# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Poznaj liczbę Pi!

Dzień liczby Pi - 14 marca3.14

Prezentacja

2

1

4

Czym jest tajemnicza liczba Pi?

Dowiedzmy się czegoś o niej...

Czym byłoby koło...

... gdyby nie liczba Pi!

Liczba Pi jest to:

stosunek obwodu koła (długości okręgu) do długości średnicy tego koła (okręgu)

Piękne w liczbie π jest to, że...

... obojętnie jakie mamy dane koło, ta liczba jest stała!...im większy promień koła, tym dłuższy jest jego obwód - a liczba π nadal będzie taka sama!

LUDOLFINA

Liczba π ma różne nazwy.

Niektórzy nazywają jąstałą Archimedesa.

Dla innych jest to Ludolfina

Dlaczego stała Archimedesa?

Grecki matematyk i filozof przyrody - Archimedes z Syrakuz - żył w III wieku przed naszą erą.Jednym z jego największych dzieł jest praca "O wymierzaniu koła", w której zajmował się związkiem miedzy polem a obwodem koła. Jako piewrszy matematyk badał własności liczby π..

Noli turbare circulos meos. - Nie zamazuj moich kół.

Archimedes

Skąd nazwa Ludolfina?

Odkąd ludzie odrkyli liczbę π, starali się przedstawić jak najwięcej jej cyfr po przecinku. Nie jest to łatwe! π jest liczbą niewymierną, zatem jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe!Ludolph van Ceulen - szesnastowieczny holenderski matematyk pochodzenia niemieckiego - zapisał 35 cyfr po przecinku liczby π. Od jego imienia nzwano liczbę Ludolfiną.Ludolfina została wyryta na nagrobku matematyka.

Jak zapamiętać jej cyfry?

Kuć i orać 3,14w dzień zawzięcie 159bo plonów niema bez trudu 26535Złocisty szczęścia okręcie 897Kołyszesz... 9Kuć. 3My nie czekajmy cudu. 2384Robota 6to potęga ludu. 264

wiersz Kazimierza CwojdzińskiegoXIX - wiecznego polskiego matematyka

Kto i bada i liczy,Myśliciel to wielki.Mylić się zwykł jednakżeMatematyk wszelki.

Autor nieznany

FIlm

Z pewnością znacie Pana Pistację.Któż, jak nie on, przybliża Wam każdego dnia zamgatwane zagadnienia matematyczne :)

Jak zapamiętać 100 cyfr liczby π?

Więcej filmów?

Odrobinę śpiewanej historii liczby π

Podziwu godna liczba Pitrzy koma jeden cztery jeden.Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy.Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniemosiem dziewięć obliczeniemsiedem dziewięć wyobraźnią,a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniemcztery sześć do czegokolwiekdwa sześć cztery trzy na świecie.

Liczba π - wiersz Wisławy Szymborskiej

Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywapodobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.Korowód cyfr składających się na liczbę Pinie zatrzymuje się na brzegu kartki,potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,przez całą nieba wzdętość i bezdenność.O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście

mój numer telefonu twój numer koszulirok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętroilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszyobwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,w którym słowiczku mój a leć, a piejoraz uprasza się zachować spokój,a także ziemia i niebo przeminą,ale nie liczba Pi, co to to nie,ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,nie byle jakie osiem,nieostatnie siedem,przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wiecznośćdo trwania.

Historia przybliżeń liczby π

Chiński matematyk Liu Hui w III w. n. e. wykorzystując metodę Archimedesa przybliżył liczbę π do 3,1415.

Babilończycy uważali, że koło niewiele różni się od sześciokąta, a więc i ich obwody są przybliżone. Dla nich liczba π wynosiła w przybliżeniu 3.

Egipski papirus (zwany papirusem Rhinda) z XVII w. p. n. e. z kolei podaje, że π wynosi tyle, co iloraz czwartej potęgi liczby 4 i czwartej potęgi liczby 3, a więc w przybliżeniu jest równe 3,1604.

Archimedes oszacował liczbę π z dokładnością dwóch miejsc po przecinku. Umiejscowił ją między liczbą 3 i 10/71 a 3 i 1/7.

Zanim nadeszła era komputerów rekordzistą w ręcznym obliczaniu kolejnych cyfr liczby π był William Shanks, który w roku 1874 uzyskał aż 707 miejsc po przecinku! Niestety, jak się później okazało, ostatnie 180 cyfr wyznaczył błędnie...

π = 3,14159265358979323846264338327950288...

π = 3,162

π = 3,1415

Linia czasu - przybliżenia

XVII - XVIII w. p. n. e.

1650 r. p. n.

IIIw. p. n. e.

ok. 600r. p. n. e.

1596 r. n. e.

π = 3,1604...

π = 3

π

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

Babilończycy zapisywali swoje badania na glinianych tabliczkach, które zachowały się po dziś dzień.

Linia czasu - matematycy

XVII - XVIII w. p. n. e.

Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach - dzieło królewskiego skryby Ahmesa (papirus Rhinda)

1750 r. p. n. e.

Wybitny matematyk Archimedes mierzył obwody 96-kątów wpisanych i opisanych na okręgu, następnie liczył ich średnią.

III w. p. n. e.

Loudolf van Ceulen wydaje dzieło "Van den Circkel", w którym wpisuje 20 cyfr rozwinięcia liczby π.

1596 r.

Liczba π w kulturze

Film: Daren Aronovsky "Pi"

Powieść: Yann Martel "Życie Pi"

3

2

1

4

Magdalena Stańko

Dziękuję za uwagę!

Grafika pochodzi ze zbiorów: pixabay.com

# data[].attributes.attachment_link.title
Dzień liczby Pi 3.14 by mstankosp3 on Genially

# data[].attributes.attachment_link.description
Poznaj liczbę Pi! Dzień liczby Pi - 14 marca3.14 Prezentacja 2 1 4 Czym jest tajemnicza liczba Pi? Dowiedzmy się czegoś o niej... Czym byłoby koło... ... gdyby nie liczba Pi! Liczba Pi jest to: stosunek obwodu koła (długości okręgu) do długości średnicy tego koła (okręgu) Piękne w liczbie π jest to, że...

# data[].attributes.headline
Pi-ematy - Jak zapamiętać liczbę pi - jak-to-zrobic.pl

# data[].attributes.subject
Pi-ematy - Jak zapamiętać liczbę pi - jak-to-zrobic.pl

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
PODOBNE INSTRUKCJE I WĄTKI:

Jak zapamiętać liczbę pi?

