comerciales por internet y la privacidad de las comunicaciones dependen en parte de los números primos.

Jonathan Pace vive en Germantown, una pequeña ciudad a las afueras de Memphis, y trabaja para la empresa de logística FedEx. Es uno de los miles de voluntarios de GIMPS, un proyecto colaborativo para buscar números primos de Mersenne por internet, mediante un programa gratuito elaborado por los científicos de la computación George Woltman, Scott Kurowski y Aaron Blosser. Pace mantuvo un ordenador personal con un procesador Intel i5-6600 trabajando durante seis días sin parar hasta demostrar que 2 77.232.917 - 1 es un número primo. Se llevará una recompensa de 3.000 dólares. La Fundación Fronteras Electrónicas, con sede en San Francisco (EE UU), ofrece 150.000 dólares a la primera persona que encuentre un número primo de 100 millones de cifras.

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Descubierto el número primo más largo, con 23 millones de cifras

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Un ingeniero eléctrico estadounidense de 51 años, Jonathan Pace, ha descubierto el número primo más largo conocido hasta la fecha, con más de 23 millones de cifras, según ha anunciado su equipo en un comunicado. Los números primos son aquellos que solo se pueden dividir por sí mismos y por la unidad, como 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...

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RTVE

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La probabilidad de que toque 'El Gordo': como sacar un grano de arroz entre 100.000

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La probabilidad de que el toque el premio 'Gordo' de la lotería de Navidad es la misma que la de sacar un grano de arroz entre 100.000.

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ICAAN

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En el cuerpo humano.

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VISITA VIRTUALAL SUPERORDENADOR DEL CESGA

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VISITA VIRTUALAL SUPERORDENADOR DEL CESGA

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¿Qué son? ¿Para qué valen

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¿Existen infinitos más grandes que otros?

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Y estas son sólo unas pocas...

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Científicas que han cambiado el mundo y probablemente no conocías

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El homenaje en Twitter a grandes investigadoras en el Día de la Mujer en la Ciencia.

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La riqueza de formas de los distintos conjuntos J es algo realmente sorprendente, y más aún la complejidad del conjunto M, pues este es una especie de diccionario gráfico de los anteriores: en cada uno de sus puntos, si ampliamos lo suficiente la imagen a su alrededor, obtendremos una imagen similar a la del conjunto J que le corresponde.

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¿Tienen solución? ¿Por qué

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SIN SOLUCIÓN EN EL PLANO

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Galerías en EPSILONES

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Más imágenes fractales, y algo de teoría, aparece en una de las historias matemáticas de Epsilones: Antes de Mandelbrot.

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UNA DE CRIPTO...

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¿Se pueden "fabricar"?

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Por Manuel Sada Allo

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Applets interactivos de Matemáticas de utilidad didáctica para Educación Secundaria