Dodany: 2012-09-04 08:10:18

Liczba pi (π, ludolfina) określa stosunek obwodu koła do jego średnicy i, w zaokrągleniu do 49 miejsc po przecinku, wynosi - 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751. Dość często przewija się ona w różnych matematycznych zadaniach, dlatego warto ją zapamiętać. Oczywiście nikt nie każe nam uczyć się na pamięć ciągu tysięcy znaków, gdyż do obliczeń przyjęło się stosować jedynie jej skróconą do dwóch miejsc po przecinku wersję - 3,14, ale czasem warto zaskoczyć nauczyciela znajomością np. kilkudziesięciu miejsc po przecinku. Dzięki temu urośniemy w oczach matematyczki, a na specjalistycznych kierunkach studiów pomoże nam to uzyskać dokładniejszy wynik. A zatem jak zapamiętać liczbę pi? Najprościej poprzez wierszyki - ucieszą się humaniści! Oto kilka przykładów.

Liczba liter w słowie odpowiada kolejnej cyfrze liczby pi.

10 miejsc po przecinku - 3,1415926535
Autor nieznany
„Kto z woli i myśli zapragnie
Pi spisać cyfry, ten zdoła..."

12 miejsc po przecinku - 3,141592653589
Autor nieznany
„Był i jest i wieki chwalonym ów będzie który kół obwód średnicą wymierzył."

13 miejsc po przecinku - 3,1415926535897
Autor nieznany
„Kto i bada i liczy,
Myśliciel to wielki.
Mylić się zwykł jednakże
Matematyk wszelki."

18 miejsc po przecinku - 3,141592653589793238
Autor nieznany, wiersz opublikowany ongiś w miesięczniku Delta
„Raz w maju, w drugą niedzielę
Pi liczył cyfry pan Felek.
Pomnożył, wysumował,
Cyferki zanotował,
Ale ma ich niewiele..."

22 miejsca po przecinku - 3,1415926535897932384626
Autor nieznany
„Jaś o kole z werwą dyskutuje
bo dobrze temat ten czuje
zastąpił ludolfinę słowami wierszyka
czy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika?"

23 miejsca po przecinku - 3,14159265358979323846264
Kazimierz Cwojdziński
„Kuć i orać w dzień zawzięcie,
Bo plonów niema* bez trudu!
Złocisty szczęścia okręcie,
Kołyszesz...
Kuć! My nie czekajmy cudu.
Robota to potęga ludu!"
* Wiersz powstał w roku 1930 (jest uważany za pierwszy tego typu w Polsce), a słowo „niema" było wtedy jeszcze pisane łącznie.

35 miejsc po przecinku - 3,14159265358979323846264338327950288
Witold Rybczyński, inwokacja do Mnemozyny
„Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza −* to zastąpić liczbami."
*− należy traktować jako 0

Nawet bieżące wydarzenia miały wpływ no tworzenie nowych wierszyków np. wiersz powstały z okazji mistrzostw świata w piłce nożnej Argentyna 78'.
30 miejsc po przecinku - 3,141592653589793238462643383279
Autor nieznany
„Już i Lato i Deyna
strzelili do bramki obcej
dwa karne.
Lubański dostrzegł mistrza Szarmacha,
gdy on tak wypuścił cios szacha,
że zdobyć musi cel gry
krzyknął Gol na Mundial Argentyna"

Co prawda niektóre z nich są dosyć toporne, jednak nic nie stoi na przeszkodzie, aby samemu spróbować coś naskrobać, a swoją twórczość umieścić np. w komentarzu. Jako ciekawostkę dodajmy, że najwięcej cyfr po przecinku zapamiętał Chińczyk Chao, który wyrecytował ich ponad 65tys.! Może spróbujesz pobić jego rekord? Jeśli podejmiesz się wyzwania to próbę pobicia Chińczyka najlepiej podejmij dnia 14 marca (3.14), gdyż jest to nieoficjalny dzień liczby pi.

Temat obejrzany 20468 razy

[ Dodaj nowy komentarz do tego tematu ] [ drukuj temat ]

+ dodaj do ulubionych/PUBLIKUJ

# data[].attributes.attachment_link.title
Jak zapamiętać liczbę pi? Jak-To-Zrobic.pl porady, metody, instrukcje, sposoby, solucje, przepisy

# data[].attributes.attachment_link.description
PODOBNE INSTRUKCJE I WĄTKI: Jak zapamiętać liczbę pi? Dodany: 2012-09-04 08:10:18 Liczba pi (π, ludolfina) określa stosunek obwodu koła do jego średnicy i, w zaokrągleniu do 49 miejsc po przecinku, wynosi - 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751. Dość często przewija się ona w różnych matematycznych zadaniach, dlatego warto ją zapamiętać.

# data[].attributes.attachment_link.title
Okrąg i koło - wprowadzenie #1 [ Koła i okręgi ]

# data[].attributes.attachment_link.title
Liczba pi i obwód koła #1 [ Koło i okrąg ]

# data[].attributes.headline
Długość okręgu. Liczba Pi - epodręczniki

# data[].attributes.subject
Długość okręgu. Liczba Pi - epodręczniki

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Rozpatrzymy teraz sytuację, w której kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu.

Środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego.

Czyli

ale

więc

Środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego.

Środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego.

Narysujmy średnicę okręgu przechodzącą przez punkt .

Oznaczmy przez kąt pomiędzy narysowaną średnicą a ramieniem kąta wpisanego, jak na rysunku.
Zauważmy, że kąt jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt i jest to sytuacja opisana w przypadku II. Zatem

Kąt jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy i jest to sytuacja opisana w przypadku II. Zatem

Stąd ponownie otrzymujemy

Udowodniliśmy w ten sposób twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym.

Twierdzenie: o kącie środkowym i wpisanym

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

Rektyfikacja lub wyprostowanie okręgu polega na skonstruowaniu odcinka, którego długość jest równa obwodowi danego okręgu.
Jedną z przybliżonych konstrukcji wyprostowania okręgu podał w . Adam Kochański, nadworny matematyk króla Jana III Sobieskiego.

Przez wiele stuleci uczeni poszukiwali wzoru, pozwalającego określić długość okręgu, którego promień jest znany. Dokonując przybliżonych pomiarów, zauważyli, że stosunek długości okręgu do jego średnicy jest w każdym przypadku w przybliżeniu równy .

Przeprowadzony eksperyment pozwolił na znalezienie dokładniejszej liczby określającej stosunek długości okręgu do jego średnicy.
Liczbę tę w w. oznaczono grecką literą od pierwszej litery greckiego słowa perimetron, czyli obwód.

Starożytni Egipcjanie przyjmowali, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest równy

Średniowieczni Chińczycy uważali, że jest on równy
Przez wieki podawano coraz lepsze przybliżenie liczby .
W w. matematyk holenderski Ludolph van Ceulen podał jej wartość z dokładnością do miejsc po przecinku:
3,14159265358979323846264338327950288...
Na cześć tego matematyka liczba pi zwana jest też ludolfiną.
W XVIII w. udowodniono, że liczba nie jest liczbą wymierną. Nie da się więc jej zapisać w postaci ułamka dziesiętnego skończonego ani w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego okresowego.
Obecnie znamy przybliżenie liczby z dokładnością do kilku bilionów miejsc po przecinku.

W w. p.n.e. rzymski architekt Witruwiusz zaproponował sposób pomiaru odległości drogowych, wykorzystujący poruszający się rydwan. Koło takiego rydwanu miało promień . Na pokonanie jednej mili rzymskiej musiało wykonać obrotów.

Oblicz wartość liczby , przyjmowaną przez Witruwiusza.
Odpowiedź.

# data[].attributes.attachment_link.description
Rozpatrzymy teraz sytuację, w której kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu. Środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego. Czyli ale więc Środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego. Środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego. Narysujmy średnicę okręgu przechodzącą przez punkt .

# data[].attributes.headline
25 ciekawostek o liczbie Pi - fajnepodroze.pl

# data[].attributes.subject
25 ciekawostek o liczbie Pi - fajnepodroze.pl

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Liczba π, czyli liczba pi, zwana także ludolfiną to stała matematyczna, która ma zastosowanie w wielu działaniach zarówno w matematyce, jak i fizyce. Definiowana jest jako stosunek obwodu koła do długości średnicy. Znajduje się ona również w geometrii euklidesowej we wzorze na objętość kuli i pole koła. We współczesnej analizie matematycznej, istnieje wiele metod na wyliczenie jej przybliżenia z dowolną dokładnością. Jeśli chciałbyś dowiedzieć się czegoś więcej o tej niezwykłej liczbie, to koniecznie zapoznaj się z najbardziej interesującymi ciekawostkami na temat liczby π.

1. Liczba π z dokładnością do 204 miejsc po przecinku wynosi: 3, 141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 102701 938521 105559 644622 948954 930381 964428.

2. 14 marca to nieformalne święto liczby π. Dzień ten, łączy się również z datą urodzenia Alberta Einsteina, dlatego też jest obchodzony w wielu szkołach i na uczelniach. W anglosaskich krajach istnieje nawet tradycja przygotowywania tego dnia „Pi pie", czyli ciasta Pi. Przygotowywane są wtedy spotkania, na których prowadzi się dyskusję na temat tej magicznej liczby. Pierwszy raz „Dzień Liczby Pi" zorganizowano w roku 1988 w muzeum nauki Exploratorium w San Francisco. Inicjatorem wydarzenia był Larry Shaw. W roku 2009 Izba Reprezentantów w Stanach Zjednoczonych przegłosowała uchwałę, która już oficjalnie wprowadziło nowe święto, czyli „Dzień liczby Pi". Obchody tego dnia mają na celu popularyzację matematyki jako naukowej dziedziny. Również w Polsce z roku na rok „Dzień liczby Pi" staje się coraz bardziej popularny.

3. Symbol π został wprowadzony przez walijskiego matematyka Williama Jonesa w roku 1706, w monografii „Synopsis palmariorum mathesos". Symbol ten jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, co oznacza obwód. Rozpowszechniony został przez Leonharda Eulera. Liczba ta, znana jest również jako stała Archimedesa lub ludolfina - nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena, który obliczył z dokładnością do 35 miejsc po przecinku przybliżone wartości liczby.

4. Liczba π miała już swoje zastosowanie w starożytności, kiedy podczas zajęć praktycznych, takich jak: rolnictwo, budownictwo, ludzie zauważyli, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest stałą wartością.

5. Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie można jej przedstawić jako iloraz dwóch całkowitych liczb.

6. Jest również liczbą przestępną, co znaczy, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem byłaby π.

7. Kwadratura koła to nierozwiązanie zagadnienie związane z liczbą π. Polega ona na wykreśleniu kwadratu o jednakowej powierzchni co koło. W roku 1897 Edward J. Goodwin - lekarz z Indiany, stwierdził, że tego dokonał, jednak ostatecznie okazało się, ze w wykreślonych przez niego figurach liczba π wynosiła 3, 2. Przedsiębiorczy lekarz szybko zastrzegł swoją metodę, a później udostępnił do użytku stanowi Indiana.

8. Liczba π jest wspomniana w Biblii w jednym ze swoich przybliżeń - 3:1 - dokładnie w II Księdze Królewskiej, Rozdziale 7, Wersecie 23.

9. Archimedes - słynny starożytny matematyk, podjął próby oszacowania wartości liczby π. Poprzez tworzenie kolejnych wielokątów zbudowanych na okręgu i wpisanych w okrąg. Do wyniku, który był dla niego satysfakcjonujący, doszedł po wykreśleniu foremnego wielokąta o 96 bokach.

10. W III wieku n. e. Liu Hui rozpoczął od wpisywania w okrąg wielokąta o 192 bokach, aż doszedł do wielokąta, który miał 3072 boki. To pozwoliło mu ustalić, że wartość Pi jest równa 3, 14159.

11. Najdłuższy w Polsce tak zwany „żywy łańcuch rozwinięcia liczby Pi", został pobity w Warszawie, dokładnie na bulwarach nad Wisłą. Utworzyło go 627osób, które trzymały w dłoniach karteczki z kolejnymi cyframi. Tym sposobem udało się utworzyć pomiędzy dwoma mostami „żywy łańcuch".

12. Rekord Guinnesa w zapamiętywaniu ilości cyfr po przecinku, składających się na liczbę π, pobił 60 - letni Japończyk, zapamiętując aż 100. 000 liczb. Pokonał tym samym swój rekord z roku 1995, podczas którego zapamiętał 83. 432 liczb po przecinku. Na ten wyczyn potrzebował on 16 godzin. Co dwie godziny mógł zrobić sobie przerwę na skorzystanie z toalety i spożycie kulek ryżowych.

13. W przypadku komputerowych algorytmów uruchomionych na sprzęcie powszechnie dostępnym, największa uzyskana precyzja należy do Petera Trueba, który 11 listopada 2016 uzyskał prawie 22, 5 biliona cyfr po przecinku. Obliczenia te zajęły 105 dni, a liczba zajęła ok 120 TB miejsca.

14. Danica McKellar - aktorka, prywatnie zaś doktor matematyki, zaśpiewała do melodii z „Dziadka do orzechów" Czajkowskiego, fragment liczby Pi. Wszystko po to, aby popularyzować matematykę wśród dziewczynek.

15. Istnieje wiele technik na zapamiętanie kolejnych cyfr liczby Pi. W wielu językach powstają wierszyki, zdania czy piosenki. W języku polskim mamy następujący wiersz:

„Kto w mózg i głowę natłoczyć by chciał cyfer moc,
Ażeby liczenie ludolfiny trudnej spamiętać móc,
To nam zastąpić musi słówka te litery suma,
Tak one trwalej się do pamięci wszystkie wsuną."
Wiersz został skonstruowany w ten sposób, aby poszczególne słowa, oznaczały kolejne cyfry liczby Pi, a dokładnie" kto=3, w=1, mózg=4 itd.

16. Liczba Pi miała także swój udział w książkach i filmach. W powieści Carla Sagana, fragment tej liczby, stanowi klucz do całkowitego zrozumienia sensu istnienia wszechświata, natomiast w filmie „Pi" Darrena Aronofskyego, rozszyfrowanie kodu umożliwi uzyskanie władzy nad światem.

17. Liczba Pi znalazła także szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach fizyki, od mechaniki kwantowej po ruch harmoniczny. Zawarta jest także we wzorach ogólnej teorii względności.

18. Obwód podstawy piramidy Cheopsa, podzielony przez jej podwójną wysokość, pozwala uzyskać liczbę Pi, czyli 3, 1415

19. W życiu codziennym liczba Pi przydaje się jako wartość, która ułatwia wiele obliczeń. Znajomość już dwóch cyfr po przecinku wystarczy: średni stosunek długości doliny rzeki do długości rzeki jest równy Pi.

20. Liczba Pi, pojawia się także w rachunku prawdopodobieństwa.

21. W XIX wieku, William Shanks obliczył ręcznie pierwsze 707 cyfr po przecinku, jednak pomylił się po 527 miejscu.

22. W pierwszych 31 cyfrach po przecinku nie znajduje się zero. Pojawia się ono dopiero w 32 miejscu po przecinku.

23. Liczba Pi należy do najbardziej rozpoznawalnych na świecie, stałych matematycznych.

24. Już w zamierzchłych czasach, starożytni rachmistrze spostrzegli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, a mianowicie, ich obwód i średnica pozostawały wobec siebie w jednakowym stosunku, a liczba ta jest bliska 3. W Starym Testamencie obwód stanowił trzykrotność średnicy.

25. Naukowcy, którzy poszukiwali kontaktu z pozaziemskimi cywilizacjami, wysłali podobno w kosmos, posługując się drogą radiową, informację przedstawiającą właśnie liczbę Pi, mając nadzieje na to, że inteligentne pozaziemskie istoty rozpoznają ten komunikat.

Tekst powstał przy współpracy z Erli

# data[].attributes.attachment_link.title
25 interesujących ciekawostek o liczbie PI - Fajne Podróże

# data[].attributes.attachment_link.description
Liczba π, czyli liczba pi, zwana także ludolfiną to stała matematyczna, która ma zastosowanie w wielu działaniach zarówno w matematyce, jak i fizyce. Definiowana jest jako stosunek obwodu koła do długości średnicy. Znajduje się ona również w geometrii euklidesowej we wzorze na objętość kuli i pole koła.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Stronę tę poświęcamy najsłynniejszej liczbie niewymiernej, liczbie Pi. Znajdziesz na niej dużo ciekawych rzeczy i poznasz liczbę Pi, jakiej dotąd nie znałeś.

Definicja liczby Pi
Liczba Pi jest liczbą niewymierną, określającą stosunek długości okręgu do długości jego średnicy.
Symbol π został pierwszy raz użyty w 1706 roku przez matematyka angielskiego Wiliama Jonesa. W powszechne użycie wszedł dopiero w połowie XVIII wieku po wydaniu Analizy L. Eulera. Najważniejszą w historii liczby π, prawdziwie przełomową datą był rok 1882, w którym matematyk niemiecki F. Lindemann wykazał ostatecznie, że liczba π jest liczbą przestępną (to znaczy, że nie może ona być pierwiastkiem równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych). Wykazał on w ten sposób nierozwiązalność słynnego w starożytności zagadnienia kwadratury koła.

Liczba Pi nazywana bywa często „ludolfiną". Nazwa „ludolfina" pochodzi od imienia matematyka holenderskiego Ludolfa van Ceulena, który w 1610 roku obliczył wartość liczby Pi z dokładnością do 35 cyfr po przecinku. Interesująca jest historia tej liczby.

Kolejne przybliżenia i wzory
Oto najważniejsze jej oszacowania:
Czyż to nie fascynujące, że jedna i ta sama liczba Pi wykazuje tak przedziwne i różnorodne związki z arytmetyką, że można ją otrzymać jako sumy różnych szeregów, granice różnych ciągów?

Od 2 do... 707 cyfr

Liczba Pi przechodziła wiele przemian i odmian. Od ustalonej przez Archimedesa wartości 22/7, która dawała dwa rzędy dziesiętne po przecinku, dochodzi do rozwinięcia dziesiętnego z 707 cyframi po przecinku, danego przez Shanksa.

Poniższa tabela wskazuje przebieg tego postępu, z pominięciem jednak drobnych zmian od roku 250 przed naszą erą do roku 1464 naszej ery.

Rok

Nazwisko

Liczba znaków dziesiętnych
ustalonych

250 p.n.e.
1464
---
1580
1585
1579
1596
1597
1615
1621
1705
1706
1719
1789
1841
1844
1847
1853
1853
1853
1853
1853
1854
1855
1873

Archimedes
Regiomontanus
astronomowie hinduscy
J. Rhaeticus
Piotr Metius
Viète
Ludolf Van Ceulen
Adrian Romanus
Ludolf Van Ceulen
Snellius
Abr. Sharp
Machin
De Lagny
Vega
Rutheford
Dahse
Clausen
Shanks
Rutheford
Shanks
Shanks
Richter
Richter
Richter
Shanks

2
3
3
8
6
11
20
16
32
35
72
100
127
143
208
205
250
318
440
530
607
333
400
500
707

Zastosowanie maszyn liczących
Poniższa tabela obrazuje postęp w obliczeniach kolejnych cyfr rozwinięcia liczby Pi za pomocą maszyn cyfrowych.

Nazwisko

Rok

Typ maszyny

Ilość cyfr rozwinięcia

G. Reitwiesner
S. C. Nicholson
J. Jeenal
F. Genuys
Daniel Shanks
(nie spokrewniony z Williamem)
i J. Wrench
J. Gilloud i A. Fillatore
J. Gilloud i M. Dichamp
J. Gilloud i M. Bouyer

1949
1954-55
1958
1959
1961

1966
1967
1974

ENIAC
NORC
IBM 704
IBM 704
IBM 7090

STRETCH
CDC 6600
?
2037
3089
10000
16167
100265

250000
500000
1000000

Mnemotechnika liczby Pi

Jeszcze słów kilka należy poświęcić mnemotechnice liczby Pi. Zapamiętanie kilkunastu początkowych cyfr po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby Pi, nie jest sprawą łatwą, lecz tutaj matematyce przychodzi na pomoc poezja. Znane są wiersze, które bardzo prosto rozwiązują ten problem. Licząc litery w poszczególnych wyrazach otrzymujemy kolejne cyfry Pi. Liczba Pi weszła także do języka potocznego: "pi razy oko". Oto niektóre z wierszy i powiedzeń:

Kazimierz Cwojdziński (pisownia wiersza dawna)
Kuć i orać
w dzień zawzięcie,
bo plonów
niema bez trudu.
Złocisty szczęścia okręcie
kołyszesz....
Kuć.
My nie czekajmy cudu.
Robota.
To potęga ludu.
Uwaga: według dawnej pisowni "niema" (w znaczeniu brak) pisało się łącznie.

Inwokacja Witolda Rybczyńskiego do Mnemozyny, bogini pamięci, ogłoszoną w „Problemach" (nr 8/1949), zaznaczając, że zamiast słowa zadania należy wstawićproblemu, a myślnik oznacza cyfrę zero.

Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć, gdy się zadania nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami.

Polska trawestacja wiersza rosyjskiego

Kto z woli i myśli zapragnie
Pi spisać cyfry, ten zdoła...

Liczba Pi [Wiersz Wisławy Szymborskiej]

Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,
pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąćsześć pięć trzy pięć spojrzeniem
osiem dziewięć obliczeniem
siedem dziewięć wyobraźnią,
a nawettrzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem
cztery sześć do czegokolwiek
dwa sześć cztery trzy na świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa
podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i bezdenność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tudwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście
mój numer telefonu twój numer koszuli
rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóstepiętro
ilość mieszkańcówsześćdziesiąt pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a piej
oraz uprasza się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszczepięć,
nie byle jakie osiem,
nieostatnie siedem,
przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność
do trwania.

Wiersz ułożony podczas zmagań sportowych na Mundialu w Argentynie:

Już i Lato i Deyna
strzelili do bramki obcej
dwa karne
Lubański dostrzegł mistrza Szarmacha
gdy on tak wypuścił cios szacha
że zdobyć musi cel gry
krzyknął Gol na Mundial Argentyna

50 cyfr po przecinku
Poniżej podane jest rozwinięcie dziesiętne liczby л z dokładnością 50 cyfr po przecinku:

π = 3,141592653589793238462643383279
50288419716939937510...

Ciekawostki

Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby Pi, jest pierwsza.

1 rok świetlny równa się w przybliżeniu π·10 ⁷·c (km), gdzie c oznacza prędkość światła (w kilometrach na sekundę). Liczba sekund w roku wynosi 365·24·60·60=31 536 000, co w przybliżeniu wynosi π·10 ⁷ ·c.

Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby Pi. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat.

# data[].attributes.attachment_link.description
Stronę tę poświęcamy najsłynniejszej liczbie niewymiernej, liczbie Pi. Znajdziesz na niej dużo ciekawych rzeczy i poznasz liczbę Pi, jakiej dotąd nie znałeś. Liczba Pi jest liczbą niewymierną, określającą stosunek długości okręgu do długości jego średnicy. Symbol π został pierwszy raz użyty w 1706 roku przez matematyka angielskiego Wiliama Jonesa.

# data[].attributes.attachment_link.description
Let the Wolfram Language generate your own personal piece of Pi. Enter your birthday or any other date to see how many digits it takes to get there.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
(czyt. pi), ludolfina, stała Archimedesa - stosunek obwodu koła (czyli długości okręgu) do długości jego średnicy; stosunek ten jest niezależny od wyboru koła, bowiem każde dwa koła są podobne. Liczba π nazywana jest czasami stałą Archimedesa w uznaniu zasług Archimedesa z Syrakuz, który jako pierwszy badał własności i znaczenie w matematyce tej liczby; określenie ludolfina pochodzi od Ludolpha van Ceulena, który zyskał sławę przedstawiając tę liczbę z dokładnością do 35 miejsc po przecinku.

Liczba π z dokładnością do 204 miejsc po przecinku:

π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 102701 938521 105559 644622 948954 930381 964428

W praktyce korzysta się z przybliżonych wartości 3,14, rzadziej z przybliżeń dokładniejszych: 3,14159 albo w postaci ułamków zwykłych np. 22/7 lub 355/113.

Liczba π jest stałą matematyczną, która pojawia się w wielu działach matematyki i fizyki. Pojawia się w geometrii np. we wzorach na pole koła i objętość kuli, w analizie matematycznej np. wielu sumach szeregów liczbowych, we wzorze całkowym Cauchy'ego. Analiza matematyczna dostarcza wielu metod obliczania jej przybliżeń z dowolną dokładnością.

Symbol π wprowadził walijski matematyk i pisarz William Jones w monografii Synopsis Palmariorum Matheseos w 1706. π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód.

Oznaczenie π można znaleźć także w pracach matematyków Williama Oughtreda, Isaaca Barrowa i Davida Gregory'ego.

Ale jeszcze w 1734r. Euler w dziele De summis serierum reciprocarum używa oznaczenia używa też tego oznaczenia w napisanym już po wydaniu Analizy liście do Jamesa Stirlinga z 16 kwietnia 1738.

Podobnie Johann Bernoulli w liście napisanym do Eulera w 1739r. używa oznaczenia dla liczby π, jednak już w następnym liście do Eulera, z początku 1740 stosuje on oznaczenie π.

Ostatecznie uznanie dla oznaczenia π nastąpiło po wydaniu przez Leonarda Eulera w 1737 roku dzieła Analiza. Euler używał tego oznaczenia również w Introductio in Analysin Infinitorum ( 1748). Prawdopodobnie znaczący wpływ na popularyzację symbolu π miało jego pojawienie się w Mathematical Tables (1742) Henry'ego Sherwina.

druga z powyższych całek służy do obliczania powierzchni górnego półkoła jednostkowego, trzecia do obliczania długości górnego półokręgu jednostkowego.

W powyższych przypadkach prawdopodobieństwo i średnią rozpatruje się w sensie granicznym np. rozważamy prawdopodobieństwo dla zbioru liczb a następnie obliczamy granicę przy dążącym do nieskończoności.

Kilka początkowych reduktów tego ułamka:

Każdy z powyższych ułamków ma tę własność, że najlepiej przybliża liczbę π spośród wszystkich ułamków o mianownikach niewiększych od danego. Ponadto błąd bezwzględny tego przybliżenia jest mniejszy niż odwrotność kwadratu mianownika.

Np.

Redukt był znany w najstarszych oszacowaniach liczby π, redukt został znaleziony przez Archimedesa.

Z liczbą π ludzie zetknęli się już w starożytności. Podczas praktycznych zajęć (budownictwo, rolnictwo, gospodarstwo domowe itp.) zauważyli, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Pierwsze źródła dowodzące świadomego korzystania z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu.

Podejście starożytnych uczonych do matematyki, w szczególności do liczby π było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy księgowości.

Wyniki Archimedesa

Archimedes ( III w. p.n.e.) był pierwszym matematykiem badającym liczbę π i jej znaczenie w matematyce.

Przede wszystkim znalazł metodę szacowania długości okręgu. W tym celu rozważał ciąg wielokątów foremnych opisanych na okręgu i wpisanych w okrąg. Opierając się na wprowadzonych w swoim dziele „O kuli i walcu" postulatach wywiódł, że im więcej boków ma wielokąt foremny wpisany/opisany tym jego obwód jest bliższy długości okręgu. Dawało to możliwość szacowania długości okręgu z dowolną dokładnością.

Przejście graniczne w tej konstrukcji opierało się na tym, co już wiedziano od czasów Eudoksosa, że dwie wielkości dowolnie bliskie sobie są równe. W dzisiejszym języku oznacza to analizę dwóch ciągów i ich granic: rosnącego ciągu obwodów wielokątów foremnych wpisanych oraz malejącego ciągu obwodów wielokątów foremnych opisanych Dla tych ciągów zachodzą łatwe do stwierdzenia zależności:

oraz

Wprawdzie przy użyciu ówczesnej aparatury rachunkowej metoda ta praktycznie nie nadawała się do wyznaczania przybliżeń liczby π, jasno jednak pokazała, że π jest granicą pewnych ciągów wielkości konstruowalnych (w sensie konstrukcji klasycznych).

W pracach „O wymierzaniu koła" i „O kuli i walcu" wykazał, że π jest w istocie „stałą uniwersalną" geometrii w następującym sensie.

Stosunek obwodu koła do jego średnicy jest stały, ten stosunek jest właśnie liczbą π. Podobnie stałe są stosunek pola powierzchni koła do kwadratu jego promienia, stosunek objętości walca i stożka do iloczynu wysokości i kwadratu promienia podstawy, stosunek powierzchni kuli do kwadratu jego promienia, stosunek objętości kuli do sześcianu jego promienia. Archimedes udowodnił, że dla wszystkich powyższych brył obrotowych stosunki te są współmierne i w każdym z nich pojawia się ta sama stała π

Stosując opracowaną przez Eudoksosa i rozwiniętą przez siebie metodę wyczerpywania udowodnił m.in., że

pole koła jest równe polu trójkąta prostokątnego, którego przyprostąkątnymi są promień koła i rektyfikacja brzegu koła (czyli odpowiedniego okręgu)

objętość walca jest różne objętości granistosłupa prostego trójkątnego, w którym z jednego z wierzchołków wychodzą trzy wzajemnie prostopadłe krawędzie o długościach równych wysokości walca, promieniowi podstawy walna i rektyfikacji brzegu podstawy walca

Objętość stożka jest równe objętości walca opisanego na stożku

Stosując stworzoną przez siebie metodę sum całkowych udowodnił także, że

pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni bocznej walca opisanego na tej kuli,

objętość kuli jest równa objętości walca opisanego na tej kuli, z którego wydrążono dwa stożki stykające się swoimi wierzchołkami i których podstawy pokrywają się z podstawami walca.

W dzisiejszym języku oznacza to wyprowadzenie przez Archimedesa wzorów na pola powierzchni i objętości wyżej omówionych brył. Dzisiaj oczywiście do tego służy rachunek całkowy. Współczesną kontynuacją powyższych wyników Archimedesa są wzory na pole powierzchni i objętość n-wymiarowej hiperkuli, w których to wzorach także pojawia się liczba π w odpowiednich potęgach.

Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert.

Dowód niewymierności

Przypuśćmy, że

dla pewnych dodatnich liczb naturalnych i

Niech dla liczby naturalnej dane będą wielomiany

oraz

gdzie oznacza -tą pochodną

Ponieważ wielomian ma współczynniki całkowite oraz stopień równy wszystkie pochodne mają w wartości całkowite. Także dla wartości te są całkowite, gdyż Zachodzi ponadto związek

Ponadto

Ponieważ liczby i są całkowite, całkowita jest więc wartość Z drugiej strony, dla zachodzi oszacowanie

Z dowolności i powyższego oszacowania, całka

jest dowolnie mała, co prowadzi do sprzeczności.

Liczba π jest liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe przedstawić π w postaci wyrażenia zawierającego skończonej liczby działań arytmetycznych i pierwiastków na liczbach całkowitych.

Przestępność liczby π oznacza, że niemożliwa jest kwadratura koła, czyli klasyczna konstrukcja (linijką i cyrklem) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Konstrukcja klasyczna pozwala jedynie znaleźć rozwiązania przybliżone (tzw. konstrukcje przybliżone). Powiązanym, również niemożliwym do rozwiązania problemem, jest problem rektyfikacji okręgu, do którego również istnieją konstrukcje przybliżone, z których za jedną z najprostszych uchodzi konstrukcja Adama Adamandego Kochańskiego.

Babilończycy uważali, że obwód koła niewiele różni się od obwodu sześciokąta wpisanego w niego i przyjmowali Świadczą o tym niemal wszystkie teksty utrwalone na glinianych tabliczkach i poruszające te problemy. Tylko jedna tabliczka (datowana na lata 1900-1680 p.n.e.) zawiera obliczenia sugerujące stosowanie przybliżenia

Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie Rhinda, autorstwa królewskiego skryby (według niektórych źródeł tylko kopisty oryginału) Ahmesa zatytułowanym Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in. odniesienia do wartości liczby π, przybliżanej wartością

W biblijnej Drugiej Księdze Kronik ( Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2) pochodzące z V-IV w. p.n.e. można znaleźć słowa:

Następnie sporządził odlew okrągłego „morza" o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.

Wynika z nich, że w Starym Testamencie, podobnie jak w źródłach babilońskich, przyjmowano oszacowanie

Archimedes w III w. p.n.e. oszacował liczbę π z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, metody pozwalającą oszacowywać π z (teoretycznie) dowolną dokładnością, przez następne wieki była metodą najlepszą, często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków. Wynikiem jego pracy było podanie przedziału, w jakim mieści się liczba π: Archimedes uzyskał ten wynik wyznaczając długości boków dwóch 96-kątów foremnych - opisanego na okręgu i wpisanego w ten sam okrąg. Następnie obliczył średnią arytmetyczną obwodów tych wielokątów, otrzymując przybliżenie długości okręgu. Obliczenia były bardzo żmudne i czasochłonne. Mimo wielkich wysiłków Archimedesowi nie udało się dokonać analogicznych obliczeń dla 192-kątów, co pozwoliłoby mu wyznaczyć wartość ludolfiny z jeszcze większą dokładnością.

Liu Hui, chiński matematyk żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby π na 3,1415.

Zu Chongzhi, chiński cesarski astronom około 500 roku n.e. podał dwa przybliżenia liczby π - wcześniejsze - oraz późniejsze, wynoszące które do XV wieku było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby π (na szczególną uwagę zasługuje łatwość jego zapamiętania: 11-33-55). Wartości te zanotowano w pochodzących z tego okresu kronikach dworskich. Użył on metody Archimedesa, lecz najprawdopodobniej nie miał dostępu do jego prac.

Brahmagupta, hinduski matematyk, sto lat później (około 600 r.n.e.), podał inne przybliżenie wartości π - stosując własności 12, 24, 48 i 96-boków, których długości obwodów wynosiły odpowiednio

W rzeczywistości

W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii do obliczenia wartości π użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz i Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674. Natomiast pierwszym z Europejczyków, który użył metody aproksymacji π przy pomocy ciągów nieskończonych był John Wallis, który w 1656 roku w dziele Arithmetica infinitorum podał bardzo zgrabny - aczkolwiek niezbyt użyteczny - wzór na π. Od tego czasu do obliczania wartości π zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinus lub arcus tangens w szereg potęgowy.

Ludolph van Ceulen stosując jeszcze metodę Archimedesa obliczył wartość π z dokładnością do 20 miejsc po przecinku i opublikował wynik w dziele Van den Circkel (1596). Według biografów Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia π, zwanej niekiedy od jego imienia Ludolfiną, pod koniec życia podając π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku (użył do tego wieloboku o bokach) - wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej.

Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku. W 1853 William Rutherford podał liczbę Pi z dokładnością 440 miejsc po przecinku. Rekordzistą w ręcznych obliczeniach liczby Pi jest William Shanks, któremu w 1874 udało się uzyskać 707 miejsc po przecinku. Zajęło mu to 15 lat. Później okazało się, że 180 ostatnich cyfr obliczył błędnie (wynik, który uznano za prawidłowy uwzględnia 527 miejsc po przecinku). W 1946 roku Ferguson podał wartość π do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2038 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 2,0615·10 ¹¹ miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera Hitachi SR8000.

31 grudnia 2009 r. Fabrice Bellard ogłosił, że udało mu się obliczyć π z dokładnością do 2700 miliardów cyfr. Obliczenia ze sprawdzeniem zajęły 131 dni, do obliczeń użyto komputera z procesorem Intel Core i7 (2,93 GHz) i 6 GB RAM. Sam zapis binarny liczby zajmuje około 1,12 TB.

W październiku 2011 Alexander J. Yee i Shigeru Kondo uzyskali dokładność ok. 10 bilionów (10 ¹³) miejsc po przecinku. Obliczenia zajęły 371 dni.

W październiku 2014 anonimowa osoba o nicku houkouonchi uzyskała dokładność ok. 13,3 biliona miejsc po przecinku. Obliczenia zajęły 208 dni, a sprawdzanie 182 godziny.

W listopadzie 2016 Peter Trueb uzyskał dokładność ok. 22,5 biliona miejsc po przecinku przy pomocy programu y-cruncher. Obliczenia zajęły 105 dni, a sama liczba zajęła ok. 120 TB miejsca.

W styczniu 2020 Timothy Mullican uzyskał dokładność 50 bilionów miejsc po przecinku przy pomocy programu y-cruncher. Obliczenia zajęły 303 dni, a sama liczba zajęła ok. 281 TB miejsca.

Niezależnie od algorytmów znajdujących coraz lepsze przybliżenia liczby pi opracowano metody obliczania pojedynczych bardzo odległych cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby pi. Np. w roku 2010 obliczono cyfrę będącą na 2 000 000 000 000 000 miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby pi i wynosi ona zero. Obliczenia trwały 23 dni na 1000 maszynach.

Poniższe metody są wolno zbieżne

( wzór Wallisa)

Do szybkich obliczeń komputerowych stosuje się przybliżenie wynikające z tożsamości:

Funkcję arcus tangens należy rozwinąć w szereg Taylora. Twórcą tej formuły jest angielski matematyk John Machin (1680-1751).

Szybko zbieżne formuły postaci: podały również inne osoby, m.in.:

Zbiór innych formuł typu zaproponowanego przez Machina można znaleźć np. na stronie „Numbers, constants and computation"

Inne metody

Wzór ten wyróżnia dokładność, która wzrasta 100 milionów razy wraz z dodaniem kolejnego składnika sumy[12].

David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky:

Bailey-Borwein-Plouffe (BBP, 1997)[13]

Każdy składnik sumy jest równocześnie kolejną cyfrą szesnastkowego rozwinięcia liczby π, co pozwala na zrównoleglenie pracy np. na superkomputerach.

Istnieją także rozwinięcia w ułamki łańcuchowe:

Przy pomocy całki Riemanna można dowodzić szacowań liczby π przez pewne liczby wymierne. Jednym z przykładów jest zależność znaleziona przez Dalzella:

z której wynika, że 22/7 > π. Zachodzi ponadto

skąd wynika, iż

Aproksymanty

Ponieważ liczba jest równa w przybliżeniu można przybliżyć ją dowolnie dokładnie przy pomocy skończonej liczby iloczynów i ilorazów pierwiastków n-tego stopnia z np.

etc.

Liczba π ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni Dzień Liczby π (14 marca; amerykański sposób zapisu tej daty to „3.14") oraz dzień aproksymacji π ( 22 lipca) (europejski sposób zapisu daty to 22/7 ≈ 3,1428).

Tworzone są też wierszyki i opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π.

Niemcom w zapamiętaniu aproksymacji π uzyskanej przez van Ceulena może być pomocny wiersz napisany przez Clemensa Brentano, który jest przypuszczalnie pierwszym tego typu tekstem:

Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.

Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach. (przekład Witolda Rybczyńskiego)

Pierwszym polskim wierszem tego typu jest wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego z 1930 roku, zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma Parametr, poświęconemu nauczaniu matematyki. Należy jednak pamiętać, że tekst powstał przed reformą ortografii z 1936 roku. Wtedy pisano „nie ma" w znaczeniu „nie posiada" i „niema" w znaczeniu „nie jest".

Rymowany wiersz, w którym liczba liter w kolejnych wyrazach odpowiada rozwinięciu dziesiętnemu liczby pi do 20 miejsca po przecinku:

Kto w mgłę i słotę wagarować ma ochotę?

Chyba ten który ogniście zakochany, odziany wytwornie

Gna do nóg Bogdanki paść kornie

Limeryk (limerypinoid) Marcina Orlińskiego wykorzystuje 26 miejsc po przecinku:

Jan C. Dors z Pucka (Pomorskie)

na omyłki takie jak „Dorsz" reagował wstrząsem.

Bluzgał, zapieniał się:

„Ja już odpocząć chcę!

Błagam! Ja jestem Dors, nic nie plączcie!"

Wiersz pozwala zapamiętać 32 cyfry składające się na liczbę pi:

Kto w mózg i głowę natłoczyć by chciał cyfer moc,

Ażeby liczenie ludolfiny trudnej spamiętać móc,

To nam zastąpić musi słówka te litery suma,

Tak one trwalej się do pamięci wszystkie wsuną.

Inne przykłady:

Jaś o kole z werwą dyskutuje

bo dobrze temat ten czuje

zastąpił ludolfinę słowami wierszyka

czy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika?

Oto i wiem i pomnę doskonale...

Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła

Oto limeryk opublikowany kiedyś w miesięczniku Delta:

Są nawet wiersze białe:

Źle w mgle i snach bolejącym do wiedzy progu iść.

Kolejny, dłuższy przykład, w formie inwokacji do bogini pamięci (myślnik po „pauza" zastępuje zero):

Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami. Witold Rybczyński w miesięczniku „Problemy" (nr 8/1949)

Jest to wersja poprawiona. Pierwotnie tekst zawierał błąd „zadania" zamiast „problemu", czyli 7 zamiast 8 na 27 miejscu.

Najbardziej znany przykład angielski jest autorstwa sir Jamesa Jeansa:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!

Jakże chciałbym się napić, czegoś mocnego oczywiście, po trudnych wykładach dotyczących mechaniki kwantowej!

Po francusku:

Que j'aime a faire apprendre un nombre utile aux sages. Immortel Archimede, artiste ingenieux, qui de ton ton jugement put prise la valeur! Pour moi ton problème eut de pareils avantages.

Po rosyjsku:

Раз и шутя, и скоро пожелаешь пи узнать число - так знаешь

Popularny jest także następujący wierszyk:

How I wish I could recollect Pi easily today!

Jakże bym chciał dzisiaj łatwo przypomnieć sobie Pi!

Popularny jest również polski wierszyk:

Był i jest i wieki chwalonym ów będzie, który kół obwód średnicą wymierzył; sławcie Archimeda, aby ów mąż wszędzie imię sławne na zawsze jako syn muz dzierżył.

Wśród polskich sposobów na mnemotechniczne zapamiętanie jest również okolicznościowy wierszyk, który powstał z okazji Mistrzostw Świata w Piłce Nożnej w Argentynie w 1978 roku

„Już i Lato i Deyna strzelili do bramki obcej dwa karne. Lubański dostrzegł mistrza Szarmacha, gdy on tak wypuścił cios szacha, że zdobyć musi cel gry, krzyknął Gol na Mundial Argentyna". (30 cyfr po przecinku).

Liczba π była inspiracją wielu artystów i reżyserów. Darren Aronofsky poruszył jej temat w swoim filmie Pi. W literaturze Pi jest imieniem bohatera powieści Yanna Martela - oraz tematem jednego z wierszy Wisławy Szymborskiej. Rozwinięcie binarne liczby π (jako zaszyfrowana informacja dotycząca sensu wszechświata) odgrywa kluczową rolę w zakończeniu znanej powieści s-f Kontakt Carla Sagana. Fascynacja π jako kluczem czy ważnym elementem „wiedzy tajemnej" bywa obecna w wielu paranaukowych czy ezoterycznych sektach i stowarzyszeniach, poczynając od XVIII w.

W latach 80. XX w. w Polsce emitowany był telewizyjny program edukacyjny przeznaczony dla dzieci i młodzieży pt. Przybysze z Matplanety, w którym jednym z bohaterów był nieśmiały i tchórzliwy Pi.

Księga Guinnessa zawiera listę ludzi, którzy zapamiętali najwięcej cyfr liczby π. Należy do nich np. Rajan Mahadevan (40 000 zapamiętanych cyfr), Daniel Tammet[potrzebny przypis]. Aby ją zapamiętać, korzystają często z mnemotechniki GSP i pałacu pamięci. Światowy potwierdzony rekord w zapamiętaniu ciągu cyfr liczby π należy aktualnie do Japończyka Akiry Haraguchi, który podał ją z dokładnością do 100 tysięcy miejsc po przecinku bijąc własny rekord 83 431 cyfr po przecinku z roku 1995. Starszy rekord należał do Chińczyka Lu Chao, który powtórzył ponad 67 tysięcy znaków po przecinku.

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

Anglojęzyczne

# data[].attributes.attachment_link.description
(czyt. pi), ludolfina, stała Archimedesa - stosunek obwodu koła (czyli długości okręgu) do długości jego średnicy; stosunek ten jest niezależny od wyboru koła, bowiem każde dwa koła są podobne.

# data[].attributes.body
wystarczy w komórce wpisać formułę "=PI()". W komórce będzie zapamiętana liczba π z dokładnością do 15 miejsc po przecinku. Funkcja ta nie przyjmuje żadnych argumentów.

# data[].attributes.body
Liczba Pi

Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe
pięć dziewięć dwa, ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem,
osiem dziewięć obliczeniem,
siedem dziewięć wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem
cztery sześć do czegokolwiek
dwa sześć cztery trzy na świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa.
Podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i bezdenność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście
mój numer telefonu twój numer koszuli
rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro
ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a piej
oraz uprasza się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem,
nie ostatnie siedem,
przynaglając, ach przynaglając gnuśną wieczność
do trwania.

# data[].attributes.attachment_link.description
Access Google Forms with a personal Google account or Google Workspace account (for business use).